【全国百强校】山东省日照第一中学人教版高中数学必修五3.3简单线性规划学案

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人教版高中数学必修⑤3.3.2简单的线性规划问题教学设计

课题：必修⑤3.3.2简单的线性规划问题三维目标：1、知识与技能（1）使学生进一步了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；；（2）了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决相关问题及一些简单的实际问题。

2、过程与方法（1）通过引导学生合作探究，将实际生活问题转化为数学中的线性规划问题来解决，提高数学建模能力。

同时，可借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性；（2）将实际问题中错综复杂的条件列出目标函数和约束条件对学生而言既是重点又是难点，在此，教师要根据学生的认知、理解情况，引导学生自己动手建立数学模型，自我不断体验、感受、总结；同时，要给学生正确的示范，利用精确的图形并结合推理计算求解3、情态与价值观（1）培养学生数形结合、等价转化、等与不等辩证的数学思想；(2) 通过对不等式知识的进一步学习，不断培养自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神；（3）通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

体验在学习中获得成功的成就感，为远大的志向而不懈奋斗。

教学重点：（1）把实际问题转化成线性规划问题，即建立数学模型；（2）用图解法解决简单的线性规划问题。

教学难点：准确求得线性规划问题的最优解（尤其是整数解的求解思想）教具：多媒体、实物投影仪教学方法：合作探究、分层推进教学法教学过程：一、双基回眸科学导入：★前面，我们学习了二元一次不等式（组）及其表示的区域……并且体会到在实际问题中的应用前景，感受到其重要性。

下面，首先我1.二元一次不等式.：我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式.2.二元一次不等式组.：我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.3．二元一次不等式组的解集：满足二元一次不等式组的 x 和y的取值构成有序数对(,)x y，所有这样的有序数对(,)x y构成的集合称为二元一次不等式组的解集.1．二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）而不等式0By+CAx表示区域时则包括边界,把边界+≥画成实线.2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法：由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(yx,)，把它的坐标（yx,)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）★在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，如某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？根据我们上节课所学知识，大家不难列出相应的量的约束条件，但我们列出（或画出）后，应该要解决生产中的必需的问题，这就是我们今天要探究的问题……二、创设情境合作探究：【引领学生合作探究，通过上述问题的进一步所求总结线性规划问题】上面的问题应该到达下面的位置：解：设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，由已知条件可的二元一次不等式组：28,416,412,00x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ （Ⅰ）将上述不等式组表示成平面上的区域，如图中阴影部分的整点。

高中数学(3.3 简单的线性规划问题(1))教案新人教版必修5 教案

简单的线性规划问题（1）
教学目标：了解线性规划的意义、了解可行域的意义；掌握简单的二元线性规划问题的解法．教学重点、难点：二元线性规划问题的解法的掌握．教学过程：一．问题情境
1．问题：在约束条件410432000
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩下，如何求目标函数2P x y =+的最大值？
二．学生活动
探究：1.作出约束条件410432000
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩所表示的平面区域：
2. 将目标函数2P x y =+变形为2y x P =-+的形式，它表示一条直线，斜率为_____________________,在y 轴上的截距为_________________________；
3.作出直线0l ：2y x =-，并平移；因此,
三．建构数学 1．可行域：
2.线性规划：说明：
四．数学运用
例1．设2z x y =+，式中变量,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，求z 的最大值和最小值．
例2．设z=6x-10y ，式中,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，求z 的最大值．
说明：1．线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；
2．线性目标函数的最大值、最小值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个．
练习：课本第89页练习第1，2，3题．五．回顾反思：
六．作业布置：
书P87 习题3.3 3(1),5,7 ,8。

人教版高中数学必修5简单的线性规划问题教案

请学生读题，引导阅读理解后，列表
→ 建立数学关系式 → 画平面区域，学生就
近既分工又合作，教师关注有多少学生写出了线性数学关系式，有多少学生画出了相应
的平面区域，在巡视中并发现代表性的练习进行展示，强调这是同一事物的两种表达形
式数与形 .
【问题情景使学生感到数学是自然的、有用的，学生已初步学会了建立线性规划模型的三个过程：列表 →建立数学关系式→ 画平面区域，可放手让学生去做，再次经历从实际问题中抽象出数学问题的过程，教师则在数据的分析整理、表格的设计上加以指导】
教师打开几何画板，作出平面区域 .
（ 2）问题师：进一步提出问题，若生产一件甲产品获利
采用哪种生产安排利润最大？
2 万元，生产一件乙产品获利 3 万元，
学生不难列出函数关系式 z 2 x 3 y .
师：这是关于变量 x、 y 的一次解析式，从函数的观点看 x、 y 的变化引起 z 的变化，而 x 、 y 是区域内的动点的坐标，对于每一组 x、 y 的值都有唯一的 z 值与之对应，
来源于生活，服务于生活，体验数学在建设节约型社会中的作用
.
五、教学重点和难点
求线性目标函数的最值问题是重点；从数学思想上看，学生对为什么要将求目标函数最值问
题转化为经过可行域的直线在 y 轴上的截距的最值问题？以及如何想到要这样转化？存在一定疑
虑及困难；教学应紧扣问题实际，通过突出知识的形成发展过程，引入数学实验来突破这一难点．
轴上的截距的最值问题”来解决，实现其图解的目的
.
2
z
x 在y
33
【借助计算机技术用运动变化的方法，创设实验环境，形成多元联系，展示数
学关系式、平面区域、表格等各种形态的表现形式，在数、图、表的关联中进

人教版高中数学必修五 3.3.2简单的线性规划问题(导学案)

必修第三章
简单的线性规划问题
【课前预习】阅读教材
．线性规划的有关概念：
①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量、的约束条件，这组约束条件都是关于、的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：关于、的一次式是欲达到最大值或最小值所涉及的变量、的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
（）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（）在可行域内求目标函数的最优解
【课初分钟】课前完成下列练习，课前分钟回答下列问题
. 目标函数，将其看成直线方程时，的意义是（）.
．该直线的横截距
．该直线的纵截距
．该直线的纵截距的一半的相反数
．该直线的纵截距的两倍的相反数
. 已知、满足约束条件，则
的最小值为（）.
．．．．
.
在如图所示的可行域内，目标函数
取得最小值的最优解有无数个，则的一个可能值是（）.
．求的最大值，其中、满足约束条件
强调（笔记）：
【课中分钟】边听边练边落实
．若实数，满足，求的取值范围．
．求的最大值和最小值，其中、满足约束条件.。

2019-2020年高中数学必修五教案：3-3-2简单的线性规划问题

2019-2020年高中数学必修五教案： 3-3-2 简单的线性规划问题简单的线性规划问题一、教学背景1.本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A 版必修5第三章《不等式》中3.3.2《简单的线性规划问题》的第一课时。

