非交换子群共轭类的一个注记
群与共轭子群的个数关系_概述及解释说明
群与共轭子群的个数关系概述及解释说明1. 引言1.1 概述本文旨在探讨群与共轭子群之间的关系，具体而言是研究它们数量上是否存在某种规律或者模式。
群论作为数学中的一个重要分支，对于研究各种结构和现象有着广泛的应用。
而共轭子群则是群论中一个重要的概念，描述了在一个给定群内部变换时所形成的特殊子群。
1.2 文章结构本文将首先介绍群与共轭子群的定义和性质，然后详细解释二者之间的关系。
接下来，我们将进行证明，展示了不同情况下群与共轭子群个数关系的具体计算方式和结果。
最后，我们将讨论该关系在密码学、物理学以及对数学研究方面的应用和意义。
1.3 目的通过研究群与共轭子群之间的个数关系，我们可以更深入地了解这两个概念在数学中的重要性，并且探索它们在其他领域中的实际应用价值。
同时，通过证明与计算具体例子，我们希望能够揭示出不同情况下群与共轭子群个数的规律，为相关研究提供一定的指导和启示。
以上是文章“1. 引言”部分的内容，介绍了文章的概述、结构和目的。
通过阅读本部分，读者可以对整篇文章的内容有一个初步的了解，并对后续章节所涉及到的群与共轭子群关系问题有一个大致的预期。
2. 群与共轭子群的关系:2.1 群的定义和性质:群是一个集合，其中包含了一种二元运算，通常表示为乘法或加法。
群必须满足四条性质：封闭性、结合律、存在单位元和存在逆元。
2.2 共轭子群的定义和性质:在一个群中，对于给定的一个元素g，在该群中与g相似的所有元素所组成的集合称为共轭类。
而与给定子群H具有相同共轭类的所有子群所组成的集合称为共轭子群。
共轭类和共轭子群具有以下性质：- 共轭类中的每个元素都在同一个共轭类中- 相等的子群一定是共轭子群- 如果两个子群是共轭子群，则它们具有相同阶数2.3 群与共轭子群的关系解释:在一个给定的群中，不同的元素拥有不同的特性和属性。
当我们考虑这些元素及其乘法关系时，我们可以观察到一些相似性质，例如它们之间所保持的结构、对称性等。
有限群中非交换子群的共轭类数
本文所涉及的所有群都是有限群，没有特别说明的概念和术语均是标准的，可参见文献 ［１２－１５］．
１ 预备引理
引理 １［１］ 设 Ｇ是一个群，则 τ（Ｇ） ＝１当且仅当 Ｇ同构于下列群之一： １）四元数群：Ｑ８； ２）亚循环群：Ｍｎ，ｍ，ｐ ＝[ ａ，ｂ｜ａｐ ＝ｂｐｍ ＝１，ａｂ ＝ａ１＋ｐｎ－１] ； ３）非亚循环群：Ｎｎ，ｍ，ｐ ＝[ ａ，ｂ，ｃａｐｎ ＝ｂｐｍ ＝ｃｐ ＝１，[ ａ，ｂ] ＝ｃ，[ ａ，ｃ] ＝[ ｂ，ｃ] ＝１，ａｂ ＝ａ１＋ｐｎ－１] ； ４）ｐ－基本群：[ ａ１，ａ２，…，ａｎ，ｂａ１ｐ ＝ａ２ｐ ＝… ＝ａｐｎ ＝ｂｑｍ ＝１，[ ａｉ，ａｊ] ＝１，ａｂｉ ＝ａｉ＋１，ａｂｎ ＝ａ１ｄ１…ａｄｎｎ] ．
收稿日期：２０１９－０４－０１． 基金项目：国家自然科学基金（１１７６１０７９，１１８６１０１５）． 作者简介：杨桂芳（１９９５－），女，硕士研究生．主要研究方向：有限群． 通信作者：孟伟（１９８１－），男，博士，教授．主要研究方向：群及其表示．
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云南民族大学学报（自然科学版） 第 ２８卷
云南民族大学学报（自然科学版），２０１９，２８（４）：３４９－３５１ ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７２－８５１３．２０１９．０４．００７
共轭类和正规子群的关系
共轭类和正规子群的关系在群论的世界里，聊起共轭类和正规子群，那真是一个有趣的故事啊！想象一下，一群小伙伴们聚在一起，有的玩得很开心，有的却总是要躲在角落里，这就像是共轭类和正规子群的关系。
你看，共轭类就像那些活泼的小朋友，他们总是喜欢围在一起，嘻嘻哈哈，换着不同的角色，展现不同的风采。
比如说，给你一个元素，咱们就可以通过群里的其他元素把它“变身”，就像魔法一样。
哦，对了，别忘了那群小伙伴，咋一看似乎都是不同的角色，但其实在这个大群体里，他们都有着共同的特征，简直就是一窝好基友！而正规子群嘛，嘿，感觉就像是这个大团体里的一小撮人。
他们不太喜欢变化，宁愿扎根在自己的小圈子里。
就像那些对家乡情有独钟的人，虽然外面的世界五光十色，他们却总是喜欢回到那个熟悉的小村庄。
正规子群的每个元素，和整个群体的元素之间，关系可不是一般的亲密哦。
你换哪个元素，他们都能跟得上，完全不掉链子。
这种关系让它们像是个大家庭，彼此之间非常默契，真是“家家有本难念的经”，却又能和谐共处。
聊到这里，有没有觉得这两个概念的关系像极了我们生活中的朋友呢？共轭类就像那些喜欢到处走动，探索新事物的朋友，而正规子群则是那些稳重、踏实的老友。
你想啊，谁不喜欢和一群有趣的小伙伴在一起呢？不过，正是那些相对安静的人，才是你最值得依靠的。
就像正规子群，它们虽然在群体中不那么张扬，但却总能在关键时刻给予支持。
在数学的角度看，共轭类的元素可以通过一个变换来获得，这听起来有点复杂，但其实就像在玩角色扮演游戏。
你选择一个角色，随着游戏的发展，你可以换上不同的装备和技能。
正规子群的元素则是坚守自己角色的人，他们知道自己的能力和局限，不会随便换来换去。
这样的选择让他们在稳定中寻求成长，活得稳稳当当。
而在这个群体中，大家也不会无缘无故地对某些角色排斥，彼此之间会形成一种特殊的关系。
共轭类里的每个元素都能通过正规子群找到归属感，这就像是无形的纽带，把彼此连接在一起。
晶体学中的对称群 课堂笔记 复习资料(完整版)
共 轭 子 群 不 变 子 群 商 群
同 构 同 态
H P = {1} ，且它们的元相互相乘时遵从交换律： hi p j = p j hi ，则
（1）群 H 中任一元 hi 与群 P 中任一元 p j 的乘积的集合 G =
h p } { p h } 构成群 G ，称 {=
i j j i
G 为 H 与 P 的外直积，记为： G = H ⊗ P = P ⊗ H 或 G = H × P = P × H
1 1 , , 0 ，即 C 心平移。 2 2
PS：与平移有关的都写在括号内，包括螺旋旋转与滑移反映中的平移分量。 （2）纯旋转：用数字 n = 2,3, 4, 6 表示，用数字右上角的 + 或 - 号表示旋转向指，最后是 转轴的位置。 eg： 4+ 0, y, 0 ，即绕着直线 0, y, 0 正向旋转 90°。
共 轭 和 共 轭 类
y 共轭的元素，这些元素的集合叫做群 G 中以 y 为代表的共轭类。
共轭类的阶： （P56）共轭类中包含的元素的个数，必为它所属群的阶的一个因数。 子群： （P56）某个群 G 的子集合也可能构成一个群，称为群 G 的子群。为检验群 G 中的某 子集合是否为群，只需检验封闭性与逆元这两条性质是否成立。 子群网： （P57）把有限群 G 与它的所有最大子群分别用线连起来，再把这些子群又与它们 各自的最大子群连起来， 如此继续下去到仅含单位元的 1 阶群 1， 这样得到的图叫群 G 的子 群网。 陪 集 ：（ P58 ） 群 G 的 某 一 子 群 H = {h1 , h2 , , hr } ， b ∈ G 且 b ∉ H ， 则
1 4
1 4
（5） 滑移反映： 一般可用字母 g 表示， 平移的滑移分量写在括号内， 随后是滑移面的位置。 滑移反映用 a, b, c, n, d 表示时，不必写出滑移分量 eg： g
Wielandt定理与非幂零极大子群指数皆为素数的有限群
