线面平行与垂直的证明题精选
平行、垂直问题的证明-高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品
高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第三篇立体几何专题01平行、垂直问题的证明类型对应典例证明线线平行典例1证明线面平行典例2证明面面平行典例3证明线线垂直典例4证明线面垂直典例5证明面面垂直典例6【典例1】如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，△PAB 为等边三角形，E 是PB 中点，平面AED 与棱PC 交于点F .（Ⅰ）求证：//AD EF ；（Ⅱ）求证：PB ⊥平面AEFD ；（III ）记四棱锥P AEFD -的体积为1V ，四棱锥P ABCD -的体积为2V ，直接写出12V V 的值.【典例2】在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，60DAB ∠= ，2AD =，1AM =，E 为AB 的中点．（1）求证：AN ∥平面MEC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使二面角P EC D --的大小为3π？若存在，求出AP 的长；若不存在，请说明理由．【典例3】如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1,2,,AB AD E F ==分别为1,AD AA 的中点，Q 是BC 上一个动点，且(0)BQ QC λλ=>.（1）当1λ=时，求证：平面BEF P 平面1A DQ ；（2）是否存在λ，使得BD FQ ⊥？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由.【典例4】如图，菱形ABCD 中，2AB =，60DAB ∠= ，M 是AD 的中点，以BM 为折痕，将ABM ∆折起，使点A 到达点1A 的位置，且平面1A BM ⊥平面BCDM ，（1）求证：1A M BD ⊥；（2）若K 为1AC 的中点，求四面体1M A BK -的体积．【典例5】如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，M 是PC 上一点，且BM PC ⊥.（1）求证：PC ⊥平面MBD ；（2）求直线PB 与平面MBD 所成角的正弦值.【典例6】已知四棱锥中P ABCD -，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E 、M 分别是BC 、PD 上的中点，直线EM 与平面PAD 所成角的正弦值为155，点F 在PC 上移动.（Ⅰ）证明：无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面PAD ；（Ⅱ）求点F 恰为PC 的中点时，二面角C AF E --的余弦值.1.在如图所示的五面体ABCDEF 中,四边形ABCD 为菱形,且60,22,//,DAB EA ED AB EF EF AB M ∠=︒====为BC 中点.(1)求证:FM ∕∕平面BDE ;(2)若平面ADE ⊥平面ABCD ,求F 到平面BDE 的距离.2.已知空间几何体ABCDE 中，△BCD 与△CDE 均是边长为2的等边三角形，△ABC 是腰长为3的等腰三角形，平面CDE ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD .(1)试在平面BCD 内作一条直线，使得直线上任意一点F 与E 的连线EF 均与平面ABC 平行，并给出证明；(2)求三棱锥E －ABC 的体积.3.已知三棱锥P ABC -中，AB AC ⊥，AB AP ⊥.若平面α分别与棱PA PB BC AC 、、、相交于点,,,E F G H 且PC P 平面α.求证:（1）∥EH FG ；（2）AB FG ⊥.4.如图，在四边形'A BCD 中，'E 是'A D 的中点，'A BD ∆为正三角形，2DB =，1DC =，BC =.将'A BD ∆沿直线BD 折起，使'A 到达A 处，'E 到达E 处，此时平面ABD ⊥平面BCD .（1）求证：DC BE ⊥；（2）求点D 到平面BCE 的距离.5.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，090BAC ∠=，AB AC =，,D E 分别为1AA 、1B C 的中点.（1）证明：DE ⊥平面11BCC B ；（2）已知1B C 与平面BCD 所成的角为030，求二面角1D BC B --的余弦值.6.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PB PD =.（1）证明：面PAC ⊥面ABCD ；（2）若PA 与底面ABCD 所成的角为30 ，PA PC ⊥，求二面角B PC D --的余弦值．参考答案【典例1】解：（I ）证明：因为正方形ABCD ，所以//AD BC .因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC .因为AD ⊂平面AEFD ，平面AEFD ⋂平面PBC EF =，所以//AD EF .（II ）证明：因为正方形ABCD ，所以AD AB ⊥.因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，AD ⊂平面ABCD ，所以AD ⊥平面PAB .因为PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥.因为PAB ∆为等边三角形，E 是PB 中点，所以PB AE ⊥.因为AE ⊂平面AEFD ，AD ⊂平面AEFD ，AE AD A ⋂=，所以PB ⊥平面AEFD .（III ）解：由（Ⅰ）知，122133C AEFDE ABCF ADC C AEFD V V V V V V ，＝，----===513BC AEFD V V -∴＝，则1158133P ABCD V V V V -+＝＝，1238V V ∴．【典例2】解：()I CM 与BN 交于F ，连接EF ．由已知可得四边形BCNM 是平行四边形，所以F 是BN 的中点．因为E 是AB 的中点，所以//AN EF ．又EF ⊂平面MEC ，AN ⊂平面MEC ，所以//AN 平面MEC ．()II 由于四边形ABCD 是菱形，60DAB ∠=，E 是AB 的中点，可得DE AB ⊥．又四边形ADNM 是矩形，面ADNM ⊥面ABCD ，DN ∴⊥面ABCD ，如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(0D ，0，0)，E 0，0)，(0C ，2，0)，P 1-，)h，CE = ，2-，0)，(0EP =，1-，)h ，设平面PEC 的法向量为1(n x =，y ，)z ．则11·0·0CE n EP n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，∴200y y hz -=-+=⎪⎩，令y =，∴1(2n h =，又平面ADE 的法向量2(0n =，0，1)，1cos n ∴<，12212·12n n n n n >===，解得377h =， 3717>，∴在线段AM 上不存在点P ，使二面角P EC D --的大小为3π．【典例3】解：（1）当1λ=时，Q 为BC 中点，因为E 是AD 的中点，所以,ED BQ ED BQ = ，则四边形BEDQ 是平行四边形，所以BE QD .又BE ⊄平面1,A DQ DQ ⊂平面1A DQ ，所以BE 平面1A DQ .因为,E F 分别是1,AD A A 中点，所以1EF A D ，因为EF ⊄平面11,A DQ A D ⊂平面1A DQ ，所以EF 平面1A DQ .因为,BE EF E EF ⋂=⊂平面,BEF BE ⊂平面BEF ，所以平面BEF 平面1A DQ .（2）如图，连接,AQ BD 与FQ ，因为1A A ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，所以1A A BD ⊥.若,BD FQ ⊥又1,A A FQ ⊂平面1A AQ ，且1A A FQ F ⋂=，所以BD ⊥平面1A AQ .因为AQ ⊂平面1A AQ ，所以AQ BD ⊥.在矩形ABCD 中，由AQ BD ⊥，得AQB DBA ∽，所以2AB AD BQ =⋅.又1,2AB AD ==，所以13,22BQ QC ==，则13BQ QC =，即13λ=.【典例4】解：（1）证明：在左图中，∵四边形ABCD 是菱形，60DAB ∠= ，M 是AD 的中点，∴AD BM ⊥，故在右图中，1A M BM ⊥，∵平面1A BM ⊥平面BCDM ，平面1A BM 平面BCDM BM =，∴1A M ⊥平面BCDM ，又BD ⊂平面BCDM ，所以1A M BD ⊥.（2）解：在左图中，∵四边形ABCD 是菱形，AD BM ⊥，AD BC ∥，∴BC BM ⊥，且3BM =，在右图中，连接CM ，则1111132313323A BCM BCM V S A M -∆=∙=⨯⨯=，∵K 为1AC 的中点，∴1111113226M A BK K MA B C MA B A BCM V V V V ----====．【典例5】解：（1）连接AC ，由PA ⊥平面ABCD ，BD Ø平面ABCD 得BD PA ⊥，又BD AC ⊥，PA AC A ⋂=，∴BD ⊥平面PAC ，得PC BD ⊥，又PC BM ⊥，BD BC B ⋂=，∴PC ⊥平面MBD .（2）法1：由（1）知PC ⊥平面MBD ，即PBM ∠是直线PB 与平面MBD 所成角，易证PB BC ⊥，而BM PC ⊥，不妨设1PA =，则1BC =，PC =，PB =，在Rt PBC ∆中，由射影定理得22::2:1PM MC PB BC ==，可得22333PM PC ==，所以63PM sin PBM PB ∠==，故直线PB 与平面MBD所成角的正弦值为3.法2：取A 为原点，直线MB ，MD ，MP 分别为x ，y ，z 轴，建立坐标系A xyz -，不妨设1PA AB ==，则0,0,1)P（，()1,0,0B ，()1,1,0C ，由（1）知平面MBD 得法向量()1,1,1PC =- ，而()1,0,1PB =-，∴1,0,11,1,1,cos PB PC -⋅-= 63=.故直线PB 与平面MBD 所成角的正弦值为63.【典例6】解：（Ⅰ）连接AC∵底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，∴ABC ∆是正三角形，∵E 是BC 中点，∴AE BC ⊥又AD BC ，∴AE AD⊥∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴PA AE ⊥，又PA AE A ⋂=∴AE ⊥平面PAD ，又AE ⊂平面AEF ∴平面AEF ⊥平面PAD .（Ⅱ）由（Ⅰ）得，AE ，AD ，AP 两两垂直，以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵AE ⊥平面PAD ，∴AME ∠就是EM 与平面PAD 所成的角，在Rt AME ∆中，15sin 5AME ∠=，即62AE AM =，设2AB a =，则AE =，得AM =，又2AD AB a ==，设2PA b =，则()0,,M a b ，所以AM ==，从而b a =，∴2PA AD a ==，则()0,0,0A，),,0Ba -，),,0Ca ，()0,2,0D a ，()0,0,2P a，),0,0E，3,,22a F a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以),0,0AE =，3,,22a AF a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(),3,0BD a=，设(),,n x y z是平面AEF 一个法向量，则n AE n AF ⎧⋅=⇒⎨⋅=⎩3022ayaz ⎧=++=⎪⎩取z a =，得()0,2,n a a =- 又BD ⊥平面ACF，∴(),3,0BD a=是平面ACF 的一个法向量，∴cos ,n BD n BD n BD⋅==⋅2155=-∴二面角C AF E --的余弦值为155.1.【思路引导】(1)取BD 中点O ,连接,OM OE ,因为,O M 分别为,BD BC 的中点,所以//OMCD ,且12OM CD =,因为四边形ABCD 为菱形,所以//,CD AB CD ⊄又平面,ABFE AB ⊂平面ABFE ,所以//CD 平面ABFE .因为平面ABFE 平面,CDEF EF CD =⊂平面CDEF ,所以CD EF ∕∕.又2AB CD ==,所以12EF CD =.所以四边形OMFE 为平行四边形，所以//MF OE .又OE ⊂平面BDE ，且MF ⊄平面BDE ,所以//MF 平面BDE .(2)由(1)得//FM 平面BDE ,所以F 到平面BDE 的距离等于M 到平面BDE 的距离.取AD 的中点H ,连接,EH BH ,因为四边形ABCD 为菱形,且60,2DAB EA ED AB EF ∠==== ,所以,EH AD BH AD ⊥⊥,因为平面ADE ⊥平面ABCD ,平面ADE 平面ABCD AD =,所以EH ⊥平面,ABCD EH BH ⊥,因为3EH BH ==,所以6BE =所以22161562222BDES ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭,设F 到平面BDE 的距离为h ,又因为113342242BDM BCD S S ==⨯⨯=,所以由E BDM M BDE V V --=,得1311533232h =⨯⨯,解得155h =.即F 到平面BDE 的距离为155．2.【思路引导】（1）取DC 的中点N ，取BD 的中点M ，连接MN ，则MN 即为所求，证明EN ∥AH ，MN ∥BC 可得平面EMN ∥平面ABC 即可（2）因为点E 到平面ABC 的距离与点N 到平面ABC 的距离相等，求三棱锥E －ABC 的体积可转化为求三棱锥N －ABC 的体积，根据体积公式计算即可.解：(1)如图所示，取DC 的中点N ，取BD 的中点M ，连接MN ，则MN 即为所求.证明：连接EM，EN，取BC的中点H，连接AH，∵△ABC是腰长为3的等腰三角形，H为BC的中点，∴AH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AH⊂平面ABC，∴AH⊥平面BCD，同理可证EN⊥平面BCD，∴EN∥AH，∵EN⊄平面ABC，AH⊂平面ABC，∴EN∥平面ABC.又M，N分别为BD，DC的中点，∴MN∥BC，∵MN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN∩EN＝N，MN⊂平面EMN，EN⊂平面EMN，∴平面EMN∥平面ABC，又EF⊂平面EMN，∴EF∥平面ABC，即直线MN上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行.(2)连接DH，取CH的中点G，连接NG，则NG∥DH，由(1)可知EN∥平面ABC，∴点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等，又△BCD是边长为2的等边三角形，∴DH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，DH⊂平面BCD，∴DH⊥平面ABC，∴NG⊥平面ABC，易知DH NG ＝32，又S △ABC ＝12·BC ·AH ＝12，∴V E －ABC ＝13·S △ABC ·NG ＝3.3.解：证明（1）因为PC P 平面α，平面α 平面PAC EH =,PC ⊂平面PAC ，所以有PC EH ,同理可证出PC FG ,根据平行公理，可得∥EH FG ；（2）因为AB AC ⊥，AB AP ⊥，AP AC A ⋂=,,AP AC ⊂平面PAC ，所以AB ⊥平面PAC ,而PC ⊂平面PAC ,所以AB PC ⊥,由（1）可知PC FG EH ,所以AB FG ⊥.4.【思路引导】（1）先由题证明BD DC ⊥，再证明DC ⊥平面ABD 则可得DC BE ⊥；（2）用等体积转化法D BCE E BCD V V --=，求点D 到平面BCE 的距离．解：（1）由2DB =，1DC =，BC =，可知222DB DC BC +=，∴BD DC ⊥，又∵平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面BCD BD =.∴DC ⊥平面ABD ，又BE ⊂平面ABD ，∴DC BE ⊥.（2）取BD 的中点F ，连接AF .∵'A BD ∆为正三角形，∴ABD ∆也为正三角形，∴AF BD ⊥.由2BD =，知AF =.∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，∴AF ⊥平面BCD ，又∵E 为'E 对应的点，∴E 为AD 的中点，∴点E 到底面BCD 的距离为32，BE =，1ED =，又CD AD ⊥，1CD =，∴CE =，又BC =，∴222BE CE BC +=，∴BE CE ⊥，∴116222BCE S BE CE ∆=⨯==，1121122BCD S BD DC ∆=⨯=⨯⨯=.设D 点到平面BCE 的距离为h .∵D BCE E BCD V V --=，∴11133222BCE BCD S h S h ∆∆⋅=⨯⇒=⨯，解得22h =，∴点D 到平面BCE 的距离为22.5.【思路引导】解法1：（1）建立空间直角坐标系，利用直线的向量和平面法向量平行证明线面垂直；（2）设AD a =，利用1B C 与平面BCD 所成的角为030得到a 的值，再求出两个面的法向量之间的夹角余弦值，得到二面角的余弦值.解法2：（1）取BC 中点F ，连接AF 、EF ，易证AF ⊥平面11BCC B ，再证明DE AF ,可得DE ⊥平面11BCC B（2）设AD a =，利用1B C 与平面BCD 所成的角为030得到a 的值，再求出两个面的法向量之间的夹角余弦值，得到二面角的余弦值.