关于数列极限和函数极限解法的解析

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极限的四则运算(数列极限、函数极限)

极限的四则运算(数列极限、函数极限)


a
k
,lim(C n

an)
Ca

例1、已知 lnim(6an bn ) 11 lnim(3an 2bn ) 7
求 lnim(2an bn ) 的值。
解:2an+bn=
1 15
(6an-bn)+
8 15
(3an+bn),
∴ lnim(2an bn )
3)
lim (
x
x3 2x2 1

x2 2x
) 1
KEY:1) 0(分子分母同除以x4); 2)0(分子有理化) 3)1/4(通分)
例3、(1)求
lim
x1
2x2 x3
x 1 2x2 1
的值。
x2 1
(2)求
lim
x1
2x2
x 1
的值
(见课本P87,注意其中的说明。)

3 5
( 2)n1 5
[1 ( 2)n ] 5
2

3 [(2)n1 55
( 2)2n1] 5

lim
n
Tn

3 5
[ 1
1
2

5 1
4
]
3 (5 10) 5 . 5 3 21 7
5 25
例5、有一个边长为1的正方形,以其四边中点为顶点画 第二个正方形,再以第二个正方形的四边中点为顶点画
=
lim[ 1 n 15
(6an

bn
)

185(3an

2bn
)]
=
1 15
×11+
185×(-7)

浅析数列极限与函数极限的异同

浅析数列极限与函数极限的异同

浅析数列极限与函数极限的异同1 数列极限关于数列极限,先举一个我国古代关于数列的例子。

《庄子—天下篇》中:“一尺之棰,日取其半,万世不竭。

”其含义是:一根长为一尺的木棒,每天取下一半,这样的过程可以永远进行下去。

不难看出,其通项{ }随着天数n的增大而无限地接近于0。

在这一思想的指引下,教材给出了数列极限的精确定义:设{An} 为数列,a 为定数,若对任给的正数ε(无论它多么小),总存在正整数N,使得当nN 时,有∣An-a∣<ε ,则称数列{an} 收敛于a,定数a 称为数列{an} 的极限。

其中ε的作用在于衡量数列通项{an} 与定数a的大小,ε越小,说明{an} 与a 的接近度越好。

由于ε的任意性,可以小到任意小(但须大于0),故可以理解为数列通项{an} 无限地接近定数a;而n的作用在于不管给定多么小的正数ε,总能保证存在大于n后的每一项都和a无限接近,而不在乎前面有限项与a的接近程度,在于刻画n→+∞这一过程。

其中,由于n是正整数,不可能取负值,故其趋近方式只有一种,即趋于+∞,但是极限值可以取实数r,故极限值有a、∞、+∞、—∞这4种值,因此,总的来说,数列极限只有4种类型。

< p></ε>2 函数极限对于函数极限,先分析一下自变量x的趋近方式,由于x是取自全体实数,故趋近方式不仅有上述数列中所提及的+∞,还可以是∞、—∞,相比数列极限,更特殊的是还可以趋于某一点x0,或者x0的左侧、右侧(即单侧极限)趋近。

故自变量x的趋近方式共有6种,而极限值和数列极限完全一样,有4种。

因此,函数极限共24种类型。

比如,拿x→+∞,f(x)→a为例,其精确定义如下:对于任意给定的正数ε(无论它多么小),总存在正数M ,使得当xM时有|f (x)-a|<ε ,那么常数a就叫做函数f(x)当x→+∞时的极限值。

该定义和数列极限的定义有相同之处,其中的ε也是和数列极限中的ε相同,用于衡量f(x)与a的接近程度;正数m的作用也与数列极限定义中的n相类似,说明x充分大的程度,但这里考虑的是比m 大的所有实数x,而不仅仅是数列极限中的正整数n,这是和数列极限定义中最本质的区别。

数列极限与函数极限的关系

数列极限与函数极限的关系

数列极限与函数极限的关系数列和函数是数学中重要的概念,它们之间存在着密切的联系。

数列极限与函数极限是数学中的两个基本概念,它们之间有着紧密的关系。

本文将分别从数列极限和函数极限两个方面展开讨论,并阐述它们之间的关系。

一、数列极限数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。

数列中的每个元素称为项,用{a_n}表示。

数列有着重要的性质,其中之一就是数列的极限。

数列{a_n}的极限,记作lim(n→∞)a_n = A,表示当n趋向于无穷大时,数列的项a_n无限接近于A。

其中,A称为数列的极限值。

一个数列有极限存在,意味着数列的项在某个值上趋于稳定。

通过数列的极限,我们可以推导数列的性质和规律,从而解决各种数学问题。

二、函数极限函数是数学中常见的一种概念,函数的极限是指当自变量趋近于某个值时,函数值的变化趋势。

函数极限在微积分中有着重要的应用,是求导、求积分等运算的基础。

设函数f(x)在点x=a的某个邻域内有定义,如果对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当0<|x-a|<δ时,有|f(x)-A|<ε,那么就称函数f(x)在x=a处的极限存在,记作lim(x→a)f(x) = A。

其中,A称为函数的极限值。

函数极限可以帮助我们研究函数的性态以及函数在某个点上的表现,从而解决各种数学问题。

三、数列极限与函数极限是密不可分的。

事实上,数列极限是函数极限的一种特殊情况。

对于一个数列{a_n},我们可以构造一个函数f(x),使得当x取整数时,f(x)的值与数列{a_n}的对应项相等。

换句话说,数列{a_n}可以看作是函数f(x)在整数点处的取值。

当数列{a_n}的极限存在时,函数f(x)在整数点处的极限也存在,并且两者的极限值相等。

即lim(n→∞)a_n = lim(x→∞)f(x)。

这个关系可以帮助我们从函数的角度来理解和研究数列的性质。

通过函数的极限性质,我们可以更加深入地理解数列的收敛性和发散性。

高等数学中函数极限的求法技巧解析

高等数学中函数极限的求法技巧解析

高等数学中函数极限的求法技巧解析函数极限是高等数学课程中的重要内容,它是研究函数在某一点邻域内的变化趋势的数学工具。

函数极限的求法技巧在课程中占据着重要的地位,能够帮助学生更好地理解和掌握函数极限的求解方法。

下面我们将从极限的定义、性质和一些常见的求法技巧进行解析,希望能够帮助学生更好地理解这一部分内容。

一、极限的定义和性质1. 极限的定义对于函数f(x),当x无限接近于某一点a时,如果函数f(x)的取值无限接近于某个确定的值A,那么我们说函数f(x)在点a处的极限为A,记作lim(x->a)f(x)=A。

这个定义中的“无限接近”可以用数学语言来描述,即对于任意小的正数ε,存在一个正数δ,当0<|x-a|<δ时,有|f(x)-A|<ε成立。

这就是函数极限的ε-δ定义,是高等数学中函数极限的核心概念。

2. 极限的性质函数极限有一些基本性质,如:(1)唯一性:当极限存在时,它是唯一确定的;(2)局部有界性:如果函数在某一点的极限存在,则该点的邻域内函数的取值是有界的;(3)局部保号性:如果函数在某一点的极限存在且大于(或小于)零,则该点的邻域内函数的取值保持大于(或小于)零。

