最新314恒定磁场基本方程汇总
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大学物理第7章恒定磁场(总结)
磁场对物质的影响实验
总结词
磁场对物质的影响实验是研究磁场对物质性 质和行为影响的实验，通过观察物质在磁场 中的变化，可以深入了解物质的磁学性质和 磁场的作用机制。
详细描述
在磁场对物质的影响实验中，常见的实验对 象包括铁磁性材料、抗磁性材料和顺磁性材 料等。通过观察这些材料在磁场中的磁化、 磁致伸缩等现象，可以研究磁场对物质内部 微观结构和宏观性质的影响。此外，还可以 通过测量物质的磁化曲线和磁滞回线等参数 ，进一步探究物质的磁学性质和磁畴结构。
毕奥-萨伐尔定律
02
描述了电流在空间中产生的磁场分布，即电流元在其周围空间
产生的磁场与电流元、距离有关。
磁场的高斯定理
03
表明磁场是无源场，即穿过任意闭合曲面的磁通量恒等于零。
磁场中的电流和磁动势
安培环路定律
描述了电流在磁场中所受的力与 电流、磁动势之间的关系，即磁 场中的电流所受的力与电流、磁 动势沿闭合回路的线积分成正比。
磁流体动力学
研究磁场对流体运动的影响，如磁场对流体流动的导向、加速和 减速作用。
磁力
磁场可以产生磁力，对物体进行吸引或排斥，可以用于物体的悬 浮、分离和搬运等。
磁电阻
某些材料的电阻会受到磁场的影响，这种现象称为磁电阻效应， 可以用于电子器件的设计。
磁场的工程应用
1 2
磁悬浮技术
利用磁场对物体的排斥力，实现物体的无接触悬 浮，广泛应用于高速交通、悬浮列车等领域。
磁动势
描述了产生磁场的电流的量，即 磁动势等于产生磁场的电流与线 圈匝数的乘积。
磁阻
描述了磁通通过不同材料的难易 程度，即磁阻等于材料磁导率与 材料厚度的乘积。
磁场中的力
安培力
恒定磁场
三、恒定磁场电流或运动电荷在空间产生磁场。
不随时间变化的磁场称恒定磁场。
它是恒定电流周围空间中存在的一种特殊形态的物质。
磁场的基本特征是对置于其中的电流有力的作用。
永久磁铁的磁场也是恒定磁场。
1、磁通密度与毕奥－萨伐尔定律磁通密度是表示磁场的基本物理量之一，又称磁感应强度，符号为B。
电流元受到的安培力 B l d I f d⨯''=毕奥——萨伐尔定律 ⎰⨯=l r r l Id B 2004 πμ对于粗导线，可将导线划分为许多体积元dV 。
⎰⎰⎰⨯=Vrr dV J B 24 πμ 2、磁通连续性定理磁场可以用磁力线描述。
若认为磁场是由电流产生的，按照毕奥－萨伐尔定律，磁力线都是闭合曲线。
磁场中的高斯定理 0d =⋅⎰⎰SS B式中，S 为任一闭合面，即穿出任一闭合面的磁通代数和为零。
应用高斯散度定理⎰⎰⎰⎰⎰⋅∇=⋅VSdV B S B d0＝⎰⎰⎰⋅∇VdV B由于V 是任意的，故 0＝B⋅∇式中⋅∇为散度算符。
这是磁场的基本性质之一，称为无散性。
磁场是无源场。
3、磁场中的媒质磁场对其中的磁媒质产生磁化作用，即在磁场的作用下磁媒质中出现分子电流。
总的磁场由自由电流与分子电流共同产生。
永磁铁本身有自发的磁化，因而不需要外界自由电流也能产生磁场。
磁媒质的磁化程度用磁化强度M来表征，它是单位体积内的磁偶极矩。
磁偶极矩：环形电流所围面积与该电流的乘机为磁偶极矩，其方向与电流环绕方向符合右螺旋关系。
n IS P m =磁场强度 M B H-=0μ 或 )(0M H B +=μ本构方程 由m H M χ=可得 H B μ＝，该式称为磁媒质的成分方程或本构方程。
磁媒质的分类：r m μμχμμ00)1(=+=，顺磁质 1>r μ，抗磁质 1<r μ，铁磁质1>>r μ。
4、安培环路定律磁场强度H沿闭合回路的积分，等于穿过该回路所限定的面上的自由电流。
回路的方向与电流的正向按右螺旋规则选定。
3.3恒定磁场的基本方程
o a
r
I I
得 H e
I I , B e 0 2r 2r
Chap.3 恒定电流的电场和磁场— §3.3 恒定磁场的基本方程
【例2】判断矢量函数 B Ay ex Ax ey 是否可能是某区域的磁感应 强度，如果是，求相应的电流分布。
【解】： 由于
Bx By Bz B 0 x y z
c
R (dl dl ) 4π c ' R3
d
0 I
c
4电场和磁场— §3.3 恒定磁场的基本方程
（1）积分回路C不与电流回路相交链
0
C
c
B dl 0
I
A
B
C
（2）积分回路C与电流回路相交链
4 π
c
B dl 0 I
一、 磁通连续性原理
设 B 是由直流回路C产生的磁 B dS 感应强度，S 为一闭合曲面，则 S 0 磁感应强度 B 穿过S 的磁通量为
S
B 就是磁通量的面密
度，又称为磁通密度
4
c
Idl R dS 3 R
( A B) C A (B C)
B 0
2. 安培环路定律
c
B dl 0 I
B 0 J
3. 恒定磁场的基本方程
B dS 0
S
B 0
H dl I
l
H J
Chap.3 恒定电流的电场和磁场— §3.3 恒定磁场的基本方程
作业：P85 3-11、3-12
由
B d S BdV 0
r
I I
得 H e
I I , B e 0 2r 2r
Chap.3 恒定电流的电场和磁场— §3.3 恒定磁场的基本方程
【例2】判断矢量函数 B Ay ex Ax ey 是否可能是某区域的磁感应 强度，如果是，求相应的电流分布。
【解】： 由于
Bx By Bz B 0 x y z
c
R (dl dl ) 4π c ' R3
d
0 I
c
4电场和磁场— §3.3 恒定磁场的基本方程
（1）积分回路C不与电流回路相交链
0
C
c
B dl 0
I
A
B
C
（2）积分回路C与电流回路相交链
4 π
c
B dl 0 I
一、 磁通连续性原理
设 B 是由直流回路C产生的磁 B dS 感应强度，S 为一闭合曲面，则 S 0 磁感应强度 B 穿过S 的磁通量为
S
B 就是磁通量的面密
度，又称为磁通密度
4
c
Idl R dS 3 R
( A B) C A (B C)
B 0
2. 安培环路定律
c
B dl 0 I
B 0 J
3. 恒定磁场的基本方程
B dS 0
S
B 0
H dl I
l
H J
Chap.3 恒定电流的电场和磁场— §3.3 恒定磁场的基本方程
作业：P85 3-11、3-12
由
B d S BdV 0
恒定磁场的基本定律
Ω = Ω1 + Ω 2 = 0
S、S'、dS构成的闭合曲面对 点的立体 、 、 构成的闭合曲面对 构成的闭合曲面对P点的立体 角为零， 角为零，即－ 1＋ 2＋d ＝0，所以立 ＋ ＋ ， 体角的变化为
R2 这就是P点位移 时立体角的改变量。 点位移dl 这就是 点位移 时立体角的改变量。P 点沿着回路L移动一周时 移动一周时， 点沿着回路 移动一周时，立体角的变化 为
dS = S ′ − S =
∫ ( −dl × dl ′)
C
即图中S与 之间的环形表面 之间的环形表面面 即图中 与S’之间的环形表面面 是图中阴 元为 dS' = −dl × dl ′ ，是图中阴 影部分平行四边形的面积， 影部分平行四边形的面积， 整个 环形的面积为
图 3-10P 环路定律
dS = ∫ dS ′ =
∫ H ⋅ dl = ∑ I
l
0i
( 3.11)
( −dl × dl ′) ⋅ eR dl ′ × eR I I ∫ L H ⋅ dl = ∫ L 4π ∫C R 2 ⋅ dl = 4π ∫ L ∫C R2 ( dl × dl ′) ⋅ eR I =− ( 3.14 ) ∫ L ∫C R 2 4π B 1 µ Idl ′ × er H= = ( 3.2 ) ∫l r 2 µ µ 4π
L
∫
L
H ⋅ dl = ∑ I i
i
( 3.19 )
积分回路L包围的电流 图3.3 积分回路 包围的电流
其中， 所包围的电流的代数和， 其中， I i 是L所包围的电流的代数和，在图 3中 所包围的电流的代数和 在图3. 中 ∑
i
∑I
i
i
= I1 − I 2
恒定磁场3-3_7515_341_20100408101407.
