一般线性方程组的基本概念(精选)
高等代数课件(北大版)第三章-线性方程组§3-1
例 解下列方程组
5 x1 2 x1
x2 x2
2x3 4x3
x4 7 2x4 1
x1 3x2 6x3 5x4 0
解：对方程组的增广矩阵作初等行变换
5 1 2 1 7 1 3 6 5 0
2 1
1 3
4 6
2 5
asn xn bs
先检查(1)中 x1的系数，若 a11,a21, ,as1全为零， 则 x1没有任何限制，即x1可取任意值，从而方程组
(1)可以看作是 x2 , , xn的方程组来解．
§3.1 2019/8/9 消元法
数学与计算科学学院
如果 x1的系数不全为零，不妨设，a11 0. 分别把第一个方程 ai1 的倍加 到第i个方程 (i 2, ,．s)
1 0
2 5
1 1
4 2
2 1
1 7
1 3 6 5 0 1 3 6 5 0
0 0
7 14
16 32
12 24
1 7
0 0
7 0
16 0
12 0
1 5
从最后一行知，原方程组无解。
§3.1 2019/8/9 消元法
数学与计算科学学院
§3.1 2019/8/9 消元法
数学与计算科学学院
再考虑方程组
a22 x2
a2 n xn b2
(4)
as2 x2 asn xn bs
显然，方程组(4)的一个解代入方程组(3)就得出(3)
的一个解；而方程组(3)的解都是方程组(4)有解。
线性代数线性方程组基本概念
证明
由 r ( A) r ( A b) 知 A X = b 有解，
组
即存在 x~1, x~2 ,, x~n ，使得
x~1 A1 x~2 A2 x~n An b .
(1) 若 r n , 则 A1, A2 , , An 线性无关， 故 b 只能由 A1, A2 , , An 的惟一地线性表示， 即 A X = b 的解是惟一的。
即得 念
第 二、线性方程组解的存在性与惟一性
四 章
1. 线性方程组解的存在性
2. 线性方程组解的惟一性 P112 定理4.2 (2) 线
性 定理 设 r ( A) r ( A b) r , 则 r n A X = b 有惟一解。
方 程
P123
4
§4.1 线性方程组的基本概念
第 一、线性方程组的几种表示形式
四 章
1. 线性方程组的一般形式
2. 线性方程组的矩阵形式 P111 线
性
方
程
组
简记为 A X b ,
其中 A 称为系数矩阵， A~ ( A b) 称为增广矩阵。
5
§4.1 线性方程组的基本概念
第 一、线性方程组的几种表示形式
若 A X = b 有解，
组
则 b 可由 A1 , A2 , , An 线性表示，
故向量组 A1 , A2 , , An 与 A1 , A2 , , An , b 等价，
即得 r ( A) r ( A b).
7
§4.1 线性方程组的基本概念
第 二、线性方程组解的存在性与惟一性
四 章
1. 线性方程组解的存在性
线 定理 线性方程组 A X = b 有解的充要条件是 r ( A) r ( A b).
线性方程组求解及应用
线性方程组求解及应用线性方程组是代数中的一种重要概念，它在数学、物理、经济学等领域都有着广泛的应用。
线性方程组的求解和应用是数学学习中的重要内容，它不仅有助于我们理解和解决现实生活中的问题，还能够培养我们的逻辑思维和解决问题的能力。
本文将介绍线性方程组的基本概念、求解方法及其在实际应用中的重要性。
一、线性方程组的基本概念线性方程组是由一组线性方程组成的方程组。
线性方程组的一般形式可以表示为：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2...am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bma11, a12, ..., amn是方程组的系数，x1, x2, ..., xn是未知数，b1, b2, ..., bm 是常数。
线性方程组的解就是一组满足所有方程的未知数的值，它可以有唯一解、无穷多解或无解三种情况。
下面我们将介绍线性方程组的求解方法。
二、线性方程组的求解方法1. 高斯消元法高斯消元法是一种基本的线性方程组求解方法。
它通过对方程组进行初等变换，将其转化为简化的行阶梯形方程组，进而求解未知数的值。
这种方法适用于任意的线性方程组，并且能够保证得到方程组的所有解。
2. 矩阵法矩阵法是一种利用矩阵和行列式进行线性方程组求解的方法。
通过将线性方程组的系数矩阵和常数矩阵写成增广矩阵的形式，然后利用矩阵的运算法则进行变换，最终得到方程组的解。
这种方法简洁高效，特别适用于大型方程组的求解。
三、线性方程组的应用线性方程组在现实生活中有着广泛的应用，尤其是在数学、物理、经济学等领域。
下面我们以几个实际问题为例，介绍线性方程组的应用。
1. 混合物问题假设有两种成本分别为a元/kg和b元/kg的商品，要求混合成价值为c元/kg的混合物，问分别要混合多少kg才能得到混合物。
这个问题可以用线性方程组来解决，通过设置方程组表示成本和价值的关系，然后求解未知数即可得到解。
(完整版)1.1线性方程组的基本概念
内容小结
1. 线性方程组的表示 2. 线性方程组的解
同解方程组, 相容方程组, 矛盾方程组 特解, 通解 3. 齐次线性方程组与非齐次线性方程组 零解, 非零解
都不是线性方程.
