高三数学12月联考试题 理1
2023-2024学年湖北省部分学校高三上学期12月联考数学试卷+答案解析
2023-2024学年湖北省部分学校高三上学期12月联考数学试卷✽一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则()A. B.C.D.2.()A.B.C.D.3.已知向量，满足，且，则()A.1B.2C. D.4.直线关于y 轴对称的直线方程是() A.B.C.D.5.如图，在棱长都相等的正三棱柱中，P 为棱的中点，则直线与直线BP 所成的角为()A. B.C.D.6.已知是第一象限角，且，则()A.B.C.D.7.已知数列的前n 项和为，且，若恒成立，则k 的最小值是()A.B.4C.D.58.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个实数，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，为函数的不动点.设函数，，若在区间上存在不动点，则a的取值范围是()A. B.C.D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.根据国家统计局发布的数据，我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速如图所示，则()A.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速最高为B.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为C.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的分位数为D.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为10.在椭圆中，F 为椭圆C 的右焦点，A 为椭圆C 的左顶点，B 为椭圆C 短轴上的顶点，若椭圆C 的离心率为，则()A.B.C.大于D.11.已知函数的定义域为，，则()A.B.C.为奇函数D.没有极值点12.如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是，则()A.这两个球体的半径之和的最大值为B.这两个球体的半径之和的最大值为C.这两个球体的表面积之和的最大值为D.这两个球体的表面积之和的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023届河南省部分学校高三12月大联考数学(理)试题(解析版)
2023届河南省部分学校高三12月大联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{A x y ==，{}e x B y y a ==+（a ∈R ），若A B ⋂=∅，则a 的取值范围为（ ） A ．(],1-∞- B ．(),1-∞- C ．()3,+∞ D ．[)3,+∞【答案】D【分析】分别求出集合A 和集合B ，再由A B ⋂=∅进行求解.【详解】由已知，集合A 即函数y = 由不等式2320x x +-≥，即2230x x --≤，解得13x -≤≤，∴{{}[]131,3A x y x x ===-≤≤=-，集合B 即函数e x y a =+的值域，因为指数函数e x y =的值域为()0,∞+，所以函数e x y a =+的值域为(),a +∞，∴{}()e ,xB y y a a ∞==+=+，∵A B ⋂=∅，∴a 的取值范围是[)3,+∞. 故选：D.2．已知复数z 满足(86i)512i z +=+，则z =（ ）A B ．1310C ．1714D ．1513【答案】B【分析】先由复数的运算化简z ，再计算模长.【详解】()512i (86i)11266i 5633i (86i)(86i)10050z +-++===+-，1310z === 故选：B3．已知直线12:210,:220l x y l x my --=++=，若12l l ∥，则1l 与2l 之间的距离为（ ）A ．1B ．2C D 【答案】A【分析】根据直线平行求出m ，再由平行线间的距离公式求解即可. 【详解】因为12l l ∥，所以40m +=，解得4m =-，经检验符合题意；所以2:210l x y -=， 所以1l 与2l之间的距离1d ===， 故选：A4．我国古代历法从东汉的《四分历》开始，就有各节气初日晷影长度和太阳去极度的观测记录，漏刻、晷影成为古代历法的重要计算项目．唐代僧一行在编制《大衍历》时发明了求任何地方每日晷影长和去极度的计算方法——“九服晷影法”，建立了晷影长l 与太阳天顶距θ之间的对应数表（世界上最早的正切函数表）．根据三角学知识知：晷影长l 等于表高h 与天顶距θ正切值的乘积，即tan l h θ=．若对同一表高进行两次测量，测得晷影长分别是表高的2倍和3倍，记对应的天顶距分别为1θ和2θ，则()12tan θθ-=（ ） A ．1- B ．17-C ．13D ．1【答案】B【分析】根据已知条件得出12,tan tan θθ的值，利用两角差的正切公式可得结果. 【详解】由题意知12tan 2,tan 3θθ==，所以()121212tan tan 231tan 1tan tan 1237θθθθθθ---===-++⨯故选：B.5．已知12,F F 是平面内两个不同的定点，P 为平面内的动点，则“12PF PF -的值为定值m ，且12m F F <”是“点P 的轨迹是双曲线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】直接利用双曲线的定义，直接判断，可得答案.【详解】“12PF PF -的值为定值m ，12m F F <”，若0m =，则P 点的轨迹不是双曲线，故充分性不成立；“点P 的轨迹是双曲线”，则必有12,F F 是平面内两个不同的定点，且满足1212PF PF m F F -=<，故必要性成立； 故选：B6．已知()sin 2tan 1f x x x =++，则曲线()y f x =在点ππ,44f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为（ ） A ．26π0x y ++-= B ．23π0x y -+-= C ．426π0x y -+-= D ．426π0x y -++=【答案】C【分析】根据导数几何意义可求得切线斜率π4f ⎛⎫' ⎪⎝⎭，结合π34f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可求得切线方程. 【详解】()212cos 2cos f x x x'=+，2ππ12cos 2π42cos 4f ⎛⎫'∴=+= ⎪⎝⎭， 又πππsin tan 13424f ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，∴所求切线方程为：π324y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即426π0x y -+-=.故选：C.7．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>，F 为C 的下焦点．O 为坐标原点，1l 是C 的斜率大于0的渐近线，过Fl 交1l 于点A ，交x 轴的正半轴于点B ，若||||OA OB =，则C 的离心率为（ ） A ．2 BCD【答案】C【分析】分别表示出A 、B 坐标，利用||||OA OB =求得3a b ，即可求出离心率.【详解】因为F 为双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的下焦点，不妨设()0,F c -，所以过Fy c =-，所以),0B .因为1l 是C 的斜率大于0的渐近线，所以可设1:al y x b=.由y x ca y x b⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩联立解得：A .因为||||OA OB =，所以2223c +=，解得：3ab .所以离心率c e a ====. 故选：C8．函数π()sin()0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将()f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数()g x 的图象，则()g x =（ ）A ．2cos2xB π326x ⎛⎫- ⎪⎝⎭C π326x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．π2sin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】由函数周期可求出ω，又由特殊值5π()=012f 和(0)=1f ，可求得ϕ和A ，进而可得()f x 的解析式，再利用sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()g x 的解析式．【详解】依题意有2π11π5π2π1212ω⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，得2ω=， 又5π5π()sin 2+=01212f A ϕ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，所以5π2+π2π,Z 12k k ϕ⨯=+∈，且π02ϕ<<，得π=6ϕ，又π(0)sin =16f A =，得=2A ，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()πππ2sin 22cos 2666g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：A ．9．已知12F F 、分别是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆C 过(2,0)A -和(0,1)B 两点，点P 在线段AB 上，则12PF PF ⋅的取值范围为（ ）A ．11,5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．371,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[2,1]-D ．11,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】根据椭圆过点求出,a b ，再求出焦点坐标，利用数量积的坐标运算结合二次函数的最值求解. 【详解】因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,0)A -和(0,1)B ，所以224,1a b ==，可得223c a b - 所以1(3,0)F -，23)F ，设(,)P x y ，由题意直线AB 的方程为12xy +=-，即220x y ， 因为点P 在线段AB 上，所以(,)P x y 满足20,01x y -≤≤≤≤，则222212(,),)3(22)3PF PF x y x y x y y y ⋅=--⋅-=+-=-+-224115815()55y y y =-+=--，[0,1]y ∈，当45y =时，12min 11()5PF PF ⋅=-，当0y =时，12max ()1PF PF ⋅=， 所以12PF PF ⋅的取值范围为11,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：D10．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①0,()0x f x ∀><；②对任意正数x ，y ，当x y <时，()()yf x xf y >恒成立．若(0.1)(sin0.1)sin0.1,,(tan0.1)tan0.110f a f b c f ===，则（ ） A ．a b c >> B ．c a b >>C ．b c a >>D ．b a c >>【答案】A【分析】根据函数性质可知，()f x x在(0,)+∞上单调递减，又根据0,()0x f x ∀><，可构造函数()xf x ，且函数()xf x 为单调递减，又因为sin0.10.1tan0.1<<，即可得出a b c >>. 【详解】由题意可知，对任意正数x ，y ，当x y <时，()()yf x xf y >，即()()f x f y x y> 所以函数()f x x在(0,)+∞上单调递减，即导函数2()()0xf x f x x -<'在(0,)+∞恒成立； 可得()()xf x f x '<；构造函数()()g x xf x =，则()()()2()0g x f x xf x f x ''=+<<， 所以，()()g x xf x =在(0,)+∞上单调递减；设函数()sin ,(0,1)h x x x x =-∈，则()cos 10h x x '=-<，即()h x 在(0,1)为单调递减，所以(0.1)(0)0h h <=,即sin 0.10.1<； 设函数()tan ,(0,1)x x x x ϕ=-∈，则221()1tan 0cos x x xϕ'=-=-<， 即()ϕx 在(0,1)为单调递减，所以(0.1)(0)0ϕϕ=<，即0.1tan 0.1<； 综上可知，sin0.10.1tan0.1<<，(sin 0.1)(0.1)(tan 0.1)g g g >> 即(0.1)(sin 0.1)sin 0.10.1(0.1)(tan 0.1)tan 0.110f f f f =>> 即得a b c >>. 故选：A.11．在四面体ABCD 中，,AB AC AB BD ⊥⊥，异面直线AC 与BD 所成的角为30︒，二面角C AB D--为锐二面角，4,5,3AB AC BD ===，则四面体ABCD 的体积为（ ） A ．234153- B ．3C ．5D ．10【答案】C【分析】根据题意，如图，将四面体放在长方体中，为三棱锥D ABC -，过点D 作DE BE ⊥于E ，则DE ⊥平面ABC ，结合二面角和异面直线所成的角的定义可得30DBE ︒∠=，求出DE ，利用三棱锥的体积公式计算即可.【详解】如图，在长方体中，4,5,3AB AC BD ===， 过点D 作DE BE ⊥于E ，则DE ⊥平面ABC ， 所以DBE ∠为二面角C AB D --的所成角，为锐角，DBE ∠为异面直线AC 与BD 的所成角，所以30DBE ︒∠=，所以1322DE BD ==. 由题意知，该四面体ABCD 为三棱锥D ABC -， 由1102ABCSAC AB =⋅=， 所以该三棱锥D ABC -的体积为113105332D ABC ABCV SDE -=⋅=⨯⨯=. 故选：C.12．将曲线221:1(0)169x y C x +=≤和曲线222:1(0)49x y C x +=>合成曲线E ．斜率为k 的直线l 与E 交于A ，B 两点，P 为线段AB 的中点，则下列判断错误的是（ ） A ．曲线E 所围成图形的面积小于36 B ．曲线E 与其对称轴仅有两个交点 C ．存在k ，使得点P 的轨迹总在某个椭圆上 D ．存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上 【答案】D【分析】画出曲线表示的图形，分析AB 选项；选项C ，分析当0k =时，设()()1122,,,A x y B x y ，且12x x <，()00,P x y ，然后根据题意分析点P 的轨迹总在某个椭圆上即可；选项D ，结合C 的部分条件，加上中点公式，以及差点法，若存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上，则0000(R)y k x k -∈为常数，化简分析即可解决问题. 【详解】选项A ：如图，曲线E 所围成图形在正方形PQGH 内部，由正方形PQGH 的面积为6636⨯=，所以曲线E 所围成图形的面积小于36，故A 正确； 由A 中图形可知，曲线E 关于x 轴对称，所以曲线E 与其对称轴仅有两个交点，故B 正确； 选项C ：设()()1122,,,A x y B x y ，且12x x <，()00,P x y 1212022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， 当0k =时，12120,x x y y <<=221122221169149x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减的：22112202164x x x x -=⇒=- 所以222200200122222x x x x x x y y y y y -+⎧=-==-⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪==⎩， 又2222149x y +=，所以()22220000114992y y x x -+=⇔+= 故存在0k =，使得点P 的轨迹总在某个椭圆上，C 正确选项D ： 由()00,P x y ，1212022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，由题意若存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上，则221122221169149x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得：2222121201649x x y y --+=即()()2212121201649y y y y x x --++=， 又12012122y y y y y k x x +=⎧⎪-⎨=⎪-⎩，所以()2201212201649ky x x x x --+=， 即()222101294162x x y k x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-， 又1202x x x +=， 所以若存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上， 则0000(R)y k x k -∈为常数，即()222112012941622x x x x k k x x ⎛⎫- ⎪+⎝⎭--()()()()2221012121212941622x x kk x x x x k x x k x x ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭=--- ()()2222210121294162x x kk x x k x x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭=- ()22020112994162kk x kk x k x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-为定值， 因为分子分母12,x x 次数不同，故若上式为定值，则22020*******kk x kk x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，即00990416kk kk +=+=，无解，假设不成立， 所以不存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上 所以选项D 不正确； 故选：D.二、填空题13．已知向量,a b 满足||3,||1,||2a b a b ==+=，则a b +与a b -的夹角为_______________． 【答案】π3【分析】根据平面向量夹角公式，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】()222||242431240a b a ba b a b a b a b +=⇒+=⇒++⋅=⇒++⋅=⇒⋅=，()2222312a b a b a b a b -=-=+-⋅=+-，设a b +与a b -的夹角为([0,π])θθ∈，()()22311cos 2242a b a b ab a b a bθ⋅-+--==⨯⋅-==+， 因为[0,π]θ∈， 所以π3θ=， 故答案为：π314．直线l 过点(2,1)且与圆22:(1)9C x y ++=相切，则直线l 的方程为______________． 【答案】2x =或43110x y +-=.【分析】先求出圆的圆心和半径，然后分直线l 的斜率不存在和存在两种情况求解即可. 【详解】由22(1)9x y ++=，得圆心为(1,0)C -，半径3r =，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =，此时直线恰好与圆相切，符合题意， 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1(2)y k x -=-，则3=，22(13)9(1)k k -=+，解得43k =-，所以直线l 的方程为41(2)3y x -=--，即43110x y +-=，综上，直线l 的方程为2x =或43110x y +-=， 故答案为：2x =或43110x y +-=.15．如图，直线x t =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于A ，B 两点，D 为C 上异于A ，B 的一点，若AD BD ⊥，则点D 到直线x t =的距离与p 的比值为__________．【答案】2【分析】根据题意得到,A B 的坐标，设(002D x px ，由题意可得1AD BD k k ⋅=-，列出方程即可得到结果.【详解】因为直线x t =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于A ，B 两点，不妨设((2,,2A t pt B t pt 且D 为C 上异于A ，B 的一点，由抛物线的对称性，不妨设(002D x px则00002222AD BD px pt px ptk k -+由AD BD ⊥000022221px pt px pt-+=-化简可得()()02021p x t x t -=--，因为0x t ≠，则02p t x =-即点D 到直线x t =的距离与p 的比值为02t x p-= 故答案为:216．若12,x x 是函数()()21e 12xf x ax a =-+∈R 的两个极值点，且212x x ≥，则实数a 的取值范围为_____________． 【答案】2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】根据极值点定义可将问题转化为y a =与()e xg x x=有两个不同交点12,x x ；利用导数可求得()g x 单调性，并由此得到()g x 的图象；采用数形结合的方式可确定1201x x <<<且e a >；假设212x x t ==，由()()12g x g x =可确定2ln 2t =，进而得到()1g x 的值，结合图象可确定a 的取值范围. 【详解】()e x f x ax '=-，12,x x 是()f x 的两个极值点，12,x x ∴是e 0x ax -=的两根，又当0x =时，方程不成立，y a ∴=与e xy x=有两个不同的交点；令()e x g x x =，则()()21e x x g x x -'=， ∴当()(),00,1x ∈-∞时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>；()g x ∴在()(),0,0,1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，则()g x 图象如下图所示，由图象可知：1201x x <<<且e a >； 212x x ≥，212x x ∴≥； 当212x x =时，不妨令212x x t ==，则2e e 2ttt t =，即2e 2e t t =，2e 2t∴=，解得：2ln 2t =，∴当212x x =时，()()2ln 212e 22ln 2ln 2g x g x ===， ∴若212x x ≥，则2ln 2a ≥，即a 的取值范围为2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 故答案为：2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】方法点睛：本题考查根据极值点求解参数范围问题，可将问题转化为已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)的问题，解决此类问题的常用的方法有： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin ()sin a A c C b c B -=-． (1)求A 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形，求bc 的取值范围．【答案】(1)π3(2)1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据正弦定理可得到222a b c bc =+-，进而得到2cos 1A =，即可求出A 的大小； （2）根据三角形内角和为π，且ABC 为锐角三角形，从而可得出C 的取值范围，再将bc 转化为关于tan C 的函数即可求解．【详解】（1）由sin sin ()sin a A c C b c B -=-，则根据正弦定理有22()a c b c b -=-，即222a b c bc =+-， 又由余弦定理有2222cos a b c bc A =+-，得2cos 1A =， 所以在ABC 中，得π3A =；（2）由ABC 为锐角三角形，且π3A =，则有π022ππ032C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，得ππ,62C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即tan C ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，即(1tan C ∈，所以根据正弦定理有π1sin sin sin 111322,2sin sin sin tan 22C C Cb Bc C C C C ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭====+∈ ⎪⎝⎭． 18．已知直线12:20,:20()l x ay l ax y a a -+=+-=∈R ，若1l 与2l 的交点P 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)若圆22:220E x y mx ny +--=的圆心在直线y =上，且与曲线C 相交所得公共弦MN的长为m ，n 的值． 【答案】(1)224(2)x y x +=≠(2)1,m n =1,m n =-=【分析】（1）由12,l l 判断出点P 的轨迹为以AB 为直径的圆(除去点(2,0)B )，进而求其方程; （2）由圆E 的圆心的位置得m ,n 的关系,两个圆方程相减得MN 的方程,由弦长求m ,n . 【详解】（1）当0,2y x ==-故直线1:20l x ay -+=过定点(2,0)A -，直线2:l (2)0a x y -+=，当2,0x y ==，故其过定点(2,0)B ， 又110a a ⨯-⨯=,所以12l l ⊥,所以点P 的轨迹为以AB 为直径的圆， 当0a =时，两直线交点为()2,0A -，但交点P 无法与点B 重合， 故需除去点()2,0B其圆心为原点O ,半径为2r =,所以曲线C 的方程为224(2)x y x +=≠； （2）由(1)知,曲线C 的方程为224(2)x y x +=≠，又圆22:220E x y mx ny +--=的圆心为(,)E m n 在直线y =上,所以n =,0m ≠，两圆方程作差得两个圆的公共弦MN 的方程为224mx ny +=,即20mx -=,因为两个圆的公共弦MN 的长为原点O 到直线MN 的距离为1||d m ==,所以=解得1m =或1m =-,所以1,m n =1,mn =-=19．在正项数列{}n a 中，11a =，2n ∀≥，12113232n n a a a a n --+++=-． (1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足11b a =，221b a =-，且21ln ln 2ln n n n b b b +++=，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：221n n n T T T ++⋅<．【答案】(1)21n a n =- (2)证明见解析【分析】（1）由12113232n n a a a a n --+++=-可得到12121n n a n a n ++=-，根据累乘法求通项的方法，即可求出{}n a 的通项公式；（2）由21ln ln 2ln n n n b b b +++=可知221n n n b b b ++⋅=，可判断数列{}n b 为等比数列，根据等比数列的前n项和公式求出n T ，2210n n n T T T ++⋅<-即可求证. 【详解】（1）解：已知1211,23232n n a a a a n n --+++=≥-①， 则212312a a a -=⇒=，且11211,323212n n n a a a aa n n -+-++++=--②， -②①，得1212n n n a a an +-=-，整理得121,221n na n n a n ++=≥-， ∴3253a a =，3475a a =，，212325n n a n a n ---=-12123n n a n a n --=-，， 由累乘法可得()`2212133n n a n a n n a -=-=⇒≥， 又11a =，23a =，符合上式， 所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =-.（2）由（1）可知111b a ==，221312b a =-=-=，因为21ln ln 2ln n n n b b b +++=，所以221n n n b b b ++⋅=，则数列{}n b 是首项为1，公比为212b b =的等比数列， ∴()1122112n n n T -==--，()()()222121212121n n n n n n T T T ++++∴⋅---=⋅--()2222222221221n n n n n ++++=--+--+20n =-<，即221n n nT T T ++⋅<，得证.20．在边长为2的正方形ABCD 外作等边BCQ △（如图1），将BCQ △沿BC 折起到PBC 处，使得PD =E 为AB 的中点（如图2）．(1)求证：平面PDE ⊥ 平面PCD ； (2)求二面角E PD A --的正弦值． 【答案】(1)答案见解析 7【分析】取BC 中点为O ，建立以O 为原点的空间直角坐标系.（1）设平面PDE 法向量为m ，平面PCD 法向量为n ， 利用0m n ⋅=可证面面垂直.（2）求得平面P AD 的法向量t ，后用向量法可求得二面角E PD A --的余弦值，后可求得正弦值. 【详解】（1）因四边形ABCD 为正方形，则DC CB ⊥.