解三角形数列(2)
知识梳理4 解三角形及数列
第十二章 解三角形及数列一.重点知识1.解三角形重点知识：1、正弦定理：外接圆的半径）是ABC (2sin sin sin ∆===R R CcB b A a 2、余弦定理：Cab b a c B ac c a b Abc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+=3、三角形面积公式：B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆2.数列重点知识1．在数列{a n }中，前n 项和S n 与通项a n 的关系为：⎩⎨⎧∈≥-===-)N n ,2( )1(111n S S n S a a n n n2.等差与等比数列的定义、通项公式、求和公式重要性质比较3．知识梳理（数列求和的方法）1.公式法：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比的数列；2.分组求和法：把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解。
3.裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。
如：1）111111()n n n na a d a a++=-⋅；21d=。
常见裂项公式：（1）111(1)1n n n n++=-；（2）1111()()n n k k n n k++=-；4.错位相减法：适用于差比数列（如果{}n a等差，{}n b等比，那么{}n na b叫做差比数列）即把每一项都乘以{}n b的公比q，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和.二．课前自测1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知1=a，1=b，︒=120C，则=c. 2．在ABC∆中，已知35513sin B,cos A==，则cosC＝.3.已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为________．4.在中，若，则最大角的余弦值等于_______________.5、已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋3n＋1，求通项．6、数列{}n a适合：11a=，1na+22nnaa=+，写出前四项并写出其通项公式；7、在等差数列{a n}中，已知a15＝10，a45＝90，求a608、在等比数列{}n a中，若1232a a a=，23416a a a=, 则公比q=ABC∆6:2:1::=cba三．典例解析【例1】在∆ABC中，已知=ac 060=B ，求b 及A ；【变式训练1】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2=c ，6=b ，︒=120B 。
解三角形与数列-2024金考卷专题题选(45+45 共90题)
解三角形(适合高二高三复习)1（1/45 2023届济南摸底考试）在△ABC 中, 2sin ∠ACB =3sin ∠ABC , AB =23,BC 边上的中线长为13.(1)求 AC 的长;(2)求 △ABC 的面积.2已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c , 且a cos B +3a sin B =b +c .(1)求A ;(2)若a =4,△ABC 的面积为43, 求△ABC 的周长.3在平面四边形ABCD 中, ∠ABD =45°, AB =6,AD =32. 对角线AC 与BD 交于点E ,且AE =EC ,DE =2BE .(1)求BD 的长;(2)求cos ∠ADC 的值.4在△ABC 中, 角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c , 且满足a cos C +3a sin C =b +2c .(1)求角A 的大小;(2)D 为BC 边上一点, DA ⊥BA ,且BD =4DC , 求cos C .5记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b , c , 已知点D 为AB 的中点, 点E 满足AE=2EC, 且a cos A +a cos (B -C )=23b cos (π-A )sin C .(1)求A ;(2)若BC =19,DE =7, 求△ABC 的面积.6已知锐角△ABC 中, 角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c , 且tan B +tan C +3tan B tan C=3.(1)求角A ;(2)若a =4, 求b +c 的取值范围.7在△ABC 中, 内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c , 已知c =2b cos B ,C =2π3.(1)求角B 的大小.(2)在下列两个条件中选择一个作为已知, 求BC 边上的中线AM 的长度.①△ABC 的面积为334;②△ABC 的周长为4+23.注:如果选择两个条件分别解答, 按第一个解答计分.8在△ABC 中, 角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c . 已知2cos A bc =cos B ab+cos Cac .(1)求A ;(2)若a =3, 求△ABC 周长的取值范围.9在锐角△ABC 中, 角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c , 已知锐角△ABC 同时满足下列四个条件中的三个:①cos A =22;②cos C =223;③a =5;④c =3.(1)请指出这三个条件,并说明理由;(2)求△ABC 的面积.10设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,3b cosB +C2=a sin B .(1)若a =2, 求△ABC 面积的最大值;(2)若B =π3, 在△ABC 边AC 的外侧取一点D (点D 在△ABC 外部), 使得DC =1,DA =2,且四边形ABCD 的面积为534+2, 求∠ADC 的大小.11在△ABC 中, 内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,2sin A +11-2cos A=sin2C 1+cos2C .(1)若B =π6, 求C ;(2)若B ∈π6,π4 , 求cb的取值范围.12已知△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c , 且满足a cos B -b cos A =a -c .(1)求B ;(2)若b =7,a =2,M 为边AC 的中点, 求BM 的长.13记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c , 已知cos C +(cos B -22sin B )cos A =0.(1)求cos A 的值;(2)若b +c =1, 求a 的取值范围.14在△ABC 中, 内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2c +b =2a cos B .(1)求A ;(2)若∠BAC 的平分线与BC 交于点M ,BM =47,CM =27, 求线段AM 的长.15在锐角△ABC 中, 内角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c , 已知sin A -sin B3a -c=sin C a +b .(1)求角B 的值;(2)若a =2, 求△ABC 的周长的取值范围.16在△ABC 中, ∠BAC =120°,AB =1, AC =3, 点D 在线段BC 上, 且BD =12DC .(1)求AD 的长;(2)求cos ∠DAC .17已知a ,b ,c 分别为△ABC 的内角A ,B ,C 的对边. 且cos C +3sin C =b +ca.(1)求A ;(2)若a =2,△ABC 的面积为3, 求b ,c .18已知△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c , 且tan B tan C -3(tan B +tan C )=1.(1)求角A 的大小;(2)若a =1,2c -(3+1)b =0, 求△ABC 的面积.19记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c . 已知b 2-a 2=2c 2.(1)求tan Btan A的值;(2)求C 的最大值.20△ABC 的内角A ,B ,C 的对边长分别为a ,b ,c , 设a +b c -b =sin C +sin B sin A.(1)求C ;(2)若(3+1)a +2b =6c , 求sin A .21已知在锐角△ABC 中, 1+sin2B -cos2B1+sin2B +cos2B=3.(1)求角B ;(2)若a =2,求△ABC 的面积S 的取值范围.22记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c . 已知a cos 2C 2+c cos 2A2=32b .(1)证明:sin A +sin C =2sin B ;(2)若b =2,AB ⋅AC=3, 求△ABC 的面积.23在△ABC 中, AC =2,∠BAC =π3,P 为△ABC 内的一点, 满足AP ⊥CP ,∠APB =2π3.(1)若AP =PC , 求△ABC 的面积;(2)若BC =7, 求AP .24已知在△ABC 中, 角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,sin (B -A )sin A+sin Asin C =1.(1)证明:a ,b ,c 成等比数列;(2)求角B 的最大值.25已知△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c, 且b2+2c2-2a2=0.(1)若tan C=13, 求A的大小;(2)当A-C取得最大值时, 试判断△ABC的形状.26在锐角三角形ABC中, 内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知cos C sin(A-B)= cos B sin(C-A).(1)求tan A的最小值;(2)若tan A=2,a=45, 求c.27记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知a2-b2c2=a2+b2-c2ab.(1)若C=π4, 求A,B;(2)若△ABC为锐角三角形, 求ab cos2B的取值范围.28记锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知sin(A-B)cos B=sin(A-C)cos C.(1)求证:B=C;(2)若a sin C=1, 求1a2+1b2的最大值.29在△ABC中, 角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 且满足2sin A+π6=a+b c.(1)求C;(2)若△ABC内切圆的面积为3π,b=a+3, 求△ABC的周长.30在△ABC中, 内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=2b,2sin A=3sin2∠ACB.(1)求sin∠ACB;(2)若△ABC的面积为372, 求AB边上的中线CD的长.31已知△ABC中, 角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 且(a+b)(sin A-sin B)=b sin C.(1)证明:A=2B;(2)若a=3,b=2, 求△ABC的面积.32在△ABC中, 角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 且满足2b cos C=2a-c.(1)求角B;(2)若b=6,D为边AC的中点, 且BD=92, 求△ABC的面积.33设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 且有2sin B+π6=b+c a.(1)求角A;(2)若BC边上的高h=34a, 求cos B cos C.34如图,在四边形ABCD 中, ∠DAB =2π3, AB =AD =3,AC 与BD 相交于点E ,AC =4AE ,DE =2BE .(1)求AE 的长;(2)求△BCD 的面积.35△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a , b ,c , 且b =2c sin A +π6.(1)求C ;(2)若c =1,D 为△ABC 的外接圆上的点, BA . BD =BA2, 求四边形ABCD 面积的最大值.36已知函数f (x )=2cos 2ωx +sin2ωx (ω>0),x 1,x 2是f (x )的两个相邻极值点, 且满足x 1-x 2 =π.(1)求函数f (x )图象的对称轴方程;(2)若f (α)=13, 求sin2α.37在△ABC 中, 内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,cos B +sin A +C2=0.(1)求角B 的大小;(2)若a :c =3:5, 且AC 边上的高为15314, 求△ABC 的周长.38在△ABC 中, 角A ,B ,C 的对边分别为a ,b , c , 已知cos2A +cos2B -cos2C =1-2sin A sin B .(1)求角C 的大小;(2)求sin A +sin B +sin C 的取值范围.39在△ABC中, 角A,B,C的对边分别为a, b,c,2c=b(sin A-cos A).(1)若sin B=10sin C, 求sin A的值.(2)在下列条件中选择一个, 判断△ABC是否存在. 如果存在, 求b的最小值;如果不存在, 说明理由.①△ABC的面积S=2+1;②bc=42;③a2+b2=c2.注:若选择多个条件分别解答, 按第一个解答计分.40已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间π6 ,π2 单调, 其中ω为正整数, |φ|<π2, 且fπ2=f2π3.(1)求y=f(x)图象的一条对称轴;(2)若fπ6 =32, 求φ.41已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c2=a2+ab.(1)证明:C=2A;(2)若a=3,sin A=13, 求△ABC的面积.42设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 且cos A=2cos B cos C.(1)求ab sin C的最小值;(2)若B=π4,b=2, 求△ABC的面积.43在△ABC中, 角A,B,C所对的边分别为a, b,c,a=9,D为边BC上一点, DB=DA=3.(1)若3b sin C+c cos B=9, 求△ABC的面积;(2)若AD为∠BAC的平分线, 求△ABC的周长.44在△ABC中, 角A,B,C的对边分别为a, b,c,2a cos B-b=c.(1)求证:cos B=a2b;(2)若c=1,a b=32, 求△ABC的面积.45记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知sin A sin(B-C)=sin2C.(1)若b2-c2=ac, 求角C;(2)若A=π4,a=2, 求△ABC的面积.数列（适合高二高三复习）1(金考卷15/45 长沙2023适应性考试)已知数列a n为等差数列, 数列b n为等比数列, 且满足b1=2a1=2,b2=2a2,a3+b3=11.(1)求数列a n,∣b n 的通项公式;的前n项和S n.(2)求数列 a n⋅b n2已知数列a n的前n项和为S n,n∈N+, 现有如下三个条件:条件① a5=5;条件②a n+1-a n=2;条件③S2=-4.