定积分的几何应用
定积分的几何应用举例
=x2
解 所围成的图形的面积.
y
x y2
(1,1)
得两曲线交点 (0,0) , (1,1) ,
x y
面积元素 dA ( y y2 )dy , o
x
A
1
(
0
y y2 )dx
2 3 y3 1
3 y2
3
0
1. 3
解题步骤：
1. 根据题意画出平面图形 .
2. 求出边界曲线的交点.
3. 确 定 一 个 积 分 变 量 及 其 变 化 区 间 [a , 4.b写]出.微元(面积元素) dA .
在[ , ]上任取小区间[ , d ]．o x
面积元素 dA 1[( )]2d
2
曲边扇形的面积 A 1[( )]2d . 2
例 6 求双纽线 2 a2 cos 2 所围平面图形的
面积.
解 由对称性知总面积=4倍第 一象限部分面积
A 4A1
A 4
4
1 a2 cos 2 d
第八节 定积分的几何应用举例
一、平面图形的面积 二、体积 三、平面曲线的弧长
一、平面图形的面积
1、 直角坐标系情形
y y f (x)
设曲线 y=f (x)(x 0) 与直
线 x = a , x = b (a <b)
及 x 轴所 围曲边梯形的面
oa
积为 A , 则
b
dA f (x)dx,
A f ( x)dx .
立体体积
R
V h
R2 x2dx
1 R2h.
R
2
五、平面曲线的弧长
1、平面曲线弧长的概念
设 A、B 是曲线弧上的两 y
个端点，在弧上插入分点
高中数学-定积分在几何中的应用-课件
求由一条曲线 y＝f(x)和直线 x＝a，x＝b(a<b)及 y＝0 所围成平面图形的面积 S.
①如图 1 所示，f(x)>0， bf(x)dx>0. a
∴S＝ bf(x)dx. a
②如图 2 所示，f(x)<0， bf(x)dx<0， a
∴S＝| bf(x)dx|＝－ bf(x)dx.
a
a
2×23x32
|
2 0
＝136，
8
S2＝2 [4－x－(－ 2x)]dx
＝4x－12x2＋2
3
2x32|
8 2
＝338，
于是 S＝136＋338＝18.
方法二：选y作为积分变量，
将曲线方程写为x＝y22及x＝4－y.
则S＝2－44－y－y22dy
＝4y－y22－y63|
2 －4
＝18.
变式训练 1：由曲线 y＝ x，直线 y＝x－2 及 y 轴所围成
解．
由方程组
y2＝2x y＝4－x
解出抛物线和直线的交
点为(2,2)及(8，－4)．
方法一：选 x 作为积分变量，由图可看出 S＝S1＋S2，
由于抛物线在 x 轴上方的方程为 y＝ 2x，
在 x 轴下方的方程为 y＝－ 2x，
2
所以 S1＝0 [ 2x－(－ 2x)]dx
＝2
2 1
20x2 dx＝2
❖1．7 定积分的简单应用
❖1.7.1 定积分在几何中的应用
自主学习 新知突破
❖ 1．理解定积分的几何意义．
❖ 2．会通过定积分求由两条或多条曲线 围成的平面图形的面积．
复习回顾
[问题 1]定积分的几何意义．
由三条直线 x＝a，x＝b(a<b)，x 轴及 一条曲线 y＝f(x)(f(x)≥0)围成的曲边 梯形的面积 S＝________.
定积分的几何应用
的面积为
1
A
1
(2
1
x2
y
x2 )dx
2
2x
2 3
x3
0
8. 3
y = 2 - x2
(-1, 1) y = x2
(1, 1)
-1
O x x+dx 1 x
例2 求由抛物线 y 2 = 2 x 及直线 y = x – 4 所围图
形的面积.
解
解方程组
y2
2x,
体的体积差,
y y = f (x)
a x x+dx b x
即 (x +dx)2f (x) - (dx)2 f (x) = 2x f (x)dx - f (x)(dx)2. 上式中后一项是前一项关于 dx 的高阶无穷小, 因此体 积元素为 dV = 2 s f ( x ) dx . 旋转体的体积为
所围成的曲边梯形的面积为
b
y
A a f (x)dx.
y = f (x)
其中被积表达式 f ( x ) dx 是
直角坐标系下的面积元素, 它 表示高为 f ( x ), 底为 dx 的
dA f (x)
小矩形面积, 见图5-7.