B1 = μ1H1 = μ0(50ex + 60ey ) (T)
作业 3-3-3
解： B2 = μ2H2
= 3μ0 (10ex + 20ey ) = μ0 (30ex + 60ey )
∵ H1t = H2t ∴ H1x = H1t = H2t =10
∵ B1n =B2n
∴ B1y = B2n = B1n =60μ0
H 1y
=
B1 y
μ1
=
60μ0 5μ0
= 12
H1 = H1xex + H1yey =10ex +12ey (A/m)
3.3 恒定磁场的基本方程
分界面上的衔接条件
3.3.1磁通连续性原理
磁通
Φm = ∫ B ⋅ dSS Nhomakorabea实验表明磁感应线是闭合的，这样对于任意闭合面
∫ B ⋅ dS = 0
S
由散度定理 ∫ B ⋅ dS = ∫ ∇ ⋅ BdV = 0
S
V
∇⋅B = 0
恒定磁场是无散场
3.3.2 恒定磁场的基本方程
恒定磁场的基本方程表示为
图3.3.3铁磁媒质与空气分界面上磁场的折射
它表明只要铁磁物质侧的B不
与分界面平行，那么在空气侧的B
可认为近似与分界面垂直。
例 3.3.3 设y = 0 平面是两种媒质的分界面。
μ1 = 5μ0; μ2 = 3μ0 ,分界面上无面电流
且H 2 = 10ex + 20ey (A/m)试求 B1，B2与 H2 的分布。
P点作一小扁圆柱，
令Δl →0
则根据
∫ s B ⋅ dS = 0
图3.3.1 分界面上 B 的衔接条件
作业 3-3-3
解： B2 = μ2H2
= 3μ0 (10ex + 20ey ) = μ0 (30ex + 60ey )
∵ H1t = H2t ∴ H1x = H1t = H2t =10
∵ B1n =B2n
∴ B1y = B2n = B1n =60μ0
H 1y
=
B1 y
μ1
=
60μ0 5μ0
= 12
H1 = H1xex + H1yey =10ex +12ey (A/m)
3.3 恒定磁场的基本方程
分界面上的衔接条件
3.3.1磁通连续性原理
磁通
Φm = ∫ B ⋅ dSS Nhomakorabea实验表明磁感应线是闭合的，这样对于任意闭合面
∫ B ⋅ dS = 0
S
由散度定理 ∫ B ⋅ dS = ∫ ∇ ⋅ BdV = 0
S
V
∇⋅B = 0
恒定磁场是无散场
3.3.2 恒定磁场的基本方程
恒定磁场的基本方程表示为
图3.3.3铁磁媒质与空气分界面上磁场的折射
它表明只要铁磁物质侧的B不
与分界面平行，那么在空气侧的B
可认为近似与分界面垂直。
例 3.3.3 设y = 0 平面是两种媒质的分界面。
μ1 = 5μ0; μ2 = 3μ0 ,分界面上无面电流
且H 2 = 10ex + 20ey (A/m)试求 B1，B2与 H2 的分布。
P点作一小扁圆柱，
令Δl →0
则根据
∫ s B ⋅ dS = 0
图3.3.1 分界面上 B 的衔接条件
大学物理电磁学公式总结(精选2024)
05
交流电路中的电磁学公式应用
正弦交流电三要素及有效值概念
要点一
正弦交流电的三要素
要点二
有效值概念
最大值（峰值）、角频率（或频率、周期）和初相位。
正弦交流电的有效值等于其最大值的√2/2倍，用于描述交 流电做功能力的大小。
复数表示法及相量图解法在交流电路中应用
复数表示法
用复数表示正弦交流电，实部表示有效值，虚部表示 电导线在磁场中所受的力，公式为F = BIL，其中B为磁感应强度，I为电 流，L为导线长度。
麦克斯韦方程组
高斯定理
表示电场中电通量与电荷量的关系，公式 为∮E·dS = Q/ε0，其中E为电场强度，dS 为面积元，Q为电荷量，ε0为真空介电常
数。
法拉第电磁感应定律
表示磁场变化时产生的感应电动势，公式 为ε = -dΦ/dt，其中ε为感应电动势，Φ为
电磁辐射的相对论效应
高速运动电荷产生的电磁辐射在频率、方向等方面会发生变化。
统一场论思想及其发展
01
爱因斯坦的统一场论思想
试图将引力场和电磁场统一在一个理论框架内，尽管未能实现，但为后
世研究提供了重要启示。
02
弦理论与M理论
现代物理理论试图通过更高维度的空间和时间来实现场论的统一，弦理
论和M理论是其中的代表。
库仑定律
描述两个点电荷之间的相互作用力，公式为$F = kfrac{q_1q_2}{r^2}$，其中$k$为库仑常数，$q_1$和 $q_2$为两个点电荷的电荷量，$r$为它们之间的距离。
电场强度
描述电场中某点的电场力作用效果，公式为$E = frac{F}{q}$，其中$F$为试探电荷所受的电场力，$q$为试 探电荷的电荷量。
电磁场-恒定磁场
PN = r cosθ
x
N
φ'
M
y
eϕ
