胡广书《现代信号处理教程》第二章PPT课件
胡广书 数字信号处理课件
数字频率的特点：
（1）ω是一个连续取值的量； （2）ω的量纲为一种角度的量纲单位：弧度 （rad）。它表示序列在采样间隔T内正弦或余弦 信号变化的角度，表示了信号相对变化的快慢程 度； （3） 序列对于ω是以2π为周期的，或者说，ω的 独立取值范围为[0,2π)或[-π,π)。
(t )
t
0 单位冲激信号
西北大学信息科学与技术学院
2007年
2.单位阶跃序列
u(n)
u ( n)
{0
1 n0
n0
1
n
0 1 2 3 4 5
u(n)可以表示成很多移位的δ(n)序列之和：
u ( n) ( n k )
k 0
u(n)也可以用来表示移位的δ(n)：
(n) u(n) u(n 1)
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2007年
下面来说明模拟频率和数字频率之间的关系。 设模拟余弦信号为
x(t ) cos( t ) cos(2ft )
对该 x(t ) 以T为采样间隔进行采样离散,得
x(t )
t nT
cos( nT ) cos(Tn)
cos(2fTn)
将离散后的信号表示成离散余弦序列，即
x1 (n) x(n) RN (n)
0 n N 1
1
1
n
-1
0 1 2 3
4
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2007年
5.正弦和余弦序列
正弦序列定义为
x(n) A sin(n) 余弦序列定义为
x(n) A cos(n)
其中，A为信号的最 大幅度，ω 称为序列的数 字频率，如图是一个正弦 序列的图形表示。
现代信号处理教程 - 胡广书(清华)
33及 ∑+==NL n nx x d 122),(α（1.7.8）此即信号正交分解的最小平方近似性质。
我们在有限项傅立叶级数的近似中曾经遇到过[19]。
现推导（1.7.7）及（1.7.8）两式。
将（1.7.6）式展开，有∑∑∑∑+-==jj Li i i nnn n x n x x x d 2122))()()((2|)(|),(βϕβ （1.7.9）将上式对k β求偏导，并使之为零，则有02)()(2),(2=+-=∑∂∂k n k x x d n n x kβϕβ及k nk k n n x αββ==∑)()(将此结果代入（1.7.9）式，即得（1.7.8）式。
若空间X 由向量N ϕϕϕ,......,,21张成，即},......,,{21N span X ϕϕϕ=，并有},......,,{211L span X ϕϕϕ=及},......,,{212N L L span X ϕϕϕ++=，我们称1X 和2X 是X 的子空间。
如果：1．021=X X ，即1X 和2X 没有交集；2．21X X X =，即X 是1X 和2X 的并集；这时，我们称X 是1X 和2X 的直和，记作：21X X X ⊕=（1.7.10）这些概念我们将在小波变换中用到。
性质5：将原始信号x 经正交变换后得到一组离散系数N ααα,......,,21。
这一组系数具有减少x 中各分量的相关性及将x 的能量集中于少数系数上的功能。
相关性去除的程度及能量集中的程度取决于所选择的基函数}{n ϕ的性质。
这一性质是信号与图像压缩编码的理论基础。
有关这一点，我们在本节还要继续讨论。
作为正交变换的最后一个性质，由于其重要性，我们现用定理的方式给出：定理 1.2：)(t ϕ是一个原型函数，其傅立叶变换为)(ΩΦ，若)}({k t -ϕ，Z k ∈是一组正交基，则34∑=+ΩΦkk 1|)2(|2π（1.7.11）若)(1k t -ϕ，)(2k t -ϕ是两组正交基，即0)(),(2211>=--<k t k t ϕϕ 21,k k ∀则0)2()2(*21=+Φ+Φ∑kk k πωπω（1.7.12）证明[13,21,8]：因为}),({Z k k t ∈-ϕ是一正交基，设x 是它构成空间中的一个元素，则x 可表示为)(k t -ϕ的线性组合，即∑-=kk k t a x )(ϕ（1.7.13）由性质3，有∑=kkax 22||||||，对（1.7.13）式两边作傅立叶变换，有∑∑⎰Ω-Ω-ΩΦ=-=Ωkjk k ktj k e a j dt ek t a j X )()()(ϕ（1.7.14）注意，该式是傅立叶变换（FT ）和离散时间傅立叶变换（DTFT ）的混合表达式。