解法3：（1）同解法2（2）设12AA a =，利用三棱锥1B BDC -等体积转化，得到1B 到面BCD 的距离，利用1B C 与平面BCD 所成的角为30︒得到1B C 与d 的关系，解出a ，在两个平面分别找出,DF EF 垂直于交线，得到二面角，求出其余弦值.【详解】解法1：（1）以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A xyz -．设1AB =，AD a =，则()1,0,0B ，()0,1,0C ，()11,0,2B a ，()0,0,D a ，()11,0,2B a ，11,,22E a ⎛⎫⎪⎝⎭，11,,022DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,1,0BC =- ，()11,1,2B C a =--．因为0DE BC ⋅=，10DE B C ⋅= ，所以DE BC ⊥，1DE B C ⊥，BC ⊂面11BCC B ，1B C ⊂面11BCC B ，1BC B C B ⋂=于是DE ⊥平面11BCC B ．（2）设平面BCD 的法向量()000,,n x y z =，则0n BC ⋅= ，0n BD ⋅=，又()1,1,0BC =- ，()1,0,BD a =-，故000000x y x az -+=⎧⎨-+=⎩，取01x =，得11,1,n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭．因为1B C 与平面BCD 所成的角为30︒，()11,1,2B C a =--，所以1cos ,sin30n B C =︒ ，11n B C n B C⋅∴=⋅12=，解得22a =，(n= ．由（1）知平面1BCB 的法向量11,,022AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，11222cos ,2n AF n AF n AF+⋅==⋅，所以二面角1D BC B --的余弦值为22．解法2：（1）取BC 中点F ，连接AF 、EF ,AB AC = ∴AF BC ⊥，1BB ⊥平面ABC ，AF ⊂平面ABC ∴1BB AF ⊥，而BC ⊂平面11BCC B ,1B B ⊂平面11BCC B ,1BC B B B⋂=∴AF ⊥平面11BCC B ．E 为1B C 中点，∴1EF BB ，112EF BB =，∴EF DA ，EF DA ＝，∴四边形ADEF 为平行四边形，∴AF DE ．∴DE ⊥平面11BCC B ．（2）以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A xyz -．设()1,0,0B ，()0,1,0C ，()11,0,2B a ，则()0,0,D a ，()11,0,2B a ，11,,022F ⎛⎫ ⎪⎝⎭．设平面BCD 的法向量()000,,n x y z =，则0n BC ⋅= ，0n BD ⋅=，又()1,1,0BC =- ，()1,0,BD a =-，故000000x y x az -+=⎧⎨-+=⎩，取01x =，得11,1,n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭．因为1B C 与平面BCD 所成的角为30︒，()11,1,2B C a =--，所以1|cos ,)|sin30n B C <>=︒ ，11n B C n B C⋅∴=⋅12=，解得22a =，(n= ．由（1）知平面1BCB 的法向量11,,022AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1122cos ,2n AF n AF n AF +⋅==⋅所以二面角1D BC B --的余弦值为2．解法3：（1）同解法2．（2）设1AB AC ==，12AA a =，则BC =22AF =,BD DC==DF ∴==122BDC SBC DF ∴=⋅= ，1112BCB S BB BC =⋅= ，D 到平面1BCB 距离22DE =，设1B 到面BCD 距离为d ，由11B BDCD BCB V V --=得11133BCB BDC SDE S d ⋅=⋅，即113232d⋅=⋅⋅d =因为1B C 与平面BCD 所成的角为30︒，所以12sin30d B C d ===︒，而在直角三角形1B BC 中1BC ==2=，解得22a =．因为AF ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ,所以AF BC ⊥，EF ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B 所以EF BC ⊥，所以BC ⊥平面DEFA ，DF ⊂ 平面DBC ,EF ⊂平面1B BC所以EFD ∠为二面角1D BC B --的平面角，而22DA AF ==,可得四边形DAFE 是正方形，所以45EFD ∠=︒，所以二面角1D BC B --的余弦值为22．6.【思路引导】（1）要证面面垂直，一般先证线面垂直，设AC 与BD 交点为O ，则PO ⊥BD ，而正方形中AC ⊥BD ，于是可证得结论．（2）由线面角的定义可得030PAC ∠=，以A 为坐标原点，,AB AD为x,y 轴的正方向建立空间直角坐标系，然后写出各点坐标，求出面BPC 和面DPC 的法向量，再由法向量的夹角的余弦值得二面角的余弦．解：（1）证明：连接AC,BD 交点为O ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AC BD⊥∵PB PD =，OB OD =,∴BD OP ⊥,又∵OP AC O ⋂=,∴BD PAC ⊥面又BD PAC ⊂面,∴PAC ABCD ⊥面面.（2）∵PAC ABCD ⊥面面，过点P 做PE AC ⊥,垂足为E∴ABCD PE ⊥面∵PA 与底面ABCD 所成的角为030，∴030PAC ∠=,又PA PC ⊥，设2PC =,则3,4,AP PE AE AC AD =====如图所示，以A 为坐标原点，,AB AD 为x,y 轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz -()()()()32320,0,0,,,0,,,22A B C D P ⎛ ⎝设面PBC 法向量为()1,,n x y z =，()220,,,22BC CP ⎛==--⎝1100n BC n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,∴022022x y ⎧=+-=⎪⎩，1,0,z y x ===令则)1n = 同理PCD 面的法向量()2n = ，1212121cos ,7n n n n n n ⋅==∴求二面角B PC D --的余弦值17-。
空间中的平行与垂直例题和知识点总结
空间中的平行与垂直例题和知识点总结在立体几何的学习中，空间中的平行与垂直关系是非常重要的内容。
理解和掌握这些关系，对于解决相关的几何问题具有关键作用。
下面我们通过一些例题来深入探讨，并对相关知识点进行总结。
一、平行关系（一）线线平行1、定义：如果两条直线在同一平面内没有公共点，则这两条直线平行。
2、判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
例 1：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：EF∥A₁C₁。
证明：连接 AC，因为 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EF∥AC。
又因为正方体中，AC∥A₁C₁，所以 EF∥A₁C₁。
（二）线面平行1、定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行。
2、判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
例 2：已知四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形，M 是 PC 的中点，求证：PA∥平面 MBD。
证明：连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO。
因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 O 是 AC 的中点。
又因为 M 是 PC 的中点，所以MO∥PA。
因为 MO⊂平面 MBD，PA⊄平面 MBD，所以 PA∥平面MBD。
（三）面面平行1、定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。
2、判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
例 3：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，求证：平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
证明：因为 A₁B∥D₁C，A₁D∥B₁C，且 A₁B 和 A₁D 是平面A₁BD 内的两条相交直线，D₁C 和 B₁C 是平面 B₁D₁C 内的两条相交直线，所以平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
二、垂直关系（一）线线垂直1、定义：如果两条直线所成的角为 90°，则这两条直线垂直。
线面垂直平行证明解答基础
直线平面平行及垂直的判定解答基础21．如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，求证：平面A1C1CA⊥平面B1D1DB．证明：∵AC⊥BD，AC⊥BB1，BD∩BB1=B，∴AC⊥面B1D，∵AC⊂面A1C，∴平面A1C1CA⊥平面B1D1DB．2.如图，四棱锥V﹣ABCD的底面为矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD，求证：平面VBC⊥平面VAC．证明：∵VB⊥面VAD，AD⊂面VAD，VA⊂面VAD，∴VB⊥AD，VB⊥VA，∵AB⊥AD，VA∩AB=A，∴AD⊥面VAB，AD⊂面VAB，∴AD⊥VA，∵AD∥BC，∴VA⊥BC，又∵VA⊥VB，VB∩BC=B，∴VA⊥平面VBC,又VA⊂面VBC，∴平面VBC⊥平面VAC．3．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥面ABC，D是AB中点，AC⊥BC．（1）求证：BC1∥面A1DC．（2）求证：面A1BC⊥面A1AC．解：（1）证明：取AC1的中点M，∵D是AB中点，∴MD是三角形ABC1的中位线，∴MD∥BC1．而MD在平面A1DC中，BC1不在平面A1DC中，∴BC1∥面A1DC．（2）∵AA1⊥面ABC，∴AA1⊥BC，又 AC⊥BC，AC∩AA1=A，∴BC⊥面A1AC．∵BC⊂面A1BC，∴面A1BC⊥面A1AC．5．如图为正方体ABCD﹣A1B!C!D1切去一个三棱锥B1﹣A!BC1后得到的几何体．（1）画出该几何体的正视图；（2）若点O为底面ABCD的中心，求证：直线D1O∥平面A1BC1；（3）求证：平面A1BC1⊥平面BDD1．解：（1）几何体的正视图为：（2）将其补成正方体ABCD﹣A1B1C1D1，设B1D1和A1C1交于点O1，连接O1B，依题意可知，D1O1∥OB，且D1O1=OB，∴四边形D1OBO1为平行四边形，∴D1O∥O1B，∵BO1⊂平面BA1C1，D1O⊄平面BA1C1，∴直线D1O∥平面A1BC1．（3）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面A1B1C1D1，则DD1⊥A1C1，又∵B1D1⊥A1C1且DD1∩B1D1，∴A1C1⊥平面BD1D，又∵A1C1⊂平面A1BC1，∴平面A1BC1⊥平面BD1D．6．如图，在三棱锥S﹣ABC中，OA=OB，O为BC中点，SO⊥平面ABC，E为SC中点，F为AB 中点．（1）求证：OE∥平面SAB；（2）求证：平面SOF⊥平面SAB．证明：（1）取AC的中点G，连接OG，EG，∵OG∥AB，EG∥AS，EG∩OG=G，SA∩AB=A，∴平面EGO∥平面SAB，OE⊂平面OEG∴OE∥平面SAB．（2）∵SO⊥平面ABC，∴SO⊥OB，SO⊥OA，又∵OA=OB，SA2=SO2+OA2，SB2=SO2+OB2，∴SA=SB，又F为AB中点，∴SF⊥AB，又SO⊥AB，SF∩SO=S，∴AB⊥平面SOF，∵AB⊂平面SAB，∴平面SOF⊥平面SAB．7．如图，在三棱锥A﹣BCD中，BC=AC，AD=BD，作BE⊥CD，E为垂足，作AH⊥BE于H．求证：AH⊥平面BCD．解：如图，取AB中点F，连接CF，DF,∵BC=AC，AD=BD，∴AB⊥CF，AB⊥DF，CF∩DF=F；∴AB⊥平面CDF，CD⊂平面CDF,∴CD⊥AB，CD⊥BE，BE∩AB=B；∴CD⊥平面ABE，AH⊂平面ABE,∴CD⊥AH，即AH⊥CD，又AH⊥BE，BE∩CD=E；∴AH⊥平面BCD．8．如图，棱锥V﹣ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA=VB，AD=BD．求证：（1）AB⊥平面VDC （2）AB⊥CD．证明：（1）连接VD，从而∵VA=VB，AD=BD,∴VD⊥AB,∵VO⊥平面ABC，∴VO⊥AB∴AB⊥平面VDO，∵C在直线DO上，∴AB⊥平面VDC；（2）由（1）得AB⊥平面VDC,∵CD⊂平面VDC∴AB⊥CD．13．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD， AC∩BD=E，AD=2，AB=2，BC=6，求证：平面PBD⊥平面PAC．证明：在Rt△ABC中，tan∠BAC===，∴∠BAC=60°；又∵AD∥BC，∴∠BAD=90°；在Rt△BAD，tan∠ABD===，∴∠ABD=30°；∴∠AEB=90°，∴BD⊥AC；∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD；又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC；∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．14．如图所示，在四面体P﹣ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=2求证：BC⊥平面PAC，PA⊥平面ABC．证明：∵PA2+AC2=36+64=100=PC2，∴PA⊥AC∵PA2+AB2=36+100=136=PB2，∴PA⊥AB∵AB∩AC=A∴PA⊥平面ABC∵PC2+BC2=100+36=136=PB2，∴PC⊥BC∵BC2+AC2=36+64=100=AB2，∴BC⊥AC∵PC∩AC=C∴BC⊥平面PAC．17．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，∠PDA=45°，点E为棱AB的中点，求证：平面PCE⊥平面PCD．证明：∵PA⊥底面ABCD∴PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PA∩AD=A∴CD⊥平面ADP，∵AF⊂平面ADP，∴CD⊥AF．直角三角形PAD中，∠PDA=45°∴△PAD为等腰直角三角形，∴PA=AD．∵F是PD的中点，∴AF⊥PD，又CD∩PD=D．∴AF⊥平面PCD．∵AF∥EG，∴EG⊥平面PCD，又EG⊂平面PCE，∴平面PCE⊥平面PCD．18．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点求证：平面BDE⊥平面ABCD．证明：如图，连接AC，交BD于O点，连接OE．∵四边形ABCD是平行四边形，E是SA的中点，∴AO=OC，AE=ES，∴OE∥SC∵直线SC⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，∵OE⊂平面BDE∴平面BDE⊥平面ABCD．19．已知如图底面ABC为直角三角形，∠C=90°，PA⊥平面ABC，求证：平面PBC⊥平面PAC．证明：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又BC⊥AC，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC．。
立体几何线面平行垂直、面面平行垂直专题练习(高三党必做)
