Copula理论简介

2.2.基于Copula函数的相关性测度
①Kendall秩相关系数τ
考察两个变量的相关性时，最直观的方法是考察它 们的变化趋势是否一致。若一致，表明变量间存在正 相关；若不一致，表明变量间是负相关的。 令 x , y 和 x , y 为随机向量(X,Y)的两组观测值， 如果 x1 x 2 且 y 1 y 2 ，或者 x1 x 2 且 y y ,即 x1 x 2 y 1 y 2 0 ，则称 x , y 和 x , y 是一致的，反之， 即 x1 x 2 y 1 y 2 0 ，则为不一致。
2.1.关于相关系数
★一个问题
我们知道，对于两个变量之间的相关性关系，我们 可以利用相关系数 来度量，但是，我们看下面的问题： 若x
~ N 0 ,1 , y x
2
（x，y显然关系密切）
3 2 则 Cov x , y E xy E x E y E x E x E x 0
即x，y的相关系数为0。 因此，当变量间的关系是非线性时，用相关系数 来度量其关系是不可靠的。而Copula函数在一定的 范围内就可以避免这个问题。
2.2.基于Copula函数的相关性测度
★定理
对随机变量 x1 , x 2 , , x n 做严格的单调增变换，相应的 Copula函数不变。 ①Kendall秩相关系数τ ②Spearman秩相关系数ρ ③Gini关联系数γ
3P x1 x 2 y 1 y 3 0 P x1 x 2 y 1 y 3 0
◆Sperman秩相关系数对严格单调增的变换也是不变 的，由相应的Copula函数来表示如下：
12
1 0

1
uvdC u , v 3 12
1 1 2 2
1
2
1
1
2
2
2.2.基于Copula函数的相关性测度
◆定义： x 1 , y 1 和 x 2 , y 2 为独立同分的随机向量，
P x1 x 2 y 1 y 2 0 P x1 x 2 y 1 y 2 0
1
，完全正相关；
1
，完全负相关；
0
，无法判定。
◆可以看到，对于单调增函数s(x)和t(y)，有
s x1 s x 2 t y 1 t y 2
0
x1
x 2 百度文库 y 1 y 2 0
因此τ 值对单调增的变换是不变的。
◆Kendall秩相关系数可以由Copula函数给出（证明略）：
4
1
0
C u , v dC u , v 1
0
1
2.2.基于Copula函数的相关性测度
②Spearman秩相关系数ρ
x ◆定义： 1 , y 1 , x 2 , y 2 和 x 3 , y 3 为独立同分布的随机向 量，则
Copula理论简介
引言
• 国际金融市场快速发展——市场间相互依存性加强。 金融创新不断涌现——金融风险越发集中和隐蔽。 • 相关性分析是多变量金融分析中的一个中心问题，资产定 价、投资组合、波动的传导和溢出、风险管理等问题都涉 及相关性分析。而常用的线性相关系数有具有一定的局限 性。如它要求变量间是线性的，且方差存在，但是金融市 场中出现的不少数据往往是厚尾分布，它们的方差有时并 不存在。 • 金融波动和危机的频繁出现使风险度量和多变量金融时间 序列分析成为国内外关注的焦点，原有的多变量金融模型 已不能完全满足发展的需要。如用Var来度量风险时须具 备一定的条件，它在非椭圆分布时就不可用。
主要内容
1 2 3 4 5 Copula函数的定义 Copula函数的相关测度 常用的Copula函数 Copula模型的构建 Copula模型的参数估计
1.Copula函数的定义
★什么是Copula函数？
形象地说，我们可以把Copula函数叫做“连接 函数”或“相依函数”，它是把多个随机变量的 联合分布与它们各自的边缘分布相连接起来的函 数。
0
C u , v duv
0 0
1
1
3
2.2.基于Copula函数的相关性测度
③Gini关联系数γ
τ 和ρ 只考虑了随机变量变化方向的一致性和不一致 性，而Gini关联系数则更细致地考虑了随机变量变化顺 序的一致性和不一致性。 设随机变量(X,Y)的n个样本为 x , y , x , y , , x , y ， x 将 x1 , x 2 , , x n 按从小到大顺序排列后， i 的名次 ri 称为它 的秩，同样 y 在y , y , , y 中的名次（秩）记为 s 。 r 如果x，y的变化是一致的，i s i 就应该很小，所以 r s 反映了不一致的程度。如果变化方向相反，那么 ri s x 与 s 应处于两端， 位于 r 位置时， i 应位于倒数第 ri 的 s 位置上，即第 n 1 r 的位置上，因此， n 1 r 就应该 很小，而 r s n 1 就反映了相反变化的不一致程度。
F x1 , x 2 , , x n C F1 x1 , F 2 x 2 , , F n x n
若F1 , F 2 , , F n 连续，则C , , 唯一确定。
2.相关性测度
• 2.1.提出问题
• 2.2.基于Copula函数的相关性测度 • 2.3.尾部相关性
F x1 , x 2 , , x n C F1 x1 , F 2 x 2 , , F n x n
边缘分布
多元联合分布函数 Copula函数
1.Copula函数的定义
★Sklar定理
令 F , , 为具有边缘分布 F1 , F 2 , , F n 的联合分布函数，那么存在一个Copula函数 C , , ，满足：