现代信号处理02
第二章噪声中信号波形的检测假设检验理论-------->信号波形的检测输入的是信号加噪声，此任务就是按某一准则来设计最佳检测器或称为最佳接收机。
这种最佳检测器常常用匹配滤波器来构造。
故匹配滤波器的概念是很重要的。
通信中许多接收机都可以，用此模型来表示。
滤波器可实现滤波、平滑和预测等信息处理的基本任务。
如果滤波器的输出是滤波器输入的线性函数，则称为线性滤波器；否则为非线性滤波器。
若滤波器的冲激响应是无限长，称为无限冲激响应滤波器，反之，为有限冲激响应滤波器。
如果滤波器是在时间域、频率域或空间域实现，则分别称为时域、频域、空间域滤波器。
简单地说，滤波器就是信号抽取器，它的作用是从被噪声污染的信号中抽取出原来的信号，因此，信号的提取必须满足一定的优化准则，对于连续时间滤波器有两种最优化设计准则。
一种准则是：使滤波器的输出到达最大的信噪比，称为匹配滤波器；另一种是使输出滤波器的均方估计误差为最小，称为Wiener滤波器。
§2-1匹配滤波器在波形检测中，经常用匹配滤波器来构造最佳检测器，匹配滤波器理论在信号检测理论中占有独特的重要地位。
在通信系统中，许多常用的接收机，均可简化成由一个线性滤波器和一个判决电路两部分组成，如下图所示线性滤波器的作用是对接收机的信号进行某种方式的加工处理，使之增加正确的判决概率。
而判决电路一般为一个非线性装置，最简单的判决电路就是一个门限电路。
为了增大信号相对于噪声的强度，以利于判决，要求线性滤波器是最优的。
若输入信号已知，且线性时不变滤波器的输入为加性平稳噪声（白噪声），此时，输出信噪比为最大的滤波器，就是一个与输入信号相匹配的最佳滤波器――匹配滤波器。
())12()(.----=⎰∞∞--dt et h H tj ωω())22()(21.----=⎰∞∞-dt eH t h tj ωωπ滤波器输入为：Z (t )=s (t )+n (t )-----(2-3)其中s (t )是有用的已知信号，n (t )-零均值平稳噪声.利用叠加原理可以分别计算出s 0(t ), n 0(t ) .若输入信号的傅氏变换存在())42()(.----=⎰∞∞--dt et s S tj ωω())52()()(21.0----=⎰∞∞-dt e S H t s tj ωωωπ若s 0(t )在t 0处出现峰值，即：())62()()(210.00----=⎰∞∞-dt e S H t s t j ωωωπ输入噪声n (t ) 的功率谱密度为P n (ω) 输出噪声n 0(t )的功率谱密度为P n 0(ω)()())72()(20----=ωωωn n P H P滤波器输出噪声的平均功率为：())82()()(21)(21][202----==⎰⎰∞∞-∞∞-ωωωπωωπd P H d P t n E n n 定义：输出信噪比＝输出信号峰值功率/输出噪声平均功率[])92()()(21)()(21)()(222002000-⎭⎬⎫⎩⎨⎧==⎰⎰∞∞-∞∞-ωωωπωωωπωd P H d e S H t n E t S SNR n tj要使此式达到最大值，可利用Schwarz 不等式⎰⎰⎰∞∞∞∞∞∞-∙≤－－－)102..()()(*)()(*)()(*2dx x x dx x F x F dx x x F θθθF (x ),θ(x )为两个复函数，*－共轭且当θ(x )=αF (x ), α为任意常数时，上式中等号成立。
现代信号处理基础ppt
（ 白 随 机 C ov ( k - n ) 0）
2 E ( m N E [ m N ])
1 N
2
N 1
E { x ( n ) m }
2
1 N
2
n0
n0
N 1
2
2
N
N
2 lim E ( m N E [ m N ]) 0
N
n0
N|m | N
R x ( m ) (1
（有偏、渐进无偏估计） 自相关函数估计的方差
2 D [ R x ( m )] E [ R x ( m ) E { R x ( m )} ]
2