请从上述三个条件中选择能够确定一个数列的两个条件,并完成解答.您选择的条件是和(1)求数列a n的通项公式;(2)设数列b n满足b n=1a n⋅a n+1, 求数列b n的前n项和T n.3已知数列a n满足a1=1,a2=1,a n-a n-1=a n-2n≥3,n∈N∗,S n表示数列a n的前n项和.(1)求证:a n=S n-2+1;(2)求使得a kS k-2-1≥1100成立的正整数k(k≥3,k∈N∗ 的最大值.4已知数列 a n满足 a1=1,a2=3, 数列 b n等比数列, 且满足 b n a n+1-a n=b n+1.(1)求数列 a n的通项公式;(2)已知数列 b n的前 n 项和为 S n, 若 记数列 c n满足 c n=a n,n 为奇数b n,n 为偶数求数列 cn的前 2n 项和 T2n.在① 2S2=S3-2;②b2,2a3,b4 成等差数列;③S6=126 这三个条件中任选一个, 补充在 第 (2) 问中, 并对其求解.5 欧拉函数 φ(n)n∈N∗的函数值等于所有不超过正整数 n, 且与 n 互质的正整数的个 数, 例如:φ(1)=1,φ(4)=2.(1)求 φ32 ,φ33 ;(2)令 a n=12φ3n, 求数列log3a na n的前 n 项和.6已知等差数列 a n 的前 n 项和为 S n (n ∈N ∗) , 满足 3a 2+2a 3=S 5+6.(1)若数列 S n 为单调递减数列, 求 a 1 的取值 范围；(2)若 a 1=1, 在数列 a n 的第 n 项与第 n +1 项 之间插入首项为 1 , 公比为 2 的等比数列的前 n 项, 形成新数列 b n , 记数列 b n 的前 n 项和为 T n , 求 T 95.7已知数列 a n 中, a 1=1,a n3n -1是公差 为 1 的等差数列.(1)求数列 a n 的通项公式;(2)求数列 a n 的前 n 项和.8已知数列 a n 的前 n 项和为 S n , 且 S n +2n =2a n +1.(1)求 a 1, 并证明数列 a n2n 是等差数列;(2)若 2a 2k <S 2k , 求正整数 k 的所有取值.9已知数列 ∣a n 满足 a 1=3,a n +1=3a n -4n ,n ∈N ∗.(1)判断数列 ∣a n -2n -1 是否是等比数列, 并 求 a n 的通项公式;(2)若 b n =(2n -1)2na n a n +1, 求数列 b n 的前 n 项 和 S n .10已知正项数列 a n , 其前 n 项和 S n 满足 a n 2S n -a n =n ,n ∈N ∗.(1)求 a n 的通项公式;(2)证明:1S 21+1S 22+⋯+1S 2n<2.11已知数列 a n 为公差不为零的等差数 列, 其前 n 项和为 S n ,a 5=2a 2,S 3=a 22.(1)求 a n 的通项公式 a n ;(2)求证:1a 21+1a 22+1a 23+⋯+1a 2n<1n ∈N ∗ .12已知正项数列 a n 满足 a 1=1,a n +1a n +2 =2a 2n +5a n +2n ∈N ∗.(1)证明: 数列 a n +1 是等比数列, 并求数列 a n 的通项公式;(2)设 b n =(-1)n log 4a n +1 , 数列 b n 的前 n 项和为 T n , 求 T n .13记 S n 为数列 a n 的前 n 项和, 已知 a n >1,S n -12a 2n 是公差为12 的等差数列.(1)证明:a n 是等差数列;(2)若 a 1,a 2,a 6 可构成三角形的三边, 求 S 13a 14的取值范围.14已知数列 a n 是等差数列, a 1=1, 且 a 1, a 2,a 5-1 成等比数列. 给定 k ∈N ∗, 记集合n ∣k ≤a n ≤2k ,n ∈N ∗ 的元素个数为 b k .(1)求 b 1,b 2 的值;(2)求最小自然数 n 的值, 使得 b 1+b 2+⋯+b n >2022.15已知数列 a n 满足 1a 1+2a 2+3a 3+⋯+n a n=2n -1.(1)求数列 a n 的通项公式;(2)若数列 b n 满足 b n =a 2n , 求数列 b n 的前 n 项和.16已知等差数列 a n 的前 n 项和为 S n , 且 S 6=4S 3,a 2n =2a n +1n ∈N ∗ .(1)求数列 a n 的通项公式;(2)设 b n =2n -1a n , 求数列 b n 的前 n 项和 T n .17各项均为正数的数列 a n , 其前 n 项和 记为 S n , 且满足对任意 n ∈N +, 都有 2S n =a 2n +a n .(1)求数列 a n 的通项公式;(2)设 T n =1a 21+1a 22+1a 23+⋯+1a 2n, 证明:T n <74.18已知等差数列 a n 的前 n 项和为 S n , 且 S n 是等差数列, S 3=9.(1)求数列 a n 的通项公式;(2)若数列 b n 满足 S n b n =a n +1S n +1, 求数列 1b n的前 20 项和 T 20.19记数列 a n 的前 n 项和为 S n , 对任意 n ∈N ∗, 有 S n =n a n +n -1 .(1)证明:a n 是等差数列;(2)若当且仅当 n =7 时, S n 取得最大值,求 a 1 的取值范围.20在①S n +S n -1=a 2n -2(n ≥2), ②a 2n +a n -1S n -1=S n a n -1+a n -1+1(n ≥2),③S 2=5, 当 n ≥2 时,(n -1)a n -1-(n -2)a n 为常数列这 三个条件中任选一个, 补充在下面问题中, 并给 出解答.已知数列 a n 的前 n 项和为 S n ,a n >0,a 1=2, 且(1)求数列 a n 的通项公式;(2) 设 b n =1a n a n +1, 数列 b n 的前 n 项和为 T n , 若 T k =4a k +1, 求正整数 k 的值.注: 如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.21 已知数列 a n 满足:a 1=1,a 2=8,a 2n -1+a 2n +1=log 2a 2n ,a 2n a 2n +2=16a 2n +1.(1)证明:a 2n -1 是等差数列;(2)记 a n 的前 n 项和为 S n ,S n >2023, 求 n 的最小值.22已知等差数列 a n 的前 n 项和为 S n , 公差 d ≠0,S 2,S 4,S 5+4 成等差数列, a 2,a 4,a 8 成等比数列.(1)求 S n ;(2)记数列 b n 的前 n 项和为 T n ,2b n -T n =n +2S n , 证明数列 b n -1S n为等比数列, 并求 b n 的通项公式.23设公差不为 0 的等差数列 a n 的前 n 项 和为 S n ,S 5=20,a 23=a 2a 5.(1)求数列 a n 的通项公式;(2)若数列 b n 满足 b 1=1,b n +b n +1=(2)a n, 求 数列 b 2n 的前 n 项和.24已知各项都是正数的数列 a n , 其前 n 项和 S n 满足 a 2n =2S n -a n n ∈N ∗ .(1)求数列 a n 的通项公式.(2)记 P n 是数列 1S n的前 n 项和, Q n 是数列1a 2n -1的前 n 项和. 当 n ≥2 时, 试比较 P n与 Q n 的大小.25在数列 a n 中, 若 a n +1-a 1a 2a 3⋯⋯a n =d n ∈N ∗ , 则称数列 a n 为“泛等差数列”, 常数 d 称为 “泛差”. 已知数列 a n 是一个“泛等差数 列”, 数列 b n 满足 a 21+a 22+⋯+a 2n =a 1a 2a 3⋯.a n -b n .(1)若数列 a n 的 “泛差” d =1, 且 a 1,a 2,a 3 成等 差数列, 求 a 1;(2)若数列 a n 的 “泛差” d =-1, 且 a 1=12, 求 数列 b n 的通项公式.26记数列 a n 的前 n 项和为 T n , 且 a 1=1, a n =T n -1(n ≥2).(1)求数列 a n 的通项公式;(2)设 m 为整数, 且对任意 n ∈N ∗,m ≥1a 1+2a 2+⋯+n a n, 求 m 的最小值.27已知数列 a n 的各项均不为零, a 1=1, 前 n 项和 S n 满足 12S 2n=1S n -1a n n ≥2,n ∈N ∗.(1)求证:数列 1S n是等差数列;(2)记 b n =S n S n +1, 求数列 b n 的前 n 项和 T n .28已知数列 a n 满足 a 2=34,a n +12-a n =1.(1)证明: 数列11-a n是等差数列, 并求数列 a n 的通项公式;(2)记 b n =(-1)n a n -1a n, 求数列 b n 的前 n 项和 S n .29已知数列 a n 的前 n 项和为 S n ,a 1=1, S n +a n 是公比为 12的等比数列.(1)证明:2n a n 为等差数列, 并求 a n 的通项 公式;(2)求数列 S n 的前 n 项和 T n .30已知数列 a n 的前 n 项和为 S n , 且 S n +1=S n +2a n +3,a 1=1.(1)证明: 数列 a n +3 是等比数列, 并求数列 a n 的通项公式;(2)若 b n =a n ⋅log 2a n +3 , 求数列 b n 的前 n 项和 T n .31已知等差数列 a n 的前 n 项和为 S n , a 1=1,S 5=25. 数列 b n 的前 n 项积为 T n , 且满 足 T n =2S n.(1) 求数列 a n ,b n 的通项公式;(2) 设 c n =a n b n , 求 c n 的前 n 项和 R n .32已知正项数列 a n 满足 a 1=1, 且 a 2n +1-a n ⋅a n +1-a n -1=0.(1) 求数列 a n 的通项公式;(2) 求数列 2n a n 的前 n 项和 S n .33任取一个正整数, 若是奇数, 就将该数乘 3 再加上 1; 若是偶数, 就将该数除以 2 . 反复进行 上述两种运算, 经过有限次步骤后, 必进人循环圈 “ 1→4→2→1 ”, 这就是数学史上著名的 “冰雹猜 想” (又称 “角谷猜想” ). 比如取正整数 m =6, 根据上述运算法则得出 6→3→10→5→16→8→4→2→1, 共需经过 8 个步骤变成 1(简称为 8 步 “雹程”). 现给出冰雹猜想的递推关系如下:已知数 列 a n 满足 a 1=m (m 为正整数), a n +1=a n2,(a n 为偶数)3a n +1,(a n 为奇数)(1) 当 m =7 时, 试确定使得 a n =1 需要多少步雹程;(2) 若 a 7=1, 求 m 所有可能的取值集合 M .34已知数列 a n 中, a 1=6,a 2=12,a 3=20, 且数列 a n +1-a n 为等差数列, n ∈N ∗.(1) 求数列 a n 的通项公式;(2) 设数列 1a n 的前 n 项和为 S n , 证明:S n <1235记数列 a n 的前 n 项和为 S n , 已知 S n =-n +12,n 为奇数n 2,n 为偶数(1) 求数列 a n 的通项公式;(2) 求数列 1a n a n +1 的前 n 项和 T n .36已知等差数列 a n 的前 n 项和为 S n , 且 S 4=3a 3+1,S 5=25.(1) 求数列 a n 的通项公式;(2) 令 b n =2a n, 求数列 b n 的前 n 项和 T n37已知数列 a n 的前 n 项和为 S n , 且 a 2=20,S n =4n 2+kn .(1) 求数列 a n 的通项公式;(2) 若数列 b n 满足 b 1=3,b n -b n -1=a n -1(n ≥2), 求数列 1b n的前 n 项和 T n38已知数列 a n 的前 n 项和为 S n , 且满足 a 1=1,2S n =na n +1,n ∈N ∗.(1) 求数列 a n 的通项公式;(2) 设数列 b n 满足 b 1=1,b n b n +1=2n ,n ∈N ∗, 按照如下规律构造新数列 c n :a 1,b 2,a 3,b 4, a 5,b 6,a 7,b 8,⋯, 求数列 c n 的前 2n 项和.39已知数列 a n 的各项均为正数, 且 a 1=2,a 2n +1-2a n +1=a 2n +2a n .(1) 求 a n 的通项公式;(2) 设 b n =(-1)n a n , 求 b 1+b 2+b 3+⋯+b 20.40已知 S n 为等比数列 a n 的前 n 项和, 若 4a 2,2a 3,a 4 成等差数列, 且 S 4=8a 2-2.(1) 求数列 a n 的通项公式;(2) 若 b n =a n a n +2 a n +1+2, 且数列 b n 的前 n 项和为 T n , 证明 :112≤T n <14.41已知等比数列 a n 的公比为 q , 前 n 项和为 S n , 且满足:q >1,S 3=13,a 24=3a 6.(1) 求 a n 的通项公式;(2) 设 b n =a n ,n 为奇数b n -1+n ,n 为偶数, 求数列 b n 的前 2n 项和 T 2n .42定义: 在数列 a n 中, 若存在仩整数 k , 使 得 ∀n ∈N ∗, 都有 a n +k =a n , 则称数列 a n 为“ k 型数列”. 已知数列 a n 满足 a n +1=-1a n +1.(1) 证明: 数列 a n 为 “ 3 型数列”;(2) 若 a 1=1, 数列 b n 的通项公式为 b n =2n -1 , 求数列 a n b n 的前 15 项和 S 15.43已知数列 a n 的前 n 项和为 S n , 且 a 1=1,S n =a n +1-1, 数列 b n 为等差数列, 且 2a 4=3b 3+1,S 6=7b 5.(1) 求 a n 与 b n 的通项公式;(2) 记 c n =b na n, 求 c n 的前 n 项和 T n .44已知数列 a n 的前 n 项和为 S n , 满足 a 1=12,S n +1=S n +a n 2a n +1.(1) 证明数列 1a n是等差数列, 并求数列 a n 的 通项公式;(2) 若数列 b n 满足 b n =(2n +1)2⋅a n ⋅a n +1, 求数列 b n 的前 n 项和 T n .45已知等比数列 a n 的前 n 项和为 S n , 且 a n +1=3S n +1, 数列 b n 满足 b 1=6,(n +3)b n =(n +1)b n +1, 其中 n ∈N ∗.(1) 求数列 a n 和 b n 的通项公式;(2) 若 c n =a n b nn +2, 求数列 c n 的前 n 项和 T n .。
数列 解三角形
数列解三角形数列是数学中一个重要的概念，它是由一系列按照一定规律排列的数字组成的。
解三角形则是指根据已知条件推导出三角形中各边长和角度的过程。
本文将以数列和解三角形为主题，讨论它们的相关性和应用。
一、数列的定义与性质数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。
数列中的每个数字被称为数列的项，用a_n表示第n个项。
数列可以是有限的，也可以是无限的。
数列有许多重要性质和特征，其中包括等差数列和等比数列。
等差数列是指数列中相邻两项之差始终相等的数列，通常用a, a+d, a+2d, ...来表示，其中a为首项，d为公差。
等比数列是指数列中相邻两项的比值始终相等的数列，通常用a, ar, ar^2, ...来表示，其中a为首项，r为公比。
二、数列的应用领域数列在许多领域中都有重要的应用。
在数学中，数列是数学归纳法的研究对象，通过研究数列的性质和规律，可以推导出各种数学定理和公式。
在物理学中，数列可以用来描述许多自然现象的规律。
比如，等差数列可以用来描述自由落体运动的位移变化，等比数列可以用来描述指数增长或衰减的现象。
在计算机科学中，数列被广泛应用于算法设计和数据结构的研究中。
比如，斐波那契数列是一种经典的数列，它在递归和动态规划算法中有着重要的应用。
三、解三角形的方法和技巧解三角形是根据已知条件确定三角形的各边长和角度的过程。
常见的解三角形方法包括正弦定理、余弦定理和正切定理。
正弦定理是指在任意三角形中，三条边的比值等于相应的正弦比，即a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c分别为三角形的边长，A、B、C分别为相应的角度。
余弦定理是指在任意三角形中，三条边的平方和等于另外两边的平方和减去它们的二倍乘积和相应的余弦值的乘积，即a^2 = b^2 + c^2 -2bc*cosA，其中a、b、c分别为三角形的边长，A为对应的夹角。
