圆锥曲线的十大经典结论一
圆锥曲线经典性质总结及证明
圆锥曲线的经典结论一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.（椭圆的光学性质）2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.（中位线）3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.（第二定义）4. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b+=.（求导）5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.（结合4） 6. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.（余弦定理+面积公式+半角公式）7. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).（第二定义）8. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF9. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. MN 其实就在准线上，下面证明他在准线上根据第8条，证毕10. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
圆锥曲线常用结论
圆锥曲线常用结论一.椭 圆1.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.2.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.3.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 4.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过P 0作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的方程是00221x x y ya b+=.5.椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.6.椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-.7.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交焦点F 对应的准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.8.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.9.AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB-=.10.椭圆上短轴顶点对两焦点所张的角是椭圆上任一点对两焦点所张角的最大者.二.双曲线1.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.2.以焦半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切：P 在右支；外切：P 在左支).3.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=(a ＞0,b ＞0)上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 4.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=(a ＞0,b ＞0)外 ，则过P 0作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 5.双曲线22221x y a b-=(a ＞0,b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.6.双曲线22221x y a b-=(a ＞0,b ＞0)的焦半径公式：|MF 1|=|a+ex 0|,|MF 2|=|a-ex 0|.7.设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.8.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.9.AB 是双曲线22221x y a b-=(a ＞0,b ＞0)的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =.10.双曲线焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b.11.由焦点向渐近线作垂线，其垂足比在对应的准线上；反之，过渐近线与准线的交点与对应焦点的连线比垂直于过此点的渐近线.三.椭圆与双曲线的对偶结论1.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=. ①双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b+=.2.过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则2020BC b x k a y =(常数).②过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则2020BC b x k a y =-(常数).3.点A 1，A 2是椭圆上关于原点对称的两点，点P 为椭圆上任意一点，直线P A 1，P A 2的斜率分别为K 1，K 2，则K 1·K 2=-22ab .③点A 1，A 2双曲线上关于原点对称的两点，点P 为双曲线上任意一点，直线P A 1，P A 2的斜率分别为K 1，K 2，则K 1·K 2=22ab ；4.若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,21PF F β∠=，则tan t 22a c co a c αβ-=+.④若P 为双曲线22221x y a b-=(a ＞0,b ＞0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦点,12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22c a co c a αβ-=+(或tan t 22c a co c a βα-=+). 5.设椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的两个焦点为F 1、F 2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.⑤设双曲线22221x y a b-=(a ＞0,b ＞0)的两个焦点为F 1、F 2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin (sin sin )ce aαγβ==±-.6.P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.