2 E [ R x ( m )] E { R x ( m )}
N 1 2
N 1 N 1 1 2 E x ( n ) m 2 E x ( n ) m x ( k ) m 2 N n0 n0 k 0 n k
N 1
第二章 现代信号处理基础
随机矢量及其统计特性
随机信号的估计评价及估计方法
随机信号通过LTI系统
相关抵消与正交分解
谱分解定理
信号模型参数与功率谱
随机矢量及其统计特性
以3个习题为例： 例1 N维高斯分布随机矢量 x 的均值矢量为 m x ，协方差矩阵 为 。现对 x 作线性变换 B x ，其中B是 N N 阶常数矩 阵，试证明 是高斯分布的。
1
M 2
1 T 1 ex p ( y y ) y 2
现代信号处理教程_-_胡广书(清华)
- 352 -
a1 (n)
a 0 ( n)
H0 (z-1)
′ ( n) a1
↑2
H0(z)
↓2
ˆ 0 ( n) a
d 1 2
H1(z)
↓2
图 12.1.1 双正交滤波器组
a1 ( n ) = a0 ( n ) ∗ h0 ( 2n )
= ∑ a0 ( k )h0 ( k − 2n ) = a0 ( k ), h0 ( k − 2n )
- 355 -
(12.1.14a)
ˆ 1 ( z ) = z − ( 2 l +1) H 0 ( − z −1 ) H
假定 l = 0 ，它们对应的时域关系是
(12.1.14b)
ˆ (1 − n ) h1 ( n ) = ( −1) n +1 h 0
ˆ ( n ) = ( −1) n +1 h (1 − n ) h 1 0
重建的充要条件是：
* ˆ 0 (ω ) + H 1* (ω + π ) H ˆ 1 (ω ) = 0 H 0 (ω + π ) H
(12.1.6a) (12.1.6b)
及
ˆ 0 (ω ) + H 1 (ω ) H ˆ 1 (ω ) = 2 H 0 (ω ) H
* *
证明：仿照(7.1.5)式的导出，有
ˆ ∗ (ω + π ) H 1 (ω ) = e − j ( 2 l +1)ω H 0 ˆ (ω ) = e − j ( 2 l +1)ω H ∗ (ω + π ) H 1 0
或
(12.1.13a) (12.1.13b)
ˆ 0 ( − z −1 ) H 1 ( z ) = z − ( 2 l +1) H
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81 为了看清图3.3.4中交叉项的行为，我们将该图作了旋转，因此，水平方向为频率，垂直方向为时间。
图3.3.3 例3.3.3的WVD 图3.3.4 例3.3.4的WVD例3.3.5 令 ()2142t x t e ααπ-⎛⎫= ⎪⎝⎭（3.3.5）可求出其WVD 为 ()22,2exp[]x W t t ααΩ=--Ω（3.3.6）这是一个二维的高斯函数，，且是恒正的，如图3.3.5所示。
()Ω,t W x 由该图可以看出，该高斯信号的WVD 的中心在处，峰值为2。
参数控()()0,0,=Ωt α制了WVD 在时间和频率方向上的扩展。
越大，在时域扩展越小，而在频域扩展越大，反α之亦然。
其WVD 的等高线为一椭圆。
当WVD 由峰值降到时，该椭圆的面积。
1-e π=A 它反映了时－频平面上的分辨率。
如果令 ，，则的谱图()2142t h t e ααπ-⎛⎫=⎪⎝⎭()2142t x t eββπ-⎛⎫= ⎪⎝⎭()t x ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡Ω+-+-+=Ω2221exp 2,βαβααββααβt t STFT x82（3.3.7）图3.3.5 例3.3.5的WVD,（a ）高斯信号，（b ）高斯信号的WVD它也是时－频平面上的高斯函数。
当其峰值降到时，椭圆面积。
这一结果说明，1-e π2=A WVD 比STFT 有着更好的时－频分辨率。
如果令 ()()tj et t x t x 001Ω-=（3.3.8）式中是（3.3.5）式的高斯函数。
是的时移加调制，其WVD 是：()t x ()t x 1()t x （3.3.9）()12200,2exp[()()/]x W t t t ααΩ=---Ω-Ω它将（3.3.6）式的由移至处。
