数学高考复习名师精品教案：第28课时：第四章 三角函数-同角三角函数的基本关系式及诱导公式

数学高考复习名师精品教案

第28课时：

第四章 三角函数——同角三角函数的基本关系式及诱导公式

一．课题：同角三角函数的基本关系与诱导公式

二．教学目标：掌握同角三角函数的基本关系式及诱导公式；并能运用这些公

式进行求值、化简与证明．

三．教学重点：公式的恰当选用及利用公式时符号的正确选取． 四．教学过程： （一）主要知识：

1．同角三角函数的基本关系式： （1）倒数关系：tan cot 1αα⋅=； （2）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin ααα

αα

α

=

=

；

（3）平方关系：22sin cos 1αα+= ．

2．诱导公式，奇变偶不变，符号看象限． （二）主要方法：

1．利用同角三角函数的基本关系式时要细心观察题目的特征，注意公式的合理选用，特别要注意开方时的符号选取，切割化弦是常用的方法；

2．学会利用方程的思想解三角题，对于sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+⋅-三个式子中，已知其中一个式子的值，可求其余两个式子的值． （三）例题分析：

例1．化简sin tan tan (cos sin )cot s c c αααα

ααα

+-+

+

分析：切割化弦是解本题的出发点． 解：原式sin sin sin (cos sin )

cos sin cos 1cos sin sin ααααααααα

α

α

+-=

+=+．

例2．化简（1）sin(cos(4

4π

π

αα-

++

；

（2）已知32,cos(9)5

π

απαπ<<-=-

，求11cot(2πα

-的值．

解：（1）原式sin()cos[

(4

2

4

π

π

π

αα=-

++-sin(sin()0

4

4

π

π

αα=---

=．

（2）3cos()cos(9)5

απαπ-=-=-

，∴3cos 5α

=，

∵2π

απ

<<，∴4sin 5

α

=-

，sin 4tan cos 3

ααα==

，

∴1134cot(cot(

)tan 2

2

3

ππ

α

αα-=--=-=

．

例3．（1）

若tan α=

cos sin cos sin αααα

+-；②222sin sin cos cos αααα-+．

（2）求值

66

4

4

1sin cos 1sin cos x x x x

----．

解：（1

）①原式sin 1cos 3sin 1cos α

ααα

+

=

==---

②∵22

11

cos 1tan 3

αα==+，

∴原式22cos (2tan tan 1)3

αα

α=-+=

．

（2）∵66224224sin cos (sin cos )(sin sin cos cos )x x x x x x x x +=+-⋅+

2

2

2

2

2

2

2

(sin cos )3sin cos 13sin cos x x x x x x

=+-⋅=-⋅．

又∵442222222sin cos (sin cos )2sin cos 12sin cos x x x x x x x x +=+-⋅=-⋅． ∴原式6

6

4

4

1sin cos 31sin cos 2

x x x x

--=

=

--．

例4．已知sin ,cos θθ是方程244210x mx m -+-=的两个根，

322

πθπ

<<，求角θ．

解：∵2

sin cos 21

sin cos 416(21)0

m m m m θθθθ+=⎧⎪

-⎪⋅=

⎨⎪

⎪∆=-+≥⎩，代入2(sin cos )12sin cos θθθθ+=+⋅，

得2

m =

322

πθπ

<<，∴21sin cos 0

4

m θθ

-⋅=

<，

1sin cos 2

m θθ-+==

，∴1sin ,cos 2

2

θ

θ==

，又∵322

πθπ

<<，

∴56

πθ

=

．

（四）巩固练习： 1．若

(cos )cos 2f x x

=，(sin 15)f = （ D ）

()

A 12

()

B 12

-

()

C 2

()

D 2

-

2．已知1sin cos (0)5

α

ααπ+=-

≤≤，则tan α=34

-．