二、常见的极限求法技巧1. 数列极限在高等数学中,函数极限的求解经常涉及到数列极限的技巧。

数列极限是函数极限的基础,常用来推导函数的极限性质和求解复杂的极限问题。

我们可以利用数列极限的性质和定理来求解函数极限,如夹逼定理、单调有界原理等。

2. 无穷小量与无穷大量的运算在高等数学中,常常需要对无穷小量和无穷大量进行运算,这也是求解函数极限的一个重要技巧。

我们可以将无穷小量和无穷大量进行合并、分解或代换,来简化函数极限的求解过程,例如利用无穷小量的性质来消去形式不确定的无穷小量。

3. 函数的展开和化简在求解函数极限时,我们可以利用泰勒展开、函数的特殊性质等手段,将待求的极限转化为更简单的形式。

通过展开和化简函数,我们可以更容易地求解函数在某一点的极限,从而使得求解过程更加简单和直观。

数列极限与函数极限的区别与联系

数列极限与函数极限的区别与联系

数列极限与函数极限的区别与联系在数学中,极限是一个非常基础的概念,而数列极限和函数极限则是极限的两种形式。

数列极限和函数极限都是极限的具体表现形式,但是它们之间还是存在很多的区别和联系。

本文将从数列极限和函数极限的定义、性质、求解方法等方面,分析数列极限和函数极限之间的区别和联系。

一、数列极限和函数极限的定义1. 数列极限的定义数列极限是指当数列的项数趋向于无穷大时,数列中的每个项都趋向于某个固定的数。

数列极限的定义可以用符号表示为:$$lim_{n to infty} a_n = a$$其中,$a_n$ 表示数列的第 $n$ 项,$a$ 表示数列的极限。

2. 函数极限的定义函数极限是指当自变量趋向于某个值时,函数值趋向于某个固定的数。

函数极限的定义可以用符号表示为:$$lim_{x to x_0} f(x) = A$$其中,$f(x)$ 表示函数的值,$x$ 表示自变量,$x_0$ 表示自变量的趋向值,$A$ 表示函数的极限。

二、数列极限和函数极限的性质1. 数列极限和函数极限的唯一性数列极限和函数极限都具有唯一性。

即数列和函数只有一个极限值。

2. 数列极限和函数极限的保号性对于数列极限和函数极限,如果它们的极限值是正数,那么它们的项或函数值都可以取到正数。

如果它们的极限值是负数,那么它们的项或函数值都可以取到负数。

3. 数列极限和函数极限的夹逼定理夹逼定理是数列极限和函数极限中的一个重要定理。

它可以用来求解一些难以直接求解的极限。

夹逼定理的表述如下:设数列 ${a_n}$,${b_n}$,${c_n}$ 满足 $a_n leq b_n leq c_n$,且 $lim_{n to infty} a_n = lim_{n to infty} c_n = A$,则 $lim_{n to infty} b_n = A$。

三、数列极限和函数极限的求解方法1. 数列极限的求解方法数列极限的求解方法有很多种,下面介绍几种常用的方法。

关于数列极限和函数极限解法的解析

关于数列极限和函数极限解法的解析

关于数列极限和函数极限解法的解析王雅丽摘要在数学分析中,极限的知识体系包括数列极限和函数极限。

在求解数列极限的方法中,我们从极限的定义出发,根据极限的性质以及相关的定理法则,例如单调有界收敛来论证极限;另外,对于函数极限的求解,文中列出六种类型,根据函数数列的定义、性质得出相关的定理和法则,对于不同类型,采用不同的方法。

上述方法对函数概念的理解和加强,以及对极限方法的掌握起很大的帮助作用。

ε-定义单调有界收敛无穷小量络必达法则关键词数列极限N早在两千多年前,我们的祖先就已经能够算出正方形,圆形和柱形等几何图形的面积。

公元前3世纪刘徽创立割圆术,就是用圆内接正多边形面积这一思想近似的计算圆周率,并指出“割之弥细,所失弥少,割之又割,以致不可割,则于圆和体而无所失矣”在数学分析中,极限是一个核心内容,同时它本身研究问题的工具。

极限概念与求极限的运算贯穿了数学分析课程的始终,因此全面掌握极限的方法与技巧是学习数学分析的关键。

1 数列极限古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”。

其含义是:一根长为一尺的木棒,每天截下一半,这样的过程可以无限制地进行下去。

把每天截下部分的长度列出如下(单位为尺):第一天截下12,第二天截下212……第n 天截下12n,……这样就得到一个数列{12n} 。

只有无穷数列才可能有极限,有限数列无极限.不难看出,数列{12n} 的通项12n随着n 的无限增大而无限地接近于0。

“无限增大”和“无限地接近”是对极限做了定性的描述,无限地接近于0说明了当n 无限的增大时数列的第n 项12n与0的距离102n-要多小有多小。

下面把任意小量化: 对于12,如果要求1110222nn-=<,只需要1n >即可;对于212,如果要求21110222nn-=<, 只需要2n >即可;对于 312,如果要求31110222n n -=<, 只需要3n >即可;...由上可以看出能满足不等式的n 不是唯一的,这就需要一个一般的任意小的正数来代替特殊的,如12,212,312...为此就出现了任意小的正数ε。

高中数学知识点总结数列极限与函数极限

高中数学知识点总结数列极限与函数极限

高中数学知识点总结数列极限与函数极限高中数学知识点总结:数列极限与函数极限数学是一门基础性的学科,而数学中的数列极限与函数极限在高中阶段被广泛研究和应用。

本文将对高中数学中的数列极限与函数极限进行总结和解析。

以下是各章节的内容:一、数列极限数列极限是高中数学中的重要概念,它在解析几何、微积分等数学领域中都有着重要的应用。

数列极限的定义是指当数列的项趋于无穷大时,数列中的元素也趋于某个确定的数。

数列极限可以分为收敛和发散两种情况。

1. 收敛数列收敛数列是指当数列的项趋于无穷大时,数列中的元素趋于某个确定的数。

收敛数列的定义涉及到两个重要概念:极限和无穷大。

在对数列进行分析时,可以通过计算数列的通项公式或者观察数列的性质来确定数列的极限。

2. 发散数列发散数列是指当数列的项趋于无穷大时,数列中的元素趋于无穷大或者无穷小。

发散数列在数学中也有重要的研究价值,它们常常与函数极限或者无穷小量相联系。

二、函数极限函数极限是指当自变量趋向于某个值时,函数值趋向于某个确定的数。

函数极限也分为收敛和发散两种情况。

1. 左极限和右极限函数在一点的左极限是指当自变量趋向于这个点时,函数值从左边逼近的极限值。

同理,右极限是指当自变量趋向于这个点时,函数值从右边逼近的极限值。

左极限和右极限在研究函数的连续性和间断点时起着重要的作用。

2. 无穷极限当自变量趋于无穷大时,函数的极限被称为无穷极限。

无穷极限有正无穷和负无穷两种情况。

通过研究函数的无穷极限,可以了解函数在无穷远处的行为特征。

三、数列极限与函数极限的关系数列极限和函数极限实际上是密切相关的。

当函数的自变量取数列中的元素,并且这个数列收敛时,函数的极限可以与数列的极限相联系。

这种联系在高等数学的各个领域中都有着重要的应用。

综上所述,数列极限与函数极限是高中数学中的重要知识点。

通过深入理解数列极限和函数极限的概念以及它们之间的关系,可以更好地应用于解决实际问题和推导更高级的数学理论。

数列极限证明题型及解题方法

数列极限证明题型及解题方法

数列极限证明题型及解题方法
数列极限证明题型主要包括单调有界数列的极限证明、递推数列的极限证明、函数极限与数列极限的关系证明等。

下面介绍一些常见的数列极限证明题型及解题方法。

1. 单调有界数列的极限证明:
设数列{an}为单调递增数列且有上界,要证明序列{an}收敛。

一般可采用以下两种方法之一:
- 利用单调有界原理:由于数列{an}为单调递增且有上边界,根据单调有界原理,该数列必定存在极限。

- 找到上确界和下确界:由于该数列有上界,可设上界为M,同时查找下确界,证明数列{an}的极限存在。

2. 递推数列的极限证明:
设数列{an}满足递推关系an+1 = f(an),其中f(x)为已知函数。

一般可采用以下两种方法之一:
- 显式计算法:若递推关系能够推导出显式的解析表达式an = g(n),则可通过计算g(n)的极限来证明数列{an}的极限存在。

- 极限迭代法:设数列{an}的极限为L,对递推关系an+1 =
f(an)两边同时取极限,得到L = f(L),进而求得L的值。

3. 函数极限与数列极限的关系证明:
对于给定的函数f(x),要证明该函数在某点c处存在极限L,可以采用以下方法之一:
- 利用数列极限定义:构造数列{an},使得函数f(x)在点c附近的取值与数列{an}之间存在关系,然后利用数列的极限来证明函数的极限存在。