O
a x x + dx b x
一般地, 平面图形以连续曲线 y = f ( x )与 y = g ( x ) 为上下曲边的曲边形的面积元素为dA = [ f (x) – g (x)]dx. 这样, 由 x = a , x = b , y = f ( x ) 和 y = g ( x ) 所围图形 ( 如图5 – 8 ) 的面积为
以 x 为积分变量, x [ a , b ] 取 [ x, x+dx ] [ a , b ], 在[ x , x + dx]上立体的体积可以近似看成以 y (x) 为底面 半径, 高为 dx 的小圆柱体的体积, 见图5-17, 则体积 元素为 dV = [ f ( x ) ] 2 dx. 旋转体的体积为
高等数学 第六章 第7节 定积分的几何应用(中央财经大学)
一、微分元素法)( 或称为积分元素法法数学建模中的微分元素 ,当把非均匀变化的问题实际中在物理、几何以及工程 , ,则通积达形式能表示为某两个量的乘看作是均匀变化时. 分问题来处理常可将问题归结为定积 . 具有对区间的可加性要求量运用定积分处理问题时A取极限”—求和—近似“分划—,局利用整体上变化的量在局部问题的步骤将整体问题化成 , ,替“变”在局部上以“不变”代关系部上近似于不变的辩证,采用按照定积分的概念]. ,[ )( 111i i i ni i i ni i x x x f A A −==∈∆≈∆=∑∑ξξ便有关系式, ,个将具有代表性的第略去下标为简便和醒目起见i i, , ]d ,[ ] ,[ 1且取称之为典型小区间表示为小区间x x x x x i i +−, 则有为区间的左端点x i ξ. d )(x x f A ≈∆, )( d )( 记为或积分元素的微分元素为量通常称A x x f. d )(d x x f A =( 0d , 相当于取极限过程对区间的可加性由量→x A ] ,[ d , 0)||||上“无限累加”起来在区间将微分元素b a A x →∆] ,[ )(上的值：在区间就得到量即作定积分b a A. d )(d ∫∫==babax x f A A. ,加解为微分元素的无限累我们在这里将定积分理简言之一、平面图形的面积1解解解解y2解3解二、旋转体的体积一轴旋转一周所生成的将平面图形绕平面上某 . ,该轴称为旋转轴几何体称为旋转体 . , 间的可加性旋转体的体积具有对区上在区间I:旋转体的特点 ,截旋转体所得的的平面任何一个垂直于旋转轴. 图形均为圆截口1 y1 y2解Oaa b解解2πy三、平行截面面积为已知的几何体的体积解解。
定积分的几何应用
定积分的几何应用定积分是微积分中的重要概念，它有着广泛的应用。
其中之一就是在几何学中的应用。
本文将探讨定积分在几何学中的具体应用，并解释其背后的原理和意义。
一、平面图形的面积通过定积分，我们可以计算出复杂平面图形的面积。
假设有一个曲线方程y=f(x)，该曲线与x轴所围成的图形为A。
我们可以将A分解成无限个极小的矩形条，然后通过求和的方式来逼近A的面积。
具体而言，我们可以将横轴x划分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx。
然后，在每个小区间中，选择一个x值作为代表点，记作xi。
根据代表点xi和函数f(x)的值，我们可以计算出相应小矩形的高度为f(xi)。
由于每个小矩形的宽度Δx非常小，因此在计算总面积时，可以通过求和的方式逼近。
即可以得到如下的定积分表达式：A = ∫[a,b] f(x) dx其中[a,b]表示x的取值范围。
通过对上述定积分进行求解，即可得到图形A的面积。
二、曲线的弧长除了计算平面图形的面积外，定积分还可以用来计算曲线的弧长。
假设有一个曲线L，其方程为y=f(x)。
我们希望计算出曲线L的弧长。
与计算面积类似，我们同样可以将曲线L分解为无限个极小的线段，然后通过求和的方式来逼近曲线L的弧长。
具体而言，我们可以将横轴x划分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx。
然后，在每个小区间中，选择一个x值作为代表点，记作xi。
根据代表点xi和函数f(x)的值，我们可以计算出相应线段的长度为Δs。
同样地，由于每个小线段的长度Δs非常小，因此在计算总弧长时，可以通过求和的方式逼近。
即可以得到如下的定积分表达式：L = ∫[a,b] √(1 + [f'(x)]^2) dx其中[a,b]表示x的取值范围，f'(x)表示函数f(x)的导数。
通过对上述定积分进行求解，即可得到曲线L的弧长。
三、体积与质量除了平面图形的面积和曲线的弧长外，定积分还可以用来计算体积和质量。
当我们需要计算一个曲线绕某个轴旋转一周所形成的立体的体积时，定积分就派上用场了。
1.7定积分的几何应用
2
2
围成图形的面积.
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
解方程组 x 0 x 1 y x 或 2 y 0 y 1 y x
y
y
y xx
2
B
2
即两曲线的交点为(0,0),(1,1)
S = S曲 边 梯 形 OABC - S曲 边 梯 形 OABD
B(1，－ 1)． ∴围成图形 (阴影部分 )面积为
S＝
-2
1
(－ x2－ x＋ 2)dx 9 ＝ . 2
1 3 1 2 ＝ (－ x － x ＋ 2x) 3 2
9 答案： (1) 2
例 2 计算由曲线 y 围成的图形的面积.