又在三角形PCD 中，2PC CD ==，22PD =222PC CD PD +=， 则DC PC ⊥.又CB ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，∩CBPC C =， 则DC ⊥平面PCD .取BC 中点为O ，AD 中点为F ，连接PO ，OF . 则//,,OF CD PO BC OF BC ⊥⊥.又PO ⊂平面PCD ，则DC PO ⊥， 得FO PO ⊥.故如图建立以O 为原点，以射线OB 方向为x 轴正方向，射线FO 方向为y 轴正方向， 射线OP 方向为z 轴正方向的空间直角坐标系.则()()()()()000120100100120,,，,,，,,，,,，,,O A B C D ----， (()003110,，,,P E -.得()()(103123113,,，,,，,,PC PD PE =--=---=--， 设平面PDE 法向量为()111,,m x y z =，则11111123030PD m x y z PE m x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取(123,,m =-.设PCD 法向量为()222,,x n y z =，则2222223030PD n x y z PC n x z ⎧⋅=---=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，取()3,0,1n =-. 因330m n ⋅=-+=，则平面PDE ⊥ 平面PCD .（2）由（1）分析可知，平面PDE 法向量为()123,,m =-. 又()123,,PA =--，设平面P AD 的法向量()333,,t x y z =， 则333332230230PD t x y z PA n x y z ⎧⋅=---=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，取()032,,t =-. 则434342714334227cos ,m t m t m t⋅====++⨯+⨯⋅，又由图可知二面角E PD A --平面角α为锐角，则427cos α=， 得二面角E PD A --的正弦值4271497sin α=-=.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为1(1,0)F -，其左顶点为A ，上顶点为B ，且1F 到直线AB 的距离为7||7OB （O 为坐标原点）．(1)求C 的方程；(2)若椭圆2222:(01)x y E a bλλλ+=>≠且，则称椭圆E 为椭圆C 的λ倍相似椭圆．已知椭圆E 是椭圆C的3倍相似椭圆，直线:l y kx m =+与椭圆C ，E 交于四点（依次为M ，N ，P ，Q ，如图），且2PQ NQ MQ +=，证明：点(,)T k m 在定曲线上． 【答案】(1)22143x y +=； (2)证明见解析.【分析】（1）由已知条件推导出2227(1)a b a +=-，221b a =-，由此能求出椭圆C 的方程． （2）分别联立直线与椭圆C 、椭圆E 的方程消元，可证明线段NP 、MQ 中点相同，然后结合2PQ NQ MQ +=可得3MQ PN =，由此可证明.【详解】（1）()(),0,0,A a B b -，∴直线AB 的方程为1x ya b+=-，即0bx ay ab -+=，1(1,0)F ∴-到直线AB 的距离为d ==， 2227(1)a b a ∴+=-，又221b a =-，解得2a =，b = ∴椭圆C 的方程为：22143x y +=．（2）椭圆C 的3倍相似椭圆E 的方程为221129x y +=， 设N ，P ，M ，Q 各点坐标依次为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，3(x ，3)y ，4(x ，4)y ， 将y kx m =+代入椭圆C 方程，得：222(34)84120k x kmx m +++-=， ∴222221(8)4(34)(412)48(43)0km k m k m ∆=-+-=+->，(*)122834km x x k +=-+，212241234m x x k -=+，12x x ∴-， 将y kx m =+代入椭圆E 的方程得222(34)84360k x kmx m +++-=，342834km x x k ∴+=-+，234243634m x x k -=+，34x x -1234x x x x ∴+=+，∴线段NP ，MQ 中点相同，MN PQ ∴=，由2PQ NQ MQ +=可得NM PN =，3P MQ N ∴=，所以3412||3||x x x x -=-，∴3=化简得221294k m +=，满足(*)式，∴2244193m k -=，即点(,)k m 在定曲线2244193y x -=上．22．已知()2ln =++f x x x a x （a ∈R ）．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若1a =，函数()()1g x x f x =+-，1x ∀，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠，()()122112x g x x g x x x λ->-恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】(1)当0a ≥时，()f x 在区间()0,∞+上单调递增；当a<0时，()f x在区间⎛ ⎝⎭上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增. (2)15,ln 222⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦【分析】（1）先求出()f x 的导数()22x x af x x'++=，根据a 的取值范围进行分类讨论即可；（2）当120x x >，时，()()122112x g x x g x x x λ->-⇔()()21212111g x g x x x x x λ->-，去绝对值后，构造函数求解即可.【详解】（1）由已知，()2ln =++f x x x a x （a ∈R ）的定义域为()0,∞+，()2221a x x a f x x x x++'=++=，①当0a ≥时，0f x在区间()0,∞+上恒成立，()f x 在区间()0,∞+上单调递增；②当0a <时，令()0f x '=，则220x x a ++=，180a ∆=->，解得10x =<（舍），20x >，∴当x ⎛∈ ⎝⎭时，220x x a ++<，∴()0f x '<， ∴()f x在区间⎛ ⎝⎭上单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，220x x a ++>，∴0f x ，∴()f x在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增， 综上所述，当0a ≥时，()f x 在区间()0,∞+上单调递增；当a<0时，()f x在区间⎛ ⎝⎭上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增. （2）当1a =时，()()221ln ln 1g x x x x x x x =+-++=--+，()0,x ∈+∞，1x ∀，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠， ()()122112x g x x g x x x λ->-等价于()()1221121212x g x x g x x x x x x x λ-->， 即()()21212111g x g x x x x x λ->-， 令()()g x h x x=，()0,x ∈+∞，则()()212111h x h x x x λ->-恒成立 ()()()()2222212ln 1ln 2x x x x xg x g x x x x h x x x x ⎛⎫-----+ ⎪'---⎝⎭'===， 令()2ln 2F x x x =--，()0,x ∈+∞，则()21122x F x x x x-'=-=，令()0F x '=，解得x =x ⎛∈ ⎝⎭时，()0F x '>，()Fx 在区间⎛ ⎝⎭单调递增；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0F x '<，()F x 在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递减，∴当()0,x ∈+∞时，()Fx的最大值为1152ln 20222F =--=--<⎝⎭， ∴当()0,x ∈+∞时，()215ln 2ln 2022F x x x =--≤--<，即()22ln 20x x h x x --'=<，∴()()g x h x x=在区间()0,∞+上单调递减，不妨设12x x <，∴1x ∀，2(0,)x ∈+∞，有()()12h x h x >，又∵1y x=在区间()0,∞+上单调递减， 1x ∀，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，有1211x x >， ∴()()212111h x h x x x λ->-等价于()()121211h x x x x h λ⎛⎫->- ⎪⎝⎭， ∴()()2121h x x x h x λλ->-，设()()G x h x xλ=-，()0,x ∈+∞，则1x ∀，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，()()2121h x x x h x λλ->-等价于()()12G x G x >，即()G x 在(0,)+∞上单调递减，∴()()20G x h x xλ''=+≤，∴()2x h x λ'≤-，∴()222ln 2x x x F x xλ--≤-⋅=-， ∵当()0,x ∈+∞时，()F x的最大值为15ln 222F =--⎝⎭， ∴()F x -的最小值为15ln 222+，∴15ln 222λ≤+，综上所述，满足题意的实数λ的取值范围是15,ln 222⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦.【点睛】本题第（2）问解题的关键点有两个，一个是将()()122112x g x x g x x x λ->-等价转换为()()21212111g x g x x x x x λ->-，便于构造函数；另一个是通过构造函数()()g x h x x =，借助导数判断出函数()h x 的单调性去绝对值.。
2022届山东省高三上学期12月名校大联考数学试题(解析版)
2022届山东省高三上学期12月名校大联考数学试题一、单选题1．设集合{}2230A x x x =--≤，{}15B x x =≤<，则A B ⋃=（ ）A ．[)1,2-B ．[]1,3-C ．[)1,5-D ．[]1,3【答案】C【分析】首先求出集合A ，然后根据并集的概念即可求出答案. 【详解】因为2230x x --≤，所以()()310x x -+≤，所以13x -≤≤， 因为{}13A x x =-≤≤，又因为{}15B x x =≤<，所以{}|15A B x x ⋃=-≤<. 故选：C. 2．若复数1i11i+=+-z ，则z 的虚部为（ ） A ．i B ．i -C ．1D ．1-【答案】D【分析】根据题意先求出z ，进而得到z ，最后求出它的虚部.【详解】由题意，()21i 1i 111i 1i 2z ++=+=+=+-，所以1i z =-，它的虚部为-1.故选：D.3．若0.235log 2,log 2,a b c e ===，则,,a b c 为（ ） A ．b a c << B ．c a b << C ．b c a << D ．a b c <<【答案】A【分析】根据对数换底公式，结合指数函数与对数函数的单调性直接判断. 【详解】由对数函数的单调性可知3330log 1log 2log 31<<<=，即01a <<，且21log 3a=， 5550log 2log 2log 51=<<=，且21log 5b=， 又22log 3log 5<，即11a b<，所以a b >， 又根据指数函数的单调性可得0.201c e e =>=， 所以b a c <<， 故选：A.4．最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）．该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”．其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水．已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．当盆中积水深九寸（注：1尺=10寸）时，平地降雨量是（ ） A ．9寸 B ．7寸 C ．8寸 D ．3寸【答案】D【分析】由题意求得盆中水的体积，再除以盆口面积即得．【详解】由已知天池盆上底面半径是14寸，下底面半径上6寸，高为18寸，由积水深9寸知水面半径为1(146)102⨯+=寸，则盆中水体积为()22196106105883ππ⨯⨯++⨯=（立方寸）所以平地降雨量为2588314ππ=⨯（寸），故选：D ．【点睛】本题考查圆台的体积计算公式，正确理解 题意是解题关键．本题属于基础题． 5．如下图，一个“心形”由两个函数的图象构成，则“心形”上部分的函数解析式可能为（ ）A ．2|4y x x =-B ．24y x x =-C ．22||y x x =-+D ．22y x x -+【答案】C【分析】根据心形”上部分的函数图象关于y 轴对称，排除部分选项，再根据函数的最大值判断.【详解】由函数图象知：“心形”上部分的函数图象关于y 轴对称，而24y x x =-y||y x =0，0），（-2，0），（2，0），当02x <<时，2222x y +==，当且仅当x =x 要求；y =0，0），（-2，0），（2，0），当02x <<时，1y ，当1x =时，函数取得最大值1，符合要求；故选：C6．已知函数132,1(),1x e x f x x x x -⎧<=⎨+⎩则f [f (x )]<2的解集为（ ）A ．(1－ln 2，＋∞)B ．(－∞，1－ln 2)C ．(1－ln 2，1)D ．(1，1＋ln 2)【答案】B【分析】根据题意，由分段函数的解析式分段分析函数的单调性，综合可得函数()f x 在R 上为增函数，设()t f x =，若(())2f f x <，分析可得1t <，即()1f x <，结合函数的单调性分析可得121x e -<，解可得x 的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，函数132,1(),1x e x f x x x x -⎧<=⎨+⎩，当1x <时，1()2x f x e -=，为增函数，且()f x f <（1）2=， 当1x 时，3()f x x x =+，为增函数，且()f x f （1）2=， 则函数()f x 在R 上为增函数， 设()t f x =若(())2f f x <，即()2f t <，则有1t <， 即()1f x <，则有121x e -<，解可得12x ln <-， 则(())2f f x <的解集为(,12)ln -∞-； 故选：B ．【点睛】本题考查分段函数及运用，涉及不等式的解法，注意分析函数()f x 的单调性． 7．已知1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，,A B 是椭圆上关于x 轴对称的两点，2AF 的中点P 恰好落在y 轴上，若20BP AF ⋅=，则椭圆C 的离心率的值为（ ）A B ．13C D ．12【答案】A【分析】求得,,A B P 的坐标，利用20BP AF ⋅=列方程，化简求得椭圆C 的离心率. 【详解】依题意可知AB x ⊥轴，且AB 过左焦点1F ，不妨设222,,,,0,2b b b A c B c P a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于20BP AF ⋅=，所以()222222242224333,2,20222a c a c b b b c c c a a a a --⎛⎫⎛⎫⋅-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()22222430a c a c --=，422431030c a c a -+=，()()2222330ca c a --=，223c a =或223c a =（舍去），所以221,3c e a ==故选：A8．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()31x f x =-，则使不等式()839x x f e e --<成立的x 的取值范围是（ ）A ．(ln3,)+∞B ．(0,ln 3)C ．(),ln3-∞D ．()1,3-【答案】C【分析】由奇函数性质确定函数在R 上的单调性，然后利用函数单调性化简不等式，再解指数不等式．【详解】当0x <时，()31x f x =-是增函数且()0f x <，又函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =满足()31xf x =-，所以，函数()y f x =在R 上是连续函数，所以函数()f x 在R 上是增函数，8(2)9f -=-，∴8(2)(2)9f f =--=()83(2)9x x f e e f --<=，∴32x x e e --<，即2230x x e e --<，(3)(1)0x x e e -+<，又10x e +>，∴3<x e ，ln3x <，即原不等式的解集为(,ln3)-∞．故选：C.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查解指数不等式．利用奇偶性与单调性可化函数不等式为一般的无函数号“f ”的不等式，在解指数不等式时要注意指数函数的值域，即0x e >． 二、多选题9．下列说法中错误的是（ ）A ．已知(1,3)a =-，(2,6)b =-，则a 与b 可以作为平面内所有向量的一组基底B ．直线l 的方向向量为(1,1,2)a =-，直线m 的方向向量为1(2,1,)2=-b ， 则l 与m 垂直C ．若两非零向量a ，b 满足||||a b a b +=-，则a b ⊥D ．平面直角坐标系中，(1,1)A ，(4,2)B ，(5,0)C ，则ABC 为锐角三角形 【答案】AD【分析】A. 根据2a b =-判断；B.由0a b ⋅=判断；C.根据||||a b a b +=-，由()()22a b a b +=-判断；D. 由10BA BC ⋅=-<判断.【详解】A. 因为2a b =-，所以a 与b 不可以作为平面内所有向量的一组基底，故错误； B.因为直线l 的方向向量为(1,1,2)a =-，直线m 的方向向量为1(2,1,)2=-b ，且0a b ⋅=，所以l 与m 垂直，故正确；C.因为两非零向量a ，b 满足||||a b a b +=-，所以()()22a b a b +=-，即 0a b ⋅=，则a b ⊥，故正确；D. 因为(1,1)A ，(4,2)B ，(5,0)C ，所以()()3,1,1,2BA BC =--=-，则10BA BC ⋅=-<，所以ABC ∠为钝角，则ABC 为钝角三角形，故错误；故答案为：AD10．若a ，b 为正实数，则a b >的充要条件为（ ） A ．11a b> B ．ln ln a b > C ．ln ln b a a b < D ．e e -<-a b a b【答案】BD【分析】根据不等性质及对数函数的单调性直接判断A 、B 选项，构造函数，求导判断单调性可判断C 、D 选项. 【详解】A 选项：由0a b >>，得11a b<，A 选项错误； B 选项：由函数ln y x =在()0,+∞上单调递增，所以ln ln a b >正确，B 选项正确；C 选项：设函数()ln x f x x=，()0,x ∞∈+，()21ln xf x x -'=，令0fx ，得x e =，所以函数()f x 在()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减，所以f a 与f b 的大小关系无法判断，即ln ln b a a b <不一定成立，C 选项错误；D 选项：设函数()xg x e x =-，()0,x ∞∈+，()1x g x e '=-，()0,x ∞∈+时0g x恒成立，即()g x 在()0,+∞上单调递增，所以f af b ，即a b e a e b ->-，所以e e -<-a b a b 成立，D 选项正确； 故选：BD.11．设函数()cos (0)f x x x ωωω=->，已知()f x 在[0,]π上有且仅有3个零点，则下列结论正确的是（ ）A ．在(0,)π上存在12,x x ，满足()()124f x f x -=B ．()f x 在(0,)π上有2个最大值点C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．ω的取值范围为1319,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】AD【分析】先将函数化简变形，然后根据()f x 在区间[0,]π上有且仅有3个零点，画出大致图象，可得区间长度π介于3[,)2T OA T OA ++，再用ω表示周期，得ω的范围【详解】()cos 2sin (0)6f x x x x πωωωω⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭，则函数()f x 的大致图象如图所示，当0x =时，2sin 16y π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为0>ω，所以0x >时，()f x 在y 轴右侧第一个最大值区间内单调递增， 因为()f x 在[0,]π上有且仅有3个零点，所以π的位置在C 与D 之间（包括C ，不包括D ），令()2sin 06f x x πω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则,6x k k Z πωπ-=∈，得1,6x k k Z ππω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，所以y 轴右侧第一个零点的横坐标为6πω，周期2T πω=，所以3662T T πππωω+≤<+，即232662πππππωωωω+≤<+⋅，解得131966ω≤<，所以D 正确，在区间[0,]π上，函数()f x 达到最大值和最小值，所以在(0,)π上存在12,x x ，满足()()124f x f x -=，所以A 正确，由图象可得，()f x 在(0,)π上不一定有2个最大值点，所以B 错误， 因为ω的最小值为136，所以02x π<<时，11,661222x πππππω⎛⎫-<-<∉- ⎪⎝⎭，所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调递增，所以C 错误， 故选：AD12．如图，矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻折成△1A DE ．若M 为线段1A C 的中点，则在ADE 翻折过程中，下面四个命题中正确的是（ ）A ．BM 是定值B ．点M 运动轨迹在某个圆周上C ．存在某个位置，使1DE A C ⊥D ．1A 不在底面BCD 上时，则//MB 平面1A DE【答案】ABD【分析】取CD 中点F ，利用面面平行的性质判断D 选项，再利用余弦定理判断AB 选项，利用投影的性质可判断C 选项.【详解】如图所示，取CD 中点F ，连接MF ，BF ，AC ， 则1//MF A D ，//BF DE ，∴平面//BMF 平面1A DE ，//BM ∴平面1A DE ，D 选项正确；由1BFM A DE ∠=∠，11=2MF A D =定值，BF DE ==定值， 由余弦定理2222cos MB MF FB MF FB MQB =+-⋅⋅∠，∴BM 为定值，A 选项正确；M ∴是以点B 为圆心，BM 为半径的圆周上，B 选项正确，1A C 在平面ABCD 中的射影为AC ，且AC 与DE 不垂直，所以不存在某个位置，使1DE A C ⊥，C 选项错误； 故选：ABD. 三、填空题13．已知sin 3cos 36ππθθ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 2θ=_________【分析】利用三角恒等变换化简求值.【详解】由sin 3cos 36ππθθ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得sin cos cos sin 3cos cos sin sin 3366ππππθθθθ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即sin θθ=-，tan θ=-所以22tan tan 21tan θθθ==-，14．已知向量a ，b 满足||1a =，||2b =，()a a b ⊥-，则a 与b 的夹角是______． 【答案】4π 【分析】由()a a b ⊥-可得a b ⋅，再利用夹角公式求得夹角. 【详解】由()a a b ⊥-，得2()0a a b a a b ⋅-=-⋅=， 所以21a b a ⋅==，所以1cos ,12a b a b a b⋅===⨯⋅ 所以,4a b π=，故答案为：4π. 15．能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________． 【答案】y =sin x （答案不唯一）【详解】分析：举的反例要否定增函数，可以取一个分段函数，使得f （x ）>f （0）且（0，2］上是减函数.详解：令0,0()4,(0,2]x f x x x =⎧=⎨-∈⎩，则f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f（x ）在［0，2］上不是增函数.又如，令f （x ）=sin x ，则f （0）=0，f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f （x ）在［0，2］上不是增函数.点睛：要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值0x ，使0()p x 不成立即可.通常举分段函数. 四、双空题16．复印纸幅面规格采用A 系列，其幅面规格为：①1239,,,,A A A A 所有规格的纸张的幅宽（以x 表示）和长度（以y 表示）的比例关系都为:x y =②将1A 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为2A 规格；2A 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为3A 规格；；如此对开至9A 规格，现有1239,,,,A A A A 纸各一张，若5A 纸的幅宽为2dm ，则1A 纸的面积为______2dm ，这9张纸的面积之和等于______2dm ．【答案】【分析】由题设知1239,,,,A A A A 的等比数列，设1A 长宽,)a结合已知即可求a ，进而求1A 纸的面积；它们的面积是首项为12的等比数列，利用等比数列前n 项和公式求和即可.【详解】由题意，若1A 长宽,)a ，2A 长宽(a ，3A 长宽)2a ，…∴4(22a =，可得8a =，则1A 长宽，故其面积为2dm .由上知：9张纸的面积是首项为12的等比数列，∴9张纸的面积之和等于91)2112-=-2dm .故答案为：五、解答题17．下面问题的条件①3BA =，②BC =③BD =④60A ∠=︒有多余，现请你在①3BA =，④60A ∠=︒中删去一个，并将剩下的三个作为条件解答这个问题． 已知ABC 中，D 是AC 边的中点，你删去的条件是_____请写出用剩余条件解答本题的过程． (1)求AC 的长；(2)BAC ∠的平分线交BC 于点E ，求AE 的长．注：如果选择删去条件①和条件④分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)条件选择见解析，2AC =；(2)AE =【分析】（1）删①：设AD CD x ==，BA y =，在ABD △和ABC 中，分别应用余弦定理列出方程，通过解方程即可求出AC 的长； 删④：设AD CD x ==，在ABD △和CBD 中，分别应用余弦定理，求出cos ADB ∠和cos CDB ∠的值，根据cos cos ADB CDB ∠=-∠即可求出AC 的长；（2）根据ABEACEABCS SS+=，利用三角形的面积公式即可求出AE 的长．(1)删①：设AD CD x ==，BA y =，在ABD △中，由余弦定理，得227x y xy +-=， 在ABC 中，由余弦定理，得22427x y xy +-=， 联立，解得1x =，3y =，所以3BA =，2AC =； 删④：设AD CD x ==，在ABD △中，由余弦定理，得22cos ADB ∠==在CBD中，由余弦定理，得2cos CDB ∠==∵cos cos ADB CDB ∠=-∠，2=1x =，所以2AC =； (2)由（1）知删①和删④都能得出2AC =，3BA =， 60BAC ∠=︒， 因为ABEACEABCSSS+=，所以1113sin 302sin 3032sin 60222︒︒︒⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯⨯AE AE所以AE =18．已知数列{}n a 满足11a =-，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21n n S n n a +=+，(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若2co π2s n nn b a =，求数列{}n b 的前100项和100T ． 【答案】(1)23n a n =- (2)19800【分析】（1）由题意得出()211(1)(1)1++++=++n n S n n a ，然后与原式结合，两式相减并化简求出1n n a a +-，最后根据等差数列的定义求得答案；（2）结合（1），分别讨论()21n k k *=-∈N ，()4*=∈n k k N 和()42*=-∈n k k N 三种情况，分别求出n b ，进而求出100T . (1)因为()21n n S n n a +=+，所以()211(1)(1)1++++=++n n S n n a ，两式相减得12n n na na n +-=，所以12n n a a +-=．又11a =-，所以数列{}n a 是首项为1-，公差为2的等差数列，所以12(1)23n a n n =-+-=-.(2)由2cos2n n n b a π=得，当()21n k k *=-∈N 时，0n b =， 当()4*=∈n k k N 时，2n n b a =， 当()42*=-∈n k k N 时，2n n b a =-， 所以()()()222222100428610098T a a a a a a =-+-++-()()()()()()424286861009810098a a a a a a a a a a a a =-++-+++-+()()21002461004450100(1197)198002a a a a a a +=++++=⨯⨯=⨯+=.19．