第28卷㊀第3期2023年6月㊀哈尔滨理工大学学报JOURNAL OF HARBIN UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY㊀Vol.28No.3Jun.2023㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀Wielandt 定理与非幂零极大子群指数皆为素数的有限群田云凤,㊀史江涛,㊀刘文静(烟台大学数学与信息科学学院,山东烟台264005)摘㊀要:为了进一步研究每个非幂零极大子群的指数皆为素数的有限群的可解性,使用反证法和极小阶反例的方法,并结合应用Wielandt 给出的一个关于具有幂零Hall -子群(不是Sylow -子群)的有限群G 的结构刻画的定理,得到了一个较为初等的关于每个非幂零极大子群的指数皆为素数的有限群G 的可解性的证明㊂该证明没有应用Glauberman-Thompson p -幂零准则和Rose 的关于具有幂零极大子群的非交换单群的分类和关于具有幂零极大子群且中心等于1的非可解群的刻画,这改进了之前在相关的研究文献中关于这个结论的证明㊂关键词:Wielandt 定理;非幂零极大子群;指数;素数;可解DOI :10.15938/j.jhust.2023.03.017中图分类号:O152.1文献标志码:A文章编号:1007-2683(2023)03-0140-04Wielandtᶄs Theorem and Finite Groups with Every Non-nilpotent Maximal Subgroup with Prime IndexTIAN Yunfeng,㊀SHI Jiangtao,㊀LIU Wenjing(School of Mathematics and Information Sciences,Yantai University,Yantai 264005,China)Abstract :In order to give a further study of the solvability of a finite group in which every non-nilpotent maximal subgroup hasprime index,the methods of the proof by contradiction and the counterexample of the smallest order and a theorem of Wielandt on the characterization of the structure of a finite group G with a nilpotent Hall-subgroup which is not a Sylow subgroup are applied to obtain a more elementary proof of the solvability of a finite group in which every non-nilpotent maximal subgroup has prime index.The proof does not apply the Glauberman-Thompson p -nilpotent criterion and Roseᶄs two results on a classification of non-abelian simple groups with nilpotent maximal subgroup and a characterization of non-solvable group with nilpotent maximal subgroup and trivial centerrespectively,which improves the proof of the result in the relevant research references.Keywords :Wielandtᶄs theorem;non-nilpotent maximal subgroup;index;prime;solvable㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀收稿日期:2022-03-01基金项目:国家自然科学基金(11761079);山东省自然科学基金(ZR2017MA022;ZR2020MA044);烟台大学研究生科研创新基金(GGI-FYTU2312).作者简介:田云凤(1998 ),女,硕士研究生;刘文静(1997 ),女,硕士研究生.通信作者:史江涛(1980 ),男,博士,副教授,硕士研究生导师,E-mail:jiangtaoshi@.0㊀引㊀言本文讨论的群都是有限群,所用符号都是标准的,见文[1]㊂对于群的一般极大子群,Guralnick 在文[2]中证明了如果群G 的每一极大子群的指数皆为素数幂,则G /O ɕG ≅1或PSL (2,7),其中O ɕG为G 的最大的正规可解子群.Huppert 定理(见文[1]第IX 章定理1.12)证明了群G 是超可解群当且仅当G 的所有极大子群的指数是素数㊂对于具有幂零极大子群的群,Thompson 定理(见文[3]定理10.4.2)证明了如果群G 具有一个奇数阶幂零极大子群M ,则G 可解㊂王宏在定理3中证明了对于具有幂零极大子群和交换Sylow 2-子群的群G ,如果G的奇素数阶子群都是半正规的,则G有亏零2-块的充分必要条件是O2(G)=1㊂考虑群的非幂零极大子群,文[5]证明了如果群G的每一非幂零极大子群的指数为素数幂,则G/S(G)≅1或PSL(2,7),其中S(G)为G的最大的可解正规子群㊂文[6]定理1.1得到了对于非可解群G的阶的任意素因子p,G中均存在阶能被p 整除的非幂零极大子群㊂文[7]定理1.1和定理1.3分别刻画了非幂零极大子群共轭类类数等于2的群的可解性和非幂零极大子群同阶类类数等于2的非可解群的结构㊂文[8]定理2给出了非可解群所含非幂零极大子群个数的一个下界㊂对于每个非幂零极大子群皆正规的群,文[9]引理4㊁文[10]定理1.3和定理3.5㊁文[11]定理1和文[12]定理1.1分别从不同的角度证明了该类群是可解群㊂特别地,文[13]定理5在非幂零极大子群皆正规的群是可解群的基础上进一步证明了该类群具有Sylow塔,而作为文[13]定理5的证明的改进,文[14]定理1的证明不需要用到非幂零极大子群皆正规的群的可解性,直接证明了该类群具有Sylow塔㊂1㊀主要结果与预备引理进一步考虑每个非幂零极大子群指数皆为素数的群,文[10]定理1.2(1)㊁文[15]定理1.3和文[16]定理7分别从不同的角度证明了下述结论成立:定理1[10,15,16]㊀如果群G的每个非幂零极大子群的指数皆为素数,则G可解㊂文[17]在定理1中的群是可解群的基础上,进一步证明了该类群具有Sylow塔㊂文[18]在定理1中的群是可解群的基础上刻画了该类群的子群结构㊂需要指出的是,在文[10]定理1.2(1)的证明中用到了下面的Glauberman-Thompson p-幂零准则:定理2[1]㊀设G为群,p为奇素数,PɪSyl p(G)㊂若N G(Z(J(P))有正规p-补,则G也有正规p-补,其中J(P)是P的Thompson子群㊂在文[15]定理1.3的证明中用到的关键定理是Rose在文[19]中给出的关于具有幂零极大子群的非交换单群的分类刻画和关于具有幂零极大子群且中心等于1的非可解群的刻画:定理3[19]㊀具有幂零极大子群的非交换单群必为某个射影特殊线性群PSL(2,p),其中p为大于等于17的费马素数或梅森素数㊂定理4[19]㊀设G是一个具有幂零极大子群M 的非可解群,若Z(G)=1,则M是G的Sylow2-子群㊂在文[16]定理7的证明中用到的关键定理为上述定理4㊂在文[20]第四章定理7.3中,Wielandt定理给出了具有幂零Hall-子群的群G的结构刻画:定理5[20]㊀设H是群G的幂零Hall-子群但不是Sylow子群㊂假若对于|H|的任一素因子p,H 的Sylow p-子群P都满足N G(P)=H,那么存在G 的正规子群K使得G=KH且KɘH=1㊂在本文中,我们将不应用上述定理2㊁定理3和定理4,使用反证法和极小阶反例的方法,并结合应用上述定理5给出关于上述定理1的一个较为初等的新证明,我们的证明改进了文[10]定理1.2(1)㊁文[15]定理1.3和文[16]定理7中的证明㊂引理1[3]㊀假设群G的每个极大子群皆幂零但G自身非幂零,则G可解㊂引理2[1]㊀令p是群G的阶的最大素因子,PɪSyl p(G),那么或者P正规于G,或者包含N G(P)的极大子群有合数指数㊂引理3[3]㊀如果群G具有一个奇数阶的幂零极大子群,则G可解㊂引理4[21]㊀设G为非交换单群,πt(G)是G的所有极大子群指数的集合㊂如果πt(G)中存在一个素数p,则p必为|G|的最大素因子㊂2㊀定理1的新证明证明:设G为极小阶反例㊂如果群G的每个极大子群皆幂零,因为G非幂零,则G是内幂零群,由引理1知G可解,矛盾㊂如果G的每个极大子群皆非幂零,由题设知G的每个极大子群的指数皆为素数,则G为超可解群,亦有G可解,矛盾㊂故G既有幂零极大子群亦有非幂零极大子群㊂设p为|G|的最大素因子,因为G非可解,则p 必为奇素数㊂设PɪSyl p(G)㊂若P正规于G,显然商群G/P满足题设条件且|G/P|<|G|,由G为极小阶反例知G/P可解,从而G可解,矛盾㊂故P不正规于G㊂特别地,G不含可解的非平凡正规子群㊂141第3期田云凤等:Wielandt定理与非幂零极大子群指数皆为素数的有限群由引理2知G 的包含N G (P )的极大子群具有合数指数㊂由题设,N G (P )只能包含在G 的某个幂零极大子群内㊂不妨设M 为G 的幂零极大子群使得N G (P )ɤM ㊂先证M 是G 的Hall -子群㊂反证,假设M 不是G 的Hall -子群,则|M |存在一个素因子q 使得M 