非交换子群共轭类的一个注记
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
［2 ］
则 τ（ G ） = 1 当且仅 设 G 是一个群，
当 G 同构与下列群之一， 1 ） 四元数群 Q8 ； 2 ） M n， a， b | ap = bp = 1， a b = a1 +p ］ ； m， p = ［ ［ a， b］ a， b， c | a p = b p = c p = 1， 3 ） N n， m， p = ［ = c， ［ a， c］ = ［ b， c］ = 1 ］ ； 4 ） p － 基本群． 引理 2
非交换子群共轭类的一个注记
孟
1 伟 ，马
丽
2
（ 1． 云南民族大学 数学与计算机科学学院 ， 云南 昆明 650031 ； 2． 曲靖师范学院 数学与信息科学学院 ， 云南 曲靖 655011 ）
摘要： 设 G 是有限群． 用 τ（ G ） 表示 G 中非交换子群的共轭类数，π （ G ） 表示 G 的素因子的集 | （ G） | － 2 或 | π（ G ） | + 1 ． 分析上述不等式中等号成立的有限群的 合． 对于每个非交换群有 τ（ G ） ≥2 π 分类． 关键词： 交换子群； 共轭类； 同构分类 中图分类号： O152. 1 文献标志码： A 文章编号： 1672 － 8513 （ 2015 ） 01 － 0034 － 03 构分类问题 ． 所用的术语和符号都是标准的 ． 另 Z p 表示 p 阶初等 外， 文中用 Z n 表示 n 阶循环群 ， Q 8 表示 8 阶四元数群 ， A × B 表示群 A 与 交换 p 群 ， B 的直积 ， A ∶ B 表示正规子群 A 被子群 B 的可裂扩 张．
| （ G） | － 2 | Ω | = 2 n －1 ， 这与 τ（ G ） = 2 π 矛盾． 所以 G 的每
个 Sylow 子群 P i 是交换的．
2 －2 = 1， 如果 n = 2 ，那么 τ（ G ） = 2 根据引理 1
知 G 是一个 p － 基本群， 结论成立． 接下来假设 n ≥ 3 ． 考虑所有形如 P i P j （ i ≠ j） 的子群， 如果这些群皆 为交换群， 则 G 也是交换群． 因此必存在某个子群 P i P j （ i ≠ j） 是非交换群， 不失一般性， 可假设 H = P1 P2 是一个非交换子群． 令 Ω = ｛ HP i1 P i2 …P i k | i2 ， …， ik ｝ ｛ 3， …， n － 1｝ ｝ ， ｛ i1 ， 则有 | Ω | = 2 ． H ， 显然 Ω 中的每个子群皆包含 所以 Ω 中的每个子 群皆为非交换子群并且这些子群的阶是互不相同 ， n －2 = |Ω|， 因而它们两两互不同构． 由于 τ（ G ） = 2 所以 G 的每个非交换子群的共轭类必在 Ω 中有一个 代表． 因此 我 们 得 到 H 是 一 个 极 小 非 交 换 群， 即 H 是一个 p － 基本群． 进 τ（ H） = 1 ． 根据引理 1 知， ｛ i， j｝ ≠ ｛ 1 ， 2 ｝ ） 的子群 一步知所有形如 P i P j （ i ≠ j， 皆为交换群． 所以我们得到 G = H × K ， 其中 K = P3 P4 …P n 是一个交换群． 如果某个 P i 的阶大于 p i ， 则 HL 也是 G 的一个 取 P i 的一个非平凡的真子群 L， 非交换子群且 | HL | 不等于 Ω 中任一子群的阶， 这矛
收稿日期： 2014 － 05 － 26． 基金项目： 国家自然科学基金（ 11361075 ） ．
作者简介： 孟伟（ 1981 － ） ， 副教授． 主要研究方向： 群及其表示． 男， 硕士，
第1 期
马丽： 非交换子群共轭类的一个注记 孟伟，
35
2
主要结果
定理 1
| （ G） | － 2 设 G 是有限可解． 则 τ（ G ） = 2 π
n －2 盾于 τ（ G ） = 2 ． 所以 K 是无平方因子阶的交换 群， 从而 K 是一个循环群． 定理结论成立． | （ G） | － 1 定理 2 设 G 是有限可解． τ（ G ） = 2 π 当 且仅当 G 是下列情形之一： n －2
=|
36
云南民族大学学报（ 自然科学版） 2011 ， 27 （ 5 ） ： 891 － 896．