其WVD 图形请读者()Ω,t W x ()()0,0,=Ωt ()()00,,Ω=Ωt t 自己画出。
83例3.3.6令 ()2201422j tt j t z t ee e αβαπΩ-⎛⎫=⎪⎝⎭（3.3.10）它是由（3.3.5）式的与()t x ()202j t j t y t Aee βΩ=（3.3.11）相乘而得到的（在（3.3.9）式中，A=1）。
现代信号处理算法PPT课件
通信信号处理
— 子空间方法
基于子空间的多用户检测 基于子空间的MIMO信道估计 基于子空间的自适应阵列 基于子空间的波达方向估计 基于子空间的时延和Doppler频移的估计 盲空时信号处理的子空间方法
27
通信信号处理
— 空时编码
基于空时编码的多用户接收机 基于空时编码的信道估计 自适应天线 空时处理的TDMA
作为信息载体的信号处理经历了从模拟到数字，从确 知到随机的发展过程，正阔步迈向以非平稳信号、非 高斯信号为主要研究对象和以非线性、不确定性为主 要特征的智能信号处理时代。
6
序言
通信担负着信息流通的功能，近一、二十年获得异乎 寻常的发展；各种基于因特网和移动网的新业务相继 出现，新概念和新技术层出不穷。标志性技术有：IP 技术、3G,4G移动通信技术、宽带接入技术、基于波 分复用技术的光传送网(WDM-OTN)技术。
10
信号处理的基础（续）
这些论文是：
The past, present, and future of multimedia signal processing. IEEE SP Magazine, July 1997
The past, present, and future of neural networks for signal processing. IEEE SP Magazine, Nov. 1997
30
通信信号处理
— Monte Carlo 统计信号处理
❖ Kalman滤波与Monte Carlo信号处理 - Kalman滤波: 线性状态空间模型问题(过程噪声和观测噪声 服从正态分布)，解决高斯噪声情况下参数估计和滤波问题。 - MC处理(又称粒子滤波,particle filtering,使用MC仿真实现 递推Bayes滤波)：非线性状态空间模型问题、解决非高斯噪 声情况下的参数估计和滤波问题。
现代信号处理_02
则有
Bm ( z ) z i wmi H i ( z M ) , w e
i 0
M 1
j
2 M
22
矩阵形式：
1 1 H0 (zM ) B0 ( z ) 1 B ( z ) 1 W W M 1 z 1 H1 ( z M ) 1 M 1 ( M 1) 2 ( M 1) M W H M 1 ( z ) z BM 1 ( z ) 1 W
31
多相分解应用－高效实现取样速率变换
取样速率增加的多相网络实现（如图） 取样速率下降的多相网络实现（如图） 参考文献:
M.G.Bellager,etc, Digital filtering by polyphase network: Applicationto sample-rate alteration & filterbank, IEEE T-ASSP,24(2),1976
11
多速率系统（续）
• 多速率构件的互连 :
例1: u[k]=1,2,3,4,5,6,7,8,9,… (L=2,N=3)
例 2: u[k]=1,2,3,4,5,6,7,8,9,… (L=2,N=4)
12
多速率系统（续）
• 多速率构件的互连 :
13
多速率系统（续）
参考文献：A.N.Akansu: Multiresolution signal Decoposition,
如果输入信号占据频带大于 2 / N 抽取将引入混迭 (aliasing) 因而抽取通常置于抗混迭滤波器之后。
8
抽取和内插的说明
9
多速率信号处理系统及其实现
现代信号处理ModernSignalProcessing40页PPT
遍历性
若 N li m E 2N 11tN Nx(tt1)Lx(ttk)(t1,L,tk)2 0
则 {x(t)}称 为 均 方 遍 历 信 号 。
2.两个随机信号的二阶统计量
互相关函数
Rxy()@E{x(t)y*(t)}