《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体．“刍薨”字面意思为茅草屋顶，图1是一栋农村别墅，为全新的混凝土结构，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图2，屋顶五面体为刍薨”，其中前后两坡屋面ABFE 和CDEF 是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD 和FBC 是全等的三角形，点F 在平面ABCD 和BC 上射影分别为H ，M ，已知5HM =m ，10BC =m ，梯形ABFE 的面积是FBC 面积的2.2倍．设π04FMH θθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭．（1）求屋顶面积S 关于θ的函数关系式．（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为()0k k >，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16k ．现欲造一栋总高度为6m 的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？ 【答案】（1）160π0cos 4S θθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭；（2）当θ为π6时，该别墅总造价最低． 【分析】（1）先求得FM ,进而求得屋顶面积S 关于θ的函数关系式. （2）首先求得别墅总造价，利用导数求得当π6θ=时，总造价最低. 【详解】（1）由题意，知FH ⊥平面ABCD ， 因为HM ⊂平面ABCD ，所以FH HM ⊥． 在Rt FHM △中，5HM =，FMH θ∠=，所以5cos FM θ=． 所以FBC 的面积为1525102cos cos θθ⨯⨯=．所以屋顶面积25251602222 2.2cos cos cos FBC BFE S SS θθθ=+=⨯+⨯⨯=梯形A ． 所以S 关于θ的函数关系式为160π0cos 4S θθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭．（2）在Rt FHM △，5tan FH θ=，所以下部主体高度为65tan h θ=-． 所以别墅总造价为()1601665tan 16cos y S k h k k k θθ=⋅+⋅=⋅+-⋅ 16080sin 2sin 968096cos cos cos k k k k k θθθθθ-=-+=⋅+．设()2sin cos f θθθ-=，π04θ<<，则()22sin 1cos f θθθ-'=，令()0f θ'=，得1sin 2θ=，又π04θ<<，所以π6θ=． ()f θ'与()f θ随θ的变化情况如下表：θπ0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭π6ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()f θ'-+()f θ3所以当π6θ=时，()f θ在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值． 所以当θ为π6时，该别墅总造价最低．20．如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，将正方形ABCD 沿EF 折成如图2所示的二面角，且二面角的大小为60︒，点M 在线段AB 上（包含端点）运动，连接AD ．(1)若M 为AB 的中点，直线MF 与平面ADE 的交点为O ，试确定点O 的位置，并证明直线//OD 平面EMC ；(2)是否存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60︒？若存在，确定出M 点位置；若不存在，请说明理由．【答案】(1)点O 在EA 的延长线上且与点A 间的距离为2，证明见解析(2)存在点M ，为线段AB 上靠近A 或B 的一个四等分点，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60︒【分析】（1）通过构造中位线的方法，结合线面平行的判定定理来确定O 点的位置并证得//OD 平面EMC .（2）建立空间直角坐标系，利用向量法，结合直线DE 与平面EMC 所成的角为60︒列方程，由此求得M 点的位置. (1)因为直线MF ⊂平面ABFE ，故点O 在平面ABFE 内，也在平面ADE 内，所以点O 在平面ABFE 与平面ADE 的交线（即直线AE ）上，延长,EA FM 交于点O ，连接OD ，如图所示．因为∥AO BF ，M 为AB 的中点，所以OAM FBM ≌，所以OM MF =，即M 是OF 的中点，2AO BF ==，故点O 在EA 的延长线上且与点A 间的距离为2，连接DF 交EC 于点N ，因为四边形CDEF 为矩形，所以N 是DF 的中点．在矩形ABFE 中，点M 是AB 的中点，易证≌AOM BFM ，所以=OM FM ，则M 是OF 的中点，连接MN ，则MN 为DOF △的中位线，所以∥MN OD ， 又MN ⊂平面EMC ，OD ⊄平面EMC ，所以直线//OD 平面EMC .(2)由已知可得EF AE ⊥，EF DE ⊥，又EA DE E =， 所以EF ⊥平面ADE ，且60DEA ∠=︒所以平面ABFE ⊥平面ADE ，因为60DEA ∠=︒，DE AE =，所以ADE 为等边三角形，取AE 的中点H ，连接DH ，则DH AE ⊥，所以DH ⊥平面ABFE过点H 作直线∥HT EF ，以为坐标原点，以HA ，HT ，HD 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，(1,0,0),3),(0,3),(1,4,0)--E D C F ，所以(1,0,3),(1,3)ED EC ==设(1,,0)(04)M t t ≤≤，则(2,,0)EM t =设平面EMC 的法向量为(,,)m x y z =，00m EM m EC ⎧⋅=⎨⋅=⎩即20430x ty x y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取2y =-，则8,3t x t z -==，所以平面EMC 的一个法向量为8,2,3t m t -⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 要使直线DE 与平面EMC 所成的角为60︒，则2283cos ,sin 6028243ED m t t <>==︒=-⎛⎫++ ⎪⎝⎭，即22332419t t =-+，整理得2430t t -+=，解得1t =或3t = 所以存在点M ，即为线段AB 上靠近A 或B 的一个四等分点，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60︒.21．2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏.如图所示，A 、B 两个信号源相距10米，O 是AB 的中点，过O 点的直线l 与直线AB 的夹角为45，机器猫在直线l 上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A 点的信号比接收到B 点的信号晚8v 秒（注：信号每秒传播0v 米）.在时刻0t 时，测得机器鼠距离O 点为4米.（1）以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻0t 时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l 不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？ 【答案】（1）(40)，；（2）没有.【分析】（1）设机器鼠位置为点P ，由题意可得8PA PB v v v -=，即810PA PB -=<，可得P 的轨迹为以A 、B 为焦点的双曲线的右支，分析,,a b c 取值，即得解双曲线的方程，由||4OP =可得P 点坐标.（2）转化机器鼠与直线l 最近的距离为与直线l 平行的直线1l 与双曲线相切时，平行线间的距离，设1l 的方程为y x m =+，与双曲线联立，求出m 的值，再利用平行线间的距离公式，即得解【详解】（1）设机器鼠位置为点P ，()50A -，、(50)B ，， 由题意可得8PA PB v v v -=，即810PA PB -=<， 可得P 的轨迹为以A 、B 为焦点的双曲线的右支，设其方程为C ：22221x y a b-=（0a >，0b >），则5c =、4a =、3b =，则P 的轨迹方程为C ：221169x y -=（4x ≥），时刻0t 时，||4OP =，即()40，P ，可得机器鼠所在位置的坐标为(40)，； （2）由题意，直线:l y x =，设直线l 的平行线1l 的方程为y x m =+，联立229161444y x mx y x =+⎧⎨-=≥⎩，，可得：22732161440x mx m +++=， 22(32)47(16144)0m m ∆=-⨯⨯+=，解得27m =，又04x ≥，∴032247mx =-≥，∴m = 即1l：y x =l 最近的点， 此时l 与1l的距离为d ==，即机器鼠距离l1.5>，则机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险.22．已知()2123ln 2f x x x x =--，()321ln 6g x x x a x =+-． (1)求()f x 在()()1,1f 处的切线方程；(2)已知()31()6F x g x x =-的两个零点为1212,()x x x x <，且0x 为()F x 的唯一极值点．①求实数a 的取值范围； ②求证：12034x x x +>． 【答案】(1)8250x y +-=; (2)①2e a >;②证明见解析. 【分析】（1）求导3()2f x x x-'=-，进而得到(1),(1)f f '，写出切线方程； （2）①证明：由0a ≤，知函数2()ln F x x a x =-在其定义域内为单调函数，不可能有两个零点，得到0a >，然后利用导数求得函数的极值点0x ，由()00F x <求解；②根据120x x <<>21(1)x t t x =>，由()()12g x g x =，得到212ln 1a t x t =-，再将证12034x x x +>，转化为证22(31)ln 880t t t +-+>，令22()(31)ln 88p t t t t =+-+，用导数法证明即可. (1)解：因为21()23ln 2f x x x x =--， 所以定义域为(0,)+∞所以33()2,(1)4,(1)2=--=-=-''f x x f f x ，所以切线方程为8250x y +-=； (2)①证明：2()ln F x x a x =-，若0a ≤，则函数2()ln F x x a x =-在其定义域内为单调函数，不可能有两个零点， 所以0a >,由()20a F x x x '=-==，得0x =当x ⎛∈ ⎝，()0F x '<；x ⎫∈+∞⎪⎪⎭，()0F x '>；所以()F x 在⎛ ⎝上单调递减，⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，因为当x 趋近+∞时，()F x 趋近+∞；当x 趋近0时，()F x 趋近+∞， 要使()F x 有两个零点，只要满足()00F x <，即202e =-<⇒>F a a ；②因为120x x <<>21(1)x t t x =>，由()()12F x F x =，所以221122ln ln -=-x a x x a x ，即2221111ln ln x a x t x a tx -=-，因此212ln 1a tx t =-，而要证12034x x x +>，只需证1(31)t x +>即证221(31)8t x a +>，即证22ln (31)81a tt a t +>-， 由0,1a t >>，只需证22(31)ln 880t t t +-+>，令22()(31)ln 88p t t t t =+-+，则1()(186)ln 76p t t t t t '=+-++，令1()(186)ln 76n t t t t t =+-++，则261()18ln 110(1)t n t t t t -'=++>>，故()n t 在(1,)+∞上递增，()(1)0n t n >=， 故()p t 在(1,)+∞上递增，()(1)0p t p >=， 所以12034x x x +>．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对要证明不等式作等价的变形，不断简化问题.。
辽宁省名校联考2024届高三上学期12月联合考试数学试题
16．如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AA1 3 ， BC 6 ， AB AC 3 2 ， P 为线段
A1B1 上的一点，且二面角 A BC P 的正切值为 3，则三棱锥 A A1C1P 的外接球的体积
为
.
四、解答题 17．已知, 为锐角， tan 2,sin( ) 10 ．
A．22
B．23
C．24
D．25
11．已知 f x 为定义在 R 上的偶函数且 f x 不是常函数，
F x f 1 x 1, g x f x 1 1，若 g x 是奇函数，则（ ）
A． y f x 的图象关于 1,1 对称
B． f x f x 4
C． F x 是奇函数
D． F x 与 g x 关于原点对称
辽宁省名校联考 2024 届高三上学期 12 月联合考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．若复数 z 满足 (1 i)z 3 i ，则 | z | （ ）
A． 5
B．5
C． 2 5
D．20
2．若角 的终边上有一点 P 2, m ，且 sin 5 ，则 m （ ）
(1)求证： A1O BD ；
(2)若直线
EC
和平面
DEF
所成角的正弦值为
4 5
，求三棱锥
A1
DEF
的体积．
22．已知函数 f x ax a e loga x ,a 0 且 a 1．
(1)讨论 f x 的单调性．
(2)若 f x 有且仅有两个零点，求 a 的取值范围．
试卷第 4页，共 4页
B．函数 f x 的图象的一条对称轴方程为 x
湖北省优质重点高中2023届高三12月联考数学试题和参考答案
湖北省优质重点高中2023届高三12月联考数学试题和参考答案一、选择题1.已知函数 $f(x)=ax^2+bx+c$（$a>0$），当 $x\in[-2,2]$ 时，$f(x)$ 的最小值为 $-4$，则 $f(x)$ 最小值的取值为（）A. $-4-\dfrac{b^2}{4a}$B. $-4-\dfrac{4ac-b^2}{4a}$C. $-4+\dfrac{b^2}{4a}$D. $-4+\dfrac{4ac-b^2}{4a}$2.若 $a,b,c$ 均为正整数，且 $a+b+c=10$，则下列四个式子中最大的是（）A. $\dfrac{a^2+b^2+c^2}{10}$B. $\sqrt[3]{abc}$C. $ab+bc+ca$D. $\dfrac{10!}{a!b!c!}$3.已知 $\triangle ABC$ 中，$AB=3$，$AC=4$，$\angle BAC=120^\circ$，则 $\sin B+\sin C=$（）A. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$B. $\dfrac{13\sqrt{3}}{24}$C. $\dfrac{\sqrt{21}}{4}$D. $\dfrac{11\sqrt{3}}{24}$4.设 $a$，$b$，$c$ 为实数，若 $ab+bc+ca=0$，则 $(a+b+c)^3=$（）A. 0B. $a^3+b^3+c^3$C. $3abc$D. $a^3+b^3+c^3+3abc$二、填空题1.在 $x\in[0,1]$ 的条件下，求 $f(x)=\sin(x\pi)+\sin^2(2x\pi)$ 的最大值为\underline{\hphantom{~~~~~~~~~}}。
2.若曲线 $y=\dfrac{2x^3-3x^2+4}{x^2+1}$ 的渐近线为 $y=2x-1$，则曲线 $y=\dfrac{2x^3-3x^2+4}{x^2+1}-2x+1$ 的极限是\underline{\hphantom{~~~~~~~~~}}。
2022年高三12月大联考(全国乙卷)理科数学试卷参考答案
2022年高三12月大联考（全国乙卷） 理科数学·全解全析及评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1230x x (1,)A B ．故选A ．2．C 【解析】由()23i 47i z ，得47i (47i)(23i)12i 23i (23i)(23i)z ，所以复数z 在复平面内所对应的点的坐标为(1,2)，故选C ．3．D 【解析】方法一：设等差数列{}n a 的公差为d ，由4716a S ，84a a ，得41847(71)71620a a d a a,即1111372116730a d a d a d a d ，解得151a d ，所以1(1)6,n a a n d n 则104a ，故选D.方法二：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为174474447()7281622a a a a S a a a，所以42a .由840a a 可得60a ，由42,a 60a 得151a d ，，所以5(1)16,n a n n 则104a ，故选D.4．A 【解析】方法一：由题意，知抛物线C ：24y x 的焦点F 的坐标为(1)0，，2p ，又直线1y kx 过 抛物线C 的焦点()1,0F ，所以10k ，解得1k ，所以直线的方程为1y x ，由214y x y x，得2610x x ，设(,),(,),A A B B A x y B x y 所以6A B x x ，所以||628A B AB x x p ．故选A ． 方法二：由题意，知抛物线C ：24y x 的焦点坐标为0(1)F ，，2p ，又直线1y kx 过抛物线的焦点()1,0F ，所以10k ，解得1k ，所以直线1y kx 的倾斜角4，所以22||8sin pAB. 故选A ． 5．D 【解析】因为=(1,3),(3,4) a b ，所以3129 a b ，A 错误；因为(5,9) a b c ，所以|| a b c ，B 错误；因为()190 ，a b a 所以 a b 与a 的夹角为锐角，C 错误；由题意，知(2,7), a b 又=(7,2)c ，所以()0 a b c ，则 a b 与c 垂直，D 正确.故选D ．2283a283，所以1a ，所以该长方棱台的三视图中侧视图为等腰梯形，其上底长为1，下底长为2，高为2，则侧视图的面积为1(12)232S，故选B. 8．A 【解析】方法一：第一步，选一个盒子放3个球，则这样的选法有13C 3 （种）；第二步，假设③号盒子放3个球，若③号盒子放1绿2白或1绿2红，则①②号盒子只有1种放法，若③号盒子放1红1白1绿，则①②号盒子有2种放法，若③号盒子放2红1白或2白1红，则①②号盒子有2种放法.所以，不同的放法有13C (11222)24 （种），故选A. 方法二：列举法：所以，不同的放法有13C (11222)24 （种），故选A. 9．C 【解析】由31n n S ，得当2n 时，1131n n S ，以上两式相减，得123n n a ，又当1n 时，14a ，所以14,123,2n n n a n ，所以2116,149,2n n n a n ，其前n 项和为121164(999)n n T 99923164192n n ．故选C ．10．C 【解析】211(),(1442222222222)x y x y x y x y x y +++，设(0)22x y t t ，则由题意得22222xyt t ，即22222xyt t ．因为22202222()2x y x y，即22022t t t ，当且仅当22x y ，即1x y 时等号成立，解得24t ，所以1122x y 的取值范围是(1,2]．故选C ． 11．B 【解析】由题意，知21(24)e (12)e 221a b a b b a ，∴21(24)e 21(21)e 2a b a a b b ，∴212(2)e 21(212)e 2a b a a b b ， ∴212[(2)e 2](212)e (21) 2.a b a a b b设()(2)e 2x f x x x ，则()(1)e 1x f x x ，令()()f x g x ，则()e x g x x ，当0x 时，()0g x ，()f x 单调递减，∴()(0)0f x f ，()f x 单调递增，()(0)0f x f ； 当0x 时()0g x ，，()f x 单调递增，∴()(0)0,()f x f f x 单调递增，()(0)0f x f . ∴()(0)0f a f .∴0()2()(21)f a f a f b ，∴()(21)f a f b ，∴21a b ，故选B ．12．C 【解析】由题意，知圆1C 的圆心坐标为(0,3，半径3r，12(2,0),(2,0)F F ，则12||4F F ，在11Rt F C O △（其中O 为坐标原点）中，因为111||||C O C F 所以1160,F C O 所以112120,F C F 121121602F MF F C F（同一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半）.在12F MF △中，由余弦定理，得222221212121212||||||2||||cos 60(||||)||||4F F MF MF MF MF MF MF MF MF a12=16 ，所以1,a 又2,c 所以双曲线2C 的离心率为2e ，故选C ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届广东省衡水金卷高三上学期12月联考数学试题及答案
2024届高三年级12月份大联考数学试题本试卷共4页，22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{A x y ==，{}29B x x =>，则()R A B = ð（ ）A.[3,2]-- B.(,3)(2,)-∞--+∞ C.[2,3]- D.(,2)(3,)-∞-+∞ 2.已知复数i 4i 1z =-，则z 在复平面内对应的点的坐标为（ ）A.41,1717⎛⎫ ⎪⎝⎭B.4,17⎛ ⎝C.41,1717⎛⎫- ⎪⎝⎭D.41,1717⎛⎫-- ⎪⎝⎭3.已知(1,3)a = ，(2,5)b = ，则向量a 在向量b 上的投影向量为（）A.51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.3485,2929⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.24,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.2,15⎛⎫ ⎪⎝⎭4.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()1f x ax =+，若(2)5f -=，则不等式1()2f x >的解集为（）A.11,0,26⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.11,00,26⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.11,,26⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.11,0,26⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5.过抛物线，22(0)y px p =>的焦点F 作直线交抛物线于(1A x ，(2,B x -两点，则p =（ ）A.1B.2C.3D.46.复印纸按照幅面的基本面积，把幅面规格分为A 系列、B 系列、C 系列，其中A 系列的幅面规格为：0A ，1A ，2A ，3A ，…，8A ，所有规格的纸张的长度（以x 表示）和幅宽（以y 表示）的比例关系都为::1x y =；将0A 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为1A 规格；将1A 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为2A 规格；…，如此对开至8A 规格.现有0A ，1A ，2A ，3A ，…，8A 纸各一张，已知0A 纸的幅面面积为21m ，则0A ，1A ，2A ，3A ，…，8A 这9张纸的面积之和是（）A.2511m 256 B.2511m 512 C.2255m 128 D.2255m 2567.已知()0.0,P x y 是l ：60x y +-=上一点，过点P 作圆O ：2216x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，则当直线AB 与l 平行时，直线AB 的方程为（）A.4x y += B.8x y +=C.3316x y += D.338x y +=8.函数2()2ln f x x x x=-+，若21()0f m f n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则213m n +的最小值为（ ）A. B.4 C. D.1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.一组互不相等的样本数据1x ，2x ，…，21n x -，其平均数为x ，方差为2s ，极差为m ，中位数为n ，去掉最大值后，余下数据的平均数为x '，方差为2s '，极差为m '，中位数为n '，则下列选项一定正确的有（）A.n n '= B.x x '> C.22s s '< D.m m '=10.函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，然后向左平移3π4个单位长度，得到函数()g x 的图象，则（ ）A.1A =B.()g x 的解析式为2π2sin 33y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.7π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭是()g x 图象的一个对称中心D.()g x 的单调递减区间是11π5π3π,3π44k k ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 11.若[lg ]M ，(lg )M 分别为lg M 的整数和小数部分，则下列不等式一定成立的有（）A.0.0013log 2.999e < B.[lg ](lg )M M ≥C.42log 3log π1>- D.23log 3log 5>12.棱长为6的正四面体ABCD 的四个顶点均在球O 的表面上，若点M 为球面上的任意一点，则()OA OB OB OA OM ⋅-+⋅ 的取值可以为（ ）A.2-B.3C.5D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数2()tan (0)1a f x x a a ϕ⎛⎫=+> ⎪+⎝⎭的最小正周期为2π，则a =________.14.圆锥侧面展开图为圆心角为直角，半径为2的扇形，则圆锥的体积为________.15.在7()ax y z -+的展开式中，记m n k x y z 项的系数为(,,)f m n k ，若70(3,2,2)9f =，则a 的值为________.16.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，倾斜角为π3的直线2PF 与双曲线C 在第一象限交于点P ，若1221PF F F PF ∠≥∠，则双曲线C 的离心率的取值范围为________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，212b b -=，326b b -=.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若63S b =，124S b =，求n S .18.（本小题满分12分）已知在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22cos 2cos cos c B b B C a -=+.（1）求B ；（2）若AB ，3a =，求ABC △的周长.19.（本小题满分12分）身高体重指数（BMI ）这个概念，是由19世纪中期的比利时通才凯特勒最先提出，它的计算公式如下：身高体重指数（BMI ）=体重（kg ）÷身高（m ）的平方.成人的BMI 数值低于18.5，则体重过轻，在[18.5,24)则正常；在[24,28)为过重，在[28,32)为肥胖，不低于32为非常肥胖，且专家指出最理想的体重指数是22.某科研小组设计了一套方案；并在两类人群中进行对比实验，其中科学饮食组采用科学饮食方案，对照组采用随意饮食方案.半年后，分别在两组中各随机选取100人，BMI 都分布在[]16,36内，按BMI 分成5组进行统计：[16,20)，[20,24)，[24,28)，[28,32)，[32,36).统计后分别制成如下的频率分布直方图.科学饮食组对照组（1）求a ，b ，并估计科学饮食组的80%分位数（结果精确到小数点后两位）；（2）现采用分层抽样的方法从对照组选取的100人中抽取25人，再从这25人中随机抽取2人，记其中“肥胖”（不含非常肥胖）的人数为X ，求X 的分布列与数学期望.20.（本小题满分12分）如图，AE ⊥平面ABCD ，CF ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，//AD BC ，3AB AD ==，6AE BC ==.（1）求证：//DE 平面BCF ；（2）试求CF 为何值时，直线CE 与平面BEF .21.（本小题满分12分）函数2()ln f x x x=+在4x =处的切线方程为()y h x =.（1）求()h x ；（2）已知113a <<，过(,)ab 可作()f x 的三条切线，证明：()()h a b f a <<.22.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22182x y +=，O 为坐标原点，若椭圆C '与椭圆C 的离心率相同，焦点都在同一坐标轴上，椭圆C '的长轴长与椭圆C 的长轴长之比为1:（1）求椭圆C '的方程；（2）已知点P 在椭圆C 上，点A ，B 在椭圆C '上，若OP OA OB =+ ，则四边形OAPB 的面积是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由.。