2015 ， 24 （ 1 ） ： 34 － 36 云南民族大学学报： 自然科学版， doi： 12． 3969 / j． issn． 1672 － 8513． 2015． 01． 007
CN 53 － 1192 / N
ISSN 1672 － 8513
http： / / xb. ynni. edu. cn
［5］ 浩和郭秀云 给出了 τ （ G ） = 2 有限群的同构分 6］中 ， 类 ． 笔者在文献［ 考虑满足不等式 τ （ G ） ≤ |
1
预备引理
定义
［7 ］ d d 如果 G = Z p ∶ Z q m 且 Z q m 作用在 Z p 上
不可约， 那么称 G 是一个 p － 基本群． 引理 1
第 24 卷
［ 2］ MILLEＲ G A，MOＲENO H C． Non － abelian groups in which every subgroup is abelian［J］ ． Transactions of the American Mathematical Society， 1903 ， 4 （ 4 ） ： 398 － 404． ［ 3］ ＲOBINSON D J． A Course in the Theory of Groups ［ M］ ． Berlin： Springer， 1980 ： 232 － 234． ［ 4］ SHI J T，ZHANG C． Some sufficient conditions on the number of non － abelian subgroups of a finite group to be solvable［J］ ． Acta Mathematica Sinica， English Series，
1 ） 如果 G 是一个非交换的可解群， 且 G 的每个 | π（ G ） | － 2 ； Sylow 子群交换，那么 τ（ G ） ≥ 2 2 ） 如果 G 是一个非交换的可解群， 且 G 至少有 | （ G） | － 1 ； 一个非交换的 Sylow 子群，那么 τ（ G ） ≥ 2 π 3 ） 如 果 G 是 一 个 非 可 解 群，那 么 τ（ G ） ≥ | π（ G ） | + 1 ． 考虑上 述 定 理 中 等 号 成 立 时 的 有 限 群 的 同
［ 1］ 孟伟， 史江涛． 有限群中非正规子群数量的一个标注 ［ J］ ． 云南民族大学学报： 自然科学版， 2010 ， 19 （ 5 ） ： 360 － 362．
．
先证 G 的每个 Sylow 子群 P i 是交换群． 若否， 则 G 至少有一个 Sylow 子群是非交换群， 不失一般性， 可假设 Sylow 子群 P1 是一个非交换群． 考虑集合 Ω i2 ， …， ik ｝ ｛ 2， …， n｝ ｝ ，则 = ｛ P 1 P i1 P i2 … P i k | ｛ i 1 ， | Ω | = 2 n －1 ． 由于 P1 是 Ω 中的每个群的子群， 所以 Ω 中的每个子群皆为非交换子群并且这些子群的阶是 互不相同， 因而它们两两互不同构． 从而有 τ（ G ） ≥
当且仅当 G 同构于 H × Z m ， 其中 H 是 p － 基本群， （|H|， m） = 1 且 m 无平方因子． 证明 充分性是显然的， 只证必要性． p2 ， p3 ， 设 | π（ G ） | = n ≥ 2 ． 令 π（ G ） = ｛ p1 ， …， p n ｝ ，由于 G 是可解群， 所以 G 拥有 Sylow 系． 设 P2 ， P3 ， …， P n ｝ 是 G 的 Sylow 系， 其中 集合S = ｛ P1 ， P i ∈ Sly p i （ G ） ， 2， …， n｝ i = 1， 2， …， n， 则对集合｛ 1 ， i2 ， …， ik ｝ ， P i1 P i2 …P i k 是 G 的子 的任意一个子集｛ i1 ， 群
［3 ］
S = ｛ P1 ， P2 ， P3 ， …， P n ｝ 是 G 的 Sylow 系， 其中 P i ∈ Sly p i （ G ） ， 2， …， n｝ 的任 i = 1， 2， …， n， 则对集合 ｛ 1 ，
