圆锥曲线的十大经典结论一

圆锥曲线十大经典结论一

一、焦点三角形面积公式：

2tan 221θb S F PF =∆（椭圆）； 2cot 221θ

b S F PF =∆（双曲线），其中θ=∠21PF F

例1、（上海高考）已知21,F F 是椭圆C ：)0(122

22>>=+b a b

y a x 的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且→

→⊥21PF PF ，若21F PF ∆的面积为9，则b =_______________

例2、（全国卷）已知21,F F 是双曲线C ：122=-y x 的左右焦点，点P 在C 上， 6021=∠PF F ，则P 到x 轴的距离为____________________

二、（最重要的结论）

θcos 2c a b AF -= θ

cos 2

c a b BF += 证明如下：

重点讲调：

（1）其中θ为直线AB 的倾斜角；（2）不区分椭圆、双曲线；不区分左右焦点；

（2）原则：长则（减）小；短则加（大）；（4）焦点在y 轴上，θcos 换成θsin 。

例3、（安徽高考）已知椭圆C ：14

82

2=+y x

（1）已知过点F 1(-2,0)倾斜角为θ的直线交椭圆C 于A ，B 两点.求证：22cos AB =-θ

； （2）过点F 1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于点A 、B 和D 、E ，求AB DE +的最小值.

例4（江苏高考）如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆1222

=+y x 的左、右焦点分别为21,F F ，设B A ,是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF ，2AF 与1BF 交于点P 。（1）若1AF -2

62=BF ，求直线1AF 的斜率；（2）求证：1PF +2PF 是定值。

例5、（重庆高考）过双曲线422=-y x 的右焦点F 作倾斜角为 105的直线交双曲线于Q P ,两点，则FQ FP •的值为_____________________________

三、由焦半径推导出来

→→=FB AF λ或→→=AF FB λ，则1112+-+=λλk e 或1

1cos +-=λλθe ，其中，θ为直线AB 的倾斜角；焦点在y 轴上，θcos 换成θsin 。

例6、（全国卷）已知双曲线)0,0(1:22

22>>=-b a b y a x C B A ,的右焦点为F 且斜率为3的直线交C 于B A ,两点，若→

→=FB AF 4，则C 的离心率为___________________

例7、（全国卷）已知椭圆)0,0(1:22

22>>=+b a b y a x C 的离心率为23，过右焦点F 且斜率为k （0>k ）的直线与C 相交于B A ,两点，若→→=FB AF 3，则k =_____________________

例8、（辽宁高考）设椭圆C ：22

221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于B A ,两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB =.

(I)

求椭圆C 的离心率； (II)

如果|AB|=154

，求椭圆C 的方程.

四、有界性

椭圆： ex a PF +=1； ex a PF -=2；1PF c a ≤-，c a PF +≤2； 双曲线：a ex PF += 1；a ex PF -= 2；1PF c a ≤+；a c PF -≥2

例9、（江苏模拟）已知A 为椭圆15

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2=+y x 上的点，MN 为圆1)2(:22=+-y x E 的一条直径，则 →

→•AN AM 的最大值为________________

例10、（福建高考）双曲线)0,0(1:22

22>>=-b a b y a x C 的两个焦点为21,F F 若P 为其上一点，且212PF PF = 则双曲线离心率的取值范围为___________________