高中物理解题中的数学方法

θ＋
b a2＋b2sin
θ)
令 sin φ＝
a a2＋b2，cos
φ＝
Βιβλιοθήκη Baidub a2＋b2
则有：y＝ a2＋b2(sin φcos θ＋cos φsin θ)
＝ a2＋b2sin (φ＋θ)
所以当 φ＋θ＝π2 时，y 有最大值，且 ymax＝ a2＋b2．
2．利用二次函数求极值
二次函数：y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋bax＋4ba22)＋c－4ba2 ＝a(x＋2ba)2＋4ac4－ a b2(其中 a、b、c 为实常数)，当 x＝－2ba 时， 有极值 ym＝4ac4－ a b2(若二次项系数 a>0，y 有极小值；若 a<0，y 有极大值)．
例2：如图4所示，将两个质量均为m，带电荷量分别为＋q、－q的小球a、b，用两细线 相连并悬挂于O点，置于沿水平方向的匀强电场中，电场强度为E，且Eq＝mg，用力F拉 小球a，使整个装置处于平衡状态，且两条细线在一条直线上，则F的大小可能为( )
A.3mg B.mg C.mg D.mg
三、图象法 中学物理中一些比较抽象的习题常较难求解，若能与数学图形相结合，再恰当地引入 物理图象，则可变抽象为形象，突破难点、疑点，使解题过程大大简化．图象法是历 年高考的热点，因而在复习中要密切关注图象，掌握图象的识别、绘制等方法． 1．物理图象的分类 整个高中教材中有很多不同类型的图象，按图形形状的不同可分为以下几类． (1)直线型：如匀速直线运动的s－t图象、匀变速直线运动的v－t 图象、定值电阻的U －I图象等． (2)正弦曲线型：如简谐振动的x－t图象、简谐波的y－x 图象、正弦式交变电流的e－t 图象、正弦式振荡电流的i－t 图象及电荷量的q－t 图象等． (3)其他型：如共振曲线的A－f图象、分子力与分子间距离的f－r图象等．
方程法
直线方程，一元二次方程的判别式，椭圆方程，二次函数，圆方程等 另外还有比值法、不等式法
一、极值法
数学中求极值的方法很多，物理极值问题中常用的极值法有：
三角函数极值法、二次函数极值法、一元二次方程的判别式法等．
1．利用三角函数求极值
y＝acos θ＋bsin θ
＝
a2＋b2(
a a2＋b2cos
图6 (1)求小物块与木板间的动摩擦因数； (2)当θ角满足什么条件时，小物块沿木板上滑的距离最小，并求出此最小 值.
解析 (1)由题知，当 θ＝30°时，对物块受力分析得：mgsin θ＝μFN
FN＝mgcos θ 联立得：μ＝tan θ＝tan 30°＝ 33. (2)小物块向上运动，则有：
mgsin θ＋μmgcos θ＝ma
高中物理解题中的数学方法
名称 极限法
几何法
图象法 数列法 微元法 数学归纳法 三角函数变换
1.三角函数求极值：y(θ)=cosθ+μsinθ
内容
2.二次函数求极值：y=ax2+bx+c，ym=(a＞0时，有ymin；a＜0时，有ymax)
3.均值不等式：a+b≥2( a＞0 ,b＞0), a+b+c≥3( a＞0 ,b＞0, c＞0) 1.对称点的性质、镜像对称 2.两点间的直线距离最短
3.正弦定理
a
b
c
sinα = sinβ = sinθ
4.全等、相似三角形的特征 5.圆轨道及圆的相关性质、圆方程 1.直线型图象：y=kx+b 2.正(余)弦曲线型图象 3.抛物线型图象
；余弦定理：a2=b2+c2+2bccosα
4.描述一个物理量随另一个物理量变化的曲线等，如闭合电路中各物理量间关系
例5：物理学中有些问题的结论不一定必须通过计算才能验证，有时只需要通过一定的 分析就可以判断结论是否正确.如图5所示为两个彼此平行且共轴的半径分别为R1和R2的 圆环，两圆环上的电荷量均为q(q>0)，而且电荷均匀分布.两圆环的圆心O1和O2相距为2a， 连线的中点为O，轴线上的A点在O点右侧与O点相距为r(r<a).试分析判断下列关于A点处 电场强度大小E的表达式(式中k为静电力常量)正确的是( )
答案 D
解析 令R1＝R2＝0，A点电场强度不为0，排除A、B.或令r＝a，E的结果应该只与R1有 关，与R2无关，排除A、B；当r＝a时，A点位于圆心O2处，带电圆环O2由于对称性在A 点的电场为0，根据微元法可以求得此时的总电场强度为E＝E1＝
2kqa
3
(R12 4a2 )2
，将r＝a代入C、D选项可以排除C选项.故选D.
