Chap4 第四章 导波光学中的倏逝场1

和 1-3 界面上内全反射条件得到满足， 一个平面波将在第二和第三介质之间被导 引，见 Fig.4.1。被导引的波满足下列条件
θ i > sin −1 (n2 / n1 ) θ i > sin −1 (n3 / n1 )
（4.1）
对光波在波导内传输最简单的描述方法是光线光学。 但是必须注意这种系统中光 线的物理意义，即导引的范围，尤其是其厚度要远大于波长。在下文中我们假设 这种条件是满足的。
4.3.2 其它形式的光纤
（1）.内皮层光纤
1.
（2）环芯光纤（Annular-Core）
这种结构可以在环芯内部形成倏逝场。可以使用这个场形成一个势阱，作为原子 波导，实现原子搬运和操纵。 （3）梯度折射率光纤 对抛物型折射率分布的光纤，光纤内部没有全反射，因而没有倏逝波。光纤 内的场分布由所有的光线构成。每条光线都有特定的方向和光程。
V = u 2 + w2
(
)
1/ 2
2πa 2 2 = n1 − n2 λ
(4.15)
光纤的光学传输模式和对倏逝波部分的扰动非常敏感。 可以计算传输功率在芯径 的皮层之间的分布，
Pcore u2 2 2 =1− 2 w + l η= Pcore + Pcladding v
4.4 回音壁模式
上面讨论的波导都是在波导的芯径传输，其传输模式是受限制的。这种传输 适合信息传输。 本结讨论的回音壁模式，最早可追溯到十九世纪 Lord Rayleigh 对声波的研 究。在伦敦 St.Paul 教堂的回廊边耳语可以在回廊的其它清楚地地方听到。这个 现象用回音壁模式描述，并用 Bessel 函数描述其规律。 60 年代回音壁模式用于研究微波和光波。并用作激光发射。Fig.4.23 表示产 生回音壁模式的结构。如果光线于轴线不垂直，光线将沿螺旋路径传输，见 Fig.4.24。 Fig4.25 是光纤端面的回音壁模式的近场图像。
( 4 .2 )
0 ≥ x ≥ −2 a if − 2a ≥ x
其中 p、q 和 r 是传输常数
q 2 = n1 k 2 − β 2
2
p 2 = β 2 − n22k 2 r 2 = β 2 − n 23k 2
其中 k = ω (µ 0ε 0 )
1/ 2
(4.4)
。由连续性条件得到本征值方程为
tan (2aq ) =
( 4 .6 )
rC if x ≥ 0 exp(− rx ) 2 n 0 −j q (− C sin qx + D cos qx ) Ez = if 0 ≥ x ≥ −2a ωε 0 n0 2 p if − 2a ≥ x n 2 (C cos 2aq − D sin 2aq )exp[ p( x + 2a )] 0 对应的本征值方程为
4.5 带隙光子波导
它是将一束毛细管加热拉制成的。除了中心外，端面上其它地方都有呈六角形 分布的孔。分析说明这种结构对所有的波长都是单模。
在 这 种 波 导 内 的 传 输 分 析 可 以 从 Maxwell 方 程 出 发 。 （ Adams M.J.”An Introduction to Optical Waveguides,”Wiley,New-York.） 对 TE 模，解 Maxwell 方程得
if x≥0 A exp(− rx ) E y = A cos qx + B sin qx if 0 ≥ x ≥ −2a ( A cos 2aq − B sin 2aq )exp[ p(x + 2a )] if − 2a ≥ x − A exp(− rx ) −j Hz = − q (− A sin qx + B cos qx ) ωµ 0 p ( A cos 2aq − B sin 2aq )exp[ p( x + 2a )] if if x≥0 (4.3)
考察更复杂的模型，如果在第二和第三半无限介质间插入多层折射率比 n2 、n3 高的薄层。只要 4.1 式得到满足，光线就可以被导引，见 Fig.4.2。这种 情况下光线路径是折线段。如果层数非常高则路径为一条曲线。曲线形状与折射 率分布有关。 光线的路径不一定会到达最外层界面，这与入射角有关。
Fig.4.1 给出个光线路径不是完全准确的，因为没有考虑在发生内全反射时的 Goos-Hanchen 位移。实际上，在波导内有效的传输光线等效于宽度为 w 的波导， 见 Fig.4.3.。
4.3 光纤 4.3.1 阶梯光纤的模式
阶梯光纤包括石英的皮层和掺杂的石英芯，芯径的折射率高于皮层。假设以 传输常数为β和方位角级数 v 的模式能够在这个结构中传输。 v 表示沿方位角的 对称性。场可以表达为
H (r ,θ , z , t ) = [H r (r )er + Hθ (r )eθ + H z (r )ez ]exp j (ωt − vθ − βz )
光波导的光学损耗与表面的状态有很大关系。在表面可添加一个辅助层改善损 耗。在辅助层中倏逝场的振幅是呈指数式的衰减的，使得波导和空气界面上的场 强为零。
另外一类形成平面波导的方法是离子注入和扩散技术，得到具有折射率分布 的结构。见表 4-2。扩散技术中较好的方法是将银离子通过热扩散或加电场辅助 的热扩散过程，在玻璃表面形成高折射率的波导层。离子注入技术可以将一定的 能量离子注入到材料内部一定深度，当注入的离子使折射率减小时，可以在材料 表面下面形成低折射率层，起光学皮层作用，得到一种掩埋波导。见 Fig.4.4。