x2 2 x1 5
线性方程组的基本概念
5/15
几何意义
一元线性方程 a x b (a 0) 表示数轴上的一个点;
二元线性方程
a1x1 a2 x2 b (a1, a2 不全为零) 表示平面上的一条直线;
三元线性方程
a1x1 a2 x2 a3x3 b (a1, a2 , a3 不全为零) 则表示空间中的一个平面;
第1章 线性方程组
1.1 线性方程组的基本概念 1.2 阶梯方程组的回代法 1.3 线性方程组的消元法
1.1 线性方程组的基本概念
1.1.1 线性方程 1.1.2 线性方程组的表示与解 1.1.3 线性方程组的分类 内容小结
线性方程组的基本概念
3/15
1.1.1 线性方程
“线性”一词源于解析几何中Descartes平面坐标系下的 一次方程是直线方程, 后来就将一次的称为线性的. 一个 n 元线性方程是指具有如下形式的方程
线性方程组的基本概念
12/15
用 W 表示线性方程组的全部解的集合, 称为解集.
有相同的解集的两个方程组称为同解方程组.
若 W , 则称该方程组为相容的或有解.
若 W , 则称该方程组为不相容的或矛盾的或无解.
若 W 只含一个元素, 则称该方程组有唯一解.
W 中任何一个元素, 称为该方程组的一个特解;
9/15
二元线性方程组
2xx11
2x2 x2
3 的几何意义 1
线性方程组的基本概念
4.1_线性方程组的基本概念
3. 设1 a1 , a2 , a3 , 2 b1 , b2 , b3 , 3 c1 , c2 , c3 ,
T T T
则下列三条直线: L1 : a1 x b1 y c1 0, L2 : a2 x b2 y c2 0, L : a x b y c 0, 3 3 3 3 ( A) 1 , 2 , 3线性相关; ( B ) 1 , 2 , 3线性无关; (C ) r 1 , 2 , 3 r 1 , 2 ; ( D ) 1 , 2 , 3线性相关,1 , 2线性无关.
因此, AX b和BX Pb同解, 故为等价的线性方程组
注:
定理表明对增广矩阵作 行初等变换不改变方 程组的解
三、线性方程组的向量形式
设矩阵A [a ij ]mn 是线性方程组的系数矩 阵 , 用Ai 记A 的第i列, 即 Ai [a 1i ,a 2 i ,,a mi ]T , i 1,2,, n
(1) 若1 , 2 , 3不共面，则方程组只有 零解X [0,0,0]T
( 2) 若1 , 2 , 3 共面但不共线，则垂直 于 i , i 1,2,3的 向量X均是解，这些解彼此平 行
( 3) 若1 , 2 , 3 共线，则以 i 为法向的平面是所有向 量 都是解, 即解向量组成一个平面
证
定理1： n 元齐次线性方程组 Amn x 0 有非零解
x1 A1 x2 A2 xn An 0有非零解
A1 , A2 ,, An 线性相关 rA1 , A2 ,, An n
即r A n
的充分必要条件是系数 矩阵的秩 R A n.