立体几何线面平行垂直、面面平行垂直专题一、解答题（本大题共27小题，共324.0分）1.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．2.如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．BC＝12(1)证明：直线CE∥平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M-AB-D的余弦值．3.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是BC的中点．（1）求证：AE⊥B1C；（2）求异面直线AE与A1C所成的角的大小；（3）若G为C1C中点，求二面角C-AG-E的正切值．4.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是菱形，AC∩BD=O，△PAC是边长为2的等边三角形，PB=PD=√6，AP=4AF．（Ⅰ）求证：PO⊥底面ABCD；（Ⅱ）求直线CP与平面BDF所成角的大小；（Ⅲ）在线段PB上是否存在一点M，使得CM∥平面BDF如果存在，求BM的值，如果不存在，请说明理BP由．5.如图，在直三棱柱ABC-A1B l C1中，AC=BC=√2，∠ACB=90°．AA1=2，D为AB的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥BC1；（Ⅱ）求证：AC1∥平面B1CD：（Ⅲ）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．6.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=√6，AB=4．（1）求证：M为PB的中点；（2）求二面角B-PD-A的大小；（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．8.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）设AP=1，AD=√3，三棱锥P-ABD的体积V=√3，求A到平面PBC的距4离．9.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F-AB-P的余弦值．10.如图，已知四棱锥P-ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．11.如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2，∠ABC=60°，M是AB的中点，N是CE的中点．（I）求证：EM⊥AD；（II）求证：MN∥平面ADE；（III）求点A到平面BCE的距离．12.已知几何体ABCDEF中，AB∥CD，AD⊥DC，EA⊥平面ABCD，FC∥EA，AB=AD=EA=1，CD=CF=2．（Ⅰ）求证：平面EBD⊥平面BCF；（Ⅱ）求点B到平面ECD的距离．13.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD=2，E、F分别为CD、PB的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：平面AEF⊥平面PAB；（3）设AB=√2AD，求直线AC与平面AEF所成角θ的正弦值．14.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ADC=45∘，AD=AC=2，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD且PO=6，M为BD的中点．(1)证明：AD⊥平面PAC；(2)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．15.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=√2，点D为A1C1的中点．（I）求证：BC1∥平面AB1D；（II）求证：A1C⊥平面AB1D；（Ⅲ）求异面直线AD与BC1所成角的大小．16.如图，P-ABD和Q-BCD为两个全等的正棱锥，且A，B，C，D四点共面，其中AB=1，∠APB=90°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面APQ；（Ⅱ）求直线PB与平面PDQ所成角的正弦值．17.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1ACC1⊥底面ABC，AB=BC=2，∠ACB=30°，∠C1CB=60°，BC1⊥A1C，E为AC的中点，侧棱CC1=2．（1）求证：A1C⊥平面C1EB；（2）求直线CC1与平面ABC所成角的余弦值．18.如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB=6，BC=2√3，AC=2√6，D为线段AB上的点，且AD=2DB，PD⊥AC．（1）求证：PD⊥平面ABC；，求点B到平面PAC的距离．（2）若∠PAB=π419.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，△ABC为正三角形，D是BC边的中点，AA1=AB=1．（1）求证：平面ADB1⊥平面BB1C1C；（2）求点B到平面ADB1的距离．20.如图，在三棱锥P-ABC中，点D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB=BC．（1）求证：平面BED⊥平面PAC；（2）求二面角F-DE-B的大小；（3）若PA=6，DF=5，求PC与平面PAB所成角的正切值．21.如图,在四棱锥P—ABCD中,PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,DB平分∠ADC,E为PC的中点,AD＝CD＝1,DB=2√2.(1)证明PA∥平面BDE;(2)证明AC⊥平面PBD;(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值.22.如图所示，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，AB=AA1=2A1B1=2．（Ⅰ）若M为CD中点，求证：AM⊥平面AA1B1B；（Ⅱ）求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值．=√2.23.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°，E为A1C1的中点，CC1C1E（Ⅰ）证明：CE⊥平面AB1C1；（Ⅱ）若AA1=√6，∠BAC=30°，求点E到平面AB1C的距离．24.如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是边长为√2的正方形，平面AEC⊥平面CDE，∠AEC=90°，F为DE中点，且DE=1．（Ⅰ）求证：BE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：CD⊥DE；（Ⅲ）求FC与平面ABCD所成角的正弦值．25.已知：平行四边形ABCD中，∠DAB=45°，AB=√2AD=2√2，平面AED⊥平面ABCD，△AED为等边三角形，EF∥AB，EF=√2，M为线段BC的中点．（1）求证：直线MF∥平面BED；（2）求证：平面BED⊥平面EAD；（3）求直线BF与平面BED所成角的正弦值．26.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=√2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AC=√2，AB=BC=1，E为AD中点．（Ⅰ）求证：PE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；（Ⅲ）求平面PAB与平面PCD所成的二面角．27.如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（1）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．答案和解析1.【答案】（1）证明：法一、如图，取PB 中点G ，连接AG ，NG ，∵N 为PC 的中点， ∴NG ∥BC ，且NG =12BC ，又AM =23AD =2，BC =4，且AD ∥BC ， ∴AM ∥BC ，且AM =12BC ，则NG ∥AM ，且NG =AM ，∴四边形AMNG 为平行四边形，则NM ∥AG ， ∵AG ⊂平面PAB ，NM ⊄平面PAB ， ∴MN ∥平面PAB ； 法二、在△PAC 中，过N 作NE ⊥AC ，垂足为E ，连接ME ， 在△ABC 中，由已知AB =AC =3，BC =4，得cos ∠ACB =42+32−322×4×3=23，∵AD ∥BC ，∴cos ∠EAM =23，则sin ∠EAM =√53，在△EAM 中，∵AM =23AD =2，AE =12AC =32，由余弦定理得：EM =√AE 2+AM 2−2AE ⋅AM ⋅cos∠EAM =√94+4−2×32×2×23=32，∴cos ∠AEM =(32)2+(32)2−42×32×32=19，而在△ABC 中，cos ∠BAC =32+32−422×3×3=19，∴cos ∠AEM =cos ∠BAC ，即∠AEM =∠BAC ， ∴AB ∥EM ，则EM ∥平面PAB ．由PA ⊥底面ABCD ，得PA ⊥AC ，又NE ⊥AC ， ∴NE ∥PA ，则NE ∥平面PAB ． ∵NE ∩EM =E ，∴平面NEM ∥平面PAB ，则MN ∥平面PAB ；（2）解：在△AMC 中，由AM =2，AC =3，cos ∠MAC =23，得CM 2=AC 2+AM 2-2AC •AM •cos ∠MAC =9+4−2×3×2×23=5．∴AM 2+MC 2=AC 2，则AM ⊥MC ， ∵PA ⊥底面ABCD ，PA ⊂平面PAD ，∴平面ABCD ⊥平面PAD ，且平面ABCD ∩平面PAD =AD ， ∴CM ⊥平面PAD ，则平面PNM ⊥平面PAD ．在平面PAD 内，过A 作AF ⊥PM ，交PM 于F ，连接NF ，则∠ANF 为直线AN 与平面PMN 所成角．在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN=12PC=12√PA2+PC2=52，在Rt△PAM中，由PA•AM=PM•AF，得AF=PA⋅AMPM =√42+22=4√55，∴sin∠ANF=AFAN =4√5552=8√525．∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为8√525．【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题．（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且NG=12BC，再由已知得AM∥BC，且AM=12BC，得到NG∥AM，且NG=AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB；法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通过求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，则结论得证；（2）由勾股定理得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．2.【答案】（1）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，所以EF∥AD，EF=12AD，AB=BC=12AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥AD，EF∥BC,EF=BC,∴四边形BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，∴直线CE∥平面PAB;（2）解:如图所示，取AD中点O，连接PO，CO，由于△PAD为正三角形，则PO⊥AD，因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO⊥CO. 因为AO=AB=BC=12AD，且∠BAD=∠ABC= 90∘，所以四边形ABCO是矩形，所以CO⊥AD，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系,不妨设AB=BC=12AD=1，则OA=OD=AB=CO=1.又因为△POC为直角三角形，|OC|=√33|OP|，所以∠PCO=60∘.作MN⊥CO，垂足为N，连接BN，因为PO ⊥CO ，所以MN //PO ，且PO ⊥平面ABCD ，所以MN ⊥平面ABCD ，所以∠MBN 即为直线BM 与平面ABCD 所成的角, 设CN =t ，因为∠PCO =60∘，所以MN =√3t ，BN =√BC 2+CN 2=√t 2+1. 因为∠MBN =45∘，所以MN =BN ，即√3t =√t 2+1，解得t =√22，所以ON =1−√22，MN =√62，所以A (0,−1,0)，B (1,−1,0)，M (1−√22,0,√62)，D (0,1,0)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−√22,1,√62). 设平面MAB 和平面DAB 的法向量分别为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2), 则{AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1⃗⃗⃗⃗ =0AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1⃗⃗⃗⃗ =0，即{x 1=0(1−√22)x 1+y 1+√62z 1=0， 可取z 1=−2，则n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,√6,−2), 同理可得n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)，所以.因为二面角M -AB -D 是锐角，所以其余弦值为√105.【解析】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，空间向量求二面角夹角，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．（1）取PA 的中点F ，连接EF ，BF ，通过证明CE ∥BF ，利用直线与平面平行的判定定理证明即可．（2）取AD 中点O ，连接PO ，CO ，作MN ⊥CO ，垂足为N ，以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴建立空间直角坐标系，即可求出二面角M -AB -D 的余弦值．3.【答案】证明：（1）因为BB 1⊥面ABC ，AE ⊂面ABC ，所以AE ⊥BB 1,由AB =AC ，E 为BC 的中点得到AE ⊥BC , ∵BC ∩BB 1=B ，BC 、BB 1⊂面BB 1C 1C ， ∴AE ⊥面BB 1C 1C ，,∴AE ⊥B 1C ；解：（2）取B 1C 1的中点E 1，连A 1E 1，E 1C ，则AE ∥A 1E 1， ∴∠E 1A 1C 是异面直线AE 与A 1C 所成的角， 设AC =AB =AA 1=2，则由∠BAC =90°， 可得A 1E 1=AE =√2，A 1C =2√2，E 1C 1=EC =12BC =√2，∴E 1C =√E 1C 12+C 1C 2=√6，∵在△E 1A 1C 中，cos ∠E 1A 1C =2+8−62⋅√2⋅2√2=12， 所以异面直线AE 与A 1C 所成的角为π3；（3）连接AG ，设P 是AC 的中点，过点P 作PQ ⊥AG 于Q ，连EP ，EQ ，则EP ⊥AC ，又∵平面ABC ⊥平面ACC 1A 1,平面ABC ∩平面ACC 1A 1=AC ∴EP ⊥平面ACC 1A 1， 而PQ ⊥AG ∴EQ ⊥AG ．∴∠PQE 是二面角C -AG -E 的平面角， 由(2)假设知：EP =1，AP =1， Rt △ACG ∽Rt △AQP ，PQ =CG·AP AG=1√5，故tan ∠PQE =PEPQ =√5，所以二面角C -AG -E 的平面角正切值是√5.【解析】本题考查异面直线的夹角，线线垂直的判定，属于中档题，熟练掌握线面垂直，线线垂直与面面垂直之间的转化及异面直线夹角及二面角的定义，是解答本题的关键，属于较难题.（1）由BB 1⊥面ABC 及线面垂直的性质可得AE ⊥BB 1，由AC =AB ，E 是BC 的中点，及等腰三角形三线合一，可得AE ⊥BC ，结合线面垂直的判定定理可证得AE ⊥面BB 1C 1C ，进而由线面垂直的性质得到AE ⊥B 1C ；（2）取B 1C 1的中点E 1，连A 1E 1，E 1C ，根据异面直线夹角定义可得，∠E 1A 1C 是异面直线A 与A 1C 所成的角，设AC =AB =AA 1=2，解三角形E 1A 1C 可得答案． （3）连接AG ，设P 是AC 的中点，过点P 作PQ ⊥AG 于Q ，连EP ，EQ ，则EP ⊥AC ，由直三棱锥的侧面与底面垂直，结合面面垂直的性质定理，可得EP ⊥平面ACC 1A 1，进而由二面角的定义可得∠PQE 是二面角C -AG -E 的平面角．4.【答案】（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是菱形，AC ∩BD =O ，所以O 为AC ，BD 中点．-------------------------------------（1分）又因为PA =PC ，PB =PD ，所以PO ⊥AC ，PO ⊥BD ，---------------------------------------（3分）所以PO ⊥底面ABCD ．----------------------------------------（4分）（Ⅱ）解：由底面ABCD 是菱形可得AC ⊥BD ， 又由（Ⅰ）可知PO ⊥AC ，PO ⊥BD ．如图，以O 为原点建立空间直角坐标系O -xyz ．由△PAC 是边长为2的等边三角形，PB =PD =√6，可得PO =√3，OB =OD =√3．所以A(1，0，0)，C(−1，0，0)，B(0，√3，0)，P(0，0，√3)．---------------------------------------（5分）所以CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0，√3)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，0，√3)． 由已知可得OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA⃗⃗⃗⃗⃗ +14AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(34，0，√34)-----------------------------------------（6分） 设平面BDF 的法向量为n −=（x ，y ，z ），则{√3y =034x +√34z =0令x =1，则z =−√3，所以n ⃗ =（1，0，-√3）．----------------------------------------（8分） 因为cos ＜CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞=CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=-12，----------------------------------------（9分） 所以直线CP 与平面BDF 所成角的正弦值为12，所以直线CP 与平面BDF 所成角的大小为30°．