其中，n1n2 为芯径和皮层的折射率，Jv 为 v 阶一类 Bessel 函数；Kv 为一类 v 阶修正 Bessel 函数。 同样可以得到 Hz （r） 的类似表达式。 其它分量可以用 Maxwell 方程推导出来。 芯层外的皮层里面对应着该模式的倏逝波成分。 Fig.4.11,Fig.4.12 ， Fig.4.13 给出了 TM01、TM02、TM21 模式的 Ez 和 Hz。V 为归一化的频率
解除 z 分量的电磁场
(4.12)
E z (r ) = E0 J v (ur / a ) E z (r ) = E0
J v (u ) if K v (wr / a )
if
0<r<a r>a (4.13)
u,w 定义为
u = a k0 n1 − β 2
2 2
w = a β 2 − k0 n2
2
2
(4.14)
4.2 受限波导
波导内的场在横向受到限制。Fig4.6 是用不同方法制作的波导。 （a,b 掩埋波导，c 条形波导）
用扩散和注入法制作受限波导的方法见 Fig.4.7 。形成条形波导的方法见 Fig.4.8。
受限波导中的传输模式计算是很复杂的。通常没有通用的分析解。一般采 用有限元技术或光束传输法（BMP） 。我们将在后面章介介绍这种方法。
在皮层和芯层中用 Maxwell 方程可推导出传输方程
E (r ,θ , z , t ) = [Er (r )er + Eθ (r )eθ + Ez (r )ez ]exp j (ωt − vθ − βz )
(4.11)
d 2 Ez (r ) 1 dEz (r ) 2 v2 2 E (r ) = 0 + + − − ω εµ β 0 2 z dz 2 r rdz r d 2 H z (r ) 1 dH z (r ) 2 v2 2 H z (r ) = 0 + + − − ω εµ β 0 dz 2 r dz r2
(
)
1/ 2
u2 + 2 2 u −l
−1
对于基模( l = 0 ),得到的 η − V 关系见 Fig.4.14。由图线可以看出当归一化频率 减小到某个值时场进入皮层的深度迅速增大。 小于这个值皮层中的倏逝波部分变 得对扰动非常敏感，例如弯曲或折射率变化。在接近截止频率时，该模式中的能 量存在于倏逝场中，模式导引的程度很低。模式对光纤的缺陷和弯曲极其敏感。 在制作光纤时要控制结构参数，使光被限制在芯径中。 对倏逝波的扰动会引起该模式的部分能量损失。 反过来也可通过倏逝波将 光耦合到光纤激发该模式，Fig.4.15 是实验原理。可以用这种技术只适合激发 高阶模式，Fig.4.16 是模场分布。
(note:The method of Vapor Phase Deposition has been discovered as a useful method for synthesizing the fluoride glass PZG (PbF2-ZnF2-GaF3) because the components of the glass associate in the vapor phase and ultimately form a thin film on a substrate surface.)
第四章
导波光学中的倏逝场
倏逝场本身在波导的导光过程中并不起主动的作用， 但是它在导波的过程中 起着反射作用。本章从导模的基本理论入手，分析这些模式与倏逝场的关系，描 述平面限制的波导和光纤。
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4.1 平面光学中的倏逝场 4.1.1 平面波导分析
考察两个半无限介质，折射率 n2 和 n3 被折射率为 n1 的介质分隔，如果在 1-2
q( p + r ) q 2 − pr
(4.5)
对 TM 模，对应的场分量为
C exp(− rx ) H y = C cos qx + D sin qx (C cos 2aq − D sin 2aq )exp[ p( x + 2a )] if if x ≥ 0,
0 ≥ x ≥ −2a if − 2a ≥ x
(4.7)
tan (2aq ) =
(n
p + n 2 2 r n1 q 4 n n q 2 − n1 pr
2 0 2 2 2 3
)
2
(4.8)
波导内的场是正弦或余弦函数，而在皮层（介质折射率 n2、n3）中，场是指数 衰减的。倏逝波的形式和平面内全反射相似。
4.1.2 台阶型平面波导制作
台阶型平面波导是在基底材料上沉积一层高折射率材料制成。 有许多方法用来 制作波导层。 外延技术（epitaxial growth） ：要求外延材料和基底材料有较好的相容性以便 两种材料能够有效地粘结在一起，确保最终结构的稳定性。 溶胶－凝胶法（Sol-gel） ：以胶体形式的材料沉积在基底上，经高温加热使其固 化。也可以沉积有机材料。最近这种方法较为常用。 每种材料都要一定的光学通过范围和其它不同的特性。表 4-1 给出不同技术 制作平面波导的性能比较。