广东深圳龙岗区四校2024届高三上学期12月联考数学试题(解析版)
龙岗区2024届高三年级12月四校联合考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项考试时间120分钟，满分150分是符合题目要求．1. 设集合{}2,1,0,1,2U =--，{}1,2A =-，{}1,0,1B =−，则()U B A ∪=（ ）A. {}2,1,1,2−−B. {}2,1,2−−C. {}2,2−D. {}2【答案】B 【解析】【分析】根据集合的运算，即可得到结果. 【详解】{}22U B =−, ，(){}2,1,2U B A ∪=−− ，故选：B 2.复数z =） A. i B. i −C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据复数的乘除运算可得解.【详解】3ii 3z ==.故选：A.3. 陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县新石器时代遗址中发现的.如图所示是一个陀螺立体结构图，已知底面圆的直径8cm AB =，圆柱体部分的高5cm =BC ，圆锥体部分的高3cm CD =，则这个陀螺的表面积（单位：2cm ）是（ ）A. 60πB. 76πC. 92πD. 96π【答案】B 【解析】【分析】根据已知求出圆锥的母线长，从而可求出圆锥的侧面积，再求出圆柱的侧面积和底面面积，进而可求出陀螺的表面积【详解】由题意可得圆锥体的母线长为5l ，所以圆锥体的侧面积为58π20π2×=， 圆柱体的侧面积为8π540π×=，圆柱的底面面积为2π416π×=， 所以此陀螺的表面积为40π20π16π76π++=（2cm ）， 故选：B4. 设x ∈R ，则“124x<”是“220x x −>”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数的性质和不等式的解法，分别求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由124x<，可得222x −<，解得<2x −，即集合{|2}A x x =<− 又由不等式220x x +−>，可得(2)(1)0x x +−>，解得{|2B x x =<−或1}x >， 因为集合A B ，所以124x<是220x x +−>的充分不必要条件. 故选：A.5. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为2，且234,3,a a a +成等差数列，则5S =（ ）A. 62B. 93C. 96D. 64【答案】B 【解析】【分析】利用给定条件求出2a ，进而求出1a ，再利用等比数列前n 项和公式计算即得. 【详解】等比数列{}n a 的公比为2，由234,3,a a a +成等差数列，得2432(3)a a a +=+，即222446a a a +=+，解得216,3a a ==，所以553(12)9312S −==−．故选：B6. 已知(0,π)α∈，若πsin 6α −πsin 26α +=（ ） A. 13−B. 23C.13D. 13±【答案】C 【解析】【分析】根据诱导公式及二倍角余弦公式求解.【详解】因为πsin 6α −所以2ππππ21sin 2sin 2cos 212sin 1623633αααα +=+=−=−−=−=， 故选：C7. 随着经济的不断发展，城市的交通问题越来越严重，为倡导绿色出行，某公司员工小明选择了三种出行方式.已知他每天上班选择步行、骑共享单车和乘坐地铁的概率分别为0.2、0.3、0.5.并且小明步行上班不迟到的概率为0.91，骑共享单车上班不迟到的概率为0.92，乘坐地铁上班不迟到的概率为0.93，则某天上班小明迟到的概率是（ ） A. 0.24 B. 0.14C. 0.067D. 0.077【答案】D 【解析】【分析】根据题意，结合相互独立事件的概率乘法公式和条件概率的，以及互斥事件的概率加法公式，准确计算，即可求解.【详解】记小明步行上班为事件A ，骑共享单车上班为事件B ，乘坐地铁上班为事件C ， 小明上班迟到为事件H ，则()0.2P A =，()0.3P B =，()0.5P C =，(|)1(|)0.09,(|)1(|)0.08,(|)1(|)0.07P H A P H A P H B P H B P H C P H C =−==−==−=，所以()()()()()(|)()(|)()(|)P H P AH P BH P CH P A P H A P B P H B P C P H C =++=⋅+⋅+⋅ 0.20.090.30.080.50.070.077=×+×+×=，所以某天上班他迟到的概率是0.077. 故选：D.8. 若函数()()π2sin ,03f x x ωω =−>，π0,2x ∈ 的值域为2 ，则ω的取值范围是（ ） A. 5,43B. 510,63C. 55,63D. 510,33【答案】D 【解析】【分析】利用π0,2x∈ 可得ππππ,3323x ωω −∈−−，再由三角函数图像性质可得πππππ3322ω≤−≤+，解不等式即可求得ω的取值范围. 【详解】根据题意可知若π0,2x∈ ，则可得ππππ,3323x ωω −∈−−；显然当0x =时，可得π2sin 3x ω −，由()f x 的值域为2 ，利用三角函数图像性质可得πππππ3322ω≤−≤+， 解得51033ω≤≤，即ω的取值范围是510,33. 故选：D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列说法正确的是（ ）A. 一组数据10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第60百分位数为14B. 若随机变量X 服从正态分布()23,X σ，且()40.7P X ≤=，则()340.2P X <<= C. 若线性相关系数r 越接近1，则两个变量的线性相关性越强D. 对具有线性相关关系得变量,x y ，其线性回归方程为ˆ0.3y x m =−，若样本点的中心为(),2.8m ，则实数m 的值是4− 【答案】BCD 【解析】【分析】利用百分位数的定义即可判断选项A ，利用正态分布的性质即可判断选项B ，根据线性相关系数的性质即可判断选项C ，利用线性回归方程中的基本量即可判断选项D. 【详解】因为1060%6×=，所以第60百分位数为1416152+=，A 错误； 若随机变量X 服从正态分布()23,X σ，且()40.7P X ≤=， 则()()4140.3P X P X >=−≤=， 则()()340.540.2P X P X <<=−>=，B 正确； 若线性相关系数r 越接近1，则两个变量的线性相关性越强，C 正确； 对于D ，样本点的中心为(),x y ， 所以x m =， 2.8y =，而对于回归直线方程ˆˆˆy bx a =+， 因为此时线性回归方程为ˆ0.3y x m =−， 所以ˆ0.3b =，2.80.3m m =−，所以4m =−，D 正确. 故选：BCD10. 函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ=+><部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） 的A. 函数()f x 最小正周期为πT =B. π6ϕ=C. ()f x 在区间5ππ,126−−上单调递减D. 方程()12f x =在区间[]0,2π内有3个根 【答案】AC 【解析】【分析】根据函数图象可求出函数的最小正周期，进而可求出ω，再利用待定系数法求出ϕ，再根据正弦函数的图象和性质逐一判断即可.【详解】由图可知函数()f x 最小正周期5ππ2π63T=−=，故A 正确； 2ππω=，所以2ω=，则()()sin 2f x x ϕ=+， 又π2πsin 133f ϕ=+=， 所以2ππ2π32k ϕ+=+，所以π2πZ 6,k k ϕ=−+∈， 又π2ϕ<，所以π6ϕ=−，故B 错误；所以()πsin 26f x x =−， 由5ππ,126x∈−−，得ππ3ππ2π,,6222x −∈−−⊆−− ，所以()f x 在区间5ππ,126−−上单调递减，故C 正确；令()π1sin 262f x x=−=，得ππ22π66x k −=+或π5π22π66x k −=+， 所以ππ6xk =+或ππ,Z 2x k k =+∈，又[]0,2πx ∈，所以π6x =或π2或7π6或3π2， 所以方程()12f x =在区间[]0,2π内有4个根，故D 错误.故选：AC .11. 已知等差数列 {}n a 首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S ，若 1089S S S <<，则下列说法正确的是（ ） A. 1 0a d >> B. 使得0n S >成立的最大自然数18n = C. 891011 a a a a +<+ D. n n S a中最小项为1100S a 【答案】ACD 【解析】【分析】结合题意：利用等差数列及1089S S S <<，判断出10a d >>，并可以分析出91090a a a +<<，再利用数列的相关知识即可判断.【详解】根据题意：89989109109100,,0S S S S a S S S S a <−=> ∴<−=< 即9110180,90a a d a a d −=−−< =+< 两式相加， 解得：100a d ><，故A 正确. 由108S S <，可得到91090a a a +<<，所以8110a a +<，()10118940a a a a d +−+=<，1011890a a a a +++<，所以891011a a a a +<+，故C 正确；由以上可得：123910110a a a a a a >>>…>>>>>…，()117179171702a a S a +==>，而()()1181891018902a a S a a +==+<， 当17n ≤时，0n S >；当18n ≥时，0nS <；要使得0n S >成立的最大自然数17n =，故B 错误.当9n ≤，或18n ≥时，0n n S a >；当918n <<时，0nnS a <； 由1011170a a a >>>…>，10111217S 0S S S >>>…>>, 所以n n S a中最小项为1100S a ，故D 正确. 故选：ACD.的12. 如图，正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2，点E 是1AA 的中点，点F 是侧面11ABB A 内一动点，则下列结论正确的为（ ）A. 当F 在1A B 上时，三棱锥1F CD E −的体积为定值B. CE 与BF 所成角正弦的最小值为23C.过1D 作垂直于CE 的平面α截正方体1111ABCD A B C D −所得截面图形的周长为D. 当1D F CE ⊥时，BCF △ 【答案】ABD 【解析】【分析】证明出1//A B 平面1CD E ，可知11111F CD E A CD EC ADE V V V −−−==，可判断A 选项；利用线面角角的定义可判断B 选项；分别取线段AB 、AD 的中点M 、N ，连接AC 、11A C 、11B D 、BD 、MN 、1D N 、1B M ，证明出CE ⊥平面11B D NM ，并计算出四边形11B D NM 的周长，可判断C 选项；分析可知，当BF B M ⊥1时，BF 的长取最小值，可求出BCF △面积的最小值，可判断D 选项. 【详解】对于A 选项，连接1CD 、1A B ，如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D −中，11//A D BC 且11A D BC =， 故四边形11A BCD 为平行四边形，所以，11//A B CD ，因为1A B ⊄平面1CD E ，1CD ⊂平面1CD E ，所以，1//A B 平面1CD E ， 当F 在1A B 上时，点F 到平面1CD E 的距离等于点1A 到平面1CD E 的距离，所以，111111111122123323F CD E A CD E C A D E A D E V V V S CD −−−===⋅=××××=△，A 对； 对于B 选项，连接BE ，因为BF ⊂平面11AA B B ，所以，CE 与BF 所成的最小角为直线CE 与平面11AA B B 所成的角， 因为BC⊥平面11AA B B ，所以，CE 与平面11AA B B 所成角为BEC ∠，因为BE ⊂平面11AA B B ，所以，BC BE ⊥，因为BE =，2BC =，所以，3CE =，所以，2sin 3BC BEC CE ∠==，故CE 与BF 所成角正弦的最小值为23，B 对；对于C 选项，分别取线段AB 、AD 的中点M 、N ，连接AC 、11A C 、11B D 、BD 、MN 、1D N 、1B M ，因为四边形1111D C B A 为正方形，则1111B D A C ⊥，又因为1AA ⊥平面1111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ，则111⊥B D AA ，因为1111AA AC A ∩=，1AA 、11AC ⊂平面11AACC ，所以，11BD ⊥平面11AAC C ， 因为CE ⊂平面11AAC C ，则11CE B D ⊥，在Rt ABE △和1Rt BB M 中，AE BM =，1AB BB =，190BAE B BM ∠=∠=， 所以，1Rt Rt ABE BB M △≌△，则1BMB AEB ∠=∠，所以，190ABE BMB ABE AEB ∠+∠=∠+∠=，则90BOM ∠= ，即1B M BE ⊥，因为BC⊥平面11AA B B ，1B M ⊂平面11AA B B ，则1B M BC ⊥，因为BC BE E = ，BC 、BE ⊂平面BCE ，所以，1B M ⊥平面BCE ， 因为CE ⊂平面BCE ，所以，1CE B M ⊥， 因为M 、N 分别为AB 、AD 的中点，则//MN BD ，因为11//BB DD 且11BB DD =，故四边形11BB D D 为平行四边形，所以，11//B D BD ， 所以，11//MN B D ，则N 、M 、1B 、1D 四点共面，因为11CE B D ⊥，1CE B M ⊥，1111B M B D B ∩=，1B M 、11B D ⊂平面11B D NM ， 所以，CE ⊥平面11B D NM ，过1D 作垂直于CE 的平面α截正方体1111ABCD A B C D −所得截面，则截面为梯形11B D NM ，由勾股定理可得1B M =同理可得1D N =，MN =11B D =所以，截面周长为1111B D MN B M D N ++++C 错； 对于D 选项，由C 选项可知，CE ⊥平面11B D NM ，则点F 的轨迹为线段1B M ， 因为BC⊥平面11AA B B ，BF ⊂平面11AA B B ，则BC BF ⊥，则12BCF S BC BF BF =⋅=△， 当BF B M ⊥1时，即当点F 与点O 重合时，BF 的长取最小值，此时，1min 1BM BB BF B M⋅==，所以，BCF S BF =≥△，D 对. 故选：ABD.【点睛】方法点睛：求空间几何体体积的方法如下：（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知向量(),2a x = ，()3,4b =，若()a b b +⊥ ，则x =______.【答案】11− 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算的坐标表示求得a b +，进而根据向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】因为(),2a x = ，()3,4b =，所以()3,6a b x +=+ ，又因为()a b b +⊥ ，所以()0a b b +⋅=， 即()33460x ++×=，解得11x =−. 故答案为：11−.14. 二项式62x展开式的常数项为______．【答案】60 【解析】【分析】利用二项式定理计算，取3602r −=，解得4r =，代入计算得到答案.【详解】62x 展开式的通项为()()36662166C 2C 21rr r r r r r r T x x −−−+ =⋅⋅=⋅⋅−⋅， 取3602r −=，解得4r =，常数项为()44646C 2160−⋅⋅−=. 故答案为：60.15. 近年来，随着我国城镇居民收入的不断增加和人民群众消费观念的改变，假期出游成为时尚.某校高三年级7名同学计划高考后前往黄山､九华山､庐山三个景点旅游.已知7名同学中有4名男生，3名女生.其中2名女生关系要好，必须去同一景点，每个景点至少有两名同学前往，每位同学仅选一处景点游玩，则7名同学游玩行程安排的方法数为__________. 【答案】150 【解析】【分析】7个人去三个景点，每个景点至少2人，则两个景点两人，一个景点3人，两个关系好的女生要在一起，则为特殊元素，可以分为，她俩单独一个景点和她俩和另外一位同学一个景点，分类相加即可. 【详解】由题，两个关系好的女生要在一起，则为特殊元素，可以分为，她俩单独一个景点和她俩和另外一位同学一个景点，第一类：仅要好的两位女生去同一景点3353C A 60=；第二类：要好的两位女生和另一位同学去同一景点112534C C C 90=， 总方法数为6090150+=. 故答案为：150. 16. 已知数列{}n a 满足()122222n na a a n n ∗+++=∈N ，()214n n b a n n λ=−−+，若数列{}n b 为单调递增数列，则λ的取值范围为______．【答案】38+∞,【解析】【分析】由数列的递推公式可得2,nn a =n ∗∈N ，()2214nnb n n λ=−−+，再由数列的单调性的定义及不等式恒成立思想，结合参变分离法，计算即可求得所求的范围. 【详解】有题意可知，1n =时，12a =， 当2n ≥时， 由()122222n n a a a n n ∗+++=∈N ， 得()112211222n n a a a n n ∗−−+++=−∈N ， 两式相减得：(1)12n n an n =−−=， 所以2n n a =，当1n =，也满足此式， 故2n n a =，n ∗∈N ，则()214nn b a n n λ=−−+=()2214nn n λ−−+， 若数列{}n b 为单调递增数列，则1n n b b +>恒成立， 即()()12221(1)4(1)214n n n n n n λλ+−−+++>−−+，即232nn λ−>对n ∗∈N 恒成立， 设232n nn c −=，则111212352,222n nn n n n n nc c +++−−−−=−=当1,2n =时，321c c c >>，当3n ≥时，数列{}n c 为递减数列，即345c c c >>>⋅⋅⋅， 可得3c 为最大值，且338c =， 则38λ>. 故答案为：38 +∞,.四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18～22题12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos 2b a B c +=， （1）求A ∠；（2）若a =ABCABC 的周长. 【答案】17. π318. 3+ 【解析】【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换分析求解；（2）根据面积公式可得2bc =，利用余弦定理可得3b c +=，即可得结果.小问1详解】因为2cos 2b a B c +=，由正弦定理可得sin 2sin cos 2sin B A B C +=，又因为()sin sin sin cos cos sin CA B A B A B =+=+， 即sin 2sin cos 2sin cos 2cos sin B A B A B A B +=+，则sin 2cos sin B A B =， 且()0,πB ∈，则sin 0B ≠，可得1cos 2A =， 因为()0,πA ∈，所以π3A ∠=. 【小问2详解】 因为ABC的面积为11sin 22==bc A bc ，可得2bc =， 【由余弦定理可得2222cos c b bc A a +−=，即223b c bc +−=， 整理得()2339+=+=b c bc ，可得3b c +=， 所以ABC的周长为3a b c ++=+.18. 已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且2375,a S a ==. （1）数列{}n a 的通项公式；（2）若2n an b =，求数列{}+n n a b 前n 项和.【答案】（1）21n a n =+ （2）28(41)23n n n −++【解析】【分析】（1）根据等差数列的概念得到数列的通项公式；（2）由第一问得到212n n b +=，+n n a b 是一个等差和一个等比，分组求和即可． 【小问1详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d1115336a d a d a d+=+=+ ，解得13a =，2d = 由()11n a a n d +−=，则21n a n =+ 因此，通项公式为21na n =+. 【小问2详解】由（1）可知:21na n =+，则212n nb += ()211121242n n n n b b ++++==因为3128b ==，所以{}n b 是首项为8，公比为4q =的等比数列. 记{}n n a b +的前n 项和为n T ，则()()()1122nn n T a b a b a b =++++⋅⋅⋅++()()1212n n a a a b b b =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()11121nn b q n a a q−++−()284123n n n −=++19. 如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD ，2PA PB AD ===，4BC =.（1）若PB 的中点为E ，求证：//AE 平面PCD ； （2）若2AB =，求平面PCD 与平面PBD 的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2. 【解析】【分析】（1）取PC 的中点F ，连接,EF DF ，由已知易证四边形ADFE 是平行四边形，即//DF AE ，再由线面平行的判定证结论；（2）设O 是AB 中点，根据题设构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】如图，取PC 的中点F ，连接,EF DF ， ∵E 、F 分别为,PB PC 的中点，∴//EF BC ，122EF BC == ∵//AD BC 且122AD BC ==， ∴//EF AD 且EF AD =，故四边形ADFE 是平行四边形，∴//DF AE ，AE ⊄平面PCD ，DF ⊂平面PCD ， ∴//AE 平面PCD.【小问2详解】设O 是AB 中点，作//Oy BC ，由底面ABCD 为直角梯形且//AD BC ，得Oy AB ⊥， 因为PA PB =，所以PO AB ⊥，由面PAB ⊥面ABCD ，面PAB ∩面ABCD AB =，PO ⊂面PAB ，故PO ⊥面ABCD ， 以O 为原点，,,OB Oy OP 所在直线分别为,,x y z 轴建空间直角坐标系，如下图所示：∴()1,0,0A −、()1,0,0B 、()1,4,0C 、()1,2,0D −、(P ，则(BP =−，(1,2,PD =− ，()2,2,0DC =， 设面PBD 的法向量(),,n x y z =，则020n BP x n PD x y ⋅=−= ⋅=−+=，取x =)n = ； 设面PCD 的法向量(),,m a b c =，则22020m DC a b m PD a b ⋅=+= ⋅=−+=，取1a =，得(1,1,m − ； 设平面PCD 与平面PBD 的夹角为θ，则cos m n m nθ⋅==⋅ ∴平面PCD 与平面PBD. 20. 在ABC 中，2B A C =+，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ． （1）若a a bb a b c+=++，判断ABC 的形状； （2）若ABC 不是钝角三角形，求ac的取值范围． 【答案】（1）ABC 为直角三角形（2）1,22【解析】【分析】（1）由2B A C =+得π3B =，由a a bb a bc +=++化简后结合余弦定理得2c a =，由正弦定理有πsin sin 2sin 3C A A=+=，求出A 即可判断ABC 的形状；（2）ABC 不是钝角三角形，则有ππ62C ≤≤，由正弦定理sin 1sin 2a A c C ==+可.【小问1详解】因为2,πB A C A B C =+++=，所以3πB =，即π3B =． 因为a a bb a b c+=++，所以()()a a b c b a b ++=+，即22a ac b +=． 由余弦定理222222cos b a c ac B a c ac =+−=+−，得222a ac a c ac +=+−，即2c a =． 由正弦定理得sin 2sin C A =，即()πsin π=sin 2sin 3A B A A−++=，则有1sin 2sin 2A A A +=，即cos A A =，得tan A =． 由()0,πA ∈，则ππ,62A C ==，所以ABC 为直角三角形． 【小问2详解】因2π3A C +=，所以2π3A C =−． 由ABC 不是钝角三角形，可知2ππ032π02C C<−≤<≤ ，所以ππ62C ≤≤．由正弦定理得πsin sin 13sin sin 2C a A c C C+ ===， 当π2C =时，cos 0C =，所以12a c =． 为当ππ62C ≤<时，12a c =，因为ππ62C ≤<，所以tan C ≥，所以10tan C <≤，所以302<≤，所以122a c <≤． 综上，a c 的取值范围是1,22． 21. 在高三一轮复习中，大单元复习教学法日渐受到老师们的喜爱，为了检验这种复习方法的效果，在A ，B 两所学校的高三年级用数学科目进行了对比测试．已知A 校采用大单元复习教学法，B 校采用传统的复习教学法．在经历两个月的实践后举行了考试，现从A ，B 两校高三年级的学生中各随机抽取100名学生，统计他们的数学成绩（满分150分）在各个分数段对应的人数如下表所示： [)0,90[)90,110[)110,130[]130,150A 校 6 14 50 30B 校 14263822（1）若把数学成绩不低于110分的评定为数学成绩优秀，低于110分的评定为数学成绩不优秀，完成22×列联表，并根据小概率值0.01α=的独立性检验，分析复习教学法与评定结果是否有关； 数学成绩不优秀 数学成绩优秀 总计 A 校 B 校 总计（2）在A 校抽取的100名学生中按分层抽样的方法从成绩在[)0,90和[)90,110内的学生中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行访谈，记抽取的3人中成绩在[)0,90内的人数为X ，求X 的分布列与数学期望．附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ−=++++，其中n a b c d =+++．α0.10 0.01 0.001 x α2.7066.63510.828【答案】（1）列联表见解析，有关 （2）分布列见解析，期望为910【解析】【分析】（1）由题意可得列联表，计算2χ的值，与临界值表比较，即得结论；（2）根据分层抽样确定[)0,90和[)90,110内抽取人数，确定X 的取值，结合超几何分布的概率计算求得每个值相应的概率，即可得分布列，根据期望公式求得数学期望. 【小问1详解】由题意完成22×列联表如下：零假设为0H ：复习教学法与评定结果无关． 则()220.01200206040809.524 6.63560140100100x χ××−×≈>=×××，∴根据小概率值0.01α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为复习教学法与评定结果有关，此推断犯错误的概率不大于0.01． 【小问2详解】按分层抽样的方法从成绩在[)0,90和[)90,110内的学生中随机抽取10人， 则成绩在[)0,90内的人数为3，成绩在[)90,110内的人数为7，故X 的所有可能取值为0，1，2，3，()()03123737331010C C C C 7210,1,C 24C 40P X P X ====== ()()21303737331010C C C C 712,3C 40C 120P X P X ======， 故X 的分布列为则()721719012324404012010E X =×+×+×+×=． 22. 已知数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =，且22n +与4n S 的等差中项为*1,N n S n +∈.（1）求数列{}n a 的通项公式. （2）设()1311nn n n n a b a a ++=-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21nna =− （2）()11121nn n T +-=-+-【解析】【分析】（1）利用等差中项，构造数列，等比数列的知识得出； （2）采用裂项相消法，注意分n 为奇数偶数. 【小问1详解】因为22n +与4n S 的等差中项为1n S +，所以12422n n S S n +=++，即121n n S S n +=++. 当1n =时，2121224S a a S =+=+=，则23a =.当2n ≥时，12n n S S n −=+， 所以11221n n n n S S S S +−−=−+，所以121n n a a +=+，可变形为()1121n n a a ++=+， 所以112(2)1n n a n a ++=≥+，且21121a a +=+也符合，所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，所以12n n a +=，所以21nna =−， 即数列{}n a 的通项公式为21n n a =−. 【小问2详解】方法一()()()()()1113132211111.21212121n n n n n n n n n n n n a b a a +++⎛⎫+⋅- ⎪=-⋅=-⋅=-⋅+ ⎪----⎝⎭ 当n 为奇数时，22334111111111111212121212121212121n n n n T ++=--++--+--=----------- . 当n 为偶数时， 22334111111111111212121212121212121n n n n T ++=--++--+++=-+--------- . 所以数列{}n b 的前n 项和为()11121n nn T +-=-+-. 方法二()()()()()111313221111121212121n n n n n n n n n n n n a b a a +++⎛⎫+⋅- ⎪=-⋅=-⋅=-⋅+ ⎪----⎝⎭. ()()223341111111111111212121212121212121n n n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-+++-+++-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .。