i2 ， …， ik ｝ ， P i1 P i2 …P i k 是 G 的子群． 意一个子集｛ i1 ， G 必有一个非交换的 根据定理 1 的证明可知， Sylow 子群． 不失一般性， 假设 Sylow 子群 P1 是一个 非 交 换 群． 重 记 P = P1 ， 考 虑 集 合 Ω = ｛ P P i1 P i2 … P i k | ｛ i 1 ， i2 ， …， ik ｝ ｛ 2， …， n｝ ｝ ， 则| Ω | = 2 n －1 ． 由于 P 是 Ω 中的每个群的子群， 所以 Ω 中的 每个子群皆为非交换子群并且这些子群的阶是互不 相同， 因而它们两两互不同构． 从而我们有 τ（ G ） = |Ω| ， 所以 G 的每个非交换子群的共轭类必在 Ω 中 有 一 个 代 表． 因 此 有 τ （ P ） = 1 ， 且 每 个 形 如 i2 ， …， ik ｝ ｛ 2， …， n｝ ） 的子群是交 P i1 P i2 … P i k （ ｛ i 1 ， 换群． 特别地， 子群 K = P2 P3 …P n 也是一个交换群． 接下来分 2 种情况考虑： 1 ） 情形 1 ， G 幂零． 此时有 G = P × K． 类似定理 1 的证明可知 K 是 无平方因子的循环群， 因此定理结论 1 ） 成立． 2 ） 情形 2 ， G 非幂零． …， n） 至少有一个是非 幂 零 此时 PP i （ i = 2 ， 群， 不失一般性， 假设 H = PP2 是一个非幂零群． 由 集合 Ω 的属性可知 τ（ H） = 2 ． 根据引理 2 知： H Q8 ： Z 3 或 N1 ， 1， p ： Zq ． 假设 H Q8 ： Z3 ， 则有 G = P × L，其中 L = P3 …P n ． 类似类似定理 1 的证明可知 L 也是无平方 因子的循环群， 因此定理结论 2 ） 成立． 假设 H N1， 类似上面讨论可得定理结 1， p ： Zq ， 论 3 ） 成立． 定理 3 设 G 是 有 限 非 可 解． 则 τ（ G ） （ G ） | + 1 π 当且仅当 G A5 ． 1］的定理 1 ． 2 ． 见文献［ 证明 参考文献：
d d
0
引言
Baidu Nhomakorabea
对于有限群 ． 通过一些特殊子群的共轭类 刻 画有限群的属性 ，一直是群论研究的热点 ， 同时也 1］研究了非正规子群共轭类对 是一个难点 ． 文献［ 有限群结构的影响 ． 主要考虑非交换子群的共轭 类 ． 用 τ （ G ） 表示群 G 中非交换子群的共轭类数 ， π （ G ） 表示 G 的素因子的集合 ． τ （ G ） = 1 等价于 G 是每个子群皆交换的非交换群 ，这类群已被 Miler ［2］ ［4］ 和 Moreno 完全分类 ． 2011 年 ， 史江涛和张翠 证明满足 τ （ G ） ≤ 3 的群可解 ， 并且定出 τ （ G ） = 4 的非可解群只有 60 阶非交换单群 A5 ． 2012 年周志
［5 ］
n m n m n －1
π （ G ） | 的有限群 ， 得到这类群是可解的并给出完 全分类 ． 同时得到 τ （ G ） 的一个下界 ，即证明了如 下定理 ： 定理 成立： 设 G 是一个有限非交换群，则下列之一
设 G 是一个群且 | π（ G ） | = 2 ． 假若
G 有一个非交换的 Sylow 子群， 则 τ（ G ） = 2 当且仅 当同构与下列群之一， 1 ） Q8 × Z q ； 2 ） M n， m， p × Zq ； 3 ） N n， m， p × Zq ； 4 ） Q8 ∶ Z 3 ； 5 ） N1 ， 其中对每个 Z q － 不变子群 H 满足 1， p ∶Z q ， ［ H， Z q］ = 1 ．
1 ） G P × Z m ，其中 P ∈ Sly p （ G ） ， τ（ P） = 1 ， （ p， m） = 1 ， 且 m 无平方因子； m） = 1 且 m 无 2 ） G （ Q8 ∶ Z3 ） × Z m 其中（ 6 ， 平方因子； 3 ） G N1 ， 其中对每个 Z m － 不变子群 H 1， p ∶ Zm ， H， Z m］ = 1 且 m 无平方因子． 满足［ 证明 充分性是显然的， 我们只证必要性． p2 ， p3 ， …， 设 | π（ G ） | = n ≥ 2 ． 令 π（ G ） = ｛ p1 ， G ， G Sylow ． pn ｝ ， 系 设集合 由于 是可解群 所以 拥有