主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法。

2.本节课的教学对象是河北省秦皇岛市抚宁区第一中学高一文班学生。

二、教学目标（一）知识与技能1. 了解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。

2. 会用图解法解决简单线性规划问题，即求目标函数的最大值或最小值。

（二）过程与方法在线性规划问题的探究过程中，引导学生通过观察、分析、操作、归纳、概括的基本环节，达到知识的建构。

增强学生的观察、联想、细心作图的能力，把握化归思想和数形结合两大数学思想。

注重培养学生积极主动、勇于探索的学习方式，整节课着重创造师生互动、生生互动的良好学习环境，学生在老师的引导下亲身经历动手实践、动脑思考等方法探究线性规划的简单问题获取直接结题经验。

（三）情感态度与价值观学习中渗透函数、数形结合、化归等重要数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识，激发学生的学习兴趣。

结合本节教学内容，让学生成为课堂活动的主导,体验探究学习、合作学习的乐趣，并从中获得成功的体验，增强学生学习数学知识的自信心。

培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

三、教学重点和难点教学重点：图解法解线性规划问题。

教学难点：准确求得线性规划问题的最优解。

四、教学过程（一）复习回顾在同一坐标系上作出下列直线:xy 2-=；12+-=x y ；32--=x y ；42+-=x y ；72+-=x y 。

投影展示学生的画图作业，引导学生观察5条直线的特征：平行。

得出结论：形如)0(2¹+-=t t x y 的直线与x y 2-=平行。

直线b kx y +=中的b 叫做纵截距：直线与y 轴交点的纵坐标。

人教版高中数学必修五学案 3.3.2 简单的线性规划问题

3.3.2 简单的线性规划问题学习目标 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念(重点)；2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题(重、难点).知识点1线性规划中的基本概念名称意义约束条件关于变量x，y的一次不等式(组) 线性约束条件关于x，y的一次不等式(组)目标函数欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式线性目标函数关于变量x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域由所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题【预习评价】1.线性约束条件的特征是什么？提示一是关于变量x，y的不等式；二是次数为1.2.可行解、可行域和最优解之间是什么关系？提示可行解是满足约束条件的解(x，y)；可行域是由所有可行解组成的集合；最优解是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.知识点2线性规划问题1.目标函数的最值线性目标函数z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－ab x＋zb，在y轴上的截距是zb，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线.当b>0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；当b<0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值.2.解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域.(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解.(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值.(4)答：写出答案.【预习评价】1.最优解一般会在可行域的哪些地方取到？提示若目标函数存在一个最优解，则最优解通常在可行域的顶点处取得；若目标函数存在多个最优解，则最优解一般在可行域的边界上取得.2.在线性目标函数z＝x－y中，目标函数z的最大、最小值与截距的对应关系又是怎样的？提示z的最大值对应截距的最小值，z的最小值对应截距的最大值.方向1 求线性目标函数的最值问题【例1－1】设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( ) A.－15 B.－9 C.1D.9解析作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点B (－6，－3)处取得最小值z min ＝－12－3＝－15.故选A.答案 A方向2 非线性目标函数的最值【例1－2】 (1)变量x ，y 满足条件⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x ＞－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为( ) A.322 B. 5 C.5D.92(2)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2≥0，x ＋y ≤6，2x －y ≤6，则目标函数z ＝4y ＋4x ＋2的最大值为()A.6B.5C.2D.－1解析 (1)作出不等式组对应的平面区域，设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2，0)的距离的平方，由图象知CD 的距离最小，此时z 最小. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即C (0，1)，此时z ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5，故选C.(2)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x ＋y ≤6，2x －y ≤6表示的可行域如图：目标函数z ＝4y ＋4x ＋2＝4×y ＋1x ＋2，目标函数的几何意义是可行域的点与(－2，－1)连线斜率的4倍，由题意可知：DA 的斜率最大. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝6，可得A (2，4)，则目标函数z ＝4y ＋4x ＋2的最大值为：4×4＋42×2＝5.故选B.答案 (1)C (2)B方向3 由目标函数的最值求参数的值【例1－3】已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于( ) A.3 B.4 C.5D.7解析作出不等式组对应的平面区域如图：由目标函数为z ＝x －y ，得y ＝x －z ，当z ＝－1时，函数为y ＝x ＋1，此时对应的平面区域在直线y ＝x ＋1的下方，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝2x －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即A (2，3)，同时A 也在直线x ＋y ＝m 上，即m ＝2＋3＝5，故选C.答案 C规律方法 1.给定约束条件的情况下，求目标函数的最优解主要用图解法，其主要思路为：(1)根据约束条件作出可行域；(2)将目标函数看作经过可行域内点的直线，并将目标函数值与该直线在y轴(或x轴)上的截距建立联系；(3)平移直线确定截距最大(最小)时所对应点的位置；(4)解有关方程组求出对应点坐标，再代入目标函数求目标函数最值.2.(1)若目标函数为形如z＝y－bx－a，可考虑(a，b)与(x，y)两点连线的斜率.(2)若目标函数为形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，可考虑(x，y)与(a，b)两点距离的平方.题型二线性规划的实际应用【例题】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解 (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x ≤2y ，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，y ≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125随z 变化的一簇平行直线，z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大.又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大.解方程组⎩⎨⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6，3).所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多. 规律方法解答线性规划应用题的一般步骤(1)审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些，由于线性规划应用题中的量较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺.(2)转化——设元.写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题.(3)求解——解这个纯数学的线性规划问题. (4)作答——对应用题提出的问题作出回答.【训练】某公司计划2019年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 min 的广告，广告费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/min 和200元/min.已知甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元，问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大？最大收益是多少万元？解设公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为 x min 和y min ，总收益为z 元.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3 000x ＋2 000y .二元一次不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图阴影部分所示，当直线z ＝3 000x ＋2 000y 过点M 时，z 最大. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900得M (100，200). 所以z max ＝3 000×100＋2 000×200＝700 000(元)＝70(万元).所以该公司在甲电视台做100 min 广告，在乙电视台做200 min 广告，公司收益最大，最大值为70万元.【训练】某人有一幢房子，室内面积共180 m 2，拟分隔成两类房间作为游客住房.大房间每间面积为18 m 2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15 m 2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1 000元，装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8 000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大收益？解设他应隔出大房间x 间，小房间y 间，能获得收益为z 元，则由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧18x ＋15y ≤180，1 000x ＋600y ≤8 000，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，目标函数z ＝200x ＋150y .约束条件化简为⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋5y ≤60，5x ＋3y ≤40，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，可行域如图阴影部分所示.根据目标函数作一族平行直线：4x ＋3y ＝t ，这些直线中经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫207，607的直线在y 轴上的截距最大.此时z ＝200x ＋150y 取最大值，但此时x ，y 均不为整数，故不是最优解，因此要进行调整.将直线4x ＋3y ＝2607向左下方平移至4x ＋3y ＝37，则 y ＝37－4x3，将其代入的约束条件，得⎩⎨⎧6x ＋5×37－4x3≤60，5x ＋3×37－4x3≤40，可得52≤x ≤3.∵x 为整数，∴x ＝3，此时y 为非整数，故在直线4x ＋3y ＝37上无最优整数解. 将直线再向左下方平移一个单位，得直线4x ＋3y ＝36.则y ＝36－4x3，将其代入约束条件，得⎩⎨⎧6x ＋5×36－4x3≤60，5x ＋3×36－4x3≤40，可得0≤x ≤4.∵x 为整数，∴x ＝0，1，2，3，4，代入求得它们对应的y ＝12，323，283，8，203. 故可得最优解为(0，12)和(3，8)，此时z max ＝1 800.即他应该隔出小房间12间或隔出大房间3间，小房间8间，才能获得最大收益.课堂达标1.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋y ≥0，x ＋2y －2≥0，x ≤0，y ≤3，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为( ) A.23 B.1 C.32D.3解析目标函数为四边形ABCD 及其内部，其中A (0，1)，B (0，3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，43，所以直线z ＝x ＋y 过点B 时取最大值3，选D. 答案 D2.实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝y －1x 的取值范围是()A.[－1，0]B.(－∞，0]C.[－1，＋∞)D.[－1，1) 解析作出可行域，如图所示，y －1x 的几何意义是点(x ，y )与点(0，1)连线l 的斜率，当直线l 过B (1，0)时k l 最小，最小为－1.又直线l 不能与直线x －y ＝0平行，∴k l ＜1.综上，k ∈[－1，1). 答案 D3.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值为( )A.－3B.3C.－1D.1解析若最优解有无数个，则y ＝－1a x ＋z a 与其中一条边平行，三边斜率分别为13，－1，0与－1a 对照知a ＝－3或a ＝1.又因为z ＝x ＋ay 取最小值，则a ＝－3. 答案 A4.若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________.解析由题意，画出可行域如图阴影部分所示：由z＝3x－4y，得y＝34x－z4，作出直线y＝34x，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A(1，1)处取最小值，故z min＝3×1－4×1＝－1.答案－1课堂小结1.用图解法解决线性或非线性规划问题的基本步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域.(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形.(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解.(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.2.作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解.3.在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题.4.在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解.最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析.。