2x
，直线 y
x 4 以及
y 2x
x 轴所
解:
两曲线的交点
2
|0 8
8
X型求解法
40 3
x 1 2 y
2
16 2 8
1 2
3
2
[( 4 y )
y ]d y
4
(4 y
44
1 2 1
2
y
2
2
1 6
x 4 y
y ) |0
1 6
3
4
4
40 3
Y型求解法
练习 1（例 2 变式题） ： 计算由曲线 y 2 x 和直线 y x 4 所围成的图形的面积
2π 4 A. B. 5 3 3 π C. D. 2 2 解析：选 B.由图象可知二次函数的表达式为 f(x)＝ 1－ x2，∴ S＝ 1 3 1 1 4 1 2 ＝ (1－ )－(－ 1＋ )＝ . -1 (1－ x )dx＝ (x－3x ) 3 3 3
定积分在几何中的应用
782020年第 5 期中定积分在几何中的应用杨姜维一、平面图形的面积（一）以为积分变量的情形1.在直角坐标中，设曲线（）与直线及轴所围成的平面图形面积为，则面积元素，面积。
例1：求曲线与直线及轴所围成的平面图形的面积。
解：如图1，面积元素，图形面积=2.设曲线与直线及轴所围成的图形面积为，则面积元素，面积。
3.设由，所围成的平面图形的面积：函数由大减小（上减下），积分从左到右；那么，第一种情况里面的面积公式，也可以看作是，轴即直线。
例2：求直线与抛物线所围成的平面图形的面积。
解：由图2分析可知，交点面积元素，图形面积4.任意由所围成的平面图形（图3）的面积。
例3：求抛物线，与轴及直线在第一象限所围成的平面图形的面积。
解：如图4，由交点面积+（二）以为积分变量的情形1.由曲线、直线及轴围成的平面图形面积：。
2.由曲线、直线及轴围成的平面图形面积：。
3.由曲线直线及轴围成的平面图形面积：若，。
可看作是函数由大减小（右减左），积分从下到上。
例4：计算抛物线与直线所围成的图形的面积。
定积分在几何中的应用，主要体现在求解平面图形的面积和旋转体的体积等，文中主要介绍了求解平面图形面积的几种情形，即分别以为积分变量来讨论；求旋转体体积的两种情况，即曲线分别围绕轴和轴旋转一周所得的立体体积。
JIAO HAI TAN HANG／教海探航解：如图5，由交点为方便计算，选取为积分变量，则有4.任意由曲线直线及轴围成的平面图形面积：。
二、旋转体的体积一个平面图形围绕其所在平面上的一条直线旋转一周而成的立体即为旋转体，常见的旋转体有圆柱体、圆锥、圆台、球体等,这些都有对应的体积公式，面对日常生活中所用到的水杯、花瓶等立体物件，求解体积时可考虑以下情况：（一）曲线绕轴旋转的情形由连续曲线与直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体，选为积分变量，该旋转体的体积元素，体积为。
（二）曲线绕轴旋转的情形由曲线、直线及轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得的立体，选为积分变量，该旋转体的体积元素，体积为。
定积分在几何,物理学中的简单应用
定积分在几何,物理学中的简单应用
定积分是一种常见的数学工具，用来解决许多几何和物理问题。
它可以在几何学、物理学中解决积分、面积和容积计算题中应用。
首先，定积分在几何学中的简单应用。
比如，如果我们要计算一个几何图形的面积，则可以通过定积分来计算。
它可以计算任意形状的几何图形的面积，比如三角形、椭圆、圆形等。
它的应用范围非常广泛，比如可以用它来计算面积、周长、体积等。
其次，定积分也可以用在物理学中。
比如，如果我们要计算一个物体在多次不同力作用之下移动的路程，可以用定积分来计算。
它可以帮助我们精确地计算物体受力作用前后的距离，也可以帮助我们精确计算弹性作用力等。
最后，定积分也可以应用于物理学的温度问题中。
比如，我们可以通过定积分求出一个物体在单位温差下的热量传递，也可以求出一个物体的总热量。
还可以用它求解温度场、热传导率、热导率等问题。
以上是定积分在几何、物理学中的简单应用。
定积分是一种通用而有效的数学工具，在几何、物理学中都有着广泛的应用，不仅可以用来解决相关的面积、容积计算题，而且还可以用来解决物理热力学、温度等问题。
只要我们掌握它的基本使用方法以及它的一些特性和用途，就可以在几何、物理学中更好地应用它来解决其它问题。
- 1 -。
1.7.1 定积分在几何中的简单应用
a
O a
b
f (x )d x f (x )d x
a
c
b
a
b
f (x )d x -S f (x )d x
a
c
f
c
f (x )d x 。
c
yf (x)
b x