则 τ（ G ） = 1 当且仅 设 G 是一个群，
当 G 同构与下列群之一， 1 ） 四元数群 Q8 ； 2 ） M n， a， b | ap = bp = 1， a b = a1 +p ］ ； m， p = ［ ［ a， b］ a， b， c | a p = b p = c p = 1， 3 ） N n， m， p = ［ = c， ［ a， c］ = ［ b， c］ = 1 ］ ； 4 ） p － 基本群． 引理 2
非交换子群共轭类的一个注记
孟
1 伟 ，马
丽
2
（ 1． 云南民族大学 数学与计算机科学学院 ， 云南 昆明 650031 ； 2． 曲靖师范学院 数学与信息科学学院 ， 云南 曲靖 655011 ）
摘要： 设 G 是有限群． 用 τ（ G ） 表示 G 中非交换子群的共轭类数，π （ G ） 表示 G 的素因子的集 | （ G） | － 2 或 | π（ G ） | + 1 ． 分析上述不等式中等号成立的有限群的 合． 对于每个非交换群有 τ（ G ） ≥2 π 分类． 关键词： 交换子群； 共轭类； 同构分类 中图分类号： O152. 1 文献标志码： A 文章编号： 1672 － 8513 （ 2015 ） 01 － 0034 － 03 构分类问题 ． 所用的术语和符号都是标准的 ． 另 Z p 表示 p 阶初等 外， 文中用 Z n 表示 n 阶循环群 ， Q 8 表示 8 阶四元数群 ， A × B 表示群 A 与 交换 p 群 ， B 的直积 ， A ∶ B 表示正规子群 A 被子群 B 的可裂扩 张．
| （ G） | － 2 | Ω | = 2 n －1 ， 这与 τ（ G ） = 2 π 矛盾． 所以 G 的每
个 Sylow 子群 P i 是交换的．
2 －2 = 1， 如果 n = 2 ，那么 τ（ G ） = 2 根据引理 1
知 G 是一个 p － 基本群， 结论成立． 接下来假设 n ≥ 3 ． 考虑所有形如 P i P j （ i ≠ j） 的子群， 如果这些群皆 为交换群， 则 G 也是交换群． 因此必存在某个子群 P i P j （ i ≠ j） 是非交换群， 不失一般性， 可假设 H = P1 P2 是一个非交换子群． 令 Ω = ｛ HP i1 P i2 …P i k | i2 ， …， ik ｝ ｛ 3， …， n － 1｝ ｝ ， ｛ i1 ， 则有 | Ω | = 2 ． H ， 显然 Ω 中的每个子群皆包含 所以 Ω 中的每个子 群皆为非交换子群并且这些子群的阶是互不相同 ， n －2 = |Ω|， 因而它们两两互不同构． 由于 τ（ G ） = 2 所以 G 的每个非交换子群的共轭类必在 Ω 中有一个 代表． 因此 我 们 得 到 H 是 一 个 极 小 非 交 换 群， 即 H 是一个 p － 基本群． 进 τ（ H） = 1 ． 根据引理 1 知， ｛ i， j｝ ≠ ｛ 1 ， 2 ｝ ） 的子群 一步知所有形如 P i P j （ i ≠ j， 皆为交换群． 所以我们得到 G = H × K ， 其中 K = P3 P4 …P n 是一个交换群． 如果某个 P i 的阶大于 p i ， 则 HL 也是 G 的一个 取 P i 的一个非平凡的真子群 L， 非交换子群且 | HL | 不等于 Ω 中任一子群的阶， 这矛
收稿日期： 2014 － 05 － 26． 基金项目： 国家自然科学基金（ 11361075 ） ．
作者简介： 孟伟（ 1981 － ） ， 副教授． 主要研究方向： 群及其表示． 男， 硕士，
第1 期
马丽： 非交换子群共轭类的一个注记 孟伟，
35
2
主要结果
定理 1
| （ G） | － 2 设 G 是有限可解． 则 τ（ G ） = 2 π
n －2 盾于 τ（ G ） = 2 ． 所以 K 是无平方因子阶的交换 群， 从而 K 是一个循环群． 定理结论成立． | （ G） | － 1 定理 2 设 G 是有限可解． τ（ G ） = 2 π 当 且仅当 G 是下列情形之一： n －2
=|
36
云南民族大学学报（ 自然科学版） 2011 ， 27 （ 5 ） ： 891 － 896．