-----------------------------------------（10分）（Ⅲ）解：设BMBP =λ（0≤λ≤1），则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，√3(1−λ)，√3λ)．---------------------------------（11分）若使CM ∥平面BDF ，需且仅需CM −⋅n ⃗ =0且CM ⊄平面BDF ，---------------------（12分） 解得λ=13∈[0，1]，----------------------------------------（13分） 所以在线段PB 上存在一点M ，使得CM ∥平面BDF ． 此时BM BP =13．-----------------------------------（14分）【解析】（Ⅰ）证明PO ⊥底面ABCD ，只需证明PO ⊥AC ，PO ⊥BD ；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出直线CP 的方向向量，平面BDF 的法向量，利用向量的夹角公式可求直线CP 与平面BDF 所成角的大小；（Ⅲ）设BMBP =λ（0≤λ≤1），若使CM ∥平面BDF ，需且仅需CM −⋅n ⃗ =0且CM ⊄平面BDF ，即可得出结论．本题考查线面垂直，考查线面平行，考查线面角，考查向量知识的运用，正确求出向量的坐标是关键．5.【答案】解：（I ）证明：∵CC 1⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∠ACB =90°， ∴CC 1⊥AC ，AC ⊥BC ，又BC ∩CC 1=C ，∴AC ⊥平面BCC 1，BC 1⊂平面BCC 1， ∴AC ⊥BC 1．（II ）证明：如图，设CB 1∩C 1B =E ，连接DE ， ∵D 为AB 的中点，E 为C 1B 的中点，∴DE ∥AC 1， ∵DE ⊂平面B 1CD ，AC 1⊄平面B 1CD ， ∴AC 1∥平面B 1CD ．（III ）解：由DE ∥AC 1，∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角，在△CDE 中，DE =12AC 1=12√AC 2+CC 12=√62， CE =12B 1C =12√BC 2+BB 12=√62，CD =12AB =12√AC 2+BC 2=1，cos ∠CED =CE 2+DE 2−CD 22×CE×DE=32+32−12×√62×√62=23，∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为23．【解析】本题考查线线垂直的判定、线面平行的判定、异面直线及其所成的角． （I ）先证线面垂直，再由线面垂直证明线线垂直即可； （II ）作平行线，由线线平行证明线面平行即可；（III ）先证明∠CED 为异面直线所成的角，再在三角形中利用余弦定理计算即可． 6.【答案】解：如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中， 设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1， 则，OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，故以{OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }为基底， 建立空间直角坐标系O -xyz ，∵AB =AA 1=2，A （0，-1，0），B （√3，0，0）， C （0，1，0），A 1（0，-1，2），B 1（√3，0，2），C 1（0，1，2）．（1）点P 为A 1B 1的中点．∴P(√32，−12，2)，∴BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32，−12，2)，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2)． |cos <BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|−1+4|√5×2√2=3√1020．∴异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为：3√1020； （2）∵Q 为BC 的中点．∴Q （√32，12，0）∴AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32，32，0)，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2),CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)，设平面AQC 1的一个法向量为n⃗ =（x ，y ，z ）， 由{AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗ =√32x +32y =0AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n⃗ =2y +2z =0，可取n⃗ =（√3，-1，1）， 设直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为θ， sinθ=|cos|=|CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n⃗ |=2√5×2=√55， ∴直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为√55．【解析】本题考查了向量法求空间角，属于中档题．设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1，以{OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }为基底，建立空间直角坐标系O -xyz ，（1）由|cos ＜BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＞|=|BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |可得异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值；（2）求得平面AQC 1的一个法向量为n⃗ ，设直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为θ，可得sinθ=|cos ＜CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n⃗ ＞|=|CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |，即可得直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值．7.【答案】（1）证明：如图，设AC ∩BD =O ，∵ABCD 为正方形，∴O 为BD 的中点，连接OM ，∵PD ∥平面MAC ，PD ⊂平面PBD ，平面PBD ∩平面AMC =OM ， ∴PD ∥OM ，则BOBD =BM BP，即M 为PB 的中点；（2）解：取AD 中点G ， ∵PA =PD ，∴PG ⊥AD ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD =AD ， ∴PG ⊥平面ABCD ，则PG ⊥AD ，连接OG ，则PG ⊥OG ，由G 是AD 的中点，O 是AC 的中点，可得OG ∥DC ，则OG ⊥AD ．以G 为坐标原点，分别以GD 、GO 、GP 所在直线为x 、y 、z 轴距离空间直角坐标系， 由PA =PD =√6，AB =4，得D （2，0，0），A （-2，0，0），P （0，0，√2），C （2，4，0），B （-2，4，0），M （-1，2，√22），DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2，0，√2)，DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4，4，0)． 设平面PBD 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x ，y ，z)，则由{m ⃗⃗⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{−2x +√2z =0−4x +4y =0，取z =√2，得m ⃗⃗⃗ =(1，1，√2)． 取平面PAD 的一个法向量为n ⃗ =(0，1，0)．∴cos ＜m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=12×1=12． ∴二面角B -PD -A 的大小为60°；（3）解：CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3，−2，√22)，平面BDP 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(1，1，√2)．∴直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为|cos ＜CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，m ⃗⃗⃗ ＞|=|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||=|−2√9+4+12×1|=2√69．【解析】本题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属中档题．（1）设AC ∩BD =O ，则O 为BD 的中点，连接OM ，利用线面平行的性质证明OM ∥PD ，再由平行线截线段成比例可得M 为PB 的中点；（2）取AD 中点G ，可得PG ⊥AD ，再由面面垂直的性质可得PG ⊥平面ABCD ，则PG ⊥AD ，连接OG ，则PG ⊥OG ，再证明OG ⊥AD ．以G 为坐标原点，分别以GD 、GO 、GP 所在直线为x 、y 、z 轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD 与平面PAD 的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B -PD -A 的大小；（3）求出CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与平面PBD 的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．8.【答案】解：（Ⅰ）证明：设BD 与AC 的交点为O ，连结EO ， ∵ABCD 是矩形， ∴O 为BD 的中点 ∵E 为PD 的中点， ∴EO ∥PB ．EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ∴PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）∵AP =1，AD =√3，三棱锥P -ABD 的体积V =√34，∴V =16PA ⋅AB ⋅AD =√36AB =√34，∴AB =32，PB =√1+(32)2=√132．作AH ⊥PB 交PB 于H ， 由题意可知BC ⊥平面PAB ， ∴BC ⊥AH ，故AH ⊥平面PBC ．又在三角形PAB 中，由射影定理可得：AH =PA⋅AB PB=3√1313A 到平面PBC 的距离3√1313．【解析】本题考查直线与平面垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．（Ⅰ）设BD 与AC 的交点为O ，连结EO ，通过直线与平面平行的判定定理证明PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）通过AP =1，AD =√3，三棱锥P -ABD 的体积V =√34，求出AB ，作AH ⊥PB 角PB于H ，说明AH 就是A 到平面PBC 的距离．通过解三角形求解即可． 9.【答案】证明：（I ）∵PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ， 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AD =DC =AP =2，AB =1，点E 为棱PC 的中点． ∴B （1，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0）， P （0，0，2），E （1，1，1）∴BE⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，1，1），DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，0，0） ∵BE ⃗⃗⃗⃗⃗ •DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴BE ⊥DC ；（Ⅱ）∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，2，0），PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，0，-2），设平面PBD 的法向量m⃗⃗⃗ =（x ，y ，z ）， 由{m ⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{−x +2y =0x −2z =0， 令y =1，则m⃗⃗⃗ =（2，1，1）， 则直线BE 与平面PBD 所成角θ满足： sinθ=m⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√6×√2=√33， 故直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为√33．（Ⅲ）∵BC⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，2，0），CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2，-2，2），AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，2，0）， 由F 点在棱PC 上，设CF⃗⃗⃗⃗⃗ =λCP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2λ，-2λ，2λ）（0≤λ≤1）， 故BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF⃗⃗⃗⃗⃗ =（1-2λ，2-2λ，2λ）（0≤λ≤1）， 由BF ⊥AC ，得BF ⃗⃗⃗⃗⃗ •AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2（1-2λ）+2（2-2λ）=0， 解得λ=34，即BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-12，12，32）， 设平面FBA 的法向量为n ⃗ =（a ，b ，c ）， 由{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{a =0−12a +12b +32c =0令c =1，则n⃗ =（0，-3，1）， 取平面ABP 的法向量i =（0，1，0）， 则二面角F -AB -P 的平面角α满足： cosα=|i ⋅n ⃗⃗ ||i|⋅|n ⃗⃗ |=3√10=3√1010，故二面角F -AB -P 的余弦值为：3√1010【解析】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间直角坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．（I ）以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出BE ，DC 的方向向量，根据BE ⃗⃗⃗⃗⃗ •DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得BE ⊥DC ；（II ）求出平面PBD 的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）根据BF ⊥AC ，求出向量BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，进而求出平面FAB 和平面ABP 的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F -AB -P 的余弦值． 10.【答案】证明：（Ⅰ）取AD 的中点F ，连接EF ，CF ，∵E 为PD 的中点，∴EF ∥PA ，EF ∥平面PAB ，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，AD =2DC =2CB ，F 为中点，∴四边形CBAF 为平行四边形，故CF ∥AB ，CF ∥平面PAB ，∵CF ∩EF =F ，EF ∥平面PAB ，CF ∥平面PAB ， ∴平面EFC ∥平面ABP ， ∵EC ⊂平面EFC ， ∴EC ∥平面PAB ．