的Sylow q -子群不是G 的Sylow q -子群㊂不妨设Q 1ɪSyl q (M )和Q ɪSyl q (G )使得Q 1<Q ,则存在Q 2ɤQ 使得Q 1<Q 2且|Q 2ʒQ 1|=q ,于是Q 1正规于Q 2㊂又因为M 幂零,知N G (Q 1)ȡ M ,Q 2⓪>M ㊂由M 为G 的极大子群得N G (Q 1)=G ,说明Q 1正规于G ,与G 不含可解的非平凡正规子群矛盾㊂故M 是G 的Hall -子群㊂下证M 不是G 的Sylow 子群㊂反证㊂如果M 是G 的Sylow 子群,因为M ȡN G (P ),则有M =N G (P )=P ㊂注意p 为奇素数,于是M 是G 的奇阶幂零极大子群,由引理3知G 可解,矛盾㊂故M 不是G 的Sylow 子群㊂设w 为|M |的任一素因子,令W ɪSyl w (M ),因为M 幂零,则M ɤN G (W )㊂又M 为G 的极大子群且G 不含可解的非平凡正规子群,所以必有N G (W )=M ㊂由定理5知,存在G 的正规子群H ,使得G =HM 且H ɘM =1,即G 为H 和M 的半直积㊂因为M 是G 的极大子群,知H 必为G 的极小正规子群㊂又H 非可解,于是H 为若干同构的非交换单群的直积㊂不妨设H =H 1ˑH 2ˑ ˑH m ,其中∀1ɤi ɤj ɤm 都有H i ≅H j ㊂设r 是|H |的最大素因子,则r 是奇素数㊂注意r 亦为每一个|H i |的最大素因子㊂因为M 是G 的Hall -子群,故r 不整除|M |㊂令R ɪSyl r (H ),则R 亦为G 的Sylow r -子群㊂显然R 不正规于G ,于是N G (R )<G ㊂设K 为G 的极大子群使得N G (R )ɤK ㊂由Frattini 论断,知G =HN G (R )=HK ㊂下面对K 分幂零和非幂零两种情形进行讨论:如果K 幂零,因为G =HM =HK ,则|HM |=|HK |,即|H ||M |=|H ||K ||H ɘK |㊂于是|M |=|K ||H ɘK |整除|K |㊂因为K 为G 的幂零极大子群,类似上面关于M 的讨论,知K 为G 的Hall -子群但不是G 的Sylow 子群㊂设s 是|M |的任一素因子,则s ||K |㊂令S 1ɪSyl s (M )和S 2ɪSyl s (K ),则S 1和S 2都是G的Sylow s -子群㊂因此,存在g ɪG ,使得S 1=S g 2㊂因为S 2ɤK ,所以S g2ɤK g㊂由K 幂零知K g亦幂零㊂注意R g ɤK g 且r ʂs ,则S g2和R g 可交换,即S 1和R g可交换㊂于是R g ɤN G (S 1)㊂又M ɤN G (S 1),因此N G (S 1)ȡ M ,R g ⓪㊂又r 不整除|M |,所以 M ,R g ⓪>M ,得N G (S 1)ȡ M ,R g ⓪>M ,从而有S 1正规于G ,矛盾㊂如果K 非幂零,由题设知|G ʒK |为素数,设该素数为t ㊂因为K ȡN G (R ),所以t ʂr ㊂由于G =HK ,知|G ʒK |=|HK ʒK |=|H ʒH ɘK |=t ʂr ㊂则H ɘK 是H 的极大子群㊂注意H =H 1ˑH 2ˑ ˑH m ,于是必然存在某个H i ,使得H i 不包含于H ɘK ㊂不妨设H 1不包含于H ɘK ,因为H 1正规于H 且H ɘK 是H 的极大子群,则H =H 1(H ɘK )㊂于是|H ʒH ɘK |=|H 1(H ɘK )ʒH ɘK |=|H 1ʒH 1ɘ(H ɘK )|=|H 1ʒ(H 1ɘK )|=t ʂr ,知非交换单群H 1有一个指数为素数t 的极大子群H 1ɘK ㊂由引理4知,t 必为|H 1|的最大素因子㊂进而t 必为|H |的最大素因子,这与r 是|H |的最大素因子且t ʂr 矛盾㊂综上讨论,说明极小阶反例不存在,故G 是可解的㊂证毕㊂参考文献:[1]㊀徐明曜,黄建华,李慧陵,李世荣.有限群导引(下册)[M].北京:科学出版社,1999.[2]㊀GURALNICK R.M..Subgroups of Prime Power Index in a Simple Group[J].Journal of Algebra,1983,81:304.[3]㊀ROBINSON D.J.S..A Course in the Theory of Groups [M].New York:Springer,2003.[4]㊀王宏,钱方生.某些子群是半正规的有限群亏零块的存在性[J ].哈尔滨理工大学学报,2020,25(4):167.WANG Hong,QIAN Fangsheng.The Existence of p -blocks of Defect 0in a Finite Groups with Some Sub-groups Being Seminormal[J].Journal of Harbin Universi-ty of Science and Technology,2020,25(4):167.[5]㊀郭秀云.非幂零极大子群指数为素数幂的有限群[J].数学年刊:A 辑,1994,15(6):721.GUO Xiuyun.Finite Groups in Which Every 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非正规子群是Sylow子群的有限群
非正规子群是Sylow子群的有限群褚智伟【期刊名称】《《南通大学学报（自然科学版）》》【年(卷),期】2019(018)002【总页数】4页(P87-90)【关键词】有限群; 非正规子群; 共轭; Sylow子群【作者】褚智伟【作者单位】南通师范高等专科学校学前教育第一学院江苏南通 226006【正文语种】中文【中图分类】O152.1研究子群的正规性与有限群结构的关系是有限群的重要课题之一。
著名的Dedekind 群就是每个子群都正规的有限群。
这里我们讨论其对偶问题：非正规子群的性质对有限群结构的影响。
Sylow 子群是有限群中最重要的子群，它的正规性影响到群的幂零性，又是群性质和数量性质沟通的桥梁。
文献[1-2]研究了子群的性质对有限群结构的影响；文献[3]给出了恰有p 个相互共轭的非正规子群的有限群结构；文献[4]给出了非正规子群的共轭类类数为4的有限幂零群；文献[5-10]给出了恰有2，4，5，6，7 个非正规子群的有限群及有限NN-群的非正规子群的有限群结构。
本文将研究非正规子群为Sylow 子群的群结构，从数量性质出发探讨群结构的存在性。
1 预备知识和相关引理本文中涉及的群均为有限群。
Pr表示群G 的Sylow r-子群；nr表示群G 的Sylow r-子群的个数；表示群G 的非正规子群的共轭类类数；τ(G)表示群G 中非正规子群的个数；π(G)表示群G 的阶所含全体素因子的集合；表示与H 共轭的子群的个数。
首先，我们介绍几个有用的引理。
引理1[11]若G 为有限群，则如下命题等价：1）。
2）是一个非交换可裂扩张，其中N 为素数阶循环群，P 为素数幂阶循环群，，即，其中：p=2 时，n ≥3；p ≥3 时，n ≥2。
引理2[12]若G 为有限非幂零群，，P为G 的非正规的Sylow p-子群，则G 中除Sylow p-子群外，其余Sylow 子群都正规于G。
当P ＜ NG(P)时，，其中是一非交换可裂扩张，。
正规子群求解方法的一个注记
在传统教材中[１－２],我们发现对共轭类,正 规 子 群 的 叙 述 较 少,在 后 续 的 教 学 研 究 中 有 一 些 新 的 研 究内容涉及这两个问题[３－４]．但总体来说内容 不 多．以 至 于 在 实 际 的 教 学 中,学 生 在 求 正 规 子 群 时 会 有 很多困难．这些困难的来源一方面在于很多学生不能认真,仔细地完成 这 项 工 作;另 一 方 面 的 原 因 也 在 于 按 照 传 统 教 材 的 叙 述 如 果 仅 仅 是 从 定 义 出 发 ,这 项 工 作 会 变 得 繁 冗 ,条 理 不 清 晰 ．基 于 这 些 原 因 ,我 们 希望给出求解正规子群的一般方法．这些方法和技巧在研究群论和表 示 论 中 被 经 常 用 到．但 是,在 抽 象 代 数 教 材 中 又 几 乎 没 有 涉 及 ．但 愿 这 篇 文 章 能 够 弥 补 这 个 知 识 点 的 空 缺 ．
第 ３４ 卷 第 １ 期 ２０１８ 年 ２ 月
大 学 数 学
COLLEGE MATHEMATICS
Vol．３４,№ ．１ Feb．２０１８
正规子群求解方法的一个注记
陈一萍
(武汉大学 数学与统计学学院,武汉 ４３００７２)