注： n 元齐次线性方程组 Amn x 0 仅有零解
第三章线性方程组
m n 矩阵A，通过行初等变换及列换法 定理3: 一个 变换可化为一下阶梯形
4．方程组的系数矩阵与增广矩阵
a 11 a 21 矩阵 A a s1 a 12 a 22 as2 a1 n a2n a sn
称为方程组（1）的系数矩阵 ; 而矩阵
a 11 a 21 A a s1 a 12 a 22 as2 a1 n a2n a sn b1 b2 bs
(1)
的方程组，其中 x 1 , x 2 , , x n 代表 n 个未知量的系数，
s 是方程的个数 ; a ij ( i 1, 2, , s , j 1, 2, , n )
b 称为方程组的系数； i ( i 1, 2, , s ) 称为常数项 。
2．方程组的解
设 k 1 , k 2 , , k n 是 n 个数，如果 x 1 , x 2 , , x n 分别用
类似考虑，若其为0，
则结论成立；若其不为0，不妨设 b22 0 ，用 b221bi 2 , i 3, , m 乘第2行加到第i（i=3，…，m）行，然后用 b221 乘第二行得：
1 0 A2 A3 0 0
b12 1 0 0
→
2 0 0
1 4 1
3 1 1
1 2 5
把第3个方程分别乘以（-4）、 1加到第2个、1个方程
线性方程组知识点总结
线性方程组知识点总结一、引言线性方程组是数学中重要的概念，广泛应用于各个领域。
本文将对线性方程组的基本概念、求解方法和应用进行总结和介绍。
二、基本概念1. 线性方程组的定义：线性方程组是由若干个线性方程组成的方程集合，形式一般为a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b。
2. 线性方程组的解：线性方程组的解是使得所有方程都成立的一组变量值，分为唯一解、无解和无穷多解三种情况。
3. 线性方程组的系数矩阵：系数矩阵是由线性方程组中各个方程的系数构成的矩阵，记作A。
4. 线性方程组的增广矩阵：增广矩阵是将线性方程组的系数矩阵和常数项列向量合并成一个矩阵，记作[A | b]。
三、求解方法1. 列主元消元法：利用行初等变换将线性方程组转化为简单形式，其中列主元消元法是一种常用的方法。
具体步骤包括选主元、消元和回代三个过程。
2. 矩阵法：利用矩阵的逆、转置等性质，可以通过求解矩阵方程来求解线性方程组。
3. 克拉默法则：克拉默法则是一种利用行列式的性质来求解线性方程组的方法，通过计算线性方程组的系数行列式和常数行列式的比值，可以得到方程组的解。
四、应用领域1. 工程学：线性方程组广泛应用于工程学中的结构分析、电路分析、力学运动等问题的求解。
2. 经济学：线性方程组在经济学中的需求分析、均衡分析、成本分析等方面有着重要应用。
3. 计算机科学：线性方程组在图像处理、数据分析、模型建立等计算机科学的领域中起着关键作用。
五、总结线性方程组是数学中的基础概念，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
本文总结了线性方程组的基本概念、求解方法和应用领域，希望能为读者提供一定的参考和启发。
建议读者在学习线性方程组时，注重理论与实践的结合，加强对各种方法的理解和运用能力，进一步提升问题求解的能力和水平。
线性方程组的基本概念
证: 必要性 Ax b有解,则 b是A的列向量的线性组合
A的列向量组A1, A2 , , An等价于A1, A2 , , An ,b
所以二者秩相等,即rA rB
充分性. rA rB, 即rA1, A2 , , An rA1, A2 , , An ,b
又rA1, A2 , , An rA1, A2 , , An ,b rA1, A2, , An的极大线性无关组是rA1, A2, , An,b 的极大线性无关组. 故b是A1, A2 , , An的线性组合
证 : 设向量X是方程组AX b的任何一个解, 有AX b,两边左乘矩阵P,则有 BX Pb, 即X也是BX Pb的一个解. 反之,任取BX Pb的一个解,两边左乘P 1, 则有P1BX b,即AX b, 所以X是AX b的一个解 因此, AX b和BX Pb同解, 故为等价的线性方程组
x2
x3 x4 x5 x5 x6
0 60
x4பைடு நூலகம்
x6
50
x1 x3 60
一、线性方程组的一般形式
含m个方程，n个未知量的线性方程组的一般形式为：
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a 21 x1
a22 x2
a12 x2 a22 x2
b1 b2
其中每一个方程都表示平面上一条直线,一个2 2 型线性方程组中两直线在平面上的位置有下列三
种情况 :
(1) 两直线相交于一点，则交点就是方程组的唯一解； (2) 平行，则该方程组无解 (3) 重合，则直线上任何一个点都是方程组的解
例: 3 3型齐次线性方程组的一般形式为：