人教高中数学必修五《3.3.2简单的线性规划问题》教案-教育文档

课题名称：简单的线性规划问题 (教案)
三维教学目标
知识与技能：①了解线性规划的意义以及约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等相关的基本概念；
②在巩固二元一次不等式（组）所表示的平面区域的基础上，能从实际优化问题中抽象出约束条件和目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；③掌握对一些实际优化问题建立线性规划数学模型并运用图解法进行求解的基本方法和步骤。

过程与方法：①培养学生的形象思维能力、绘图能力和探究能力；②强化数形结合的数学思想方法；
③提高学生构建（不等关系）数学模型、解决简单实际优化问题的能力。

情感、态度与价值观：①在感受现实生产、生活中的各种优化、决策问题中体验应用数学的快乐；②在运用求解线性规划问题的图解方法中，感受动态几何的魅力；③在探究性练习中，感受多角度思考、探究问题并收获探究成果的乐趣。

教学重点及应对策略
1、教学重点：根据实际优化问题准确建立目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；
教学难点：①借助线性目标函数的几何含义准确理解线性目标函数在y轴上的截距与z最值之间的关系；②用数学语言表述运用图解法求解线性规划问题的过程。

教学过程设计。

高中数学 3.3 简单的线性规划问题教案新人教版必修5 教案

简单的线性规划问题一、教学内容分析普通高中课程标准教科书数学5（必修）第三章第3课时这是一堂关于简单的线性规划的“问题教学”．线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，它能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题.简单的线性规划（涉及两个变量）关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成.突出体现了优化的思想．教科书利用生产安排的具体实例，介绍了线性规划问题的图解法，引出线性规划等的概念，最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中的应用.二、学生学习情况分析本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，又通过实例，理解了平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系式表示简单的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化为数学问题. 从数学知识上看，问题涉及多个已知数据、多个字母变量，多个不等关系，从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日，这都成了学生学习的困难．三、设计思想本课以问题为载体，以学生为主体，以数学实验为手段，以问题解决为目的，以几何画板作为平台，激发他们动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣。

注重引导帮助学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建构过程，“从具体到一般”的抽象思维过程，应用“数形结合”的思想方法，培养学生的学会分析问题、解决问题的能力。

四、教学目标1．了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念；理解线性规划问题的图解法；会利用图解法求线性目标函数的最优解．2．在实验探究的过程中，让学生体验数学活动充满着探索与创造，培养学生的数据分析能力、探索能力、合情推理能力及动手操作、勇于探索的精神；3、在应用图解法解题的过程中,培养学生运用数形结合思想解题的能力和化归能力，体验数学来源于生活，服务于生活，体验数学在建设节约型社会中的作用. 五、教学重点和难点求线性目标函数的最值问题是重点；从数学思想上看，学生对为什么要将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y 轴上的截距的最值问题？以及如何想到要这样转化？存在一定疑虑及困难；教学应紧扣问题实际，通过突出知识的形成发展过程，引入数学实验来突破这一难点．六、教学过程设计（一）引入（1）情景某工厂用A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h ，每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h.该产每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天工作8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？请学生读题，引导阅读理解后，列表 →建立数学关系式 → 画平面区域，学生就近既分工又合作，教师关注有多少学生写出了线性数学关系式，有多少学生画出了相应的平面区域，在巡视中并发现代表性的练习进行展示，强调这是同一事物的两种表达形式数与形.【问题情景使学生感到数学是自然的、有用的，学生已初步学会了建立线性规划模型的三个过程：列表 →建立数学关系式→ 画平面区域，可放手让学生去做，再次经历从实际问题中抽象出数学问题的过程，教师则在数据的分析整理、表格的设计上加以指导】教师打开几何画板，作出平面区域. （2）问题师：进一步提出问题，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？学生不难列出函数关系式y x z 32+=.师：这是关于变量y x 、的一次解析式，从函数的观点看y x 、的变化引起z 的变化，而y x 、是区域内的动点的坐标，对于每一组y x 、的值都有唯一的z 值与之对应，请算出几个z 的值. 填入课前发下的实验探究报告单中的第２—４列进行观察,看看你有什么发现？学生会选择比较好算的点，比如整点、边界点等.【学生思维的最近发现区是上节的相关知识，因此教师有目的引导学生利用几何直观解决问题，虽然这个过程计算比较繁琐，操作起来有难度，但是教学是一个过程，从中让学生体会科学探索的艰辛，这样引导出教科书给出的数形结合的合理性，也为引入信息技术埋下伏笔】（二）实验教师打开画板，当堂作出右图，在区域内任意取点，进行计算,请学生与自己的数据对比，继续在实验探究报告单上补充填写画板上的新数据.教师引导学生提出猜想：点M 的坐标为（４，２）时，z =y x 32+取得最大值14.【在信息技术与课程整合过程中，为改变老师单机的演示学生被动观看的现状，让学生参与进来，老师（可以根据学生要求）操作，学生记录，共同提出猜想，在当前技术条件受限时不失为一个好方法】师：这有限次的实验得来的结论可靠吗？我们毕竟无法取遍所有点，因为区域内的点是无数的！况且没有计算机怎么办，数据复杂手工无法计算怎么办？因此，有必要寻找操作性强的可靠的求最优解的方法.【形成认知冲突，激发求知欲望，调整探究思路，寻找解决问题的新方法】继续观察实验报告单，聚焦每一行的点坐标和对应的度量值，比如M （3.2, 1.2）时方程是1032=+y x ，填写表中的第6—7列，引导学生先在点与直线之间建立起联系 ------点M 的坐标是方程1032=+y x 的解，那么点M 就应该在直线1032=+y x 上，反过来直线1032=+y x 经过点M ，当然也就经过平面区域，所以点M 的运动就可转化为直线的平移运动。

