第二章 质点动力学习题答案

第二章 质点动力学习题答案2-1一个质量为P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度0v 运动，0v 的方向与斜面底边的水平线AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道.解: 物体置于斜面上受到重力mg ，斜面支持力N .建立坐标：取0v方向为X 轴，平行斜面与X 轴垂直方向为Y 轴.如图2-1.图2-1X 方向： 0=x F t v x 0= ① Y 方向： y y ma mg F ==αsin ②0=t 时 0=y 0=y v2sin 21t g y α=由①、②式消去t ，得22sin 21x g v y ⋅=α2-2 质量为m 的物体被竖直上抛，初速度为0v ，物体受到的空气阻力数值为f KV =，K 为常数.求物体升高到最高点时所用时间及上升的最大高度. 解：⑴研究对象：m⑵受力分析：m 受两个力，重力P 及空气阻力f ⑶牛顿第二定律：合力：f P F+=a m f P =+y 分量：dtdV mKV mg =--dt KVmg mdV -=+⇒即dt mKV mg dV 1-=+⎰⎰-=+tvv dt mKVmg dV10dt mKV mg KV mg K1ln10-=++)(0KV mg eKV mg tm K +⋅=+- mg KeKV mg KV tm K 1)(10-+=⇒- ①0=V 时，物体达到了最高点，可有0t 为)1ln(ln000mgKV Km mg KV mg Km t +=+=②∵ dtdy V =∴ Vdt dy =dt mg K e KV mg K Vdtdy tt mK ty⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+==-01)(1 mgt Ke KV mg Km y t mK 11)(02-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=-021()1Kt m mmg KV e mgt K K-+--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ③ 0t t = 时，max y y =，)1ln(11)(0)1ln(02max 0mg KV K m mg K e KV mg Km y mgKV K mm K +⋅-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=+⋅- )1ln(11)(022002mg KV g K m mg KV mg KV mg K m +-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+= )1ln()(0220002mgKV g Km KV mg KV KV mg Km +-++=)1ln(0220mgKV g Km KmV +-=2-3 一条质量为m ，长为l 的匀质链条，放在一光滑的水平桌面，链子的一端由极小的一段长度被推出桌子边缘，在重力作用下开始下落，试求链条刚刚离开桌面时的速度.解：链条在运动过程中，其部分的速度、加速度均相同，沿链条方向，受力为m xg l，根据牛顿定律，有m F xg m a l==图2-4通过变量替换有 m dv xg m vldx=0,0x v ==，积分0l v m xg m vdv l=⎰⎰由上式可得链条刚离开桌面时的速度为v =2-5 升降机内有两物体，质量分别为1m 和2m ，且2m ＝21m ．用细绳连接，跨过滑轮,绳子不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速a ＝12g 上升时，求：(1) 1m 和2m 相对升降机的加速度．(2)在地面上观察1m 和2m 的加速度各为多少? 解: 分别以1m ,2m 为研究对象，其受力图如图所示．(1)设2m 相对滑轮(即升降机)的加速度为a '，则2m 对地加速度a a a -'=2；因绳不可伸长，故1m 对滑轮的加速度亦为a '，又1m 在水平方向上没有受牵连运动的影响，所以1m 在水平方向对地加速度亦为a '，由牛顿定律，有)(22a a m T g m -'=-a m T '=1题2-5图联立，解得g a ='方向向下 (2) 2m 对地加速度为22g a a a =-'= 方向向上1m 在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速度，即牵相绝a a a+='∴ g ggaa a 25422221=+=+'=a a '=arctanθo6.2621arctan==，左偏上．