反三角函数求导公式证明

§2.3 反函数的导数，复合函数的求导法则

一、反函数的导数

设)(y x ϕ=是直接函数，)(x f y =是它的反函数，假定)(y x ϕ=在I y 内单调、可导，而且0)(≠'y ϕ，则反函数)(x f y =在间

},)(|{y x I y y x x I ∈==ϕ内也是单调、可导的，而且

)(1

)(y x f ϕ'=' (1)

证明： ∀∈x I x ，给x 以增量x ∆),0(x I x x x ∈∆+≠∆

由 )(x f y = 在 I x 上的单调性可知

0)()(≠-∆+=∆x f x x f y

于是

y x x y ∆∆=∆∆1因直接函数)(y x ϕ=在I y 上单调、可导，故它是连续的，且反函数)(x f y =在I x 上也是连续的，当0→∆x 时，必有0→∆y

)(11lim lim

00y y x x y y x ϕ'=∆∆=∆∆→∆→∆即：)(1)(y x f ϕ'=' 【例1】试证明下列基本导数公式 ().(arcsin )().()().(log )ln 11

1211312

2

x x arctgx x a x a x '=-'=+'=

证1、设y x sin =为直接函数，x y arcsin =是它的反函数 函数 y x sin =在

)2,2(ππ-=y I 上单调、可导，且 '=≠x y cos 0 因此，在 )1,1(-=x I 上， 有 y x cos 1)arcsin (=

' 注意到，当)2,2(ππ-∈y 时，0cos >y ，221sin 1cos x y y -=-=

因此， 211)arcsin (x x -=

'

证2 设x tgy =，)2,2(ππ-=y I 则y arctgx =，I x =-∞+∞(,)

tgy x = 在 I y 上单调、可导且

0cos 12>='y x 故

2221111cos )(1)(x y tg y tgy arctgx +=+=='=

'

证3 a x a a a a y y x ln 1ln 1)(1)log (=='=

'

类似地，我们可以证明下列导数公式：

(arccos )()(ln )x x arcctgx x x x '=--'=-+'=111112

2

二、复合函数的求导法则

如果)(x u ϕ=在点x 0可导，而)(u f y =在点)(00

x u ϕ=可导，则复合函数])([x f y ϕ=在点x 0可导，且导数为 )()(000

x u f dx dy x x ϕ'⋅'== 证明：因)(lim 00u f x y u '=∆∆→∆，由极限与无穷小的关系，有

)0,0()(0→→∆∆⋅+∆'=∆αα时当u u u u f y

用0≠∆x 去除上式两边得：

x u x u u f x y ∆∆⋅+∆∆⋅'=∆∆α)(0

由)(x u ϕ=在x 0的可导性有：

00→∆⇔→∆u x ， 0lim lim 00

==→∆→∆ααu x ])([lim lim 000x u x u u f x y x x ∆∆⋅+∆∆⋅'=∆∆→∆→∆α

x u x u u f x x x ∆∆⋅+∆∆⋅'=→∆→∆→∆0000lim lim lim )(α

)()(00x u f ϕ'⋅'=

即)()(000x u f dx dy x x ϕ'⋅'==

上述复合函数的求导法则可作更一般的叙述：

若u x =ϕ()在开区间I x 可导，y f u =()在开区间I u 可导，且∀∈x I x 时，对应的 u I u ∈，则复合函数])([x f y ϕ=在I x 内可导，且

dx du du dy dx dy ⋅= (2)

复合函数求导法则是一个非常重要的法则，特给出如下注记：

弄懂了锁链规则的实质之后，不难给出复合更多层函数的求导公式。

【例2】}])([{x f y φϕ=，求 dy dx

引入中间变量， 设

v x =φ()，u v =ϕ()，于是 y f u =() 变量关系是 y u v x ---，由锁链规则有：

dy dx dy du du dv dv dx =⋅⋅ (2)、用锁链规则求导的关键 引入中间变量，将复合函数分解成基本初等函数。还应注意：求导完成后，应将引入的中间变量代换成原自变量。 【例3】求y x =sin 2的导数dy dx 。 解：设 u x =2，则y u =sin ，u x =2，由锁链规则有：

dy

dx dy du du

dx u x u x

=⋅='⋅'=⋅=(sin )()(cos )cos 2222

【例4】 设 y tg x =ln 2，求dy

dx 。

由锁链规则有 dx dv dv du du dy dx dy ⋅⋅=21

cos 1

12⋅⋅=v u (基本初等函数求导)21

2

cos 1212⋅⋅=x x tg ( 消中间变量) x sin 1= 由上例，不难发现复合函数求导窍门

中间变量在求导过程中，只是起过渡作用，熟练之后，可不必引入，仅需“心中有链”。

然后，对函数所有中间变量求导，直至求到自变量为止，最后诸导数相乘。

请看下面的演示过程：

)2(2cos 121)2(21)2ln (2'

⋅⋅='⋅='=x

x x

tg x

tg x tg x tg dx dy

x

x x

tg x x x tg sin 1

22cos 21

)(212cos 12122=⋅⋅='⋅⋅⋅=

【例5】证明幂函数的导数公式 1)(-⋅='μμμx x ，(μ为实数)。

证明：设y x e x

==⋅μμln

1

ln ln 1)ln (-⋅=⋅⋅='⋅='μμμμμμx x e x e y x x