高三数学第一轮复习 第十二章《概率和统计》12-5 选修2
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s 甲 2＝437>s 乙 2＝338. 乙的成绩比甲稳定，应选乙参加比赛更合适． 点评 均值、方差是统计学的两个基本概念，高考常以小 题形式出现．牢记并熟练运用公式是解题的关键．
• 4．(2010·湖北卷，理)某射手射击所得球 数ξ的分布列如下：
ξ7
8
9
10
P x 0.1 0.3
y
• wk.baidu.com知ξ的期望Eξ＝8.9，则y的值为 ________．
• 2．(2010·济南)已知5件产品中有3件正品、 2件次品，从中随机抽取 2件进行检验，设 其中有ξ件正品，则随机变量ξ的期望为
()
• A．1.2
B．2
• C．1
D．1.4
• 答案 A
解析 ξ 的可能取值为 0,1,2. P(ξ＝0)＝CC2522＝110，P(ξ＝1)＝CC31C5221＝35， P(ξ＝2)＝CC3522＝130. ∴Eξ＝0×110＋1×35＋2×130＝1.2.
• (3)Eξ2－(Eξ)2＝ Dξ .
• 1．(2010·新课标全国卷)某种种子每粒发芽的概率都为0.9， 现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒， 补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )
• A．100
B．200
• C．300
D．400
• 答案 B
• 解析 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B(1000,0.1)，所以Eξ ＝1000×0.1＝100，而X＝2ξ，故EX＝E(2ξ)＝2Eξ＝200，故 选B.
• 由题意，知1－p2＝0.96，又p>0，故p＝ 0.2.
②ξ 可能的取值为 0,1,2. 若该批产品共 100 件，由(1)知，其中共有二等品 100×0.2＝20 件，故 P(ξ＝0)＝CC1800022＝341965，P(ξ＝1)＝CC80110C02201＝146905， P(ξ＝2)＝CC1200022＝41995. 所以 ξ 的分布列为
1 4
解析
a＋b＋c＝1112 －a＋c＋16＝0 a＋c＋13＝1
a＝152， ⇒b＝14，
c＝14.
• 题型一 期望、方差
• 例1 (2010·重庆卷，理)在甲、乙等6个单 位参加的一次“唱读讲传”演出活动中， 每个单位的节目集中安排在一起，若采用 抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序 号为1,2…，6)，求：
• 1．期望的概念及性质
• (1)若离散型随机变量ξ的概率分布为P(ξ＝ xi)＝pi，i＝1,2，…，ξ的数学期望Eξ＝
x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋….
• (2)若η＝aξ＋b，其中a、b是常数E(aξ＋b) ＝
•
aEξ＋b .
• (3)若ξ～B(n，p)，则Eξ＝ np .
• 2．方差的概念
• (1)方差：把Dξ＝(x1－Eξ)2·p1＋(x2－
Eξ)2·p2＋…＋(xn－Eξ)2·pn＋…叫做随机变
量ξ的
方；差标准差是σξ＝.
• (2)若ξ～B(n，p)，那么Dξ＝
n．p(1－p)
• 3．方差的性质
• (1)c为常数，D(c)＝ 0.
• (2)a、b为常数，则D(aξ＋b)＝ a2Dξ .
所以 ξ 的期望 Eξ＝0×341965＋1×146905＋2×41995＝149985＝ 2 5.
• 例2 每人在一轮投篮练习中最多可投篮4 次，现规定一旦命中即停止该轮练习，否 则一直试投到4次为止．已知一选手的投篮 命中率为0.7，求一轮练习中该选手的实际 投篮次数ξ的分布列，并求出ξ的期望Eξ与 方差Dξ(保留3位有效数字)．
• 探究1 求离散型随机变量的期望，一般分 为两个步骤：
• (1)列出离散型随机变量的分布列； • (2)利用公式Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn
＋…，求出期望．
• 思考题1 (2011·郑州)从某批产品中，有 放回地抽取产品2次，每次随机抽取1件， 假设事件A：“取出的2件产品中至多有1 件是二等品”的概率P(A)＝0.96.
(2)ξ 的所有可能值为 0,1,2,3,4，且 P(ξ＝0)＝C562＝13，P(ξ ＝1)＝C462＝145，P(ξ＝2)＝C362＝15，P(ξ＝3)＝C262＝125，P(ξ＝ 4)＝C162＝115.