- 利用函数极限定义:对于给定的极限L,构造函数f(x),使得当x趋近于c时,函数f(x)的极限趋近于L。

数列极限与函数极限的关系

数列极限与函数极限的关系

数列极限与函数极限的关系数列极限和函数极限是微积分中非常重要的概念,它们都涉及到数值序列的趋势和趋近性。

数列极限是指数列中的数值随着序号的增长逐渐趋近于某个常数,而函数极限则是指随着自变量趋近于某个值时函数的取值趋近于某个特定的值。

首先,我们来看数列极限。

数列极限是指当数列的序号趋近无穷大时,数列的数值趋近于某个常数。

数列极限可以表示为lim(n→∞)an = a,其中an表示数列中的第n个数,a为极限值。

当数列满足数列收敛条件时,即存在这样一个常数a使得对于任意给定的正数ε,总能找到一个正整数N,使得当n>N时,有|an - a|<ε成立。

这意味着数列中的数值可以无限靠近极限值a,同时数列中的任意一项an与极限值a的差值都可以任意小。

函数极限是指当自变量趋近某个值时,函数的取值趋近于某个特定的值。

函数极限可以表示为lim(x→x0) f(x) = L,其中f(x)表示函数的取值,x0为自变量的极限值,L表示函数值的极限。

当函数满足函数收敛条件时,即存在一个数L,使得对于任意给定的正数ε,总能找到一个正数δ,当0<|x - x0|<δ时,有|f(x) - L|<ε成立。

这意味着函数的取值可以无限靠近极限值L,同时函数值与极限值L的差值都可以任意小。

数列极限和函数极限之间存在一定的关系。

在一些特定的情况下,可以通过数列极限来判断函数极限的存在或计算函数极限的值。

对于一些函数,可以通过将自变量x用数列的方式去逼近某个值来计算函数的极限值。

例如,若函数f(x)的极限值lim(x→x0)f(x)存在,那么对于任意数列an满足lim(n→∞)an = x0,可以得到li m(n→∞)f(an) = lim(x→x0)f(x)。

这意味着通过将自变量x用数列an代替并使其趋近于x0,可以得到函数极限的值。

这种方法被称为数列极限方法,常用于计算函数极限的值。

另外,对于数列极限也可以通过函数极限来进行计算。

数列极限与函数极限

数列极限与函数极限

数列极限与函数极限数列极限与函数极限一、数列极限在数学分析中,数列是一组按照一定规律排列的数。

当数列中的数随着下标的增加趋近于某个确定的值,这个确定的值就叫做该数列的极限。

例如,数列{1, 1/2, 1/3, ... , 1/n}当n趋近于正无穷时,其极限为0。

数列极限的概念具有广泛的应用。

在微积分、实分析和复分析等领域,数列极限是基础性的概念。

我们可以通过研究数列极限性质,研究数学中最基本的概念和问题,如无穷级数、函数极限等。

二、函数极限与数列极限类似,函数极限也是数学分析中的重要概念。

当自变量x趋近于某个确定的值时,函数f(x)的值也随之趋近于某个确定的值,这个确定的值就叫做该函数的极限。

例如,当x趋近于0时,f(x) = 2x的极限为0。

函数极限的研究能使我们更好地理解和准确描述各种自然现象和科学实验。

高等数学中的导数和积分等概念都与函数极限密切相关。

三、函数极限和数列极限的联系函数极限和数列极限是大量数学理论的基础,这两者之间也存在着联系。

我们知道,当自变量x取无穷大或无穷小时,函数的极限可能存在,也可能不存在。

在这些无穷大或无穷小的情况下,函数极限可以用数列极限来表示。

具体来说,当x趋近于正无穷时,我们可以通过构造数列{f(x1), f(x2), f(x3), ...},其中x1<x2<x3<...,使得该数列趋近于函数的极限L。

同理,当x趋近于负无穷时,我们也可以通过类似的方法得到函数极限。

此外,函数的导数和积分等重要概念也可以通过数列极限的思想表示和求解。

四、结语数列极限和函数极限是数学中极其重要的概念,无论在实际应用还是理论研究中都起着举足轻重的作用。

熟练掌握数列极限和函数极限的概念和性质,对于学习高等数学以及其他数学分支学科都有很大的帮助。

高中数学中的数列极限与函数极限

高中数学中的数列极限与函数极限

高中数学中的数列极限与函数极限数列极限和函数极限是高中数学中的重要概念,在数学分析中有着广泛的应用。

本文将介绍数列极限和函数极限的定义和性质,并通过示例和推导来加深理解。

一、数列极限的定义与性质数列是按照一定规律排列的数的序列,而数列极限则是指数列随着索引(通常是正整数)趋于无穷大时的极限值。

我们用符号来表示数列极限,记为lim⁡(aa)=a,其中aa表示数列的第a项。

在数列极限的定义中,有两个重要的要素:趋于无穷大和极限值。

当数列的值越来越接近于某个常数a时,我们说数列的极限为a。

具体而言,对于任意给定的正实数a(ε),存在正整数a(N)使得当a>N 时,aa与a之间的差值小于a,即|aa−a|<a。

这种形式的定义表明数列极限的存在性和唯一性。

对于数列极限的性质,我们有以下结论:1. 常数数列的极限等于该常数本身:lim⁡(a)=a,其中a为任意常数。

2. 收敛数列(即存在极限的数列)的极限唯一。

3. 若数列收敛,则数列必有界,即存在一个正数a(M),使得对于任意的a,都有|aa|≤a。

这个结论可以通过使用极限的定义及三角不等式来证明。

二、函数极限的定义与性质与数列极限类似,函数极限描述的是函数随着自变量趋于某个值时,函数值的变化趋势。

我们用lim⁡(a→a)a(a)=a来表示函数极限,其中a(a)表示函数的表达式,a为自变量趋向的值,a为极限值。

函数极限的定义可以类比于数列极限的定义。

对于任意给定的正实数a(ε),存在正实数a(δ)使得当0<|a−a|<a时,有|a(a)−a|<a。

这个定义表明函数极限的存在性。

与数列极限类似,函数极限也具有唯一性、局部有界性等性质。

此外,我们还有以下性质:1. 若lim⁡(a→a)a(a)=a_1,lim⁡(a→a)a(a)=a_2,则lim⁡(a→a)(a(a)±a(a))=a_1±a_2。

2. 若lim⁡(a→a)a(a)=a,则lim⁡(a→a)aa(a)=aa,其中a为任意常数。

数列极限与函数极限的异同及其本质原因

数列极限与函数极限的异同及其本质原因

数列极限与函数极限的异同及其本质原因数列极限与函数极限的异同及其本质原因数学中,极限是一个非常重要的概念,被应用在微积分、实分析等诸多领域,且有着不同的表现方式:数列极限和函数极限。

在学习过程中,我们不仅要了解数列极限和函数极限的异同,还要了解它们的本质原因。

一、数列极限与函数极限的异同数列极限和函数极限都是在无限趋近于某一值的过程中进行研究的,并且它们在一定程度上具有一些相似性,但是它们也有很多的区别。

1.定义数列极限:如果数列$a_1,a_2,a_3, \ldots, a_n, \ldots$当$n$趋近于无穷的时候逐步趋近于某个确定的常数$A$,则称常数$A$为数列$a_1,a_2,a_3, \ldots, a_n, \ldots$的极限,记为$\lim\limits_{n \to \infty} a_n=A$。

函数极限:如果当$x$无限趋近于某个确定值$x_0(x_0\in R)$ 的过程中,函数$f(x)$的取值{臶}次逐步趋向一个确定的常数$A$,则称常数$A$为函数$f(x)$在$x_0$处的极限,记为$\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=A$。

在定义上,数列极限只考虑数列,而函数极限包含了更多的复杂性,因为函数可以属于不同的类型,数列只有一种。

2.表达式数列极限的表达式只包含$n$和$a_n$两个元素,形式上来说比函数极限简单,也容易理解。

函数极限的表达式不仅包含自变量$x$和函数$f(x)$,还要包括函数定义域中的其他变量,通常也需要一些不等式和符号。

“当$x\rightarrow x_0$时$f(x)\rightarrow A$”或者是“当$x\rightarrow x_0^+$时$f(x)\rightarrow A$,当$x\rightarrowx_0^-$时$f(x)\rightarrow B$”等等。