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成
的曲边梯形位于 x 轴的下方，
一、复习回顾
2、牛顿—莱布尼茨公式
2 2
-1
O
1A
x
-1
＝
2 3
3
1
x
2
0
1 3
x
3
1 0
＝
2 3
-
1 3
＝
1 3
归纳
定 积 分 的 简 单 应 用
求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤：
（1）画草图，求出曲线的交点坐标
（2）将曲边形面积转化为曲边梯形面积 （3）确定被积函数及积分区间 （4）计算定积分，求出面积
四、例题实践求曲边形面积
1.7.1定积分在几何中的简单应用
定 积 分 的 简 单 应 用
一、复习回顾 1、定积分的几何意义：
当 f(x ) 0 时 ， 积 分
a f ( x ) dx
b
在 几 何 上 表 示 由 y = f (x )、
xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y yf (x) O a b y
x
b
思考
如图, 一桥拱的形状为抛 定 积 物线, 已知该抛物线拱的高为 分 常数h, 宽为常数b. 的 2 简 求证: 抛物线拱的面积 S bh 3 单 应 用 建立平面直角坐标系 确定抛物线方程
定积分的基本性质及应用
定积分的基本性质及应用定积分是微积分的重要概念之一，它在数学和各个学科中都有广泛的应用。
本文将重点介绍定积分的基本性质和在实际问题中的应用，并且通过具体的例子来加深理解。
定义：定积分是对一个函数在闭区间上的加权平均值进行求和的过程。
在数学中，一个函数f(x)在[a, b]上的定积分表示为：∫(a to b) f(x) dx其中，∫代表求和的过程，a和b是积分的上下限，f(x)是被积函数。
基本性质：1. 线性性质：定积分具有线性性质，即对于任意两个函数f(x)和g(x)，以及任意的实数k，有以下等式成立：∫(a to b) (f(x) + g(x)) dx = ∫(a to b) f(x) dx + ∫(a to b) g(x) dx∫(a to b) k*f(x) dx = k * ∫(a to b) f(x) dx2. 区间可加性：如果一个函数在闭区间[a, b]上有定义，且在其中一个点c上可导，则该函数在[a, b]上的定积分等于该函数在子区间[a, c]和[c, b]上的定积分之和：∫(a to b) f(x) dx = ∫(a to c) f(x) dx + ∫(c to b) f(x) dx3. 积分中值定理：如果一个函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且在该区间内不恒为0，那么至少存在一个点c，使得：∫(a to b) f(x) dx = f(c) * (b - a)4. 边界性质：对于定积分∫(a to b) f(x) dx，当a等于b时，定积分的值为0。
若a小于b，则定积分的值为正数或负数，具体取决于函数f(x)在[a, b]上的正负性。
5. 非负性质：如果一个函数f(x)在闭区间[a, b]上连续且非负，那么定积分的值也是非负的。
应用：定积分在实际问题中有着广泛的应用，下面将介绍两个具体的应用。
1. 几何应用：定积分可以用于计算曲线与坐标轴之间的面积。
如果一个函数在闭区间[a, b]上非负，那么该函数与x轴围成的曲边梯形的面积可以通过定积分来计算：面积= ∫(a to b) f(x) dx同样的，若函数f(x)在闭区间[a, b]上非正，那么面积可以表示为定积分的绝对值。
定积分在几何上的应用
2
a
y x2 y 2 2 1 2 b a b
4ab sin tdt ab.
2 0
2019/4/7 第六章 定积分的应用
2
o
图6-2-5
a x
8
2.极坐标情形
设由曲线 ( ) 及射线
d
()
d 、 围成一曲边扇 ( ) 形，求其面积．这里， 在[ , ]上连续，且 ( ) 0 ． 1 o 面积元素 dA [ ( )]2 d x 2 图6-2-6
3
a
o
a x
旋转体的体积
V a x a
2 3
图6-2-12
2019/4/7
第六章 定积分的应用
32 3 dx a . 105
16
类似地，如果旋转体是由连续曲线
x ( y ) 、直线 y c 、 y d 及y 轴所围 成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体，
第六章 定积分的应用
1
b
例 1 计算由两条抛物线y 2 x 和 y x 2 所围成的 图形的面积.