从而知 ξ 有分布列
所以，Eξ＝0×13＋1×145＋2×15＋3×125＋4×115＝43.
• (1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为 奇数的概率；
• (2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分 布列与期望．
【解析】 (1)设 A 表示“甲、乙的演出序号至少有一 个为奇数”，则 A 表示“甲、乙的序号均为偶数”，由等 可能性事件的概率计算公式得
P(A)＝1－P( A )＝1－CC3622＝1－15＝45.
• 答案 0.4
解析 依题意得x7＋x＋0.01.8＋＋0.23.7＋＋y＝101y＝8.9 ，即
x＋y＝0.6 7x＋10y＝5.4
，由此解得 y＝0.4.
• 5．(09·广东)已知离散型随机变量X的分布 列如下表．若EX＝0，DX＝1，则a＝ ________，b＝________.
答案
5 12
• ①求从该批产品中任取1件是二等品的概率 p；
• ②若该批产品共100件，从中一次性任意抽 取2件，用ξ表示取出的2件产品中的二等品 的件数，求ξ的分布列及期望．
• 【解析】 ①记A0表示事件“取出的2件产 品中无二等品”，A1表示事件“取出的2件 产品中恰有1件是二等品”，则A0、A1互斥， 且A＝A0＋A1.故P(A)＝P(A0＋A1)＝P(A0) ＋P(A1)＝(1－p)2＋C21p·(1－p)＝1－p2.
• 【解析】 ξ的取值为1,2,3,4.若ξ＝1，表示第一次即投中，故 P(ξ＝1)＝0.7；若 ξ＝2，表示第一次未投中，第二次投中，故 P(ξ＝2)＝(1－0.7)×0.7＝0.21；若ξ＝3，表示第一、二次未 投中，第三次投中，故P(ξ＝3)＝(1－0.7)2×0.7；若ξ＝4，表 示前三次未投中，故P(ξ＝4)＝(1－0.7)3＝0.027.因此ξ的分布 列为：
• 3．(2011·东北四市联考)在相同条件下对 自行车运动员甲、乙两人进行了6次测试， 测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如 下：
甲 27 38 30 37 35 31 乙 33 29 38 34 28 36
• 试问：选________(填甲或乙)参加某项重 大比赛更合适．
• 答案 乙
解析 x甲 ＝33， x乙 ＝33.
• 4．(2010·湖北卷，理)某射手射击所得球 数ξ的分布列如下：
ξ7
8
9
10
P x 0.1 0.3
y
• wk.baidu.com知ξ的期望Eξ＝8.9，则y的值为 ________．
• 2．(2010·济南)已知5件产品中有3件正品、 2件次品，从中随机抽取 2件进行检验，设 其中有ξ件正品，则随机变量ξ的期望为
()
• A．1.2
B．2
• C．1
D．1.4
• 答案 A
解析 ξ 的可能取值为 0,1,2. P(ξ＝0)＝CC2522＝110，P(ξ＝1)＝CC31C5221＝35， P(ξ＝2)＝CC3522＝130. ∴Eξ＝0×110＋1×35＋2×130＝1.2.
• (3)Eξ2－(Eξ)2＝ Dξ .
• 1．(2010·新课标全国卷)某种种子每粒发芽的概率都为0.9， 现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒， 补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )
• A．100
B．200
• C．300
D．400
• 答案 B
• 解析 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B(1000,0.1)，所以Eξ ＝1000×0.1＝100，而X＝2ξ，故EX＝E(2ξ)＝2Eξ＝200，故 选B.
• 由题意，知1－p2＝0.96，又p>0，故p＝ 0.2.
②ξ 可能的取值为 0,1,2. 若该批产品共 100 件，由(1)知，其中共有二等品 100×0.2＝20 件，故 P(ξ＝0)＝CC1800022＝341965，P(ξ＝1)＝CC80110C02201＝146905， P(ξ＝2)＝CC1200022＝41995. 所以 ξ 的分布列为
1 4
解析
a＋b＋c＝1112 －a＋c＋16＝0 a＋c＋13＝1
a＝152， ⇒b＝14，
c＝14.
• 题型一 期望、方差
• 例1 (2010·重庆卷，理)在甲、乙等6个单 位参加的一次“唱读讲传”演出活动中， 每个单位的节目集中安排在一起，若采用 抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序 号为1,2…，6)，求：
• 1．期望的概念及性质
• (1)若离散型随机变量ξ的概率分布为P(ξ＝ xi)＝pi，i＝1,2，…，ξ的数学期望Eξ＝
x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋….