2015 ， 24 （ 1 ） ： 34 － 36 云南民族大学学报： 自然科学版， doi： 12． 3969 / j． issn． 1672 － 8513． 2015． 01． 007
CN 53 － 1192 / N
ISSN 1672 － 8513
http： / / xb. ynni. edu. cn
［5］ 浩和郭秀云 给出了 τ （ G ） = 2 有限群的同构分 6］中 ， 类 ． 笔者在文献［ 考虑满足不等式 τ （ G ） ≤ |
1
预备引理
定义
［7 ］ d d 如果 G = Z p ∶ Z q m 且 Z q m 作用在 Z p 上
不可约， 那么称 G 是一个 p － 基本群． 引理 1
第 24 卷
［ 2］ MILLEＲ G A，MOＲENO H C． Non － abelian groups in which every subgroup is abelian［J］ ． Transactions of the American Mathematical Society， 1903 ， 4 （ 4 ） ： 398 － 404． ［ 3］ ＲOBINSON D J． A Course in the Theory of Groups ［ M］ ． Berlin： Springer， 1980 ： 232 － 234． ［ 4］ SHI J T，ZHANG C． Some sufficient conditions on the number of non － abelian subgroups of a finite group to be solvable［J］ ． Acta Mathematica Sinica， English Series，
1 ） 如果 G 是一个非交换的可解群， 且 G 的每个 | π（ G ） | － 2 ； Sylow 子群交换，那么 τ（ G ） ≥ 2 2 ） 如果 G 是一个非交换的可解群， 且 G 至少有 | （ G） | － 1 ； 一个非交换的 Sylow 子群，那么 τ（ G ） ≥ 2 π 3 ） 如 果 G 是 一 个 非 可 解 群，那 么 τ（ G ） ≥ | π（ G ） | + 1 ． 考虑上 述 定 理 中 等 号 成 立 时 的 有 限 群 的 同
［ 1］ 孟伟， 史江涛． 有限群中非正规子群数量的一个标注 ［ J］ ． 云南民族大学学报： 自然科学版， 2010 ， 19 （ 5 ） ： 360 － 362．
．
先证 G 的每个 Sylow 子群 P i 是交换群． 若否， 则 G 至少有一个 Sylow 子群是非交换群， 不失一般性， 可假设 Sylow 子群 P1 是一个非交换群． 考虑集合 Ω i2 ， …， ik ｝ ｛ 2， …， n｝ ｝ ，则 = ｛ P 1 P i1 P i2 … P i k | ｛ i 1 ， | Ω | = 2 n －1 ． 由于 P1 是 Ω 中的每个群的子群， 所以 Ω 中的每个子群皆为非交换子群并且这些子群的阶是 互不相同， 因而它们两两互不同构． 从而有 τ（ G ） ≥
当且仅当 G 同构于 H × Z m ， 其中 H 是 p － 基本群， （|H|， m） = 1 且 m 无平方因子． 证明 充分性是显然的， 只证必要性． p2 ， p3 ， 设 | π（ G ） | = n ≥ 2 ． 令 π（ G ） = ｛ p1 ， …， p n ｝ ，由于 G 是可解群， 所以 G 拥有 Sylow 系． 设 P2 ， P3 ， …， P n ｝ 是 G 的 Sylow 系， 其中 集合S = ｛ P1 ， P i ∈ Sly p i （ G ） ， 2， …， n｝ i = 1， 2， …， n， 则对集合｛ 1 ， i2 ， …， ik ｝ ， P i1 P i2 …P i k 是 G 的子 的任意一个子集｛ i1 ， 群
［3 ］
S = ｛ P1 ， P2 ， P3 ， …， P n ｝ 是 G 的 Sylow 系， 其中 P i ∈ Sly p i （ G ） ， 2， …， n｝ 的任 i = 1， 2， …， n， 则对集合 ｛ 1 ，