解：（Ⅱ）连接BF ，过F 作FM ⊥PB 于M ，连接PF ， ∵PA =PD ，∴PF ⊥AD ，∵DF ∥BC ，DF =BC ，CD ⊥AD ，∴四边形BCDF 为矩形，∴BF ⊥AD ， 又AD ∥BC ，故PF ⊥BC ，BF ⊥BC ，又BF ∩PF =F ,BF 、PF ⊂平面PBF ，BC ⊄平面PBF ， ∴BC ⊥平面PBF ，∴BC ⊥PB ，设DC =CB =1，由PC =AD =2DC =2CB ，得AD =PC =2， ∴PB =√PC 2−BC 2=√4−1=√3， BF =PF =1，∴MF =√12−(√32)2=12，又BC ⊥平面PBF ，∴BC ⊥MF ，又PB ∩BC =B ,PB 、BC ⊂平面PBC ，MF ⊄平面PBC ， ∴MF ⊥平面PBC ，即点F 到平面PBC 的距离为12，∵MF =12，D 到平面PBC 的距离应该和MF 平行且相等，均为12， E 为PD 中点，E 到平面PBC 的垂足也为所在线段的中点，即中位线， ∴E 到平面PBC 的距离为14，在△PCD 中,PC =2,CD =1,PD =√2，,故由余弦定理得CE =√2， 设直线CE 与平面PBC 所成角为θ，则sinθ=14CE=√28．【解析】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．（Ⅰ）取AD的中点F，连结EF，CF，推导出EF∥PA，CF∥AB，从而平面EFC∥平面ABP，由此能证明EC∥平面PAB．（Ⅱ）连结BF，过F作FM⊥PB于M，连结PF，推导出四边形BCDF为矩形，从而BF⊥AD，进而AD⊥平面PBF，由AD∥BC，得BC⊥PB，再求出BC⊥MF，由此能求出sinθ．11.【答案】证明：（Ⅰ）∵EA=EB，M是AB的中点，∴EM⊥AB，∵平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面ABCD=AB，EM⊂平面ABE，∴EM⊥平面ABCD，∵AD⊂平面ABCD，∴EM⊥AD；（Ⅱ）取DE的中点F，连接AF，NF，∵N是CE的中点，∴NF=//12CD，∵M是AB的中点，∴AM=//12CD，∴NF=//AM，∴四边形AMNF是平行四边形，∴MN∥AF，∵MN⊄平面ADE，AF⊂平面ADE，∴MN∥平面ADE；解：（III）设点A到平面BCE的距离为d，由（I）知ME⊥平面ABC，BC=BE=2，MC=ME=√3，则CE=√6，BN=√BE2−EN2=√102，∴S△BCE=12CE⋅BN=√152，S△ABC=12BA×BC×sin60°=√3，∵V A-BCE=V E-ABC，即13S△BCE×d=13S△ABC×ME，解得d=2√155，故点A到平面BCE的距离为2√155．【解析】本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，涉及到力、数据处理能力，考查数形结合思想，是中档题．（Ⅰ）推导出EM ⊥AB ，从而EM ⊥平面ABCD ，由此能证明EM ⊥AD ；（Ⅱ）取DE 的中点F ，连接AF ，NF ，推导出四边形AMNF 是平行四边形，从而MN ∥AF ，由此能证明MN ∥平面ADE ；（III ）设点A 到平面BCE 的距离为d ，由V A -BCE =V E -ABC ，能求出点A 到平面BCE 的距离．12.【答案】（I ）证明：∵AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AB =AD =1，CD =2，∴BD =BC =√2， ∴BD 2+BC 2=CD 2， ∴BD ⊥BC ，∵EA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴EA ⊥BD ，∵EA ∥FC ， ∴FC ⊥BD ，又BC ⊂平面BCF ，FC ⊂平面BCF ，BC ∩CF =C ， ∴BD ⊥平面FBC ， 又BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面BCF ．（II ）解：过A 作AM ⊥DE ，垂足为M ， ∵EA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴EA ⊥CD ，又CD ⊥AD ，EA ∩AD =A ， ∴CD ⊥平面EAD ，又AM ⊂平面EAD ， ∴AM ⊥CD ，又AM ⊥DE ，DE ∩CD =D ， ∴AM ⊥平面CDE ，∵AD =AE =1，EA ⊥AD ，∴AM =√22，即A 到平面CDE 的距离为√22，∵AB ∥CD ，CD ⊂平面CDE ，AB ⊄平面CDE ， ∴AB ∥平面CDE ，∴B 到平面CDE 的距离为√22．【解析】（I ）先计算BD ，BC ，利用勾股定理的逆定理证明BD ⊥BC ，再利用EA ⊥平面ABCD 得出AE ⊥BD ，从而有CF ⊥BD ，故而推出BD ⊥平面FBC ，于是平面EBD ⊥平面BCF ；（II ）证明AB ∥平面CDE ，于是B 到平面CDE 的距离等于A 到平面CDE 的距离，过A 作AM ⊥DE ，证明AM ⊥平面CDE ，于是AM 的长即为B 到平面CDE 的距离． 本题考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质，空间距离的计算，属于中档题． 13.【答案】证明：方法一：（1）取PA 中点G ，连结DG 、FG ． ∵F 是PB 的中点， ∴GF ∥AB 且GF =12AB ，又底面ABCD 为矩形，E 是DC 中点， ∴DE ∥AB 且DE =12AB∴GF ∥DE 且GF =DE ，∴EF ∥DG∵DG ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD ．（2）∵PD ⊥底面ABCD ，AB ⊂面ABCD ∴PD ⊥AB又底面ABCD 为矩形 ∴AD ⊥AB 又PD ∩AD =D ∴AB ⊥平面PAD ∵DG ⊂平面PAD ∴AB ⊥DG∵AD =PD ，G 为AP 中点 ∴DG ⊥AP又AB ∩AP =A ， ∴DG ⊥平面PAB又由（1）知EF ∥DG ∴EF ⊥平面PAB ，又EF ⊂面AEF ∴平面AEF ⊥平面PAB ．证法二：（1）以D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．设AB =a ． ∵AD =PD =2，∴A （2，0，0），B （2，a ，0），C （0，a ，0），P （0，0，2）， ∵E 、F 分别为CD ，PB 的中点 ∴E （0，a2，0），F （1，a2，0）．∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0，1)， ∵DP ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，0，2）+（2，0，0）=（2，0，2）， ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12（DP ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ）=12DP ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 、DP ⃗⃗⃗⃗⃗ 、DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 共面， 又EF ⊄平面PAD ∴EF ∥平面PAD ．（2）由（1）知EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0，1)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，a ，0)，AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2，0，2)． ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ •AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2+0+2=0， ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又AB ∩AP =A ，∴EF ⊥平面PAB ， 又EF ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面PAB ， （3）AB =2√2由（1）知，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2，√2，0），EF⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，0，1）设平面AEF 的法向量n ⃗ =(x ，y ，z)，则{n⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0即−2x +√2y =0令x =1，则y =√2，z =-1， ∴n⃗ =（1，√2，-1）， 又AC⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2，2√2，0）， ∴cos ＜AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞=−2+4+02√12=√36， ∴sinθ=|cos ＜AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞|=√36．【解析】方法一；（1）取PA 中点G ，连结DG 、FG ，要证明EF ∥平面PAD ，我们可以证明EF 与平面PAD 中的直线AD 平行，根据E 、F 分别是PB 、PC 的中点，利用中位线定理结合线面平行的判定定理，即可得到答案． （2）根据线面垂直的和面面垂直的判断定理即可证明．方法二：（1）求出直线EF 所在的向量，得到EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12（DP ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ）=12DP ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可证明EF ∥平面PAD ．（2）再求出平面内两条相交直线所在的向量，然后利用向量的数量积为0，根据线面垂直的判定定理得到线面垂直，即可证明平面AEF ⊥平面PAB（3）求出平面的法向量以及直线所在的向量，再利用向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为线面角，即可解决问题．本题考查了本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，面面垂直，直线与平面所成的角，解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，进而得到空间中点、线、面的位置关系，利于建立空间之间坐标系，利用向量的有关知识解决空间角与空间距离以及线面的位置关系等问题，属于中档题．14.【答案】解：（1）证明：∵PO ⊥平面ABCD ，且AD ⊂平面ABCD ， ∴PO ⊥AD ， ∵∠ADC =45°且AD =AC =2， ∴∠ACD =45°， ∴∠DAC =90°， ∴AD ⊥AC ，∵AC ⊂平面PAC ，PO ⊂平面PAC ，且AC ∩PO =O ， ∴由直线和平面垂直的判定定理知AD ⊥平面PAC ． （2）解：取DO 中点N ，连接MN ，AN ， 由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ， ∴∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角， ∵M 为PD 的中点， ∴MN ∥PO ，且MN =12PO =3， AN =12DO =√52，在Rt △ANM 中，tan ∠MAN =MNAN =3√52=6√55， 即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为6√55．【解析】（1）由PO ⊥平面ABCD ，得PO ⊥AD ，由∠ADC =45°，AD =AC ，得AD ⊥AC ，从而证明AD ⊥平面PAC ．（2）取DO 中点N ，连接MN ，AN ，由M 为PD 的中点，知MN ∥PO ，由PO ⊥平面出直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正切值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题． 15.【答案】证明：（I ）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，连接A 1B ，交AB 1于O 点，连接OD∵在△A 1BC 1中，A 1D =DC 1，A 1O =OB ， ∴OD ∥BC 1，又∵OD ⊂平面AB 1D ，BC 1⊄平面AB 1D ； ∴BC 1∥平面AB 1D ；（II ）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面A 1B 1C 1； ∵B 1D ⊂平面A 1B 1C 1； ∴A 1A ⊥B 1D在△A 1B 1C 1中，D 为A 1C 1的中点 ∴B 1D ⊥A 1C 1又∵A 1A ∩A 1C 1=A 1，A 1A ，A 1C 1⊂平面AA 1C 1C ， ∴B 1D ⊥平面AA 1C 1C ， 又∵A 1C ⊂平面AA 1C 1C ， ∴B 1D ⊥A 1C又∵A 1D AA 1=AA1AC =√22∴∠DA 1A =∠A 1AC =90°∴△DA 1A ∽△A 1AC ，∠ADA 1=∠CA 1A∵∠DA 1C +∠CA 1A =90° ∴∠DA 1C +∠ADA 1=90°∴A 1C ⊥AD又∵B 1D ∩AD =D ，B 1D ，AD ⊂平面AB 1D ； ∴A 1C ⊥平面AB 1D ；解：（III ）由（I ）得，OD ∥BC 1， 故AD 与BC 1所成的角即为∠ADO在△ADO 中，AD =√3，OD =12BC 1=√62，AO =12A 1B =√62，∵AD 2=OD 2+AO 2，OD =AO∴△ADO 为等腰直角三角形故∠ADO =45°即异面直线AD 与BC 1所成角等于45°【解析】（I ）连接A 1B ，交AB 1于O 点，连接OD ，由平行四边形性质及三角形中位线定理可得OD ∥BC 1，进而由线面平行的判定定理得到BC 1∥平面AB 1D ；（II ）由直棱柱的几何特征可得A 1A ⊥B 1D ，由等边三角形三线合一可得B 1D ⊥A 1C 1，进而由线面垂直的判定定理得到B 1D ⊥平面AA 1C 1C ，再由三角形相似得到A 1C ⊥AD 后，可证得A 1C ⊥平面AB 1D ．（III ）由（I ）中OD ∥BC 1，可得异面直线AD 与BC 1所成角即∠ADO ，解△ADO 可得答案．本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，异面直线及其所成的角，直线与平面平行的判定，（I ）的关键是证得OD ∥BC 1，（II ）的关键是熟练掌握线面垂直与线线垂直之间的转化，（III ）的关键是得到异面直线AD 与BC 1所成角即∠ADO ．16.【答案】（Ⅰ）证明：由P -ABD ，Q -BCD 是相同正三棱锥，且∠APB =90°，分别过P 、Q 作PE ⊥平面ABD ，QF ⊥平面BCD ，垂足分别为E 、F ，则E 、F 分别为底面正三角形ABD 与BCD 的中心． 连接EF 交BD 于G ，则G 为BD 的中点，连接PG 、QG ，则PG ⊥BD ，QG ⊥BD ，又PG ∩QG =G ，∴BD ⊥平面PQG ，则BD ⊥PQ ， 再由正三棱锥的性质可得PA ⊥BD ， 又PQ ∩PA =P ，∴BD ⊥平面APQ ；（Ⅱ）∵正三棱锥的底面边长为1，且∠APB =90°，∴PQ =EF =2EG =2×13AG =2×13×√32=√33， PE =√(√22)2−(√33)2=√66，则V B−PQD =13×12×√33×√66×1=√236．△PDQ 底边PQ 上的高为√(√22)2−(√36)2=√156，∴S △PDQ =12×√33×√156=√512．设B 到平面PQD 的距离为h ，则13×√512ℎ=√236，得h =√105．∴直线PB 与平面PDQ 所成角的正弦值为√105√22=2√55．【解析】（Ⅰ）由题意分别过P 、Q 作PE ⊥平面ABD ，QF ⊥平面BCD ，可得E 、F 分别为底面正三角形ABD 与BCD 的中心．连接EF 交BD 于G ，可得PG ⊥BD ，QG ⊥BD ，由线面垂直的判定及性质可得BD ⊥PQ ，再由正三棱锥的性质可得PA ⊥BD ，则BD ⊥平面APQ ；（Ⅱ）由已知求得PQ ，PE 的长，求得四面体B -PQD 的体积，利用等积法求出B 到平面PQD 的距离，则直线PB 与平面PDQ 所成角的正弦值可求．本题考查直线与平面所成的角，考查线面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题． 17.【答案】（1）证明：如图：∵AB =BC ，E 为AC 的中点，∴BE ⊥AC ，∵平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ， ∴BE ⊥平面A 1ACC 1，∵A 1C ⊂平面A 1ACC 1，∴BE ⊥A 1C ．（2）解：∵面A1ACC1⊥面ABC，∴C1在面ABC上的射影H在AC上，∴∠C1CA为直线C1C与面ABC所成的角．过H作HM⊥BC于M，连C1M，在Rt△C1CM中，CM=CC1cos∠C1CM=2cos60°=1．在Rt△CMH中，CH=CMcos∠ACB =2√33．∴在Rt△C1CH中，cos∠C1CH=CHCC1=23√32=√33．∴直线C1C与面ABC所成的角的余弦值为√33.【解析】（1）证明BE⊥平面A1ACC1，可得BE⊥A1C，即可证明：A1C⊥平面C1EB；（2）判断∠C1CA为直线C1C与面ABC所成的角．过H作HM⊥BC于M，连C1M，即可求直线CC1与平面ABC所成角的余弦值．本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18.