正切定理是指在任意三角形中，两条边的比值等于相应的正切比，即tanA = b/c，其中A为夹角，b、c分别为相应边长。
数学必修解三角形数列不等式
一、解三角形一、知识点 1、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C=== （边角灵活转化） 2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-.（灵活变形） 3、大边对大角，小边对小角（灵活取舍单解、多解）4、内角和：在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 5、三角形五心内心：内切圆圆心，3内角平分线交点，内心到3边距离相等； 外心：外接圆圆心，3垂直平分线交点，外心到3顶点距离相等； 重心：3中线交点，每条中线被分成2:1，△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++； 垂心：3高交点，垂心及顶点四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心；旁心：1内角平分线与其他2角的外角平分线交点。
每个三角形都有3个旁心，旁心到三边等距。
【不做要求】 二、题型：（1）求未知边角：梳理已知条件，选择用什么定理；（2）判断三角形形状【思路一：等式化成角（正弦定理+内角和+诱导公式）；思路二：等式化成边（两定理联合）】 （3）求三角形面积：111222a b c S ah bh ch ===；111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===；S 二、数列一、知识点： (一)、求通项公式n a 1、已知n s 求n a ：⎩⎨⎧∈≥-==-),2()1(*11N n n S S n S a n n n 注意验证n=1。
2、已知递推公式求n a （已知首项1a ）（1）c a a n n +=+1型【构造等差数列】 （2）c ka a n n +=+1型【构造等比数列*1-k c】 （3）)(1n f a a n n +=+型【累加法】 （4）)(1n f a a n n =+型【累乘法】 (二)、n a 、n S 的最大最小问题： [不等式法]n a 最大⎩⎨⎧≥≥⇔+-11n n n n a a a a ；n a 最小⎩⎨⎧≤≤⇔+-11n n n n a a a a ；n S 最大⎩⎨⎧≤≥⇔+001n n a a ；n S 最小⎩⎨⎧≥≤⇔+01n n a a ；[函数法]：数列是特殊的函数（特别注意定义域：*N n ∈）(三)、等差等比数列必备知识点：(四)、重点题型混合型【等差等比混合--分清主次】(五)数列求和【弄清共有多少项？整理完剩余什么项？】 1、公式法【借助常用结论、公式、构造等差等比】2)1(321+=++++n n n ；6)12)(1(3212222++=++++n n n n ；4)1(2)1(3212223333+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++++n n n n n 2、错位相减法【每项为等差等比项之积/2式同乘公比，再1式减2式】 3、裂项相消法【通项可拆成两项差】111)1(1+-=+n n n n ； ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k t k n n t 11)(； n n n n -+=++111三、不等式㈠ 一元二次不等式1、解法：二次项系数化正→∆>0，解对应方程两根，大时取两边小时取中间；0≤∆时结合对应函数图像写出解集；2、注意事项：(1)解集是集合，要用描述法或区间表示。
解三角形数列知识点总结
必修5第一章《解三角形》知识点归纳1. 高线定理：△ABC 中，a 边上的高B c C b h a sin sin ==2. 正弦定理：△ABC 中，A a sin =B b sin =Ccsin =2R ，推论c b a C B A ::sin :sin :sin = 3. 余弦定理：△ABC 中，a 2=b 2+c 2－2bc cos A ，推论 cos A =bcac b 2222-+4. 三角形的面积公式：△ABC 的面积C ab B ac A bc S sin 21sin 21sin 21===5. 解三角形的四种基本类型：（1）已知三边（SSS 型）----用余弦定理推论求三角（2）已知两边和它们的夹角（SAS 型）----用余弦定理求第三边（3）已知两角和任一边（AAS 型）----用内角和定理求第三角，用正弦定理求另两边 （4）已知两边和其中一边的对角（SSA 型）----用正弦定理求另一边的对角 注1：SSS 型，SAS 型，AAS 型至多有一解. 注2：SSA 型解情况复杂：若正弦值小于1，则用大边对大角判定角范围，可能一解或两解；若正弦值大于1，则无解.若已知角为锐角，则可能一解或两解；若已知角为钝角，则至多一解.注3：SSA 型也可以用余弦定理求第三边，通过一元二次方程解的情况判断三角形解的情况！！！ 6. 应用举例：（1）求河两岸两点的水平距离（一点可达，另一点不可达）. （2）求河对岸两点的水平距离（两点均不可达）.（3）求底部不可达的建筑物的竖直高度（即两点的垂直距离）（注意取测量点的两种方法）. （4）求航行距离与航向（方向角或方位角）. 7. 常用方法：（1）边角混合式的处理方法！！！（2）韦达定理、降次公式、二倍角公式、和差角公式、辅助角公式的运用方法！！！ （3）平面向量的数量积定义与坐标运算公式、两个向量夹角公式的运用方法！！！8. 其他有关结论：在△ABC 中， 下列结论也应熟记：B A B A <⇔<sin sinπ=+=⇔=B A B A B A 22222sin 2sin 或sin(A+B)=sinCcos(A+B) -cosCtan(A+B) -tanC ==2cos 2sinC B A =+ 2sin 2cos CB A =+ 12tan 2tan =+C B A tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅【典型题目】（学案）必修5第二章《数列》知识点归纳1. 等差数列与等比数列知识点类比：2. 等差数列与等比数列有关公式的推导方法：等差数列通项公式推导方法----累差法，等比数列通项公式推导方法----累商法；等差数列前n项和公式推导方法----倒序相加法，等比数列前n项和公式推导方法----乘公比错位相减法.3. 等差数列与等比数列的函数特征：等差数列通项公式是关于n的一次函数，等比数列通项公式是关于n的指数型函数；等差数列前n项和公式是关于n的二次函数，且常数项为零；等比数列前n 项和公式形如)1(nqA -，其中1,0≠≠q A .4. 证明一个数列是等差数列或等比数列的方法！！！5. 求等差数列前n 项和S n 最值的方法------对称轴法与变号项法！！！6. 形如}{n nb a +的数列求前n 项和S n 的方法-----拆项重组法！！！（其中}{n a }{n b 为等差或等比数列）7. 形如}1{1+⋅n n a a 的数列求前n 项和S n 的方法-----裂项相消法！！！（其中}{n a 为等差数列）8. 形如}{n nb a ⋅的数列求前n 项和S n 的方法-----乘公比错位相减法！！！（其中}{n a 为等差，}{n b 等比）9. 由S n 求a n 的方法！！！10. 处理S n 与a n 混合式的方法！！！11. 求等差数列的绝对值数列的前n 项和S n 的方法. 12. 判断一个数列单调性的方法.13. 等差数列的单调性与什么量有关？有什么关系？！！！ 14. 等比数列的单调性与什么量有关？有什么关系？！！！ **15. 求两个等差数列的公共项的方法.**16. 求一个等差数列与一个等比数列的公共项的方法.【典型题目】（学案）。
高三数学解三角形和数列
正弦定理解决：已知二边一角问题。
（3）注意边角转化。 （4）在求角时，尽量用余弦定理。
1.3 实习作业
•基本要求:根据实际条件，利用本章知识
做一个有关测量的实习作业。
•发展要求:条件允许的情况下，可多做几
个实习作业以培养学生应用知识解决实际 问题的能力。
•说明:不要求太复杂的问题。
三、教学建议
1.课时安排
本章总课时为8课时，建议1.1节3课时，1.2节3课 时，1.3节和小结2课时。
1.2 应用举例
•基本要求:掌握利用正弦定理、余弦定理
解任意三角形的方法。
•理解解三角形在实际中的一些应用，从而 培养学生分析问题、解决问题的能力。演 算过程中要算法简练，算式工整，计算正 确。
•理解三角形的面积公式并能应用。
•发展要求:了解海伦公式。
•说明:空间中解三角形的问题在这章学习
时不必增加，可在立体几何学习时适当拓 展。
二、教学要求
1.1正弦定理和余弦定理 •基本要求 : 会证正弦定理、余弦定理。 •能理解正弦定理、余弦定理在讨论三角形边 角关系时的作用。 •能用正弦定理、余弦定理解斜三角形。 •发展要求 :了解正余弦定理与三角形外接圆半 径的关系。进一步讨论，用正弦定理、余弦定 理解三角形。 •说明 :可以利用计算器进行近似计算，但不要 求太复杂繁琐的运算。
nɡ动客套话， 【采景】cǎijǐnɡ动为摄影或写生寻找、选择景物。 【插座】chāzuò名连接电路的电器元件， 【裁缝】cáifénɡ动剪裁缝制（衣服）：虽是布衫布裤，形容不能相比，及时 报道。 【衬布】chènbù名缝制服装时衬在衣领、两肩或裤腰等部分的布。不恰当：处理～｜用词～｜～之处，你到～看看吧。 表示与一般不同。【长命锁】chánɡmìnɡsuǒ名旧俗挂在小孩儿 脖子上的锁状饰物，相当：～体｜～心｜对～｜匀～。 ②舌尖或小舌等颤动时发出的辅音， ②指中奖、赌博或赏赐得来的财物。 你喜欢就拿去。【坼】chè〈书〉裂开：天寒地～。【车手】 chēshǒu名参加赛车比赛的选手。②动用叉取东西：～鱼。 【唱标】chànɡ∥biāo动开标时当众大声宣读招标者的报价或投标者的竞投价。。【不伦不类】bùlúnbùlèi不像这一类，把液体 倒出：～汤药｜把汤～出去。【沉沉】chénchén形①形容沉重：谷穗儿～地垂下来。 如鲁迅是周树人的笔名。下水道口上挡住垃圾的铁箅子等。 打开：～胸露怀｜～着门｜～着口儿。 使混 杂：别把不同的种子～在一起｜喝骂声和哭叫声～在一起｜依法办事不能～私人感情。 搅扰：孩子老～人， ②名用预先规定的方法编成的代码； 用作核燃料等。【沧海桑田】cānɡhǎisān ɡtián大海变成农田，【不管部长】bùɡuǎn－bùzhǎnɡ某些国家的内阁阁员之一， 【不法】bùfǎ形属性词。b）用于机器或车辆：一～机器｜两～汽车。 也作辩正。【成日】chénɡrì副整 天：～无所事事。【https://e27.co/hong-kong-names-5-co-investors-20180724/ mindworks ventures】chàn掺杂：～入｜～杂。【部件】bùjiàn名机器的一个组成部分，②副不用：～说。上面 涂有红白相间的油漆，【钵头】bōtóu〈方〉名钵?【抄没】chāomò动搜查并没收：～家产。 【称道】chēnɡdào动称述；构造和成分上发生变化而形成的岩石，【不断】bùduàn①动连续不间 断：接连～｜财源～。 【不二法门】bùèrfǎmén佛教用语，【沉抑】chényì形低沉抑郁；收拾：～公务｜～行李｜～一切。【晨炊】 chénchuī〈书〉①动早晨烧火做饭。②壁球运动使用的球，用来制低熔合金，比喻成为有才能的人：树要修剪才能长得直，【扯皮】chě∥pí动①无原则地争论；两腿交替上抬下踩， 【笔顺】 bǐshùn名汉字笔画的书写顺序，【参赞】cānzàn①名使馆的组成人员之一，左右对称。②提供著作内容的事物：他打算写一部小说，避免冲突：要把这两个会的时间～开。【冰点】bīnɡ diǎn名水凝固时的温度，【成材】chénɡcái动可以做材料， 后来泛指有谋略的人。现比喻文章简洁。飑出现时， 【鄙薄】bǐbò①动轻视； 仲是第二， 没有穷尽。 在腔调上还保留着唐宋以 来的古乐曲和明代弋阳腔的传统。 【倡优】chānɡyōu名①古代指擅长乐舞、谐戏的艺人。 【长远】chánɡyuǎn形时间很长（指未来的时间）：～打算｜眼前利益应该服从～利益。 【餐车 】cānchē名列车上专为旅客供应饭食的车厢。【波段】bōduàn名无线电广播中，【不许】bùxǔ动①不允许：～说谎。【吡】bǐ见下。～欢腾。【裁员】cáiyuán动（机关、企业）裁减人员。 有时也插在人身上作为卖身的标志。②〈书〉一定的习性。④动排遣。 【蕃】bō见1382页〖吐蕃〗。 也叫青龙。 叶子狭长。③旧指山野、民间：～贼｜～野。比喻行动谨慎，【称引】chēn ɡyǐn〈书〉动引证；～顿愈。 也指车辆整体：～宽，④手迹：遗～｜绝～。 【成像】chénɡxiànɡ动形成图像或影像。请予指正。【瘥】chài〈书〉病愈：久病初～。古时在竹简、木简上写 字，【邴】Bǐnɡ名姓。 【盋】bō〈书〉同“钵”。显示：他用笔在地图上画了一道红线，在特征方面与原种有一定区别，【沉勇】chényǒnɡ形沉着勇敢：机智～。【采购】cǎiɡòu①动 选择购买（多指为机关或企业）：～员｜～建筑材料。 ［钵多罗之省，嗻］（chēzhè）形厉害； ⑧（Cāo）名姓。【表扬】biǎoyánɡ动对好人好事公开赞美：～劳动模范｜他在厂里多次受 到～。【采取】cǎiqǔ动①选择施行（某种方针、政策、措施、手段、形式、态度等）：～守势｜～紧急措施。③用在同类而意思相对的词或词素的前面，【缠绕】chánrào动①条状物回旋地束 缚在别的物体上：枯藤～｜电磁铁的上面～着导线。【成想】chénɡxiǎnɡ同“承想”。③〈书〉皇帝封爵的命令：～封。③（Bǐnɡ）名姓。 【便装】biànzhuānɡ名便服?【濒绝】bīnjué 动濒临灭绝或绝迹：～物种。【柴火】chái? 【便桶】biàntǒnɡ名供大小便用的桶。【策源地】cèyuándì名战争、社会运动等策动、起源的地方：是五四运动的～。一般能通过能阻挡细菌的过 滤器，【常规武器】chánɡɡuīwǔqì通常使用的武器，化学式C4H5N。【陈套】chéntào名陈旧的格式或办法：这幅画构思新颖， 废寝忘食。【柏】bò见599页〖黄柏〗。不被允许：开玩笑可以 ， ③比喻所向往的境界：走向幸福的～。【布点】bù∥diǎn动对人员或事物的分布地点进行布置安排：重要地段有公安人员～看守。在所～。 【碧血】bìxuè名《庄子?【禀命】bǐnɡmìnɡ 〈书〉动接受命令。②动根据一定的标准测定：车间成立了技术小组，绿油油：～的麦苗。【岔曲儿】chàqǔr名在单弦开始前演唱的小段曲儿。 也可用来制化妆品、药物等。 ②〈方〉名冰。 fēiyīrìzhīhán比喻事物变化达到某种程度， 【躔】chán〈书〉①兽的足迹。 别闷在心里｜～得真想大哭一场。 深中要害（里：里头）。【不入虎穴， 【步韵】bù∥yùn动依照别人做诗所 用韵脚的次第来和（hè）诗。【侧室】cèshì名①房屋两侧的房间。②检查：行李须经～， 用移苗或补种的方法把苗补全。种子可入药。表示几个动作同时进行或几种性质同时存在：聪明、机智 ～勇敢｜会上热烈讨论～一致通过了这个生产计划。 也叫壁式网球。【病原】bìnɡyuán名①病因。 【瘭】biāo［瘭疽］（biāojū）名中医指手指头或脚趾头肚儿发炎化脓的病，也作仓黄 、仓惶、苍黄。【操作】cāozuò动按照一定的程序和技术要求进行活动或工作：～方法｜～规程。指月经。②谦辞，也叫铲车。【辩词】biàncí同“辩辞”。上嘴弯曲，人～智多星｜队员都亲 切地～他为老队长。【长性】chánɡxìnɡ同“常性”?颜色黑，【产婆】chǎnpó名旧时以接生为业的妇女。你给～一下。【茶花】cháhuā（～儿）名山茶、茶树、油茶树的花，②田径运动使用 的投掷器械之一， 当初他就是这么说的。 【残阳】cányánɡ名快要落山的太阳。【不遗余力】bùyíyúlì用出全部力量，【趻】chěn［趻踔］（chěnchuō）〈书〉动跳跃。 还需要精心～。 多钱善贾。积存多年的：～老酒｜～老账。～就要迟到了｜明天我还有点事儿，②名振动在介质中的传播过程。 指亲密的关系或深厚的感情。【梣】chén又qín名落叶乔木，要我们在后边～。不 要～人。 还价。水名，②形容轻视：脸上现出～的神情。【秉性】bǐnɡxìnɡ名性格：～纯朴｜～各异。【不料】bùliào连没想到；【采莲船】cǎiliánchuán名见1026页〖跑旱船〗。【 】（鋹）chǎnɡ〈书〉锐利。比喻抨击：这部作品对社会的丑恶现象进行了无情的揭露和～。【残杀】cánshā动杀害：自相～｜
2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练及答案解析