辽宁省沈阳市五校协作体2022-2023学年高三上学期12月联考数学试题及答案
2022-2023(上）沈阳市五校协作体高三联考考试时间：120分钟考试分数：150分试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷选择题（1－12题，共60分）和第Ⅱ卷(非选择题，13－22题，共90分)。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
作答时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效。
第Ⅰ卷(选择题共60分)一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合，则（）....2、设，若复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点位于实轴上，则（）....3、已知，则（）....4、设则的大小关系为（）....5、攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑。
如图所示的带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该屋顶的体积为（）....6、已知双曲线的渐近线方程为，则（）....7、已知直线既是曲线的切线，又是曲线的切线，则（）....8、已知，若函数有且只有两个零点，则实数的取值范围为（）....二、多选题（每题5分，共20分，全部选对得5分，漏选得2分，错选得0分）9、数列的首项为，且，是数列的前项和，则下列结论正确的是（）..数列是等比数列..10、已知抛物线的焦点为，是抛物线上两动点，且的最小值为，是线段的中点，是平面内一定点，则下列结论正确的是（）..若，则到轴距离为.若，则.的最小值为11、设函数，则下列结论正确的是（）.若，则.存在，使得的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称.若在上有且仅有个零点，则的取值范围为.在上单调递增12、如图，在棱长为的正方体中，分别是的中点，则下列结论正确的是（）.四点共面.异面直线与所成角的余弦值为.平面截正方体所得截面为等腰梯形.三棱锥的体积为第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题（每题5分，共20分）13、若向量的夹角为，，则___________。
河北省保定市重点高中高三数学12月联考试题 理
河北省保定市重点高中2015届高三数学12月联考试题 理1．已知复数z=312ii-+（i 为虚数单位），则复数z 为（ ） A ．17i - B ．1755i - C ．1755i -+ D ．1755i +2．已知2{|log 2}A x x =<，1{|33x B x =<<，则A I B 为（ ）A ．（0，12） B ．（0）C ．（-1，12） D ．（-1）3．若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且314S =，12a =，则4a =（ ） A ．16 B ．16或-16 C ．-54D ．16或-544. 已知命题x x R x p lg 2,:>-∈∃，命题0,:2>∈∀x R x q ，则( ) A.命题q p ∨是假命题 B.命题q p ∧是真命题 C.命题)(q p ⌝∧是真命题 D.命题)(q p ⌝∨是假命题 5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是 A ．2B. 92C. 32D. 36．阅读程序框图，若输入4,6m n ==，则输出,a i 分别是（ ） A ．12,3a i == B ．12,4a i == C ．8,3a i == D ．8,4a i ==（第6题图）7．若将函数x x x f cos 41sin 43)(-=的图象向右平移(0)m m π<<个单位长度，得到的图象关于原点对称，则m =（ ) A ．65π B ．6π C ．32π D ．3π8.在△ABC 中，AD 为BC 边上的高，给出下列结论： ①()0AD AB AC -=；②||2||AB AC AD +≥； ③||sin ||ADAC AB B AD =。
以上结论正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．39. 已知数列}{n a 中满足151=a ，21=-+na a nn ，则n a n 的最小值为（ ） A. 7 B. 1152- C.9 D. 42710．若函数12()1sin 21x x f x x +=+++在区间[,](0)k k k ->上的值域为[,]m n ，则m n +=（ ） A ．0B ．1C ．2D ．411.如图，棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1B 上的动点，则下列结论错误的是（ ）A.11DC D P ⊥B.平面11D A P ⊥平面1A APC.1APD ∠的最大值为90D.1APPD +12.已知圆221:(2)16O x y -+=和圆2222:(02)O x y r r +=<<，动圆M 与圆1O 和圆2O 都相切，动圆圆心M 的轨迹为两个椭圆，设这两个椭圆的离心率分别为1e 和2e （12e e >），则122e e+的最小值为（ ）AB ．32CD ．38二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.记直线310x y --=的倾斜角为α，曲线ln y x =在(2,ln2)处切线的倾斜角为β，则αβ+=。
江苏省决胜新高考2022-2023学年高三上学期12月大联考数学试题(含答案解析)
江苏省决胜新高考2022-2023学年高三上学期12月大联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知z =i 为虚数单位，则||z =（）A ．12B ．2C D ．22．已知向量,a b 满足||||||a b a b ==+ ，则a 与b的夹角为（）A ．π6B ．π3C ．5π6D ．2π33．给定空间中的直线l 与平面α，则“直线l 与平面α垂直”是“直线l 垂直于α平面内无数条直线”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．立德中学举行“学习党代会，奋进新征程”交流会，共有6位老师、4位学生进行发言．现用抽签的方式决定发言顺序，事件(110,)k A k k ≤≤∈N 表示“第k 位发言的是学生”，则（）A ．()235P A =B ．()12325P A A =C ．()10213P A A =∣D ．()1245P A A +=5．已知π1sin cos 62αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则5πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．13B ．34C ．12D ．34-6．疫情防控期间，某单位把120个口罩全部分给5个人，使每人所得口罩个数成等差数列，且较大的三份之和是较小的两份之和的3倍，则最小一份的口罩个数为（）A ．6B ．10C ．12D ．147．设()363e log 2,log 4,log 2e a b c ===，则（）A ．c b a<<B ．a b c<<C ．b a c<<D ．a c b <<8．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()()1122,,,A x y B x y 在椭圆22:12x C y +=上，且直线,OA OB 的斜率之积为12-，则22221122x y x y -+-=（）A ．1B ．3C ．2D ．52二、多选题9．已知32()29f x x x ax b =-++在1x =处取得极大值，若()f x 有三个零点，则（）A ．2a =B ．54b -<<-C ．()f x 的极小值为4b+D ．()2()f b f b >-10．已知函数()π()2sin 13f x x ωω*⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭N 在区间[0,]π上有且仅有2个零点，则（）A ．2ω=B ．()f x 的图象关于π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．()f x 的图象关于直线π12x =对称D ．()f x 在区间π5π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11．正多面体统称为柏拉图体．若连接某正方体1111ABCD A B C D -的相邻面的中心，可以得到一个新的体积为43的柏拉图体Ω．则（）A ．Ω是正六面体B ．正方体1111ABCD A BCD -的边长为2C ．Ω与正方体1111ABCD A B C D -D ．平面11ACC A 与Ω12．已知曲线22:1C x y xy --=，则（）A ．曲线C 关于坐标原点对称B ．曲线C 关于y 轴对称C ．5x ≤-或5x ≥D ．22425x xy y -+≥三、填空题13．101(1)x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中4x 的系数是_____________．14．写出一个同时满足下列性质①②的函数()f x =_____________．①()()()f xy f x f y =+；②()f x 在定义域上单调递增．15．已知抛物线21:4C y x =的焦点F 与双曲线22222:1(0,0)-=>>x y C a b a b的右焦点重合，1C 与2C 的公共点为M ，N ，且4MN =，则2C 的离心率是_____________．四、双空题16．已知半径为O 的表面上有A ，B ，C ，D 四点，且满足AD ⊥平面ABC ，,BC AB BC =⊥，则四面体D ABC -的体积最大值为_____________；若M 为AD的中点，当D 到平面MBC 的距离最大时，MBO △的面积为_____________．五、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知B 为锐角，且2sin b A =．(1)求B ；(2)求sin sin A C +的最大值．18．甲、乙两台机床加工同一规格（直径20.0mm ）的机器零件，为了比较这两台机床生产的机器零件精度的差异，随机选取了一个时间段，对该时间段内两台机床生产的所有机器零件直径的大小进行了统计，数据如下：甲：19.7，19.8，19.8，19.9，19.9，19.9，20.0，20.0，20.0，20.0，20.1，20.1，20.1，20.1，20.2，20.2，20.2，20.3乙：19.5，19.6，19.7，19.8，19.9，20.0，20.0，20.1，20.1，20.2，20.3，20.4规定误差不超过0.2mm 的零件为一级品，误差大于0.2mm 的零件为二级品．附22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≤0.1000.0500.0100.0050.0010k 2.7063.8416.6357.87910.828(1)根据以上数据完成下面的22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为甲、乙两台机床生产的机器零件的精度存在差异：一级品二级品总计甲机床乙机床总计(2)以该时间段内两台机床生产的产品的一级品和二级品的频率代替概率，从甲机床生产的零件中任取2个，从乙机床生产的零件中任取3个，比较甲、乙机床取到一级品个数的期望的大小．19．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，O 是AD 的中点，点E 在PC 上，且AP 平面BOE．(1)求PEPC的值；(2)若OP ⊥平面,,2,60ABCD OE PC AB BAD ⊥=∠=︒，求直线OE 与平面PBC 所成角的正弦值．20．已知n T 为正项数列{}n a 的前n 项的乘积，且2113,n n n a T a +==．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若()()()13411n n n n n a b a a ++=++，求证：11243n n b b b +⎛⎫+++< ⎪⎝⎭．21．已知函数()ln ()af x x a x=+∈R ．(1)若()f x 的最小值为1，求实数a 的值；(2)若关于x 的方程()f x ax =有3个不同的实数根，求a 的取值范围．22．在直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，且12OA OB ⋅=-．(1)求抛物线C 的方程；(2)直线,AO BO 分别交直线:(0)l x t t =<于,A B ''两点，圆1O 是以线段A B ''为直径的圆．从下面①②中选取一个作为条件，证明另外一个成立．①直线l 是抛物线C 的准线；②直线AB 与圆1O 相切．参考答案：1．B【分析】化简z ，利用复数求模公式计算.【详解】因为)i i1i iz ==-⋅，所以2z =，故选：B.2．D【分析】由||||||a b a b ==+ 两边平方，得到21||2a b a ⋅=- ，再根据平面向量数量积的定义得到1cos ,2a b <>=-r r ，根据向量夹角的范围可求出夹角.【详解】因为||||||a b a b ==+，所以2222||2a b a a b b a +=+⋅+= ，所以21||2a b a ⋅=- ，所以21||||cos ,||2a b a b a ⋅<>=-，所以1cos ,2a b <>=-r r ，因为0,πa b ≤<>≤，所以2π,3a b <>=所以a 与b 的夹角为23π．故选：D 3．A【分析】根据直线与平面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的判定，即可求解．【详解】由题意，若“直线l 与平面α垂直”则“直线l 垂直于α平面内无数条直线”成立的，所以充分性是成立的；若“直线l 垂直于α平面内无数条直线”则直线“直线l 不一定平面α垂直”，所以必要性不成立，所以“直线l 与平面α垂直”是“直线l 垂直于α平面内无数条直线”成立的充分不必要条件．故选A ．【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记直线与平面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．4．C【分析】根据排列数的计算，结合古典概型的概率计算公式即可根据选项逐一求解.【详解】因为()194921010C A 2A 5P A ==，所以A 错误．因为()2848121010A A 2A 15P A A ==，所以B 错误．因为()()()284810102101022A A A 1235P A A P A A P A ===∣，所以C 正确．因为()()286812121010A A 211A 3P A A P A A +=-=-=，所以D 错误．故选：C 5．C【分析】根据两角差的正弦公式化简得π1sin 62α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，进而采用换元法，结合诱导公式以及二倍角公式即可求解.【详解】因为π1sin cos 62αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以πππsin cos sin cos cos sin cos 666ααααα⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭1cos 22αα=+π1sin 62α⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．令6t απ=+，则π1,sin 62t t α=-=，所以25ππ5ππ1sin 2sin 2sin 2cos 212sin 66622t t t t α⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=+==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：C 6．C【分析】利用等差数列前n 项和公式及等差数列通项公式联立方程组解出即可.【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为0d >，由条件可知，51545120,2S a d ⨯=+=()345123a a a a a ++=+，即()()113332a d a d +=+，即1122420a d a d +=⎧⎨-=⎩，解得112,6a d ==，所以最小一份的口罩个数为12个，故选：C ．7．B【分析】由对数运算性质化简，结合不等式性质或构造lg 2()lg 3xf x x+=+讨论单调性即可判断.【详解】lg 2lg 4lg 2lg 2lg(2e)lg 21,,lg3lg6lg3lg 2lg(3e)lg31a b c ++=====++，解法一：因为(0,0)n n k k m n m m k+<>>>+，所以a b c <<．解法二：设lg 2lg 2lg3()1lg3lg3x f x x x+-==+++，则(0),(lg2),(1)a f b f c f ===，又因为()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以a b c <<．故选：B 8．A【分析】利用椭圆方程和,OA OB 的斜率之积为12-，建立A 、B 两点坐标的关系，代入原式化简计算即可.【详解】因为()()1122,,,A x y B x y 在椭圆上，所以222212121,122x x y y +=+=，因为121212OA OB y y k k x x =⨯=-，所以12122x x y y =-，所以22222222221212121212441142222x x x x y y x x x x ⎛⎫⎛⎫==--=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22122x x +=，所以222222222212121122123311212222x x x x x y x y x x ⎛⎫⎛⎫-+-=--+--=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：A.9．BCD【分析】根据极大值点可求解12a =，可判断A,进而可得()f x 的单调性，可判断C,根据三个零点得54b -<<-可判断C ，由单调性即可判断D.【详解】因为2()618f x x x a -'=+，所以(1)6180f a =-+='，所以12a =．故A 错，因为32()2912,f x x x x b =-++2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--，当12x <<时，()0f x '<，当1x <和2x >时，()0f x ¢>，所以()f x 在2x =处取得极小值，在1x =处取得极大值，极小值为(2)4f b =+，极大值为(1)5f b =+，若()f x 有三个零点，所以40,50b b +<+>，所以54b -<<-，故BC 正确，因为54b -<<-，所以245,1625b b <-<<<，又因为()f x 在(2,)+∞上单调递增，所以()2()f b f b >-,故D 正确，故选：BCD 10．ACD【分析】根据零点可得11562ω≤<，结合ω*∈N ，所以2ω=，进而得π()2sin 213f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，根据选项即可逐一求解.【详解】令()0f x =，则π1sin 32x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π+36x k ω+=或π5π2π+()36x k k ω+=∈Z ，即π2π6k x ω-=或π2π2()k x k ω+=∈Z ，由于函数()f x 在区间[0,]π上有且仅有2个零点，当0k =时，π2x ω=，当1k =时，π2π6x ω-=，π2π2x ω+=，所以π2π6πx ω-=≤且π2π2πx ω+=>，所以11562ω≤<，由于ω*∈N ，所以2ω=，所以A 正确．因为π()2sin 213f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当π,6x =-π16f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于π,16⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，故B 错误，当π12x =，π112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，为最大值，故()f x 关于直线π12x =对称，故C 正确，当π5π,612x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π2π7ππ3π2,,33622x ⎡⎤⎡⎤+∈⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()f x 在π5π,612x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以D 正确．故选：ACD 11．BCD【分析】画出图形可判断A ；设正方体1111ABCD A B C D -的边长为a ，求出Ω的体积31463=a ，求出a 可判断B ；求出正方体的表面积，Ω的表面积可判断C ；画出截面EQFP ，且EQFP 是菱形，求出面积可判断以D ．【详解】对于A ，如图，Ω是各棱长均相等的正八面体，所以A 错误；对于B ，设正方体1111ABCD A B C D -的边长为a ，Ω是正八面体，且NGMH 是底面是对角线长为a 的正方形，上下两个四棱锥的高都为2a ，则Ω的体积为31114232263a a a a ⨯⨯⨯⨯⨯==，所以2a =，所以B 正确；对于C ，正方体1111ABCD A B C D -的表面积是62224⨯⨯=，Ω等边三角形，所以Ω的表面积是182⨯=C 正确；对于D ，如图平面11ACC A 与Ω相交所得截面EQFP ，P Q 、分别是HM NG 、的中点，且EQ QF FP PE 、、、相等，////EQ FP QF PE 、，四边形EQFP 是菱形，2=EF PQ ，其面积为122⨯=D 正确．故选：BCD.12．ACD【分析】A 选项，利用对称性质判断即可，取特殊点验证即可B 选项；将方程转化为关于y 的二次方程，由方程有解即可判断C 选项；换元法，令t x y =-，则x y t =+代入原方程中，利用方程有解判别式解之即可得D 选项.【详解】因为点(,)P x y 在曲线22:1C x y xy --=上，所以点1(,)P x y --满足2222()()()()1x y x y x y xy ------=--=，所以A 正确；若(2,1)P ，因为点(2,1)P '-不满足C 的方程，所以B 错误；因为221x y xy --=，所以2210y xy x ++-=，所以()22410x x --≥，所以5x ≤-或5x ≥，所以C 正确；设t x y =-，则x y t =+，所以22()()1y t y y t y +--+=，所以2210y ty t -+-=，所以()22410t t --≥，所以245t ≥，所以22425x xy y -+≥，所以D 正确．故选：ACD 13．120-【分析】根据二项式展开式的通项特征，即可求解.【详解】101x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为10102110101C C N (1),010,rr r rr r r T r x x r x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭≤≤∈．由于101010111(1)x x x x x x x x =+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令710232r r -=⇒=（舍去），令10243r r -=⇒=，所以3344410C (1)120T x x =-=-，综上，4x 的系数是120-，故答案为：120-14．2log x （满足log (1)a x a >均可）【分析】由基本初等函数性质筛选判断即可【详解】log ()log log a a a MN M N =+，且()log (1)a f x x a =>单调递增．故答案为：2log x （满足log (1)a x a >均可）151+##1【分析】根据抛物线和双曲线的对称性可得2M y =，1M x =，且MF '=的定义可得a 的值，进而求解.【详解】因为1C 与2C 交于点M ，N ，所以M ，N 关于x 轴对称，所以2M y =，所以1M x =．因为(1,0)F ，所以FM x ⊥轴.记椭圆2C 的另一焦点为F '，所以MF =='22a =-，所以212c e a ===+．1.16．【分析】第一空，设AD h BC ===，则满足()22242a h r +=，即可列出体积函数()V h ，由导数法求最值.第二空在平面ABD 内过点D 向BM 作垂线，垂足为H ，则D 到平面MBC 的距离为DH ，由ABM HDM △∽△求得DH =DH 最大值，即可得MBO △的各边长，从而求得面积.【详解】第一空，设AD h BC ===，球心O 即为CD 的中点，所以22432a h +=．四面体D ABC -的体积)23113232V h h h =⨯=-，所以)2323V h '=-，令0V '=，得h =，当h ⎛∈ ⎝时，0V '>，V 单调递增：当h ⎫∈+∞⎪⎭时，0V '<，V单调递减，所以当h =max V =第二空，在平面ABD 内过点D 向BM 作垂线，垂足为H ，则D 到平面MBC 的距离为DH ．∵,BAM DHM BMA DMH ∠=∠∠=∠，∴ABM HDM △∽△，∴DH DMAB BM=,即2h a DH =因为222222222241414116118(88)3232322a h a h h a ha h a ⎛⎫+⎛⎫+=+=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当224a h =时等号成立，所以4,2h a ==．此时122MB OB OM AC ====，所以MBO △的面积为122⨯=.17．(1)π3B=【分析】（1）由2sin b A=结合正弦定理得到sin 2B =，再根据B 为锐角，求出B 即可得解；（2）将sin sin A C +π6A ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭可求出结果.【详解】（1）因为2sin b A =，所以b a =在ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin B b A a =，所以sin sin B A =因为0πA <<，所以sin 0A ≠，所以sin 2B =．又因为B 为锐角，所以π3B =．（2）因为π0π,3A B <<=，所以sin sin sin sin(π)sin sin()A C A A B A A B +=+--=++πππ3sin sin sin sin cos cos sin sin 33322A A A A A A A⎛⎫=++=++=+ ⎪⎝⎭π6A ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭π3A C ==时等号成立，所以sin sin A C +18．(1)表格见解析，没有；(2)甲的期望大．【分析】（1）根据题中数据，可以得出两机床一、二级品的数量，将得到的数据补充在22⨯列联表中，根据公式即可解出2K 的值；（2）由题意可设这2个零件中一级品的个数为X ，3个零件中一级品的个数为Y ，则随机变量X ，Y 服从二项分布，根据二项分布，即可解出期望值，得出结果.【详解】（1）由已知可得，甲机床的二级品有19.7，20.3，共2个，其余16个为一级品；乙机床的二级品有19.5，19.6，19.7，20.3，20.4，共5个，其余7个为一级品.所以，22⨯列联表如下：一级品二级品总计甲机床16218乙机床7512总计23730根据列联表得2230(16527)6053.7582371812161K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，因为3.758 3.841<，所以没有95%的把握认为甲、乙两台机床生产的机器零件的精度存在差异．答：没有95%的把握认为甲、乙两台机床生产的机器零件的精度存在差异．（2）由（1）可知，从甲机床生产的零件中任取1个，取到一级品的概率为1168189p ==，从甲机床生产的零件中任取1个，取到一级品的概率为2712p =.从甲机床生产的零件中任取2个，设这2个零件中一级品的个数为X ，从乙机床生产的零件中任取3个，设这3个零件中一级品的个数为Y ，则随机变量X ，Y 服从二项分布，即82,9X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，73,12Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以81664()29936E X =⨯==，7763()312436E Y =⨯==，所以甲的期望的大．答：甲的期望的大．19．(1)13PE PC =【分析】（1）根据线面平行的性质可得线线平行，根据平行成比例即可求解，（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角.【详解】（1）连接AC 与BO 交于点F ，因为底面ABCD 是菱形，O 是AD 的中点，所以//AO BC ，且12AO BC =，所以12AF FC =．因为//AP 平面,BOE AP ⊂平面APC ，平面APC 平面BOE EF =，所以//AP EF ，所以12AF PE FC EC ==，所以13PE PC =（2）解法一：因为底面ABCD 是菱形，O 是AD 的中点，60BAD ∠=︒，所以BO AD ⊥．因为OP ⊥平面,ABCD AD ⊂平面ABCD ，BO ⊂平面ABCD ，所以,OP AD OP BO ⊥⊥，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．则(0,0,0),(1,0,0),(O A B C -．设(0,0,)P h ，0h >，则()h PC =--，所以1223333h OP PE P E OP C O ⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭ ．因为OE PC ⊥，所以2421033h OE PC ⋅=+-=，解得2h =．所以2,(2,0,0),3332BC P E B O ⎛⎛=-=-= ⎝⎭⎝⎭．