2019届人教B版(文科数学) 解析几何6.1 单元测试

A 级

1．在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )

A ．3x －y －6＝0

B ．3x ＋y ＋6＝0

C ．3x －y ＋6＝0

D ．3x ＋y －6＝0

解析： 因为MO ＝MN ，所以直线MN 的斜率与直线MO 的斜率互为相反数，所以 MN

＝－ MO ＝3，所以直线MN 的方程为y －3＝3(x ＋1)，即3x －y ＋6＝0，选C.

答案： C

2．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B ．

213

C.253

D ．43

解析： 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，

∴⎩⎪⎨⎪

⎧ 1＋D ＋F ＝0，

3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

D ＝－2，

E ＝－433

，

F ＝1，

∴△ABC 外接圆的圆心为⎝⎛⎭⎫

1，233，故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为

1＋⎝⎛⎭⎫2332

＝213.

答案： B

3．过点P (－2,2)作直线l ，使直线l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l 一共有( )

A ．3条

B ．2条

C ．1条

D ．0条

解析： 由题意可知直线l 方程为x a ＋y

b ＝1(a <0，b >0)，于是⎩⎪⎨⎪⎧

－2a ＋2

b ＝1，1

2(－a )·b ＝8，解得－a

＝b ＝4，故满足条件的直线l 一共有1条，故选C.

答案： C

4．在平面直角坐标系内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2＝( )

A.

102

B ．10

C ．5

D ．10

解析： 由题意知P (0,1)，Q (－3,0)，∵过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，∴MP ⊥MQ ，∴|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝9＋1＝10，故选D.

答案： D

5．已知抛物线C 1：x 2＝2y 的焦点为F ，以F 为圆心的圆C 2交C 1于A ，B ，交C 1的准线于C ，D ，若四边形ABCD 为矩形，则圆C 2的方程为( )

A ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y －1

22＝3 B ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y －1

22＝4 C ．x 2＋(y －1)2＝12

D ．x 2＋(y －1)2＝16

解析： 如图，连接AC ，BD ，

由抛物线的定义与性质可知圆心坐标为F ⎝⎛⎭⎫0，1

2， 而|F A |＝|AD |＝|FB |为圆的半径r ， 于是A ⎝⎛

⎭

⎫

32r ，12＋12r ，

而A 在抛物线上，故⎝⎛⎭

⎫32r 2＝2⎝⎛⎭⎫12＋12r ， ∴r ＝2，故选B. 答案： B

6．已知点A (－1,0)，过点A 可作圆x 2＋y 2－mx ＋1＝0的两条切线，则m 的取值范围是________．

解析： 由题意得点A (－1,0)在圆外，所以1＋m ＋1>0，所以m >－2，又⎝⎛⎭⎫x －m

22＋y 2＝m 24－1表示圆，所以m 2

4

－1>0⇒m >2或m <－2，所以m >2. 答案： (2，＋∞)

7．(2017·惠州市第三次调研考试)已知直线y ＝ax 与圆C ：x 2＋y 2－2ax －2y ＋2＝0交于两点A ，B ，且△CAB 为等边三角形，则圆C 的面积为________．

解析： x 2＋y 2－2ax －2y ＋2＝0⇒(x －a )2＋(y －1)2＝a 2－1，因此圆心C 到直线y ＝ax 的距离为

32

a 2－1＝

|a 2－1|

a 2＋1

，所以a 2＝7，圆C 的面积为π(a 2－1)2＝6π.

答案： 6π

8．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线x －2y ＋5＝0上动点P ，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则|P A |的最小值为________．

解析： 过O 作OP 垂直于直线x －2y ＋5＝0，过P 作圆O 的切线P A ，连接OA ，易知此时|P A |的值最小．由点到直线的距离公式，得|OP |＝

|1×0－2×0＋5|

12＋2

2＝ 5.

又|OA |＝1，所以|P A |min ＝|OP |2－|OA |2＝2.

答案： 2

9．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0.求分别满足下列条件的a ，b 的值．

(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与l 2垂直；

(2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等． 解析： (1)∵l 1⊥l 2，

∴a (a －1)＋(－b )·1＝0，即a 2－a －b ＝0.① 又点(－3，－1)在l 1上， ∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②得，a ＝2，b ＝2.

(2)由题意知当a ＝0或b ＝0时不成立． ∵l 1∥l 2，∴a b ＝1－a ，∴b ＝a 1－a ，

故l 1和l 2的方程可分别表示为

(a －1)x ＋y ＋4(a －1)a ＝0，(a －1)x ＋y ＋a

1－a ＝0，

又原点到l 1与l 2的距离相等，