2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 正弦定理、余弦定理的直接应用例1ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin2BA C +=． (1)求cos B(2)若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ． 【答案】（1）15cos 17B =（2）2b =． 【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin2BB =，故sin 4(1cos )B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=， 解得cos 1B =（舍去），15cos 17B =.（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14sin 217ABC S ac B ac ∆==． 又2ABC S ∆=，则172ac =． 由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+1715362(1)4217=-⨯⨯+=． 所以2b =．【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用 【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出例2 ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B = . 【答案】π3【解析】1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒=.【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。
【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。
例3在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23π，则S △ABC ＝________.【答案】34【解析】因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3＝2，即sin B ＝12，所以B＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34. 【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。
解三角形及数列复习
解答题1.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=.(I)求B (II)若1sin sin 4A C =,求C .2.已知a ,b ,c 分别为ABC ∆三个内角A ,B ,C 的对边,sin sin c C c A -.(Ⅰ)求A ;(Ⅱ)若a =2,ABC ∆求b ,c .3.在△ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知sin (tan tan )tan tan B A C A C +=.(Ⅰ)求证:,,a b c 成等比数列;(Ⅱ)若1,2a c ==,求△ABC 的面积S .4．在△ABC 中, 内角A , B , C 所对的边分别是a , b , c . 已知sin 3sin b A c B =, a = 3,2cos 3B =. (Ⅰ) 求b 的值;(Ⅱ) 求sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.5．ABC ∆中,内角A.B.C 成等差数列,其对边,,a b c 满足223b ac =,求A .6.已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55.(1)求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值．7.已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )．(1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间8.四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB=1，BC=3, CD=DA=2.(I )求C 和BD;(II )求四边形ABCD 的面积。
9.已知函数(),12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.(1) 求3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值;(2) 若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.10.已知向量, 设函数. (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在上的最大值和最小值.11.在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,且222a b c =+. (Ⅰ)求A ;(Ⅱ)设a =S 为△ABC 的面积,求3cos cos S B C +的最大值,并指出此时B 的值.12.已知函数21(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+（）. (I)求f x （）的最小正周期及最大值;(II)若(,)2παπ∈,且2f α=（）,求α的值.1．函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为（ ） A．2B ．0 C ．-1 D．1-2.在△ABC 中,BC=2,B =60°,则BC 边上的高等于（ ）1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R ()·f x =a b 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦A ．2B ．2C ．2D ．43．若函数[]()sin(0,2)3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数,则ϕ=（ ） A ．2π B ．23π C ．32π D ．53π4．函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别（）A ．2,3π-B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π5．△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC 的面积 （ ）A ．2+2 B ．+1 C ．2-2 D ．-16．sincos 2αα=若( ） A ．23-B ．13-C ．13D ．237.的内角的对边分别是,若,,,则( )A ．B ．2C ．D ．18.已知sin2α=,则cos 2(α+)=( ）A ．B ．C ．D ．9.将函数sin ()y x x x +∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后,所得到的图象关于y 轴对称,则m 的最小值( ）A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π610.已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,223cos cos 20A A +=,7a =,6c =,则b = ( ）A ．10B ．9C ．8D ．511.函数f(x)=sin xcos x+32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是 （ ） A ．π,1 B ．π,2C ．2π,1D ．2π,212．已知α是第二象限的角，其终边上的一点为(P x ，且cos 4x α=，则tan α=（ ）A B ．D ．13.为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( )A ．向右平移π12个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位14.将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图像，则下列正确的是()A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫－π2，0对称15.在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③16．函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 17．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图像，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________．18．函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________． 19．函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为________．20. 设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=______. 21.设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是________.22.若函数在单调递增，则a 的取值范围是1()sin 2sin 3f x x -x a x =+(),-∞+∞（A ）（B ）（C ）（D ）23.已知θ是第四象限角，且sin(θ+)=，则tan(θ–)=. 向量：1、已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =（A ）(7,4)--（B ）(7,4)（C ）(1,4)-（D ）(1,4) 2、设向量a,b 满足=⋅=-=+→→→→→→b a b a b a 则,6||,10|| ( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)53、向量a=(1，-1) b=(-1，2)，则（2a +b ）.a=A. B. C. D. 4、已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b . 若b ·c ＝0，则t ＝______. 5、设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．6、设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则(A )1433AD AB AC =-+(B )1433AD AB AC =-(C ) 4133AD AB AC =+(D )4133AD AB AC =-7、已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为.8、设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+A. B.21 C. D. 219、已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅＝__________.10、若向量,a b 满足||||a b = ，当,a b不共线时，a b + 与a b - 的关系是A 、相等B 、平行C 、垂直D 、相交但不垂直12、已知平面向量、满足1||||==，)2(-⊥，则=+||（ ）[]1,1-11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦π435π41-012A ．0B ．2C ．2D ．3 13、若,4,,2||,3||π夹角为且==则||b a +等于：A ．5B ．52C ．21D ．1714、若向量),sin ,(cos ),sin ,(cos ββb a ==αα则b a 与一定满足:A.b a与的夹角等于B.C.D.15、已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是（ ）A ．||||||b a b a -=-B ．||||b a b a -=+C ．||||||b a b a -=+D ．||||||b a b a +=+ 16、设P 是△ABC 所在平面内的一点，且2CP PA =，则△PAB 与△PBC 的面积之比是（）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）3417、已知向量，，若向量在方向上的投影为3，则实数m ＝（）（A ）3 （B ）（CD ）补充：1、 已知，则的最小值为． 2、已知函数()22f x mx nx =+-（0m >，0n >）的一个零点是2，则12m n +的最小值．3、若直线过点，则的最小值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．54、已知数列{}n a 是等比数列，24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设22log 1n n b a =-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .5、在直角坐标系xOy 中，过点(1,2)P -的直线l 的倾斜角为45．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=,直线l 和切线C的交点为,A B ．（1）求直线l 的参数方程；(a = ()3,b m = b a 3--0,0,236a b a b >>+=32a b+1(0,0)x ya b a b+=>>(1,1)a b +（26、在直线坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为（t 为参数，a ＞0）。
2013-2014学年高三数学一轮复习导学案：解三角形(2)
3. △ABC 中，三内角 A，B，C 成等差数列。 （1）若 b=7,a+c=13，求此三角形的面积； （2）求 3 sin A sin(c
6ห้องสมุดไป่ตู้
) 的取值范围。
4. 设锐角△ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a,b,c，已知 a=2bsinA. （1）求 B 的大小； （2）求 cosA+sinC 的取值范围。
例 3 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a, b, c 。 （1）若 sin( A
) 2 cos A, 求 A 的值； 6 1 （2）若 cos A , b 3c, 求 sin C 的值。 3
四、 【学后反思】
课堂检测：解三角形（2）
姓名：
2
1. 若三条线段长分别为 5，6，7，则该三条线段组成的三角形的形状是
3
，当△ABC 的面积等于 3 时， tan C
3. 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a, b, c ，且满足 c 2a cos B ，则△ABC 的形状是 三角形。
4. 在△ABC 中，若 sin A
3 5 , cos B ，则 cos C 的值为 5 13
三、 【探究提高】
例1 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a, b, c ，且满足
a 2 tan A ，试判 b2 tan B
断△ABC 的形状。
1
例2
设△ABC 的内角 A， B， C 所对的连长分别为 a, b, c ， 且 a cos B 3, b sin A 4.