[摘 要]Cayley定理是抽象代数中一个非常重要的定理．因为这个定 理 建 立 了 抽 象 的 有 限 群 G 和 一 个 具体群Sn 之间的联系．即 G 同构于Sn 的一个子群．所以,对于 Sn 的子群 的 研 究 就 显 得 尤 其 重 要．但 是,在 教 学实践中,学生只是通过定义来求 Sn 或是Sn 的子群的正 规 子 群 往 往 是 很 困 难 的 事 情．本 文 给 出 了 在 群 论 和 表示论中经常用到求 Sn 的正规子群的一种方法．通过这种方法,希望可以加深学生对相应知识的理解．
正规子群求解方法的一个注记
正规子群求解方法的一个注记陈一萍【摘要】Cayley定理是抽象代数中一个非常重要的定理.因为这个定理建立了抽象的有限群G和一个具体群S n之间的联系.即G同构于S n的一个子群.所以,对于Sn的子群的研究就显得尤其重要.但是,在教学实践中,学生只是通过定义来求Sn或是S n的子群的正规子群往往是很困难的事情.本文给出了在群论和表示论中经常用到求Sn的正规子群的一种方法.通过这种方法,希望可以加深学生对相应知识的理解.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2018(034)001【总页数】4页(P80-83)【关键词】对称群;正规子群;共轭关系;共轭类【作者】陈一萍【作者单位】武汉大学数学与统计学学院,武汉 430072【正文语种】中文【中图分类】O152.11 引言给定一个有限群G，如何确定G的结构是群论中的一个主要问题.Cayley定理是抽象代数中很重要的一个定理.因为这个定理给出了研究抽象的有限群的一种表示论的看法.根据Cayley定理的叙述：设G是阶为n的群，则G同构于Sn的一个子群.这样，有限的抽象群就可以用一个具体的对称群表示出来.如果想要弄清所有的有限群的结构，就只需要弄清楚对称群的所有子群.可是，事实上，这种做法比较困难.但是，尽管如此，对称群的研究对我们理解一般抽象群是十分有益的.在传统教材中[1-2]，我们发现对共轭类，正规子群的叙述较少，在后续的教学研究中有一些新的研究内容涉及这两个问题[3-4].但总体来说内容不多.以至于在实际的教学中，学生在求正规子群时会有很多困难.这些困难的来源一方面在于很多学生不能认真，仔细地完成这项工作；另一方面的原因也在于按照传统教材的叙述如果仅仅是从定义出发，这项工作会变得繁冗，条理不清晰.基于这些原因，我们希望给出求解正规子群的一般方法.这些方法和技巧在研究群论和表示论中被经常用到.但是，在抽象代数教材中又几乎没有涉及.但愿这篇文章能够弥补这个知识点的空缺.按照Cayley定理，研究有限群的正规子群最终归结为研究对称群Sn子群的正规子群.在以下几节里，我们将重点讨论这种情形.2 正规子群与共轭类假设G是n阶有限群，H是G的m阶子群.经典的拉格朗日定理表明m是n的因子.假设α和β是G中的两个元素.α与β共轭是指存在G中的元素γ使得α=γβγ-1.共轭关系是一种等价关系，即满足：自反性，对称性和传递性.利用共轭关系可以给出群G中元素的共轭分类.群G中所有和α共轭的元素称为α的共轭类，记作[α].群N是群G的正规子群如果N是G的子群且对于任意g∈G有N=gNg-1.根据正规子群的定义，群G的正规子群是G中一些共轭类的并集.即：相反，从定义可以直接验证：如果G中一些共轭类的并集和单位元构成群，则它一定是G的正规子群.那么，求解群G的正规子群归根结底就是要确定群G的共轭类.在下面一节将要讨论n元对称群的共轭类.3 共轭类和n元置换的型我们首先回忆一下：Sn中任意一个n元置换都可以写成不相交轮换的乘积.假设α=(a11…a1i)(a21…a2j)…(ar1…ark)是{1，…，n}的一个n元置换α的不相交轮换的分解，并且假设1，…，n这些数字在这些轮换中都已经出现.根据n元置换的定义，在α的基础上去掉括号，a11…a1ia21…a2j…ar1…ark是{1，…，n}的一个排列.例如：S5中置换(13)(24)会被记为(13)(24)(5).这样，打开括号后，得到1，…，5的一个排列13245.下面的一个引理给出Sn中共轭地作用下得到的置换与原来的置换之间的关系.定理1 设n元置换α=(a11…a1i)(a21…a2j)…(ar1…ark)，则对于Sn中任意置换γ，有γαγ-1=(γ(a11)…γ(a1i))(γ(a21)…γ(a2j))…(γ(ar1)…γ(ark)).证显然γ(a11)…γ(a1i)γ(a21)…γ(a2j)…γ(ar1)…γ(ark)是1，…，n的一个排列.左边置换作用在γ(a11)后得到γ(a12).右边的置换作用在γ(a11)上得到γ(a12).故此时等式成立.分别带入a12，…，ark至等式两端可以验证等式成立.这个引理表明共轭类中的所有置换在写成不相交轮换分解时候，任何一个特定长度的轮换个数是相同的.记α的循环分解中，长度为l的轮换个数为λl(α)个.显然，λl(α)是一个大于或者等于0的整数.称λl(α)为n元置换α的第l个型函数.符号(λ1(α)，…，λn(α))称为置换α的型.通过定义可知，型函数满足公式λ1(α)+2λ2(α)+…+nλn(α)=n.在下面的引理中，将要说明引理1的逆命题也是成立的.即在Sn中，两个n元置换在写成不相交的循环分解时，每个长度的轮换个数相同，则这两个置换共轭.定理2 在Sn中，置换α和β共轭当且仅当α与β的第l个型函数相同，其中l=1，…，n.证充分性由引理1可得.下面证明必要性.假设α=(a11a12…a1i)…(ar1ar2…ark)，β=(b11b12…b1i)…(br1br2…brk).令由于a11a12…a1ia21…a2j…ar1…ark与b11b12…b1ib21…b2j…br1…brk分别是1，…，n的排列.所以γ∈Sn.由引理1，γαγ-1=(γ(a11)…γ(a1i))…(γ(ar1)…γ(ark))=(b11…b1i)…(br1…brk).引理2表明Sn中的共轭类由置换的型函数完全决定.例如：在S5中，置换(235)(14)与(123)(45)对应的型函数为(0，1，1，0，0)，因而共轭.在数量关系的层面上，利用排列组合的知识可以知道，型为(λ1，…，λn)的置换个数是这个公式给出了Sn中共轭类元素的个数.为了确定置换的型函数，需要整数的划分这个概念.整数n的一个划分是指序列(a1…al)满足a1≥a2≥…≥al>0和a1+a2+…+al=n.例如：假设n=5.则(1，1，1，1，1)，(2，1，1，1)，(2，2，1)，(3，1，1)，(3，2)，(4，1)，(5)是整数5的所有划分.4 总结与举例分析结合第二和第三部分，求解对称群子群的正规子群的方法归纳如下：(a) 确定整数的划分.(b) 找到每种划分对应的元素的型，从而确定对称群的共轭类.(c) 利用对称群的共轭类对对称群子群大致分类.然后，细化分类.(d) 由于单位元和一些共轭类的并集构成的群是正规子群，所以利用拉格朗日定理，大致给出可能的共轭类的并集.然后再验证是否是群.以下利用两个例子分别说明.例1 求S4的正规子群.解易知S4中有24个元素.假设N是S4的正规子群，由拉格朗日定理可知，N的阶数是24的因子.下面来确定S4的共轭类.数字4有以下5种划分：(a) a1=a2=a3=a4=1.对应置换的型函数是(4，0，0，0).对应共轭类的代表元是(1).共轭类中有1个元素.(b) a1=2，a2=1，a3=1.对应置换的型函数是(2，1，0，0).对应共轭类的代表元是(12).共轭类中有6个元素.(c) a1=2=a2.对应置换的型函数是(0，2，0，0).对应共轭类的代表元是(12)(34).共轭类中有3个元素.(d) a1=3，a2=1.对应置换的型函数是(1，0，1，0).对应共轭类的代表元是(123).共轭类中有8个元素.(e) a1=4.对应置换的型函数是(0，0，0，1).对应共轭类代表元是(1234).共轭类中有6个元素.显然，单位元群和S4是S4的平凡的正规子群.(a)，(c)和(d)的并集恰好是4次交错群A4，因而是S4的正规子群.根据拉格朗日定理，N的另一种可能性是(a)和(d)的并集，即：{(1)，(12)(34)，(13)(24)，(14)(23)}.可以验证这是一个同构于Z2×Z2的交换群.故其为S4的一个非平凡的正规子群.值得注意的是：“α与β在Sn中共轭当且仅当α与β有相同的型”这个结论强调的是在Sn中共轭.如果我们考虑给出Sn的某个子群的共轭类，则需要具体问题具体分析.例2 给出二面体群D6的共轭类.解 D6是S6的子群，其中包含12个元素.D6= {(1)，(123456)，(135)(246)，(14)(25)(36)，(153)(264)，(165432)，(26)(35)，(16)(25)(34)，(15)(24)(36)，(14)(23)(56)，(13)(46)，(12)(36)(45)}.如果按照在S6中共轭.我们大致可以把这12个元素分成5个共轭类：(a) (1).