高中数学必修5《简单线性规划》教学设计

课题：简单的线性规划（高三一轮复习课）主旨：本节课是人民教育出版全日制普通高级中学数学教科书（必修5）第三章第3节“简单的线性规划”.本节课是高三第一轮复习课，内容包括二元一次不等式表示平面区域、线性规则及线性规划的实际应用.下面我从三方面来说说对这节课的分析和设计.1. 教材地位分析一教学背景分析 2. 学生特征分析3. 教学目标分析1. 教学重点、难点分析二教学展开分析 2. 教学策略和方法指导3. 教学媒体选择4. 教学实施三教学结果分析一、教学背景分析1、教材地位分析（1）“简单的线性规划”是在复习了直线方程的基础上而再度学习的. 因线性规划的应用性广泛，“简单线性规划”不仅是“新大纲”中增加的新内容，也是“新课标”的必修内容；说明了教材重视数学知识的应用.（2）“简单的线性规划”体现了数学应用性的同时，还渗透了化归、数形结合等数学思想和数学建模法.（3）“简单的线性规划”内容已成为近年来高考数学命题的一个亮点. 几乎每年必考。

考查的题型有选择题，填空题..2、学生特征分析（1）学习任务分析：通过第一轮复习，学生对不等式、直线方程知识有了更系统的理解；这是复习“简单的线性规划”的起点能力.（2）认知能力分析：学生能应用不等式、直线方程知识来解决问题，加之，体会过“简单的线性规划”应用性；这有益于“简单的线性规划”的“同化”和“顺应”.（3）认知结构变量分析：“不等式”、“直线方程”与“简单的线性规划”是“类属关系”，故“简单的线性规划”的复习是“下位学习”，说明认知结构的可利用性和可分辩性. 但是，由于“简单的线性规划”在教材上的编排简约、图解方法的动态，影响到认知结构的稳固性；这要求通过创设问题情境、自主探究等来促进认知结构的稳固性，进行意义建构.3、教学目标分析（1）知识技能：掌握二元一次不等式表示平面区域，进一步了解线性规划的意义，并能应用其解决一些简单的实际问题.（2）过程与方法：通过自主探究，师生会话，体验数学发现和创造的历程；经历线性规划的实际应用，提高数学建模能力.（3）情感态度：通过自主探究，师生会话，养成批判性的思维品质，形成良好的合作交流品质，提高“应用数学”的意识.以上三个目标确定是基于教材地位分析和学生特征分析.二、教学展开分析1、教学重点与难点分析重点：掌握二元一次不等式表示平面区域并灵活运用，以及线性规划最优解的求解.难点：实际问题转化为线性规划问题及其整数最优解、最优近似解的求解.利用例题、变式训练，求线性规划最优解的两种有效的方法——“调整优值法”、“换元取优法”的应用，以及“简单的线性规划解答器”的应用，来突出重点，突破难点.2、教学策略与方法指导（1）教学策略：本节课采用基于建构主义理论的“建构式教学方法”，即由“创设问题情境——自主探究——师生会话——意义建构”四个环节组成. 以学生为主体，并根据教学中的实际情况及时调整教学方案.（2）学法指导：教师平等地参与“师生会话”，间或参与“自主探究”并适时点拨指导；引导学生全员、全过程参与；自主探究的形式可以是小组学习，也可以是“学习共同体”等，引导学生反思评价.3、教学媒体的选择与运用使用多媒体辅助教学.4、教学实施按照“建构式教学法”的思想，围绕突出重点，解决难点，不断设置问题情境，激发学生自主探究，并由师生会话促进意义建构. 我把本节课的教学实施分成三大部分，即（1）概念“同化”,（2）例题研讨,（3）反思评价.Ⅱ例题分析三、教学结果分析通过本节课的学习，结合教学目标，从知识、能力、情感三个方面预测可能会出现的结果.1、学生能掌握并灵活运用二元一次不等式的平面区域，能够求出最优解；但在数学建模方面，估计有少部分学生会有一定的困惑. 另外，对线性规划和其它知识的交汇题的求解以及实际问题的整数最优解、近似最优解的求解仍会有学生感到陌生，故须督促学生课后加强消化.2、学生基本思想能力得到一定的提高，但良好的数学素养有待进一步提高.3、由于学生层次不同，已有的数学知识、观念不同，体验和认识也不同，对于学习层次较高的学生，应鼓励其严谨、谦虚、锲而不舍的求学态度；而对学习欠佳的同学，应多鼓励，并辅之以师生的帮助促进其进步.。