解
两曲线的交点
(0,0) (1,1)
选 x 为积分变量 x [0,1]
面积元素 dA ( x x 2 )dx
2 3 x 1 2 A 0 ( x x )dx x . 3 0 3 3
R 2 2
1 2 R x dx R h. 2
23
第六章 定积分的应用
三、平面曲线的弧长
设 A、 B 是曲线弧上的两 个端点，在弧上插入分点
y
M2
M1
A M0
M n1
初中数学知识归纳定积分的计算和应用
初中数学知识归纳定积分的计算和应用初中数学知识归纳——定积分的计算和应用定积分是数学中重要的概念之一，具体来说，它是用来计算曲线与x轴之间的面积的。
在初中数学中，我们通常不会涉及具体的计算过程，但是了解其基本原理和应用是十分重要的。
下面将介绍定积分的计算方法和应用。
一、定积分的计算方法1. 几何意义定积分的计算可以理解为曲线与x轴之间的面积计算。
对于一个函数f(x)，我们可以通过定积分来计算函数在区间[a, b]上的点与x轴之间的面积。
具体而言，这个面积可以被分成许多矩形的和，每一个矩形的高度为f(x)，宽度为dx。
当我们将这些矩形的面积相加，并让dx无限接近于0时，我们就可以得到一个近似的结果。
通过极限的推导，我们可以得到定积分的计算公式：∫[a, b] f(x)dx。
2. 基本计算方法在初中数学中，我们主要了解一些基础的函数的定积分计算方法，例如多项式函数、幂函数和三角函数等。
对于多项式函数，我们可以使用基本的求导公式来计算其定积分。
例如，对于函数f(x) = ax^n，其中a和n为常数，我们可以使用公式∫x^n dx = (1/n+1)x^(n+1) + C，其中C为常数，来计算其定积分。
对于幂函数和三角函数，我们可以使用换元法和分部积分法来计算其定积分。
通过合适的变量替换和部分积分，我们可以将原函数转化为更简单的形式，从而进行计算。
3. 数值计算方法在实际问题中，我们常常无法找到函数的原函数，无法直接计算定积分。
这时，我们可以使用数值计算方法来近似计算定积分的值。
常用的数值计算方法有矩形法和梯形法。
矩形法将区间分成若干个小矩形，然后计算这些小矩形的面积之和作为定积分的近似值。
梯形法则是将区间分成若干个梯形，计算这些梯形的面积之和作为定积分的近似值。
随着小矩形或梯形越来越多，近似值也会越来越接近真实值。
二、定积分的应用1. 几何应用定积分的最主要的应用之一就是计算曲线与x轴之间的面积。
例如，我们可以通过定积分来计算椭圆、抛物线和心形线等曲线的面积。
定积分和二重积分的几何意义
定积分和二重积分的几何意义一、定积分的几何意义1. 当函数y = f(x)≥0，x∈[a,b]时- 定积分∫_{a}^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x轴所围成的曲边梯形的面积。
例如，对于函数y=x + 1，x∈[0,2]，∫_{0}^2(x + 1)dx表示由直线y=x + 1，x = 0，x = 2和x轴围成的梯形的面积。
2. 当函数y = f(x)≤0，x∈[a,b]时- 定积分∫_{a}^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x轴所围成的曲边梯形面积的相反数。
例如，对于函数y=-x，x∈[0,1]，∫_{0}^1(-x)dx的值为-(1)/(2)，其绝对值(1)/(2)就是由y =-x，x = 0，x = 1和x轴围成的三角形的面积。
3. 当函数y = f(x)在[a,b]上有正有负时- 定积分∫_{a}^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x轴所围成的图形在x轴上方部分的面积减去在x轴下方部分的面积。
例如，对于函数y=sin x，x∈[0,2π]，∫_{0}^2πsin xdx=0，这是因为sin x在[0,2π]上，x轴上方和下方的图形面积相等。
二、二重积分的几何意义1. 当z = f(x,y)≥0，(x,y)∈ D时（D为积分区域）- 二重积分∬_{D}f(x,y)dσ表示以曲面z = f(x,y)为顶，以xOy平面上的区域D 为底的曲顶柱体的体积。
例如，对于z = x^2+y^2，D为x^2+y^2≤1的圆形区域，∬_{D}(x^2+y^2)dσ表示以抛物面z = x^2+y^2为顶，以单位圆x^2+y^2≤1在xOy平面上的区域为底的曲顶柱体的体积。
2. 当z = f(x,y)≤0，(x,y)∈ D时- 二重积分∬_{D}f(x,y)dσ表示以曲面z = f(x,y)为顶（此时z值为负），以xOy 平面上的区域D为底的曲顶柱体体积的相反数。