a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
线性方程组的基本概念与解法
线性方程组的基本概念与解法线性方程组是数学中常见且重要的概念，广泛应用于各个领域。
在本文中，我们将介绍线性方程组的基本概念和解法，并探讨其在实际问题中的应用。
通过深入理解线性方程组，我们可以更好地解决复杂的数学和实际问题。
一、线性方程组的定义线性方程组由一系列线性方程组成，其表示形式为：a_11x_1 + a_12x_2 + ... + a_1nx_n = b_1a_21x_1 + a_22x_2 + ... + a_2nx_n = b_2...a_m1x_1 + a_m2x_2 + ... + a_mnx_n = b_m其中，a_11、a_12、...、a_mn为已知系数，x_1、x_2、...、x_n为未知数，b_1、b_2、...、b_m为已知常数。
线性方程组的解即为一组满足所有方程的数值解。
二、线性方程组的解法解线性方程组的常用方法有高斯消元法、矩阵法和矩阵的逆等。
下面我们将分别介绍这些解法。
1. 高斯消元法高斯消元法是一种基于初等行变换的解线性方程组的方法。
其基本思想是通过逐步化简系数矩阵，将线性方程组转化为上三角形式或行阶梯形式，从而得到方程组的解。
具体步骤如下：a) 将线性方程组写成增广矩阵的形式；b) 选取一个基准元素，通常选择第一行第一列的元素；c) 通过初等行变换，将基准元素下方的所有元素消为0；d) 选取下一行新的基准元素，并重复步骤c)直到将增广矩阵转化为上三角矩阵；e) 通过回代法求解出线性方程组的解。
2. 矩阵法矩阵法是通过将线性方程组的系数矩阵和常数项向量进行运算，得到方程组的解。
常用的矩阵法有求逆矩阵法和克拉默法则。
求解线性方程组的步骤如下：a) 将线性方程组的系数矩阵和常数项向量组合成增广矩阵；b) 对增广矩阵进行初等行变换，将增广矩阵转化为简化行阶梯形式；c) 根据简化行阶梯形矩阵得到线性方程组的解。
3. 矩阵的逆对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I （单位矩阵），则称A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵。
初中知识点整理——线性方程组篇
初中知识点整理——线性方程组篇线性方程组是初中数学中的重要内容，是代数学习的基础和扩展。
在这篇文章中，我将为您详细介绍线性方程组的定义、解法和应用。
一、线性方程组的定义线性方程组是由若干个线性方程组成的方程组。
每个线性方程都可以写为形如a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b的形式，其中a1, a2, ..., an为常数，x1, x2, ..., xn为变量。
而b为方程的常数项。
二、线性方程组的解法1. 图解法当线性方程组只有两个变量时，可以通过图解法来求解。
将每个方程转化为直线的形式，并找出它们的交点，该交点即为线性方程组的解。
若直线重合，则方程组有无数个解；若直线平行，则方程组无解。
2. 代入法代入法是线性方程组常用的解法之一，适用于任意个数的变量。
步骤如下：（1）从方程组中选择一个方程，将其中的一个变量表示为其他变量的函数。
（2）将该函数代入其它方程中去，从而得到一个只含有一个变量的方程。
（3）解这个新的方程，得到一个变量的值。
（4）将该变量的值代入刚才选定的方程中，求出一个变量的值。
（5）按照这种方法继续，直到每个变量的值都求出来。
3. 消元法消元法是线性方程组解法中常用的方法，可以通过消元将线性方程组转化为简化的形式，进而得到解。
步骤如下：（1）将线性方程组排列成增广矩阵的形式，其中每行代表一个方程。
（2）利用初等行变换将增广矩阵化为行最简形。
（3）从化简后的增广矩阵中读出方程组的解。
4. 矩阵法线性方程组可以通过矩阵的形式进行求解，矩阵法更适用于高阶的线性方程组。
将方程组表示为矩阵形式AX = B，其中A为系数矩阵，X为变量矩阵，B为常数项矩阵。
通过矩阵的逆矩阵或高斯消元法求解出X的值。
三、线性方程组的应用线性方程组在实际生活和工作中有广泛的应用，下面介绍一些常见的应用场景。
1. 比例分配假设投资人A和B共同投资了一个项目，A投资的金额为X，B投资的金额为Y。
根据投资人的协议，A和B的总投资金额为100万元。
1.1 线性方程组的基本概念
10/15
x1 x2 x3 2 三元线性方程组 2 x1 2 x2 3 x3 5 的几何意义 3x 4 x 5 x 7 2 3 1
线性方程组的基本概念
11/15
由 m 个 n 元线性方程构成的线性方程组可表示为
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 , a21x1 a22 x2 a2n xn b2 , am1 x1 am2 x2 amn xn bm ,
线性方程所构成的组.