NM 2 = a 2 + (r sinθ ) 2 − 2a(r sinθ ) cosϕ'
2a a2 R = (r cosθ ) + a + (r sinθ ) − 2a(r sinθ ) cosϕ ' = r 1 − sin θ cos ϕ '+ 2 r r
2 2 2
电磁场与电磁波
矢量磁位
v u µ0 Idl ' v dA= 4π R
v v dl ' = adϕ ' eϕ
P
r
z
µ 0 Ia cos ϕ ' dAϕ = 2dA cos ϕ ' = dϕ ' 2πR µ 0 Ia π cos ϕ ' Aϕ = ∫0 R dϕ ' 2π
θ
R
a
r'
其中
R 2 = PN 2 + NM 2
u v ∇⋅B = 0
磁通连续性原理
上式称为磁通连续性原理 上式称为磁通连续性原理 磁感应强度穿过任意闭合面的磁通量恒为零， 磁感应强度穿过任意闭合面的磁通量恒为零，即磁通 穿过任意闭合面的磁通量恒为零 总是连续的，磁场线总是闭合曲线 闭合曲线。 总是连续的，磁场线总是闭合曲线。磁通连续性原理是磁 场的一个基本特征 基本特征。 场的一个基本特征。
2010-12-8
Page 16
合肥工业大学
电磁场与电磁波
矢量磁位
因为 将上式展开为泰勒级数， r >> a 将上式展开为泰勒级数，取前两项
a 1 1 ≈ (1 + sin θ cos ϕ ' ) R r r
x
N
φ'
M
y
eϕ
NM 2 = a 2 + (r sinθ ) 2 − 2a(r sinθ ) cosϕ'
2a a2 R = (r cosθ ) + a + (r sinθ ) − 2a(r sinθ ) cosϕ ' = r 1 − sin θ cos ϕ '+ 2 r r
2 2 2
电磁场与电磁波
矢量磁位
v u µ0 Idl ' v dA= 4π R
v v dl ' = adϕ ' eϕ
P
r
z
µ 0 Ia cos ϕ ' dAϕ = 2dA cos ϕ ' = dϕ ' 2πR µ 0 Ia π cos ϕ ' Aϕ = ∫0 R dϕ ' 2π
θ
R
a
r'
其中
R 2 = PN 2 + NM 2
u v ∇⋅B = 0
磁通连续性原理
上式称为磁通连续性原理 上式称为磁通连续性原理 磁感应强度穿过任意闭合面的磁通量恒为零， 磁感应强度穿过任意闭合面的磁通量恒为零，即磁通 穿过任意闭合面的磁通量恒为零 总是连续的，磁场线总是闭合曲线 闭合曲线。 总是连续的，磁场线总是闭合曲线。磁通连续性原理是磁 场的一个基本特征 基本特征。 场的一个基本特征。
2010-12-8
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合肥工业大学
电磁场与电磁波
矢量磁位
因为 将上式展开为泰勒级数， r >> a 将上式展开为泰勒级数，取前两项
a 1 1 ≈ (1 + sin θ cos ϕ ' ) R r r
3-4 磁介质中恒定磁场的基本方程
2
式中
m
M
3–4 介质中恒定磁场的基本方程 第三章恒定电流的电场和磁场
2 标量磁位的多值性
定义磁场中任意两点A、B之 间的磁压为
U mAB
B A
H d l mA mB
令B点为零磁位（ mB 0 ），则A点的磁位 mA 会因 积分路径的不同而数值不同. 要消除 mA 的有多值性，应规定所选的积分路径不 能与电流回路相交链。当然，标量磁位 mA 的有多值性 并不影响磁场强度 H的计算 .
标量磁位(单位：安培)
在均匀介质中
B 0
m 0
2
标量磁位的拉普拉斯方程
3–4 介质中恒定磁场的基本方程 第三章恒定电流的电场和磁场
在均匀介质中
B 0
m 0
2
标量磁位的拉普拉斯方程
在非均匀介质中,引入磁荷的概念后，磁标位满足泊 松方程，即
m m
J m d S)
S
传导电流
分布电流
(
B
J m d S
S
M d S
S
M dl
B M
C
C
0
M )dl
I
磁场强度 H
0
3–4 介质中恒定磁场的基本方程 第三章恒定电流的电场和磁场
库仑规范
A 0 2 A 0 J
A 0
2
无源区域
3–4 介质中恒定磁场的基本方程 第三章恒定电流的电场和磁场
四
标量磁位
1 标量磁位的定义
在自由电流等于零的区域内 J 0 H m H 0 H J
式中
m
M
3–4 介质中恒定磁场的基本方程 第三章恒定电流的电场和磁场
2 标量磁位的多值性
定义磁场中任意两点A、B之 间的磁压为
U mAB
B A
H d l mA mB
令B点为零磁位（ mB 0 ），则A点的磁位 mA 会因 积分路径的不同而数值不同. 要消除 mA 的有多值性，应规定所选的积分路径不 能与电流回路相交链。当然，标量磁位 mA 的有多值性 并不影响磁场强度 H的计算 .