• (2)若η＝aξ＋b，其中a、b是常数E(aξ＋b) ＝
•
aEξ＋b .
• (3)若ξ～B(n，p)，则Eξ＝ np .
• 2．方差的概念
• (1)方差：把Dξ＝(x1－Eξ)2·p1＋(x2－
Eξ)2·p2＋…＋(xn－Eξ)2·pn＋…叫做随机变
量ξ的
方；差标准差是σξ＝.
• (2)若ξ～B(n，p)，那么Dξ＝
n．p(1－p)
• 3．方差的性质
• (1)c为常数，D(c)＝ 0.
• (2)a、b为常数，则D(aξ＋b)＝ a2Dξ .
所以 ξ 的期望 Eξ＝0×341965＋1×146905＋2×41995＝149985＝ 2 5.
• 例2 每人在一轮投篮练习中最多可投篮4 次，现规定一旦命中即停止该轮练习，否 则一直试投到4次为止．已知一选手的投篮 命中率为0.7，求一轮练习中该选手的实际 投篮次数ξ的分布列，并求出ξ的期望Eξ与 方差Dξ(保留3位有效数字)．
• 探究1 求离散型随机变量的期望，一般分 为两个步骤：
• (1)列出离散型随机变量的分布列； • (2)利用公式Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn
＋…，求出期望．
• 思考题1 (2011·郑州)从某批产品中，有 放回地抽取产品2次，每次随机抽取1件， 假设事件A：“取出的2件产品中至多有1 件是二等品”的概率P(A)＝0.96.
(2)ξ 的所有可能值为 0,1,2,3,4，且 P(ξ＝0)＝C562＝13，P(ξ ＝1)＝C462＝145，P(ξ＝2)＝C362＝15，P(ξ＝3)＝C262＝125，P(ξ＝ 4)＝C162＝115.
从而知 ξ 有分布列
所以，Eξ＝0×13＋1×145＋2×15＋3×125＋4×115＝43.
• (1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为 奇数的概率；
• (2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分 布列与期望．
【解析】 (1)设 A 表示“甲、乙的演出序号至少有一 个为奇数”，则 A 表示“甲、乙的序号均为偶数”，由等 可能性事件的概率计算公式得
P(A)＝1－P( A )＝1－CC3622＝1－15＝45.
• 答案 0.4
解析 依题意得x7＋x＋0.01.8＋＋0.23.7＋＋y＝101y＝8.9 ，即
x＋y＝0.6 7x＋10y＝5.4
，由此解得 y＝0.4.
• 5．(09·广东)已知离散型随机变量X的分布 列如下表．若EX＝0，DX＝1，则a＝ ________，b＝________.
答案
5 12
• ①求从该批产品中任取1件是二等品的概率 p；
• ②若该批产品共100件，从中一次性任意抽 取2件，用ξ表示取出的2件产品中的二等品 的件数，求ξ的分布列及期望．
• 【解析】 ①记A0表示事件“取出的2件产 品中无二等品”，A1表示事件“取出的2件 产品中恰有1件是二等品”，则A0、A1互斥， 且A＝A0＋A1.故P(A)＝P(A0＋A1)＝P(A0) ＋P(A1)＝(1－p)2＋C21p·(1－p)＝1－p2.
• 【解析】 ξ的取值为1,2,3,4.若ξ＝1，表示第一次即投中，故 P(ξ＝1)＝0.7；若 ξ＝2，表示第一次未投中，第二次投中，故 P(ξ＝2)＝(1－0.7)×0.7＝0.21；若ξ＝3，表示第一、二次未 投中，第三次投中，故P(ξ＝3)＝(1－0.7)2×0.7；若ξ＝4，表 示前三次未投中，故P(ξ＝4)＝(1－0.7)3＝0.027.因此ξ的分布 列为：
• 3．(2011·东北四市联考)在相同条件下对 自行车运动员甲、乙两人进行了6次测试， 测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如 下：
甲 27 38 30 37 35 31 乙 33 29 38 34 28 36
• 试问：选________(填甲或乙)参加某项重 大比赛更合适．
• 答案 乙
解析 x甲 ＝33， x乙 ＝33.