相同部分相乘（相同符号） 不同（随机）部分相乘 （平均意义上，相互抵消）。
考核方式 习题（11%） 计算机仿真（实验3次，24%） 考试（65%）
第一章 随机信号
本章主要介绍随机信号的基本概念：相关 函数、功率谱密度、两个信号的正交、统计不 相关和统计独立、相干信号以及它们的几个典 型应用。
1.信号分类
信号——信息的载体
连 续 时 间 信 号s(t) t 离 散 时 间 信 号s(k) k为 整 数
▪ 时分多址(TDMA: time-division multiple access): 各个用户的信号波形在时域上无重叠 正交(时域正交)
用户1和用户2之间有一个保护时隙
b
a si
(t)s*j (t)dt
0,
i j
共享：整个频带
正交的两个典型应用(续)
▪ 频分多址(FDMA: frequency-division multiple access): 各个用户的信号波形在频域上无重叠 频域正交
E wi 2 qiHqi
im1
im1
由wi qiHx得：E wi 2 E qiHxxHqi qiHE xxH qi qiHRxqi
正交的两个典型应用(续)
M
最优化： min Em min
q
H i
R
x
q
i
im 1
约
束
现代信号处理教程-胡广书(清华)
现代信号处理教程-胡广书(清华)jtt2g t， g，ed qt2q（4.4.2）式中g t，由（4.3.7）式定义。
由（4.3.8）和（4.3.9）及上式结果，有Cx t，21jxu2xu2qt u2qt u2dued，则上式变成令u2，u2Cx t，1j x x qt qt ed d21j jx qt ed x qt ed（4.4.3）221Xq2于是结论得证。
式中Xq是x t乘上窗函数q t后的傅立叶变换。
该式说明，如果g，是某一函数的模糊函数，那么用此g，所得到的Cx t，等效于谱图。
因此，谱图也是Cohen类成员。
2．P1，实值性，即Cxt，R，t，，Q１：g，g，证明：由（4.1.1）式，t，Cx12j t u xu2xu2g，ed du d 令，，则上式变为t，Cx12j t uxu2xu2g，ed dud显然，如要求t，Cx t，，必有g，g，Cx3、时移：P2：若s t x t t0，则Cs t，Cx t t0，Q2： g，不决定于t证明：因为g 4、频移：，处于，域，和t无关，所以它不影响分布的时移性质；若sP3：t x t ej t，则Cs t，Cx t，0Q3：g，与无关性质P2与P3称为Cohen类时－频分布的“移不变”性质，它包含了时移和频移。
5、时间边缘条件，即12Ct，d xtP4：x2Q4：g，0 1证明：将（4.1.1）式两边对积分，有Cx t，d12j t uxu2xu2g，edud d dx u2x u2g，e j t u dud d x u g，0e j t u dud2欲使上式的积分等于x t，必有欲使该式成立，必有j(t u)g(,0)ed2(t u)01，也就是说，为保证C t，具有WVD的边界性质，g，xg，在轴上始终为1。
6、频率边缘条件，即P5： Q5：Cx t，dt Xg0， 12其证明请读者自己完成。
112前已述及，为了有限的抑制AF中远离，0，0的互项，希望g，应为，平面上的2－D低通函数。
现代信号处理教程-胡广书(清华)
现代信号处理教程-胡广书(清华)jtt2g t， g，ed qt2q（4.4.2）式中g t，由（4.3.7）式定义。
由（4.3.8）和（4.3.9）及上式结果，有Cx t，21jxu2xu2qt u2qt u2dued，则上式变成令u2，u2Cx t，1j x x qt qt ed d21j jx qt ed x qt ed（4.4.3）221Xq2于是结论得证。
式中Xq是x t乘上窗函数q t后的傅立叶变换。
该式说明，如果g，是某一函数的模糊函数，那么用此g，所得到的Cx t，等效于谱图。
因此，谱图也是Cohen类成员。
