极坐标系与极坐标方程

一、坐标系

1、数轴 它使直线上任一点P 都可以由惟一的实数x 确定

2、平面直角坐标系

在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y ）确定。

3、空间直角坐标系

在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z ）确定。

二、平面直角坐标系的伸缩变换

定义：设P （x ，y ）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>=>=).

0(')0(,':μμλλφy y x x ④的作用下，点P （x ，y ）对应到点P ’（x ’，y ’），称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

三．例题讲解

例1 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。

（1）2x+3y=0； （2）x 2+y 2=1

三、极坐标系

1、极坐标系的建立：

在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线OX ，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。

（其中O 称为极点，射线OX 称为极轴。）

2、极坐标系内一点的极坐标的规定

对于平面上任意一点M ，用 ρ 表示线段OM 的长度，用 θ 表示从OX 到

OM 的角度，ρ 叫做点M 的极径， θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ，θ）就叫

做M 的极坐标。

特别强调：由极径的意义可知ρ≥0;当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（ρ，θ）建立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径ρ=0,极角是任意角.

3、负极径的规定

在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以去任意的正角或负角

当ρ＜0时，点M （ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM=ρ。

M （ρ，θ）也可以表示为))12(,()2,(πθρπθρ++-+k k 或 )(z k ∈

4、数学应用

例1 写出下图中各点的极坐标

A （4，0）

B （2 ）

C （ ）

D （ ）

E （ ）

F （ ）

G （ ）

规定：极点的极坐标是ρ=0，θ可以取任意角。

变式训练

在极坐标系里描出下列各点

A （3，0）

B （6，2π）

C （3，

2π）D （5，34π）E （3，65π）F （4，π）G （6，35π）

例2 在极坐标系中，

（1） 已知两点P （5，45π），Q )4

,1(π，求线段PQ 的长度； （2） 已知M 的极坐标为（ρ，θ）且θ=

3π，ρR ∈，说明满足上述条件的点M 的位置。

变式训练

1、若ABC ∆的的三个顶点为.),6

7,3(),65,8(),25,

5(判断三角形的形状πππC B A

2、若A 、B 两点的极坐标为),(),,(2211θρθρ求AB 的长以及AOB ∆的面积。（O 为极点）

例3 已知Q （ρ，θ），分别按下列条件求出点P 的极坐标。

（1） P 是点Q 关于极点O 的对称点；

（2） P 是点Q 关于直线2π

θ=的对称点；

（3） P 是点Q 关于极轴的对称点。

变式训练

1.在极坐标系中,与点)6,8(π

-关于极点对称的点的一个坐标是 ( )

)6

,8(),65,8(),65,8(),6,8(ππππ

----D C B A

2在极坐标系中，如果等边ABC ∆的两个顶点是),4

5,2(),4,

2(B A π求第三个顶点C 的坐标。

四、极坐标与直角坐标的互化

直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取

相同的长度单位。平面内任意一点P 的直角坐标与极坐标分别为),(y x 和

),(θρ，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：

⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ⎪⎩

⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x y y x θρ 说明1上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式

2通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ≤π2。

3 化公式的三个前提条件

1. 极点与直角坐标系的原点重合;

2. 极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合;

3. 两种坐标系的单位长度相同.

三、数学应用

例1（1）把点M 的极坐标)32,

8(π化成直角坐标； （2）把点P 的直角坐标)2,6(-化成极坐标。

变式训练

在极坐标系中,已知),6,2(),6,2(π

π-B A 求A,B 两点的距离

例2若以极点为原点,极轴为x 轴正半轴,建立直角坐标系.

(1) 已知A 的极坐标),3

5,4(π求它的直角坐标, (2) 已知点B 和点C 的直角坐标为)15,0()2,2(--和求它们的极坐标.ρ(＞0,0≤θ＜2π)

变式训练

把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定ρ＞0,0≤θ＜π2))4,3(),4,3(),2,0(),1,1(----D C B A

例3在极坐标系中,已知两点)32,6(),6,

6(ππB A .求A,B 中点的极坐标.

变式训练

在极坐标系中,已知三点)6,32(),0,2(),3,2(π

πP N M -

.判断P N M ,,三点是否在一条直线上.

五、常用曲线的极坐标方程 1、若直线l 经过),(00θρM 且极轴到此直线的角为α，求直线l 的极坐标方程。

变式训练：直线l 经过)2,

3(πM 且该直线到极轴所成角为4

π，求此直线l 的极坐标方程。

2、若圆心的坐标为),(00θρM ，圆的半径为r ，求圆的方程。运用此结果可以推出哪些特殊位置的圆的极坐标方程。

3、 在圆心的极坐标为)0,4(A ，半径为4的圆中，求过极点O 的弦的中点的轨迹。

三、巩固与练习