设(,,)n x y z =为平面PBC 的法向量，则0,0n BC n PB ⋅=⋅=，得002x z =⎧⎪-=，取z =n =为平面PBC 的一个法向量．因为cos ,13n OE 〈〉= ，所以直线OE 与平面PAB解法二：因为底面ABCD 是菱形，O 是AD 的中点，2AB =，60BAD ∠=︒，所以120,2,1CDO CD OD ∠=︒==．在CDO 中，由余弦定理2222cos120OC CD OD CD OD =+-⨯⨯⨯︒，得OC =因为OP ⊥平面,ABCD OC ⊂平面ABCD ，所以OP OC ⊥．设,2PE a CE a ==，在直角CDO 中，由射影定理2OE PE CE =⨯，得OE =．在直角CEO 中，由勾股定理222OC OE CE =+，得276a =，所以22723OE a ==，所以,32OE OP ===．在直角OBP 中，作斜边BP 上的高OH ，因为1122OH BP OB OP ⨯⨯=⨯⨯，所以OH =因为OP ⊥平面,ABCD BC ⊂平面ABCD ，所以OP BC ⊥．又因为,OB BC OB ⊥⊂平面,OBP OP ⊂平面,OBP OB OP P = ，所以BC ⊥平面OBP ，因为OH ⊂平面OBP ，所以BC OH ⊥．又因为,OH BP BC ⊥⊂平面,PBC BP ⊂平面,PBC BC BP B = ，所以OH ⊥平面PBC ．因为3OHOE==所以直线OE 与平面PAB20．(1)3nn a =；(2)证明见解析【分析】（1）由122112,n n n n n n T a T a ++++==，两式相除结合对数运算得1lg lg 1n na a n n+=+，代入数值可得数列lg n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列，即可得通项公式；（2）不等式由裂项相消法求和放缩即可证.【详解】（1）122112,n n n n n n T a T a ++++==，所以22211121n n n n n n nT a a T a +++++==，所以11n n n n a a ++=，所以()()11lg lg nn n na a ++=，即1lg (1)lg n n n an a +=+，所以1lg lg 1n na a n n+=+，当2n =时，()2232122T a a a ==，解得29a =，所以21lg lg lg321a a ==，所以数列lg n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列，所以1lg lg lg31n a a n ==，所以lg lg3lg3n n a n ==，所以3nn a =．（2）证明：因为()()()()()()111133344441131313131nn nn n nnn n n nn n a b a a ++++++===-++++++，所以2321122321444444313131313131n nn n n b b b +++++=-+-++-++++++ 11111111144444413131313133n n n n n n n n n +++++++++⎛⎫=-=<<= ⎪++++⎝⎭21．(1)1；(2)102a <<.【分析】（1）根据导数求解函数的单调性，由单调性即可求解最值，进而可求解a ，（2）分类讨论，利用导数求解函数的零点.【详解】（1）因为()f x 的定义域为()0,∞+，又221()a x af x x x x-'=-=，所以若0,()0,()a f x f x '≤>单调递增，无最小值，不成立．若0a >，当(0,)x a ∈时，()0,()'<f x f x 单调递减，当(,)x a ∈+∞时，()0,()'>f x f x 单调递增，所以min ()()ln 11,1f x f a a a ==+==．（2）设()ln a g x x ax x =-+，则2221()a ax x ag x a x x x-+-=--'=．当0a ≤时，()()0,g x g x '>单调递增，所以()g x 至多一个零点．当12a ≥时，因为2140a -≤，所以20ax x a -+-≤，所以()0,()g x g x '≤单调递减，所以()g x 至多一个零点．当102a <<时，令()0g x '=，得12x x ==当12x x x <<时，()0,()g x g x >'单调递增，又()10g '>，所以1201x x <<<，且(1)0g =，又因为()g x 是连续的函数，所以()()120,0g x g x <>且()g x 在()12,x x 上只有一个零点．当2x x >时，()0,()g x g x <'单调递减，因为33221111ln 2ln g a a a a a a a ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，设311()2ln 02h a a a a a ⎛⎫=--+<< ⎪⎝⎭，则422221321()30a a h a a a a a-+++='=-，所以()h a 单调递增，所以11()ln 42028h a h ⎛⎫<=-+< ⎪⎝⎭，得210g a ⎛⎫< ⎪⎝⎭．因为2211x a a =<<，又因为()g x 是连续的函数，所以()g x 在221,x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上只有一个零点，可得()g x 在()2,x +∞上只有一个零点0x ．因为()00000000111ln ln 0a g x g x ax a ax x x x x ⎛⎫+=-++-+= ⎪⎝⎭，所以010g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且102110x x x <<=，又因为()g x 是不间断的函数，所以()g x 在()10,x 上只有一个零点01x ．综上可知，当102a <<时，()g x 在(0,)+∞上有且仅有三个零点，即关于x 的方程()f x ax =有3个不同的实数根．【点睛】策略点睛：利用导数求解函数零点问题或者方程解的问题是高考命题的重点也是难点，其中函数的零点、方程的根、曲线的交点三个问题可以相互转化.导数中的函数零点问题常采用两种求解方式，根据原函数与x 轴的交点分离构造函数，结合极值点判断函数图象的变化趋势.讨论零点的常用步骤为：(1)求函数的定义域，(2)构造函数，求导，(3)分类讨论函数的单调性，极值，最值，(4)结合零点存在性定理，以及函数单调性去顶图象变化趋势确定零点的个数.22．(1)28y x =；(2)证明见解析【分析】（1）设直线AB 的方程为2px my =+，设221212,,,22y y A y B y p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立抛物线结合韦达定理及向量数量积运算即可解得p ；（2）由211,8y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭得直线AO 的方程，结合（1）中韦达定理可得2,2ty A t ⎛'⎫- ⎪⎝⎭，同理得1,2ty B t ⎛'⎫- ⎪⎝⎭，即可得出圆1O 方程.由①证明②，结合点线距离证明圆心1O 到直线AB 的距离等于半径；由②证明①，结合点线距离，圆心1O 到直线AB 的距离等于半径求得2pt =-.【详解】（1）设直线AB 的方程为2px my =+，由22,,2y px p x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得2220y pmy p --=．设221212,,,22y y A y B y p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以212y y p =-．因为2222212123122244y y p p OA OB y y p p p ⋅=⋅+=-=-=- ，所以4p =，所以抛物线的方程为28y x =．（2）因为211,8y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以直线AO 的方程为18y x y =，则18,t A t y '⎛⎫⎪⎝⎭．因为1216y y =-，所以2,2ty A t ⎛'⎫- ⎪⎝⎭．同理可得：1,2ty B t ⎛'⎫- ⎪⎝⎭，所以圆1O 的方程为：()()2221212()44t t x t y y y y y ⎛⎫⎛⎫-+++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由（1）知：12128,16y y m y y +==-．由①证明②．因为直线l 是抛物线C 的准线，所以2t =-．所以圆1O 的方程为：()()222121211(2)22x y y y y y ⎛⎫⎛⎫++-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以圆心1O 到直线AB==122y y -=，所以直线AB 与圆1O 相切．由②证明①．直线AB 的方程为2px my =+，即()128160x y y y -+++=．因为直线AB 与圆1O()124t y y -=，所以()()212221122816244t y y t t y y y y --+-++=，所以()()21222121644t y y t y y --+=，所以()()222222121212121628444t t t y y y y y y y y t ⎡⎤-+=-+-=-+-⎣⎦，解得2t =-，所以直线l 是抛物线C 的准线．。
湖北省八校2021届高三12月第一次联考 理科数学 Word版含答案
湖北省八校2021届高三12月第一次联考理科数学 Word版含答案湖北省八校2021届高三12月第一次联考理科数学word版含答案鄂南高中华师一附中黄冈中学黄石二中湖北省八校荆州中学襄阳四中襄阳五中孝感高中2021届高三第一次联考数学试题（理科）考试时间：2021年12月13日下午15u00―17u00试卷满分150分考试用时120分钟本试卷分第ⅰ卷（选择题）和第ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1.考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2.选择题每小题挑选出答案后，用2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，例如须要改动，用橡皮擦整洁后，出马涂抹其它答案标号，答在试卷上违宪．3.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内.答在试题卷上无效．第ⅰ卷（选择题，共50分后）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.方程x2?2x?5?0的一个根是（）a.1?2ib.?1?2ic.2?id.2?i2.集合p?{3,log2a}，q?{a,b}，若p?q?{0},则p?q?（）a.{3,0}b.{3,0,2}c.{3,0,1}d.{3,0,1,2}3.下列命题，正确的是（）a.命题:?x?r，使得x2?1?0的否定是：?x?r，均有x2?1?0.b.命题：若x?3,则x2?2x?3?0的否命题是：若x?3，则x2?2x?3?0.c.命题：存在四边相等的四边形不是正方形，该命题是假命题.d.命题：cosx?cosy，则x?y的逆否命题是真命题.?2x?y?2≥0?4.已知x,y满足?x?2y?4≥0，则关于x2?y2的说法，正确的是（）?3x?y?3≤0?a.有最小值1b.有最小值45c.有最大值13d.有最小值255-1-5.函数f(x)?ax3?bx2?cx?d(a?0,x?r)存有极值点，则（）a.b2≤3acb.b2≥3acc.b2?3acd.b2?3ac6.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）1a.3c.211111b.23正（主）视图两端（左）视图d.17.△abc中，角a,b,c成等差数列就是sinc?(3cosa?sina)cosb成立的（）a.充份不必要条件c.充要条件b.必要不充分条件俯视图d.既不充分也不必要条件第6题图8.在弹性限度内，弹簧所受的压缩力f与缩短的距离l按胡克定律f?kl计算.今有一弹簧原长80cm，每压缩1cm需0.049n的压缩力，若把这根弹簧从70cm压缩至50cm（在弹性限度内），外力克服弹簧的弹力做了（）功（单位：j）a.0.196b.0.294c.0.686d.0.989．在正方体abcd?a1b1c1d1中，e是棱cc1的中点，f是侧面bcc1b1内的动点，且a1f∥平面d1ae，记a1f与平面bcc1b1阿芒塔的角为?，下列说法错误的是（）a.点f的轨迹就是一条线段b.a1f与d1e不可能将平行c.a1f与be就是异面直线d.tan??2210.若直线y?kx?1与曲线y?|x?子集就是（）11a.{0,?,}8811b.[?,]88d1c1b1?fa1ecdab第9题图11|?|x?|有四个公共点，则k的取值xx11c.(?,)8811d.{?,}88二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．（一）必考题（11―14题）11.平面向量a,b满足|a|?1,|b|?2，且(a?b)?(a?2b)??7，则向量a,b的夹角为______.112.已知正三角形内切圆的半径r与它的高h的关系是：r?h,把这个结论推广到空间正四3面体，则正四面体内切球的半径r与正四面体低h的关系就是_________.-2-13.将函数y?sin(2x??)的图象向左位移4个单位后得到的函数图象关于点(,0)成中43心对称，那么|?|的最小值为________.14.无穷数列{an}中，a1,a2,?,am就是首项为10，公差为?2的等差数列；am?1,am?2,?,a2m就是首项为11，公比为的等比数列（其中m≥3,m?n*），并且对于任一的n?n*，都存有221，则m的值域子集为____________.记数列{an}的前n项和为64an?2m?an设立.若a51?sn,则使s128m?5≥2021(m≥3,m?n*)的m的取值集合为____________.（二）选考题（恳请学生在15、16两题中自由选择一题答题．如果全选，则按第15题答题结果计分）15.（选修4―1：几何证明选讲）已知⊙o1和⊙o2交于点c和d，⊙o1上的点p处的切线交⊙o2于a、b点，交直线cd于点e，m是⊙o2上的一点，若pe=2，ea=1，?amb?45，那么⊙o2的半径为.16.（选修4―4：坐标系与参数方程）?apeco1o2dbm在极坐标系中，曲线c1:??4上加3个相同的的边曲线c2:?sin(??)?m的距离等同于2，则4m?______.三、答疑题：本大题共6小题，共75分后，求解应允写下文字说明、证明过程或编程语言步骤．17．（本小题满分12分后）未知向量a?(2sin(?x?2?),2)，b?(2cos?x,0)(??0)，函数3f(x)?a?b的图象与直线y??2?3的相连两个交点之间的距离为?．（ⅰ）谋?的值；（ⅱ）求函数f(x)在[0,2?]上的单调递增区间．18．（本小题满分12分后）设立等差数列{an}的前n项和为sn，满足用户：a2?a4?18,s7?91．递减的等比数列{bn}前n项和为tn，满足用户：b1?bk?66,b2bk?1?128,tk?126．（ⅰ）谋数列{an}，{bn}的通项公式；（ⅱ）设立数列{cn}对?n?n*，均存有19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱abc?a1b1c1中，底面△abc为等腰直角三角形，?abc?90?，d为棱bb1上一点，且平面da1c⊥平面aac11c.-3-cc1c2n?an?1设立，谋c1?c2c2021．b1b2bn(ⅰ)求证：d为棱bb1的中点；（ⅱ）a1ab1c1aa1为何值时，二面角a?a1d?c的平面角为60?.abdbc第19题图第20题20．（本小题满分12分）如图，山顶有一座石塔bc，已知石塔的高度为a.（ⅰ）若以b,c为观测点，在塔顶b处测得地面上一点a的俯角为?，在塔底c处测得a处的俯角为?，用a,?,?表示山的高度h；（ⅱ）若将观测点定在地面的直线ad上，其中d就是塔顶b在地面上的射影.未知石塔低度a?20,当观测点e在ad上满足用户de?6010时看看bc的视角(即为?bec)最小，求山的高度h.21.（本小题满分13分后）未知an是关于x的方程xn?xn?1?xn?2x?1?0(x?0?nn,且≥n的木，证明：（ⅰ）111?an?1?an?1;（ⅱ）an?()n?.22222.（本小题满分14分后）未知函数f(x)?ex?ax?1（e为自然对数的底数）.（ⅰ）求函数f(x)的单调区间；（ⅱ）当a?0时，若f(x)≥0对任意的x?r恒成立，求实数a的值；2?3?2?32?2?3n??ln?1?2ln?1?n?2.（ⅲ）求证：ln?1?2?2?2?(3?1)(3?1)(3?1)-4-湖北省八校2021届高三第一次联考理科数学参考答案及评分细则一、选择题（每小题5分后，共10小题）1―5acbbd6―10baaba二．填空题（每小题5分后，共5小题）11.?212.r?14h13.?614.45,15,9；?6?第一个空2分，第二个空3分15.32216.m??2三、答疑题（共5小题，共75分后）17.（ⅰ）f(x)?4sin(?x?2?3)cos?x?4??sin?x?(?13??2)?cos?x?2?cos?x23cos2?x?2sin?xcos?x3(1cos2x)sin2x2cos(2x6)3由题意，t??，?2?2,??1（ⅱ）f(x)?2cos(2x??6)?3，x??0,2??时，2x??66,4????6??故2x??6,2??或2x??6??3?,4??时，f(x)单调递减即f(x)的单调减区间为??5?1112,12??和??17??12,23??12a2?a4?2a3?18.（ⅰ）由题意?18??7(a1得a3?9,a4?13，则an?4n?3?s??a7)72?7a4?91?b2bk?1?b1bk，?b1,bk方程x2?66x?128?0的两根，得b1?2,bk?64?s?b1(1?qk?1)1?q?b1?bkqk1?q?126，b1?2,bk?64代入求出q?2，bnn2-5-1分5分后6分后9分12分后2分后4分6分后。
2022年高三12月大联考(全国乙卷)理科数学试题及参考答案
2022年高三12月大联考（全国乙卷）理科数学试题及参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.砸每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{},0322>-+=x x x A {}1-≥=x x B ，则=B A （）A .()∞+，1B .[)∞+-，1C .(]13，-D .[)11，-2.已知()i i z 7432+-=+⋅，i 为虚数单位，则复数z 在复平面内所对应的点的坐标是（）A .()1,1B .()12，C .()2,1D .()2,23.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1674-=+S a ，48a a -=，则=10a （）A .1B .2C .3D .44.已知抛物线C ：x y 42=的焦点为F ，直线1-=kx y 过点F 且与抛物线C 交于B A ,两点，则=AB （）A .8B .6C .2D .45.已知向量()3,1=a ，()4,3-=b ，()2,7=c，则下列结论正确的是（）A .15-=⋅b aB .55=++c b aC .b a +与a的夹角为钝角D .b a +与c 垂直6.将函数()162sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx x f 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()x g 的图象，则()x g 图象的对称中心可以为（）A .⎪⎭⎫⎝⎛03πB .⎪⎭⎫ ⎝⎛-0125πC .⎪⎭⎫⎝⎛13，πD .⎪⎭⎫ ⎝⎛-1125π7.中国古代“刍童”作为长方棱台（上、下底面均为矩形的棱台）的专用术语.关于计算的描述，《九章算术》中记载：“倍上袤，下袤从之亦倍下袤，上袤从之各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六而一”.即体积计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，所得结果再与上底面的宽相乘：将下底面的长乘二，与上底面的长相加，所得结果再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，所得结果与高相乘，再取其六分之一.按照此算法，如图，现有体积为328的长方棱台1111D C B A ABCD -，其高为2，上底面矩形的长11B A为a 2，宽11D A 为a ，下底面矩形的长AB 为a 4，则该长方棱台的三视图中侧视图的面积为（）A .7B .3C .17D .1938.将2个红球、2个白球、1个绿球放入编号分别为①②③的三个盒子中，其中，两个盒子各放1个球，另外一个盒子放3个球，这5个球除颜色外其他都一样，则不同的放法有（）A .24中B .30种C .62种D .41种9.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13+=nn S ，则数列{}2na 的前n 项和为（）A .236-⨯nB .22331++n C .2239+n D .23391-+n 10.若实数y x ,满足()yxyx22244+=+，则1122--+y x 的值可以是（）A .21B .1C .23D .2511.已知e 为自然对数的底数，若()()ea b e b e a ba 122214221-->-+--，且0<a ，则下列结论一定正确的是（）A .322+>b aB .12+>b a C .ab <+32D .eb a +<212.已知圆1C ：31633222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+y x 过双曲线2C ：()0,012222>>=-b a b y a x 的左、右焦点21F F ，，曲线1C 与曲线2C 在第一象限的交点为M ，若1221=⋅MF MF ，则双曲线2C 的离心率为（）A .2B .3C .2D .3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.现从某校2022年高三上学期某次测试成绩中随机抽取部分学生的物理成绩ξ作为样本进行分析，成绩ξ近似服从正态分布()273σ，N ，且()78.077=<ξP ，则()=<<7369ξP .14.()51-x 的展开式中所有有理项的系数之和为.15.已知函数()x f 的导函数()()()m x x m x f -+-='2，若()x f 在m x =处取到极小值，则m 的取值范围是.16.如图，ED 是边长为2的正三角形ABC 的一条中位线，将ADE ∆沿DE 折起，构成四棱锥BCDE F -，若CD EF ⊥，则四棱锥BCDE F -外接球的表面积为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.（12分）在ABC ∆中，点D 在边BC 上，2=BD ，4=CD ，AB AC >.（1）若32=AB ，6π=C ，求AD 的长；（2）若32π=∠BAC ，求ACD ∆的面积S 的取值范围.18.（12分）2022年11月12日，在湖北黄石举行的2022年全国乒乓球锦标赛中，樊振东最终以4:2战胜林高远，夺得2022年全国乒乓球锦标赛男子单打冠军.乒乓球单打规则时是首先由发球员合法发球，再由接发球员合法还击，然后两者交替合法还击，胜利者得1分.在一局比赛中，先得11分的一方为胜方，10平后，先多得2分的一方为胜方.甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次合法发球中，得1分的概率为53，乙在一次合法发球中，得1分的概率为52，设在一局比赛中第n 个合法发球出现得分时，甲的累积得分为n a .（假定在每局比赛中双方运动员均为合法发球）（1）求随机变量3a 的分布列及数学期望；（2）求621,,a a a 成等比数列的概率.19.（12分）已知几何体1111D DCC A ABB -为正四棱柱1111D DEE A ABB -沿1DD 和BE 的中点C 截去一个三棱柱后的剩余部分，其中2==BC AB ，如图，平面1CDD 与直线11E B的交点记为1C .（1）过A 点作与平面D BC 1平行的平面α，试确定平面α与11B A 的交点位置，并证明；（2）求二面角B DC A --11的正弦值.20.（12分）已知曲线C 上任意一点()y x P ,满足方程()()4112222=++++-y x y x .（1）求点P 的轨迹方程；（2）如果直线l 交曲线C 于B A ,两点，且0=⋅OB OA ，过原点O 作直线AB 的垂线，垂足为H .判断OH 是否为定值，若是，请求出此定值，若不是，请说明理由.21.（12分）已知函数()x x f cos =，其导函数为()x f '.（1）若对任意0≤x ，()ax x f ≤'恒成立，求实数a 的取值范围；（2）判断函数()()⎪⎭⎫⎝⎛+-=x x f x g 2ln π的零点个数，并证明.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ty tx 211（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为()1sin 1=-θρ.（1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 的直角坐标方程；（2）设()1,1M ，曲线1C ，2C 的交点为B A ,，求MB MA ⋅的值.23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()124123---=x x x f .（1）求不等式()2>x f 的解集；（2）若不等式()x k x f ≤恒成立，求实数k 的取值范围.参考答案一、选择题1.A解析：由0322>-+x x ，得1>x 或3-<x ，∴{}31-<>=x x x A 或，又{}1-≥=x x B ，∴()∞+=，1B A .2.C解析：由()i i z 7432+-=+⋅，得()()()()i i i i i ii z 21323232743274+=-+-+-=++-=，∴复数z 在复平面内所对应的点的坐标为()2,1.3.D解析：设等差数列()n a 的公差为d ，由1674-=+S a ，48a a -=，可得：()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⨯+++016217774814a a d a a ，即⎩⎨⎧=+++-=+++0371621731111d a d a d a d a ，解得⎩⎨⎧=-=151d a ，∴()611-=-+=n d n a a n ，则410=a .4.A解析：由题意知抛物线C ：x y 42=的焦点F 的坐标为()0,1，2=p ，又直线1-=kx y 过抛物线C 的焦点()01，F ，∴01=-k ，解得1=k ，∴直线的方程为1-=x y ，由⎩⎨⎧=-=xy x y 412得0162=+-x x ，设()()B B A A y x B y x A ,,，，∴6=+B A x x ，∴826=+=++=p x x AB B A .5.D 解析：∵()3,1=a，()4,3-=b ，∴9123=+-=⋅b a ，A 错误；∵()9,5=++c b a ，∴1068125=+=++c b a，B 错误；∵()019>=⋅+a b a ，∴b a +与a的夹角为锐角，C 错误；由题意，知()7,2-=+b a ，又()2,7=c，∴()0=⋅+c b a ，则b a +与c 垂直，D 正确.6.D解析：由题意得()162sin 1662sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πππx x x g ，令Z k k x ∈=-,62ππ，得122ππ+=k x ，Z k ∈，当1-=k 时，125122πππ-=+-=x ，∴⎪⎭⎫⎝⎛-1125π为函数()x g 图象的一个对称中心.7.B 解析：由题意，的长方棱台的体积()()[]()32832822086122284461222==⨯+=⨯⋅++⋅+⨯=a a a a a a a a a V ，∴1=a ，∴该长方棱台的三视图中侧视图为等腰梯形，其上底长为1，下底长为2，高为2，则侧视图的面积为()322121=⨯+⨯=S .8.A解析：第一步，选一个盒子放3个球，则这样的选法有313=C （种）；第二步，假设③号盒子放3个球，若③号盒子放1绿2白或1绿2红，则①②号盒子只有1种放法，若③号盒子放1红1白1绿，则①②号盒子有2种放法，若③号盒子放2红1白或2白1红，则①②号盒子有2种放法.∴，不同的放法有()242221113=++++⨯C （种）.9.C解析：由13+=n n S 得当2≥n 时，1311+=--n n S ，以上两式相减，得132-⨯=n n a ，又当1=n 时，41=a ，∴⎩⎨⎧≥⨯==-2,321,41n n a n n ，∴⎩⎨⎧≥⨯==-2,941,1612n n a n n ，其前n 项和为()2239919941699941121+=--⨯+=+++⨯=+=-n n n n T .10.C 解析：()y x y xyx22222442⋅⋅-+=+，()y xy x 22212211+=+--，设()022>=+t t yx，则由题意得t t yx22222=⋅⋅-，即t t yx22222-=⋅⋅.∵222222220⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅≤⋅⋅<y x yx ，即42022t t t ≤-<，当且仅当yx22=，即1==y x 时等号成立，解得42≤<t ，∴1122--+y x 的取值范围是(]2,1.11.B 解析：由题意，知()()122214212-->-+-+a b e b e a b a，∴()()b eb a e a b a 212124212+->++-+，∴()()beb a e a b a2212122212+-+>++-+∴()[]()()21221222212+++-+>++-+b eb a e a b a，设()()22++-=x e x x f x ，则()()11+-='x e x x f ，李陵()()x f x g '=，则()xxe x g ='，当0<x 时，()0<'x g ，()x f '单调递减，∴()()00='>'f x f ，∴()x f 单调递增，∴()()00=<f x f ；当0>x 时，()0>'x g ，()x f '单调递增，∴()()00='>'f x f ，∴()x f 单调递增，∴()()00=<f x f .∴()()00=<f a f .