注 组不同于集合!
组中元素有序且允许重复, 集合中元素无序且相异.
线性方程组的基本概念
7/15
例如, 二元线性方程组
x1 2 x2 3, 2 x1 x2 1.
三元线性方程组
2 x 2 x 3x 5, 2 3 1 3x1 4 x2 5x3 7.
对于mn 线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , a x a x a x b , 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm .
若常数项 b1, b2, , bm 全为零, 则称此方程组为齐次
线性方程组; 若常数项 b1, b2, , bm 不全为零, 则称
之为非齐次线性方程组.
线性方程组的基本概念
14/15
mn 齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0, a x a x a x 0, 21 1 22 2 2n n am1 x1 am 2 x2 amn xn 0
第1章 线性方程组
线性方程组知识点
线性方程组知识点线性方程组是数学中重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将讨论线性方程组的定义、解的存在唯一性、解的表示形式及相关概念。
同时，还将介绍解线性方程组的常见方法。
一、线性方程组的定义线性方程组是由多个线性方程组成的方程集合。
一般地，一个线性方程组可以表示为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，x₁, x₂, ..., xₙ为未知数，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为已知系数，b₁, b₂, ..., bₙ为常数项。
二、解的存在唯一性线性方程组的解要求每个方程都被满足。
当线性方程组的未知数个数大于方程个数（即方程组行数小于列数）时，可能存在无穷多组解；当未知数个数小于方程个数（即方程组行数大于列数）时，可能无解。
对于未知数个数等于方程个数的情况，即方程组的系数矩阵的秩等于方程组的行数，解的存在唯一。
此时，方程组的解可以通过高斯消元法或克拉默法则来求解。
三、解的表示形式线性方程组的解可以分为唯一解、无穷解和无解三种情况。
1. 唯一解：在方程组的解是唯一的情况下，解的表示形式可以写为一个向量，其中向量的每个分量对应一个未知数的值。
2. 无穷解：在方程组的解不唯一但存在无穷个解的情况下，解的表示形式可以写为一个参数形式的向量，其中向量的每个分量都包含了一个参数，通过参数的取值可以得到方程组的不同解。
3. 无解：在方程组的解不存在的情况下，方程组被称为矛盾方程组。
四、解线性方程组的常见方法解线性方程组的常见方法包括高斯消元法、克拉默法则和矩阵法。
1. 高斯消元法：将线性方程组表示为增广矩阵，通过初等行变换将增广矩阵化为行简化阶梯形矩阵，进而求解出方程组的解。
2. 克拉默法则：通过计算方程组的系数矩阵的行列式及其部分行列式，从而求解出每个未知数的值。
线性方程组的解法与应用
线性方程组的解法与应用线性方程组是数学中重要的概念，广泛应用于各个领域，例如工程、经济学和物理学等。
在本文中，将介绍线性方程组的解法和其在实际问题中的应用。
一、线性方程组的定义和基本概念线性方程组由一组线性方程组成，每个方程都是变量的线性组合。
一般形式可表示为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，a、x和b分别表示系数矩阵、变量矩阵和常数矩阵。
基于这个定义，我们可以通过不同的方法来解决线性方程组。
二、线性方程组的解法1. 列主元消元法列主元消元法是一种常用的求解线性方程组的方法。
它通过将系数矩阵化为上三角矩阵，从而得到方程组的解。
具体步骤如下：（1）选取一个非零列主元素，通常为当前行中绝对值最大的元素。
（2）将选中的列主元素所在列的其他元素转化为零，通过进行一系列的初等变换，如行交换和倍数变换。
（3）重复上述步骤，直到将系数矩阵转化为上三角矩阵。
2. 高斯-约当消元法高斯-约当消元法是另一种求解线性方程组的方法。
它通过将系数矩阵化为行阶梯矩阵，从而得到方程组的解。