【答案】证明：（1）连接CD，据题知AD=4，BD=2，∵AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴cos∠ABC=2√36=√33，∴CD2=4+12−2×2×2√3cos∠ABC=8，∴CD=2√2，∴CD2+AD2=AC2，∴CD⊥AB，又∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，CD⊂平面ABC,∴CD⊥平面PAB，∵PD⊂平面PAB，∴CD⊥PD，∵PD⊥AC，CD∩AC=C，CD、AC⊂平面ABC,∴PD⊥平面ABC．解：（2）∵∠PAB=π4，∴PD=AD=4，∴PA=4√2，在Rt△PCD中，PC=√PD2+CD2=2√6，∴△PAC是等腰三角形，∴S△PAC=8√2，设点B到平面PAC的距离为d，由V B-PAC=V P-ABC，得13S△PAC×d=13S△ABC×PD，∴d==3，故点B到平面PAC的距离为3．【解析】本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．（1）连接CD，推导出CD⊥AB，CD⊥PD，由此能证明PD⊥平面ABC．（2）设点B到平面PAC的距离为d，由V B-PAC=V P-ABC，能求出点B到平面PAC的距离．19.【答案】解：（1）证明：∵ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，又BB 1⊂平面BB 1C 1C ， ∴平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，∵△ABC 为正三角形，D 为BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，又平面BB 1C 1C ∩平面ABC =BC ， ∴AD ⊥平面BB 1C 1C ， 又AD ⊂平面ADB 1，∴平面ADB 1⊥平面BB 1C 1C ；（2）由（1）可得△ADB 1为直角三角形， 又AD =√32，B 1D =√52，∴S △ADB 1=12×AD ×B 1D =√158，又S △ADB =12S △ABC =√38，设点B 到平面ADB 1的距离为d ， 则V B−ADB 1=V B 1−ADB ， ∴13S △ADB 1⋅d =13S △ADB ⋅BB 1， ∴点B 到平面ADB 1的距离d =S △ADB ⋅BB 1S △ADB 1=√3√15=√55．【解析】本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题.（1）推导出BB 1⊥平面ABC ，从而平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，推导出AD ⊥BC ，从而AD ⊥平面BB 1C 1C ，由此能证明平面ADB 1⊥平面BB 1C 1C ；（2）设点B 到平面ADB 1的距离为d ，由V B−ADB 1=V B 1−ADB ，能求出点B 到平面ADB 1的距离.20.【答案】证明：（1）∵PA ⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ， ∴PA ⊥BE ．∵AB =BC ，E 为AC 的中点， ∴BE ⊥AC ，又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA ∩AC =A ， ∴BE ⊥平面PAC ，又BE ⊂平面BED ， ∴平面BED ⊥平面PAC ．（2）∵D ，E 是PC ，AC 的中点， ∴DE ∥PA ，又PA ⊥平面ABC ，∴DE ⊥平面ABC ，∵EF ⊂平面ABC ，BE ⊂平面ABC ， ∴DE ⊥EF ，DE ⊥BE ．∴∠FEB 为二面角F -DE -B 的平面角．∵E ，F 分别是AC ，AB 的中点，AB =AC ， ∴EF =12BC =12AB =BF ，EF ∥BC ．又AB ⊥BC ，∴BF ⊥EF ，∴△BEF 为等腰直角三角形，∴∠FEB =45°． ∴二面角F -DE -B 为45°．∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．∴∠CPB为直线PC与平面PAB所成的角．∵PA=6，∴DE=12PA=3，又DF=5，∴EF=√DF2−DE2=4．∴AB=BC=8．∴PB=√PA2+AB2=10．∴tan∠CPB=BCPB =4 5．【解析】（1）通过证明BE⊥平面PAC得出平面BED⊥平面PAC；（2）由DE∥PA得出DE⊥平面ABC，故DE⊥EF，DE⊥BE，于是∠FEB为所求二面角的平面角，根据△BEF为等腰直角三角形得出二面角的度数；（3）证明BC⊥平面PAB得出∠CPB为所求角，利用勾股定理得出BC，PB，即可得出tan∠CPB．本题考查了线面垂直，面面垂直的判定，空间角的计算，做出空间角是解题关键，属于中档题．21.【答案】解：（1）证明：设AC∩BD=H，连接EH，在△ADC中，因为AD=CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点，又有题设，E为PC的中点，故EH∥PA，又HE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以PA∥平面BDE（2）证明：因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC由（1）知，BD⊥AC，PD∩BD=D，故AC⊥平面PBD（3）由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以∠CBH为直线与平面PBD所成的角．由AD⊥CD，AD=CD=1，DB=2√2，可得DH=CH=√22，BH=3√22在Rt△BHC中，tan∠CBH=CHBH =13，所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为13．【解析】（1）欲证PA∥平面BDE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PA与平面BDE内一直线平行，设AC∩BD=H，连接EH，根据中位线定理可知EH∥PA，而又HE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，满足定理所需条件；（2）欲证AC⊥平面PBD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AC与平面PBD内两相交直线垂直，而PD⊥AC，BD⊥AC，PD∩BD=D，满足定理所需条件；（3）由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，则∠CBH为直线与平面PBD所成的角，在Rt△BHC中，求出此角即可．本小题主要考查直线与平面平行．直线和平面垂直．直线和平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理能力．。
直线、平面平行与垂直地判定及其性质(证明题详解)
直线、平面平行与垂直的判定及其性质7. 在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD.（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）若平面PAB平面PCD l，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由.【解析】（1）因为∠ABC=90°，AD∥BC，所以AD⊥AB.而平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB平面ABCD=AB,所以AD⊥平面PAB, 所以AD⊥PA.同理可得AB⊥PA.由于AB、AD平面ABCD，且AB AD=A,所以PA⊥平面ABCD.（2）（方法一）不平行.证明：假定直线l∥平面ABCD,由于l平面PCD，且平面PCD平面ABCD=CD, 所以l∥CD.同理可得l∥AB, 所以AB∥CD.这与AB和CD是直角梯形ABCD的两腰不平行相矛盾,故假设错误，所以直线l与平面ABCD不平行.（方法二）因为梯形ABCD中AD∥BC,所以直线AB与直线CD相交，设AB CD=T.由T CD，CD平面PCD得T平面PCD.同理T平面PAB.即T为平面PCD与平面PAB的公共点，于是PT为平面PCD与平面PAB的交线.所以直线l与平面ABCD不平行.DCPAB（第16题）8. 如图，在三棱柱111ABC A B C 中，11,,AB BC BC BC AB BC ，,,E F G 分别为线段1111,,AC AC BB 的中点，求证：（1）平面ABC平面1ABC ;（2）//EF 面11BCC B ；（3）GF平面11ABC 【解析】(1)BCAB11BC BC ABBC BBC 平面1ABC BC平面ABC平面ABC 平面1ABC (2)111,AEEC A F FC ,1//EF AA 11//BB AA 1//EF BB 11EFBCC B 面//EF 面11BCC B ；(3)连接EB ，则四边形EFGB 为平行四边形11111111111111BE FG A C EB AC FG AC BC ABC B C ABC B C B C B C C 面面,GF平面11AB C 。
高中数学立体几何平行、垂直位置关系证明题专项练习(带答案)
立体几何平行、垂直位置关系专练1、如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥，2AD BC =，M 点在线段PD 上，且满足2MD PM =.（1）求证:AB PD ⊥；（2）求证://PB 平面MAC .2、如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 为PA 的中点，F 为BC 的中点，底面ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ．求证：（1）平面//EFO 平面PCD ；（2）平面PAC ⊥平面PBD ．3、如图，正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的高为6，其底面边长为2.已知点M ，N 分别是棱A 1C 1，AC 的中点，点D 是棱CC 1上靠近C 的三等分点．求证：(1)B 1M ∥平面A 1BN ；(2)AD ⊥平面A 1BN.4、如图，等边三角形ABC与直角梯形ABDE所在平面垂直，BD∥AE，BD＝2AE，AE⊥AB，M为AB的中点．(1)证明：CM⊥DE；(2)在边AC上找一点N，使CD∥平面BEN.5、如图，矩形ABCD所在平面与三角形ABE所在平面互相垂直，AE＝AB，M，N，H分别为DE，AB，BE 的中点．求证：(1)MN∥平面BEC；(2)AH⊥CE.6、如图，在三棱台ABCDEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在请确定点G的位置；若不存在，请说明理由．7、在三棱锥S ABC -中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB BC ⊥，AS AB =，过A 作AF SB ⊥，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．（1）求证：平面EFG ∥平面ABC ．（2）求证：BC SA ⊥．8、如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，点D 为棱1C C 的中点，1AC 与1A D 交于点E ，1BC 与1B D 交于点F ，连结EF .求证：（1）//AB EF ；（2）平面11A B D ⊥平面11B BCC .9、【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．点，平面PAB ⊥底面ABCD ，90PAB ∠= ．求证：（1）//PB 平面AEC ；（2）平面PAC ⊥平面ABCD ．11、2.（2020·江苏省镇江高三二模）如图，三棱锥P ABC -中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ．()1求证：//AC 平面PDE ；()2若2PD AC ==，PE =PBC ⊥平面ABC .12、（2020·江苏省建湖高级中学高三月考）如图，在四面体ABCD 中，,90AD BD ABC =∠= ，点,E F 分别为棱,AB AC 上的点，点G 为棱AD 的中点，且平面//EFG 平面BCD ．（1）求证：12EF BC =；（2）求证：平面EFD ⊥平面ABC ．点，PA ⊥平面ABCD .（1）求证：//PB 平面AEC ；（2）若四边形ABCD 是矩形且PA AD =，求证：AE ⊥平面PCD .14、（2020·江苏省高三二模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点.求证：（1）11AC ∥平面1B EF ；（2）1AC B E ⊥.15、（2020·江苏省连云港高三）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，E 、F 分别为AD 、PB 的中点.（Ⅰ）求证：PE BC ⊥；（Ⅱ）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求证：//EF 平面PCD .16、（2020·江苏省苏州高三）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．17、（2020·江苏省通州高三）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面1,2,1,,AB BC AA AC BC E F ⊥===分别是11,AC BC 的中点．（1）求证: 平面ABE ⊥平面11B BCC ；（2）求证:1C F ∥平面ABE ；18、（2020·江苏省高三三模）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1BC B C =，O 为四边形11ACC A 对角线交点，F 为棱1BB 的中点，且AF ⊥平面11BCC B .（1）证明：//OF 平面ABC ；（2）证明：四边形11ACC A 为矩形.参考答案1．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥，2AD BC =，M 点在线段PD 上，且满足2MD PM =.（1）求证:AB PD ⊥；（2）求证://PB 平面MAC .【解析】（1）∵四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB 平面ABCD ， ∴AB PA ⊥，又AB AD ⊥，,PA AD ⊂平面PAD ，PA AD A ⋂=， ∴AB ⊥面PAD .PD ⊂面PAD ，∴AB PD ⊥. （2）连结BD AC O ⋂=，连结MO ， ∵//AD BC ，2AD BC =，2DO BO ∴=,∵在PBD ∆中，2DM MP =，2DO BO =∴//PB MO ， 又PB ⊄面MAC ，MO ⊂面MAC ，∴//PB 面MAC .2．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 为PA 的中点，F 为BC 的中点，底面ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ．求证：（1）平面//EFO 平面PCD ；（2）平面PAC ⊥平面PBD ． 【详解】（1）因为在ΔPAC 中，E 为PA 的中点，O 为AC 的中点， 所以//EO PC又EO ⊄平面PCD ，PC ⊂平面PCD ， 所以//EO 平面PCD同理可证，//FO 平面PCD ，又EO FO O = ，EO ⊂平面EFO ,FO ⊂平面EFO 所以平面//EFO 平面PCD ．（2）因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，又,,PA AC A PA PAC AC PAC =⊂⊂ 平面平面所以BD ⊥平面PAC 。
专题20立体几何中的平行与垂直问题(解析版)
专题20 立体几何中的平行与垂直问题一、题型选讲题型一、线面平行与垂直知识点拨：证明直线与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆直线与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。
直线与平面的平行有两种方法：一是在面内找线；二是通过面面平行转化。