因此,函数极限的表达式更多元化,更丰富复杂。

3.图形表达数列极限用数列图简单直观地表现,当$n$趋近于无穷时,$a_n$逐渐趋向于某个数值$A$。

数列极限与函数极限比较

数列极限与函数极限比较

数列极限与函数极限是微积分中的两个重要概念,也是数学分析的基础内容之一。

虽然它们有着相似的定义和性质,但在实际应用中,两者之间存在着一些差异和联系。

本文将从数列极限和函数极限的定义、计算方法和比较等方面进行探讨。

首先,数列极限的定义是指当自变量趋近于无穷大时,数列的各项逐渐趋近于某一固定的值。

通常用符号“lim”表示,例如lim(1/n)=0。

而函数极限的定义是指当自变量趋近于某个特定的值时,函数值逐渐趋近于某一固定的值。

通常用符号“lim”表示,例如lim(x→0)(sin(x)/x)=1。

可以看出,数列极限和函数极限在定义上有所差异,但都是研究数值趋势的重要方法。

其次,计算数列极限和函数极限的方法也有一定的区别。

对于数列极限,可以通过递推公式或特殊的求和方法来计算。

例如,对于递推数列an=an-1+an-2,可以通过不断迭代前几项的值来逼近极限;对于等差数列an=a1+(n-1)d,可以通过求和公式Sn=(a1+an)n/2来直接计算极限。

而对于函数极限,一般通过代数运算、极坐标转换、夹逼准则等方法进行计算。

例如,要计算lim(x→0)(sin(x)/x),可以通过将该函数转化为lim(x→0)(1/x)lim(x→0)(sin(x)),再利用夹逼准则来进行计算。

最后,数列极限与函数极限之间存在着一些比较的关系。

在实际应用中,可以利用数列极限与函数极限之间的比较来求取更为复杂的极限值。

例如,当计算函数极限时,可以把函数转化为数列的形式,再计算数列极限来求取函数极限。

这种方法称为“数列夹逼准则”。

例如,要计算lim(x→0)(x2sin(1/x)),可以令xn=1/n,再计算lim(n→∞)(xn2sin(1/xn)),由于1/n趋近于0,而x2sin(1/x)的极限值在0附近保持不变,所以得到lim(n→∞)(xn2sin(1/xn))=lim(n→∞)(1/n^2sin(n))=0。

通过这样的比较,可以简化极限问题的求解过程。

数列极限与函数极限

数列极限与函数极限

数列极限与函数极限数学中,极限是一个重要的概念,常常出现在数列和函数的研究中。

数列极限和函数极限都是描述数值序列或函数在某个变量趋近于某个特定值时的变化规律。

本文将分别介绍数列极限和函数极限的定义和性质,并举例说明其应用。

一、数列极限数列极限是指当数列的项随着序号无限增加时,数列的值逐渐趋近于一个确定的常数。

数列极限可以通过极限值的存在与否来判断。

设数列${a_n}$中的项为$a_1, a_2, a_3, \ldots$,若存在常数$A$,使得对于任意给定的正数$\varepsilon>0$,都存在正整数$N$,使得当$n>N$时,不等式$|a_n-A|<\varepsilon$成立,那么称$A$为数列${a_n}$的极限,记作$\lim\limits_{n \to \infty} a_n=A$。

对于数列极限,有以下常用性质:1. 极限的唯一性:若数列${a_n}$的极限存在,则极限是唯一的,即极限存在时,极限值是确定的。

2. 夹逼准则:若数列${a_n}$,${b_n}$和${c_n}$满足$a_n\leqb_n\leq c_n$,且$\lim\limits_{n \to \infty} a_n=\lim\limits_{n \to \infty}c_n=A$,那么$\lim\limits_{n \to \infty} b_n=A$。

这一性质可以帮助我们通过构造夹逼数列来求解某些复杂数列的极限。

3. 有界性:若数列${a_n}$的极限存在,则数列${a_n}$是有界的。

即存在正数$M$,使得对于任意的$n$,都有$|a_n|\leq M$。

二、函数极限函数极限是指当自变量趋近于某个特定值时,函数的取值逐渐趋近于一个常数。

与数列极限类似,函数极限也可以用极限值的存在与否来判断。

设函数$f(x)$在$x$趋近于$a$时的取值逐渐趋近于$A$,那么称$A$为函数$f(x)$当$x$趋近于$a$时的极限,记作$\lim\limits_{x \to a} f(x)=A$。

浅谈数列极限与函数极限在解题中的区别和联系

浅谈数列极限与函数极限在解题中的区别和联系

浅谈数列极限与函数极限在解题中的区别和联系摘要在数学分析中,极限的知识体系包括数列极限和函数极限。

在求解数列极限的方法中,我们从极限的定义出发,根据极限的性质以及相关的定理法则,例如单调有界收敛来论证极限;在求解函数极限时,其方法与数列极限有着相同之处,同时又有所区别。

本文重点在于分析数列极限与函数极限在解题中的相似之处与不同之处,同时研究数列极限与函数极限的关系。

关键词:数列极限;函数极限;区别;联系目录1 数列极限与函数极限在解题中的相似之处 (3)1.1 定义法在极限解题中的应用 (3)1.1.1 定义法概述 (3)1.1.2 定义法解题实例分析 (3)1.2 迫敛性在极限解题中的应用 (4)1.2.1 迫敛性概述 (4)1.2.2 迫敛性解题实例分析 (4)1.3 积分中值定理在极限解题中的应用 (5)1.3.1 积分中值定理概述 (5)1.3.2 积分中值定理实例分析 (6)1.4 本章小结 (6)2 数列极限与函数极限在解题中的不同之处 (7)2.1 存在条件不同 (7)2.1.1 数列极限存在条件 (7)2.1.2 函数极限存在条件 (9)2.2 特殊形式的极限 (10)2.2.1 数列极限的特殊解法研究 (10)2.2.3 两个重要形式的函数极限解法研究 (12)3数列极限与函数极限的关系 (13)3.1海涅定理 (13)3.2海涅定理的应用 (14)4 结论 (16)1 数列极限与函数极限在解题中的相似之处数列极限与函数极限在解题过程中,存在着很多的相似之处。

主要表现在数列极限与函数极限的解题过程中,其方法的运用方面存在着很多的共同点。

下面将重点分析进行数列极限与函数极限的解题过程中,定义法以及利用数列迫敛性在数列极限与函数极限中的运用。

1.1 定义法在极限解题中的应用 1.1.1 定义法概述数列极限的N ε-定义:设{}n a 为数列,a 为定数,若对任给的正数ε,总存在正数N ,使得当n N >时,有n a a ε-<,则称数列{}n a 收敛于a 。