具体步骤如下：（1）选取一个非零主元素，通常为当前列中绝对值最大的元素。
（2）将选中的主元素所在列的其他元素转化为零，通过进行一系列的初等变换，如行交换和倍数变换。
（3）重复上述步骤，直到将系数矩阵转化为行阶梯矩阵。
3. 矩阵求逆法矩阵求逆法是一种求解线性方程组的较为高效的方法。
它通过计算系数矩阵的逆矩阵，将方程组转化为逆矩阵与常数矩阵的乘积，从而得到方程组的解。
然而，该方法要求系数矩阵可逆，即行列式不等于零。
三、线性方程组在实际问题中的应用线性方程组广泛应用于各个领域，主要体现在以下方面：1. 工程领域在线性方程组的求解过程中，常常需要对方程组进行建模。
例如，在工程领域中，可以通过建立线性方程组来描述和解决各种物理力学问题，如结构力学、电路分析和信号处理等。
线性方程组的基本概念
x1 = x2 + x4 + 1 2 x = x + 0x + 0 2 4 ⇔ 2 x3 = 0 x2 + 2 x4 + 1 2 x4 = 0 x2 + x4 + 0
其中x2 , x4任意.
结论:A的秩与 的秩相等,但秩的值小于n 结论 的秩与(A,b)的秩相等 的秩与 的秩相等 （x的个数）。有无数个解。
x1α1 + x2α 2 + ⋯ + xnα n = b
3
代入方程组， 若把 x1 = c1 , x2 = c2 ,⋯, xn = cn 代入方程组，使得每个方程都 变成恒等式， 变成恒等式，则称有序数组 (c1 , c2 , ⋯ , cn ) 为方程组的一个解， 解的全体为解集合。 若两个n元线性方程组的解集合相同， 若两个n元线性方程组的解集合相同，则称它们为 元线性方程组的解集合相同
第三章
一、基本概念
线性方程组
第一节 线性方程组的基本概念
定义： 定义：关于未知变量 x1 , x 2 , ⋯ x n 的n元一次方程组
a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = b1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a x + a x + ⋯ + a x = b mn n m m1 1 m 2 2
x1 = − 1
x 2 + x3 = 2
x3 = 0
2行—3行 行 行
x1 = − 1
x2 = 2 x3 = 0
x1 + x 2 + 2 x3 = 1
解：对增广矩阵实行初等行变换：
1 1 1 1 [A,b] =0 1 1 2 1 1 2 1
一般线性方程组的基本概念
是方程组（ ）的任一解， 设 (c1 , c2 ,L , cn ) 是方程组（1）的任一解，则
§3.1 消元法
a11c1 + a12c2 + L + a1ncn = b1 a21c1 + a22c2 + L + a2 ncn = b2 LLLLLLLLLLL a c + a c +L+ a c = b s2 2 sn n s s1 1
不妨设线性方程组(1)的增广矩阵 不妨设线性方程组 的增广矩阵 a11 a12 L a1n b1 a21 a22 L a2 n b2 A= L L L L L a a L a b s sn s1 s 2 经过一系列初等行变换化成阶梯阵 经过一系列初等行变换化成阶梯阵 初等行变换
§3.1 消元法
x1 x2 x3 = 2 x2 x3 = 3 3 x3 = 9 1 第三个方程乘以 ，得 3 x1 x2 x3 = 2 x2 x3 = 3 x3 = 3
§3.1 消元法
第一个方程加上第三个方程； 第一个方程加上第三个方程； 第二个方程加上第三个方程， 第二个方程加上第三个方程，得
第二个方程减去第一个方程的2 第二个方程减去第一个方程的2倍， 第三个方程减去第一个方程的3 第三个方程减去第一个方程的3倍，得
§3.1 消元法
x1 x2 x3 = 2 x 2 x 3 = 3 5 x2 2 x3 = 6
第三个方程减去第二个方程的5 第三个方程减去第二个方程的5倍，得
于是有 (a11 + ka21 )c1 + (a12 + ka22 )c2 + L + (a1n + ka2 n )cn
= (a11c1 + a12c2 + L + a1ncn ) + k ( a21c1 + a22c2 + L + a2 ncn ) = b1 + kb2