⑥P 为双曲线22221x y a b-=(a ＞0,b ＞0)上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时，等号成立. 7.过椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =.⑦过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF e MN =.8.已知椭圆22221x y a b+=( a ＞b ＞0),A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a---<<. ⑧已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a+≥或220a b x a +≤-. 9.已知椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.⑨已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0,b ＞0)的右准线l 与x 轴相交于点E ，过右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC ⊥x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点. 10.椭圆、双曲线、抛物线的所有焦点弦中，通径最短.11.求过二次曲线Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0上一点P(x 0，y 0)的切线方程时，只需将x 2→xx 0,y 2→yy 0,x →20x x +, y →20y y +,xy →xy 0+yx 0.四.抛物线1.以弦AB 为直径的圆与准线x=-2p 相切.2.以焦半径AF 为直径的圆与y 轴相切.3.点A,B 在准线上的射影分别为A 1,B 1,则∠A 1FB 1=900.4.直线AB 与抛物线的方程为y 2=2px(p >0)交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M(x 0,y 0),则直线AB 的斜率k=y p . 5.设抛物线的方程为y 2=2px(p >0),过焦点F(2p,0)的直线AB 的方程为x=ty+2p ,设A (x 1，y 1)，B(x 2，y 2),则 ①x 1· x 2=42P , y 1·y 2=-P 2. ②243p OB OA -=⋅.③|AB|= =α2sin 2p(α为AB 的倾角). ④FB FA 11+=P2. 6.设AB 为焦点弦， M 为准线与x 轴的交点，则∠AMF ＝∠BMF.7.设AB 为焦点弦，A 、B 在准线上的射影分别为A 1，B 1，若P 为A 1B 1的中点，则PA ⊥PB. 8.若AO 的延长线交准线于C ，则BC 平行于x 轴，反之，若过B 点平行于x 轴的直线交准线于C 点，则A ，O ，C 三点共线.9.若OA 、OB 是过抛物线22(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p .反之亦成立.。
圆锥曲线中几个重要结论
结论1：以椭圆的焦点弦为直径的圆与其相应的准线相离。
结论2：以双曲线的焦点弦为直径的圆与其相应的准线相交。
结论3：以抛物线的的焦点弦为直径的圆与其相应的准线相切。
结论4：以椭圆上的任一点为顶点的焦点三角形中，过任一焦点作其外角平分线的垂线，垂足的轨迹必为一圆（除开两点）。
结论5：双曲线上不同于顶点的任一点与两焦点所构成的三角形的内切圆必切于与该点同侧的双曲线顶点。
结论6：抛物线的焦点弦，被焦点所分两线段长的倒数和为定值。
结论7：椭圆上到一焦点的距离最值点必为长轴两顶点。
结论8：椭圆上短轴顶点对两焦点所张的角是椭圆上任一点对两焦点所张角的最大者。
圆锥曲线192条结论
圆锥曲线是平面上的一类曲线，其中最常见的包括椭圆、抛物线和双曲线。
这些曲线在数学、物理和工程领域中都有广泛的应用，有许多性质和结论与它们相关。
以下是关于圆锥曲线的一些结论：1. 椭圆：椭圆是一个闭合的曲线，其性质包括：- 所有点到两个焦点的距离之和是常数。
- 长轴和短轴是椭圆的两个主要轴。
- 椭圆可以是正圆或扁圆，取决于长轴和短轴的比例。
- 椭圆在焦点处有反射性质，光线从一个焦点反射到另一个焦点。
2. 抛物线：抛物线是一个开放的曲线，其性质包括：- 所有从焦点出发的光线都会反射到抛物线上的焦点。
- 抛物线具有对称性，焦点位于开口一侧。
- 抛物线用于天文望远镜和抛物面反射器等光学设备中。
3. 双曲线：双曲线也是一个开放的曲线，其性质包括：- 双曲线有两个焦点，光线从一个焦点反射后会经过另一个焦点。
- 双曲线有两个分支，分别向外延伸。
- 双曲线在电磁波和引力场中都有应用，如双曲线轨道。
4. 参数方程：圆锥曲线可以用参数方程来表示，这种方式使得可以描述各种不同形状和位置的圆锥曲线。
5. 极坐标方程：圆锥曲线也可以用极坐标方程来表示，这对于描述曲线与极坐标原点的关系非常有用。
6. 焦点和直径：焦点是圆锥曲线的一个重要性质，它决定了曲线的形状。
直径是曲线的两个焦点之间的距离。
7. 曲线的切线：切线是曲线上某一点的局部近似，它与曲线的斜率和曲线方程相关。
8. 曲线的面积：可以计算圆锥曲线下方的面积，这对于计算曲线下方的积分和应用非常有用。
这些是关于圆锥曲线的一些基本结论，具体的性质和结论会根据具体的圆锥曲线类型和应用领域而有所不同。
圆锥曲线在数学、物理、工程和其他领域中都有广泛的应用，是重要的数学概念之一。
有关圆锥曲线的经典结论
★说明:圆锥曲线我们并未学完，有些内容（如焦半径公式），将此资料发到群里是想让大家在日常学习过程中自我感悟使用，不要过分纠结于此！有关解析几何的经典结论一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x ya b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
有关圆锥曲线的经典结论
★说明：圆锥曲线我们并未学完，有些内容（如焦半径公式），将此资料发到群里是想让大家在日常学习过程中自我感悟使用,不要过分纠结于此！有关解析几何的经典结论一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切。
5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=。
7. 椭圆22221x y a b+= （a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=。
8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式:10||MF a ex =+,20||MF a ex =-（1(,0)F c - ， 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q ， A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M,A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-,即0202y a x b K AB -=。
圆锥曲线经典性质总结及证明