高一人教A版高中数学必修五3.3.3 简单的线性规划问题(2)教案

精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

高中数学人教A版必修5 3.3.2 简单的线性规划问题学案

高中数学人教A版必修5第三章不等式3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.2简单的线性规划问题学案【课前自主学习】预习课本P87～91，思考并完成以下问题(1)约束条件，目标函数，可行解，线性规划问题是如何定义的？(2)如何求解线性目标函数的最值问题？【新知探究•夯实知识基础】线性规划的有关概念次数为1.(2)目标函数与线性目标函数的概念不同，线性目标函数在变量x，y的次数上作了严格的限定：一次解析式，即目标函数包括线性目标函数和非线性目标函数．(3)可行解必须使约束条件成立，而可行域是所有的可行解组成的一个集合．【学练结合】1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)可行域是一个封闭的区域( )(2)在线性约束条件下，最优解是唯一的( )(3)最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解( )(4)线性规划问题一定存在最优解( )解析：(1)错误．可行域是约束条件表示的平面区域，不一定是封闭的．(2)错误．在线性约束条件下，最优解可能有一个或多个，也可能有无数个，也可能无最优解，故该说法错误．(3)正确．满足线性约束条件的解称为可行解，但不一定是最优解，只有使目标函数取得最大值或最小值的可行解，才是最优解，所以最优解一定是可行解．(4)错误．线性规划问题不一定存在可行解，存在可行解也不一定存在最优解，故该说法是错误的．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×2．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ＋1≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．3B ．1C ．－5D ．－6 解析：选C 由约束条件作出可行域如图：由z ＝x ＋2y 得y ＝－12x ＋z 2，z 2的几何意义为直线在y 轴上的截距，当直线y ＝－12x ＋z 2过直线x ＝－1和x －y ＝1的交点A (－1，－2)时，z 最小，最小值为－5，故选C.3．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≤2，y ≥|x ＋1|，若可行域内存在点使得x ＋2y －a ＝0成立，则a 的最大值为( )A ．－1B ．1C ．4D ．5解析：选D 作出不等式对应的可行域如图所示，由x ＋2y －a ＝0可得y ＝－12x ＋a 2，平移直线y ＝－12x ＋a 2，当直线y ＝－12x ＋a 2经过点A 时，直线y ＝－12x ＋a 2的截距最大，此时a 最大，由⎩⎨⎧ y ＝2，y ＝x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，故A (1,2)，此时a 的最大值是a ＝x ＋2y ＝1＋2×2＝5. 4．已知实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧ x ＋y －3≥0，x －y －3≤0，y ≤2，则x x ＋y 的取值范围是________．解析：由约束条件⎩⎨⎧ x ＋y －3≥0，x －y －3≤0，y ≤2，作出可行域如图所示，所以y x 即是可行域内的点与原点连线的斜率，故可得y x ∈[0,2]，所以x x ＋y ＝11＋y x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1【学以致用•探究解题方法】题型一求线性目标函数的最大(小)值[典例] 设z ＝2x ＋y ，变量x ，y 满足条件⎩⎨⎧ x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，求z 的最大值和最小值．[解] 作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示．把z ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ，则得到斜率为－2，在y 轴上的截距为z ，且随z 变化的一组平行直线．由图可以看出，当直线z ＝2x ＋y 经过可行域上的点A 时，截距z 最大，经过点B 时，截距z 最小．解方程组⎩⎨⎧ x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，得A 点坐标为(5,2)，解方程组⎩⎨⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，得B 点坐标为(1,1)， ∴z 最大值＝2×5＋2＝12，z 最小值＝2×1＋1＝3.[解题规律总结]解线性规划问题的基本步骤(1)画：画出线性约束条件所表示的可行域．(2)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．(3)求：通过解方程组求出最优解．(4)答：根据所求得的最优解得出答案．[活学活用] 若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧ x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －a ≥0，目标函数t ＝x －2y 的最大值为2，则实数a 的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：选C 作出满足条件的可行域(如图)，由目标函数t ＝x －2y ，得直线y ＝12x －12t 在点⎝⎛⎭⎪⎫2，a －22处取得最大值，即t max ＝2－2×a －22＝4－a ＝2，得a ＝2，故选C.2．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ 2x －y ≤2，x －y ≥－1，x ＋y ≥1，若目标函数z ＝2x ＋ay 仅在点(3,4)取得最小值，则a 的取值范围是________．解析：作出不等式对应的平面区域如图所示，若a ＝0，则目标函数为z ＝2x ，即此时函数在A (3,4)时取得最大值，不满足条件．当a ≠0，由z ＝2x ＋ay 得y ＝－2a x ＋z a ，若a ＞0，目标函数斜率－2a ＜0，此时平移y ＝－2a x ＋z a ，得y ＝－2a x ＋z a 在点A (3,4)处的截距最大，此时z 取得最大值，不满足条件．若a ＜0，目标函数斜率－2a ＞0，要使目标函数y ＝－2a x ＋z a 仅在点A (3,4)处取得最小值，则－2a <k AB ＝1 ，∴a <－2.答案：(－∞，－2)题型二求非线性目标函数的最值命题点一：距离型最值[典例] 1．设x ，y 满足条件⎩⎨⎧ x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值．解：画出满足条件的可行域如图所示，x 2＋y 2＝u (除原点)表示一组同心圆(圆心为原点O )，且对同一圆上的点x 2＋y 2的值都相等，由图可知：当(x ，y )在可行域内取值时，当且仅当圆O 过C 点时，u 最大．取(0,0)时，u 最小．又C (3,8)，所以u max ＝73，u min ＝0.命题点二：斜率型最值2．在题点一的条件下，求v＝yx－5的最大值与最小值．解：v＝yx－5表示可行域内的点P(x，y)与定点D(5,0)连线的斜率，由图可知，k BD最大，k CD最小，又C(3,8)，B(3，－3)，所以v max＝－33－5＝32，v min＝83－5＝－4.[解题规律总结]非线性目标函数最值问题的求解方法(1)非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果．(2)常见代数式的几何意义主要有：①x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；(x－a)2＋(y－b)2表示点(x，y)与点(a，b)的距离.②yx表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；y－bx－a表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．题型三线性规划的实际应用[典例]某研究所计划利用“神十一”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A，B，要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，搭载每件产品有关数据如表：克) 量110千克预计收益(万元)8060最大收益是多少？[解]设“神十一”宇宙飞船搭载产品A，B的件数分别为x，y，最大收益为z，则目标函数为z＝80x＋60y，根据题意可知，约束条件为⎩⎨⎧20x＋30y≤300，10x＋5y≤110，x≥0，y≥0，x∈N，y∈N，即⎩⎨⎧2x＋3y≤30，2x＋y≤22，x≥0，y≥0，x∈N，y∈N，作出可行域如图阴影部分所示，作出直线l：80x＋60y＝0，并平移直线l，由图可知，当直线过点M时，z取得最大值，解⎩⎨⎧2x＋3y＝30，2x＋y＝22，得M(9,4)，所以z max＝80×9＋60×4＝960，即搭载A产品9件，B产品4件，可使得总预计收益最大，为960万元．[解题规律总结](1)解答此类问题，在按解决线性规划实际问题的步骤进行解题时，应注意以下几点：①在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要．②线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断．③结合实际问题，判断未知数x，y等是否有限制，如x，y为正整数、非负数等．(2)寻找整点最优解的两个方法①平移找解法：先打网格，描整点，平移直线l，最先经过或最后经过整点便是最优整点解，这种方法应充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解．②调整优值法：先求出整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解．[活学活用]一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件4元，乙每件7元，甲商品每件卖出去后可赚1元，乙每件卖出去后可赚1.8元．若要使赚的钱最多，那么该商贩购买甲、乙两种商品的件数应分别为( )A ．