直线与平面垂直关键是找两条相交直线例1、（2019南通、泰州、扬州一调）如图，在四棱锥PABCD中，M, N分别为棱PA, PD的中点.已知侧面PAD丄底面ABCD,底面ABCD是矩形，DA=DP.求证：（1）MN〃平面PBC；MD丄平面PAB.【证明】（1）在四棱锥P-ABCD中，M, N分别为棱PA, PD的中点，所以MN〃AD.（2分）又底面ABCD是矩形，所以BC〃AD.所以MN〃BC.（4分）又BC U平面PBC，MN Q平面PBC，所以MN〃平面PBC. （6分）（2）因为底面ABCD是矩形，所以AB丄AD.又侧面PAD丄底面ABCD，侧面PAD n底面ABCD=AD, AB U底面ABCD，所以AB丄侧面PAD.（8分）又MD U侧面PAD，所以AB丄MD.（10分）因为DA=DP,又M为AP的中点，从而MD丄PA. （12分）又PA，AB在平面PAB内，PA n AB=A，所以MD丄平面PAB.（14分）例2、（2019扬州期末）如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B丄平面ABC,点E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点.（1）求证：EF〃平面ABC；（2）求证：BB］丄AC.规范解答（1）在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B,四边形BB1C1C均为平行四边形，E, F分别是侧面AA1B1B, BB1C1C对角线的交点，所以E, F分别是AB1，CB1的中点，所以EF〃AC.（4分）因为EF Q平面ABC, AC U平面ABC，所以EF〃平面ABC.（8分）（2）因为四边形AA1B1B为矩形，所以BB1丄AB.因为平面AA1B1B丄平面ABC,且平面AA1B1B n平面ABC=AB, BB1U平面AA1B1B, 所以BB1丄平面ABC.（12分）因为AC U平面ABC，所以BB1丄AC.（14分）例3、（2019南京、盐城二模）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC, A1C丄BC］, AB］丄BC1，D, E 分别是AB1和BC的中点.求证：（1）DE〃平面ACC1A1；（2）AE丄平面BCC1B1.A _________ c,规范解答⑴连结A1B，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1#BB1且AA1=BB1，所以四边形AA1B1B是平行四边形．又因为D是AB1的中点，所以D也是BA1的中点.（2分）在厶BA1C中，D和E分别是BA1和BC的中点，所以DE〃A］C.又因为DE G平面ACC1A1，A1C U平面ACC1A1，所以DE〃平面ACC1A1.（6分）（2）由（1）知DE〃A］C，因为A1C丄BC” 所以BC］丄DE.（8 分）又因为BC］丄AB1，AB1H DE=D，AB1，DE U平面ADE，所以BC1丄平面ADE.又因为AE U平在ADE,所以AE丄BC1.（10分）在厶ABC中，AB=AC，E是BC的中点，所以AE丄BC.（12分）因为AE丄BC1，AE丄BC，BC1H BC=B，BC1，BC U平面BCC1B1，所以AE丄平面BCC1B1. （14 分）例4、（2019苏锡常镇调研）如图，三棱锥DABC中，已知AC丄BC，AC丄DC，BC=DC，E，F 分别为BD，CD 的中点．求证：（1）EF〃平面ABC；（2）BD丄平面ACE.所以EF 〃平面ABC.（6分）（2）因为AC丄BC，AC丄DC，BC H DC = C，BC，DC U平面BCD所以AC丄平面BCD，（8分）因为BD U平面BCD，所以AC丄BD，（10分）因为DC=BC，E为BD的中点，所以CE丄BD，（12分）因为AC n CE = C, AC，CE U平面ACE，所以BD丄平面ACE.（14分）例5、（2019苏州三市、苏北四市二调）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1 丄B1C1•设A1C与AC1交于点D, B1C与BC1交于点E.求证：（1） DE〃平面ABB1A1；（2） BC］丄平面A1B1C.规范解答（1）因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以侧面ACC1A1为平行四边形．又A1C 与AC1 交于点D,所以D为AC]的中点，同理，E为BC]的中点•所以DE〃AB.（3分）又AB U平面ABB]A], DE G平面ABB]A], 所以DE〃平面ABB]A].（6分）（2）因为三棱柱ABCA]B]C]为直三棱柱，所以BB]丄平面A]B]C]. 又因为A]B]U平面A]B]C],所以BB]丄A]B i.（8分）又A]B]丄B]C], BB], B]C] U 平面BCC]B], BB]n B]C1=B1，所以A]B]丄平面BCC]B].（10 分）又因为BC]U平面BCC]B1，所以A]B丄BC].（12分）又因为侧面BCC]B1为正方形，所以BC]丄BQ.又A1B1n B1C=B1，A1B1，B1C U平面A1B1C, 所以BC1丄平面A1B1C.（14分）例6、（2017苏北四市一模）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知D, E分别为BC, B1C1的中点，点F 在棱CC1上，且EF丄CD.求证：（1）直线A1E〃平面ADC1；⑴证法1连结ED,因为D, E分别为BC, B1C1的中点，所以B&/BD且B1E=BD, 所以四边形BBDE是平行四边形，（2分）所以BB/DE且BB1=DE. 又BB]〃AA]且BB]=AA], 所以AA/DE且AA1=DE, 所以四边形AA]ED是平行四边形，所以A]E〃AD.（4分）又因为AE G平面ADC, AD U平面ADC，所以直线AE〃平面ADC.（7分）1 1 1畀 ------ 1B证法2连结ED,连结A1C, EC分别交AC” DC1于点M, N,连结MM,则因为D, E分别为BC,B1C1的中点，所以C1E^CD且C、E=CD,所以四边形C1EDC是平行四边形，所以N是CE的中点.（2分）因为A1ACC1为平行四边形，所以M是A1C的中点，（4分）所以MN//A\E.又因为A]E G平面ADC，MN U平面ADC，，所以直线Af〃平面ADC、.（7分）（2）在正三棱柱ABCA1B1C1中，BB]丄平面ABC.又AD U平面ABC，所以AD丄BB、.又A ABC是正三角形，且D为BC的中点，所以AD丄BC.（9分）又BB，，BC U 平面BBCC，，BB1A BC=B，所以AD丄平面B,BCC,，又EF U平面BBCC，所以AD丄EF.（11分）又EF丄CD，CD，AD U平面ADC,，C,D A AD=D，所以直线EF丄平面ADC,.（14分）题型二、线面与面面平行与垂直证明平面与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆平面与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。
线面平行与垂直基础练习题
线面、面面平行和垂直的判定和性质大题专练1、在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是11B D 的中点，F 是1BC 的中点， 求证：11//EF ABB A 平面2、正方体中1111D C B A ABCD -中，M ，N ，E ，F 分别是棱11B A ，11D A ，11C B ，11D C 的中点。
求证：平面AMN ∥平面EFDB 。
3．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边60,2,DAB AB AD PD ∠==⊥ 底面ABCD ，证明：PA BD ⊥FED 1C 1CDB 1A 1A4．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形, PA ⊥平面ABCD , 点F 为PC 的中点.（Ⅰ）求证://PA 平面BDF ; （Ⅱ）求证:平面PAC ⊥平面BDF .5、如图，P 为ABC ∆所在平面外一点，PA ┴面BAC ，90,ABC ∠=AE ┴PB 于E ，AF ┴PC 于F ，求证：（1）BC ┴面PAB ，（2）AE ┴面PBC ，（3）PC ┴面AEF 。
6. 如图，棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，(1)求证：AC ⊥平面B 1D 1DB; (2)求三棱锥B-ACB 1体积．ACD 1C 1B 1A 1CDBAAFPDCB7.如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点。
求证：（1）PA ∥平面BDE ；（2）BD ⊥平面PAC8、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。
求证：（1）⊥AB 平面CDE;（2）平面CDE ⊥平面ABC 。
小题专练1. 设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ）A ．若l β⊥，则αβ⊥B ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若//l β，则//αβD ．若//αβ，则//l mAEDBC2. 若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交D ．l 与1l ，2l 都不相交3.已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）（A ）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 （B ）若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行（C ）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 （D ）若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+5．个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A ．81 B ．71 C ．61 D ．51 6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ．7．若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为163，则a = ．8.(2014浙江高考)设m,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.( ) A.若m ⊥n,n ∥α,则m ⊥α B.若m ∥β,β⊥α,则m ⊥αC.若m ⊥β,n⊥β,n⊥α,则m ⊥αD.若m ⊥n,n ⊥β,β⊥α,则m ⊥α9.(2013广东高考)设l 为直线,α,β是两个不同的平面.下列命题中正确的是( ) A.若l ∥α,l∥β,则α∥β B.若l ⊥α,l⊥β,则α∥β C.若l ⊥α,l∥β,则α∥β D.若α⊥β,l∥α,则l ⊥β。
空间垂直平行证明练习题
空间垂直平行证明练习题一、线线垂直证明1. 在空间直角坐标系中，已知直线l通过点A(1,2,3)且方向向量是向量a=(2,0,1)，直线m通过点B(0,1,4)且方向向量是向量b=(1,2,1)。
证明直线l与直线m垂直。
2. 已知平面α上的两条相交直线AB和CD，且AB垂直于CD。
若直线EF平行于AB，证明EF垂直于CD。
3. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，证明对角线AC1垂直于面对角线BD。
二、线面垂直证明1. 已知平面α的法向量是向量n=(3,4,5)，直线l通过点P(1,2,3)且方向向量是向量m=(2,3,1)。
证明直线l垂直于平面α。
2. 在空间直角坐标系中，直线l的方程为x=2，y=3，z=4。
平面α的方程为3x4y+5z=6。
证明直线l垂直于平面α。
3. 已知四棱锥PABCD，底面ABCD为矩形，且PA垂直于底面ABCD。
证明侧面PBC垂直于底面ABCD。
三、面面垂直证明1. 已知平面α的法向量是向量n1=(1,2,3)，平面β的法向量是向量n2=(2,1,4)。
证明平面α与平面β垂直。
2. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，证明平面ABB1A1垂直于平面BCC1B1。
3. 已知三棱锥PABC，底面ABC为等边三角形，且PA垂直于底面ABC。
证明侧面PAB垂直于侧面PBC。
四、线线平行证明1. 在空间直角坐标系中，直线l的方程为x=2t，y=3t，z=4t，直线m的方程为x=2t+1，y=3t2，z=4t+3。
证明直线l与直线m平行。
2. 已知平面α上的两条直线AB和CD，且AB平行于CD。
若直线EF平行于AB，证明EF平行于CD。
3. 在长方体ABCDA1B1C1D1中，证明对角线AC平行于对角线A1D1。
五、线面平行证明1. 已知平面α的方程为2x3y+4z=5，直线l的方程为x=2t+1，y=3t2，z=4t+3。
证明直线l平行于平面α。
2. 在空间直角坐标系中，直线l通过点A(1,2,3)且方向向量是向量a=(2,4,6)，平面α的方程为2x4y+6z=8。
线面平行证明经典练习题
线面平行证明经典练习题1、在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，点E是PD的中点。
证明：连接AE和PC，由于底面ABCD为平行四边形，所以AE和PC平行。
又因为PE=ED，所以三角形PED 为等腰三角形，所以PE和CD平行。
因此，PB//平面AEC成立。
2、在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点。
证明：连接PN和AD，由于底面ABCD为矩形，所以PN和AD平行。
又因为MN=NA=ND，所以三角形MND为等腰三角形，所以MN和PD平行。
因此，MN//平面PAD成立。
3、在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中点。
证明：连接DB1和BC，由于三棱柱ABC-A1B1C1的底面为等边三角形ABC，所以AB1和BC平行。
又因为D是AC的中点，所以DB1和BC平行。
因此，AB1//平面DBC1成立。
4、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD对角线的交点。
证明：连接C1O和AD1，由于O为对角线的交点，所以C1O和AD1平行。
又因为底面ABCD为正方形，所以AC1和BD1平行。
因此，C1O//平面AD1B1成立。
5、已知棱柱ABC-A1B1C1的底面为正三角形，D是AC的中点。
证明：连接A1B1和DC，由于底面为正三角形，所以AB1和DC平行。
又因为D是AC的中点，所以AB1和A1C1平行。
因此，AB1//平面DBC1成立。
6、正四棱锥S-ABCD中，E是侧棱SC的中点。
证明：连接SE和BD，由于E是侧棱SC的中点，所以SE和BD平行。
又因为三角形SBD和SCE共顶点S，所以它们在S处的角相等。
因此，直线SA//平面BDE成立。
7、已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点。
证明：连接AF和PC，由于底面ABCD是矩形，所以AF和PC平行。
又因为PE=ED，所以三角形PED为等腰三角形，所以PE和CD平行。
因此，AF//平面PEC成立。
必修二立体几何线面平行、面面平行、线面垂直判定及性质练习
线面平行、面面平行、线面垂直判定及性质练习一、线面平行判定及性质1.如图，在三棱锥P-ABC中，点Ο、D分别是AC、PC的中点，求证： OD//平面PABDOCBAP2.如图，ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点. 求证：SA∥平面MDB.3.如图在四棱锥P-ABCD中，M、N分别是AB，PC的中点，若ABCD是平行四边形，求证：MN//平面PAD4.已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且ＥＨ∥平面BDC ．求证：EH ∥BD .H G FE D BAC练习5.正方形ABCD 交正方形ABEF 于AB ，M 、N 在对角线AC 、FB 上，且M ，N 是对角线AC 、FB 的中点.求证：//MN 平面BCE6．如图,S 是平行四边形ABCD 平面外一点，,M N 分别是,SA BD 上的点，且SM AM =NDBN, 求证：//MN 平面SBC二、面面平行判定及性质1.2.PMN D 1C 1B 1A 1D CA三、线面垂直判定及性质1.已知E ，F 分别是正方形ABCD 边AD ，AB 的中点，EF 交AC 于M ，GC 垂直于ABCD 所在平面.求证：EF ⊥平面GMC ．M E ABCD G2.在三棱锥P ABC -中，AC BC =，ABP 为正三角形，D AB 记是的中点．求证：AB PCD ⊥平面.3.如图AB 是圆O 的直径，C 是圆周上异于A 、B 的任意一点，⊥PA 平面ABC .求证：BC ⊥平面P AC .4.在长方体1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱21=AA ，EAC B P是侧棱1BB 的中点。
求证：AE ⊥平面11A D E .A综合题：如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12,1AA AC BC ===，E 、F 分别为11A C 、BC 的中点.（1）求证：AB ⊥平面11B BCC ；（2）求证：1//C F 平面ABE ；（3）求三棱锥E ABC -的体积. C 1B 1A 1FE C BA。
第二章 线面平行与垂直判定证明 习题
• 高考重在考查数学中普遍运用的常规方法，侧重通性通法，适当淡化技 巧；不要为解题而解题，要学会举一反三；由一题带动多题，要从不同 角度思考问题，当不满足已有的解法时，从其他角度考虑，这种做法对 解决难题尤其有好处． 解题时，弄清各概念之间的包含关系，理清定 理的来龙去脉，从条件、结论和使用范围上去比较容易混淆的各个定理， 从内涵和外延上比较容易混淆的各个概念，注重化归、转化思想，掌握 常见的化归转化方法，如：立几问题向平面问题转化，符号语言、文字 语言、图形语言的相互转化等；注重模型化方法和整体考虑问题、处理 问题的方法，如有时把形体纳入不同的几何背景之中，从而宏观上把握 形体，巧妙地解决问题． 要把握常见图形及常见题型，关注新题型的 考查，比如：存在性问题、与代数结合的最值问题等等． 对于一些特 殊的技巧要能理解并灵活运用，比如求线面角时，可能转化为斜线段外 端点到平面的距离与斜线段的长度的比得线面角的正弦值；距离问题可 以用等体积法转化，用这种方法能简化作图、证明与计算的过程．
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点到面的距离可直接向面作垂线，但要考虑垂足的位置，如果垂足的位置不可确定，往 往采取由点向面上某一条线作垂线，再证明此垂足即为面的垂足。
1.在正方体中，与正方体的一条对角线垂直的各面 的对角线的条数是 。
• 2.如图，ABCD为正方形，SA垂直ABCD所在的平面，过A
且垂直SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G。求证：
中，AB=AD=1，
• 7.S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC, 平面SAB⊥平面SBC,求证AB⊥BC.