数列极限与函数极限的异同

数列极限与函数极限的异同

数列极限与函数极限的异同数列极限与函数极限是数学中两个最常见的概念,它们都是研究数学中的极限问题。

不同之处在于,数列极限是对一个递增的数列进行考察,而函数极限是对某一特定函数在一个点上的极限进行考察。

下面我们将详细探讨数列极限与函数极限的异同。

一、数列极限与函数极限的定义数列极限是指当数列的项数趋于无穷大时,数列呈现出的一种稳定状态,即数列最终的趋势。

用符号表示就是lim(x→+∞)a_n=a,其中a_n是数列的第n项,a是一个常数,当n趋向于无穷大时,数列a_n趋向于a。

函数极限则是指当自变量趋近某一特定值时,函数在该点处的极限值。

用符号表示就是lim(x→a)f(x)=L,其中f(x)是函数,a是极限点,L是极限值。

当自变量x无限接近极限点a时,函数f(x)也无限接近于L。

二、数列极限与函数极限的相同点数列极限与函数极限都是研究极限的概念,其本质是一致的。

数列极限与函数极限都是研究极限的趋向性问题,即研究随着自变量越来越接近极限时函数或数列呈现出的最终趋势。

它们都涉及到极限值的存在性和唯一性,即当极限存在时,极限值是唯一的。

三、数列极限与函数极限的不同点数列极限与函数极限的主要差别在于它们所研究的对象不同。

数列极限是对一个递增的数列进行考察,而函数极限是对某一特定函数在一个点上的极限进行考察。

数列的性质只与下标有关,而函数的性质则与自变量的取值有关。

另外,数列的项难以直观地进行观察,而函数的图像能够更加形象地表示函数的性质。

因此,数列极限的研究往往是从一个数学公式开始进行研究,而函数极限的研究则可以通过函数的图像一目了然地探究函数的性质。

四、数列极限与函数极限的联系虽然数列极限与函数极限的研究对象不同,但它们之间也存在联系。

事实上,数列极限是函数极限的一种特例。

可以将数列看成是区间上的特殊函数,而数列极限可以看成是函数在正无穷时的极限。

因此,可以将函数极限的基本定义拓展至数列极限。

同时,在研究数列极限和函数极限时,我们都需要考虑到极限点的存在性和唯一性、趋势性等问题。

数列极限和函数极限

数列极限和函数极限

数列极限和函数极限极限概念是数学分析中最重要的概念,如连续、导数、积分等都要用极限来定义,而且由极限出发产生的极限方法,是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想,掌握极限理论,应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、判别方法等问题.1.极限定义1.1 数列极限定义设有数列{}n a 与常数A ,如果对于任意给定的正数ε(不论它有多么小),总存在正整数N ,使得当n N >时,不等式n a A ε-< 都成立,那么就称常数A 是数列{}n a 的极限,或者称数列{}n a 收敛于A ,记作lim n n a A →∞=.读作“当趋n 于无穷大时,n a 的极限等于A 或n a 趋于A ”.数列极限存在,称数列{}n a 为收敛数列,否则称为发散数列.关于数列极限的N ε-定义,着重注意以下几点:(1)ε的任意性: 定义中正数的ε作用在于衡量数列通项n a 与定数的a 接近程度越ε小,表示接近的越好.而正数可ε以任意的小,说明n a 与可a 以接近到任何程度,然而,尽管ε有其任意性,但一经给出,就暂时的被确定下来,以便依靠它来求出N .(2)N 的相应性: 一般说,N 随的ε变小而变大,由此常把N 写作()N ε,来强调N 是依赖与的ε,但这并不意味着N 是由ε所唯一决定的,重要的是N 的存在性,而不在于它值得大小.另外,定义中n N >的也可以改写成n N ≥.(3)几何意义:对于任何一个以A 为中心,ε为半径的开区间(),A A εε-+,总可以在数列{}n a 中找到某一项N a ,使得其后的所有项都位于这个开区间内,而在该区间之外,最多只有{}n a 的有限项(N 项).数列是定义在自然数集上的函数,当自变量从小到大依次取自然数时,便得到相应的一系列函数值,其解析表达式为()n a f n =;我们把数列中的n 用x 来替换后就得到了一个函数()f x ,数列和函数的区别在于数列中的点是离散的,而函数是连续的,那么类似的我们也有函数极限的定义. 1.2 函数极限定义1.2.1 x →+∞时函数的极限:设函数()f x 为[),a +∞上的函数,A 为定数,若对任给的0ε>,总存在着正数()M a ≥,使得当x M >时有()f x A ε-<,则称函数()f x 当x 趋于+∞时以A 为极限,记作()lim x f x A →+∞=.即有()lim 0,0,,x f x A M x M ε→+∞=⇔∀>∃>∀>有()f x A ε-<.对应的,我们也有()()lim ,lim x x f x A f x A →∞→-∞==的相应的M ε语言成立.对于函数极限的M ε定义着重注意以下几点:(1)在定义中正数M 的作用与数列极限定义中的N 类似,表明x 充分大的程度;但这里所考虑的是比M 大的所有实数x ,而不仅仅是正整数n .(2)当x →+∞时,函数()f x 以A 为极限意味着: A 的任意小邻域内必含有()f x 在+∞的某邻域内的全部函数值.(3)几何意义是:对任给0ε>的,在坐标平面上,平行于x 轴的两条直线y A ε=+与y A ε=-,围成以直线y A =为中心线,宽2ε为的带形区域;定义中的“当x M >时,有()f x A ε-<”表示:在直线x M =的右方,曲线()y f x =全部落在这个带形区域之内.1.2.2 0x x →时函数的极限:设函数()f x 在点0x 的某一去心邻域()'0;Ux δ︒内有定义,A 为定数,如果对于任意给定的正数ε(无论它多么小),总存在正数()'δδ<,使得当00x x δ<-<时,有()f x A ε-<,则常数A 为函数()f x 在0x x →时的极限,记作()0lim x x f x A →=.即()000lim 0,0,:,x x f x A x x x x εδδδ→=⇔∀>∃>∀-<<+有()f x A ε-<.对应的,我们也有()()0lim ,lim x x x x f x A f x A +-→→==的相应的εδ语言成立.对于函数极限的εδ定义着重注意以下几点:(1)定义中的正数δ,相当于数列极限N ε定义中的N ,它依赖于ε,但也不是由ε所唯一确定的,一般来说, ε愈小, δ也相应地要小一些,而且把δ取得更小些也无妨. (2)定义中只要求函数在的某一空心邻域内有定义,而一般不考虑在点处的函数值是否有意义,这是因为,对于函数极限我们所研究的是当x 趋于0x 过程中函数值的变化趋势.(3)定义中的不等式00x x δ<-<等价于()0;x U x δ∈,而不等式()f x A ε-<等价于()();f x U A ε∈.于是,εδ定义又可写成:任给0ε>,存在0δ>,使得一切()0;x U x δ∈有()();f x U A ε∈.或更简单的表为:任给0ε>,存在0δ>,使得()()()0;;f Ux U A δε⊂.(4)几何意义是:将极限定义中的四段话用几何语言表述为对任给0ε>的,在坐标平面上画一条以直线y A =为中心线,宽2ε为的横带,则必存在以直线0x x =为中心线、宽为2δ的数带,使函数()y f x =的图像在该数带中的部分全部落在横带内,但点()()0,x f x 可能例外(或无意义).2.极限性质2.1 数列极限的性质收敛数列有如下性质:(1)极限唯一性:若数列{}n a 收敛,则它只有一个极限. (2)若数列{}n a 收敛,则{}n a 为有界数列.(3)若数列{}n a 有极限,则其任一子列{}n a 也有极限.(4)保号性,即若()lim 00n n a a →∞=><,则对任何()()()''0,,0a a a a ∈∈,存在正整数1N ,n 1N 时,()''n n a a a a ><.(5)保不等式性:即若{}n a 与{}n b 均为收敛数列, 若存在正整数1N ,使得当n1N 时有n n a b ,则lim lim n n n n a b →∞→∞≤.(6)数列极限的基本公式(四则运算) 设lim ,lim n n n n x y →∞→∞存在,则()()()()lim lim lim lim lim lim lim lim lim 0lim lim lim n n n nn n n n n n nn n n nn n n n n nn n n n n n n n x y x y x y x y x x y y y x y x y →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞±=±⋅=⋅=≠≤≤2.2函数极限性质(1)极限唯一性;若极限()0lim x x f x →存在,则此极限是唯一的.(2)局部有界性若()0lim x x f x →存在,则()f x 在0x 的某空心邻域()U x ︒内是有界的,当0x 趋于无穷大时,亦成立. (3)局部保号性若()()0lim 00x x f x A →=><,则对任何正数()r A A <<-,存在()0U x ︒使得对一切()0x U x ︒∈有()()()00f x r f x r >><<,当趋于无穷大时,亦成立.(4)保不等式性若()0lim x x f x A →=,()0lim x x g x B →=,且在某邻域()'0;Ux δ内有()()f x g x ≤,则()()0lim lim x x x x f x g x →→≤.(5)函数极限的基本公式(四则运算)设()()lim ,lim x ax af xg x →→存在,则()()()()()()()()()()()()()()()()lim lim lim lim lim lim lim lim lim 0lim x a x ax ax ax ax ax a x a x ax af xg x f x g x f x g x f x g x f x f x g x g x g x →→→→→→→→→→±=±⋅=⋅=≠通过以上对数列极限与函数极限的介绍,可以知道数列极限与函数极限的本质相同,性质一致.3.极限的判别法3.1 数列极限的判别法(1)单调有界定理:单调有界数列必有极限.证明:不妨设{}n a 为有上界的递增数列.由确界原理,数列{}n a 有上确界,记{}sup n a a =.下面证明a 就是{}n a 的极限.事实上,任给0ε>,按上确界的定义,存在数列{}n a 中某一项N a ,使得N a a ε-<.又由{}n a 的递增性,当n N >时有N n a a a ε-<≤。