2．P1，实值性，即Cxt，R，t，，Q１：g，g，证明：由（4.1.1）式，t，Cx12j t u xu2xu2g，ed du d 令，，则上式变为t，Cx12j t uxu2xu2g，ed dud显然，如要求t，Cx t，，必有g，g，Cx3、时移：P2：若s t x t t0，则Cs t，Cx t t0，Q2： g，不决定于t证明：因为g 4、频移：，处于，域，和t无关，所以它不影响分布的时移性质；若sP3：t x t ej t，则Cs t，Cx t，0Q3：g，与无关性质P2与P3称为Cohen类时－频分布的“移不变”性质，它包含了时移和频移。
5、时间边缘条件，即12Ct，d xtP4：x2Q4：g，0 1证明：将（4.1.1）式两边对积分，有Cx t，d12j t uxu2xu2g，edud d dx u2x u2g，e j t u dud d x u g，0e j t u dud2欲使上式的积分等于x t，必有欲使该式成立，必有j(t u)g(,0)ed2(t u)01，也就是说，为保证C t，具有WVD的边界性质，g，xg，在轴上始终为1。
6、频率边缘条件，即P5： Q5：Cx t，dt Xg0， 12其证明请读者自己完成。
112前已述及，为了有限的抑制AF中远离，0，0的互项，希望g，应为，平面上的2－D低通函数。
现代信号处理的理论和方法》2
c4 x 1 , 2 cum x1 , x2 , x3 , x4 E x t x t 1 x t 2 x t 3 E x t x t 1 E x t 2 x t 3 E x t x t 2 E x t 1 x t 3 E x t x t 3 E x t 1 x t 2 E x1 , x2 , x3 , x4 cum x1 , x2 , x3 , x4 cum x1 , x2 cum x3 , x4 cum x1 , x3 cum x 2 , x4 cum x1 , x4 cum x2 , x3
应用：
高阶谱可以自动抑制各种加性高斯噪声； 高阶谱可以用来重构信号的幅度和相位； 高阶谱可以用来检测时间序列的非线性结构。
高阶矩与高阶累积量的定义
单个随机变量x的高阶矩与高阶累积量：
函数g(x)的均值： E g x f ( x) g x dx
def
q
注：求和取遍所有可能的划分。
集合I={1,2,3}的分割
（1）、分割为一个子集合：q=1
I 1,2,3 mx I cumx t x t 1 x t 2
（2）、分割为两个子集合：q=2
I1 1 , 2,3 mx I1 cum x t cum x t 1 x t 2 I 2 2 , 1,3 mx I 2 cum x t 1 cum x t x t 2 I 3 3 , 1, 2 mx I 3 cum x t 2 cum x t x t 1
现代数字信号处理概论幻灯片-全文可读
散时间傅里叶变换 、z变换等理论对确定信号 进行处理。
■ 现代数字信号处理 : 在传统数字信号处理理论基础之上 ，基于概率统
计的思想 ，用数理统计 、优化估计 、线性代数 和矩阵计算等理论进行研究 ， 处理的信号通常 是离散时间随机过程 ，且系统可能是时变 、非 线性的
■ 金年文 ， 韦岗 ，现代数字信号处 理简明教程 ，清华大学出版社 ， 2004 年1月
教材选择
■ 个人可以选择所列参考书目中任意一本 作为教材 ， 都是经典教材 ， 本人所选为 何子述的教材 ， 利于讨论
■ 课件为主 ， 教材为辅 ■ 考核中涉及到的均从相应配套习题集中
选择（姚天任 ， 何子述 ， 丁玉美等）
非参数检测与估计
■ 非参数检验（Nonparametric tests）是统计分析方 法的重要组成部分 ，它与参数检验共同构成统计推断 的基本内容 。参数检验是在总体分布形式已知的情况 下 ，对总体分布的参数如均值、方差等进行推断的方 法 。但是，在数据分析过程中， 由于种种原因，人们 往往无法对总体分布形态作简单假定 ，此时参数检验 的方法就不再适用了 。非参数检验正是在总体方差未 知或知道甚少的情况下 ，利用样本数据对总体分布形 态等进行推断的方法 。 由于非参数检验方法在推断过 程中不涉及有关总体分布的参数 ， 因而得名为“非参 数 ”检验 。
10
课程讲述线索
■ 本课程采用对不同处理对象的线索来讲解：
➢ 确定性信号 －>随机信号； ➢ 平稳信号处理 －>非平稳信号处理 ; ➢ 时域 －>频域－>时频分析 ;
■ 根据处理对象和应用背景的不同而选择相应 的处理方法
胡广书《现代信号处理教程》第二章.