(b) (123456)，(165432).(c) (135)(246)，(153)(264).(d) (14)(25)(36)，(16)(25)(34)，(15)(24)(36)，(14)(23)(56)，(12)(36)(45).(e) (26)(35)，(13)(46).但是，需要注意在S6中共轭不表示在D6中共轭.所以，此时仍需要逐一验证.由于(14)(25)(36)是中心中的元素.故其单独在一个共轭类中.又因为[(26)(35)]-1(123456)[(26)(35)]=(165432)，[(26)(35)]-1(12)(36)(45)[(26)(35)]=(16)(25)(34)，[(13)(46)]-1(12)(36)(45)[(13)(46)]=(23)(14)(56)，(123456)-1(26)(35)(123456)=(13)(46)，(165432)-1(26)(35)(165432)=(24)(15)，所以，D6总共有6个共轭类：{(1)} {(14)(25)(36)} {(123456)，(165432)} {(135)(246)，(153)(264)} {(12)(36)(45)，(16)(25)(34)，(23)(14)(56)} {(26)(35)，(13)(46)，(24)(15)}.如果要求D6的正规子群，则需要按照上个例子中的方法分别进行讨论.我们把剩余的工作留给读者.[参考文献]【相关文献】[1] 刘绍学.近世代数基础[M].北京：高等教育出版社，2012.[2] 聂灵沼，丁石孙.代数学引论[M].北京：高等教育出版社，2000.[3] 周后型.三次对称群的一个特征性质[J].大学数学，1997，13(1)：107-108.[4] 唐曾林，黄雨星.有限群的共轭类个数与群的性质[J].大学数学，2008，24(6)：56-58.。
非平凡循环子群共轭类类数较小的有限非可解群
非平凡循环子群共轭类类数较小的有限非可解群史江涛;张翠【摘要】本文完全刻画非平凡循环子群共轭类类数不大于2的有限群的结构,证明了非平凡循环子群共轭类类数不大于4的有限非可解群仅有 PSL2(r ),其中 r ＝5,7,8,9.%The structures of finite groups having at most two conjugacy classes of non-trivial cyclic sub-groups are completely characterized.It is proven that a finite non-solvable group G having at most four conjugacy classes of non-trivial cyclic subgroups must be isomorphic to PSL2(r ),where r =5,7,8,9.【期刊名称】《广西师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)003【总页数】5页(P52-56)【关键词】有限群;循环子群;非可解群【作者】史江涛;张翠【作者单位】烟台大学数学与信息科学学院，山东烟台 264005;烟台大学数学与信息科学学院，山东烟台 264005【正文语种】中文【中图分类】O152.1分类某些特殊子群具有较小共轭类类数的有限群是现代群论研究的一个重要课题。
比较早期和经典的结果是研究极大子群具有较小共轭类类数对有限群可解性的影响,见文献[1-2]。
之后,一些群论学者开始转向研究其他特殊子群的共轭类类数对有限群结构的影响。
非循环子群即生成元个数大于等于2的子群。
作为子群共轭类类数的进一步研究,李世荣等在文献[3]中分类了非循环真子群的共轭类类数等于1的有限群。
孟伟等在文献[4]中分类了非循环真子群的共轭类类数等于2的有限群。
设G为有限群,以v(G)表示G的非循环真子群的共轭类类数。
群论1、2章
所以这样的置换共有n﹗个。因为n个物体的排列数共有n﹗种， 进行一次置换后再进行另一次置换，结果也还是依次置换，叫 做两次置换的乘积。如 1 2 2 1 1 2 1 3 3 3 3 2 1 2 1 3 1 2 2 1 3 2 3 3 ＝ 1 2 2 3 1 2 3 1 3 1 3 2
＝
置换群是阿贝尔群吗？ 答案：不是，因为置换的乘法不满足交换律，故不是阿 贝尔群！
t
-t 牛顿第二定律
3、对称性的本质：规律性，周期性，和谐的排列
God love symmetry !
1.3 对称性与化学
1、540.B.C，毕达哥拉斯学派认为：火、地、气、水四个基本元素组成世界。
火：正四面体演变火
地：正六面体或立方体
气：正八方体
水：正二十面体
第二章 群论基础
2.1 群的定义 （1）设G={E,A,B,C….}是由一些不同元素作成的非空集合， 在集合G中可以定义一个合成法，满足： A、若A·B∈G,且A ∈G，B ∈G，封闭性； B、有单位元素或恒等元素，常用E表示，EA=AE=A C、每个元素必有自己的逆元素，即它们的乘积等于单位元素， 即A ∈G，必有A-1 ∈G,AA-1=A-1A=E,A-1和A互为逆元素 D、满足结合律：即A(BC)=（AB）C,但必须注意AB≠BA,一般 不满足。
这两个群的乘法表为：
C4 E L4 L 42 L 43
观察：
E L 4 L 42 L 43 E L 4 L 42 L 43 L 4 L 42 L 43 E L 42L 43 E L 4 L 43E L 4 L 42
A 1 i -1 -i
1 i -1 -i 1 i -1 -i i -1 -i 1 -1 -i 1 i -i 1 i -1
关于共轭极大子群的一个注记
通 讯 联 系 人 ： 江 涛 （９ Ｏ ） 男 ． 史 １ ８一 ， 山东 栖 霞 人 ， 京 大 学 博 士 后 。Ｅ ｍａ ：ｈｊ＠ｍａｈ ｐ ｕ ｅ ｕ ｃ 北 — ｉ ｓｉ ｌ ｔ ｔ． ｋ ．ｄ ．ｎ
第 １ 期
史江涛等 ： 关于共轭极大子群 的一个注记
里 ≥ ＋１ 则 当 １ ， ， ≤ ｚ 一１时 ， 为循 环 Ｐ 群 ； ＜ Ｇ ． 当 一 一１时 ， Ｇ为循 环 Ｐ 群或 ２ 一 阶广义 四元 数群 。 证明 反证 法 。 Ｇ不 为 Ｐ 群 ， ｆ — 户 设 一 令 Ｇｆ 。 … ， 中 户 为素 数 ，ｉ １ ｓ 。 Ｐ ∈Ｓ ｌ （ ， 其 Ｏ ｆ 且 ＞ｌ 设 ｉ ｙ Ｇ） ≥
类数。
本 文 的主要 目的是 推广文 献 ［ ］ 理 ７ ３和 文献 ［ ３ 的结果 ， 给 出 （ 一１和 （ ＝１的有 限 １定 ． ８中 将 Ｇ） Ｇ）
群 的完全 分 类 ， 中 ２ ≤４ 其 ≤ 。
１ 预 备 引理
引理 １１ 设 Ｉ ＝Ｐ ， Ｓ（ 表 示 Ｇ 中 Ｐ 阶子 群 的个 数 ， ［ ］ ＧＩ＝”以 ｋＧ） ＝
中图分类号： Ａ
文章编号 ：０ １６ ０ （０ ０ ０ —０ ００ １０ —６ ０ ２ １ ） １０ １—３
极 大子 群在 有 限群 的结构 研究 中有非 常重 要的影 响 ， 目前 已有很 多经 典结果 。文 献 ［ ３ ７ ３ 明有 １例 ． 说
限群 Ｇ的所 有极 大子 群均共 轭 当且仅 当 Ｇ 为 素数幂 阶循 环群 。文献 ［ — ］ 明了恰 有 ２个极 大子 群共 轭 ２３ 证
２１ ００年 ３月
关 于 共 轭极 大 子 群 的一个 注记
史江 涛 张 ， 翠 ， 孟 伟
1.31.5共轭元正规子群
商群 1 ．定义 群 G 的阶是 g ，其正规子群S的阶是s．于是存在 i = g／s个陪集（包括正规子群）：SA1（= S）， SA2 ，…， SAi. 现在，把正规子群及陪集这i个集合 作为“数学对象”，以集合的乘法作为群乘而构成
的 群，定义为群 G 对其正规子群 S 的商群，记作 G/S. 有
( 2 ) 满足结合律．根据式( 1.4-8 )
(SAm SAn) SAp =S (AmAnAp)= SAm(SAnSAp) ( 1.4-9 )
( 3 ) 单位元就是正规子群 S, S = SA1 =SE. SESAm = S(EAm) ＝ SAm
对于矩阵群，两个元共轭就是两个矩阵相似.
2. 类 • 定义：群中互为共轭的元的完全集合就称作 类．
即，群G中的任何一个类 C 都满足
XCX 1 C X G
（1.3-5）
例如，包含群元 A 的类，就由群中的每一个元 X 与 A 作乘积XAX-1形成，A 本身就是这个类的一个元， 因为 A = EAE-1.
D3 群中，E自成 一类，D、F属一类，因为： EDE-1 = D
ADA-1 = BA= F BDB-1 = CB = F CDC-1 =AC= F DDD-1 = FD-1=D FDF-1 = ED=D A、B、C属一类.
