-2017立体几何全国卷高考真题

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2015-2017立体几何高考真题

1、(2015年1卷6题)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有( ) (A )14斛 (B )22斛 (C )36斛 (D )66斛 【答案】B

【解析】设圆锥底面半径为r ,则12384r ⨯⨯==16

3

r =,所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=320

9

,故堆放的米约为

320

9

÷1.62≈22,故选B. 考点:圆锥的性质与圆锥的体积公式

2、(2015年1卷11题)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π,则r=( )

(A )1 (B )2 (C )4 (D )8 【答案】B

【解析】由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的半径与球的半径都为r ,圆柱的高为2r ,其表面积为221

42222

r r r r r r πππ⨯+⨯++⨯=2254r r π+=16 + 20π,解得r=2,故选B.

考点:简单几何体的三视图;球的表面积公式、圆柱的测面积公式 3、(2015年1卷18题)如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E ,F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面ABCD ,DF ⊥平面ABCD ,BE=2DF ,AE ⊥EC.

(Ⅰ)证明:平面AEC ⊥平面AFC ;

(Ⅱ)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值. 【解析】 试题分析:(Ⅰ)连接BD ,设BD∩AC=G,连接EG ,FG ,EF ,在菱形ABCD 中,不妨设GB=1易证EG ⊥AC ,通过计算可证EG ⊥FG ,根据线面垂直判定定理可知EG ⊥平面AFC ,由面面垂

直判定定理知平面AFC ⊥平面AEC ;(Ⅱ)以G 为坐标原点,分别以,GB GC u u u r u u u r

的方向为x 轴,y 轴正方向,||GB u u u r

为单位长度,建立空间直角坐标系G-xyz ,利用向量法可求出异面直线

AE 与CF 所成角的余弦值. 试题解析:(Ⅰ)连接BD ,设BD∩AC=G,连接EG ,FG ,EF ,在菱形ABCD 中,不妨设GB=1,由∠ABC=120°,可得AG=GC=3. 由BE ⊥平面ABCD ,AB=BC 可知,AE=EC , 又∵AE ⊥EC ,∴EG=3,EG ⊥AC ,

在Rt △EBG 中,可得BE=2,故DF=

2

2

. 在Rt △FDG 中,可得FG=

62

. 在直角梯形BDFE 中,由BD=2,BE=2,DF=22可得EF=322

, ∴222EG FG EF +=,∴EG ⊥FG , ∵AC∩FG=G,∴EG ⊥平面AFC ,

∵EG ⊂面AEC ,∴平面AFC ⊥平面AEC.

(Ⅱ)如图,以G 为坐标原点,分别以,GB GC u u u r u u u r 的方向为x 轴,y 轴正方向,||GB u u u r

为单位长

度,建立空间直角坐标系G-xyz ,由(Ⅰ)可得A (0

0),E (

),F (-

1,0

),C (0

0),∴AE u u u r =(1

),CF uuu r =(-1,

) (10)

故cos ,3||||

AE CF AE CF AE CF ⋅<>==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .

所以直线AE 与CF

. 考点:空间垂直判定与性质;异面直线所成角的计算;空间想象能力,推理论证能力

4、(2015年2卷6题)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )

A .

81 B .71 C .61 D .5

1 【解析】由三视图得,在正方体1111ABCD A B C D -中,截去四面体111A A B D -,如图所示,,

设正方体棱长为a ,则11133111326A A B D V a a -=

⨯=,故剩余几何体体积为33315

66

a a a -=,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为5

1

,故选D .

考点:三视图.

A

1

5、(2015年2卷9题)已知A,B 是球O 的球面上两点,∠AOB=90,C 为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36,则球

O 的表面积为(

) A

.36π B.64π C.144π D.256π

【解析】如图所示,当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时,三棱锥O ABC -的体积最

大,设球O 的半径为R ,此时23111

36326

O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==,故6R =,则球O 的表面积为24144S R ππ==,故选C . 考点:外接球表面积和椎体的体积.

6、(2015年2卷19题)(本题满分12分)如图,长方体1111ABCD A B C D -中,=16AB ,

=10BC ,18AA =,点E ,F 分别在11A B ,11C D 上,114A E D F ==.过点E ,F 的平

面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.

(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由); (Ⅱ)求直线AF 与平面α所成角的正弦值. 【解析】(Ⅰ)交线围成的正方形EHGF 如图:

(Ⅱ)作EM AB ⊥,垂足为M ,则14AM A E ==,18EM AA ==,因为EHGF 为正方形,所以10EH EF BC ===.于是226MH EH EM =

-=,所以10AH =.以D

为坐标原点,DA u u u r

的方向为x 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -,则(10,0,0)A ,(10,10,0)H ,(10,4,8)E ,(0,4,8)F ,(10,0,0)FE =u u u r ,(0,6,8)HE =-u u u r

.设(,,)n x y z =r

是平面EHGF 的法向量,则

0,

0,n FE n HE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 即100,680,x y z =⎧⎨

-+=⎩所以可取(0,4,3)n =r .又(10,4,8)AF =-u u u r ,故45

cos ,15n AF n AF n AF

⋅<>==

⋅r u u u r r u u u r r u u u r .所以直线AF 与平面α所成角的正弦值为45

15

A 1

A

B 1B

D 1D

C 1

C

F E H G

M

考点:1、直线和平面平行的性质;2、直线和平面所成的角.

D D C

A

E F

A B C

B

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