圆锥曲线的经典结论一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.（椭圆的光学性质）2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.（中位线）3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.（第二定义）4. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=.（求导）5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.（结合4）6. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.（余弦定理+面积公式+半角公式）7. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).（第二定义）8. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF9. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. MN 其实就在准线上，下面证明他在准线上根据第8条，证毕10. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-，即0202y a x b K AB-=。
高中数学_有关圆锥曲线的经典结论
有关解析几何的经典结论一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b+=+. 二、双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
高中圆锥曲线结论总结
高中圆锥曲线结论总结
高中圆锥曲线结论总结
1. 圆锥曲线的四个结论
（1）射线定理：从一点到圆锥曲线的任意一点所经过的射线的数量等于该点到曲线的曲线线切线的数量。
（2）弦定理：任意一点到圆锥曲线的弦的长度大于等于这个点到曲线的曲线线切线的长度。
（3）指数定理：圆锥曲线的指数为1/2。
（4）矩定理：圆锥曲线的曲线线切线的长度等于任意一点到圆锥曲线的弦的弧长的平方。
2. 圆锥曲线的曲线线切线
圆锥曲线的曲线线切线的斜率大于等于0，且圆锥曲线的曲线线切线的斜率没有上限。
3. 圆锥曲线的曲线长
圆锥曲线的曲线长是指从曲线的一端到另一端的距离，它等于圆锥曲线的椭圆长度加上圆锥曲线的半径长度。
有关圆锥曲线的经典结论
一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2.PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+.13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b+=+.二、双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
小学数学有关圆锥曲线的经典结论
一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a xb K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+.二、双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
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圆锥曲线十大经典结论一
一、焦点三角形面积公式：
2tan 221θb S F PF =∆（椭圆）； 2cot 221θ
b S F PF =∆（双曲线），其中θ=∠21PF F
例1、（上海高考）已知21,F F 是椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且→
→⊥21PF PF ，若21F PF ∆的面积为9，则b =_______________
例2、（全国卷）已知21,F F 是双曲线C ：122=-y x 的左右焦点，点P 在C 上， 6021=∠PF F ，则P 到x 轴的距离为____________________
二、（最重要的结论）
θcos 2c a b AF -= θ
cos 2
c a b BF += 证明如下：
重点讲调：
（1）其中θ为直线AB 的倾斜角；（2）不区分椭圆、双曲线；不区分左右焦点；
（2）原则：长则（减）小；短则加（大）；（4）焦点在y 轴上，θcos 换成θsin 。
例3、（安徽高考）已知椭圆C ：14
82
2=+y x
（1）已知过点F 1(-2,0)倾斜角为θ的直线交椭圆C 于A ，B 两点.求证：22cos AB =-θ
； （2）过点F 1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于点A 、B 和D 、E ，求AB DE +的最小值.
例4（江苏高考）如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆1222
=+y x 的左、右焦点分别为21,F F ，设B A ,是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF ，2AF 与1BF 交于点P 。
（1）若1AF -2
62=BF ，求直线1AF 的斜率；（2）求证：1PF +2PF 是定值。
例5、（重庆高考）过双曲线422=-y x 的右焦点F 作倾斜角为 105的直线交双曲线于Q P ,两点，则FQ FP •的值为_____________________________
三、由焦半径推导出来
→→=FB AF λ或→→=AF FB λ，则1112+-+=λλk e 或1
1cos +-=λλθe ，其中，θ为直线AB 的倾斜角；焦点在y 轴上，θcos 换成θsin 。
例6、（全国卷）已知双曲线)0,0(1:22
22>>=-b a b y a x C B A ,的右焦点为F 且斜率为3的直线交C 于B A ,两点，若→
→=FB AF 4，则C 的离心率为___________________
例7、（全国卷）已知椭圆)0,0(1:22
22>>=+b a b y a x C 的离心率为23，过右焦点F 且斜率为k （0>k ）的直线与C 相交于B A ,两点，若→→=FB AF 3，则k =_____________________
例8、（辽宁高考）设椭圆C ：22
221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于B A ,两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB =.
(I)
求椭圆C 的离心率； (II)
如果|AB|=154
，求椭圆C 的方程.
四、有界性
椭圆： ex a PF +=1； ex a PF -=2；1PF c a ≤-，c a PF +≤2； 双曲线：a ex PF += 1；a ex PF -= 2；1PF c a ≤+；a c PF -≥2
例9、（江苏模拟）已知A 为椭圆15
92
2=+y x 上的点，MN 为圆1)2(:22=+-y x E 的一条直径，则 →
→•AN AM 的最大值为________________
例10、（福建高考）双曲线)0,0(1:22
22>>=-b a b y a x C 的两个焦点为21,F F 若P 为其上一点，且212PF PF = 则双曲线离心率的取值范围为___________________。