D3 E A B C D F E E ABCDF A AEDF BC B B F E DC A C CDF E AB D DC AB F E F F BC AED
定理三
有限群G的阶为 g ，类 C 的元数为hC，则有 g / hC = 整 数成立，即 hC 是 g 的整数因子．
证明：分三步来证明这个定理．
第一步：取群 G 中某一个确定的元 X∈G，取
群论第二章考前复习总结
群论第⼆章考前复习总结第⼆章考前复习总结1.1节群1.对称变换：保持系统不变的变换。
（背）群，，所有对称变换只有6个：2. 群是⼀个集合，其中定义了元素的“乘积”法则，这个集合G满⾜4个条件：封闭性、结合律、存在恒元、逆元，这个集合就称为群。
（背）任何两个元素相乘还在这个集合中（背）任意元素乘恒元等于这个元素（背）元素乘逆元等于恒元。
（背）U(n)群：全体n维⼳正矩阵的集合。
⼳正：O(n)群：全体n维实正交矩阵的集合。
正交：，实正交：矩阵元是实数6)乘积的逆：9)有限群的阶：有限群中的元素数⽬4.循环群及其⽣成元1）循环群：由⼀个元素 Rn：循环群的阶，即有限群的元素个数。
R：循环群的⽣成元循环群的阶和其⽣成元的阶相等。
⽣成元的阶是满⾜的最⼩正整数n。
循环群都是阿贝尔群（阿贝尔群不⼀定是循环群）。
R⽣成的群是⼀个nn R是系统的对称变换，则轴称为n次固有转动轴（n次轴），此时转动R称为n次转动轴的⽅向：转动R由右⼿螺旋法则得到，⼤拇指指向轴的正⽅向。
1）元素R 的周期：由有限群的任⼀元素 R 及其幂次⽣成的集合。
2）有限群的⽣成元：有限群的群元素可以由最⼩数⽬个群元素的乘积⽣成3）有限群的秩：⽣成元的个数4）有限群⽣成元的选择并不唯⼀，但秩不变。
在验证B=DA 这种关系时，正三⾓形的三个字母必须画成：这种情况。
6.有限群的重排定理1）复元素：把有限群部分元素的集合2）群的重排定理（考试简答题）设T 是群G = {E, R, S, …}中任⼀确定元素，则下⾯三个集合与原群G 相同 （背）复元素的逆是每个元素取逆7.同构元素是对应的，在这种对应规则下，元素的乘积也是对应的。
群G3）循环群的乘法表4）四阶群（即有4群群：⼀个恒元加3个2阶元素。
其为：5a.含零个三阶元素，即群只含⼀个恒元加5个⼆阶元素。
这种情况不成⽴。
称），⼆阶、三阶、四阶、五阶的群都是阿贝尔群。
6）正N 边形对称变换群1个N 次轴，N 个⼆次轴。
关于Frobenius群的注记
关于Frobenius群的注记卢家宽;刘雪霞;覃雪清【摘要】本文首先利用群在其不可约特征标集合以及共轭类集合上的作用之间的关系,证明了Frobenius群的一个特征标刻画;然后使用一类特殊的Frobenius群的结构,以及正规子群的特征标理论,证明了2个结论:①若可解群G的每个χ∈Irrm(G)都是拟本原特征标,则G是交换群;②设G是M-群,G的导列长为l,则G是关于G(l-1)的相对M-群.%In this paper,a character theoretic condition characterizing finite Frobenius groups is obtained by using the relationship between the actions of finite groups on its irreducible characters and conj ugacy classes.Furthermore,the following two results are obtained by using the structure of a special Frobenius group and the character theory of normal subgroups:①If G is a finite solvable group,and everyχ∈Irrm (G)is quasi-primitive,then G is abelian.②If G is an M-group,and l=dl(G),the derived length of G, then G is a relative M-group with respect to G(l-1).【期刊名称】《广西师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(036)001【总页数】4页(P84-87)【关键词】Frobenius群;不可单项约特征标;可解群【作者】卢家宽;刘雪霞;覃雪清【作者单位】广西师范大学数学与统计学院,广西桂林 541006;广西师范大学数学与统计学院,广西桂林 541006;广西师范大学数学与统计学院,广西桂林541006【正文语种】中文【中图分类】O152.1从特殊子群的性质来研究有限群的性质和结构，是群论研究的重要课题。
非正规子群共轭类类数为2的有限群的一个注记
ＣＨＥＮ ｈ ｎ— ｎ ．．ＣＨＥＮ Ｓ ｕ ｍｉ ＿ Ｇｕｉｙ ｎ —ｕ
（．ｓｈｏ ｏ ｔｅ ａｉ ｎ ｆ ｒ ｔ ｎＳｉ ｃ ， ｈａ ｘ Ｎ ｒ ａ ｎ ｅ ｉ ， ｉａ １０ ２ ｈｎ ； １ ｃｏｌｆＭａｈｍ ｔｓａｄＩ ｏ ｉ ｃ ｎｅ Ｓ ａ ｎｉ ｏｍ ｌ ｉ ｒ ｔ Ｘ ’ｎ７ ０ ６ ，Ｃ ｉａ ｃ ｎ ｍａ ｏ ｅ Ｕ ｖ ｓｙ ２ ｅａｔｅｔｆＭａｈｍ ｔ ｓ ｎ ｏ ｐ ｔ ｃ ｎｅ Ｃ ｏｇ ｉ ｎｖｒｔ ｒ ｎ ｃ ｎｅ，Ｃ ｏｇ ｉ ０ １０ ｈｎ ； ．Ｄ ｐ ｒ ｎ ｏ ｔ ａ ｉ ｄＣ ｍ ｕ ｒ ｉ ， ｈｎ ｑ ｇ Ｕ ｉ ｓｙｏ ｔ ａ Ｓｉ ｃｓ ｈｎ ｑ ｇ４ ２６ ，Ｃ ｉ ｍ ｅ ｃ ａ ｅ Ｓｅ ｃ ｎ ｅ ｉ ｆＡ ｓ ｄ ｅ ｎ ａ
摘要 ： 利用子群共轭类的性质 ， 结合 Ｍ ｕａｉ ｏｓ 给出 了非正规子群 的共轭类类数为 ２的子群的共轭类类数为 ２的有限群 的完全分类， 校正 了 Ｍ ｕａｉ ｏｓｖ 给
出的非正规子群的共轭类类数为 ２的有限非幂零群的分类． 关键词： 非正规子群 ； ｅｅｉ Ｄ ｄｋ ｄ群； ｎ 幂零群 ； 共轭类； 类数
ｂ ｕａ ｉ ｙ Ｍｏ ｓｖ．
Ｋ ｙ ｗ ｒ８ ｎ ｎｎｒ ａ ｓｂ ｏ ｐ ； ｅ ｅ ｉｄｇ ｕ ｓ ｉ ｏｅｔ ｏ ｐ ； ｏｊｇ ｃ ｌ ｓｓ ｌｓ ｎ ｍｂｒ ｅ ｏｄ ： ｏ —ｏｍ ｌ ｕ ｇ ｕ ｓ Ｄ ｄｋｎ ｒ ｐ ；ｎ ｐ ｔ ｕ ｓ ｃ ｎ ａｙｃａ ｅ ；ｃ ｓ ｕ ｅ ｒ ｏ ｌ ｎｇ ｒ ｕ ｓ ａ
符 号及 概念参 见 文献 ［ ］ １． 文献 ［ ］ 出了所有 子群 均正 规 群 的结构 ．文 献 ［ ］ 出 了非正 规 子 群 的共 轭 类 类数 为 １的有 限 １给 ２给
群论第二章ppt
§2.1 群的概念
（3),存在单位元素 集合中存在一个单位元素或称恒等元素 (Identity Element)而且只存在一个单位元素e
e∈G
(4), 集合总任何元素的逆元素在集合中，a 的逆元 1 为 a −， 有 aa −1 = a −1a = e a −1 ∈ G a −1 是唯一的。 在一定乘法规则下满足以上四条的具有代数结构的集合称 为群。在四条中没有要求满足交换律，如果一个群其元素乘 法满足交换律称为交换群或Abel群 群元的数目称为群的阶，记为g。g为有限称为有限群。元 素无限称为无限阶群。群元可数的无限群为离散无限群，而 群元素不可数的称为连续群。
5
§2.1 群的概念
显然只有群元素比较少时这乘法表才排得出来，在乘法表 中每列与每行，每个元素出现一次，也仅一次，这为乘法表 的重排定理。 若群是Abel群（交换群），则乘法表中对主对角线是对称 的。下面给出几个例子 例1 G = {1, −1} 乘法为普通数乘法，单位元素为1 = e ,a=-1逆元素为 自 己，其乘法定律 ee=e, aa=e, ea=ae=a, 这群在量子力学中很重要，这群与空间反演相对应，三维 v v v v v 空间矢量 r 作用 er = r ar = − r v v e保持 r 不变的恒等变换 a 使 r 反演的反演变换，则 {e, a}构成反演群。 我们称群G与反演群同构。
16ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