甲7件，乙3件B ．甲9件，乙2件C ．甲4件，乙5件D ．甲2件，乙6件解析：选D 设甲商品x 件，乙商品y 件，所赚钱数为z ，则目标函数为z＝x ＋1.8y ，约束条件为⎩⎨⎧ 4x ＋7y ≤50，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，作出可行域如图所示，由z ＝x ＋1.8y ，得y ＝－59x ＋5z 9，斜率为－59>－47，所以，由图可知直线过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，507时，z 取得最大值．又x ，y ∈N ，所以点A 不是最优解．点(0,7)，(2,6)，(9,2)都在可行域内，逐一验证可得，当x ＝2，y ＝6时，z 取得最大值，故选D.高中数学人教A 版必修5第三章不等式3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.2 简单的线性规划问题同步检测基础达标题1．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目标函数z ＝x ＋6y 的最大值为( ) A ．3 B ．4 C ．18 D ．402．某服装制造商有10 m 2的棉布料，10 m 2的羊毛料和6 m 2的丝绸料，做一条裤子需要1 m 2的棉布料，2 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料，做一条裙子需要1 m 2的棉布料，1 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x 条，裙子y 条，利润为z ，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为( )A.⎩⎨⎧ x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，x ，y ∈Nz ＝20x ＋40y B.⎩⎨⎧ x ＋y ≥10，2x ＋y ≥10，x ＋y ≤6，x ，y ∈Nz ＝20x ＋40y C.⎩⎨⎧ x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6z ＝20x ＋40yD.⎩⎨⎧ x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，x ，y ∈Nz ＝40x ＋20y3．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则y x 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤95，6 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，95∪[6，＋∞) C ．(－∞，3]∪[6，＋∞)D ．(3,6]4．某学校用800元购买A ，B 两种教学用品，A 种用品每件100元，B 种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A ，B 两种用品应各买的件数为( )A ．2,4B ．3,3C ．4,2D ．不确定5．已知⎩⎨⎧ x ≥1，x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0，若z ＝ax ＋y 的最小值是2，则a 的值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．46．若点P (m ，n )在由不等式组⎩⎨⎧ x ＋y －7≤0，x －2y ＋5≤0，2x －y ＋1≥0，所确定的区域内，则n －m 的最大值为________． 7．已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0，则x 2＋y 2的最小值是________．8．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：22(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．9．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．10．某人承担一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m 2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m 2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使得总用料面积最小．能力达标题1．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1 C ．[－1,6]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，322．已知实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≤1，2x －2y ＋1≤0，若目标函数z ＝mx －y (m ≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m 的值为( )A ．1 B.12C ．－12D ．－13．已知实数x ，y 满足：⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y －1|，则z 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，5 B ．[0,5] C ．[0,5) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，54．x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，2y －x ＋2≥0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －2ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．1或－12 C ．2或1D ．2或－15．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎨⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝________.6．某公司计划用不超过50万元的资金投资A ，B 两个项目，根据市场调查与项目论证，A ，B 项目的最大利润分别为投资的80%和40%，而最大的亏损额为投资的40%和10%，若要求资金的亏损额不超过8万元，且使利润最大，投资者应投资A项目________万元，投资B项目________万元．7．某运输公司每天至少要运送180 t货物，公司有8辆载重为6 t的A型卡车和4辆载重为10 t的B型卡车，且有10名驾驶员．A型卡车每天可往返4次，B 型卡车每天可往返3次，每辆A型卡车每天花费320元，每辆B型卡车每天花费504元，如何合理调用车辆，才能使公司每天花费最少？8．关于x的方程x2＋ax＋2b＝0的两根分别在区间(0,1)与(1,2)内，求b－2a－1的取值范围．高中数学人教A版必修5第三章不等式3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.2简单的线性规划问题同步检测解析基础达标题1．1．设变量x，y满足约束条件⎩⎨⎧x＋2≥0，x－y＋3≥0，2x＋y－3≤0，则目标函数z＝x＋6y的最大值为()A．3B．4C．18D．40解析：选C由题意作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．作直线x＋6y＝0并向右上平移，由图可知，过点A(0,3)时z＝x＋6y取得最大值，最大值为18.2．某服装制造商有10 m2的棉布料，10 m2的羊毛料和6 m2的丝绸料，做一条裤子需要1 m2的棉布料，2 m2的羊毛料和1 m2的丝绸料，做一条裙子需要1 m2的棉布料，1 m2的羊毛料和1 m2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x条，裙子y条，利润为z，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为()A.⎩⎨⎧x＋y≤10，2x＋y≤10，x＋y≤6，x，y∈Nz＝20x＋40yB.⎩⎨⎧x＋y≥10，2x＋y≥10，x＋y≤6，x，y∈Nz＝20x＋40yC.⎩⎨⎧x＋y≤10，2x＋y≤10，x＋y≤6z＝20x＋40yD.⎩⎨⎧x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，x ，y ∈Nz ＝40x ＋20y解析：选A 由题意知A 正确．3．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则yx 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤95，6 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，95∪[6，＋∞)C ．(－∞，3]∪[6，＋∞)D ．(3,6]解析：选A 作出可行域，如图中阴影部分所示，yx 可理解为可行域中一点与原点的连线的斜率，又B ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，92，A (1,6)，故y x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤95，6.4．某学校用800元购买A ，B 两种教学用品，A 种用品每件100元，B 种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A ，B 两种用品应各买的件数为( ) A ．2,4 B ．3,3 C ．4,2D ．不确定解析：选B 设买A 种用品x 件，B 种用品y 件，剩下的钱为z 元，则⎩⎨⎧100x ＋160y ≤800，x ≥1，y ≥1，x ，y ∈N *.求z ＝800－100x －160y 取得最小值时的整数解(x ，y )，用图解法求得整数解为(3,3)．5．已知⎩⎨⎧x ≥1，x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0，若z ＝ax ＋y 的最小值是2，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 作出可行域，如图中阴影部分所示，又z ＝ax ＋y 的最小值为2，若a >－2，则(1,0)为最优解，所以a ＝2；若a ≤－2，则(3,4)为最优解，解得a ＝－23，舍去，故a ＝2.6．