，∴()()()1220+>>>b f a f a f ，∴()()12+>b f a f ，∴12+>b a .12.C 解析：由题意，知圆1C 的圆心坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3320，，半径334=r ，()()02,0221，，F F -，则421=F F ，在O C F Rt 11∆中（其中O 为坐标原点），∵334332111==F C O C ，，∴︒=∠6011O C F ，∴︒=∠=∠︒=∠602112021121211F C F MF F F C F ，，在21MF F ∆中，由余弦定理得：()221221212221221460cos 2a MF MF MF MF MF MF MF MF F F =+-=︒-+=1612=+，∴1=a ，又2=c ，∴双曲线2C 的离心率为2=e .又11296lg 3125lg 6lg 5lg 5log 45456>==，∴545log 6>=c ，∴c b <.∴c b a <<.二、填空题13.28.0解析：由随机变量ξ服从正态分布()2,73σN ，()78.077=<ξP ，得()()22.06977=≤=≥ξξP P ，∴()28.022.05.07369=-=<<ξP .14.16-解析：由二项式定理，可得()51-x 的展开式通项为()()r rrr x C T 1551-=-+，5,4,3,2,1=r ，当42,05，=-r ，即1,3,5=r 时，1+r T 为有理项，∴所有有理项的系数之和为()()()()16510111115353555-=++-=-+-+-C C C .15.()2,0解析：由题意得0≠m ，当0>m 时，()x f '为图象开口向下的二次函数，若()x f 在m x =处取到极小值，则有20<<m ；当0<m 时，()x f '为图象开口向上的二次函数，若()x f 在m x =处取到极小值，则有2>m ，与0<m 矛盾，不符合题意，故m 的取值范围是()2,0.16.π211解析：由EF BE AE ==得BF AF ⊥，同理CF AF ⊥，又F CF BF = ，∴⊥AF 平面BCF ，如图，取BC 的中点G ，连接AG FG EG ,,，则AC EG ∥，又AC EF ⊥，∴EG EF ⊥，∴在EFG Rt ∆中，2=FG ，在AFG Rt ∆中，122=-=FG AG AF ，∴三棱锥ADE F -为正四面体，设AG 与ED 的交点为M ，易知M 为ED 的中点，连接FM ，则23==MG FM ，在FMG ∆中，由余弦定理得312cos 222-=⋅-+=∠MG FM FG MG FM FMG ，设正三角形EFD 的中心为I ，易知等腰梯形BCDE 的外接圆圆心为BC 的中点G ，设四棱锥BCDE F -外接球的球心为O ，连接OG OI ,，则⊥OI 平面EFD ，⊥OG 平面BCDE ，连接GI ，在MGI ∆中，131236322363cos 222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∠⋅-+=FMG MG MI MG MI GI ，易知I O G M ,,,四点共圆，设四边形MGOI 外接圆的半径为r ，结合正弦定理，得223sin 2=∠==GMI GI r OM ，8322=-=MG OM OG ，设四棱锥BCDE F -外接球的半径为R ，则811831222=+=+=OG BG R，∴四棱锥BCDE F -外接球的表面积为π211.三、解答题17.解：（1）由题意知6=BC ，在ABC ∆中，由余弦定理得C AC BC AC BC AB cos 2222⋅⋅-+=，即236236122⨯⨯⨯-+=AC AC ，即024362=+-AC AC ，解得32=AC 或34=AC ，∵AB AC >，∴34=AC .在ADC ∆中由余弦定理得：C AC DC AC DC AD cos 2222⋅⋅-+=，即1623344248162=⨯⨯⨯-+=AD ，∴4=AD .（2）∵326π=∠=BAC BC ，，∴在ABC ∆中，由正弦定理得34sin sin sin =∠==BACBCB AC C AB ，∴C AB sin 34=，⎪⎭⎫⎝⎛-==C B AC 3sin 34sin 34π，∴C C C AC CD S sin 3sin 34421sin 21⋅⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯=⋅⋅=πC C C C C C 2sin 34cos sin 12sin sin 21cos 2338-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=()3262sin 342cos 21322sin 6-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--=πC C C .又AB AC >，则60π<<C ，∴2626πππ<+<C ，∴162sin 21<⎪⎭⎫ ⎝⎛+<πC ，可得320<<S ，∴ACD ∆的面积S 的取值范围为()32,0.18.解：（1）随机变量3a 的可能取值为0,1,2,3.()12585203033=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C a P ；()12536525312133=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯==C a P ；()12554525322233=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C a P ；()125275333333=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C a P .随机变量3a 的分布列为∴()59125273125542125361125803=⨯+⨯+⨯+⨯=a E .（2）若621a a a ，，成等比数列，则11=a ，当12=a 时，则16=a ，()156259652531,1,15621=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯====a a a P ；当22=a 时，则46=a ，()1562519445253534,2,122242621=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛====C a a a P ∴事件621a a a ，，成等比数列的概率31254081562519441562596=+=P .19.解：（1）由题意，知1C 为11E B 的中点，如图，取11D A 的中点P ，连接AP P C ，1，则1111112C B P A C B P A ∥，==，∴四边形111B PC A 为平行四边形，∴111B A PC ∥，∴AB PC ∥1，又AB PC =1，∴四边形B APC 1为平行四边形，∴1BC AP ∥，又⊄AP 平面D BC 1，⊂1BC 平面D BC 1，∴AP ∥平面D BC 1，连接11D B ，同理可证11D B BD ∥，设11B A 的中点为Q ，连接AQ PQ ,，则11D B PQ ∥，∴BD PQ ∥，又⊄PQ 平面D BC 1，⊂BD 平面D BC 1，∴PQ ∥平面D BC 1，又P PQ AP = ，∴平面APQ ∥平面D BC 1，从而平面APQ 即为平面α，故平面α与11B A 的交点为11B A 的中点Q .（2）以1A 为坐标原点，11111D A B A A A ，，所在的直线分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系，如图所示.3a 0123P1258125361255412527则()()()()0,2,222040200011B C D A ，，，，，，，，，，∴()4021，，=D A ，()22011，，=C A ，()420，，-=BD ，()2021，，-=BC .设平面D C A 11的法向量为()1111,,z y x n =，∵⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011111n C A n D A ，∴⎩⎨⎧=+=+022*******z y z x ，令11=y ，∴()1,1,21-=n 即平面D C A 11的一个法向量为()1,1,21-=n.设平面D BC 1的法向量为()2222,,z y x n =，∵⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00212n BC n BD ，∴⎩⎨⎧=+-=+-022*******z x z y ，令12=x ，∴()1,2,12=n ，∴平面D BC 1的一个法向量为()1,2,12=n.∴21663,cos 212121=⨯=⋅=n n n n n n.设二面角B DC A --11的大小为θ，则23211sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛-=θ，∴二面角B DC A --11的正弦值为23.20.解：（1）由题意知，点P 的轨迹是椭圆，设椭圆的标准方程为()012222>>=+b a b y a x ，且12==c a ，，∴32=b ，∴点P 的轨迹方程为13422=+y x .（2）当直线l 的斜率不存在时，0=⋅OB OA ，不妨设点A 在第一象限，易得⎪⎪⎭⎫⎝⎛72127212，A ，∴7212=OH .当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：m kx y +=，且与曲线C 的交点分别为()()2211,,y x B y x A ，，联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 13422，化简得()0124843222=-+++m kmx x k ，∴()0434822>-+=∆mk ，即2243k m+<，且222122143124438k m x x k km x x +-=+-=+，，由此可得2222143123k k m y y +-=，又0=⋅OB OA ，∴0431********22222121=+-++-=+k k m k m y y x x ，即01212722=--k m ，∴()222431712k k m +<+=，则721271212==+=km OH ，综上，OH 为定值7212.21.解：（1）由()x x f cos =可得()x x f sin -='，令()()ax x ax x f x h --=-'=sin ，则()a x x h --='cos .当1-≤a 时，()0cos 1≥-≥'x x h ，()x h 在(]0，∞-上单调递增，故()()00=≤h x h ，符合题意；当1≥a 时，()0cos 1≤--≤'x x h ，()x h 在(]0，∞-上单调递减，故()()00=≥h x h ，不符合题意；当11<<-a 时，方程()0='x h 在(]0，∞-上有无数个解，记其中最大的负数解为0x ，则当()0,0x x ∈时，()0<'x h ，故()()00=>h x h ，不符合题意.综上，1-≤a ，即实数a 的取值范围为(]1，∞-.（2）()⎪⎭⎫⎝⎛+-=x x x g 2ln cos π的定义域为⎪⎭⎫⎝⎛∞+-2π，①当⎪⎭⎫⎝⎛∞+∈2πx 时，1cos ≤x ，1ln 2ln >>⎪⎭⎫⎝⎛+ππx ，∴()0<x g ，此时函数()x g 无零点.②当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，()021sin <+--='xx x g π，()x g 在⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上单调递减，∵()02ln10>-=πg ，0ln 02<-=⎪⎭⎫⎝⎛ππg ，∴函数()x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有且仅有1个零点.③当⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈0,2πx 时，令()2ln 22ln πππ--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x p ，则()022221>⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+='ππππx xx x p ，∴()x p 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2π上单调递增，故()()00=<p x p ，即2ln 22ln πππ+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x .令()2ln 2cos ππ--=x x x q ，⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πx ，则()π2sin --='x x q ，令()π2sin --=x x n ，⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πx ，则()0cos <-='x x n ，可得()x n 在⎪⎭⎫⎝⎛-0,2π上单调递减，又02>⎪⎭⎫ ⎝⎛-πn ，()00<n ，故存在⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,20πx 使()00=x n ，则存在⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,20πx ，使得()00='x q ，且当⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,20πx 时，()00>'x q ，()x q 单调递增，当()0,0x x ∈时，()00<'x q ，()x q 单调递减，又()02ln 102>-==⎪⎭⎫⎝⎛-ππq q ，∴当02<<-x π时，()0>x q ，即2ln 2cos ππ+>x x ，∴⎪⎭⎫⎝⎛+>x x 2ln cos π，即当⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πx 时，()0>x g ，∴()⎪⎭⎫⎝⎛+-=x x x g 2ln cos π在⎪⎭⎫⎝⎛-0,2π上无零点.综上，函数()x g 有1个零点.（二）选考题22.解：（1）∵曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=②，①t y t x 21,1，则①-⨯2②，得122-=-y x ，∴曲线1C 的普通方程为：0212=-+-y .由()1sin 1=-θρ得1sin +=θρρ，两边同时平方得1sin 2sin 222++=θρθρρ，将y =θρsin ，222y x +=ρ代入上式，得12222++=+y y y x ，化简得122+=y x ，∴曲线2C 的直角坐标方程为21212-=x y .（2）将曲线1C 的参数方程化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+='+=t y t x 361331，代入21212-=x y 得()0662322=-'-+'t t ，设B A ,两点对应的参数分别为21t t ''，，则621-=''t t .∴621='⋅'=⋅t t MB MA .23.解：()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤+-<=4,43,2473,x x x x x x x f ，（1）①当3<x 时，2>x ，即32<<x ；②当43≤≤x 时，2247>+-x ，解得722<x ，即7223≤≤x ；③当4>x 时，2>-x ，解得2-<x ，则()2>x f 无解.综上所述，不等式()2>x f 的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛7222，.（2）①当0=x 时，显然成立；②当0≠x 时，不等式()x k x f ≤可化为xx xx x k 124123124123---=---≥.又1124123124123=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤---x x x x ，当且仅当0124123≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 且xx 124123->-时等号成立，∴实数k 的取值范围为[)∞+，1.。
赤峰市高三上学期12月双百金科大联考数学(理)试题与答案
赤峰市高三上学期12月双百金科大联考数学(理)试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}2|980U x N x x =∈-+<，集合{}3,4,5,6A =，U A =ð（）A.{}2,7 B.{}1,2,7 C.{}2,7,8 D.{}1,2,7,82.若()22z i i -=-（i 是虚数单位），则复数z 的模为A.12B.13C.14D.153.函数()3e 1x x f x =+的部分图象大致为（）A. B.C. D.4.已知数列{}n a 的首项为1a ，前n 项和为n S ，若11a =，13n n a S +=（*n ∈N ），则8S 的值为（）A.8413- B.84 C.74 D.8413+5.若执行如图所示的程序框图，则输出k 的值是A.8B.10C.12D.146.我国数学家陈景润在对哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就.哥德巴赫猜想简述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），如40337=+.在不超过20的素数中，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于20的概率是（）A.114 B.115 C.116 D.1177.若两个非零向量a 、b 满足()()0a b a b +⋅-= ，且2a b a b +=- ，则a 与b 夹角的余弦值为（）A.35B.35±C.12D.12±8.在二项式71212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中x 的指数为整数的项的个数为（）A.1B.2C.3D.49.在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2by ax x=+（a ，b 为常数）过点()2,5P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则（）A.1a =-，2b =B.1a =，2b = C.1a =-，2b =- D.1a =，2b =-10.已知π3π,22⎛⎫∈⎪⎝⎭α，22cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()tan π2α-=（）A.7 B.7-C.427±D.225-11.已知(),0F c 为双曲线2221yx b -=的右焦点，过点F 的直线m 交双曲线的右支于A ，B 两点，交l ：1x c=于点M .若FM BF = ，8AB = ，则双曲线的离心率e 为（）A.4B.3C.2D.1212.设函数()f x 的定义域为D ，若满足：()f x 在D 内是单调函数，且存在[],a b D ⊆（a b <），使得()f x 在[],a b 上的值域为[],a b ，那么就称()y f x =是定义域为D 的“成功函数”.若函数()()2log xm g x m t=+（0m >，1m ≠）是定义域为R 的“成功函数”，则t 的取值范围为（）A.1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C.1,14⎛⎫-⎪⎝⎭D.10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.若点(3,27)在函数y x α=的图像上，则log 81a =__________．14.设函数()321f x ax a =-+，a 为常数.若存在()00,1x ∈，使得()00f x =，则实数a 的取值范围是______.15.过点()5,3P 作直线交抛物线22y x =于A ，B 两点，且点P 恰为线段AB 中点，则AB =______.16.()f x 是R 上可导的奇函数，()'f x 是()f x 的导函数已知0x >时()()'f x f x <，()1f e =，则不等式(()(ln 0ln x f x e<+≤的解集为______．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在ABC ∆中，内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且2a c bcosC -=．（1）求B ∠的值；（2）若4a =，72cos 10=C ，求ABC ∆的面积．18.如图，在三棱锥-P ABC 中，90ACB ∠=︒，PA ⊥底面ABC（1）证明：平面PBC ⊥平面PAC（2）若AC BC PA ==，M 是PB 中点，求AM 与平面PBC 所成角的正切值19.已知某单位招聘程序分两步：第一步是笔试，笔试合格才能进入第二步面试；面试合格才算通过该单位的招聘.现有A ，B ，C 三位毕业生应聘该单位，假设A ，B ，C 三位毕业生笔试合格的概率分别是13，12，14；面试合格的概率分别是12，13，23.（1）求A ，B 两位毕业生中有且只有一位通过招聘的概率；（2）记随机变量X 为A ，B ，C 三位毕业生中通过招聘的人数，求X 的分布列与数学期望.20.已知动点P到定点)F和到直线x =2.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若()21A ，，()30B ，，过点B 的直线与曲线C 相交于D ，E 两点，则AD AE k k +是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.21.已知函数()ln ax f x x =的极值为1e.（1）求a 的值；（2）若()0,m ∈+∞，判断方程()()32m x x f x =-是否恒有解.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）求直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程；（2）已知点()1,0P ，直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，设()1PB PA λλ=>，求实数λ.23.已知()2321f x x x =++-（1）求不等式()10f x <的解集（2）若对任意x ∈R ，()1f x a - 恒成立，求实数a 的取值范围赤峰市高三上学期12月双百金科大联考数学(理)试题答案1.A【分析】解一元二次不等式求得全集U ，由此求得U A ð.【详解】由()()298180x x x x -+=--<，解得18x <<，所以{}2,3,4,5,6,7U =，所以U A =ð{}2,7.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合补集的概念和运算，属于基础题.2.D【分析】利用复数的乘法、除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的求模公式计算出复数z 的模.【详解】因为()22z i i -=-，所以()()()()2234434434343425252i i ii i z i i i i i i i -+---=====--+--+-，所以15z ==，故选D.【点睛】本题考查复数的乘法、除法法则以及复数模的计算，对于复数相关问题，常利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式进行求解，考查计算能力，属于基础题.3.B【分析】由函数的奇偶性与函数值符号判断．【详解】∵函数()3e 1x x f x =+为非奇非偶函数，∴其图象既不关于原点对称，也不关于y 轴对称，故选项C 错误；当0x <时，()30e 1x x f x =<+，故A，D 错误，4.C【分析】由n S 和n a 的递推关系可得表达式，发现从第二项起，后面的数都与前面的数之比为定值，故可用分组求和、等比数列求和公式法即可得解.【详解】由13n n a S +=（1n ≥），得13n n a S -=（2n ≥），两式作差得：13n n n a a a +-=（2n ≥），即14n n a a +=（2n ≥）.∵11a =，13n n a S +=（1n ≥），∴211333a S a ===，∴21,1,34,2,n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩，∴()7783141414S ⨯-=+=-.5.B【分析】根据程序框图一步一步往下执行，即可得答案.【详解】0,2,s k ==4,6,s k ==16,8,s k ==32,10,s k ==52s =，退出循环，输出10k =.【点睛】本题考查程序框图中的循环结构，考查简单阅读程序框图能力，属于基础题.6.A【分析】根据组合数的计算，即可由古典概型的概率公式求解.【详解】不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个，随机选取两个不同的数，共有28C 28=种取法，随机选取两个不同的数，其和等于20的有2种取法：()3,17，()7,13，故随机选取两个不同的数，其和等于20的概率212814P ==.7.A【分析】设平面向量a 与b的夹角为θ，由已知条件得出a b =r r ，在等式2a b a b +=- 两边平方，利用平面向量数量积的运算律可求得cos θ的值，即为所求.【详解】设平面向量a 与b的夹角为θ，()()22220a b a b a b a b +⋅-=-=-= ，可得a b =r r ，在等式2a b a b +=- 两边平方得22222484a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，化简得3cos 5θ=.【点睛】本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值，考查平面向量数量积的运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.8.D【分析】由题意将二项展开式的通项写出来，然后结合已知即可求解.【详解】二项式展开为7732217711C C 22rrr rr r r T xx x --+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3,4,5,6,7r =.当1,3,5,7r =时，x 的指数为整数，共有四项.9.C【分析】由题意将点()2,5P -代入2by ax x=+得452b a +=-，求导得22b y ax x =-'，由题意将点()2,5P -代入得7442b a -=-，联立即可得解.【详解】∵函数2b y ax x=+的导数为22b y ax x =-'，∴曲线在点()2,5P -处的切线斜率为44bk a =-，由两直线平行可得7442b a -=-①.又∵点()2,5P -在曲线2b y ax x=+上，∴452ba +=-②，由①②解得1a =-，2b =-.10.A【分析】利用诱导公式和同角三角函数关系进行求解.【详解】∵22cos sin 23παα⎛⎫+=-=⎪⎝⎭，∴22sin 3α=-.又∵π3π,22⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，故cos 0α<，∴1cos 3α==-，sin tan cos ααα==∴()22tan 42t 1πan 2tan 2tan 7αααα-=-=-=-.11.C【分析】利用双曲线第二定义和三角形相似，求出2c =即可求得离心率e 的值.【详解】由题意得，l 即双曲线的右准线.如图，过A ，B 作右准线l 的垂线，垂足为A '，B '，x 轴与右准线l 的交点为C .因为FM BF =，所以F 是BM 的中点，AM FM FA BF FA =-=-,由双曲线第二定义可得AF BF e AA BB ''==，可得AA AF BB BF =''，又由相似三角形可得2AA AM BF AF BB BM BF-==''，所以2AF BF AF BFBF-=，所以3AF BF =，因为8AB =，所以2AF =，6MF BF ==，4AM BF AF =-=，又由相似三角形可得'AA AM CFMF=，因为2AFa AA c =='，2a CF c c =-，21a =，所以综上可化为242163c c c ==-，解得2c =，所以2ce a==.12.B【分析】求导，结合导函数特点得到()g x '恒大于零，此时0t >，问题可化为2x x m t m +=在R 上至少有两个解，换元后得到20n n t -+=在()0,∞+上有两个不同的解，利用二次函数的开口方向，对称轴，得到140t ∆=->，求出答案.【详解】∵()222221x x xm g x t m t m ==++'，当且仅当0t >时有()g x '恒大于零，()g x '不会恒小于零，∴0t >，()g x 在R 上单调递增.由题意得，要使()g x 为“成功函数”，则()g x x =在R 上至少有两个解.∵log xm x m =，故()2log log xx m m mt m +=，∴问题可化为2x x m t m +=在R 上至少有两个解.设0x n m =>，得20n n t -+=在()0,∞+上有两个不同的解，令()2h n n n t =-+，其图象开口向上，对称轴为12n =，过点()0,t ，且0t >，∴140t ∆=->即可，解得14t <，∴104t <<.13.【分析】将点()3,27代入函数可得α，利用对数定义求解即可.【详解】将点()3,27代入函数y x α=，得327α=，得3α=.所以3log 81log 814a ==.故答案为4.【点睛】本题主要考查了幂函数解析式的求解及对数的运算，属于基础题.14.【分析】根据零点与对应方程根的关系以及函数零点存在性定理即可得答案.【详解】因为存在()00,1x ∈，使得()00f x =，所以函数()f x 在()0,1上有零点.当0a =时，()1f x =不存在零点，当0a ≠时，()321f x ax a =-+为一次函数形式，具有单调性，由函数零点存在性定理知()()010f f ⋅<，即()()1210a a -+<，解得1a <-或12a >.故答案为：()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+⎪⎝⎭.15.【分析】利用点差法求出直线AB 的斜率，从而求出直线AB 的方程，与抛物线联立方程，根据弦长公式，即可求得AB .