1978年高考数学全国卷

1978年普通高等学校招生全国统一考试

数学

（理科考生五，六两题选做一题六两题选做一题，不要

求做第七题）

一．（下列各题每题4分，五个题共20分） 1．分解因式：x 2-4xy+4y 2-4z 2.

解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z)

2.已知正方形的边长为a ，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积

解：设底面半径为r ，则底面周长2πr=a

则.42,222

2

πππππa a a a r a r =⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⋅==体积

3．求函数)2lg(x y +=的定义域解： ∵lg(2+x)≥0,∴2+x ≥1.故x ≥-1为其定义域

4．不查表求cos800cos350+cos100cos550的值

解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=

2

2 5.化简： 二 .（本题满分14分）

已知方程kx 2+y 2=4，其中k 为实数对于不同范围的k 值，分别指

.

254:.)

()1.0()4(41 2

1

2

1

4

323

1

2

1

b b a ab =

⋅

⎪⎭

⎫ ⎝⎛----原式解

出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图 解：1）k>0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k>1时,长轴在y 轴上，半长轴=2，半短轴=

k

2;

②k=1时,为半径r=2的圆; ③k<1时,长轴在x 轴上，半长轴=

k

2，半短轴=2

2)k=0时，方程为y 2=4图形是两条平行于x 轴的直线2±=y

如图 3）k<0时，方程为

三．（本题满分14分）

（如图）AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，直线MN 切半圆于C

Y Y Y

X

X y=-2

1

442

2=+-y k x

点，AM ⊥MN 于M 点，BN ⊥MN 于N 点，CD ⊥AB 于D 点， 求证：1)CD=CM=CN. 2)CD 2=AM ·BN 1)证：连CA ，CB ，则∠ACB=900∠ACM=∠ABC ∠ACD=∠ABC ∴∠ACM=∠ACD ∴△AMC ≌△

ADC

∴CM=CD 同理CN=CD CD=CM=CN

2）∵CD ⊥AB ，∠ACD=900

∴ CD 2=AD ·DB 由1）知AM=AD ，BN=BD

∴CD 2=AM ·BN

四．（本题满分12分）

18361818181836181818log 9(2),18 5.log 45.:185,log 5.

log 59log 5log 9log 45.

log 182log 18log 22b b a a b a b

a

=≠==∴=⋅++=

==⋅+- 已知求解

五．（本题满分20分）

已知△ABC 的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=32+求角A ，B ，C 的大小又已知顶点C 的对边c 上的高等于

a ,b,c

的长（提示：必要时可验证324)31(2+=+）

M C N

A B D

212:1802.60,1202tgA tgC (1-tgAtgC)tg(A C)3(1)(2)tgA,tgC x (320.:1,2,1,245,A B C B A C B A C tgAtgC x x x A C tgA tgC A C ++=︒=+∴=︒+=︒=++=+==-+++===+<==∴=︒ 解又而由可知是的两根解这方程得设

则得12045758;cos 45cos 60 4.

c a b c AD DB b a =︒-︒=︒∴=

====+=︒+︒=又知上的高等于

六．（本题满分20分）

22222224223sin 2sin 1,:3sin cos 2.

3

3sin 22sin 20,:sin 2sin 23sin cos ..

2

sin 2cos 9sin cos 9sin 9sin 1.

1

sin ()

3

sin(2)sin cos 2cos sin 2sin (3sin )cos (3sin cos ) αβαβαββαααβαααααααβαβαβααααα+==-===∴+=+∴=∴=+=+=+由得由得为锐角22 3sin (sin cos )3sin 1.

2

ααααπ

αβ=+==∴+=

七．（本题满分20分，文科考生不要求作此题） 已知函数y=x 2+(2m+1)x+m 2-1(m 为实数） 1）m 是什么数值时，y 的极值是0？

2）求证：不论m 是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L 1上画出m=-1、0、1时抛物线的草图，来检验这个结论3）平行于L 1的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任

.

2

2:0,

2sin2-3sin2 ,1sin 2sin 3,,:22πβαβαβαβα=+==+求证且为锐角已知

一条平行于L 1而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等

解：用配方法得：

2

214545.2445

0,450,4

2145

2.(,),

24

2m 11455

x -,,

22443

:..4

,,,,m m m y x y m m m m m m y m x y m m +++⎛

⎫=+-∴- ⎪

⎝⎭

+==-

++--++==--=-=---=的极小值为所以当极值为时函数图象抛物线的顶点坐标为即二式相减得此即各抛物线顶点坐标所满足的方程它的图象是一条

直线方程中不含因此不论是什么值抛物线的顶点都在这条222.1,0,1,,1151

93

(),(),().42

42

42

m x y y x y x y x =-+

=-+

=++

=+直线上当时之间函数关系为图略 3.设L ：x-y=a 为任一条平行于L 1的直线

与抛物线y=x 2+(2m+1)x+m 2-1方程联立求解，消去y ，得

x 2+2mx+m 2-1+a =0∴（x+m)2=1-a

因而当1-a ≥0即a ≤1时，直线L 与抛物线相交，而a ＞1时，直线L 与抛物线不相交

而这与m 无关

因此直线L 被各抛物线截出的线段都相等

一九七八年副题

)

1(222)]1()1[(45,1.

1,

1.1,1a a m a m L L a m a m L a m x a -=-----+-∴︒

-+-----±-=≤于被抛物线截出的线段等直线它的倾斜角为的斜率为因直线为与抛物线两交点横坐标即直线时当