子群, §2.2 子群 同态和同构
2. 同态与同构 定义2.3。若从群G到群F上存在一一对应的映射， 定义 且在映射中群代数结构不变，即乘法规则不变，即 G中两元素乘积的映射等于两元素映射到F的乘积， G F 称群G与群F同构。 φ g• •f 记 G ≅ F 映射称同构映射。 g • •f g •f 即 Φ ：G → F •
共轭类
共轭类数学上，特别是在群论中，群的元素可以分割成共轭类（Conjugacy class）；同一个共轭类的元素有很多共同的属性，而且研究非交换群的共轭类可以看出很多关于它们的结构的重要特征。
对于交换群，这个概念是平凡的，因为每个类就是一个单元素集合。
在同一个共轭类上取常值的函数称为类函数。
定义设G为群。
G的两个元素a和b称为共轭如果存在一个元素g属于G，满足gag−1 = b。
（在线性代数中，对于矩阵，这叫做相似矩阵。
）很容易证明共轭是等价关系，因此将G分割为等价类。
（这表示群的每个元素属于恰好一个共轭类，而类Cl(a)和Cl(b)相等当且仅当a和b共轭，否则不相交。
）包含元素a属于G的等价类是Cl(a) = { gag−1: g∈G }并称为a的共轭类。
G的类数是共轭类的个数。
例子对称群S3，由所有3个元素的6个置换组成，拥有三个共轭类：恒等 (abc -> abc) 表示为(1)对换 (abc -> acb， abc -> bac， abc -> cba) 表示为(23) (12) (13) 三阶轮换 (abc -> bca， abc -> cab) 表示为(132) (123)对称群S4，由4个元素的全部24个置换组成，有5个共轭类：恒等对换三阶轮换四阶轮换双对换参看立方体的恰当转动，它可以用体对角线的枚举刻划。
在矩阵，在同一个共轭类的矩阵称为相似矩阵。
属性单位元总是自成一类，也就是说Cl(e) = {e}若G可交换，则gag−1= a对于所有a和g属于G成立；所以Cl(a) = {a} 对于a属于G成立；可见这个概念对于交换群不是很有用。
若G的两个元素a和b属于同一个共轭类（也即，若它们共轭），则它们有同样的阶。
更一般地讲，每个关于a的命题可以转换成关于b=gag−1的一个命题，因为映射φ(x) = gxg−1是一个G的自同构。
G的一个元素a位于G的中心Z(G)当且仅当其共轭类只有一个元素，a本身。
群的共轭类数
群的共轭类数【原创版】目录1.群的共轭类数的定义2.群的共轭类数的性质3.群的共轭类数的计算方法4.群的共轭类数在数学中的应用正文一、群的共轭类数的定义在数学中，群的共轭类数是一个重要的概念。
共轭类数是用于描述群的结构的一种工具，它可以帮助我们更好地理解群的性质。
对于一个群 G，如果存在一个元素 a，使得 a 的 n 次方等于单位元（即 a^n=e，其中 e 表示群的单位元），那么我们就说元素 a 的 n 次方与单位元互为共轭元。
根据这个定义，我们可以得到群的共轭类数的定义：对于群 G 中的任意元素 a，如果存在整数 n，使得 a 的 n 次方与单位元互为共轭元，那么我们就说元素 a 属于群 G 的第 n 个共轭类。
二、群的共轭类数的性质群的共轭类数具有以下几个重要的性质：1.每个元素都属于且仅属于一个共轭类。
这是因为对于任意元素 a，我们可以找到一个整数 n，使得 a 的 n 次方与单位元互为共轭元。
2.共轭类之间是互不相同的。
这是因为对于不同的元素 a 和 b，它们的 n 次方与单位元互为共轭元的 n 值是不同的。
3.群的共轭类数的集合与群的阶相等。
这是因为群的阶是群中元素的最大公约数，而群的共轭类数的集合中的元素个数就是群的阶。
三、群的共轭类数的计算方法计算群的共轭类数的方法有多种，其中比较常用的方法是利用拉格朗日定理。
拉格朗日定理指出，如果群 G 的阶为|G|，那么 G 中元素的共轭类数的个数为φ(|G|)，其中φ表示欧拉函数。
欧拉函数的定义为：对于正整数 n，如果 n 与φ(n) 互质，则φ(n)=1；否则，φ(n)=0。
利用拉格朗日定理，我们可以得到群的共轭类数的计算公式：共轭类数的个数=φ(|G|)。
四、群的共轭类数在数学中的应用群的共轭类数在数学中有广泛的应用，例如在研究群的结构、表示和算法等方面都会涉及到群的共轭类数。
此外，群的共轭类数还与代数、几何、拓扑等领域有着密切的联系。
关于PSL_2(8)结构的一个注记
注： 类似于文献 ［ ］ １ 中的证明，４ 、５ 可推 （ ）（ ） 广 到 Ｈ ｌ子群 的情形 ． ａ ｌ （ ）若 Ｈ ＜ 一 且 日是 Ｇ的 Ｈ ｌ子群 ， ４ 。 Ｇ， ａ ｌ 则
日 ；
换子群 的概 念 来 研 究 Ｐ Ｌ（ ）， 们 获 得 了 Ｓ ：８ 我 Ｐ Ｌ （ ）的每个非平凡子群在 Ｇ中均不共轭置 Ｓ ８ 换 ．本文 涉及 的群均 为 有 限群 ， 用 群论 术 语 及 所 主要符号见文献 ［ ］ ２． 由共轭置换子群 的定义及文献 ［ ］ 引理 １ 知，
ｌ 立． 成
（ ）若 Ｋ ＜ ５ …Ｇ， Ｋ ＜・ 幂零群 日是 Ｇ 且 Ｈ，
的 Ｈ ｌ子群 ， Ｋ Ｇ或 日 Ｇ． ａｌ 则
引理 ２ Ｇ ＝ Ｐ Ｌ （ ）兰 Ｓ ８ Ｓ ８ Ｌ （ ）的非 平凡
子 群的共 轭类代 表 如表 １ ．
注 ：１ （ ）Ｇ的 阶为 ２ ×３ ７ ２ 上 表 中 × ．（ ）
引理 １ 群 Ｇ的共 轭 置 换 子 群具 有 下 列 基 本性 质 ：
的各 ２阶循环 子 群 的 共Байду номын сангаас轭 类代 表 只列 出 了一 类
Ｍ ＆ ．
（ ） Ｈ ＜。 Ｇ ， 日 ≤ Ｋ， Ｈ ＜ 一 ； １若 一 且 则 Ｋ
（ ） 果 日 ＜ Ｇ， Ⅳ Ｇ， ２如 … 且 则
（ Ｓ Ｃ：００ Ｂ ２６） ＣＴ ２１Ｂ ９０ ． ‘
［ 作者简介】 陈顺民（ ９ ８ ） 男 ， １ 一 ， 重庆璧 山人 ， ６ 副教授 ， 主要从事有 限群方面的研究．
１ ６
表 １ Ｇ的非平凡子群 的共轭 类代表
Ｇ的 极 大子 群 Ｇ的 ２一极 大子 群 （ 边列的子群 ） 左 Ｇ的 ３一极 大 子 群 （ 边 列 的 子群 ） 左 Ｇ的 ４一极 大子 群 （ 边 列 的子 群 ） 左
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个 Sylow 子群 P i 是交换的．
2 －2 = 1， 如果 n = 2 ，那么 τ（ G ） = 2 根据引理 1
知 G 是一个 p － 基本群， 结论成立． 接下来假设 n ≥ 3 ． 考虑所有形如 P i P j （ i ≠ j） 的子群， 如果这些群皆 为交换群， 则 G 也是交换群． 因此必存在某个子群 P i P j （ i ≠ j） 是非交换群， 不失一般性， 可假设 H = P1 P2 是一个非交换子群． 令 Ω = ｛ HP i1 P i2 …P i k | i2 ， …， ik ｝ ｛ 3， …， n － 1｝ ｝ ， ｛ i1 ， 则有 | Ω | = 2 ． H ， 显然 Ω 中的每个子群皆包含 所以 Ω 中的每个子 群皆为非交换子群并且这些子群的阶是互不相同 ， n －2 = |Ω|， 因而它们两两互不同构． 由于 τ（ G ） = 2 所以 G 的每个非交换子群的共轭类必在 Ω 中有一个 代表． 因此 我 们 得 到 H 是 一 个 极 小 非 交 换 群， 即 H 是一个 p － 基本群． 进 τ（ H） = 1 ． 根据引理 1 知， ｛ i， j｝ ≠ ｛ 1 ， 2 ｝ ） 的子群 一步知所有形如 P i P j （ i ≠ j， 皆为交换群． 所以我们得到 G = H × K ， 其中 K = P3 P4 …P n 是一个交换群． 如果某个 P i 的阶大于 p i ， 则 HL 也是 G 的一个 取 P i 的一个非平凡的真子群 L， 非交换子群且 | HL | 不等于 Ω 中任一子群的阶， 这矛
n －2 盾于 τ（ G ） = 2 ． 所以 K 是无平方因子阶的交换 群， 从而 K 是一个循环群． 定理结论成立． | （ G） | － 1 定理 2 设 G 是有限可解． τ（ G ） = 2 π 当 且仅当 G 是下列情形之一： n －2