标量磁位(单位：安培)
在均匀介质中
B 0
m 0
2
标量磁位的拉普拉斯方程
3–4 介质中恒定磁场的基本方程 第三章恒定电流的电场和磁场
在均匀介质中
B 0
m 0
2
标量磁位的拉普拉斯方程
在非均匀介质中,引入磁荷的概念后，磁标位满足泊 松方程，即
m m
J m d S)
S
传导电流
分布电流
(
B
J m d S
S
M d S
S
M dl
B M
C
C
0
M )dl
I
磁场强度 H
0
3–4 介质中恒定磁场的基本方程 第三章恒定电流的电场和磁场
库仑规范
A 0 2 A 0 J
A 0
2
无源区域
3–4 介质中恒定磁场的基本方程 第三章恒定电流的电场和磁场
四
标量磁位
1 标量磁位的定义
在自由电流等于零的区域内 J 0 H m H 0 H J
磁场基本方程
磁场基本方程磁场基本方程是描述磁场的物理规律的方程，它是电磁学的重要基础。
磁场基本方程包括麦克斯韦方程组和洛伦兹力公式。
本文将分别介绍这两个方程，以及它们在磁场研究中的应用。
一、麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程，它由四个方程组成，分别是高斯定律、法拉第电磁感应定律、安培环路定律和法拉第电磁感应定律的积分形式。
这四个方程分别描述了电场和磁场的产生、传播和相互作用。
1. 高斯定律高斯定律描述了电场的产生和传播。
它表明，电场线的起点和终点分别对应正电荷和负电荷，而电场线的密度与电场的强度成正比。
高斯定律的数学表达式为∮E·dA = Q/ε0，其中∮E·dA表示电场E在闭合曲面上的面积分，Q表示曲面内的电荷总量，ε0为真空中的介电常数。
2. 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律描述了磁场的产生和变化。
它表明，磁场的变化会引起感应电场的产生，感应电场的大小与磁场的变化率成正比。
法拉第电磁感应定律的数学表达式为∮E·dl = -dΦB/dt，其中∮E·dl表示电场E沿闭合回路的线积分，dΦB/dt表示磁通量ΦB 对时间的变化率。
3. 安培环路定律安培环路定律描述了电流和磁场的相互作用。
它表明，电流会产生磁场，并且磁场的强度与电流的大小成正比。
安培环路定律的数学表达式为∮B·dl = μ0I，其中∮B·dl表示磁场B沿闭合回路的线积分，μ0为真空中的磁导率，I表示回路内的电流。
4. 法拉第电磁感应定律的积分形式法拉第电磁感应定律的积分形式描述了电磁感应现象。
它表明，磁场的变化会引起感应电动势的产生，并且感应电动势的大小等于磁场变化的速率乘以回路的面积。
法拉第电磁感应定律的积分形式的数学表达式为∮E·dl = -d/dt ∬B·dA，其中∮E·dl表示电场E 沿闭合回路的线积分，∬B·dA表示磁场B通过闭合曲面的面积分。
4.6 恒定磁场的基本方程
B1 = B1φ eφ =
ρ eφ 2
例4.6.3 一环形磁芯由 µ1 , µ 2 两种磁性材料构 在磁芯轴心线上只有一无限长直载流导线， 成，在磁芯轴心线上只有一无限长直载流导线， 磁芯内的B， ， 求：1）磁芯内的 ，H，Φ ； 2） 分界面上的 ，H是否突变？ ） 分界面上的B， 是否突变 是否突变？ 选用柱坐标， 解：1）选用柱坐标，并应用安培环路定律
∂A2 ∂ρ
=−
C3
ρ
B1φ = −
∂ A1 ∂ρ
=
µ0 I
2πa
2
ρ
B2φ = −
∂ A2 ∂ρ
=−
C3
ρ
根据导体表面
H1t = H 2t → H1φ
ρ =a
= H 2φ
ρ =a
应有
I C3 =− 2π a µ0 a
µ0 I
2πa
→ C3 = −
µ0I
2π
µ0I B2 = B2φ eφ = eφ 2π ρ
s2
s1
∫
∫
b
a
µ1I h dρ + 2πρ
∫
c
b
µ2I h dρ 2πρ
=
µ1I h
b µ I h c I h b c ln + 2 ln = µ 1 ln + µ 2 ln 2π a 2π b 2π a b
2） 分界面上B，H均只有切向分量，分界面上无自由面电流， ， 均只有切向分量，分界面上无自由面电流， 故
4.6
恒定磁场的基本方程
• 分界面上的衔接条件
4.6.1 恒定磁场的基本方程
积分形式 磁通连续原理 微分形式 物理意义 恒定磁场没有通量源； 1、恒定磁场没有通量源； 线是无头无尾的矢量线。 2、 B线是无头无尾的矢量线。 线是无头无尾的矢量线
第5章 恒定磁场
M=
N∆Vm = Nm ∆V
5.4.2 磁化电流 磁化电流
磁化介质的场
全部磁介质在r处产生的磁矢位 磁矢位为 磁矢位
µ 0 M (r ' ) × R A= ∫V R 3 dV ' 4π µ0 1 = ∫VM × ∇' R dV ' 4π
可以将上式改写为
A=
µ0 4π
µ ∇'×M M dV '− 0 ∫ ∇' × dV ' ∫V R R 4π V
第五章 恒定电流的电场和磁场
5.1 恒定磁场的基本方程 恒定磁场的基本方程 5.2 矢量磁位 5.3 磁偶极子 5.4 磁介质中的场方程 磁介质中的场方程 5.5 恒定磁场的边界条件 恒定磁场的边界条件 5.6 标量磁位 标量磁位 5.7 互感和自感 5.8 磁场能量 磁场能量 5.9 磁场力
返回
5.1 恒定磁场的基本方程
5.1.1 磁通连续性原理
∫ B ⋅ dS = ∫ ∇ ⋅ BdV = 0
S V
由于上式中积分区域V是任意的， 所以对空间的各点，有
∇⋅B = 0
上式是磁通连续性原理 磁通连续性原理的微分形式，它表明磁感应强度B 磁通连续性原理 是一个无源 无源(指散度源)场。 无源
r>a时，
∇ 2 A2 =
1 ∂ ∂A2 r =0 r ∂r ∂r
µ 0 Ir 2 A1 = − + C11nr + C2 2 4πa
A2 = C31nr + C4
∂Az B = eφ ∂r
可以求出导线内、外的磁场 磁场分别为 磁场
µ 0 Ir B1 = eφ 2πa 2
C3 B2 = −eφ r
恒定磁场(Ⅰ)
把上式代入微元表达式得：
Hale Waihona Puke α 2 µ 0 Idzk × r µ 0 α 2 Idz sinα B = ∫ dB = ∫ j = 2 2 ∫ α1 4π α r 4π 1 r µ 0 α 2 I sinα µ 0 da j = (cosα1 − cosα 2 ) j = ∫ α 4π 1 R 4π
I R
图 8.10、安培环路定律
µ I B= 0 α 2π R µ0I µ0 I α ⋅ dl = ⋅ Rd θ B ⋅ dl = 2π R 2π R dθ = µ0I 2π µ0I ⇒ ∫ B ⋅ dl = d θ =µ 0 I 2π ∫
♠以长直导线为心的任意闭合曲线路径积分 1)、解释性证明