定积分的5大几何应用和4大物理应用
定积分的5大几何应用和4 大物理应用定积分几何应用的智轩记忆歌诀上下（曲）原函横（绕X轴旋转）面积（纵周长），左右（曲）反函横周长（纵面积）；两轴轮换形（心）除外，平移（轴）双函识减符。
一、5大几何应用1.1 平面图形的面积应用()()()()babaS f x dxS f x dx⎧=⎪⇒⎨⎪=⎩⎰⎰几何面积：如图阴影部分，恒大于零代数面积：有正负值称为左右曲不相交图形[]()()dcS y y dyψϕ⇒=-⎰，称为上下曲相交图形[]()()baS f x g x dx ⇒=-⎰21()()'()()t t x x t S y t x t dt y y t =⎧⇒=⎨=⎩⎰21()2S d βαρθθ⇒=⎰22211()()2S d βαρθρθθ⎡⎤⇒=-⎣⎦⎰评 注 既然是定积分应用，当然积分方向以常数区间为准。
对上下曲不相交图形，被积函数为上原函数减去下原函数（远减近），对左右曲不相交图形，被积函数为右反函数减去下反函数（远减近），对于相交图形则为远减近的绝对值，画图以面积所在的位置定正负。
1.2 平面曲线的弧长 22()()ds dx dy =+[][]212122222()1()()()()()()()x at t y f x l y dxx x t l x t y t dt y y t l d θθρρθρθρθθ'=⇒=+=⎧''⇒=+⎨=⎩'=⇒=+⎰⎰⎰1.3 旋转体积()()22bx aby aV y x dxV x y x dxππ=⇒=⋅⎰⎰[]22222121()()2()()bx aby aV y x y x dx y y V x y x y x dxππ⎡⎤=-⎣⎦⇒=-⎰⎰设为远曲线，为近曲线评 注 对左右曲图形()()()()212221 2dx cdy c V y x y x y dy V x y x y dy ππ=-⎡⎤⎣⎦⇒⎡⎤=-⎣⎦⎰⎰ 。
定积分在几何中的应用-文档资料
直线与x轴交点为(4,0)
SS S x [ 2 x d x (x 4 ) d x ] 1 2 2xd
0 4 4 8 8
x d x 4 ) d x ( x d x x d x ) ( x 4 ) d x 2 (x 2 2
0 4 4
0 4
4
确 定的 f () x 原 函 数 F () x
1、平面图形的面积
y
y f( x )
y
y f ( x ) 2
y f ( x ) 1
o
a
b x
o
Байду номын сангаас
a
b x
曲边梯形的面积
曲边梯形的面积
A f(x ) dx a
b
A [ f( x ) f ( x )] dx 1 a 2
b
1、平面图形的面积
2 y x 4 及其在点 ( 2 , 0) 和 ( 2 , 0 ) 处 2． 求抛物线 的切线所围成的图形的面积 .
x d x x d x
2 0 0
1
1
D
2 y xx
A
1
2
例 2 计算由曲线 y 2x ， 直线 y x 4以及 x 轴所围 成的图形的面积.
解 两曲线的交点
( 0 ,0 ) ,( 8 ,4 ) .
y 2x
S2
S1
y x 4
y 2x y x4
3
y x2
A 6 x x) d x 1 (x
3 2 2
0
3 yx 6 x
A x 6) xd x 2 (x
2 3 0
3
于是所求面积
定积分的几何应用
ρ 2 = a 2 cos 2θ
例 6 求心形线r = a (1 + cosθ ) 所围平面图形的 面积( a > 0) .
1 2 解 dA = a (1 + cosθ )2 dθ 2
利用对称性知
dθ
1 2 π A = 2 ⋅ a ∫ (1 + cos θ ) 2 dθ 2 0 2 π = a ∫ (1 + 2 cos θ + cos 2 θ )dθ 0 π 1 = 3 πa 2 . 2 3 θ + 2 sinθ + sin 2θ =a 2 4 0 2
定积分几何应用 定积分
一、元素（微元）法 二、平面图形的面积 三、立体的体积 四、平面曲线的弧长 五、旋转曲面的侧面积
一、元素（微元）法
1.回顾曲边梯形求面积的问题 回顾
曲边梯形由连续曲线
y
y = f ( x ) ( f ( x ) ≥ 0) 、
x 轴与两条直线 x = a 、
y = f ( x)
成的图形的面积. 成的图形的面积
解 两曲线的交点
y = x−4
y2 = 2x y = x−4
⇒ ( 2,−2), (8,4).
y2 = 2 x
选 y 为积分变量
y ∈ [−2, 4] −
A = ∫ dA = 18.