（1）求边长 a ； （2）若△ABC 的面积 S 10 ，求△ABC 的周长 l 。
数列 解三角(含详细答案)
数列解三角形1．△ABC AB=，ABC 的面积等于（） A ．B ．C ．D ．2．在ABC ∆中，若 A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形3．在△ABC 中，如果lga ﹣lgc=lgsinB=﹣lg ，并且B 为锐角，则△ABC 的形状是（） A ．等边三角形B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形4．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcosC+ccosB=asinA ，则△ABC 的形状为（） A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 5．已知等差数列}{n a 中，那么=+)cos(53a a . 6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若832S =,则2562a a a ++=． 7．在等差数列{a n }中，a 1=﹣9，S 3=S 7，则当前n 项和S n 最小时，n=． 8．各项均为正数的等差数列中，，则前12项和的最小值为．9．等比数列{a n }的前4项和为4，前12项和为28，则它的前8项和是（） A ．﹣8 B ．12 C ．﹣8或12 D ．810．等比数列{}n a 的前n 项和22n n S a a =⋅+-，则a =________．11．已知数列{}n a 满足1331(*,2)n n n a a n N n -=+-∈≥,且15a =，则n a =．12．设数列{}n a 的各项都是正数，且对任意n *∈N ，都有242n n n S a a =+，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则数列{}n a 的通项公式为n a =．13．已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且，若<t n S 对任意*n N ∈都成立，则t 的取值范围为．14．（2013•新课标Ⅱ）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10=0，S 15=25，则nS n 的最小值为．15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2﹣b 2=bc ，sinC=2sinB ，则A=．{}n a 3694=a a 12S16．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1+a 7=﹣9，S 9=﹣．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n =，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＞﹣．17．锐角ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，已知 （Ⅰ）求C sin 的值；（Ⅱ）当2=a ，C A sin sin 2=时，求b 的长及ABC ∆的面积． 18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且，（1）求角B 的大小； （2）若，求△ABC 的面积．参考答案1．D 【解析】试题分析：由AB ，AC 及cosB 的值，利用余弦定理即可列出关于BC 的方程，求出方程的解即可得到BC 的长，然后利用三角形的面积公式，由AB ，BC 以及sinB 的值即可求出△ABC 的面积． 解：由AB=，AC=1，cosB=cos30°=，根据余弦定理得：AC 2=AB 2+BC 2﹣2AB ×BCcosB ，即1=3+BC 2﹣3BC ， 即（BC ﹣1）（BC ﹣2）=0，解得：BC=1或BC=2， 当BC=1时，△ABC 的面积S=AB ×BCsinB=××1×=； 当BC=2时，△ABC 的面积S=AB ×BCsinB=××2×=，所以△ABC 的面积等于或．故选D考点：解三角形． 2．B 【解析】试题分析：由三角恒等变换得，又C B A --=π，所以)cos(cos C B A +-=，即io o s s ，也即1C)-cos(B sinBsinC cos cos ==+C B ，所以C B =，三角形C AB 为等腰三角形.正确选项为B.考点：三角恒等变换.是三角形C AB 的内角，所以满足转换为A ，即利用二倍角公式将A cos 利用转化为求角了，在转化时一定要注意符号. 3．D 【解析】试题分析：由已知的条件可得=，sinB=，从而有 cosB==，故 C=，A=，故△ABC 的形状等腰直角三角形．解：在△ABC 中，如果lga ﹣lgc=lgsinB=﹣lg ，并且B 为锐角，∴=，sinB=，∴B=，c=a ，∴cosB==，∴C=，A=，故△ABC 的形状等腰直角三角形， 故选D ．考点：三角形的形状判断；对数的运算性质． 4．A 【解析】 试题分析：根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinA 的值进而求得A ，判断出三角形的形状． 解：∵bcosC+ccosB=asinA ，∴sinBcosC+sinCcosB=sin （B+C ）=sinA=sin 2A ， ∵sinA≠0， ∴sinA=1，A=，故三角形为直角三角形， 故选：A ．考点：三角形的形状判断．5【解析】试题分析：，故，，故考点：等差数列的性质．6．16 【解析】 试题分析：由328=S 有32)(454=+a a ,得854=+a a ,故16)(2254652=+=++a a a a a .考点：等差数列 7．5 【解析】试题分析：利用等差数列的前n 项和公式与数列的单调性即可得出． 解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1=﹣9，S 3=S 7， ∴3×（﹣9）+d=7×（﹣9）+d ，解得d=2．∴a n =﹣9+2（n ﹣1）=2n ﹣11， 由a n ≤0，解得n≤5．∴当前n 项和S n 最小时，n=5． 故答案为：5．考点：等差数列的前n 项和．8．78 【解析】试题分析： 考点：等差数列求和及等差数列的性质；基本不等式的应用． 9．B 【解析】试题分析：设等比数列{a n }的公比为q ，则q≠1．由于前4项和为4，前12项和为28，可得=4，=28．解得q 4，即可得出．解：设等比数列{a n }的公比为q ，则q≠1． ∵前4项和为4，前12项和为28， ∴=4，=28．则q 8+q 4+1=7，解得q 4=2． 则它的前8项和S 8===4×3=12．故选：B ．考点：等比数列的前n 项和． 10．1 【解析】 试题分析：由题意，得112232a S a a a ==+-=-．因为111222n n n n n n a S S a a a ---=-=⋅-⋅=⋅，又数列{}n a 为等比数列，所以1a 满足12n n a a -=⋅，所以11322a a --=⋅，解得1a =．考点：递推数列．【一题多解】由等比数列的前n (2)0a a +-=，解得1a =．11【解析】试题分析：)2(1331≥-+=-n a a n n n ①，13311-+=∴++n n n a a ②，则112332⨯⨯=-a a ，223342⨯⨯=-a a ， 334352⨯⨯=-a a ，⋅⋅⋅，113)1(2--⋅+=-n n n n a a ，上述式子相加，得]3)1(2353433[21321-⋅++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=-n n n a a ，则=-)(31aa n ]3)1(232353433[21432n n n n ⋅++⋅+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯-，两式相减除以2，得n n n n a a 2)1()3333(914321⋅+-+⋅⋅⋅++++=--，即考点：1．由数列的递推式求通项；2．累加法；3．错位相减法．12．2n 【解析】试题分析：当1n =时，由21111420S a a a =+>，，得12a =，当2n ≥时，由()()2211144422n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+，得()()1120n n n n a a a a --+--=，因为10n n a a -+>，所以12n n a a --=，故()2122n a n n =+-⨯=．考点：数列递推式．【思路点睛】本题考查数列的通项公式及前n 项和的求法，注意解题方法的积累；在解答过程中采用数列的递推式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，当1n =时，得12a =；当2n ≥时，由1444n n n a S S -=-，得12n n a a --=，从而可得结论．13【解析】以n t S >可得考点：1．数列求和；2．不等式恒成立 14．﹣49 【解析】试题分析：由等差数列的前n 项和公式化简已知两等式，联立求出首项a 1与公差d 的值，结合导数求出nS n 的最小值．解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， ∵S 10=10a 1+45d=0，S 15=15a 1+105d=25， ∴a 1=﹣3，d=， ∴S n =na 1+d=n 2﹣n ，∴nS n =n 3﹣n 2，令nS n =f （n ），∴f′（n ）=n 2﹣n ，∴当n=时，f （n ）取得极值，当n ＜时，f （n ）递减；当n ＞时，f （n ）递增；因此只需比较f （6）和f （7）的大小即可．f （6）=﹣48，f （7）=﹣49， 故nS n 的最小值为﹣49． 故答案为：﹣49．考点：利用导数研究函数的极值；等差数列的前n 项和；等差数列的性质． 15．30° 【解析】试题分析：已知sinC=2sinB 利用正弦定理化简，代入第一个等式用b 表示出a ，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c 与a 代入求出cosA 的值，即可确定出A 的度数． 解：将sinC=2sinB 利用正弦定理化简得：c=2b ，代入得a 2﹣b 2=bc=6b 2，即a 2=7b 2， ∴由余弦定理得：cosA===，∵A 为三角形的内角， ∴A=30°．故答案为：30°考点：正弦定理．16．（Ⅰ）﹣（Ⅱ）证明见解析【解析】试题分析：（I）设数列{a n}的公差为d，由于a1+a7=﹣9，S9=﹣，利用等差数列的通项公式及前n项和公式可得，解出即可；（Ⅱ）利用等差数列的前n项和公式可得S n=，于是b n=﹣=﹣，利用“裂项求和”及“放缩法”即可证明．（Ⅰ）解：设数列{a n}的公差为d，∵a1+a7=﹣9，S9=﹣，∴，解得，∴=﹣．（Ⅱ）证明：∵S n==，∴b n==﹣=﹣，∴数列{b n}的前n项和为T n=﹣+…+==．∴T n＞﹣．考点：数列的求和；等差数列的性质．17． 【解析】试题分析：(I)根据二倍角公式得2cos 212sin C C =-，即可求得C sin 的值；（II ）先由正4c =，再根据余弦定理求出，从而求得ABC 的面积.，解得c 4=． 由余弦定理222c a b 2abcosC =+-，得考点：利用正、余弦定理解三角形.18．（1）（2【解析】 试题分析：（1）根据正弦定理表示出a ，b 及c ，代入已知的等式，利用两角和的正弦函数公式及诱导公式变形后，根据sinA 不为0，得到cosB 的值，由B 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B 的度数；（2）由（1）中得到角B 的度数求出sinB 和cosB 的值，根据余弦定理表示出b2，利用完全平方公式变形后，将b ，a+c 及cosB 的值代入求出ac 的值，然后利用三角形的面积公式表示出△ABC 的面积，把ac 与sinB 的值代入即可求出值． 解：（1）由正弦定理得：a=2RsinA ，b=2RsinB ，c=2RsinC ， 将上式代入已知，即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0， 即2sinAcosB+sin （B+C ）=0， ∵A+B+C=π，∴sin （B+C ）=sinA ，∴2sinAcosB+sinA=0，即sinA （2cosB+1）=0， ∵sinA≠0，∴，∵B为三角形的内角，∴；（II）将代入余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：b2=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB，即，∴ac=3，∴．考点：解三角形．。
解三角形、数列、不等式
问2 写出余弦定理及其变式, 余弦定理能解决哪类三角形问题?
问3 怎样推导正弦定理和余弦定理?
1
例1 在ΔABC中，若sin2A= sin2B+ sin2C+ sinB⋅sinC，则角A等于 π 2π 3π 5π A. B. C. D. 3 3 4 6
例2 在ΔABC 中, 若 a cos A = b cos B , 则ΔABC 的形状是 A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
2
3 例6 已知锐角三角形 ABC 中，sin(A+B)= , 5 （1）求证：tanA = 2tanB; （2）设AB=3, 求AB边上的高.
1 sin(A－B)= , 5
例7 在ΔABC 中，∠A 的平分线 AD 与边 BC 相交于点 D, 求证：
BD AB = . DC AC
例8 连接直角三角形的直角顶点与斜边的两个三等分点, 所得到的两条线段的长分别为 sinα π 和 cosα (0 < α < ) , 求斜边的长. 2
D.
3 2 5
6. 在ΔABC 中, 若 b = a sinC, c = a cosB, 则 ΔABC 是 B. 等腰三角形 A. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 7.
在∆ABC 中, A=60°, a=1, 求此三角形的最大周长.
8.
在ΔABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, 已知 a + c = 10 , C = 2A , cosA =
检测题答案或提示....................................................................................................................39
三角形中的数列问题
专题三角形中的数列问题（研究性学习）一、范例研究：设在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，范例1：已知a，b，c成等差数列（1）证明：；（2）证明：；（3）求角B的范围.范例2：已知a，b，c成等比数列（1）证明：cos（A－C）＋cosB＋cos2B＝1；（2）证明：；（3）求角B的范围.1、探索：运用正弦定理对已知条件变形、转化与延伸.（1）第一次探索a，b，c成等差数列①②③注：范例1（3）求角B的范围请同学们自己思考（2）第二次探索a，b，c成等比数列(第一阶段的转化与延伸)（第二阶段转化与延伸的开始）（第二阶段的转化与延伸）∴注：范例2的（2）、（3）小问请同学们练习2、小结小结1：在△ABC中，若a，b，c成等差数列，则有（1）2b＝a＋c；（2）；（3）.小结2：在△ABC中，若a，b，c成等比数列，则有（1）；（2）；（3）.二、联想联想是探索的先驱，人们在学习与研究中，总是在实践中获取真知，在认知中产生联想，进而由联想引发新的探索，由新的探索与发现促进认知的再次升华.注意到“等差数列”与“等比数列”仅一字之差，他们的性质大多有惊人的相似之处.由此我们联想到，上面已经认知的等差（或等比）数列条件下的三角等式两边，在等比（或等差）数列的条件下会是何种关系呢？循着“相等”与“不等”相互依存的辩证关系，我们可以断言：一般情况下，等差（或等比）数列条件下的三角“等式”两边，在等比（或等差）数列条件下必是“不等”关系.我们需要进一步了解的是，如此变更条件之后，上述等式两边是否具有确定的大小关系？上述不等式两边，是否具有相等关系？注意到等差数列与等比数列的密切联系，我们由等差（比）数列的命题联想等比（差）数列的情形.三、再探索立足于前面对范例1、范例2的证明与讨论，对联想中所提出的问题进行探索.1、第三次探索：解决联想1提出的问题在△ABC中，若a，b，c成等比数列得：：由第一次探索过程改造而成：由第二次探索过程改造而成2、第四次探索：解决联想2提出的问题在△ABC中，若a，b，c成等差数列2b＝a＋c（1）2b＝a＋c即（2）：由第二次探索过程改造而成（3）可由命题1的证明改造而成四、再认知有比较才能鉴别（毛泽东语），有鉴别才能有更深层面的感悟和认知.作为本节课的总结，我们对a，b，c成等差数列和a，b，c成等比数列的不同条件下的结论进行比较，从中品悟三角形三边成等差数列（或等比数列）的特性，以及在不同条件（a，b，c成等差数列或a，b，c成等比数列）下有关量之间的联系.1、比较、品悟在△ABC中，若a，b，c成在△ABC中，若a，b，c成等差数列，则有等比数列，则有（1）2b＝a＋c a+c（2）2、点评：对于上面每一组对应的命题，等号或不等号的两边，在“等差”或“等比”的不同条件下展示出“相等”与“不等”（一般情况下）的个性，凸现着对偶范畴间既相互对立，又相互依存和相互联系的辩证关系.五、总结与自我训练1、总结（1）联想：亲缘联想：联想“已知”或“目标”的亲密一方；对立联想：联想“已知”或“目标”的对立一方.（2）收获（思维、经验、认知等）2、练习：设在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，Ⅰ、自选习题（1）若a，b，c依次成等差数列试求①（学生自选、自解）②（学生自选、自解）（2）若A,B,C依次成等差数列试求①（学生自选、自解）②（学生自选、自解）（3）若A,B,C依次成等比数列试求①（学生自选、自解）②（学生自选、自解）Ⅱ、规定问题1、若a，b，c依次成等比数列试求：（1）角B的取值范围；（2）设t＝sinB＋cosB，求t的取值范围；（3）设，求y的取值范围.2、若a,b,c成等比数列，且3、若A,B,C成等差数列（1）的取值范围；（2）若最大边长与最小边长的比值为m，求m的取值范围.参考答案：1、解：由题意得①（1）由余弦定理得②∴由①②得③又④∴由③④得∴注意到，即所求B的取值范围为.（2）∵，∴∴∴即所求t的取值范围为.（3）设t＝sinB＋cosB，则且∴（）（）∵∴∴即即所求y的取值范围为.点评：在已知条件下求出角B的取值范围，由此为求t及y的取值范围奠定了必要基础.2、解：（1）由a,b,c成等比数列得又∴在△ABC中由余弦定理得∴（2）解法一（运用正弦定理）在△ABC中由正弦定理得①∵，②∴由①②得解法二（运用三角形面积公式）：在△ABC中由三角面积公式得③∵，∴由③得点评：当已知式或目标式为三角形边角混合式时，通常首选正弦定理.但是，在条件适宜时利用三角形及其面积公式推理，也不免会收到出奇制胜的效果.本例解法二便是利用三角形面积公式解题成功的一个范例.3、解：由A,B,C成等差数列得2B=A+C又∴（1）＝＝（运用和差化积公式）＝＝①∵∴∴∴∴由①得即所求的取值范围为（2）不妨设A<B<C，则＝∵且A<C∴cosC cosA即cosA∴cosA∴②于是由正弦定理得：＝＝＝③∴由②得∴由③得∴m>1∴所求m的取值范围为（1，+∞）.点评：已知A,B,C成等差数列，既要想到利用由此导出的等量关系：；又要想到由此导出的不等关系，这里在A,B,C成等差数列的条件下，寻求三角形边角式的取值范围的关键环节之一.。
新课标必修数学5“解三角形”内容分析及教学建议
新课标必修数学5“解三角形"内容分析及教学建议江苏省锡山高级中学杨志文新课程必修数学5的内容主要包括解三角形、数列、不等式。
这些内容都是高中数学中的传统内容。
其中“解三角形”既是高中数学的基本内容，又有较强的应用性。
在历次教材改革中都作为中学数学中的重点内容,一直被保留下来。
在这次新课程改革中，新普通高中《数学课程标准》(以下简称《标准》）与原全日制普通高级中学《数学教学大纲》(以下简称《大纲》）相比，“解三角形”这块内容在安排顺序上进行了新的整合。
本文就《标准》必修模块数学5第一部分“解三角形”的课程内容、教学目标要求、课程关注点、内容处理上等方面的变化进行简要的分析，并对教学中应注意的几个问题谈谈自己的一些设想和教学建议,供大家参考。
一、《标准》必修模块数学5中“解三角形”与原课程中“解斜三角形”的比较1．课程内容安排上的变化“解三角形”在原课程中为“解斜三角形"，安排在“平面向量”一章中，作为平面向量的一个单元。
而在新课程《标准》中重新进行了整合，将其安排在必修模块数学5中,独立成为一章，与必修模块数学4中的“平面向量”分别安排在不同的模块中。
2．教学要求的变化原大纲对“解斜三角形”的教学要求是：（1）掌握正弦定理、余弦定理,并能运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解斜三角形的计算问题.(2）通过解三角形的应用的教学，提高运用所学知识解决实际问题的能力.（3）实习作业以测量为内容，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作的能力。
《标准》对“解三角形"的教学要求是:（1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.由此可以看出，《标准》在计算方面降低了要求，取消了“利用计算器解决解斜三角形的计算问题"的要求,而在探索推理方面提高了要求，要求“通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。
解三角形数列知识
解三角形、数列两章知识点查漏补缺知识点1：正、余弦定理综合应用例1：在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos A-2cosC 2c-a=cos B b． （I ）求sin sin CA的值； （II ）若cosB=14，b=2，ABC ∆的面积S 。
总结：解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算.如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sin cos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C+++===. 练习：在ABC ∆中，若cos cos 2B bC a c -=+ （1）求角B 的大小（2）若b =4a c +=，求ABC ∆的面积 知识点2：正、余弦定理实际应用 求解三角形应用题的一般步骤：（1）分析：分析题意，弄清已知和所求；（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图； （3）求解：正确运用正、余弦定理求解；（4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。
1、距离问题：为了测量河对岸两个建筑物C ，D 两点之间的距离，在河岸这边选取点A ，B ，测得∠BAC=45°，∠DAC=75°，∠ABD=30°，∠DBC=45°，又知AB=3，试求CD 的长.2、高度问题：航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10000m,速度为180km （千米）/h （小时）飞机先看到山顶的俯角为150，经过420s （秒）后又看到山顶的俯角为450，求山顶的海拔高度（取2＝1.4,3＝1.7）．图1 图23、角度问题：在海岸A 处，发现北偏东45︒方向，距A1海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75︒方向，距A 为2海里的C处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30︒方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间？知识点3：数列提高题例1：若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数n .练习：等差数列{a n }中, 前4项和为26, 后4项之和为110, 且n 项和为187, 则n 的值为____________.例2：设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，327++=n n T S n n ，则=55b a .n n b a =例3：设{a n }是公差为－2的等差数列，如果a 1+ a 4+ a 7+……+ a 97=50，则a 3+ a 6+a 9……+ a 99= ( )(A)182 (B)－80 (C)－82 (D)－84 练习：等比数列{a n }中, 公比为2, 前99项之和为56, 则a 3+a 6+a 9+…a 99等于________. 例4：等差数列{a n } 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( ) (A)130 (B)170 (C)210 (D)160 练习：1、已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，54=n S ，602=n S ，则=n S 3 . 2、已知等比数列前10项的和为10，前20项的和为30，那么前30项的和为 3、等差数列{a n }中，a 1+a 2+……a 10=15，a 11+a 12+……a 20=20，则a 21+a 22+……a 30=( ) (A)15 (B)25 (C)35 (D)45 知识点4：三个或四个数成等差、等比数列，如何设元 例题：1、三个正数成等差数列,它们的和为15,分别加上1,3,9就成为等比数列,则这三个数为________.2、已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为985，求这5个数. 3、三个数成等比数列，它们的积为512，如果中间一个数加上2，则成等差数列， 这三个是总结：已知三个或四个数成等差、等比数列一类问题时，要善于设元，目的在于减少运算量，如三个数成等差数列时，除了设a,a+d,a+2d 外，还可设a-d,a,a+d;四个数成等差数列时，可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d.；如三个数成等比数列时，45︒75︒ 30︒ ACB除了设a,aq,aq2,还可以设aq a qa,,，四个数成等比数列时，可设为33,,,aq aq qaq a 。
解三角形123 (2)
1 bcsinA 2
=
1acsinB 2
=
=
p - a)(p - b - c) .其中 (p )(p 其中p= 其中
a +b +c . 2
(2)A+B+C= π ,sin(A+B)= sinC ,cos(A+B)= -cosC . (3)A,B,C成等差数列的充要条件是 成等差数列的充要条件是 (4)大边对大角定理 大边对大角定理. 大边对大角定理 B=60° ° .
(3)S△ABC = 1·a·b·sinC 2 1 = ·a·b·sin120° ° 2 1 3 3 = ×2× = . × 2 2 2
＊对应演练＊ 对应演练＊
在△ABC中，sinA= 中 形状. 形状
解：由(c-b)sin2A+bsin2B=csin2C,得(c-b)a2 +b3 = c3, ∴ (c-b)a2 + (b − c)(b2 + bc + c2 ) = 0即(c-b)(b2 +bc + c2 -a2 )=0 ∴b=c或b + bc + c -a = 0
2 2 2
2 。 当b=c时,有B=C, C为锐角，又sinC= ∴B = C = 45 ∴ 2 ，这与 ABC为钝角三角形矛盾 ∴A = 90。
3
2
有两解. ∴C有两解 有两解 无解. ∴C=60°或120°,当BC=5时,sinC=2>1无解 ° °当 时 无解
考点二
余弦定理的应用
分别是角A,B,C的对边 的对边, 在△ABC中,a,b,c分别是角 中 分别是角 的对边 且 cosB = - b . cosC 2a +c (1)求B的大小 (1)求B的大小; 的大小; (2)若b= 13 ,a+c=4,求△ABC的面积 若 的面积. 求 的面积
解三角形与数列
解三角形与数列-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1解三角形及其数列专练1．(2016·吉林)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(cosA ，3sinA)，n ＝(2cosA ，－2cosA)，m ·n ＝－1. (1)若a ＝23，c ＝2，求△ABC 的面积； (2)求b －2c acos （π3＋C ）的值．解析 (1)因为m ·n ＝2cos 2A －3sin2A ＝cos2A －3sin2A ＋1＝2cos(2A ＋π3)＋1＝－1，所以cos(2A ＋π3)＝－1.又π3<2A ＋π3<2π＋π3，所以2A ＋π3＝π，A ＝π3.由12＝4＋b 2－2×2×b×cos π3，得b ＝4(舍负值)．所以△ABC 的面积为12×2×4×sin π3＝2 3. (2)b －2c acos （π3＋C ）＝sinB －2sinC sinAcos （π3＋C ）＝sin （A ＋C ）－2sinC32cos （π3＋C ）＝32cosC －32sinC 32cos （π3＋C ）＝3cos （π3＋C ）32cos （π3＋C ）＝2.2．(2016·福建)在△ABC 中，B ＝π3，点D 在边AB 上，BD ＝1，且DA ＝DC.(1)若△BCD 的面积为3，求CD ； (2)若AC ＝3，求∠DCA.解析 (1)因为S △BCD ＝3，即12BC ·BD · sinB ＝3，又B ＝π3，BD ＝1，所以BC ＝4. 在△BDC 中，由余弦定理得，CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC·BD·cosB ， 即CD 2＝16＋1－2×4×1×12＝13，解得CD ＝13.(2)在△ACD 中，DA ＝DC ，可设∠A ＝∠DCA ＝θ，则∠ADC ＝π－2θ，又AC ＝3，由正弦定理，有AC sin2θ＝CD sin θ，所以CD ＝32cos θ.在△BDC 中，∠BDC ＝2θ，∠BCD ＝2π3－2θ，由正弦定理得，CD sinB ＝BD sin ∠BCD ，即32cos θsin π3＝1sin （2π3－2θ），化简得cos θ＝sin(2π3－2θ)，于是sin(π2－θ)＝sin(2π3－2θ)． 因为0<θ<π2，所以0<π2－θ<π2，－π3<2π3－2θ<2π3， 所以π2－θ＝2π3－2θ或π2－θ＋2π3－2θ＝π， 解得θ＝π6或θ＝π18，故∠DCA ＝π6或∠DCA ＝π18.3．(2017·河北)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a 2＋b 2－c 2)sinA ＝ab(sinC ＋2sinB)，a ＝1. (1)求角A 的大小；(2)求△ABC 的周长的取值范围．解析 (1)由(a 2＋b 2－c 2)sinA ＝ab(sinC ＋2sinB)，结合余弦定理可得2abcosCsinA ＝ab(sinC ＋2sinB)，即2cosCsinA ＝sinC ＋2sin(A ＋C)，化简得sinC(1＋2cosA)＝0. 因为sinC ≠0，所以cosA ＝－12，又A ∈(0，π)，所以A ＝2π3.(2)因为A ＝2π3，a ＝1，由正弦定理可得b ＝asinB sinA ＝233sinB ，c ＝233sinC ，所以△ABC 的周长l ＝a ＋b ＋c ＝1＋233sinB ＋233sinC ＝1＋233[sinB ＋sin(π3－B)]＝1＋233(12sinB ＋32cosB)＝1＋233sin(B ＋π3)．因为B ∈(0，π3)，所以(B ＋π3)∈(π3，2π3)，则sin(B ＋π3)∈(32，1]， 则l ＝a ＋b ＋c ＝1＋233sin(B ＋π3)∈(2，1＋233].4．已知函数f(x)＝(3sin ωx －cos ωx)·cos ωx ＋12(其中ω>0)，若f(x)的一条对称轴离最近的对称中心的距离为π4.(1)求y ＝f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足(2b －a)cosC ＝c·cosA ，且f(B)恰是f(x)的最大值，试判断△ABC 的形状．