S
A
C B
• 8.如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD， ∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点． 求证：(1)直线EF∥平面 PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD. •
线面、面面平行、垂直例题
¤学习目旳：以立体几何旳定义、公理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,结识和理解空间中线面平行旳鉴定,掌握直线与平面平行鉴定定理,掌握转化思想“线线平行⇒线面平行”. ¤知识要点:1. 定义:直线和平面没有公共点,则直线和平面平行.2. 鉴定定理:平面外旳一条直线与此平面内旳一条直线平行,则该直线与此平面平行. 符号表达为：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒． 图形如右图所示. ¤例题精讲：【例1】已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,Ｅ、F 分别为AB 、PD 旳中点,求证:AF ∥平面PEC【例2】在正方体ＡB ＣD -A 1B 1Ｃ１D 1中,E 、Ｆ分别为棱BC 、C 1D １旳中点． 求证:EF ∥平面ＢＢ１Ｄ１D.【例３】如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,M 、N 分别是AB 、PC 旳中点（1)求证:ＭN //平面PA Ｄ；(２）若4MN BC ==，43PA =,求异面直线PA 与MN 所成旳角旳大小． ．¤学习目旳：以立体几何旳定义、公理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,结识和理解空间中面面平行旳鉴定,掌握两个平面平行旳鉴定定理与应用及转化旳思想.¤知识要点:面面平行鉴定定理：如果一种平面内有两条相交直线都平行于另一种平面，那么这两个平面平行.用符号表达为：,,////,//a b ab P a b βββααα⊂⊂=⎫⇒⎬⎭. ¤例题精讲:【例1】如右图，在正方体A ＢC Ｄ—A 1B 1Ｃ1D １中,Ｍ、N 、Ｐ分别是C 1C 、B １Ｃ1、C １Ｄ1旳中点,求证:平面ＭＮP ∥平面A 1B Ｄ.．【例２】已知四棱锥P －A ＢCD 中， 底面ABCD 为平行四边形. 点M 、N 、Q 分别在ＰA 、BD 、P Ｄ上， 且PM ：ＭＡ=BN ：ND ＝PQ ：ＱD .求证：平面MNQ ∥平面P ＢC .第14讲 §2.２.3 直线与平面平行旳性质¤学习目旳:通过直观感知、操作确认、思辨论证,结识和理解空间中线面平行旳性质,掌握直线和平面平行旳性质定理，灵活运用线面平行旳鉴定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”平行旳转化.NM P DCQB A¤知识要点:线面平行旳性质：如果一条直线和一种平面平行，通过这条直线旳平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. 即：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭. ¤例题精讲:【例１】通过正方体ABCD -Ａ1B 1C 1D 1旳棱ＢB 1作一平面交平面AA １D 1D 于E 1E ，求证：E 1E ∥Ｂ1B【例2】如右图，平行四边形EFG Ｈ旳分别在空间四边形AB ＣD 各边上,求证:BD ／/平面ＥＦG Ｈ.第１5讲 §2.2.4 平面与平面平行旳性质¤学习目旳：通过直观感知、操作确认、思辨论证，结识和理解空间中面面平行旳性质，掌握面面平行旳性质定理,灵活运用面面平行旳鉴定定理和性质定理,掌握“线线”“线面”“面面”平行旳转化. ¤知识要点:1. 面面平行旳性质:如果两个平行平面同步与第三个平面相交，那么它们旳交线平行. 用符号语言表达为：//,,//a b a b αβγαγβ==⇒.2． 其他性质:①//,//l l αβαβ⊂⇒； ②//,l l αβαβ⊥⇒⊥；βaαb③夹在平行平面间旳平行线段相等. ¤例题精讲:【例1】如图，设平面α∥平面β，A Ｂ、C Ｄ是两异面直线，M 、N 分别是AB 、CD 旳中点，且A 、Ｃ∈α，B 、D ∈β. 求证：MN ∥α.【例4】如图,已知正方体1111ABCD A B C D -中,面对角线1AB ，1BC 上分别有两点Ｅ、F ，且11B E C F =. 求证：ＥF ∥平面ＡＢCD ．第16讲 §2.３.1 直线与平面垂直旳鉴定¤学习目旳:以立体几何旳定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证,结识和理解空间中线面垂直旳鉴定,掌握直线与平面垂直旳定义，理解直线与平面垂直旳鉴定定理,并会用定义和鉴定定理证明直线与平面垂直旳关系. 掌握线面角旳定义及求解． ¤知识要点:1. 定义:如果直线l 与平面α内旳任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α互相垂直,记作l α⊥. l －平面α旳垂线,α－直线l 旳垂面,它们旳唯一公共点P 叫做垂足．（线线垂直→线面垂直）２. 鉴定定理:一条直线与一种平面内旳两条相交直线都垂直,则这条直线与该平面GNMFEEC DBAD 1C 1B 1A 1βαEN MDBCA垂直. 符号语言表达为：若l ⊥m ,l ⊥n ,m ∩n =B ，m α,nα，则l ⊥α３. 斜线和平面所成旳角，简称“线面角”，它是平面旳斜线和它在平面内旳射影旳夹角. 求直线和平面所成旳角,几何法一般先定斜足，再作垂线找射影,然后通过解直角三角形求解，可以简述为“作（作出线面角）→证(证所作为所求)→求（解直角三角形）”. 一般，通过斜线上某个特殊点作出平面旳垂线段,垂足和斜足旳连线是产生线面角旳核心． ¤例题精讲：【例1】四周体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 旳中点,且22EF AC =,90BDC ∠=,求证:BD ⊥平面ACD ．【例２】已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ,2AB =，4PA AD ==，E 为BC 旳中点．（1）求证：DE ⊥平面PAE ；(2）求直线DP 与平面PAE 所成旳角．【例3】三棱锥P ABC -中，PA BC PB AC ⊥⊥，,PO ⊥平面AB Ｃ,垂足为O ,求证：O 为底面△ＡBC 旳垂心.第１7讲 §２．3.2 平面与平面垂直旳鉴定¤学习目旳：通过直观感知、操作确认、思辨论证,结识和理解空间中面面垂直旳鉴BD CAE FG定,掌握二面角和两个平面垂直旳定义，理解平面与平面垂直旳鉴定定理并会用鉴定定理证明平面与平面垂直旳关系，会用所学知识求两平面所成旳二面角旳平面角旳大小.¤知识要点:１. 定义:从一条直线出发旳两个半平面所构成旳图形叫二面角(dihedral a ｎgl ｅ）. 这条直线叫做二面角旳棱,这两个半平面叫做二面角旳面． 记作二面角AB αβ－－． (简记P AB Q －－）2. 二面角旳平面角：在二面角l αβ－－旳棱l 上任取一点O ,以点O 为垂足,在半平面,αβ内分别作垂直于棱l 旳射线OA 和OB ,则射线OA 和OB 构成旳AOB ∠叫做二面角旳平面角． 范畴：0180θ︒<<︒.3. 定义:两个平面相交,如果它们所成旳二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. 记作αβ⊥.4. 鉴定:一种平面过另一种平面旳垂线,则这两个平面垂直. (线面垂直→面面垂直) ¤例题精讲:【例1】已知正方形ABC Ｄ旳边长为1，分别取边ＢC 、CD 旳中点E 、F ，连结AE 、ＥＦ、A Ｆ,以A Ｅ、EF 、ＦＡ为折痕，折叠使点B 、C 、D 重叠于一点P ．（1）求证：A Ｐ⊥EF ；(2)求证:平面ＡPE ⊥平面APF .【例2】如图, 在空间四边形A ＢCD 中,,,AB BC CD DA ==,,E F G分别是,,CD DA AC 旳中点，求证:平面BEF ⊥平面BGD .【例３】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 旳中点，求证：1A BD BED ⊥平面平面．第18讲 §2.３.3 线面、面面垂直旳性质¤学习目旳:通过直观感知、操作确认、思辨论证,结识和理解空间中线面、面面垂直旳有关性质,掌握两个性质定理及定理旳应用. ¤知识要点:１. 线面垂直性质定理:垂直于同一种平面旳两条直线平行． (线面垂直→线线平行) ２． 面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一种平面内垂直于交线旳直线与另一种平面垂直. 用符号语言表达为:若αβ⊥,l αβ=，a α⊂，a l ⊥,则a β⊥．（面面垂直→线面垂直) ¤例题精讲：【例1】如图，在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 旳菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ． (1）若G 为AD 旳中点,求证：BG ⊥平面PAD ； (2)求证:AD PB ⊥；(３)求二面角A BC P --旳大小．【例２】如图，已知空间四边形ABCD 中,,BC AC AD BD ==，E 是AB 旳中点。
线面平行,垂直的证明
线面平行,垂直的证明
1. 线面平行的证明：
假设有一条直线L和一个平面P，如果L上的任意一点都在P平面上，则线L 与平面P平行。
证明过程：
（1）假设L与P不平行，那么L与平面P的交点为一条直线，且这条直线垂直于平面P；
（2）然后，取L上的一个点，使其在交点之上，假设这个点为A，连接点A到交点的线段；
（3）连接点A到平面P上任意一点B，连接线段AB；
（4）由于交点线段垂直于平面P，所以AB与交点线段垂直；
（5）因为平面P中任意两点之间的线段都在平面P上，所以线段AB在平面P 上；
（6）但是，线段AB与线L上的点A不在平面P上，则得出矛盾结论，因此假
设不成立，L与P平行。
2. 垂直的证明：
假设有两条直线L1和L2，如果L1与L2的斜率乘积为-1，则L1与L2垂直。
证明过程：
（1）首先，设L1的斜率为k1，当L2相对于L1的夹角为θ时，L2的斜率为k2=tan(90°-θ)=cotθ；
（2）因为k1和k2的乘积为-1，所以k1×k2=-tanθ×tan(90°-θ)=-tanθ×cot θ=-1；
（3）而tanθ×cotθ=1，所以满足条件，得出L1与L2垂直。
综上所述，线面平行和垂直的证明均符合数学定理，可以作为参考依据。
高考中线线,线面,面面的平行与垂直关系专题
直线与直线平行 (1)平行直线与平面平行 平面与平面平行 直线与直线垂直 (2)垂直直线与平面垂直 平面与平面垂直
考向三 平行与垂直关系的综合应用 【例3】►如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点 E、F分别是AB、BD的中点．求证： (1)直线EF∥平面ACD； (2)平面EFC⊥平面BCD. [审题视点] EFC. 第(1)问需证明EF∥AD；第或b⊂α，故A错误；由面面平行 的判定定理知，B错误；若α∥β，b∥α，则b∥β或b⊂β，故C 错误． 答案 D
4．(2012· 温州模拟)已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个 不同的平面，则下列命题中正确的是( A．m∥n，m⊥α⇒n⊥α B．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n C．m⊥α，m⊥n⇒n∥α D．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β )．
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3 C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面 错因 实录 受平面几何知识限制，未能全面考虑空间中的情况． 甲同学：A 乙同学：C 丙同学：D.
3．(2012· 银川质检)在空间中，下列命题正确的是( A．若a∥α，b∥a，则b∥α B．若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥α C．若α∥β，b∥α，则b∥β D．若α∥β，a⊂α，则a∥β
考向三 利用向量求二面角 【例3】►(2011· 全国新课标)如图，四棱锥PABCD中，底面 ABCD为平行四边形，∠DAB＝60° ，AB＝2AD，PD⊥底面 ABCD. (1)证明：PA⊥BD； (2)若PD＝AD，求二面角APBC的余弦值． [审题视点] 会判断法向量的方向，找准向量夹角与二面角是
垂直线与平行线证明题
垂直线与平行线证明题
本文将讨论垂直线与平行线之间的证明题。
在几何学中，垂直
线和平行线是常见的概念，它们在解决几何问题时起着重要的作用。
垂直线的性质
垂直线是指两条直线在某一点相交，且交角为直角的线段。
垂
直线的性质如下：
1. 垂直线之间的交角为直角。
2. 两条相交的垂直线互为补角。
平行线的性质
平行线是指在同一个平面上不相交的直线。
平行线的性质如下：
1. 平行线之间的交角为零。
2. 平行线存在于同一平面中，且平行线与该平面上的任意一直
线的交角相等。
垂直线与平行线的证明题
以下为垂直线与平行线之间常见的证明题：
1. 证明两条线段垂直证明两条线段垂直
首先，通过给定线段的长度和角度，绘制两条线段。
然后，通过作图法证明这两条线段相交的角度为直角。
作图法包括使用直尺和量角器等工具。
2. 证明两条直线平行证明两条直线平行
首先，通过给定直线的方程式或线段的长度和角度，绘制两条直线。
然后，通过证明这两条直线与一条已知直线的交角相等，且交角为零，可以得出这两条直线平行的结论。
3. 证明两个三角形相似证明两个三角形相似
在已知两个三角形的一些角度或边长的条件下，通过运用三角形的相似性定理，可以证明这两个三角形相似。
相似的三角形的对应角度相等，对应边长成比例。
以上是一些常见的垂直线与平行线的证明题。
在解决这些证明题时，我们可以运用几何学中的定理和性质，并通过合理的证明过程得出结论。
希望本文对您理解垂直线与平行线的证明题有所帮助。
如有任何疑问，请随时与我联系。
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线面平行和垂直的证明
1：如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中. （1）求证：AC ⊥平面B 1BDD 1；
（2）求三棱锥B-ACB 1体积．
2：如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心， PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点． 求证：（1）PA∥平面BDE ； （2）平面PAC ⊥平面BDE ．
3：如图：在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中， ∠ABC = 90°，SA ⊥面ABCD ，SA = AB = BC = 1，
2
1
=
AD ． （Ⅰ）求四棱锥S —ABCD 的体积； （Ⅱ）证明：平面SBC ⊥平面SCD .
4：已知多面体ABCDFE 中， 四边形ABCD 为矩形，AB ∥EF ，AF ⊥BF ，平面ABEF ⊥平面ABCD ， O 、M 分别为AB 、FC 的中点，且AB = 2，AD = EF = 1. （Ⅰ）求证：AF ⊥平面FBC ； （Ⅱ）求证：OM ∥平面DAF .
5：．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形， 侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC ，E 是P C 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F ．
（1）证明 P A //平面EDB ； （2）证明PB ⊥平面EFD ；
6：已知正方形ABCD 和正方形ABEF 所在的平面相
交于AB ，点M ，N 分别在AC 和BF 上，且AM=FN. 求证：MN ‖平面BCE.
7：如图，正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为a （1）求证：直线//1B A 平面1ACD
（2）求证：平面1ACD ⊥平面D BD 1；
8： 如图，已知△ABC 是正三角形，EA 、CD 都垂直于平面ABC ，且EA=AB=2a,DC=a,F 是BE 的中点，
D 1
C 1
B 1
A 1
C
D
B
A
D
A
B
C
O
E
P A
B
C
D
P
E
F
B
C
D
E
F
N
M
F E
D C
A
M
A
B
C
D
O
P
E
求证：(1) FD ∥平面ABC (2) AF ⊥平面EDB. 9：如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是CB 、CD 、CC 1的中点，
（1） 求证：平面A B 1D 1∥平面EFG; （2） 求证：平面AA 1C ⊥面EFG.
10：如图，PC AB N M ABCD PA 、分别是、所在的平面，矩形⊥的中点.
（1）求证：PAD MN 平面//；（2）求证：CD MN ⊥；
11：如图，棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，
求证：⑴ AC ⊥平面B 1D 1DB;
⑵ 求证：BD 1⊥平面ACB 1 ⑶ 求三棱锥B-ACB 1
体积．
12: 四棱锥ABCD 中，底面ABCD 是正方形，O 是正方形ABCD 的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点． 求证：（Ⅰ）PA ∥平面BDE ； （Ⅱ）平面PAC ⊥平面BDE .
13：在三棱锥S ABC -中，已知点D 、E 、F 分别为棱AC 、SA 、SC 的中点. ①求证：EF ∥平面
ABC .
②若SA SC =，BA BC =，求证：平面SBD ⊥平面ABC . 14：如图, 已知正三角形PAD , 正方形ABCD ,
平面PAD ⊥平面ABCD , E 为PD 的中点.
（Ⅰ）求证：CD AE ⊥; （Ⅱ）求证：AE ⊥平面PCD .
15：四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，M N 、分别是
AB PC 、的中点，PA AO a ==．
（1）求证：//MN 平面PAD ； （2）求证：平面PMC ⊥平面PCD ． （自己画图）
F
G
E
C1D1
A1
B1
D
C
A
B
N
M P
D
C
B
A
D 1
C 1
B 1
A 1
C
D
B
A
F
E
D
S A
B
C
16：如图，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥底面ABC ，
AB BC ⊥， D 、E 分别是AB 、PB 的中点.
（1）求证：DE ∥平面PAC ；（2）求证：AB ⊥PB ； 17：如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝CC 1＝2，AC ⊥BC ，D 为AB 的中点.
(1)求证：AC 1∥平面B 1CD ； (2)求二面角B －B 1C －D 的正弦值.
18：已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使DE ⊥
EC .
(1)求证：BC ⊥平面CDE ； (2)求证：FG ∥平面BCD ； (3)求四棱锥D －ABCE 的体积.
A
C
P
B
D
E。