若点P (m ，n )在由不等式组⎩⎨⎧x ＋y －7≤0，x －2y ＋5≤0，2x －y ＋1≥0，所确定的区域内，则n －m 的最大值为________．解析：作出可行域，如图中的阴影部分所示，可行域的顶点坐标分别为A (1,3)，B (2,5)，C (3,4)，设目标函数为z ＝y －x ，则y ＝x ＋z ，其纵截距为z ，由图易知点P 的坐标为(2,5)时，n －m 的最大值为3.答案：37．已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0，则x 2＋y 2的最小值是________．解析：画出满足条件的可行域(如图)，根据x 2＋y 2表示可行域内一点到原点的距离，可知x 2＋y 2的最小值是|AO |2.由⎩⎨⎧x ＝1，x －y ＋1＝0，得A (1,2)，所以|AO |2＝5. 答案：58．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：a b (万吨) c (百万元)A 50% 1 3 B70%0.5622(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．解析：设购买铁矿石A ，B 分别为x ，y 万吨，购买铁矿石的费用为z (百万元)，则⎩⎨⎧0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝3x ＋6y .由⎩⎨⎧ 0.5x ＋0.7y ＝1.9，x ＋0.5y ＝2，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2.记P (1,2)，画出可行域，如图所示．当目标函数z ＝3x ＋6y 过点P (1，2)时，z 取到最小值，且最小值为z min ＝3×1＋6×2＝15.答案：159．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．解：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1，0)取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围为(－4,2)．10．某人承担一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m 2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m 2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使得总用料面积最小．解：设需要甲种原料x 张，乙种原料y 张，则可做文字标牌(x ＋2y )个，绘画标牌(2x ＋y )个，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥5，x ＋2y ≥4，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，所用原料的总面积为z ＝3x ＋2y ，作出可行域如图．在一组平行直线3x ＋2y ＝z 中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线．过直线2x ＋y ＝5和直线x ＋2y ＝4的交点(2,1)， ∴最优解为x ＝2，y ＝1，∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．能力达标题1．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1 C ．[－1,6]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，32 解析：选A 作出可行域如图所示．目标函数z ＝3x －y 可转化为y ＝3x －z ，作l 0：3x －y ＝0，在可行域内平移l 0，可知在A 点处z 取最小值为－32，在B 点处z 取最大值为6.2．已知实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≤1，2x －2y ＋1≤0，若目标函数z ＝mx －y (m ≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m 的值为( )A ．1 B.12C ．－12D ．－1解析：选A 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线y ＝mx －z (m ≠0)与直线2x －2y ＋1＝0重合，即m ＝1时，目标函数z ＝mx －y 取最大值的最优解有无穷多个，故选A.3．已知实数x ，y 满足：⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y －1|，则z 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，5 B ．[0,5] C ．[0,5)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，5 解析：选C 作出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示．令u ＝2x －2y －1，当直线2x －2y －1－u ＝0经过点A (2，－1)时，u ＝5，经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23时，u ＝－53，则－53≤u <5，所以z ＝|u |∈[0,5)，故选C.4．x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，2y －x ＋2≥0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －2ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．1或－12 C ．2或1D ．2或－1解析：选B 作出可行域，如图中阴影部分所示．由z ＝y －2ax ，得y ＝2ax ＋z .当2a ＝2或2a ＝－1，即a ＝1或a ＝－12时，z ＝y －2ax 取得最大值的最优解不唯一，故选B.5．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎨⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝________.解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C ，D 分别作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形ABDC 为矩形，又C (2，－2)，D (－1,1)，所以|AB |＝|CD |＝(2＋1)2＋(－2－1)2＝3 2.答案：3 26．某公司计划用不超过50万元的资金投资A ，B 两个项目，根据市场调查与项目论证，A ，B 项目的最大利润分别为投资的80%和40%，而最大的亏损额为投资的40%和10%，若要求资金的亏损额不超过8万元，且使利润最大，投资者应投资A 项目________万元，投资B 项目________万元．解析：设投资者对A ，B 两个项目的投资分别为x ，y 万元，则由题意得约束条件为⎩⎨⎧x ＋y ≤50，0.4x ＋0.1y ≤8，x ≥0，y ≥0，即⎩⎨⎧x ＋y ≤50，4x ＋y ≤80，x ≥0，y ≥0.投资者获得的利润设为z ，则有z ＝0.8x ＋0.4y .作出可行域如图所示，由图可知，当直线经过点B 时，z 取得最大值．解⎩⎨⎧x ＋y ＝50，4x ＋y ＝80，得B (10,40)．所以，当x ＝10，y ＝40时，获得最大利润，最大利润为24万元．答案：10 407．某运输公司每天至少要运送180 t 货物，公司有8辆载重为6 t 的A 型卡车和4辆载重为10 t 的B 型卡车，且有10名驾驶员．A 型卡车每天可往返4次，B 型卡车每天可往返3次，每辆A 型卡车每天花费320元，每辆B 型卡车每天花费504元，如何合理调用车辆，才能使公司每天花费最少？解：设每天调用A 型卡车x 辆，B 型卡车y 辆，每天花费z 元．则⎩⎨⎧ 0≤x ≤8，x ∈N 0≤y ≤4，y ∈N x ＋y ≤10，24x ＋30y ≥180，即⎩⎨⎧ 0≤x ≤8，x ∈N 0≤y ≤4，y ∈N x ＋y ≤10，4x ＋5y ≥30，目标函数z ＝320x ＋504y .作出可行域，如图中阴影部分所示．当直线320x ＋504y ＝z 经过直线4x ＋5y ＝30与x 轴的交点(7.5,0)时，z 有最小值．又(7.5,0)不是整点，由分析知，经过可行域内的整点，且与原点距离最近的直线是直线320x ＋504y ＝2 560，经过的整点是(8,0)，它是最优解．所以要使公司每天花费最少，每天应调用A 型卡车8辆，B 型卡车0辆．8．关于x 的方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根分别在区间(0,1)与(1,2)内，求b －2a －1的取值范围．解：b －2a －1可以转化为点(a ，b )与M (1,2)连线的斜率．由题知x 2＋ax ＋2b ＝0两根在(0,1)与(1,2)内，可令f (x )＝x 2＋ax ＋2b必满足f (0)>0，f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎨⎧ b >0，1＋a ＋2b <0，2＋a ＋b >0，画出可行域如图中阴影部分所示，由线性规划可知，点M (1,2)与阴影部分连线的斜率k 的取值范围为k AM <k <k BM, ∵A (－3,1)，B (－1,0)，∴14<b －2a －1<1，即b －2a －1的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1. 由－2a ＋7≥a ，得a ≤73，∴a ∈∅.②当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )min ＝3－a 24，由3－a 24≥a ，得－6≤a ≤2.∴－4≤a ≤2.③当－a 2>2，即a <－4时，f (x )min ＝f (2)＝2a ＋7，由2a ＋7≥a ，得a ≥－7，∴－7≤a <－4. 综上，可得a 的取值范围为[－7,2].。