µ 0 I µ0 I µ0 I r α= k× k ×r = B= 2πr 2πr 2πr r µ0 I µ0 I ( xj − y i ) = k × ( x i + yj ) = 2 2 2πr 2πr
µ0 I µ0 I ( ) B x j y i • dl = • d ( xi + yj ) = − ∫ ∫ 2πr 2 ∫ 2π ( x 2 + y 2 ) ( xdy − ydx) dx = cosθdr − r sinθdθ x = r cosϑ ⇒ θ sin y r = dy = sinθdr + cosθ rdθ xdy = r cosθ (sinθdr + cosθ rdθ ) ⇒ xdy − ydx = r 2 dθ = ( x 2 + y 2 )dθ ydx = r sinθ (cosθdr − r sinθdθ ) 2π µ I µ0 I 0 ( ) ⇒ ∫ B • dl = ∫ xdy − ydx = dθ = µ0 I 2 2 ∫ 0 2π ( x + y ) 2π
Hale Waihona Puke α 2 µ 0 Idzk × r µ 0 α 2 Idz sinα B = ∫ dB = ∫ j = 2 2 ∫ α1 4π α r 4π 1 r µ 0 α 2 I sinα µ 0 da j = (cosα1 − cosα 2 ) j = ∫ α 4π 1 R 4π
I R
图 8.10、安培环路定律
µ I B= 0 α 2π R µ0I µ0 I α ⋅ dl = ⋅ Rd θ B ⋅ dl = 2π R 2π R dθ = µ0I 2π µ0I ⇒ ∫ B ⋅ dl = d θ =µ 0 I 2π ∫
♠以长直导线为心的任意闭合曲线路径积分 1)、解释性证明
µ 0 I µ0 I µ0 I r α= k× k ×r = B= 2πr 2πr 2πr r µ0 I µ0 I ( xj − y i ) = k × ( x i + yj ) = 2 2 2πr 2πr
µ0 I µ0 I ( ) B x j y i • dl = • d ( xi + yj ) = − ∫ ∫ 2πr 2 ∫ 2π ( x 2 + y 2 ) ( xdy − ydx) dx = cosθdr − r sinθdθ x = r cosϑ ⇒ θ sin y r = dy = sinθdr + cosθ rdθ xdy = r cosθ (sinθdr + cosθ rdθ ) ⇒ xdy − ydx = r 2 dθ = ( x 2 + y 2 )dθ ydx = r sinθ (cosθdr − r sinθdθ ) 2π µ I µ0 I 0 ( ) ⇒ ∫ B • dl = ∫ xdy − ydx = dθ = µ0 I 2 2 ∫ 0 2π ( x + y ) 2π
恒定磁场公式
恒定磁场公式恒定磁场是物理学中的一个重要概念，在我们的学习过程中，涉及到一系列的公式。
先来说说磁感应强度 B 这个家伙，它的定义式是 B = F / (IL) 。
这里面的 F 是磁场对电流元 IL 的作用力。
咱就说，有一次我在实验室里做实验，要测量一个小磁针在磁场中的受力情况。
那小磁针就像个倔强的小家伙，在磁场中左摇右摆，好不容易才稳定下来。
我紧紧盯着测力计上的读数，心里那个紧张啊，就怕出一点差错。
这就像我们在解题的时候，每一个数据都得小心翼翼地对待，不然得出的结果可就差之千里啦。
还有磁通量Φ，公式是Φ = BS 。
这个 S 指的是垂直于磁场方向的面积。
我记得有一次上课，老师拿了个巨大的线圈，然后用一块强磁铁在旁边晃悠，给我们演示磁通量的变化。
那磁铁一靠近，同学们的眼睛都瞪得老大，看着指针疯狂摆动，就好像在看一场精彩的魔术表演。
安培力的公式是F = BILsinθ ，这里的θ 是电流方向与磁场方向的夹角。
有一回我在做一道关于安培力的题目，怎么都算不对，急得我抓耳挠腮。
后来才发现，原来是我把角度给算错了，真是细节决定成败啊！洛伦兹力的公式是F = qvBsinθ ，这在研究带电粒子在磁场中的运动时可太重要了。
我曾经在科普视频里看到过关于粒子加速器的介绍，那些带电粒子在强大的恒定磁场中飞速旋转，遵循着这些公式所描述的规律，感觉真是神奇极了。
在学习恒定磁场公式的过程中，我深深地感受到，这些公式不仅仅是一堆枯燥的符号和数字，它们背后是神奇的物理世界。
就像我们通过一扇小小的窗户，窥探到了宇宙的奥秘一角。
有时候，我会想，要是没有这些公式，我们对于磁场的理解可能就像在黑暗中摸索，毫无头绪。
而有了它们，我们就像是有了指南针，能够在磁场的知识海洋中找到方向。
不过，学习这些公式可不能死记硬背，得理解它们的含义和适用条件。
不然，一遇到稍微复杂点的题目，就会像迷路的小羊羔，不知所措。
总之，恒定磁场的公式虽然有点复杂，但只要我们用心去学，多做练习，多观察生活中的相关现象，就一定能掌握它们，走进那个充满魅力的磁场世界！。
第4章 恒定电场和恒定磁场汇总
第4章 恒定电场和恒定磁场
例1 一个填充有两层导电媒质的平行板电容器，媒质参数分别为 1、1 和 2、2 ，外加电压U。求介质分界面上的自由电荷密度。 解 ：极板是理想导体， o 为等位面，电流沿z 方向。 U 1 , 1 d1 由 J1n J 2n J1 J 2 Jz ˆ d2 2 ,2 z J1 J1 J2 J2 ˆ, E2 ˆ E1 z z 1 1 2 2 d1 d 2 d1 d 2 J U ( ) U U1 U 2 E1d1 E2 d 2 ( ) J
tan 1 1 tan 2 2
电流由良导体进入不良导体时,在不良导体里的电流线近似与良导 体表面垂直，即良导体表面可以近似地看作等位面.
电磁场
第4章 恒定电场和恒定磁场
例如:
同轴线的内外导体通常由电导率很高(107数量级)的铜或铝制成, 而
填充在两导体间的材料不可能是理想的绝缘电介质, 总有很小的漏
恒定磁场
推论2: 当恒定电流通过电导率不同的两导电媒质时,其电流密度和
电场强度要发生突变。故分界面上必有电荷分布ρs 。
如: 两种导电媒质的分界面上, 根据D1n-D2n=ρs, 则得
J1n J 2n 1E1n 2 E2n
s E1n E2 n 0
第4章 恒定电场和恒定磁场
三、恒定电场的边界条件
• 场矢量的边界条件
J dS 0
S
ˆ ( J1 J 2 ) 0 即 J1n J 2n n
ˆ ( E1 E2 ) 0 即 E1t E2t n
ˆ n
1
E1
C
E dl 0
场矢量的折射关系
媒质1 媒质2
恒定磁场资料
4 V
r
4 V r
由于J是源点坐标 (x’,y’,z’)的函数， 而算符是对场 点坐标(x,y,z)求导
J=0
2024/7/19
第四章恒定磁场
12
因此，