【详解】设,A B 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则2112222,2,y x y x ⎧=⎨=⎩两式相减可得()()()1212122+-=-y y y y x x ，∵点()5,3P 恰为线段AB 中点，∴12126,10y y x x +=+=，∴()()121262y y x x -=-，∴121213y y x x -=-，∴直线AB 的斜率为13，∴直线AB 的方程为()1353y x -=-，即340x y -+=，联立抛物线与直线的方程：22,340,y x x y ⎧=⎨-+=⎩消去x ，得y y -+=2680，∴126y y +=，128y y =，26480∆=-⨯>，∴AB==.故答案为：.16.【分析】构造函数()g x ，判定单调性，建立关于x 的不等式，计算结果，即可．【详解】构造新函数()()xf xg x e=，则()()()''xf x f xg x e-=，结合当0x >时，()()'f x f x <可知，()g x 在0x >时递增的.则()()()()00100,11f f g g ee====.由(()(ln 0ln x f x e<≤，得ln 01f x+<≤，令(ln t x =，即()()()01g g t g <≤所以01t <≤，得到1e x <≤，解得210,2e x e ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦【点睛】考查了利用导函数判定原函数单调性，考查了构造函数的思想，难度偏难．17.【分析】（1）结合余弦定理进行化简，即可求出结果.（2）由题意求出sin C 的值，结合正弦定理以及三角形的面积公式进行计算，即可得出结果．【详解】（1）由余弦定理得222222a b c ab ab+--=⋅化简得222b a c =+，∴2222cos 22c a b B ac +-==.∵()0,B π∈，∴4B π=.（2）由72cos 10=C，得sin 10C ==，在ABC ∆中，∵()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C=+=+42102105=⨯+⨯=，由正弦定理sin sin b a B A =，得4252sin 4sin 225a b B A =⋅=⨯=，11522sin 4122210ABC S ab C ∆==⨯⨯⨯=.【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理，以及三角形面积公式即可，属于常考题型.18.【分析】（1）由90ACB ∠=︒，得到AC CB ⊥，再根据PA ⊥底面ABC ，得到PA CB ⊥，然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；（2）作AO PC ⊥，连接OM ，由平面PBC ⊥平面PAC ，得到AO ⊥平面PBC ，则AMO ∠即为AM 与平面PBC 所成的角求解.【小问1详解】证明：因为90ACB ∠=︒，所以AC CB ⊥，又PA ⊥底面ABC ，所以PA CB ⊥，又AC PA A ⋂=，所以BC ⊥平面PAC ，因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAC ；【小问2详解】如图所示：作AO PC ⊥，连接OM ，因为平面PBC ⊥平面PAC ，平面PBC ⋂平面PAC=PC ，所以AO ⊥平面PBC ，则AMO ∠即为AM 与平面PBC 所成的角，设AC BC PA t ===，则,AB PB ==，所以2AM =，又2AO =，所以12OM t ==，所以AM 与平面PBC 所成角的正切值为tan AO AMO OM ∠==.19.【分析】（1）由独立事件乘法公式，对立、互斥事件概率的关系即可得解.（2）由题意可得13,6X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由二项分布的概率计算公式、期望公式即可得解.【小问1详解】记“A ，B 两位毕业生中有且只有一位通过招聘”为事件M .A 通过招聘的概率为111326⨯=，B 通过招聘的概率为111236⨯=，∴()155********P M =⨯+⨯=.即A ，B 两位毕业生有且只有一位通过招聘的概率为518.【小问2详解】随机变量X 可能的取值为0，1，2，3.C 通过招聘的概率为121436⨯=，由（1）得A ，B 两位毕业生通过招聘的概率均为16.∴A ，B ，C 三位毕业生通过招聘的人数13,6X B ⎛⎫⎪⎝⎭.则()30351250C 6216P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()211351751C 66216P X ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()122351152C 66216P X ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()333113C 6216P X ⎛⎫ ⎪⎝=⎭==，随机变量X 的分布列为：X0123P 12521675216152161216数学期望()11362E X =⨯=.20.【分析】（1）设(),P x y ，根据题意直接列出,x y 所满足的方程，化简即可得出答案.（2）设出直线DE 的方程，与椭圆C 的方程联立，消元，写韦达；根据韦达定理求出12121122AD AE y y k k x x --+=+--的值即可.【小问1详解】设(),P x y 22=x =-，所以2226x y +=，即22163x y +=，∴点P 的轨迹C 的方程为22163x y +=；【小问2详解】易知直线DE 的斜率存在，所以设()11D x y ，，()22E x y ，，过点B 的直线DE 的方程为()3y k x =-，由()223163y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得：()222221121860k x k x k +-+-=，其中Δ0>，21221221k x x k +=+，212218621k x x k -⋅=+，所以()()()()()1212121212121212313125112411222224AD AE kx k kx k kx x k x x k y y k k x x x x x x x x -+-+-++++--+=+=+=-----++()22222222221861225112444212121861222242121k k k k k k k k k k k k k -⋅-+⋅++-+++===----⋅+++，所以AD AE k k +是定值2-.21.【分析】（1）分0a >、a<0两种情况讨论，利用导数分析函数()f x 的单调性，结合函数()f x 的极值可求得实数a 的值；（2）令()()22ln g x x x =-，利用导数分析函数()g x 的单调性，数形结合可得出方程()()32m x x f x =-解的情况.【小问1详解】解：因为()ln axf x x =，则()21ln axf x x -'=，①当0a >时，函数()f x 的定义域为()0,∞+，由()e 00,f x x a ⎛⎫>⇒∈ ⎪⎝⎭'，由()e0,f x x a ⎛⎫<⇒∈+∞ ⎪⎝⎭'，所以，函数()f x 在e 0,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在e ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以，()f x 存在极大值e 1e e af a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，得1a =；②当a<0时，函数()f x 的定义域为(),0∞-，由()e0,0f x x a ⎛⎫>⇒∈ ⎪⎝⎭'，由()e 0,f x x a ⎛⎫<⇒∈-∞ ⎪⎝⎭'，此时，函数()f x 的增区间为e ,0a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为e,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，即()f x 存在极小值e 1e e af a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，得1a =（舍去）.综上，1a =.【小问2详解】解：恒有解，证明如下：由（1）得()ln xf x x =（0x >），则()()()3222ln m x x f x x x =-=-，令()()22ln g x x x =-，则()2222ln 2ln 1g x x x x x x x x ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭'，令()222ln 1h x x x =-+，则()3240h x x x'=+>，所以，函数()h x 在()0,∞+上单调递增，因为()110h =-<，ln 20h =>，所以，存在(0x ∈，使得()00h x =，即()00g x '=，当00x x <<时，()0h x <，即()0g x '<，此时函数()g x 单调递减，当0x x >时，()0h x >，即()0g x '>，此时函数()g x 单调递增，因为()10g g ==，所以，()()()0min 10g x g x g =<=，当x →+∞时，()()22ln g x x x =-→+∞，作出函数()g x 的图象如下图所示：由图可知，当()0,m ∈+∞时，方程()()32m x x f x =-恒有解.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.22.【分析】（1）消去参数t ，求得直线的普通方程，由4cos ρθ=求圆的普通方程.（2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t .依题意，点()1,0P 在直线l 上且在圆C 的内部.21t t λ=-.然后将直线l 的参数方程与圆C 的直角坐标方程联立，再用韦达定理求解.【详解】（1）由1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去参数t ，0y -=.由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，即224x y x +=.故圆C 的直角坐标方程为()2224x y -+=.（2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t .依题意，点()1,0P 在直线l 上且在圆C 的内部.21t t λ∴=-.将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程并整理得230t t --=，121t t ∴+=，123t t =-.()2121213t t t t +∴=-，211273t t t t ∴+=-，得217136t t -=，217136t t λ±∴=-=.1λ> ，7136λ∴=.【点睛】本题主要考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的转化和直线与圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.23.【分析】（1）通过零点讨论法去绝对值即可，最终将所有范围取并集（2）利用绝对值三角不等式先求出()f x 的最小值4，再解14a -的绝对值即可【详解】（1）()()32232110x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--<⎩，解得332x -<<-；()()3122232110x x x ⎧-⎪⎨⎪+--<⎩，解得3122x - ；()()12232110x x x ⎧>⎪⎨⎪++-<⎩，解得122x <<.综上，不等式()10f x <的解集是()3,2-.（2）因为()()()232123214f x x x x x =++-+--= 所以14a -，解得35a - .【点睛】本题考查双绝对值不等式的解法，一般是通过零点讨论法去绝对值；对于第二问中的含参绝对值的解法，一般是通过三角不等式求出函数的最值，再采用去绝对值的一般方法进行求解即可。
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湖南省长株潭岳益五市十校2017届高三数学12月联考试题理注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2、选择题作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区均无效．3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应题目的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区均无效．4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定位置用2B铅笔涂黑．答案写在答题卡对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区均无效．姓名：_______________准考证号：_______________“湖南省五市十校教研教改共同体”2017届高三12月联考数学（理科）本试题卷共6页，23题（含选考题） 全卷满分150分，考试用时120分钟 命题单位：湖南省宁乡县第一高级中学第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合{|A x x =≥2}，1{|0}4x B x x -=>-，则A B =（ ） A ．∅ B ．[2,4)C ．[2,)+∞D ．(4,)+∞（2）已知复数z 满足11zi z-=+，则||z =（ ） A ．1BC ． 2D．（3）已知数列{}n a 的前n 项和nn S Aq B =+(0)q ≠，则“A B =-”是“数列{}n a 是等比数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分且不必要条件（4）在矩形ABCD 中，2AB AD =，在CD 上任取一点P ，ABP ∆的最大边是AB 的概率是（ ）AB ．C1 D1A BCDP（5）如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A ．272π B ． 27π C．D（6）若变量,x y 满足约束条件4400y x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的最小值是__ __．A ．4B ．6C ．8D ．12（7）已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，过点1F 且与x 垂直的直线与双曲线左支交于点,M N ，已知2MF N ∆是等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（ ） AB ．2C．1D．2+（8）ABC ∆是边长为2的等边三角形，向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则向量a ，b 的夹角为（ ） A ．30B ．60C ．120D ．150 （9）执行如图所示程序框图，若输出的S 值为20-，则条件框内应填写（ ） A ．3?i > B ．4?i < C ．4?i > D ．5?i <正视图侧视图俯视图（10）等差数列{}n a 的前n 和为n S ，且1a ＜0，若存在自然 数m ≥3，使得m m a S =，则当n ＞m时，n S 与n a 的大小关系是（ ） A ．n S ＜n a B ．n S ≤n a C ．n S ＞n a D ．大小不能确定（11）已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，||2πϕ<）的部分图象如图，则20161()6n n f π==∑（ ） A ．1- B ．0 C ．12D ．1（12）已知函数21()(0)2xf x x e x =+-<与()()2ln g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．,e ⎛-∞ ⎪⎝⎭B ．(),e -∞C ．,e e ⎛⎫-⎪⎝ D ．,e e ⎛- ⎪⎝⎭第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）～（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（13）已知直线:30l mx y ++=与圆22(1)2x y ++=相交，弦长为2，则m =________．（14）在5(21)(1)x x +-的展开式中含3x 项的系数是___________（用数字作答）．6π 512π 1-1（15）有共同底边的等边三角形ABC 和BCD 所在平面互相垂直，则异面直线AB 和CD 所 成角的余弦值为___________．（16）有一支队伍长L 米，以一定的速度匀速前进．排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，且往返速度不变．如果传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了L 米，则传令兵所走的路程为___________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，且cos 3sin 0a C a C b c +--= （I ）求A ；（II ）若AD 为BC 边上的中线，1cos 7B =，1292AD =，求ABC ∆的面积．（18）（本小题满分12分）为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，进一步优化能源消费结构，某市决定在一地处山区的A 县推进光伏发电项目．在该县山区居民中随机抽取50户，统计其年用电量得到以下统计表．以样本的频率作为概率．ABD用电量（度） (0,200] (200,400] (400,600] (600,800] (800,1000]户数5 15 10 15 5（I ）在该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X ，求X 的数学期望；（II ）已知该县某山区自然村有居民300户．若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度进行收购．经测算以每千瓦装机容量年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接收益多少元？（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥中P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AD CD ⊥，且22AD CD ==，42BC =，2PA =．（I ）求证：AB PC ⊥；（II ）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为45，如果存在，求BM 与平面MAC 所成的角的正弦值，如果不存在，请说明理由．（20）（本小题满分12分）如图，设点,A B的坐标分别为(，0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为23-． （I ）求点P 的轨迹方程；（II ）设点P 的轨迹为C ，点M 、N 是轨迹为C 上不同于,A B 的两点，且满足//AP OM ，//BP ON ，求证：MON ∆的面积为定值．PBCMA（21）（本小题满分12分），函数31()||3f x x x a =+-（x R ∈，a R ∈）． （I ）若函数()f x 在R 上为增函数，求a 的取值范围； （II ）若函数()f x 在R 上不单调时：（i ）记()f x 在[1,1]-上的最大值、最小值分别为()M a 、()m a ，求()()M a m a -； （ii ）设b R ∈，若2|()|3f x b +≤对[1,1]x ∀∈-恒成立，求a b -的取值范围．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一个题记分． （22）（本小题满分10分）（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为3cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线1:cos tan x C y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩（θ为参数）相交于不同的两点A 、B ． （I ）若3πα=，求线段AB 的中点的直角坐标；（II ）若直线l 的斜率为2，且过已知点(3,0)P ，求||||PA PB ⋅的值．（23）（本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲）已知函数()|||3|f x x a x =-+-（3a <）． （I ）若不等式()4f x ≥的解集为1{|2x x ≤或9}2x ≥，求a 的值． （II ）若对x R ∀∈，()|3|1f x x +-≥，求实数a 的取值范围．“湖南省五市十校教研教改共同体”2017届高三12月联考数学（理科）参考答案1．命题依据：以一元二次、一元一次不等式的解法切入，然后考查集合的交并运算． 答案：D ．2．命题依据：考查复数代数形式及其乘法、除法、模运算． 答案：A ．1(1)(1)1(1)(1)i i i z i i i i ---===-++-．，故选A ． 3．命题依据：具体情境中识别数列的性质，充分条件与必要条件．答案：B ．若0A B ==，则0n S =，故数列{}n a 不是等比数列；若数列{}n a 是等比数列，则1a Aq B =+，22a Aq Aq =-，323a Aq Aq =-，由3221a a a a =，得A B =-．选B ． 4．命题依据：几何概型．答案：D ．分别以A 、B 为圆心，AB 为半径作弧，交CD的最于1P 、2P ，则当P 在线段12P P 间运动时，能使得ABP ∆是大边是AB，易得121PP CD=，即ABP ∆的最大边AB1．5．命题依据：由三视图认识空间几何体的结构特征，球的表面积计算．答案：B ．由三视图可知，该几何体是一个正方体切割成的一个四棱锥，则该几何体的外接球的半径为2，从而计算得表面积为24(272ππ=．故选B ． 6．命题依据：线性规划的应用．答案：B ．作出可行域为开放区域，2z x y =+在直线40x y +-=与直线0x y -=的交点(2,2)处取得最小值6．故选B ．A BD P CP 1 P 27．命题依据：双曲线的标准方程及简单几何性质，离心率求解．答案：C ．由已知22b c a=，即2220c ac a --=，得2210e e --=，解得1e =C ． 8．命题依据：平面向量基本定理，向量的数量积运算． 答案：C ．易得120． 9．命题依据：算法，程序框图． 答案：D ．10．命题依据：等差数列的性质，等差数列的单调性答案：C ．若1a ＜0，存在自然数m ≥3，使得m m a S =，则0d >．因为若d ＜0，则数列是递减数列，则m m S a <，不会有m m a S =．由于1a ＜0，0d >，当m ≥3，有m m a S =，则0m a >，0m S >，而1n m m n S S a a +=+++，显然n n S a >．故选C ．11．命题依据：()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质．答案：B ．易得2ω=，由五点法作图可知262ππϕ⨯+=，得6πϕ=．即()sin(2)6f x x π=+．故()16f π=，21()62f π=，31()62f π=-，4()16f π=-，51()62f π=-，61()62f π=， 201611111()336(11)062222n n f π==⨯+---+=∑．故选B ． 12．命题依据：函数的零点、方程的根的关系．有正答案：B ．由题意得即方程()221ln 2x x e x x a -+-=++根，即()1ln 2x e x a --=+有正根， 作函数12x y e -=-与()ln y x a =+的图象，则可知0x =时，()1ln 2x a +<故a <B ．13．命题依据：直线方程，圆的方程，直线与圆的位置关系．答案：m =．由已知可得圆心(1,0)-到直线的距离为d =，所以212+=，解得m =． 14．命题依据：二项式定理的应用．答案：223355(1)2(1)10C C -+-=-．15．命题依据：线线角，面面垂直．答案：14． 16．命题依据：数学应用，数学建模．答案：(1L ．思路一：设传令兵的速度为v '，队伍行进速度为v ，则传令兵从队尾到排头的时间为Lv v'-，从排头到队尾的时间为L v v '+，往返共用时间为L Lt v v v v=+''-+，则传令兵往返路程S v t '=．由于传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了L 米，则L vt =．故22()2t v v v L ''-=，可得222()2t v v v tL ''-=．即22()2()0v t L v t L ''--=，解得(1v t L '=+，传令兵所走的路程为(1L ． 思路二：设传令兵的速度为v '，队伍行进速度为v ，则传令兵从队尾到排头的时间为Lv v'-，从排头到队尾的时间为Lv v'+，则易得 L L Lv v v v v +=''-+，化简得222v v v v ''-=，得1v v'=，由于队伍与传令兵行进时间相等，故传令兵所走路程为(1L +．17．命题依据：三解形中的恒等变换，正、余弦定理．【分析】（I ）利用正弦定理将边的关系化为角的关系，利用三角恒等变换求出B 值．（II ）先根据两角和差的正弦公式求出sin C ，再根据正弦定理得到边长,,a b c 的比值关系，再在ABD ∆或ACD 利用余弦定理可求,b c 的值，再由三角形面积公式可求结果．【解答】（I ）因为cos sin 0a C C b c +--= ，由正弦定理得：sin cos sin sin sin A C A C B C =+，即sin cos sin sin()sin A C A C A C C =++，……3分cos 1A A -=，所以1sin(30)2A ︒-=．……5分 在ABC ∆中，0180A ︒︒<<，所以3030A ︒︒-=，得60A ︒=．……6分（II ）在ABC ∆中，1cos 7B =，得sin B =．……7分则11sin sin()72C A B =+=+=8分 由正弦定理得sin 7sin 5a A c C ==．……9分 设7a x =，5c x =，在ABD ∆中，由余弦定理得：2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅，则2212911125492574427x x x x =+⨯-⨯⨯⨯⨯，解得1x =， 即7,5a c ==，……11分故1sin 2ABC S ac B ∆==12分18．命题依据：统计与概率，离散型随机变量的期望，统计思想的应用．数学抽象与应用意识． 解：（I ）记在该县山区居民中随机抽取1户，其年用电量不超过600度为事件A ．由抽样可知，3()5P A =．……3分 由已知可得从该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X 服从二项分布，即3~(10,)5X B ，故3()1065E X =⨯=．……6分 （II ）设该县山区居民户年均用电量为()E Y ，由抽样可得51510155()1003005007009005005050505050E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（度）……10分 则该自然村年均用电约150000度．又该村所装发电机组年预计发电量为300000度，故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约150000度，能为该村创造直接收益120000元．……12分19．命题依据：垂直的判定与证明，空间角的求解，空间向量的应用．【分析】（I ）利用几何图形的特点，将空间问题平面化后，找出垂直关系，进行证明； （II ）假设存在点M ，利用二面角M AC D --的大小为45确定点M 的位置，再利用平面MAC 的法向量求线面角．【解答】（I ）如图，由已知得四边形ABCD 是直角梯形， 由已知22AD CD ==，42BC =，可得ABC ∆是等腰直角三角形，即AB AC ⊥， 又PA ⊥平面ABCD ，则PA AB ⊥， 所以AB ⊥平面PAC ， 所以AB PC ⊥．……4分 （II ）存在．法一：（猜证法）观察图形特点，点M 可能是线段PD 的中点．下面证明当M 是线段PD 的中点时，二面角M AC D --的大小为45．……5分过点M 作MN AD ⊥于N ，则//MN PA ，则MN ⊥平面ABCD ．过点M 作MG AC ⊥于G ，连接NG ，则MGN ∠是二面角M AC D --的平面角． 因为M 是线段PD 的中点，则1MN =，2AN =PMzyADBC在四边形ABCD 求得1NG =，则45MGN ∠=．……8分在三棱锥M ABC -中，可得13M ABC ABC V S MN -∆=⋅， 设点B 到平面MAC 的距离是h ，13B MAC MAC V S h -∆=⋅，则ABC MAC S MN S h ∆∆⋅=⋅，解得h =．……10分 在Rt BMN ∆中，可得BM =．设BM 与平面MAC 所成的角为θ，则sin 9h BM θ==．……12分 法二：（作图法）过点M 作MN AD ⊥于N ，则//MN PA ，则MN ⊥平面ABCD ．过点M 作MG AC ⊥于G ，连接NG ，则MGN ∠是二面角M AC D --的平面角． 若45MGN ∠=，则NG MN =，又AN ==，易求得1MN =．即M 是线段PD 的中点．……8分 （以下同解法一） 法三：（向量计算法）建立如图所示空间直角坐标系．则(0,0,0)A，C，(0,D ，(0,0,2)P，B，(0,2)PD =-．设PM tPD =（01t ≤≤），则M的坐标为(0,,22)t -．……6分 设(,,)n x y z =是平面AMC 的一个法向量，则00n AC n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得0(22)0t z ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，则可取(1,1,)1n t =--．……8分 又(0,0,1)m =是平面ACD 的一个法向量，所以||||cos ,|cos 45||||m n m n m n ⋅<>===解得12t =．即点M 是线段PD 的中点．……10分 此时平面AMC 的一个法向量可取(1,1,2)n =-，(22,32,1)BM =-．BM 与平面MAC 所成的角为θ，则26sin |cos ,|n BM θ=<>=．……12分20．命题依据：椭圆的方程、轨迹的求解，解析几何中的定值问题，运算能力。