高中数学极限问题解题思路与例题

高中数学极限问题解题思路与例题

高中数学极限问题解题思路与例题在高中数学中,极限问题是一个重要的概念,它在微积分和数学分析等领域中发挥着重要的作用。

解决极限问题需要良好的数学思维和方法,本文将介绍一些常见的解题思路,并通过例题来说明。

一、数列极限问题的解题思路1. 递推法:对于递推数列,通过递推关系式来确定极限。

例如,对于等差数列an=2n+1,可以通过推导和观察得出其极限为无穷大。

2. 逼近法:对于数列an,通过构造逼近数列bn,使得bn与an的差趋近于零,然后求出bn的极限,进而得到an的极限。

例如,在求解数列an=√n的极限时,可以构造逼近数列bn=n,通过求bn的极限等于无穷大,得出an的极限也等于无穷大。

3. 按定义法:对于给定的数列an,根据极限的定义进行证明。

例如,证明数列an=1/n的极限为零,可以通过定义极限的方式来进行推导。

二、函数极限问题的解题思路1. 代入法:当函数在某一点不存在或无法求极限时,可以尝试代入近似值进行计算。

例如,求f(x)=sinx/x在x=0处的极限时,可以通过代入x的近似值0.001、0.0001等进行计算。

2. 夹逼法:对于函数f(x),如果在某一区间内存在两个函数g(x)和h(x),且g(x)≤f(x)≤h(x),并且g(x)和h(x)的极限均为L,则可以推导出f(x)的极限也为L。

例如,在证明函数f(x)=xsin(1/x)在x=0处的极限为零时,可以构造函数g(x)=-|x|和h(x)=|x|,并证明f(x)被夹在g(x)和h(x)之间。

