插值多项式简介

在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。

早在6世纪，中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。17世纪之后，I.牛顿，J.-L.拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。在近代，插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。

插值问题的提法是：假定区间[a，b］上的实值函数f（x）在该区间上n＋1个互不相同点x0，x1……xn 处的值是f [x0］，……f（xn），要求估算f（x）在[a，b］中某点的值。其做法是：在事先选定的一个由简单函数构成的有n＋1个参数C0，C1，……Cn的函数类Φ(C0，C1，……Cn)中求出满足条件P（xi）＝f（xi）（i＝0，1，…… n）的函数P(x)，并以P()作为f()的估值。此处f（x）称为被插值函数，c0，x1，……xn 称为插值结(节)点，Φ(C0，C1，……Cn)称为插值函数类，上面等式称为插值条件，Φ（C0，……Cn）中满足上式的函数称为插值函数，R（x）＝ f（x）－P（x）称为插值余项。当估算点属于包含x0，x1……xn 的最小闭区间时，相应的插值称为内插，否则称为外插。

多项式插值这是最常见的一种函数插值。在一般插值问题中，若选取Φ为n次多项式类，由插值条件可以唯一确定一个n次插值多项式满足上述条件。从几何上看可以理解为：已知平面上n＋1个不同点，要寻找一条n次多项式曲线通过这些点。插值多项式一般有两种常见的表达形式，一个是拉格朗日插值多项式，另一个是牛顿插值多项式。

埃尔米特插值对于函数f（x），常常不仅知道它在一些点的函数值，而且还知道它在这些点的导数值。这时的插值函数P（x），自然不仅要求在这些点等于f(x）的函数值，而且要求P（x）的导数在这些点也等于f（x)的导数值。这就是埃尔米特插值问题，也称带导数的插值问题。从几何上看，这种插值要寻求的多项式曲线不仅要通过平面上的已知点组，而且在这些点（或者其中一部分）与原曲线“密切”，即它们有相同的斜率。可见埃尔米特插值多项式比起一般多项式插值有较高的光滑逼近要求。

分段插值与样条插值为了避免高次插值可能出现的大幅度波动现象，在实际应用中通常采用分段低次插值来提高近似程度，比如可用分段线性插值或分段三次埃尔米特插值来逼近已知函数，但它们的总体光滑性较差。为了克服这一缺点，一种全局化的分段插值方法——三次样条插值成为比较理想的工具。见样条函数。

三角函数插值当被插函数是以2π为周期的函数时，通常用n阶三角多项式作为插值函数，并通过高斯三角插值表出。

插值（Interpolation），有时也称为“重置样本”，是在不生成像素的情况下增加图像像素大小的一种方法，在周围像素色彩的基础上用数学公式计算丢失像素的色彩。有些相机使用插值，人为地增加图像的分辨率。插值：用来填充图像变换时像素之间的空隙。

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zy19842006、laner6810、明明我心521、lewuyang

问题的描述与基本概念

科学研究和生产实践中,人们经常遇到要求解某个未知函数的问题.在此类问题中,有些函数可以同专业知识,准确地求出来,而有些未知函数只知道变量之间

存在函数关系,其他方面知之甚少,因此要想求出这样的问题,通常人们采用实验的方法先获得未知函数y=f(x)在限个点x0,x2,…xn.上的值f〔x0〕,f〔x1〕,…f 〔xn〕这相当给定一个数表

若它满足插值条件（1），则有线性方程组

它的变元为a0,a1,…,am 由线性代数知识，有当m>n时，线性方程组（2）有无穷多解，m

最好有插值函数唯一，因此，对n+1个插值点一般选取n次多项式做插值多项式函数，此时在式（2）中有m=n，且它的系数行列式为熟悉的范德蒙行列式

因为插值节点互异，故d≠0，故故（2）有唯一解，于是有

定理存在唯一一个满足插值条件（1）且次数≤n插值多项式。

插值的目的之一是对为知函数作近似计算。当用插值函数来近似计算包含插值点的最小闭区间的函数是，称为内插计算，否则称为外插或外推计算。（内插一般比外插精确，本章主要讨论内插）本章例（1）是内插问题。

拟和拟和问题可以描述为：已知函数y=f（x）在[a，b]上的n+1个点处的函数值这里不一定互异，然后根据在平面上由点对

画出的点图（常称为教点图）来选择用什么类型的函数作为

逼近函数，若选定

φ（x）为逼近函数，再通过拟和条件

拟和法可以减少数据f〔xi〕,i=0,1,…,n.的观测误差的影响，通常求出近似函数是一个表达式，且涉及大量数据点。本章的例（2）是拟和问题。

插值和拟和都是由一组数据点构造一个近似函数。但它们的近似要求不同，导致其对应的数学方法不同。一个实际问题。到底该选用插值还是拟和，可根据实际情况确定。插值和拟和都属于函数逼近范畴。

插值法

插值法是函数逼近的一种重要方法，是数值计算的基本课题。本节只讨论具有唯一插值函数的多项式插值和分段多项式插值，对其中的多项式插值主要讨论n次多项式插值的方法，即给定n+1各点处的函数值后，怎样构造一个n次插值多项式的方法。虽然理论上可以用解方程组（2）（那里m=n）得到所求插值多项式，但遗憾的是方程组（2）当n较大时往往是严重是病态的。故不能用解方

程组的方法获得插值多项式。本节介绍的内容有：lagrange插值，newton插值，hermite插值，分段多项式插值及样条插值。

Lagrange插值

Lagrange插值是n次多项式插值，其成功地用构造插值基函数的方法解决了求n次多项式插值函数问题。

★基本思想将待求的n次多项式插值函数pn(x)改写成另一种表示方式，再利用插值条件（1）确定其中的待定函数，从而求出杆值多项式。

Newton插值

Newton插值也是n次多项式插值，它提出另一种构造插值多项式的方法，与Lagrange插值相比，具有承袭性和易于变动节点的特点。

★基本思想将待求的n次插值多项式Pn（x）改写为具有承袭性的形式，然后利用插值条件（1）确定Pn（x）的待定系数，以求出所要的插值函数。

Hermite插值

Hermite插值是利用未知函数f(x)在插值节点上的函数值及导数值来构造插值多项式的,起其提法为:给定n+1个互异的节点x0,x1,……,x n上的函数值和导数值

求一个2n+1次多项式H2n+1(x)满足插值条件

H2n+1(x k)=y k

H'2n+1(x k)=y'k k=0,1,2,……,n (13)

如上求出的H2n+1(x)称为2n+1次Hermite插值函数,它与被插函数

一般有更好的密合度.