B ( 0 J dV )
4 V r
根据定义可知
A 0 J dV
4 V r
磁感应强度B是唯一的，但的存在使得矢量磁位A
不是唯一的。
由B0，引入一个矢量A，满足B=A
A称为磁场B的矢量磁位，单位：韦伯/米（ Wb/m ）
由毕-萨定律可导出A的电流积分公式 ：
将
er 1
r2
r
(J) 1J J 1
rr
r
代入毕-萨定律
B 0 J er dV 0 J ( 1)dV
4 V r 2
4 V
r
0 ( J )dV 0 J dV
矢量场不仅要规定它的旋度，还必须规定它的散度。
由于A=Ax/x+Ay/y+Az/z，
而B=A与Ax/x、Ay/y、Az/z无关,
因此，A可以任意规定。每种规定称为一种规范。
在恒定磁场中,为了方便规定A=0，称为库仑规范 。
2024/7/19
第四章恒定磁场
13
4.3.2矢量磁位的边值问题
B=0
B=A
C1 r
不定积分求解，得
H
C2 r
由于r=0处H，故 C1=0
r=R处H1t=H2t ,即
J0R C2 2R
因此，导体内
H1
J0r 2
e
得
C2
J0R2 2
故导体外H 2
J0R2 2r
e
2024/7/19
恒定磁场3-5751534120100414132657
复习
• 恒定磁场的基本方程
GG
v∫
B
SG
⋅ dS
G
=
0
v∫
H
l
⋅dl
=
I
G ∇ ⋅B = 0
GG ∇×H = J
•分界面上的衔接条件
B1n =Leabharlann B2nH1t − H2t = K
GG GG (H1 − H2 ) × en = K
•磁矢位 A
G
G
B =∇×A
仅供自学参考
• 磁矢位 A 的边值问题
G
G
∇2A = −μJ
由
⎩⎨⎧HB11nt
= =
H2t B2n
G
(H = −∇ϕm)
推导得
⎧ϕm1 = ϕm2
⎪⎪
⎨
⎪ ⎪⎩
μ1
∂ϕm1
∂n
=
μ2
∂ϕm2
∂n
仅供自学参考
( 泊松方程 )
•分界面上矢量磁位的衔接条件
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
A1 1
μ1
= A2 ∂A1 ∂n
−
1
μ2
∂A2 ∂n
=
K
•磁矢位 A 的应用
仅供自学参考
3.5 磁位及其边值问题
3.5.1 磁位ϕm的引出 G
恒定磁场无电流区域 ∇×H = 0 →
G
H = −∇ϕm
ϕm——标量磁位，简称磁位（Magnetic Potential）
单位：A（安培）
磁压
∫ ∫ UmAB =
BG H
A
G ⋅ dl
=
−
dϕ ϕmB
ϕmA
m
= ϕmA
− ϕmB
• 恒定磁场的基本方程
GG
v∫
B
SG
⋅ dS
G
=
0
v∫
H
l
⋅dl
=
I
G ∇ ⋅B = 0
GG ∇×H = J
•分界面上的衔接条件
B1n =Leabharlann B2nH1t − H2t = K
GG GG (H1 − H2 ) × en = K
•磁矢位 A
G
G
B =∇×A
仅供自学参考
• 磁矢位 A 的边值问题
G
G
∇2A = −μJ
由
⎩⎨⎧HB11nt
= =
H2t B2n
G
(H = −∇ϕm)
推导得
⎧ϕm1 = ϕm2
⎪⎪
⎨
⎪ ⎪⎩
μ1
∂ϕm1
∂n
=
μ2
∂ϕm2
∂n
仅供自学参考
( 泊松方程 )
•分界面上矢量磁位的衔接条件
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
A1 1
μ1
= A2 ∂A1 ∂n
−
1
μ2
∂A2 ∂n
=
K
•磁矢位 A 的应用
仅供自学参考
3.5 磁位及其边值问题
3.5.1 磁位ϕm的引出 G
恒定磁场无电流区域 ∇×H = 0 →
G
H = −∇ϕm
ϕm——标量磁位，简称磁位（Magnetic Potential）
单位：A（安培）
磁压
∫ ∫ UmAB =
BG H
A
G ⋅ dl
=
−
dϕ ϕmB
ϕmA
m
= ϕmA
− ϕmB
《电磁场与电磁波》恒定磁场
分界面磁化电流: Km (M1 M2 ) en
Im
M dl
l
安培环路定理
1.真空中的安培环路定理
l B dl 0 I
真空磁场中，磁感应强度沿任意回路的 环路积分等于真空的磁导率乘以穿过该 回路所限定面的电流的代数和；
2.一般形式的安培环路定理
l B dl 0 ( I Im )
H dl H dl I
PaQ
PbQ
c
I
闭合回路PaQcP：
Q
H dl 2I PaQcP
H dl H dl 2I
PaQ
PcQ
规定:积分路径不穿过电流回路所限定的面。
2.标量磁位的边值问题 微分方程
B 0
H 0
H m
m 0
m m 0 均匀媒质：=0
2m 0 标量磁位的微分方程
Sd
（1）常磁链系统：
Wm
1 2
H BdV
V
V
B2 dV
20
B2Sd
2d
20 20S
f
Wm g
k const
2 20 S
吸力：F 2 f
3.虚位移法举例
例：分析电磁铁吸力，气隙截面积S，长d
1. 恒定磁场基本方程 恒定磁场的性质可由下面一组基本方程描述：
磁通连续性定理 SB dS 0 安培环路定理 l H dl I
各向同性线性媒质的构成方程
B 0 H J
B H
恒定磁场的性质：有旋无散。
2.分界面的衔接条件
B 的衔接条件
2
B2n B2
S h
1 B1
B1n
SB dS 0
B1nS B2nS 0 B1n B2n
恒定磁场基本方程
R2
真空中磁导率 (Permeability)：
0 4 10 7 (H / m)
真空中介电常数 (Dielectric Constant)：
0
4
1 9 109
8.851012(F
/ m)
1 ?
0 0
电磁场与电磁波
6
2.磁感应F1强2 度4C20、I2Cd2磁Cl12I通2dl4密20 度(CRI1 1I2d1ld1lR1 2aRa)R
B
0
4
'
r J
(r
')
r aR
R2
d
'
体电流
电磁场与电磁波
r
B
0
4
S'
r JS
(r
')
r aR
R2
dS
面电流
11
4.受力
r
vv
F Ñl Idl B
r dF
r Idl
r B
( dq )(vrdt )
r B
dqvr
r B
dt
洛伦兹力
r F
qvr
r B
2(
0 IR2 R2 x2
)3 / 2
ex
电磁场与电磁波
19
§3.2 矢量磁位
Important Conclusions:
B • dS A • dS A• dl
S
S
C
dA
0 Idl
4R源场
真空中磁导率 (Permeability)：
0 4 10 7 (H / m)
真空中介电常数 (Dielectric Constant)：
0
4
1 9 109
8.851012(F
/ m)
1 ?