3. 导数法:对于某些特殊的函数,可以通过求导数来求极限。

例如,对于函数f(x)=e^x/x,在x趋近于正无穷时,可以通过求导数得到f'(x)=e^x/x^2,在取极限时,可以得到极限为无穷大。

三、综合例题例题1:求极限lim(n→∞) (√n+1-√n)。

解:对于这个极限问题,我们可以利用有理化的方法进行求解。

首先,我们将式子进行分子有理化,得到(√n+1-√n)×(√n+1+√n)/(√n+1+√n)。

函数极限与数列极限的关系

函数极限与数列极限的关系

数列极限与函数极限课程目标知识提要数列极限与函数极限∙数列极限设为实数数列,为常数.若对任意给定的正数,总存在正整数,使得当时,有,则称数列收敛于,常数称为数列的极限.并记作或读作“ 当趋于无穷大时,的极限等于”.若数列没有极限,则称不收敛,或称为发散数列.对于收敛数列有以下两个基本性质,即收敛数列的唯一性和有界性:定理1:如果数列收敛,则其极限是唯一的;定理2:如果数列收敛,则其一定是有界的,即对于一切,总可以找到一个正数,使得.∙函数极限函数极限可以分成三种.设函数在点的某一去心邻域,即内有定义,如果存在常数,对于任意给定的正数(无论它多么小),总存在正数,使得当满足不等式时,对应的函数值都满足不等式,那么常数就叫做函数当时的极限,记作设为定义在上的函数,为常数.若对于任意给定的正数,存在正数,使得当时,有,则称函数当趋于正无穷时以为极限,记作或与此类似.精选例题数列极限与函数极限1. 设无穷等比数列的公比为,若,则.【答案】【分析】易知,且,所以,即.2. .【答案】3. 如图,抛物线与轴的正半轴交于点,将线段的等分点从左至右依次记为,过这些分点分别作轴的垂线,与抛物线的交点依次为,从而得到个直角三角形,当时,这些三角形的面积之和的极限为.【答案】【分析】4. 计算:.【答案】5. .【答案】6. ,则常数.【答案】7. .【答案】8. .【答案】9. .【答案】10. .【答案】11. 有一列正方体,棱长组成以为首项,为公比的等比数列,体积分别记为,则.【答案】12. 若函数在处连续,则,.【答案】;13. = .【答案】14. 设函数,点表示坐标原点,点,若向量,是与的夹角,(其中),设,则.【答案】【分析】.由题意,得是与轴正方向的夹角,从而.运用裂项相消法,得.15. 设等差数列的前项和为,若,则【答案】【分析】故,所以,.16. .【答案】17. 计算.【答案】18. (1)若,则常数.(2) .【答案】;19. 已知无穷等比数列的各项和为,则首项的取值范围是.【答案】20. 已知函数在处连续,则实数的值为.【答案】21. 设函数在处连续,求的值.【解】而,所以22. 已知,求的值.【解】解法一:∵,∴为方程的根.∴.又,∴.∴.解法二:∴.同上可得.23. 在数列中,若,是正整数,且,则称为“绝对差数列”.(1)举出一个前五项不为零的"绝对差数列"(只要求写出前十项);【解】,,,,,,,,,.(答案不唯一)(2)若“绝对差数列” 中,,,试求出通项;【解】因为在绝对差数列中,,,所以该数列是,,,,,,,,.即自第项开始,每三个相邻的项周期地取值,,,所以(3)证明:任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.【解】根据定义,数列必在有限项后出现零项,证明如下:假设中没有零项,由于,所以对于任意的,都有,从而当时,;当时,;即的值要么比至少小,要么比至少小.令.则.由于是确定的正整数,这样减少下去,必然存在某项,这与矛盾,从而必有零项.若第一次出现的零项为第项,记,则自第项开始,每三个相邻的项周期地取值,,,即所以绝对差数列中有无穷多个为零的项.24. 已知数列的通项公式为,求的值.【解】因为所以25. 已知数列中,为其前项的和,求的值.【解】26. 已知数列,其中,,.记数列的前项和为,数列的前项和为.(1)求;【解】由题意,得是首项为、公差为的等差数列,则其前项和从而因此(2)设,,(其中为的导函数),计算.【解】由(1),得则从而因此27. 已知等差数列的前三项为,,,前项和为,且.(1)求及的值;【解】数列是首项为,公差为的等差数列.即、的值分别为、.(2)求的值.【解】28. 已知数列的前项和,数列满足,,记数列的前项和为.(1)证明:为等比数列;【解】因为数列的前项和,所以.因为时,,也适合上式,所以.因为,所以数列是首项为,公比为的等比数列.(2)求;【解】当时,,将其变形为,即.所以数列是首项为,公差为的等差数列.所以.所以.因为,所以.两式相减得.整理得.(3)设,若对于任意,都有成立,求实数的取值范围.【解】由,得.于是化为(i)当是正奇数时,式可化为,显然,大于,且随着正奇数的增大而减小.由于式对任意正奇数恒成立,所以.(ii)当是正偶数时,式可化为,显然,随着正偶数的增大而减小.由于式对任意正偶数恒成立,所以.综上,实数的取值范围.29. 设函数,其中,已知对一切,有和,求证:.【解】由于则所以由于故有.30. 已知公比为的无穷等比数列各项的和为,无穷等比数列各项的和为.(1)求数列的首项和公比;【解】依题意可知,(2)对给定的,设是首项为,公差为的等差数列,求的前项之和;【解】由(1)知,,所以数列的的首项为,公差,,即数列的前项之和为.(3)设为数列的第项,,求,并求正整数,使得存在且不等于零.(注:无穷等比数列各项的和即当时该无穷等比数列前项和的极限)【解】所以令因为所以故当时,当时,,所以当时,存在且不等于零.31. 已知在轴上有一点列:,,,,,,点分有向线段所成的比为,其中,为常数,,.(1)设,求数列的通项公式;【解】由题意得,又,,又,数列是首项为、公比为的等比数列,.(2)设,当变化时,求的取值范围.【解】因为.,.当时,.32. 已知函数数列满足.(1)求数列的通项公式;【解】,所以所以所以将这个式子相加,得,,所以(2)设轴,直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为,求;【解】为一直角梯形(时为直角三角形)的面积,该梯形的两底边的长分别为,,高为,所以(3)在集合且中,是否存在正整数,使得不等式对一切恒成立?若存在,则这样的正整数共有多少个?并求出满足条件的最小的正整数;若不存在,请说明理由.【解】设满足条件的正整数存在,则又,均满足条件.它们构成首项为,公差为的等差数列.设共有个满足条件的正整数,则解得中满足条件的正整数存在,共有个,所以(4)请构造一个与有关的数列,使得存在,并求出这个极限值.【解】设,即则显然,其极限存在,并且注:(c为非零常数),等都能使存在.33. 已知,且,函数.(1)求函数的定义域,并判断的单调性;【解】由题意知,当时,的定义域是当时,的定义域是因为由此,当时,,因为,,则所以在上是减函数.当时,,因为,,则所以在上是减函数.(2)若,求;【解】因为所以由函数定义域知,因为是正整数,则,所以(3)当(为自然对数的底数)时,设,若函数的极值存在,求实数的取值范围以及函数的极值.【解】由,所以令,即由题意应有,即①当时,有实根在点左右两侧均有,故无极值.②当时,有两个实根当变化时,、的变化情况如下表所示:极大值极小值所以的极大值为的极小值为③当时, 在定义域内有一个实根同上可得的极大值为综上所述,当时的极大值为,的极小值为;当时,的极大值为.34. 已知是直角坐标系平面到自身的一个映射,点在映射下的象为点,记作.设,,,,,如果存在一个圆,使所有的点都在这个圆内或圆上,那么称这个圆为点的一个收敛圆.特别地,当时,则称点为映射下的不动点.若点在映射下的象为点.(1)求映射下不动点的坐标;【解】设不动点的坐标为,由题意,得解得所以此映射下不动点为.(2)若的坐标为,求证:点存在一个半径为的收敛圆.【解】由,得所以因为,,所以,,所以由等比数列定义,得数列是公比为,首项为的等比数列,所以则同理,.所以.设,则因为,所以,所以故所有的点都在以为圆心,为半径的圆内,即点存在一个半径为的收敛圆.35. 设是定义在上的偶函数,其图象关于直线对称,对任意,都有,且.(1)求;【解】因为对任意,都有,所以.,.(2)证明是周期函数;【解】依题设关于直线对称,故,即又由是偶函数知,.将上式中以代换,得这表明是上的周期函数,且是它的一个周期.(3)记,求.【解】由(1)知,,.的一个周期是,因此..36. 已知点,,…,(为正整数)都在函数的图象上,其中是以为首项,为公差的等差数列.(1)求数列的通项公式,并证明数列是等比数列;【解】,,,(定值),数列是等比数列.(2)设数列的前项的和为,求;【解】是等比数列,且公比,,.当时,;当时,.因此,.(3)设,当时,问的面积是否存在最大值?若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由;【解】,,设,当最大时,则,解得,,时,取得最大值,因此的面积存在最大值为.37. 如图,已知中,,,,在内有一系列正方形,求所有这些正方形面积之和.【解】设正方形、、的边长分别为,,,.由相似三角形的知识可得,.同理,可得是以为首项,以为公比的等比数列.设是第个正方形的面积,则是以为首项,为公比的等比数列.即所有这些正方形面积之和为.38. 已知数列是等差数列,公差为,,. (1)用表示;【解】因为数列是公差为的等差数列,所以去分母,得由,得(2)若,且,求的值;【解】当时,这与已知矛盾,所以,当时,综上,.(3)在(2)的条件下,求数列的前项和.【解】当,由已知,得解得令则两式相减,得从而而因此,数列的前项和39. 讨论函数在处的左极限、右极限以及在处的极限.【解】函数的图象如图所示:当时,函数无限接近于即当时,函数无限接近于即综上,可知.函数在处极限不存在.40. 已知,数列满足,,.(1)已知数列极限存在且大于零,求(将用表示);【解】由存在,且对两边取极限得解得又,所以(2)设,,证明:;【解】由,,得所以即对都成立.(3)若对都成立,求的取值范围.【解】令,根据(1)(2)得解得现证明当时,对都成立.(i)当时结论成立(已验证).(ii)假设当时结论成立,即那么则只须证明即证对成立.由于而当时,所以从而即故当时,即时结论成立.根据(i)和(ii)可知结论对一切正整数都成立.故对都成立的的取值范围为课后练习1. 无限循环小数可以化为有理数,如,,,,请你归纳出(表示成最简分数,且,).2. 计算:.3. 已知,则,.4. 已知函数是连续函数,则实数的值是.5. 计算:.6. 若,则.7. .8. .9. 计算:.10. 若展开式的第三项为,则.11. 已知函数是连续函数,则实数的值是.12. 等差数列的前项的和为,前项的和为,则其首项为,若数列的前项的和为,则.13. 已知在定义域上可导,导函数为,若,,则.(用,表示).14. 已知定义在正实数集上的连续函数,则实数的值为.15. .16. .17. \(\lim\limits \limits_{x \to 1} \left(\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{2}{{{x^2} - 1}}\right)=\) .18. .19. 等比数列,其前项和为,则.20. 计算.21. 已知数列的前项和.(1)求;(2)证明:.22. 函数定义在上,满足且,在每个区间上,的图象都是平行于轴的直线的一部分.(1)求及的值,并归纳出的表达式;(2)设直线轴及的图象围成的矩形的面积为,求,及的值.23. 已知定义在上的函数和数列满足下列条件:,其中为常数,为非零常数.(1)令,证明数列是等比数列;(2)求数列的通项公式;(3)当时,求24. 已知.(1)当时,求数列的前项和;(2)求.数列极限与函数极限-出门考姓名成绩1. 若,则常数.2. 的值等于.3. 设等差数列的公差是,前项的和为,则.4. 的值等于.5. 极限.6. 各项均为正数的等比数列的公比为,前项和为.若,则,若,则.7. 设常数,展开式中的系数为,则,.8. 设是展开式中的系数,则= .9. .10. 设函数在处连续,则实数的值为.11. 若,则,.12. .13. 等比数列,,,,所有项的和为.14. 若,则实数.15. 已知函数,若在上连续,则.此时.16. 已知点,和点,记的中点为,取和中的一条,记其端点为,,使之满足,记的中点为,取和中的一条,记其端点为,,使之满足.依次下去,得到,,,,,则.17. 在二项式的展开式中,含项的系数记为,则的值为.18. 若的展开式中各项系数的和是,的二项式系数和为,则.19. 已知数列的前项和,则.20. 已知点,其中为正整数.设表示外接圆的面积,则.。

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关于数列极限和函数极限解法的解析王雅丽摘要在数学分析中,极限的知识体系包括数列极限和函数极限。

在求解数列极限的方法中,我们从极限的定义出发,根据极限的性质以及相关的定理法则,例如单调有界收敛来论证极限;另外,对于函数极限的求解,文中列出六种类型,根据函数数列的定义、性质得出相关的定理和法则,对于不同类型,采用不同的方法。

上述方法对函数概念的理解和加强,以及对极限方法的掌握起很大的帮助作用。

ε-定义单调有界收敛无穷小量络必达法则关键词数列极限N早在两千多年前,我们的祖先就已经能够算出正方形,圆形和柱形等几何图形的面积。

公元前3世纪刘徽创立割圆术,就是用圆内接正多边形面积这一思想近似的计算圆周率,并指出“割之弥细,所失弥少,割之又割,以致不可割,则于圆和体而无所失矣”在数学分析中,极限是一个核心内容,同时它本身研究问题的工具。