2-6 一物体受合力为t F 2=（SI ），做直线运动，试问在第二个5秒内和第一个5秒内物体受冲量之比及动量增量之比各为多少？解：设物体沿+x 方向运动，252551===⎰⎰tdt Fdt I N·S （1I 沿i方向） 7521051052===⎰⎰tdt Fdt I N·S （2I 沿i方向） 3/12=⇒I I∵⎩⎨⎧∆=∆=1122)()(p I p I ∴3)()(12=∆∆p p2-7 一弹性球，质量为020.0=m kg ，速率5=v m/s ，与墙壁碰撞后跳回. 设跳回时速率不变，碰撞前后的速度方向和墙的法线夹角都为60α︒=，⑴求碰撞过程中小球受到的冲量?=I⑵设碰撞时间为05.0=∆t s ，求碰撞过程中小球 受到的平均冲力?F =解:⎩⎨⎧=-=-==--=-=0sin sin cos 2)cos (cos 1212αααααmv mv mv mv I mv mv mv mv mv I y y y x x x i i i mv i I I x10.060cos 5020.02cos 2=⨯⨯⨯===⇒αN·S2-9 一颗子弹由枪口射出时速率为10s m -⋅v ，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为F =(bt a -)N(b a ,为常数)，其中t 以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量． 解: (1)由题意，子弹到枪口时，有0)(=-=bt a F ,得ba t =(2)子弹所受的冲量⎰-=-=tbtat t bt a I 0221d )(将ba t =代入，得baI 22=(3)由动量定理可求得子弹的质量22bv av I m ==2-10 木块B 静止置于水平台面上，小木块A 放在B 板的一端上，如图所示. 已知0.25A m =kg ，B m ＝0.75kg ，小木块A 与木块B 之间的摩擦因数1μ＝0.5，木板B 与台面间的摩擦因数2μ＝0.1. 现在给小木块A 一向右的水平初速度0v ＝40m/s ，问经过多长时间A 、B 恰好具有相同的速度？（设B 板足够长）解：当小木块A 以初速度0v 向右开始运动时，它将受到木板B 的摩擦阻力的作用，木板B 则在A 给予的摩擦力及台面给予的摩擦力的共同作用下向右运动. 如果将木板B 与小木块A 视为一个系统，A 、B 之间的摩擦力是内力，不改变系统的总动量，只有台面与木板B 之间的摩擦力才是系统所受的外力，改变系统的总动量. 设经过t ∆时间，A 、B 具有相同的速度，根据质点系的动量定理 0()k A B A F t m m v m v -∆=+-2()k A B F m m g μ=+再对小木块A 单独予以考虑，A 受到B 给予的摩擦阻力'K F ，应用质点的动量定理'0k A B F t m v m v -∆=-以及 '1k A F m g μ=解得 0012121(),A A Bv v vm v t m m gμμμμμ-=-∆=+-代入数据得 2.5v =m/s t ∆=7.65s2-11一粒子弹水平地穿过并排静止放置在光滑水平面上的木块，如图2-11所示. 已知两木块的质量分别为1m 和2m ，子弹穿过两木块的时间各为1t ∆和2t ∆，设子弹在木块中所受的阻力为恒力F ，求子弹穿过后，两木块各以多大速度运动.图2-10图2-11解：子弹穿过第一木块时，两木块速度相同，均为1v ，初始两木块静止， 由动量定理，于是有1121()0F t m m v ∆=+-设子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为2v ，对第二块木块，由动量定理有22211F t m v m v ∆=- 解以上方程可得 1121212122,F t F t F t v v m m m m m ∆∆∆==+++2-12一端均匀的软链铅直地挂着，链的下端刚好触到桌面. 如果把链的上端放开，证明在链下落的任一时刻，作用于桌面上的压力三倍于已落到桌面上那部分链条的重量.解：设开始下落时0t =，在任意时刻t 落到桌面上的链长为x ，链未接触桌面的部分下落速度为v ，在d t 时间内又有质量dm dx ρ=（ρ为链的线密度）的链落到桌面上而静止. 根据动量定理，桌面给予d m 的冲量等于d m 的动量增量，即 I F d t v d m vd ρ=== 所以 2dx F v v dtρρ==由自由落体的速度22v gx =得2F gx ρ=这是t 时刻桌面给予链的冲力. 