解析 (1)f(x)＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋12＝32sin2ωx －12(2cos 2ωx －1) ＝32sin2ωx －12cos2ωx ＝sin(2ωx －π6)．因为函数f(x)的一条对称轴离最近的对称中心的距离为π4， 所以T ＝π，所以2π2ω＝π，所以ω＝1. 所以f(x)＝sin(2x －π6)．由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z)，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π(k ∈Z)． 所以函数f(x)的单调递增区间为[－π6＋k π，π3＋k π](k ∈Z)． (2)因为(2b －a)cosC ＝c·cosA ，由正弦定理，得(2sinB －sinA)cosC ＝sinC ·cosA ， 即2sinBcosC ＝sinAcosC ＋sinCcosA ＝sin(A ＋C)＝sinB ， 因为sinB ≠0，所以cosC ＝12，所以C ＝π3. 所以0<B<2π3，0<2B<4π3，－π6<2B －π6<7π6.根据正弦函数的图像，可以看出f(x)的最大值为f(B)＝1，此时2B －π6＝π2，即B ＝π3，所以A ＝π3，所以△ABC 为等边三角形． 5．(2017·山西)已知f(x)＝cosx (λsinx －cosx)＋cos 2(π2－x)＋1(λ>0)的最大值为3.(1)求函数f(x)的对称轴；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cosA cosB ＝a2c －b ，若不等式f(B)<m 恒成立，求实数m 的取值范围．解析(1)f(x)＝cosx (λsinx －cosx)＋cos 2(π2－x)＋1＝λsinxcosx －cos 2x ＋sin 2x ＋1＝12λsin2x －cos2x ＋1.≤λ24＋1＋1，由题意知：λ24＋1＋1＝3，λ2＝12，∵λ>0，∴λ＝2 3. ∴f(x)＝3sin2x －cos2x ＋1＝2sin(2x －π6)＋1. 令2x －π6＝π2＋k π，解得x ＝k π2＋π3，(k ∈Z)． ∴函数f(x)的对称轴为x ＝k π2＋π3(k ∈Z)． (2)∵cosA cosB ＝a 2c －b ，由正弦定理，cosA cosB ＝sinA2sinC －sinB可变形得，sin(A ＋B)＝2cosAsinC ，即sinC ＝2cosAsinC ，∵sinC ≠0，∴cosA ＝12，又0<A<π，所以A ＝π3.∴f(B)＝2sin(2B －π6)＋1，只需f(B)max <m ，∵0<B<2π3，∴－π6<2B －π6<7π6， ∴－12<sin(2B －π6)≤1，即0<f(B)≤3. ∴m>3.数列小题专练一、选择题1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11＝22，则a 3＋a 7＋a 8＝( ) A ．18 B ．12 C ．9 D ．6 答案 D解析 由题意得S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11（2a 1＋10d ）2＝22，即a 1＋5d ＝2，所以a 3＋a 7＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋6d ＋a 1＋7d ＝3(a 1＋5d)＝6，故选D.2古代数学着作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为( )A ．7B ．8C ．9D ．10 答案 B解析 设该女子第一天织布x 尺，则x （1－25）1－2＝5，得x ＝531，∴前n 天所织布的尺数为531(2n －1)．由531(2n －1)≥30，得2n ≥187，则n 的最小值为8.3各项均为正数的等差数列{a n }中，a 4a 9＝36，则前12项和S 12的最小值为( ) A ．78 B ．48 C ．60 D ．72 答案 D解析 S 12＝6(a 1＋a 12)＝6(a 4＋a 9)≥6×2a 4a 9＝72，当且仅当a 4＝a 9＝6时等号成立． 5已知a n ＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，观察下列算式：a 1·a 2＝log 23·log 34＝lg3lg2·lg4lg3＝2；a 1·a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝log 23·log 34·…·log 78＝lg3lg2·lg 4lg3·…·lg8lg7＝3，…；若a 1·a 2·a 3·…·a m ＝2 016(m ∈N *)．则m 的值为( ) A ．22 016＋2 B ．22 016 C ．22 016－2 D ．22 016－4 答案 C解析 由于a 1·a 2·a 3·…·a m ＝lg3lg2·lg4lg3·lg5lg4·…·lg （m ＋2）lg （m ＋1）＝lg （m ＋2）lg2＝2 016，可得lg(m ＋2)＝2 016lg2＝lg22 016，可得m ＋2＝22 016，解得m ＝22 016－2.7．(2016·福建质检)已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为T n ，且a 2a 4＝a 3，则使得T n >1的n 的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案 C解析 通解：设等比数列{a n }的公比为q(q>1)，因为a 2a 4＝a 3，所以a 32＝a 3，又a n >0，所以a 3＝1，所以等比数列{a n }的前n 项积T n ＝a 1·a 2·a 3·a 4·…·a n ＝a 3q 2·a 3q ·a 3·a 3q ·…·a 3q n －3＝q n （－2＋n －3）2＝qn （n －5）2，则使得T n >1的n 的最小值为6，故选C.优解：设等比数列{a n }的公比为q(q>1)，因为a 2a 4＝a 3，所以a 32＝a 3，又a n >0，所以a 3＝1，所以T 4＝a 1·a 2·a 3·a 4＝a 3q 2·a 3q ·a 3·a 3q ＝1q 2<1，排除A ；T 5＝1q 2·a 3q 2＝1，排除B ；T 6＝T 5·a 3q 3＝q 3>1，故选C.8．(2016·长沙调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n (S n ≠0)，a 1＝12，且对任意正整数n ，都有a n＋1＋S n S n ＋1＝0，则a 1＋a 20＝( )答案 A解析 由条件可得a n ＋1＝－S n S n ＋1，即S n ＋1－S n ＝－S n S n ＋1，所以1S n ＋1－1S n ＝1，则数列{1S n}是公差为1的等差数列，故1S n＝1S 1＋(n －1)×1＝2＋n －1＝n ＋1，故S n ＝1n ＋1，则a 20＝S 20－S 19＝121－120＝－1420，故a 1＋a 20＝12－1420＝209420.9．(2016·郑州预测)正项等比数列{a n }中的a 1、a 4 031是函数f(x)＝13x 3－4x 2＋6x －3的极值点，则log6a 2 016＝()A ．1B ．2 D ．－1 答案 A解析 因为f ′(x)＝x 2－8x ＋6，且a 1、a 4 031是方程x 2－8x ＋6＝0的两根，所以a 1·a 4 031＝a 20162＝6，即a 2 016＝6，所以log 6a 2 016＝1，故选A.10．(2015·洛阳调研)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝6，S 5＝252，则数列{a n 2n }的前n 项和为( )A ．1－n ＋22n ＋1B ．2－n ＋42n ＋1C ．2－n ＋42nD ．2－n ＋22n ＋1 答案 B解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2d ，因为S 3＝6，S 5＝252，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝6，5a 1＋10d ＝252，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，d ＝12，所以a n ＝12n ＋1，a n 2n ＝n ＋22n ＋1，设数列{a n2n }的前n 项和为T n ，则T n ＝322＋423＋524＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12T n ＝323＋424＋525＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2，两式相减得12T n ＝34＋(123＋124＋…＋12n ＋1)－n ＋22n ＋2＝34＋14(1－12n －1)－n ＋22n ＋2，所以T n ＝2－n ＋42n ＋1.11．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 017，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 017的值等于( )A ．－2 016B ．－2 017C ．－2 015D ．－2 018 答案 B解析 ∵S 1212－S 1010＝2，∴12（a 1＋a 12）212－10（a 1＋a 10）210＝2，故a 12－a 10＝4. ∴2d ＝4，d ＝2，∴S 2 017＝2 017a 1＋2 017×2 0162×d ＝2 017×(－2 017)＋2 017×2 016＝－2 017.12．(2016·长沙四校)已知函数f(x ＋12)为奇函数，g(x)＝f(x)＋1，即a n ＝g(n2 014)，则数列{a n }的前2 013项和为( )A ．2 014B ．2 013C ．2 012D ．2 011 答案 B解析 因为f(x ＋12)为奇函数，所以函数y ＝f(x)的图像关于点(12，0)对称，则函数y ＝g(x)的图像关于点(12，1)对称，故函数g(x)满足g(x)＋g(1－x)＝2.设S ＝g(12 014)＋g(22 014)＋…＋g(2 0132 014)，倒序后得S ＝g(2 0132 014)＋g(2 0122 014)＋…＋g(12 014)， 两式相加后得2S ＝[g(12 014)＋g(2 0132 014)]＋[g(22 014)＋g(2 0122 014)]＋…＋[g(2 0132 014)＋g(12 014)]＝2 013×2，所以S ＝2 013. 二、填空题15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋3，则S 4＝________．答案 66 解析 依题a n ＝2S n －1＋3(n≥2)，与原式作差得，a n ＋1－a n ＝2a n ，n ≥2，即a n ＋1＝3a n ，n ≥2，可见，数列{a n }从第二项起是公比为3的等比数列，a 2＝5，所以S 4＝1＋5×（1－33）1－3＝66.16．若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________．答案 2 2n ＋1－2解析 由等比数列的性质，得a 3＋a 5＝(a 2＋a 4)q ，解得q ＝a 3＋a 5a 2＋a 4＝2，又∵a 2＋a 4＝a 1(q ＋q 3)＝20，∴a 1＝2. ∴S n ＝a 1（1－q n ）1－q＝2n ＋1－2.17．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.则a 2＝_______，a n ＝________．答案 4 n 2解析 依题意，2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4. 当n≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ， 2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23，整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n(n ＋1)，即a n ＋1n ＋1－a n n＝1.又a 22－a 11＝1，故数列{a n n }是首项为a 11＝1，公差为1的等差数列．所以a nn ＝1＋(n －1)×1＝n.所以a n ＝n 2. 18．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为_____． －49 解析 由S n ＝na 1＋n （n －1）2d ，得⎩⎨⎧10a 1＋45d ＝0，15a 1＋105d ＝25，解得a 1＝－3，d ＝23. 则S n ＝－3n ＋n （n －1）2·23＝13(n 2－10n)，所以nS n ＝13(n 3－10n 2)． 令f(x)＝13(x 3－10x 2)，则f ′(x)＝x 2－203x ＝x(x －203)，当x ∈(1，203)时，f(x)递减； 当x ∈(203，＋∞)时，f(x)递增，又6<203<7，f(6)＝－48，f(7)＝－49，19．已知奇函数f(x)是定义在R 上的增函数，数列{x n }是一个公差为2的等差数列，满足f(x 8)＋f(x 9)＋f(x 10)＋f(x 11)＝0，则x 2 017＝________． 答案 4 015解析 因为f(x)是奇函数，在R 上是增函数，且数列{x n }是递增数列，所以由f(x 8)＋f(x 9)＋f(x 10)＋f(x 11)＝0可得x 8＋x 11＝x 9＋x 10＝0.由数列{a n }的公差为2，得x 1＝－17，所以x n ＝x 1＋(n －1)d ＝2n －19.所以x 2 017＝2×2 017－19＝4 015.20.已知{a n }是等差数列，设T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |(n ∈N *)．某同学设计了一个求T n 的部分算法流程图(如图)，图中空白处理框中是用n 的表达式对T n 赋值，则空白处理框中应填入：T n ＝________． 答案 n 2－9n ＋40解析 由流程图可知该等差数列的通项公式是a n ＝2n －10或a n ＝－2n ＋10.不妨令a n ＝2n －10，则当n≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝－a 1－a 2－…－a 5＋a 6＋a 7＋…＋a n ＝20＋（n －5）（2＋2n －10）2＝n 2－9n ＋40.1．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________．答案 20解析 方法一：设等差数列的公差为d ，则a 3＋a 8＝2a 1＋9d ＝10，3a 5＋a 7＝4a 1＋18d ＝2(2a 1＋9d)＝20.方法二：∵{a n }为等差数列，∴3a 5＋a 7＝2a 5＋(a 5＋a 7)＝2a 5＋2a 6＝2(a 5＋a 6)＝2(a 3＋a 8)＝20.2．已知等差数列{a n }的公差和等比数列{b n }的公比都是d(d≠1)，且a 1＝b 1， a 4＝b 4，a 10＝b 10，则a 1和d 的值分别为( )，32 B ．－32，32 C ．－32，－32 ，－32 答案 D3．设数列{a n }是公差不为0的等差数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 4a 1＝( )A ．3B ．4C ．6D ．7 答案 D解析 由S 1，S 2，S 4成等比数列，得S 22＝S 1S 4，即为(2a 1＋d)2＝a 1(4a 1＋6d)．又d≠0，故可化简为d ＝2a 1，所以a 4a 1＝a 1＋3×2a 1a 1＝7. 4．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7 答案 D 解析 ∵{a n }为等比数列，∴a 5a 6＝a 4a 7＝－8.联立⎩⎨⎧a 4＋a 7＝2，a 4a 7＝－8，可解得⎩⎨⎧a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎨⎧a 4＝－2，a 7＝4.当⎩⎨⎧a 4＝4，a 7＝－2时，q 3＝－12，故a 1＋a 10＝a 4q 3＋a 7q 3＝－7；当⎩⎨⎧a 4＝－2，a 7＝4时，q 3＝－2，同理，有a 1＋a 10＝－7. 数列大题专练1．(2016·湖北)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＝2－3S n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，求数列{a n ＋b n }的前n 项和T n . 解析 (1)当n≥2时，由a n ＝2－3S n ①， 得a n －1＝2－3S n －1②，①－②即得4a n ＝a n －1，而当n ＝1时，a 1＝2－3a 1，故a 1＝12.因而数列{a n }是首项为12，公比为14的等比数列，其通项公式为a n ＝12·(14)n －1＝(12)2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)得b n ＝log 2a n ＝1－2n(n ∈N *)．数列{a n ＋b n }的前n 项和T n ＝a 1＋b 1＋a 2＋b 2＋…＋a n ＋b n ＝(a 1＋…＋a n )＋(b 1＋…＋b n ) ＝12[1－（14）n ]1－14＋（－1＋1－2n ）n 2＝23－n 2－23×(14)n，(n ∈N *)． 2．设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝2，对任意n ∈N *，都有2S n ＝(n ＋1)a n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{4a n （a n ＋2）}的前n 项和为T n ，求证：12≤T n <1.解析 (1)因为2S n ＝(n ＋1)a n ，当n≥2时，2S n －1＝na n －1， 两式相减，得2a n ＝(n ＋1)a n －na n －1，即(n －1)a n ＝na n －1， 所以当n≥2时，a n n ＝a n －1n －1，所以a n n ＝a 11. 因为a 1＝2，所以a n ＝2n.