=|
36
云南民族大学学报（ 自然科学版） 2011 ， 27 （ 5 ） ： 891 － 896．
当且仅当 G 同构于 H × Z m ， 其中 H 是 p － 基本群， （|H|， m） = 1 且 m 无平方因子． 证明 充分性是显然的， 只证必要性． p2 ， p3 ， 设 | π（ G ） | = n ≥ 2 ． 令 π（ G ） = ｛ p1 ， …， p n ｝ ，由于 G 是可解群， 所以 G 拥有 Sylow 系． 设 P2 ， P3 ， …， P n ｝ 是 G 的 Sylow 系， 其中 集合S = ｛ P1 ， P i ∈ Sly p i （ G ） ， 2， …， n｝ i = 1， 2， …， n， 则对集合｛ 1 ， i2 ， …， ik ｝ ， P i1 P i2 …P i k 是 G 的子 的任意一个子集｛ i1 ， 群
非交换子群共轭类的一个注记
孟
1 伟 ，马
丽
2
（ 1． 云南民族大学 数学与计算机科学学院 ， 云南 昆明 650031 ； 2． 曲靖师范学院 数学与信息科学学院 ， 云南 曲靖 655011 ）
摘要： 设 G 是有限群． 用 τ（ G ） 表示 G 中非交换子群的共轭类数，π （ G ） 表示 G 的素因子的集 | （ G） | － 2 或 | π（ G ） | + 1 ． 分析上述不等式中等号成立的有限群的 合． 对于每个非交换群有 τ（ G ） ≥2 π 分类． 关键词： 交换子群； 共轭类； 同构分类 中图分类号： O152. 1 文献标志码： A 文章编号： 1672 － 8513 （ 2015 ） 01 － 0034 － 03 构分类问题 ． 所用的术语和符号都是标准的 ． 另 Z p 表示 p 阶初等 外， 文中用 Z n 表示 n 阶循环群 ， Q 8 表示 8 阶四元数群 ， A × B 表示群 A 与 交换 p 群 ， B 的直积 ， A ∶ B 表示正规子群 A 被子群 B 的可裂扩 张．
［5 ］
n m n m n －1
π （ G ） | 的有限群 ， 得到这类群是可解的并给出完 全分类 ． 同时得到 τ （ G ） 的一个下界 ，即证明了如 下定理 ： 定理 成立： 设 G 是一个有限非交换群，则下列之一
设 G 是一个群且 | π（ G ） | = 2 ． 假若
G 有一个非交换的 Sylow 子群， 则 τ（ G ） = 2 当且仅 当同构与下列群之一， 1 ） Q8 × Z q ； 2 ） M n， m， p × Zq ； 3 ） N n， m， p × Zq ； 4 ） Q8 ∶ Z 3 ； 5 ） N1 ， 其中对每个 Z q － 不变子群 H 满足 1， p ∶Z q ， ［ H， Z q］ = 1 ．
第 24 卷
［ 2］ MILLEＲ G A，MOＲENO H C． Non － abelian groups in which every subgroup is abelian［J］ ． Transactions of the American Mathematical Society， 1903 ， 4 （ 4 ） ： 398 － 404． ［ 3］ ＲOBINSON D J． A Course in the Theory of Groups ［ M］ ． Berlin： Springer， 1980 ： 232 － 234． ［ 4］ SHI J T，ZHANG C． Some sufficient conditions on the number of non － abelian subgroups of a finite group to be solvable［J］ ． Acta Mathematica Sinica， English Series，
［5］ 浩和郭秀云 给出了 τ （ G ） = 2 有限群的同构分 6］中 ， 类 ． 笔者在文献［ 考虑满足不等式 τ （ G ） ≤ |
1
预备引理
定义
［7 ］ d d 如果 G = Z p ∶ Z q m 且 Z q m 作用在 Z p 上
不可约， 那么称 G 是一个 p － 基本群． 引理 1
2015 ， 24 （ 1 ） ： 34 － 36 云南民族大学学报： 自然科学版， doi： 12． 3969 / j． issn． 1672 － 8513． 2015． 01． 007
CN 53 － 1192 / N
ISSN 1672 － 8513
http： / / xb. ynni. edu. cn
［3 ］
S = ｛ P1 ， P2 ， P3 ， …， P n ｝ 是 G 的 Sylow 系， 其中 P i ∈ Sly p i （ G ） ， 2， …， n｝ 的任 i = 1， 2， …， n， 则对集合 ｛ 1 ，
i2 ， …， ik ｝ ， P i1 P i2 …P i k 是 G 的子群． 意一个子集｛ i1 ， G 必有一个非交换的 根据定理 1 的证明可知， Sylow 子群． 不失一般性， 假设 Sylow 子群 P1 是一个 非 交 换 群． 重 记 P = P1 ， 考 虑 集 合 Ω = ｛ P P i1 P i2 … P i k | ｛ i 1 ， i2 ， …， ik ｝ ｛ 2， …， n｝ ｝ ， 则| Ω | = 2 n －1 ． 由于 P 是 Ω 中的每个群的子群， 所以 Ω 中的 每个子群皆为非交换子群并且这些子群的阶是互不 相同， 因而它们两两互不同构． 从而我们有 τ（ G ） = |Ω| ， 所以 G 的每个非交换子群的共轭类必在 Ω 中 有 一 个 代 表． 因 此 有 τ （ P ） = 1 ， 且 每 个 形 如 i2 ， …， ik ｝ ｛ 2， …， n｝ ） 的子群是交 P i1 P i2 … P i k （ ｛ i 1 ， 换群． 特别地， 子群 K = P2 P3 …P n 也是一个交换群． 接下来分 2 种情况考虑： 1 ） 情形 1 ， G 幂零． 此时有 G = P × K． 类似定理 1 的证明可知 K 是 无平方因子的循环群， 因此定理结论 1 ） 成立． 2 ） 情形 2 ， G 非幂零． …， n） 至少有一个是非 幂 零 此时 PP i （ i = 2 ， 群， 不失一般性， 假设 H = PP2 是一个非幂零群． 由 集合 Ω 的属性可知 τ（ H） = 2 ． 根据引理 2 知： H Q8 ： Z 3 或 N1 ， 1， p ： Zq ． 假设 H Q8 ： Z3 ， 则有 G = P × L，其中 L = P3 …P n ． 类似类似定理 1 的证明可知 L 也是无平方 因子的循环群， 因此定理结论 2 ） 成立． 假设 H N1， 类似上面讨论可得定理结 1， p ： Zq ， 论 3 ） 成立． 定理 3 设 G 是 有 限 非 可 解． 则 τ（ G ） （ G ） | + 1 π 当且仅当 G A5 ． 1］的定理 1 ． 2 ． 见文献［ 证明 参考文献：
收稿日期： 2014 － 05 － 26． 基金项目： 国家自然科学基金（ 11361075 ） ．
作者简介： 孟伟（ 1981 － ） ， 副教授． 主要研究方向： 群及其表示． 男， 硕士，
第1 期
马丽： 非交换子群共轭类的一个注记 孟伟，
35
2
主要结果
定理 1
| （ G） | － 2 设 G 是有限可解． 则 τ（ G ） = 2 π
［ 1］ 孟伟， 史江涛． 有限群中非正规子群数量的一个标注 ［ J］ ． 云南民族大学学报： 自然科学版， 2010 ， 19 （ 5 ） ： 360 － 362．
．
先证 G 的每个 Sylow 子群 P i 是交换群． 若否， 则 G 至少有一个 Sylow 子群是非交换群， 不失一般性， 可假设 Sylow 子群 P1 是一个非交换群． 考虑集合 Ω i2 ， …， ik ｝ ｛ 2， …， n｝ ｝ ，则 = ｛ P 1 P i1 P i2 … P i k | ｛ i 1 ， | Ω | = 2 n －1 ． 由于 P1 是 Ω 中的每个群的子群， 所以 Ω 中的每个子群皆为非交换子群并且这些子群的阶是 互不相同， 因而它们两两互不同构． 从而有 τ（ G ） ≥