根据牛顿第三定律，链对桌面的冲力'F F =，'F 方向向下，t 时刻桌面受的总压力等于冲力'F 和t 时刻已落到桌面上的那部分链的重力之和，所以'3N F xg xg ρρ=+=所以3Nxgρ=即链条作用于桌面上的压力3倍于落在桌面上那部分链条的重量.2-13一质量为50kg 的人站在质量为100kg 的停在静水中的小船上，船长为5m ，问当人从船头走到船尾时，船头移动的距离.解:以人和船为系统，整个系统水平方向上动量守恒 设人的质量为m ，船的质量为M ，应用动量守恒得m +M =0v V 其中，V 分别为人和小船相对于静水的速度，可得m -MV =v人相对于船的速度为 'M m M +=-=v v V v设人在t 时间内走完船长l ，则有 't t t M m M ml v d tv d tv d t MM++===⎰⎰⎰在这段时间内，人相对于地面走了0tx vdt =⎰所以M l x M m=+船头移动的距离为'53m l x l x M m=-==+2-14质量为M 的木块静止在光滑的水平桌面上，质量为m ，速度0v 的子弹水平地射入木块，并陷在木块内与木块一起运动.求：(1)子弹相对木块静止后，木块的速度和动量； (2)子弹相对木块静止后，子弹的动量； (3) 在这个过程中，子弹施于木块的冲量.解：子弹相对木块静止后，其共同速度设为u ，子弹和木块组成系统动量守恒 （1）0()mv m M u =+ 所以 0m v u m M=+0M M m v P M u m M==+ （2）子弹的动量20m m v P m u m M==+（3）针对木块，由动量守恒知，子弹施于木块的冲量为00M M m I P v M m=-=+2-15质量均为M 的两辆小车沿着一直线停在光滑的地面上，质量为m 的人自一辆车跳入另一辆车，接着又以相同的速率跳回来. 试求两辆车的速率之比.解： 质量为m 的人，以相对于地面的速度v 从车A 跳到车B ，此时车A 得到速度1u ，由于车是在光滑的地面上，沿水平方向不受外力，因此，由动量守恒得1m v M u =人到达车B 时，共同得速度为2u ，由动量守恒得2()M m u mv +=人再由车B 以相对于地面的速度v 跳回到车A ，则车B 的速度为'2u ，而车A 与人的共同速度为'1u ，如图所示，由动量守恒得联立方程解得：'22m u v M='12m u v M m=+所以车B 和车A 得速率之比为'2'1u M m u M+=2-16体重为P 的人拿着重为p 的物体跳远，起跳仰角为ϕ，初速度为0v . 到达最高点时，该人将手中的物体以水平向后的相对速度u 抛出，问跳远成绩因此增加多少？解：人和物体组成系统在最高点抛出物体前后沿水平方向动量守恒，注意到对地面这个惯性参考系''0'0'()cos ()cos m m v m v m v u mv v um mϕϕ+=+-=++从最高点到落地，人做平抛运动所需时间0sin v t gϕ=跳远距离增加为 '00'(cos )cos ms v u t v t m m ϕϕ∆=+-+'0's i n v mput um mP pgϕ==++2-17铁路上有一平板车，其质量为M ，设平板车可无摩擦地在水平轨道上运动. 现有N 个人从平板车的后端跳下，每个人的质量均为m ，相对平板车的速度均为u . 问在下述两种情况下，平板车的末速度是多少？（1）N 个人同时跳离；（2）一个人、一个人的跳离. 所得结果是否相同.解：取平板车和N 个人为研究对象，由于在水平方向上无外力作用，故系统在该方向上动量守恒. 取平板车运动方向为坐标轴正方向，设最初平板车静止，则有()0M v N m v u +-='22'11()()M u mv M m u M m u mv M u -=++=+所以N 个人同时跑步跳车时，车速为N m v u M N m=+（2）若一个人、一个人地跳车，情况就不同了. 第一个跳车时，由动量守恒定律可得11[(1)]()0M N m v m v u +-+-=第二个人跳车时，有221[(2)]()[(1)]M N m v m v u M N m v +-+-=+-21(1)m u v v M N m-=+-以此类推，第N 个人跳车时，有1()()N N N M v m v u M m v -+-=+ 1N N m u v v M m--=+所以1111()2NN n m u v m u M mM m M N mM nm==++⋅⋅⋅=++++∑因为1112M m M mM N m >>⋅⋅⋅>+++1112NM mM mM N mM N m++⋅⋅⋅>++++故N v v >2-18质量为kg 10的物体作直线运动，受力与坐标关系如图2-18所示。