−2 4
y2 dA = y + 4 − dy 2
2 参数方程所表示的函数
2）设想把区间[a , b ]分成 n 个小区间，取其中任 ） 个小区间， 一小区间并记为[ x , x + dx ]，求出相应于这小区 的近似值.如果 间的部分量 ∆ U 的近似值 如果 ∆ U 能近似地表示 为[a , b ]上的一个连续函数在 x 处的值 f ( x ) 与 dx 的乘积， 的乘积，就把 f ( x )dx 称为量U 的元素且记作 dU ，即 dU = f ( x )dx ；
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定积分的几何应用教学内容与曲边形的面积、变速直线运动的路程一样，自然科学、社会科学和生产实践中出的一大类量都是累积效应的结果，它们可以用Riemann 和式的极限来刻画，即用定积分来度量。
本节讲解定积分的几何应用，主要是以下几方面的内容：（1） 微元法；（2） 平面图形的面积；（3） 已知平行截面面积的立体体积和旋转体的体积； （4） 曲线的弧长及其曲率； （5） 旋转曲面的面积。
教学思路和要求（1）微元法是由局部性态的讨论最后合成整体的累积效应、即定积分的方法，要详细讲透其思想，使学生在今后能够举一反三地使用；（2）在用推导公式时，注意说明选取微元的着眼点与理由，并注意说明整体微元如何导出，使学生学会灵活运用微元法；（3）注意几何背景的说明，并结合实际例子说明一些图形的特点与画法，以及积分区间的选取；（4）注意指出对于复杂的几何图形，在计算时要具体问题具体分析，可能要分几部分来讨论，不能直接套用公式。
最好举例说明处理方法。
教学安排一．微元法为说明具有哪些特征的量有望用定积分刻画，我们再度分析一下⎰=ba dtt f I )(的概念。
首先，对固定的函数f ，I 取决于积分区间。
定积分具有一个十分重要的性质：可加性，即],[b a 被分为许多部分小区间，则I 被相应地分成许多部分量i I ∆，总量I 等于诸部分量之和，即∑∆=i I I 。
凡能用定积分描述的量都应具有这种可加性的特征。
其次，由于可加性，问题便化为部分量I ∆的计算。
对连续函数f ，记⎰=xadt t f x I )()(，则有)()(x f x I ='，所以)()()()(dx o dx x f x I x x I I +=-∆+=∆。
由此可见，对于能用定积分刻画的量，其在区间微元],[dx x x +上的部分量应能近似地表现为dx 的线性函数，即dx x f I )(≈∆，而且其误差应是比dx 高阶的无穷小。
上面的dx 是自变量的微分，在应用中常被称作x 的微元。
它是一个变量。
一方面，在变化过程的每一时刻，即相对静止时，它是一个有限量；另一方面，其变化趋势则以0为极限，即是一个无穷小量。
记微分形式dx x f )(为dI ，在应用中常被称作量)(x I 的微元。
总量I 即是微元dx x f dI )(=的积分。
我们宁愿把dx x f )(称作微元，而不直接称为I 的微分，原因在于实际应用时，往往和上述由积分I 导出微元dI 的过程相反，微元法是由微元dx x f )(出发导出积分，即由局部性态的讨论最后合成整体的累积效应。
如果我们要处理某个量I ，它与变量x 的变化区间],[b a 有关，而且 （1） 满足关于区间的可加性，即整体等于局部之和；（2）它在],[dx x x +上的部分量I ∆近似于dx 的一个线性函数，即)(dx o dI I =-∆，其中dx x f dI )(=称之为量I 的微元。
那么，以微元dx x f dI )(=为被积表达式，作积分即得⎰=badx x f I )(。
诸如弧长、面积、体积、引力、压力、功等几何量和物理量都具有某种可加性，且其小增量均可用微元近似表示，从而它们都可用定积分计算。
在应用问题中往往略去关于)(dx o dI I =-∆的验证。
二．面积问题（直角坐标下的区域）考察由曲线)(x f y =，)(x g y =和直线a x =，b x =（b a <）所围平面图形的面积。
先设g f ≥，变量x 的变化区间为],[b a 。
显然，面积具有关于区间的可加性。
在区间微元],[dx x x +上，相应的小曲边形（图3.4.1中阴影部分）面积A ∆近似等于高为)()(x g x f -，宽为dx 的矩形面积，即 dx x g x f A )]()([-≈∆， 所以，面积微元为dx x g x f dA )]()([-=。
于是，所求的面积⎰-=badx x g x f A )]()([。
如果删去条件g f ≥，同样可得 dx x g x f dA |)()(|-=， 从而⎰-=badx x g x f A |)()(|。
例3.4.1 求由抛物线2x y =及直线x y 3=所围图形的面积（图3.4.2）。
解 先求出两曲线交点为)0,0(和)9,3(。
如果以x 为积分变量，取积分区间为]3,0[，有=-=⎰302)3(dx x x A 2931233032=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 。
如果以y 为积分变量，则应取积分区间为]9,0[，此时⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=903dy y y A xy 图3.4.229233290223=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=y y 。
三．面积问题（极坐标下的区域）考察介于曲线)(θr r =与射线αθ=和βθ=（πβα20≤<≤）间的曲边扇形的面积，其中)(θr 是连续函数（图3.4.3）。