Gt , ( ) g ( t )e
j j
e
d
e j ( )t g (t )e j ( )t dt G( )e j ( )t
由于
1 x(t ), gt , ( ) X ( ), Gt , ( ) 2 1 * j ( ) t X ( ) G ( ) e d 2
j
在时域也是有限支撑的;
j e 由于 在频域是线谱，所以STFT的基函数
gt , ( ) g ( t )e j Gt , (v)
的频谱的形状取决于 G (v) ，接近于有限支撑的。 而频率中心由 e j 来决定， 这样，利用STFT可实 现对 x(t ) 时－频定位的功能。
2
Linear scale
Energy spectral density
0.4
Frequency [Hz]
167 84 0
0.3
0.2
0.1
0
20
40
60 80 Time [s]
100
120
例5
设 x(t ) 由两个时频“原子”构成, 一个时间中心 t1 50 处，时宽是32，另一个时间中心在 t2 90 处时宽也是32，调制信号的归一化频率都是0.25 。 选择 g ( )为Hanning窗
t1
t2
例1
令 x( ) ( 0 ) ，可以求出其
STFTx (t , ) ( 0 ) g ( t )e g ( 0 t )e j 0
j
d
该例说明，STFT的时间分辨率由窗函数 g ( ) 的 宽度而决定。
例2
若 x( ) e
第2章 短时傅立叶变换与 Gabor变换
信号处理原理PPT课件
函数正交的充要条件是它们的内积为0 f1,f2 0
函数f1(t)和f2(t)在(t1,t2)上的内积：
f1,f2
t2 t1
f1(t)f2*(t)dt
{gn(t): 1nN}是区间(t1,t2)上的正交函数集的条件：
12
级数展开与信号变换
13
正交变换（K－L变换）
14
傅里叶级数展开
正交函数集
三角函数集
{1 ,cosn1t,sinn1t:n N }
复指数函数集
n是非负的自然数
{ejn 1t : n Z}
n是可正可负的整数
如果正交函数集是三角函数集或指数 函数集，则周期函数展成的级数就是 “傅里叶级数”。
相应的级数通常被称为“三角形式傅里叶级数” 和“指数形式傅里叶级数”。
奇周期信号的FS
积分项为奇函数
Fn是奇对称的
T1
f(t)con s1tdt0
积分项为奇函数
20
傅里叶频谱
Fn FS谱
Fn
FS幅度谱
n Arg(Fn)
FS相位谱
周期信号的傅里叶频谱特点：
(1) 仅在一些离散频率点(nf1)上有值。
(2) 离散间隔为f1, 1 2f1 2/T 1
f(t),gn(t) K n
K 1 n t1 t2f(t)gn *(t)dt
K ng n(t),g n(t)t1 t2g n(t)g n *(t)d t
9
信号正交分量分解
N
f (t)
cngn (t) 正交函数集 {g n (t ) }
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处时宽也是32，调制信号的归一化频率都是0.25 。
选择 g( )为Hanning窗
Energy spectral density
Linear scale
Real part
Signal in time 1 0.5 0 -0.5
|STFT|2, Lh=27, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%
由于
||g()||1
所以
Sx(t,)dt dEx
谱图是信号能量的分布。
STFT和谱图的性质
若 y(t)x(t)ej0，t 则
S T F T y(t, ) S T F T x(t, 0 )
Sy(t, )Sx(t, 0)
若 y(t)x(tt0) ， 则
S T F T y (t, ) S T F T x (t t0 , )e j t0 Sy(t, )Sx(tt0, )
第2章 短时傅立叶变换与 Gabor变换
2.1 连续信号的短时傅立叶变换 2.2 短时傅立叶反变换 2.3 离散信号的短时傅立叶变换 2.4 Gabor变换的基本概念
2.5 临界抽样时连续信号展开系数的计算 2.6 过抽样情况下连续信号展开系数的计算
2．1 连续信号的短时傅立叶变换
（Short Time Fourier Transform，STFT）
g(0t)ej 0
该例说明，STFT的时间分辨率由窗函数 g( ) 的
宽度而决定。
例2 若 x()ej0 ，则
STFTx(t,) ej0g(t)ejd
G(0)ej(0)t
STFT的频率分辨率由 g( ) 频谱的宽度来决定。