0 0
电磁场与电磁波
6
2.磁感应F1强2 度4C20、I2Cd2磁Cl12I通2dl4密20 度(CRI1 1I2d1ld1lR1 2aRa)R
B
0
4
'
r J
(r
')
r aR
R2
d
'
体电流
电磁场与电磁波
r
B
0
4
S'
r JS
(r
')
r aR
R2
dS
面电流
11
4.受力
r
vv
F Ñl Idl B
r dF
r Idl
r B
( dq )(vrdt )
r B
dqvr
r B
dt
洛伦兹力
r F
qvr
r B
2(
0 IR2 R2 x2
)3 / 2
ex
电磁场与电磁波
19
§3.2 矢量磁位
Important Conclusions:
B • dS A • dS A• dl
S
S
C
dA
0 Idl
4R源场
1恒定磁场方程
4 V ' R
标量磁位φm
在没有传导电流的区域中, H =0
在这种无传导电流的区域中, 可写为 H m
上式φm称为磁场的标量位, 简称标量磁位或磁标位, 式中负号是 为了与静电场相对应而人为地引入的。
真空中, 可得
B (0H) 0(m) 0
2m 0
积分形式
•磁通连续性定律
•安培环路定律
sB dS 0 H dl I
C
B dl 0 I
C
求磁场思路小结
毕奥-萨伐定律——直接积分求解
线电流
B
0I
dl aR
4 C R2
面电流 体电流
B
0
J S aR dS
4 S R2
库仑规范 A 0（为了计算简便）
A 矢量磁位
B
0 4
C
Idl R2
aR
0I 4
( 1 ) dl CR
aB
0I dl 0Idl A
4 C R
C 4 R
Idl
R
dl 1 dl ( 1 ) dl
R2
真空中磁导率 ：
0 4 10 7 (H / m)
F12 I 2dl2 B
C2
B
0
I1dl1 aR
4 C1 R 2
磁通密度 磁感应强度
☆ 磁通密度和“毕奥-沙伐”定
理
dB
0 4
I源dl源 R源2 场
aR
标量磁位φm
在没有传导电流的区域中, H =0
在这种无传导电流的区域中, 可写为 H m
上式φm称为磁场的标量位, 简称标量磁位或磁标位, 式中负号是 为了与静电场相对应而人为地引入的。
真空中, 可得
B (0H) 0(m) 0
2m 0
积分形式
•磁通连续性定律
•安培环路定律
sB dS 0 H dl I
C
B dl 0 I
C
求磁场思路小结
毕奥-萨伐定律——直接积分求解
线电流
B
0I
dl aR
4 C R2
面电流 体电流
B
0
J S aR dS
4 S R2
库仑规范 A 0（为了计算简便）
A 矢量磁位
B
0 4
C
Idl R2
aR
0I 4
( 1 ) dl CR
aB
0I dl 0Idl A
4 C R
C 4 R
Idl
R
dl 1 dl ( 1 ) dl
R2
真空中磁导率 ：
0 4 10 7 (H / m)
F12 I 2dl2 B
C2
B
0
I1dl1 aR
4 C1 R 2
磁通密度 磁感应强度
☆ 磁通密度和“毕奥-沙伐”定
理
dB
0 4
I源dl源 R源2 场
aR
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是对场点坐标的运算，
此项计算为0
•B(r)0
电磁J场(与r电'磁)波0
12
•B0 ——恒定磁场散度方程的微分形式
恒定磁场没有通量源（散度源），是无散场 联想：
•D ——静电场散度方程的微分形式
静电场是有源场
电磁场与电磁波
13
6. 恒定磁场散度方程的积分形式
•B0
S B • d S V ( • B )d V 0
dB
0 4
Idl R2
(az
aR
)
0 4
Idl sin
R2
a
R
Idl
——“毕奥-沙伐”定理的微分形式
电磁场与电磁波
9
3. Biot-Savart’s Law
1. 微分形式 2. 积分形式
BdB40I4C0 dlIRdl2R asR2in线a电流
B40 ' J(rR ')2aRd'
(Idl er )
dB
0 Idl
sin
2
4 (R 2 x2 )
根据圆环磁场对 P 点的对称性，
dxB ds Bin dyB 0
B Bxex
4(
0
R2
I
x2
)
sin
ldlex
4
(
0
R2
I
x2
)
R R2
x2
2Rex
2(
0 IR2
R2 x2
)3 /
2
ex
电磁场与电磁波
18
§3.2 矢量磁位
Important Conclusions:
B • d S A • d S A • d l
体电流
dV
场分布对称时
安培环路定律
B•dl 0I
C
电磁场与电磁波
例. 电流环在轴线上的磁感应强度
直 已接 知求: 解半.径aB 和电Sd流B I40CIR 源 源 2dl场 源aR
Ild a (Iad )
R a zR co a srR sin
闭合 环路C
a
z
P(0,0,z)
R
RR源点到 ＝场 z2a点 2
•B0 •J(r')aRdV'
4 V'
R 2
aR 1
R2
R
•B4 0V' •[ R 1J(r')]d V' • ( F G ) G • F F • G
• [ 1 J ( r ') ] J ( r ') • 1 1 • J ( r ')
R
RR
J ( r ') 不是场点坐标变量的函数
y
单位 a R矢 ? 量
x
Idl
B 40 R Ia 20 2 a (a zc o s a rs in)d
a ra xco s a ysin a 电 磁场 与a 电x 磁s 波in a yc o s
坐标变换
16
a ( a zc o s a rs in) ( a x s in a y c o s) [ a zc o s ( a x c o s a y s in)s in]
B4 0
S'
JS(r')aRdS R2
体电流
电磁场与电磁波
面电流
10
4.受力
FlIdl B
d F Id l B (d q )(v d t) B d q v B d t
洛伦兹力
FqvB
F 合 qEqvB
电磁场与电磁波
11
5. 恒定磁场散度方程的微分形式
对于体电流分布 B4 0 V' J(rR ')2aRdV'
磁场强度：Magnetic Field Intensity H
B 单位：(1)Wb/m2 (2)特斯拉(T) (3)高斯
1Wb/m2 ＝1特斯拉＝1×104高斯
电磁场与电磁波
3
1. 安培力试验定律
Ampere’s Law of Force
将库仑力作用的空间定义为：电场空间
将安培力作用的空间定义为：磁场空间
真空中介电常数 (Dielectric Constant)：
04 9 1 190 8.8 5 1 1 0 (2 F/m )
1 ?