极限概念与求极限的运算贯穿了数学分析课程的始终,因此全面掌握极限的方法与技巧是学习数学分析的关键。

1 数列极限古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”。

其含义是:一根长为一尺的木棒,每天截下一半,这样的过程可以无限制地进行下去。

把每天截下部分的长度列出如下(单位为尺):第一天截下12,第二天截下212……第n 天截下12n,……这样就得到一个数列{12n} 。

只有无穷数列才可能有极限,有限数列无极限.不难看出,数列{12n} 的通项12n随着n 的无限增大而无限地接近于0。

“无限增大”和“无限地接近”是对极限做了定性的描述,无限地接近于0说明了当n 无限的增大时数列的第n 项12n与0的距离102n-要多小有多小。

下面把任意小量化: 对于12,如果要求1110222nn-=<,只需要1n >即可;对于212,如果要求21110222nn-=<, 只需要2n >即可;对于 312,如果要求31110222n n -=<, 只需要3n >即可;...由上可以看出能满足不等式的n 不是唯一的,这就需要一个一般的任意小的正数来代替特殊的,如12,212,312...为此就出现了任意小的正数ε。

对于ε 如果要求11022nnε-=<,只需要12log n ε>,即可;从数列12log N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦项以后的正整数都能满足不等式11022n n ε-=<,通过任意小的正整数ε ,以及 12log ε 的存在性揭示了数列{12n}和0当n 无限增大时的关系。

对于任意给的正数ε,存在自然数12log N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,对任意的自然数n N >,有11022n nε-=<成立。

这样就可以引出数列极限的定义,利用极限的定义来求解。

1.1 数列极限的N ε-定义设 {n a } 为数列, a 为定数,若对任给的正数ε,总存在正整数N ,使得当n N >时,有n a a ε-<,则称数列{n a }收敛于a ,定数a 称为数列{n a }的极限,并记做l i m n n a a →∞=或()n a a n →→∞。

逻辑符号表示:0,,,n N N n N a a εε+∀>∃∈∀>-<有成立用定义证明数列的极限 证明极限:只需证明0,,,n N N n N a a εε+∀>∃∈∀>-<有成立即可,定义中的“ε”任意给出的,先给出ε之后,要找N N +∈。

使n N >时有不等式n a a ε-<成立,因此找N 是证明数列极限的关键,怎么样找N ?应该从解不等式n a a ε-<中找N ,N 是变化过程的界限,它由ε确定,ε越小,N 就越大,可记为()N ε,且取定ε后,N 的取值不唯一,满足此不等式的N 是正整数集合N +的无限子集中的任意一个数作为N 即可。

具体步骤:(1)任意取0ε>,建立不等式n a a ε-<; (2)解不等式,找出N ;(3)对给定的ε和求出的N ,叙述极限的定义。

例1: 证明lim11n n n →∞=+证明: 对于0ε∀>, 要是不等式11n n ε-<+ 成立, 解得: 11n ε>-取11N N ε+⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦, 对于:0ε∀> 11N N ε+⎡⎤∃=-∈⎢⎥⎣⎦, n N ∀> 有11n n ε-<+成立 即有lim11n n n →∞=+。

例2:证明223lim33n nn →∞=-分析:由于222399333nn n n-=≤--()3n ≥ ()1因此,对任给的0ε>,只要9nε<,便有22333nn ε-<-()2,即当9n ε>时, ()2式成立,又由于()1式是在3n ≥的条件下成立的,故应取9m ax 3,N ε⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ ()3证明:任给0ε>,取9ma x 3,N ε⎧⎫=⎨⎬⎩⎭。

据分析,当n N >时有()2式成立。

于是本题得证。

例3:证明lim1n →∞=,其中 0a >。

证明:)1当1a >时,有11n a >0ε∀> ()01a ε<<-,要使不等式1111n n a a ε-=-<成立,解得 ()ln ln 1an ε>+ 取()ln ln 1a N ε⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦于是:0ε∀> ∃()ln ln 1a N ε⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦N +∈,n N ∀>有11na ε-<即:lim1n →∞=,1a >;)2当1a =时 n N +∀∈ 11n a =是常数列 则lim1n →∞=,1a =;)3当01a <<时,令1a b=从而1b > ,有1111111111nnn n nb ab b b --=-=<-由)1知道 0ε∀>, ()ln ln ln 1ln(1)ba N N εε+⎡⎤⎡⎤-∃==∈⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦n N ∀> , 有1111n n a b ε-<-<成立,即:lim1n →∞= 01a <<.1.2 数列极限的性质:1).唯一性:若数列{n a }收敛,则它只有一个极限。

2).有界性:若数列{n a }收敛,则{n a }为有界数列,即存在正数M 使得对一切正整数n 有n a M ≤。

3).保号性:若lim n n a a →∞=>0(或<0),则对任何)('0,a a ∈(或)(',0a a ∈),存在正数N ,使得当n>N 时,有'n a a >(或'n a a <)。

4).保不等式性:设{n a }与{}n b 均为收敛数列,若存在正数0N ,当N>0N 时,有n n a b ≤,则lim lim n n n n a b →∞→∞≤。

5).迫敛性:设收敛数列{}n a 与{}n b 都以a 为极限,数列{}n c 满足:存在正数0N ,当n>0N 时,有n n n a c b ≤≤,则数列{}n c 收敛,且lim n n c a →∞=。

6).四则运算法则:若{}n a 与{}n b 为收敛数列,则{}n n a b -,{}n n a b +,{}n n a b ∙也都是收敛数列,且有lim ()lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞±=±,lim lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞∙=∙。

特别当n b 为常数C 时,有lim ()lim n n n n a C a C →∞→∞±=±,lim lim n n n n Ca C a →∞→∞=,若假设n b ≠0及lim 0n n b →∞≠则n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是收敛数列,且有lim limlim nn n n nnn a a b b →∞→∞→∞=。

1.3 数列极限的求法在以上几个性质当中,我们主要应用迫敛性及四则运算法则来求数列极限,则求数列极限方法我们总结有以下几种:1). 应用收敛数列性质求数列极限:⑴ 应用迫敛性求数列极限;⑵ 应用四则运算法则求数列极限;2). 应用 无穷小×有界变量=无穷小 求数列极限 3). 通项由递推关系给出的数列极限的求法 ⑴利用单调有界收敛法则求之a. 判定数列单调有界,从而证其极限存在,设为A ;b. 建立数列相邻两项之间的关系式;c. 两端取极限得关于A 的方程;d. 解此方程,若可解出A ,即求出所求极限。

例4. 已知数列的通项为 11121n n n x x x --+=+, 11x =,证明lim n n x →∞存在并求出极限值。

证明:由11101n n n x x x --=+>+, 11x =得到12111x x x =++,又12111012x x x x -==>+,故21x x >设1k k x x ->,下证1k k x x +>,事实上()()1111111110111111k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x ---+---⎛⎫⎛⎫--=+-+=-=> ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭ 故()1n n x ∞=为单调增加数列,又111112211n n n n x x x x ---=+=-<++故()1n n x ∞=有上界,所以lim n n x →∞存在。

设lim n n x a →∞=,则0a ≥对1111n n n x x x --=++两边取n →∞时的极限得到11a a a=++.解得(1a +=(已设去负根)故1lim n n x →∞+=.⑵先用递推关系式求出一般项的表示式,再求极限。

例5. 设11x =,)11,2,n x n +== ,求lim n n x →∞解:111111111111121222222244242111222222222nn n n n n x x x x -+--⎛⎫==∙=∙==∙∙∙= ⎪⎝⎭故1lim 2n n x +→∞=4). 无限项之和与无限项之积的极限求法⑴无限项之和的极限的求法a. 先求和再求极限 常用公式:()12n n +;()()1216n n n ++;()12n n a a +;1na aq q--b. 裂项相消法 常用裂项法:()11111k k k k=---;()211112111ak ak ak ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭-;()()()n+1111!1nn n n n ==-+++1-1!!!;()()()()()1111122112k k k k k k k ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦c. 根据迫敛性求极限。

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