高中数学人教A版必修五3.3.2教学设计《简单的线性规划问题》

《简单的线性规划问题》1、知识与技能（1）了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；（2）了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值。

2、过程与方法本节课是以二元一次不等式表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决。

考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过激励学生探究入手，讲练结合，真正体现数学的工具性。

同时，可借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性。

3、情感态度与价值观渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识；激发学生的学习兴趣。

【教学重点】线性规划的图解法。

【教学难点】寻求线性规划问题的最优解。

（一）新课导入某工厂用A ，B 两种配件生产甲，乙两种产品，每生产一件甲种产品使用4个A 配件耗时1h ，每生产一件乙种产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天工作8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么?若生产1件甲种产品获利2万元，生产1 件乙种产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大?把问题1的有关数据列表表示如下:设甲，乙两种产品分别生产x ，y 件，由己知条件可得到哪些不等式呢？（二）新课讲授设甲，乙两种产品分别生产x ，y 件，由己知条件可得:⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ≤8，4x ≤16，4y ≤12，x ≥0，y ≥0，将上面不等式组表示成平面上的区域，区域内所有坐标为整数的点P(x ，y)，安排生产任务x ，y 都是有意义的。

问题：求利润2x+3y 的最大值。

若设利润为z ，则z=2x+3y ，这样上述问题转化为:当x ，y 在满足上述约束条件时，z 的最大值为多少?把z ＝2x ＋3y 变形为y ＝－23x ＋z 3，在y 轴上的截距为z 3，当点P 在可允许的取值范围变化时，求截距z 3的最值，即可得z 的最值。

《简单的线性规划问题》学案

人教版高中数学必修五§3.3.2《简单的线性规划问题》第一课时学案一、学习目标：了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行解和最优解的概念；会利用图解法求线性目标函数的最优解.在合作交流和探索的过程中，体验数形结合的数学思想，达到解决实际问题的目的.二、引入新知：在约束条件410,4320,0,x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩下，如何探求目标函数P=2x+y的最大值？1）画出约束条件所表示的平面区域：4）点（1,1）对应的P值为多少？还有哪些点所对应的P值与之相同？在图中标出这些点的位置，观察这些点的位置特点._____________________________________________________________________________ 5)当P取3的时候，等式3=2x+y的几何意义是什么？表示什么几何图形？那么P=4或者5呢？它们相互之间有联系吗？y=-2x+P是一组什么几何图形？P在其中的意义如何解释？P=2x+y可以转化为_________，它表示_________（图形）P的意义_________当_________越大，P越大.6)如何求出P的最大值？观察、计算，当（x,y）取_________时，P最大为_________ 概念：____________________________________________________三、尝试演练：例1 、若实数x,y满足不等式组1,0,0.x yxy+≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩分别求下列函数的最大值.1）z= 2x+y 2）z= x-y 3）z= x+y例2、已知实数x,y满足约束条件08,04,,.xyx y Z⎨⎪⎪∈⎪⎩＜＜＜＜求z=x+y的最大值和最小值.五、习后作业：1、求z=2x+y的最大值和最小值，其中实数x,y满足约束条件20,2,2.x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩2、已知实数x,y 满足43,3525,1.x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若目标函数z=ax+y 仅在点（5,2）处取得最大值，求a的取值范围.3、若实数x,y 满足10,0,y 2.x y x -+≤⎧⎪⎨⎪≤⎩＞求yx 的取值范围.。

【全国百强校】山东省日照第一中学人教版高中数学必修五3.3 简单线性规划学案

A 完成所有题目，B 完成除（*）外所有题目；2.限时独立完成，书写规范；课上共同体合作探究，答疑解惑；3.体长在课上讨论环节要在体内起引领作用，控制讨论节奏. 学习目标1. 了解线性规划的意义以及有关的基本概念；2.解决线性目标函数的最值问题； 3. 掌握用图解法解决简单的线性规划问题；4.培养应用数学的意识，提高运用数形结合的思想方法解决问题的能力.重点·难点教学重点：线性规划问题及最优解问题；教学难点：求最优解.小结：1、线性规划中的几个相关概念：2、解决简单线性规划的方法：3.解简单线性规划问题的步骤：【对话】【合作探究与展示分享】例2、设2z x y =+，式中变量,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，求z 的最大值和最小值.变式1、在例2中将2z x y =+改为610z x y =+，求z 的最大值和最小值.变式2、在例2中将2z x y =+改为2z x y =-，求z 的最大值和最小值.例3、设变量,x y 满足条件1035371x y x y x -+≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，（1）找出,x y 均为正整数的可行解；（2）求出目标函数53z x y =+的最大值；（3）若,x y 均为正整数，求目标函数53z x y =+的最大值.【评价】【自我评价】1. 右图中阴影部分的点满足不等式组52600x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩在这些点中，使目标函数68z x y=+取得最大值的点的坐标是______________.2. 求函数23z x y =+的最大值，式中的,x y 满足约束条件2324700x y x y x y +-≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩*3、在例2中将2z x y =+改为yz x=，求z 的最大值和最小值.*4、在例2中将2z x y =+改为22z x y =+，求z 的最大值和最小值.**5.已知变量,x y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，若目标函数(0)z ax y a =+>其中仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为____________.。

山东省高中数学3.3.2简单的线性规划教案1 新人教A版必修5

课题：3.3.2简单的线性规划问题(1)
高二数学教·学案
【学习目标】
1．知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；
2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；
3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。

【学习重点】用图解法求线性目标函数的最值问题。

【学习难点】准确求得线性规划问题的最优解。

【授课类型】新授课
课后反思：。

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【自学】
对于题目：已知实数,x y 满足：12,x y ≤+≤11x y -≤-≤，求2x y +的取值范围.
有个同学的解法如下：解：由已知，得不等式组：12(1)
11(2)x y x y ≤+≤ ⎧⎨
-≤-≤ ⎩
，
两个同向不等式作加法，得：原不等式组化为
两个同向不等式作加法，得023(4)y ≤≤
即 0 1.5y ≤≤ (5). 两个同向不等式（3）和（5）作加法，得从而2x y +的取值范围是[0,4.5]. 思考：上题合适的解法该是怎样的呢？？？
【对话】
【精讲点拨】
例1、已知2z x y =+，其中实数,x y 满足：12
11
x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，求z 的最大值和最
小值.
小结：
1、线性规划中的几个相关概念：
2、解决简单线性规划的方法：
3.解简单线性规划问题的步骤：
【对话】
【合作探究与展示分享】
例2、设2z x y =+，式中变量,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，求z 的最大值和最小值.
变式1、在例2中将2z x y =+改为610z x y =+，求z 的最大值和最小值. 变式2、在例2中将2z x y =+改为2z x y =-，求z 的最大值和最小值.
例3、设变量,x y 满足条件1035371x y x y x -+≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，
（1）找出,x y 均为正整数的可行解；（2）求出目标函数53z x y =+的最大值；
（3）若,x y 均为正整数，求目标函数53z x y =+的最大值.
【评价】
【自我评价】
1. 右图中阴影部分的点满足不等式组52600
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩在这些点中，使目标函数68z x y
=+取得最大值的点的坐标是______________.
2. 求函数23z x y =+的最大值，式中的,x y 满足约束条件2324700
x y x y x y +-≤
⎧⎪-≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩
*3、在例2中将2z x y =+改为y
z x
=，求z 的最大值和最小值.
*4、在例2中将2z x y =+改为2
2
z x y =+，求z 的最大值和最小值. **5.已知变量,x y 满足约束条件14
22x y x y ≤+≤⎧⎨
-≤-≤⎩
，若目标函数
(0)z ax y a =+>其中仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为____________.。