下面我们对高中物理中接触到的典型物理图象作一综合回顾，以期对物理图象有个较为系 统的认识和归纳．
例3：质子和中子是由更基本的粒子即所谓“夸克”组成的．两个强作用电荷相反（类似
于正负电荷）的夸克在距离很近时几乎没有相互作用（称为“渐近自由”）；在距离较
远时，它们之间就会出现很强的引力（导致所谓“夸克禁闭”）．作为一个简单的模型，
五、微元法 利用微分思想的分析方法称为微元法．它是将研究对象(物体或物理过程)进行无限细分， 再从中抽取某一微小单元进行讨论，从而找出被研究对象的变化规律的一种思想方 法．微元法解题的思维过程如下． (1)隔离选择恰当的微元作为研究对象．微元可以是一小段线段、圆弧或一小块面积，也 可以是一个小体积、小质量或一小段时间等，但必须具有整体对象的基本特征． (2)将微元模型化(如视为点电荷、质点、匀速直线运动、匀速转动等)，并运用相关的物 理规律求解这个微元与所求物体之间的关联． (3)将一个微元的解答结果推广到其他微元，并充分利用各微元间的对称关系、矢量方向 关系、近似极限关系等，对各微元的求解结果进行叠加，以求得整体量的合理解答．
1．依切线的性质确定．从已给的圆弧上找两条不平行的切线和对应的切点，过切点 作切线的垂线，两条垂线的交点为圆心，圆心与切点的连线为半径．
2．依垂径定理(垂直于弦的直径平分该弦，且平分弦所对的弧)和相交弦定理(如果弦与 直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项)确定．如图8－1 所示．
3．均值不等式
对于两个大于零的变量 a、b，若其和 a＋b 为一定值 p，则当 a＝b 时，其积 ab 取得极大值
p2
4 ；对于三个大于零的
变量 a、b、c，若其和 a＋b＋c 为一定值 q，则当 a＝b＝c 时，其积 abc 取得极大值
q3
27．
例1 如图6甲所示，木板与水平地面间的夹角θ可以随意改变，当θ＝30°时，可视 为质点的一小物块恰好能沿着木板匀速下滑.若让该小物块从木板的底端以大小恒定的 速度v0沿木板向上运动(如图乙)，随着θ的改变，小物块沿木板滑行的距离s将发生变 化，重力加速度为g.
物块的位移为 x：v0 2＝2ax
x＝2g
v2 0
θ＋μcos θ
＝ 2g
v2 0
1＋μ2
θ＋α
令：tan α＝μ，当 θ＋α＝90°时，x 最小
此时有：θ＝60°
有：xmin＝2g
v2 0
＋μ
答案
(1)
3 3
(2)θ＝60°
＝
3v 0 4g
2
.
