高等代数 线性变换自测题

线性变换自测题

一、填空题（每小题3分，共18分）

1．σ是22⨯F 上的线性变换，若⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=100

71

)(A σ，则=-)3(A σ ．

2．σ：22R R →，)0,2(),(y x y x +-=σ；τ：22R R →，)

,3(),(y x y y x +

-=τ，

则=+),)((y x τσ ．=),)((y x τσ ．=-),)(2(y x σ ．

3．设⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=2231

A

，则向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11是A 的属于特征值 的特征向量．

4．若⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--=10

0001

011

A 与⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛--10101

01k

k B 相似，则k = ．

5．设三阶方阵A 的特征多项式为322)(2

3

+--=λλλλf ，则=||A ．

6．n 阶方阵A 满足A A =2，则A 的特征值为 ． 二、判断说明题（每小题5分，共20分）

1．n 阶方阵A 至少有一特征值为零的充分必要条件是0||=A ． 2．已知1

-=PBP A ，其中P 为n 阶可逆矩阵，B 为一个对角矩阵．则A 的特

征向量与P 有关．

3．σ为V 上线性变换，n ααα,,,21 为V 的基，则)(,),(),(21n ασασασ 线性无关．

4．α为V 上的非零向量，σ为V 上的线性变换，则}

)(|{)(1

αησηασ==-是

V 的子空间．

三、计算题（每小题14分，共42分）

1．设⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝

⎛----=a A 3

3242

111

与⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=b B 0

0020

002

相似． （1）求b a ,的值；

（2）求可逆矩阵，使B AP P =-1．

2．3F 中，线性变换σ关于基)1,1,1(1-=α，)1,0,1(2

-=α，)

1,1,0(3=α的矩阵

为

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-=12

1011

101A （1）求σ关于标准基321,,εεε的矩阵；

（2）设3216αααα-+=,321εεεβ+-=,求)(),(βσασ关于基},,{321ααα的坐标．

3．设α是3R 的线性变换,)2,,2(),,(32132321321x x x x x x x x x x x -++-+=α （1）求)Im(σ的一个基和维数； （2）求)(σKer 的一个基和维数． 四、证明题（每小题10分，共20分）

1．设τσ,是V 上的两个线性变换，证明： （1）)Im()Im(τσ=的充要条件是στστστ==,； （2）)ker()ker(τσ=的充要条件是ττσσστ==,．

2.设σ是n 维线性空间V 上的一个线性变换，且2

σσ=。证明：

（1）σ的特征值为0，1；

（2）设,0

1

V V 分别为0，1对应的特征子空间，则01

V V V =⊕；

（3）若σ只有0特征值，则σ为零变换。