i2 ， …， ik ｝ ， P i1 P i2 …P i k 是 G 的子群． 意一个子集｛ i1 ， G 必有一个非交换的 根据定理 1 的证明可知， Sylow 子群． 不失一般性， 假设 Sylow 子群 P1 是一个 非 交 换 群． 重 记 P = P1 ， 考 虑 集 合 Ω = ｛ P P i1 P i2 … P i k | ｛ i 1 ， i2 ， …， ik ｝ ｛ 2， …， n｝ ｝ ， 则| Ω | = 2 n －1 ． 由于 P 是 Ω 中的每个群的子群， 所以 Ω 中的 每个子群皆为非交换子群并且这些子群的阶是互不 相同， 因而它们两两互不同构． 从而我们有 τ（ G ） = |Ω| ， 所以 G 的每个非交换子群的共轭类必在 Ω 中 有 一 个 代 表． 因 此 有 τ （ P ） = 1 ， 且 每 个 形 如 i2 ， …， ik ｝ ｛ 2， …， n｝ ） 的子群是交 P i1 P i2 … P i k （ ｛ i 1 ， 换群． 特别地， 子群 K = P2 P3 …P n 也是一个交换群． 接下来分 2 种情况考虑： 1 ） 情形 1 ， G 幂零． 此时有 G = P × K． 类似定理 1 的证明可知 K 是 无平方因子的循环群， 因此定理结论 1 ） 成立． 2 ） 情形 2 ， G 非幂零． …， n） 至少有一个是非 幂 零 此时 PP i （ i = 2 ， 群， 不失一般性， 假设 H = PP2 是一个非幂零群． 由 集合 Ω 的属性可知 τ（ H） = 2 ． 根据引理 2 知： H Q8 ： Z 3 或 N1 ， 1， p ： Zq ． 假设 H Q8 ： Z3 ， 则有 G = P × L，其中 L = P3 …P n ． 类似类似定理 1 的证明可知 L 也是无平方 因子的循环群， 因此定理结论 2 ） 成立． 假设 H N1， 类似上面讨论可得定理结 1， p ： Zq ， 论 3 ） 成立． 定理 3 设 G 是 有 限 非 可 解． 则 τ（ G ） （ G ） | + 1 π 当且仅当 G A5 ． 1］的定理 1 ． 2 ． 见文献［ 证明 参考文献：
d d
0
引言
Baidu Nhomakorabea
对于有限群 ． 通过一些特殊子群的共轭类 刻 画有限群的属性 ，一直是群论研究的热点 ， 同时也 1］研究了非正规子群共轭类对 是一个难点 ． 文献［ 有限群结构的影响 ． 主要考虑非交换子群的共轭 类 ． 用 τ （ G ） 表示群 G 中非交换子群的共轭类数 ， π （ G ） 表示 G 的素因子的集合 ． τ （ G ） = 1 等价于 G 是每个子群皆交换的非交换群 ，这类群已被 Miler ［2］ ［4］ 和 Moreno 完全分类 ． 2011 年 ， 史江涛和张翠 证明满足 τ （ G ） ≤ 3 的群可解 ， 并且定出 τ （ G ） = 4 的非可解群只有 60 阶非交换单群 A5 ． 2012 年周志
［5 ］
n m n m n －1
π （ G ） | 的有限群 ， 得到这类群是可解的并给出完 全分类 ． 同时得到 τ （ G ） 的一个下界 ，即证明了如 下定理 ： 定理 成立： 设 G 是一个有限非交换群，则下列之一
设 G 是一个群且 | π（ G ） | = 2 ． 假若
G 有一个非交换的 Sylow 子群， 则 τ（ G ） = 2 当且仅 当同构与下列群之一， 1 ） Q8 × Z q ； 2 ） M n， m， p × Zq ； 3 ） N n， m， p × Zq ； 4 ） Q8 ∶ Z 3 ； 5 ） N1 ， 其中对每个 Z q － 不变子群 H 满足 1， p ∶Z q ， ［ H， Z q］ = 1 ．
1 ） G P × Z m ，其中 P ∈ Sly p （ G ） ， τ（ P） = 1 ， （ p， m） = 1 ， 且 m 无平方因子； m） = 1 且 m 无 2 ） G （ Q8 ∶ Z3 ） × Z m 其中（ 6 ， 平方因子； 3 ） G N1 ， 其中对每个 Z m － 不变子群 H 1， p ∶ Zm ， H， Z m］ = 1 且 m 无平方因子． 满足［ 证明 充分性是显然的， 我们只证必要性． p2 ， p3 ， …， 设 | π（ G ） | = n ≥ 2 ． 令 π（ G ） = ｛ p1 ， G ， G Sylow ． pn ｝ ， 系 设集合 由于 是可解群 所以 拥有