3v0 2 4g
二、几何法 利用几何方法求解物理问题时，常用到的有“对称点的性质”、“两点间直线距离最 短”、“直角三角形中斜边大于直角边”以及“全等、相似三角形的特性”等相关知识， 如：带电粒子在有界磁场中的运动类问题，物体的变力分析时经常要用到相似三角形法、 作图法等．与圆有关的几何知识在力学部分和电学部分的解题中均有应用，尤其在带电 粒子在匀强磁场中做圆周运动类问题中应用最多，此类问题的难点往往在圆心与半径的 确定上，确定方法有以下几种．
四、数学归纳法 在解决某些物理过程中比较复杂的具体问题时，常从特殊情况出发，类推出一般情况下 的猜想，然后用数学归纳法加以证明，从而确定我们的猜想是正确的．利用数学归纳法 解题要注意书写上的规范，以便找出其中的规律．
例4：滑块A质量m=0.01kg，与水平地面间的动摩擦因数μ=0.2。用细线悬挂的小球质量 均为m' =0.01kg且沿x轴均匀排列，A与第一只小球及小球与相邻小球距离均为s=2m，从 左至右悬挂小球的线长分别为L1、L2、L3……。当A与第一只球间距为2 m时的运动速度 v0=10m/s且正好沿着x轴正向运动，不计滑块和小球大小且当滑块与球发生碰撞时机械 能不损失，碰后任一小球均恰好能在竖直平面内作完整的圆周运动。求：（g=10m/s2） （1）最左侧悬挂小球的线长L1为多少? （2）滑块在运动中能与几个小球发生碰撞。 （3）求出碰撞中第n个小球悬线长Ln的表达式。
六、三角函数法 三角函数反映了三角形的边、角之间的关系，在物理解题中有较广泛的应用．例如： 讨论三个共点的平衡力组成的力的三角形时，常用正弦定理求力的大小；用函数的单 调变化的临界状态来求取某个物理量的极值；用三角函数的“和积公式”将结论进行 化简等． 例6： 物体放置在水平地面上，物理与地面之间的动摩擦因数为µ，物体重为G，欲 使物体沿水平地面做匀速直线运动，所用的最小拉力F为多大？
1.等差数列：其和Sn= =na1+d(d为公差) 2.等比数列：Sn= ,a1为首项，q为公比，当q＜1时，qn→0. 无穷小等分，往往对其中的一个微元作处理.
对于一个复杂的过程由特殊到一般，归纳成某一通式，求解.
sin2θ+cos2θ=1，sin2θ=2sinθcosθ，cos2θ=2cos2θ-1=1-2sin2θ=cos2θ-sin2θ
r1
r2
U0
O
r
O
r
O
r
－U0 A
－U0 B
－U0 C
图7-11
O
r1
r2 r
D
正确析解：
从无穷远处电势为零开始到r = r2位置，势能恒定为零，在r = r2到r = r1过程 中，恒定引力做正功，势能逐渐均匀减小，即势能为负值且越来越小，此部分图 像为A、B选项中所示；r ＜ r1之后势能不变，恒定为－U0，由引力做功等于势能 将少量，故U0=F0(r2－r1)。本题答案B。
例 7：一小球从 h0＝45 m 高处自由下落，着地后又弹起，然后又下落，每与地面相碰一次，速度大小就变化为原来 的 k 倍.若 k＝12，求小球从下落直至停止运动所用的时间.(g 取 10 m/s2，碰撞时间忽略不计)
N F
θ
f
mg
图7-3
七、数列法 凡涉及数列求解的物理问题都具有过程多、重复性强的特点，但每一个重复过程均不 是原来的完全重复，而是一种变化了的重复．随着物理过程的重复，某些物理量逐步 发生着前后有联系的变化．该类问题求解的基本思路为： (1)逐个分析开始的几个物理过程； (2)利用归纳法从中找出物理量变化的通项公式(这是解题的关键)； (3)最后分析整个物理过程，应用数列特点和规律求解． 无穷数列的求和，一般是无穷递减数列，有相应的公式可用．
设这样的两夸克之间的相互作用力F与它们之间的距离r的关系为：
0,
F F0,
0,
0＜r＜r1 r1≤r≤r2 r＞r2
式中F0为大于零的常量，负号表示引力．用U表示夸克间的势能，令U0＝F0(r2—r1)，取无 穷远为势能零点．下列7-11所示U－r图示中正确的是 （ ）
U
U
U
U
r1
r2
r1
r2