例3 若 g() 1 ，则 ，
G()() STFTx(t, )X( )
这时，STFT减为简单的FT，这将给不出任何的时间
的频谱的形状取决于 G ( v ) ，接近于有限支撑的。
而频率中心由 e j 来决定， 这样，利用STFT可实 现对 x ( t ) 时－频定位的功能。
G t, ()g( t)ej ejd ej( )t g(t)ej( )td tG ( )ej( )t
由于 x(t),gt,()21X(),Gt,()
概念：
式中
x(t)L2(R) 其STFT定义为:
S T F T x ( t, ) x () g t * , () d x () ,g t, ()
gt,()g(t)ej 窗函数应取
||g()||1
对称函数。
STFTx(t,) x()g*(t)ejd
x(),g(t)ej
x(τ)
Real part
Signal in time
0.5 0
-0.5
|STFT|2, Lh=0, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%
0.4 0.3 0.2 0.1
0 167 84 0
Frequency [Hz]
20
40
60
80 100 120
Time [s]
例5 设 x ( t由) 两个时频“原子”构成, 一个时间中心在
x()g(t1)x()g(t2) x()g(t3)
0
t1
t2
t3
τ
Ω
FT
FT
FT
0
t1
t2
t3
t
由于g ( ) 是窗函数，因此它在时域应是有限支撑的;
同理，gt,()g(t)ej 在时域也是有限支撑的;
由于 e j 在频域是线谱，所以STFT的基函数
g t, () g ( t)ej G t, (v )
0.4 0.3 0.2 0.1
0 168 84 0
Frequency [Hz]
20
40
60
80
100 120
Time [s]
例4 令 g()()，则 S T F T x(t, )x(t)ej t
可准确地实现时域定位，但无法实现频域定位。
Energy spectral density
Linear scale
时间中心 0 由 g ( ) 的中心位置所决定 ，即
t1,t2, ,tn
频率中心 v 由0 G(v)的中心决定，即
1,2, ,n
时宽：2 2|g()|2d
与时移 t
带宽：2 21
2|G()|2d
与频移
无关 无关
思考： 各与什 么有关
STFT的基函数
gtk, l()g(tk)ej l
定位信息。其实，由于 g( ) 为无限宽的矩形窗，故
等于没有对信号作截短。
高斯Chirp调制信号
Linear scale
Real part
Signal in time
0.5 0
-0.5
|STFT|2, Lh=63, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%
Energy spectral density
0.4
Frequency [Hz]
0.3
0.2
0.1
0
4091 2045 0
20 40 60 80 100 120
Time [s]
窗函数的宽度为13
概念：
“谱图（spectrogram）”
S T F T x ( t, )2x ()g ( t) e j d2 S x ( t, )
谱图是恒正的，且是实的。
t 时间中心在 处 k
频率中心在 l 处
分辨“细胞”为 v
Ω2
Gt, (v)
Gt, (v) Ω1vg t, ( )
t1
v
g t, ( )
t2
分辨“细胞”和t k
l 无关，即不
论 tk 和 l 处
在何处，分辨细
胞的形状都保持
不变。这是STFT 的特点。
例1
令 x()(0)，可以求出其
STFTx(t, )(0)g(t)ej d
21
X()G*()ej()td
所以：
S T F T x (t, ) e j t2 1 X ()G * ( )e jtd
STFT的频域表达式
对 x ( ) 在时域加窗 g( t) 对 X ( v ) 在频域加窗 G(v )
等效
有了时－频定位功能，下面再关心其时－频分辨率。
时—频分辨率
0.4 0.3 0.2 0.1
0 4091 2045 0
Frequency [Hz]
20
40
60
80 100 120
Time [s]
窗函数的宽度为55
Energy spectral density
Linear scale
Real part
Signal in time 1 0.5 0 -0.5
|STFT|2, Lh=6, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%