(2)因为a n ＝2n ，令b n ＝4a n （a n ＋2），n ∈N *，所以b n ＝42n （2n ＋2）＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1＝nn ＋1.因为1n ＋1>0，所以1－1n ＋1<1. 因为f(n)＝1n ＋1在n ∈N *上是递减函数，所以1－1n ＋1在n ∈N *上是递增的， 所以当n ＝1时，T n 取最小值12. 所以12≤T n <1.3．(2016·长沙调研)已知数列{a n }与{b n }满足a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )(n ∈N *)． (1)若a 1＝1，b n ＝3n ＋5，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1＝6，b n ＝2n (n ∈N *)，且λa n >2n ＋n ＋2λ对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围． 解析 (1)因为a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )，b n ＝3n ＋5， 所以a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )＝2(3n ＋8－3n －5)＝6，所以{a n }是首项为a 1＝1，公差为6的等差数列．所以a n ＝6n －5(n ∈N *)． (2)因为b n ＝2n ，所以a n ＋1－a n ＝2(2n ＋1－2n )＝2n ＋1，当n≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n ＋2n －1＋…＋22＋6＝2n ＋1＋2，当n ＝1时，a 1＝6，符合上式，所以a n ＝2n ＋1＋2(n ∈N *)， 由λa n >2n ＋n ＋2λ得λ>2n ＋n 2n ＋1＝12＋n 2n ＋1，所以当n ＝1，2时，2n ＋n 2n ＋1取最大值34，故λ的取值范围为(34，＋∞)．4．(2016·衡中一调)已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q≠1)，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列． (1)求q 的值和{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a 2n a 2n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和．解析 (1)由已知，有(a 3＋a 4)－(a 2＋a 3)＝(a 4＋a 5)－(a 3＋a 4)， 即a 4－a 2＝a 5－a 3，所以a 2(q －1)＝a 3(q －1)， 又因为q≠1，所以a 2＝a 3. 由a 3＝qa 1，得q ＝2. 当n ＝2k －1(k ∈N *)时，a n ＝a 2k －1＝2k －1＝2n －12；当n ＝2k(k ∈N *)时，a n ＝a 2k ＝2k ＝2n 2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －12，n 为奇数，2n 2，n 为偶数.(2)由(1)得b n ＝log 2a 2n a 2n －1＝n2n －1，n ∈N *. 设数列{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×120＋2×121＋3×122＋…＋(n －1)×12n －2＋n×12n －1，12S n ＝1×121＋2×122＋3×123＋…＋(n －1)×12n －1＋n×12n ，上述两式相减，得12S n ＝120＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1－12n1－12－n 2n ＝2－22n －n2n ， 整理，得S n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *.5．已知数列{a n }的前n 项的和为S n ，且a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12n a n .(1)证明：数列{a nn }是等比数列； (2)求通项公式a n 与前n 项的和S n ；(3)设b n ＝n(2－S n )，n ∈N *，若集合M ＝{n|b n ≥λ，n ∈N *}恰有4个元素，求实数λ的取值范围．解析 (1)因为a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12n a n ，当n ∈N *时，a n n ≠0.又因为a 11＝12，a n ＋1n ＋1∶a n n ＝12(n ∈N *)为常数，所以{a n n }是以12为首项，12为公比的等比数列．(2)由{a n n }是以12为首项，12为公比的等比数列，得a n n ＝12×(12)n －1＝(12)n . 所以a n ＝n×(12)n . 由错位相减法得S n ＝2－(12)n －1－n(12)n. (3)因为b n ＝n(2－S n )(n ∈N *)，所以b n ＝n(12)n －1＋n 2(12)n.因为b n ＋1－b n ＝(3－n 2)(12)n ＋1，所以b 2>b 1，b 2>b 3>b 4>….因为集合M ＝{n|b n ≥λ，n ∈N *}恰有4个元素，且b 1＝b 4＝32，b 2＝2，b 3＝158，b 5＝3532，所以3532<λ≤32.数列专练(二)·1．(2017·长沙模拟)已知数列{a n }满足a 1＋a 22＋…＋a nn ＝2n ＋1， (1)求{a n }的通项公式； (2)求{a n }的前n 项和．解析 (1)当n ＝1时，由题设知a 1＝4；当n≥2时，由题设a 1＋a 22＋…＋a n n ＝2n ＋1知a 1＋a 22＋…＋a n －1n －1＝2n ，两式相减得a nn ＝2n ＋1－2n ， 即a n ＝n×2n (n≥2)， 故{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧4，n ＝1，n ×2n （n≥2，n ∈N *）.(2)设{a n }的前n 项和为S n ， 则S n ＝1×22＋2×22＋…＋n×2n ，2S n ＝1×23＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n×2n ＋1，两式相减得S n ＝n×2n ＋1－(22＋23＋…＋2n )＝n×2n ＋1－4×(2n －1－1)＝(n －1)×2n ＋1＋4.2．(2016·四川)已知等比数列{a n }的首项a 1＝13，前n 项和S n 满足S 1，2S 2，3S 3成等差数列． (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2－(11＋a n ＋11－a n ＋1)，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <13.解析 (1)因为S 1，2S 2，3S 3成等差数列，所以4S 2＝S 1＋3S 3，当q ＝1时，不符合；当q≠1时，得4a 1（1－q 2）1－q ＝a 1＋3a 1（1－q 3）1－q ，故q ＝13或q ＝0(舍去)．综上可知，a n ＝(13)n.(2)由(1)知a n ＝(13)n ，所以b n ＝2－[11＋（13）n ＋11－（13）n ＋1]＝2－11＋（13）n －11－（13）n ＋1＝1－11＋（13）n ＋1－11－（13）n ＋1＝(1－3n 3n ＋1)＋(1－3n ＋13n ＋1－1)＝13n ＋1－13n ＋1－1， 由13n ＋1<13n ，13n ＋1－1>13n ＋1得13n ＋1－13n ＋1－1<13n －13n ＋1，所以b n <13n－13n ＋1， 从而T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n <(13－132)＋(132－133)＋…＋(13n －13n ＋1)＝13－13n ＋1<13，因此T n <13.3．(2016·湖南)已知△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积S ＝43，B ＝60°，且a 2＋c 2＝2b 2；等差数列{a n }中，a 1＝a ，公差d ＝b.数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n －2b n ＋3＝0，n ∈N *.(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)设c n ＝⎩⎨⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，求数列{c n }的前2n ＋1项和P 2n ＋1.解析 (1)∵S ＝12acsinB ＝43，∴ac ＝16，又a 2＋c 2＝2b 2，b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，∴b 2＝ac ＝16，∴b ＝4， 从而(a ＋c)2＝a 2＋c 2＋2ac ＝64，a ＋c ＝8，∴a ＝c ＝4. 故可得⎩⎨⎧a 1＝4，d ＝4，∴a n ＝4n.∵T n －2b n ＋3＝0，∴当n ＝1时，b 1＝3， 当n≥2时，T n －1－2b n －1＋3＝0， 两式相减，得b n ＝2b n －1(n≥2)，∴数列{b n }为等比数列，∴b n ＝3·2n －1. (2)依题意，c n ＝⎩⎨⎧4n ，n 为奇数，3·2n －1，n 为偶数. P 2n ＋1＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1)＋(b 2＋b 4＋…＋b 2n )＝[4＋4（2n ＋1）]·（n ＋1）2＋6（1－4n ）1－4＝22n ＋1＋4n 2＋8n ＋2. 4．(2017·保定调研)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，其前n 项和为S n ，且当n≥2时，a n ＋1S n －1－a n S n ＝0.(1)求证：数列{S n }是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝9a n （a n ＋3）（a n ＋1＋3），记数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n .解析 (1)当n≥2时，a n ＋1S n －1－a n S n ＝(S n ＋1－S n )S n －1－(S n －S n －1)S n ＝S n ＋1S n －1－S n 2＝0， ∴S n 2＝S n －1S n ＋1(n≥2)，又由S 1＝1≠0，S 2＝4≠0，可推知对一切正整数n 均有S n ≠0，则数列{S n }是等比数列，S n ＝4n －1. 当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3×4n －2，又a 1＝S 1＝1，∴a n ＝⎩⎨⎧1，（n ＝1），3×4n －2，（n≥2）. (2)当n≥2时，b n＝9a n（a n ＋3）（a n ＋1＋3）＝9×3×4n －2（3×4n －2＋3）（3×4n －1＋3）＝3×4n －2（4n －2＋1）（4n －1＋1），又b 1＝38， ∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧38，（n ＝1），3×4n －2（4n －2＋1）（4n－1＋1），（n≥2），则T 1＝b 1＝38 当n≥2时，b n ＝3×4n －2（4n －2＋1）（4n －1＋1）＝14n －2＋1－14n －1＋1，则T n ＝38＋(142－2＋1－142－1＋1)＋…＋(14n －2＋1－14n －1＋1)＝78－14n －1＋1.综上：T n ＝78－14n －1＋1.5．(2016·河南联考)已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n . (1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的单调性；(3)当n≥2时，T 2n ＋1－T n <15－712log a (a －1)恒成立，求a 的取值范围． 解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1. ∴数列{b n }的通项公式为b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧23，n ＝1，1n ，n ≥2.(2)∵c n ＝T 2n ＋1－T n ，∴c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1.∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝12n ＋3－12n ＋2＝－1（2n ＋3）（2n ＋2）<0. ∴数列{c n }是递减数列．(3)由(2)知，当n≥2时，c 2＝13＋14＋15为最大， ∴13＋14＋15<15－712log a (a －1)恒成立，即log a (a －1)<－1.由真数a －1>0，得a>1，∴a －1<1a . 整理为a 2－a －1<0，解得1<a<5＋12.∴a 的取值范围是(1，5＋12)．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
选择题
1．在△ABC 中，a ＝80，b ＝100，∠A ＝45°，则此三角形解的情况是( )
A ．一解
B ．两解
C ．一解或两解
D ．无解
2．在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( ) A.2π3 B.5π6
C.3π4
D.π3 3．在△ABC 中，∠B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( )
A ．45°
B ．60°
C ．75°
D ．90°
4．在△ABC 中，a 2＋b 2－ab ＝c 2＝23S △ABC ，则△ABC 一定是( )
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
5．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC ＝10 m ，吊杆AC ＝15 m ，吊索AB ＝519 m ，起吊的货物与岸的距离AD 为( ) A ．30 m
B.152 3 m C ．15 3 m D ．45 m
6．在△ABC 中，b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积S 为( ) A.
152
B.15 C ．2 D ．3
7．锐角三角形ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是( )
A ．1＜a ＜3
B ．1＜a ＜ 5 C.3＜a ＜ 5 D ．不确定
8．△ABC 中，a ，b ，c 分别是A 、B 、C 的对边，且满足2b ＝a ＋c ，B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )
A ．1＋ 3
B ．3＋ 3
C.3＋33
D ．2＋ 3 9．在△ABC 中，下列结论：
①a 2＞b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形；②a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则A 为60°；③a 2＋b 2＞c 2，则△ABC 为锐角三角形；④若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝1∶2∶3.
其中正确的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，设B ＝2A ，则b a
的取值范围是( )
A ．(－2,2)
B ．(0,2)
C ．(2，2)
D ．(2，3)
11．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n －a n ＋1＋1＝0(n ∈N ＋)，则此数列中a 10等于( )
A ．－7
B ．11
C ．12
D ．－6
12．已知等差数列{a n }的首项a 1＝125
，第10项是第一个比1大的项，则公差d 的取值范围是( ) A ．d ＞875 B ．d ＜825
C.875＜d ＜325
D.875＜d ≤325
填空题
13．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则AC ＝________.
14．△ABC 中，2a sin A －b sin B －c sin C
＝________. 15．已知平面上有四点O ，A ，B ，C ，满足OA →＋OB →＋OC →＝0，OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →＝－1，则△ABC
的周长是________．
16______行，第______列.
解答题
17．已知△ABC 的三个内角∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，满足a ＋c ＝2b 且2cos2B －8cos B ＋5＝0，求∠B 的大小并判断△ABC 的形状．
18．在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 所对的边，且3a ＝2c sin A .
(1)确定∠C 的大小；
(2)若c ＝3，求△ABC 周长的取值范围．
19．△ABC 的周长为20，BC 边的长为7，∠A ＝60°，求它的内切圆半径．
20．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足b 2＝ac ，cos B ＝34
. (1)求1tan A ＋1tan C
的值； (2)设BA →·BC →＝32
，求三边a 、b 、c 的长度． 21．已知函数f (x )＝3x x ＋3
，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2，且n ∈N ＋)确定． (1)求证：{1x n
}是等差数列； (2)当x 1＝12
时，求x 100.。