以θ为积分变量，在区间微元],[θθθd +上对应的小曲边扇形的面积近似于圆扇形的面积，即θθd r A 2)]([21≈∆，所以面积微元θθd r dA 2)]([21=，于是⎰=βαθθd r A 2)]([21。
例 3.4.2 计算心脏线)cos 1(θ+=a r （πθπ≤≤-）所围区域的面积（图3.4.4）。
解 由图形的对称性，只要计算该图形的上半部分的面积，其两倍便是所求图形的面积。
由面积计算公式得⎰+⋅=πθθ022)cos 1(212d a A⎰=πθθ0422cos 4d a⎰=2042c o s 8πθθd a2223224138a a ππ=⋅⋅⋅⋅=。
四．已知平行截面面积求体积设空间立体Ω介于过a x =和b x =点且垂直于x 轴的两平面之间，已知它被过x 点且垂直于x 轴的平面所截出的图形的面积为)(x A （图3.4.5）。
显然，在区间微元],[dx x x +上，Ω的体积微元为一母线与x 轴平行、高为dx ，底面积为)(x A 的柱体体积，即dx x A dV )(=， 所以⎰=badx x A V )(。
例3.4.3 已知一直圆柱体的底面半径为R ，一斜面1π过其底面圆周上一点，且与底面2π成夹角θ，求圆柱被1π，2π所截得部分的体积。
解 取圆柱底面圆周中心为原点，底面2π为xy 平面，1π与圆周交点在y 轴上（图3.4.6）。
这样，对x图3.4.5],[R R y -∈，过)0,,0(y 且与y 轴重直的平面与圆柱被截部分的截面是一个矩形，它的底为222y R -，高为θtan )(R y +。
因此θt a n)(2)(22R y y R y A +-= 所求体积为⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎰⎰--RR R R dy y R R dy y R y V 2222tan 2θ。
括号中第一项是一个奇函数在对称区间上的积分，其值为0；第二项的积分恰为半径为R 的上半个圆的面积，因此θπtan 3R V =。
读者不难发现，如用与x 轴垂直的平面与之相截,截面是直角梯形，用与z 轴垂直的平面与之相截，截面则是弓形，处理都会繁复一些。
因而应对不同问题作具体分析，寻求事半功倍的最佳方案。
五．旋转体的体积由已知平行截面面积计算体积的公式有一个直接的推论，这就是求旋转体体积的公式。
设空间立体Ω为由平面图形}),(0|),{(b x a x f y y x ≤≤≤≤绕x 轴旋转一周而成的旋转体（图3.4.7）。
如用在点)0,(x 处与x 轴垂直的平面截此立体，所得截面显然是一个半径为)(x f 的圆，即截面积为2)]([)(x f x A π=。
因此⎰=badx x f V 2)]([π。
例3.4.4 求椭圆12222=+b y a x 所围图形绕x 轴旋转一周所得椭球的体积。
解 由于22x a aby -=，利用对称性可得⎰⎰-==a adx x a ab dx y V 0222202)(22ππ2032223432ab x x a ab aππ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=。
当b a =时，就得到以a 为半径的球体积为334a π。
六．曲线的弧长设有曲线L 的方程为)(x f y =（b x a ≤≤），其中f 具有连续导数。
今欲求其弧长s （图3.4.8）。
用微元法。
设区间微元],[dx x x +对应于小弧段PQ ，该弧段之长s ∆可用它在P 处切线段PT 的长度来近似，即22)()(dy dx ds s +=≈∆dx x f 2)]([1'+=。
于是曲线L 的弧长为dx x f s b a⎰'+=2)]([1。
当弧L 用参数方程⎩⎨⎧==),(),(t y y t x x βα≤≤t 表示时，dt t x dx )('=，dt t y dy )('=。
从而()dt t y t x dy dx ds 2222)]([)]([)('+'=+=，进而dt t y t x s a⎰'+'=β22)]([)]([。
当曲线L 用极坐标方程)(θr r =， βθα≤≤表示时，由于⎩⎨⎧==,sin )(,cos )(θθθθr y r x 便得θθθd r r dx )sin cos (-'=，θθθd r r dy )cos sin (+'=，从而θd r r dy dx ds 2222)()('+=+=，进而⎰'+=βαθd r r s 22。
例3.4.5 求曲线段2332x y =（31≤≤x ）的弧长。
解 由dx x dx y ds +='+=1)(12得图3.4.8312331)1(321x dx x s +=+=⎰)228(32-=。
例3.4.6 求心脏线)cos 1(θ+=a r 的周长，其中0>a 。
解 由对称性 ='+=⎰πθ022)(2d r r s ⎰+πθθ0cos 222d a==⎰πθθ02cos 4d a a a 82sin80=πθ。
例3.4.7 求椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的周长。
解 椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==,sin ,cos θθb y a x πθ20≤≤。
由对称性，其周长等于它落在第一象限部分的4倍，故⎰+=202222cos sin 4πθθθd b a s ⎰-=2022cos 14πθθεd a ，其中ab a 22-=ε为椭圆的离心率。
椭圆周长表达式中出现的积分⎰-2022cos 1πθθεd （10<<ε）称为第二类椭圆积分。
由于被积函数θε22cos 1-的原函数不能用初等函数来表示，因而椭圆周长必须用数值积分的方法计算。
七．旋转曲面的面积 设曲线L 的方程为)(x f y =， b x a ≤≤。