0 0
电磁场与电磁波
5
2.磁感应F 1强2 度4 C20、I2C d2磁C l1 2I通2d l4密2 0度(CR I11 I2d 1ld1lR 12a R a)R
314恒定磁场基本方程
电磁场与电磁波
§3-1 恒定磁场的基本方程
本节内容
先看一些试验定律：
安培力实验定律 “毕奥-沙伐”定理 安培环路实验定律
新内容：
分析恒定磁场需要的基本变量： 磁通密度、磁感应强度 真空中磁场的基本方程
电磁场与电磁波
2
将要学到的几个物理量
磁通：Magnetic Flux
磁通密度：Magnetic Flux Density B
真空中，线电流回路C1、C2
C1对C2的作用力为F1-2
dl1
F12
0 4 C2C1
I2dl2
(I1dl1
R2
aR
C1
)
O
r1
dl2
R
r2
电磁场与电磁波
C2
4
F 1240C2C1I2dl2(R I12dl1a R)
真空中磁导率 (Permeability)：
04 1 0 7(H /m )
B40R Ia2
2
0
a
(az
cosar
sin)d
az
0Ia 4R2
2 sinaz
0Ia2
2R3
az
0Ia2
3
2(z2 a2)2
B az
0 Ia2
3
2(z2 a2 )2
电磁场与电磁波
z
P(0,0,z)
闭合 环路C
a
x
R
Idl
y
17
解：元电流 Idl 在其轴线上P点产生的磁感应
强度为
dB
0 Id l e r 4r 2
B•dS -----磁通量 S
磁场中通过任何闭合曲面的磁通量恒等于0
•B 0
磁通连续性原理、
S B • dS 0
磁场中的高斯定理
电磁场与电磁波
14
例题: 求磁通密度
一般情况下
毕BB 奥 -44萨00I伐SCJ定dSlR 律R2a2R —adR—S线直电面接流电积流分求B解40
JaR V R2
电磁场与电磁波
7
对于电流元 I d l ，d B 为
dB40 IR源 源 2dl场 源aR —电流元产生的“磁场”
对比记忆
dE
1
40
dq源 R源 2场
aR
—电荷产生的“电场”
电磁场与电磁波
8
dB40 I源dRl源 源 2大场a小R 、方向
大小？ 方向：“右手螺旋”
az
a
aR
——电流在某处产生磁场
I2dl2 B
C2
B
0
I1dl1aR
4C1 R2
电磁场与电磁波
6
磁通密度、磁场感应强度: B
——“毕奥-沙伐”定理的积分形式
任何直流电流回路在周围空间的磁场分布
aB
B0
4
C
IR源 源 2dl场 源aR
Id l
R
磁感应强度单位：
1. T (特[斯拉])：Tesla
2. Wb/m2 (韦[伯]/ 米2)
此项计算为0
•B(r)0
电磁J场(与r电'磁)波0
12
•B0 ——恒定磁场散度方程的微分形式
恒定磁场没有通量源（散度源），是无散场 联想：
•D ——静电场散度方程的微分形式
静电场是有源场
电磁场与电磁波
13
6. 恒定磁场散度方程的积分形式
•B0
S B • d S V ( • B )d V 0
dB
0 4
Idl R2
(az
aR
)
0 4
Idl sin
R2
a
R
Idl
——“毕奥-沙伐”定理的微分形式
电磁场与电磁波
9
3. Biot-Savart’s Law
1. 微分形式 2. 积分形式
BdB40I4C0 dlIRdl2R asR2in线a电流
B40 ' J(rR ')2aRd'
(Idl er )
dB
0 Idl
sin
2
4 (R 2 x2 )
根据圆环磁场对 P 点的对称性，
dxB ds Bin dyB 0
B Bxex
4(
0
R2
I
x2
)
sin
ldlex
4
(
0
R2
I
x2
)
R R2
x2
2Rex
2(
0 IR2
R2 x2
)3 /
2
ex
电磁场与电磁波
18
§3.2 矢量磁位
Important Conclusions:
B • d S A • d S A • d l
体电流
dV
场分布对称时
安培环路定律
B•dl 0I
C
电磁场与电磁波
例. 电流环在轴线上的磁感应强度
直 已接 知求: 解半.径aB 和电Sd流B I40CIR 源 源 2dl场 源aR
Ild a (Iad )
R a zR co a srR sin
闭合 环路C
a
z
P(0,0,z)
R
RR源点到 ＝场 z2a点 2
•B0 •J(r')aRdV'
4 V'
R 2
aR 1
R2
R
•B4 0V' •[ R 1J(r')]d V' • ( F G ) G • F F • G
• [ 1 J ( r ') ] J ( r ') • 1 1 • J ( r ')
R
RR
J ( r ') 不是场点坐标变量的函数
y
单位 a R矢 ? 量
x
Idl
B 40 R Ia 20 2 a (a zc o s a rs in)d
a ra xco s a ysin a 电 磁场 与a 电x 磁s 波in a yc o s
坐标变换
16
a ( a zc o s a rs in) ( a x s in a y c o s) [ a zc o s ( a x c o s a y s in)s in]
B4 0
S'
JS(r')aRdS R2
体电流
电磁场与电磁波
面电流
10
4.受力
FlIdl B
d F Id l B (d q )(v d t) B d q v B d t
洛伦兹力
FqvB
F 合 qEqvB
电磁场与电磁波
11
5. 恒定磁场散度方程的微分形式
对于体电流分布 B4 0 V' J(rR ')2aRdV'
磁场强度：Magnetic Field Intensity H
B 单位：(1)Wb/m2 (2)特斯拉(T) (3)高斯
1Wb/m2 ＝1特斯拉＝1×104高斯
电磁场与电磁波
3
1. 安培力试验定律
Ampere’s Law of Force
将库仑力作用的空间定义为：电场空间
将安培力作用的空间定义为：磁场空间
真空中介电常数 (Dielectric Constant)：
04 9 1 190 8.8 5 1 1 0 (2 F/m )
1 ?
0 0
电磁场与电磁波
5
2.磁感应F 1强2 度4 C20、I2C d2磁C l1 2I通2d l4密2 0度(CR I11 I2d 1ld1lR 12a R a)R
314恒定磁场基本方程
电磁场与电磁波
§3-1 恒定磁场的基本方程
本节内容
先看一些试验定律：
安培力实验定律 “毕奥-沙伐”定理 安培环路实验定律
新内容：
分析恒定磁场需要的基本变量： 磁通密度、磁感应强度 真空中磁场的基本方程
电磁场与电磁波
2
将要学到的几个物理量
磁通：Magnetic Flux
磁通密度：Magnetic Flux Density B
真空中，线电流回路C1、C2
C1对C2的作用力为F1-2
dl1
F12
0 4 C2C1
I2dl2
(I1dl1
R2
aR
C1
)
O
r1
dl2
R
r2
电磁场与电磁波
C2
4
F 1240C2C1I2dl2(R I12dl1a R)
真空中磁导率 (Permeability)：
04 1 0 7(H /m )
B40R Ia2
2
0
a
(az
cosar
sin)d
az
0Ia 4R2
2 sinaz
0Ia2
2R3
az
0Ia2
3
2(z2 a2)2
B az
0 Ia2
3
2(z2 a2 )2
电磁场与电磁波
z
P(0,0,z)
闭合 环路C
a
x
R
Idl
y
17
解：元电流 Idl 在其轴线上P点产生的磁感应
强度为
dB
0 Id l e r 4r 2
B•dS -----磁通量 S
磁场中通过任何闭合曲面的磁通量恒等于0
•B 0
磁通连续性原理、
S B • dS 0
磁场中的高斯定理
电磁场与电磁波
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例题: 求磁通密度
一般情况下
毕BB 奥 -44萨00I伐SCJ定dSlR 律R2a2R —adR—S线直电面接流电积流分求B解40
JaR V R2
电磁场与电磁波
7
对于电流元 I d l ，d B 为
dB40 IR源 源 2dl场 源aR —电流元产生的“磁场”
对比记忆
dE
1
40
dq源 R源 2场
aR
—电荷产生的“电场”
电磁场与电磁波
8
dB40 I源dRl源 源 2大场a小R 、方向
大小？ 方向：“右手螺旋”
az
a
aR
——电流在某处产生磁场
I2dl2 B
C2
B
0
I1dl1aR
4C1 R2
电磁场与电磁波
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磁通密度、磁场感应强度: B
——“毕奥-沙伐”定理的积分形式
任何直流电流回路在周围空间的磁场分布
aB
B0
4
C
IR源 源 2dl场 源aR
Id l
R
磁感应强度单位：
1. T (特[斯拉])：Tesla
2. Wb/m2 (韦[伯]/ 米2)