直线的倾斜角和斜率习题
直线的倾斜角与斜率(含答案)
直线的倾斜角与斜率（含答案）一、单选题1．经过点A ( 3，－2)和B (0,1)的直线l 的倾斜角α为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．已知直线l 1: 3+m x +4y =5−3m ,l 2:2x + 5+m y =8平行，则实数m 的值为（）A ．−7B ．−1C ．−1或−7D ．1333．已知直线l 1:x +my +7=0和l 2:(m −2)x +3y +2m =0互相平行，则实数m =（ ）A ．m =−3B ．m =−1C ．m =−1或3D ．m =1或m =−3 4．已知1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点和右焦点，过2F 的直线l 与双曲线的右支交于A ，B 两点，12AF F ∆的内切圆半径为1r ，12BF F ∆的内切圆半径为2r ，若122r r =，则直线l 的斜率为（）A ．1BC ．2D ．5．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋a 2y ＋6＝0}，集合B ＝{(x ，y )|(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0}，若A ∩B ＝Ø，则a 的值是( )A ．3B ．0C ．－1D ．0或－16．直线x+6y+2=0在x 轴和y 轴上的截距分别是（ ）A ．2，13B ．－2，−13C ．−12，－3D ．－2，－3 7．已知两直线1:230l x y -+=，2:210l mx y ++=平行，则m 的值是（）A ．4-B ．1-C ．1D ．48．已知坐标平面内三点P(3，-1),M(6，2),N − ,直线l 过点P.若直线l 与线段MN 相交，则直线l 的倾斜角的取值范围（）A ． 450,1500B ． 450,1350C ． 600,1200D ． 300,6009．直线1y =+的倾斜角为（）A ．30︒B ．60︒C ．150︒D ．120︒二、填空题10．设直线l 1:(a +1)x +3y +2−a =0，直线l 2:2x +(a +2)y +1=0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为______，若l 1∥l 2，则实数a 的值为_______．11．直线l 1:x +2y −4=0与l 2:mx + 2−m y −1=0平行，则实数m =________.12．线2cos α•x﹣y ﹣1=0，α∈[π6，23π]的倾斜角θ的取值范围是__________13．直线x + 3y +1=0的倾斜角的大小是_________.14．若直线l 1:ax +2y =8与直线l 2:x +(a +1)y +4=0平行,则a =__________.15．已知点P 2,−3 ,Q 3,2 ，直线ax +y +2=0与线段PQ 相交，则实数a 的取值范围是____；16．若x ，y 满足约束条件 x −y +2≥0,2x +y −3≤0,y ≥1,则y +1x +2的最小值为__________．17．直线ax +(a −1)y +1=0与直线4x +ay −2=0互相平行，则实数a =________．18．直线x +2y +2=0与直线ax −y +1=0互相垂直，则实数a 等于________．三、解答题19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，060,,BAD E F ∠=分别为,PA BD 的中点，2.PA PD AD ===（1）证明：//EF 平面PBC ；（2）若PB =A DEF -的体积.20．已知直线1:220l x y ++=；2:40l mx y n ++=．（1）若12l l ⊥，求m 的值．（2）若12//l l ，且他们的距离为，求,m n 的值．21．已知直线l 经过点()P 2,5-，且斜率为 （1）求直线l 的方程．（2）求与直线l平行，且过点()2,3的直线方程．（3）求与直线l垂直，且过点()2,3的直线方程．22．已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，P1,22在椭圆上，椭圆的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，△PAF1的面积是△POF2的面积的2−1倍．（1）求椭圆C的方程；（2）直线y=kx（k>0）与椭圆C交于M，N，连接MF1，NF1并延长交椭圆C于D，E，连接DE，指出k DE与k之间的关系，并说明理由．23．已知直线l：kx−y+1+2k=0(k∈R)(1))若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．24．已知直线l1：x+my+6=0，l2：( m−2 ) x+3y+2m=0.求当m为何值时，l1，l2 (1) 平行；(2) 相交；(3) 垂直.25．已知直线l1：x−y+1=0，l2：(a−1)x+ay+12=0．(1)若l1//l2，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，设l1，l2与x轴的交点分别为点A与点B，平面内一动点P到点A 和点B的距离之比为P的轨迹方程E．26．已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦距为2，离心率为22，右顶点为A.（I）求该椭圆的方程；（II）过点D(2,−2)作直线PQ交椭圆于两个不同点P、Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值.27．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4,且椭圆C与圆M:(x−3)2+y2=34的公共弦长为(1)求椭圆C的方程(2)椭圆C的左右两个顶点分别为A1,A2,直线l:y=kx+1与椭圆C交于E,F两点,且满足k A1F =2k A2E,求k的值.参考答案1．C【解析】分析：先由直线的斜率公式求出直线的斜率，再根据倾斜角的范围及倾斜角的正切值等于斜率，求得倾斜角的值．详解：由直线的斜率公式得，经过点A(，－2)和B(0,1)的直线l的斜率为0−3＝－，又倾斜角大于或等于0°小于180°，倾斜角的正切值等于－3，故倾斜角等于120°，故选C.点睛：本题考查直线的斜率公式以及倾斜角的范围、倾斜角与斜率的关系．2．A【解析】【分析】对x，y的系数分类讨论，利用两条直线平行的充要条件即可判断出．【详解】当m=﹣3时，两条直线分别化为：2y=7，x+y=4，此时两条直线不平行；当m=﹣5时，两条直线分别化为：x﹣2y=10，x=4，此时两条直线不平行；当m≠﹣3，﹣5时，两条直线分别化为：y=−3+m4x+5−3m4，y=−25+mx+85+m，∵两条直线平行，∴−3+m4=−25+m，5−3m4≠85+m，解得m=﹣7．综上可得：m=﹣7．故选：A．【点睛】本题考查了分类讨论、两条直线平行的充要条件，属于基础题．3．C【解析】【分析】根据直线平行充要关系得等式，解得结果.【详解】由题意得1m−2=m3≠72m∴m=−1或3,选C.【点睛】本题考查直线平行位置关系，考查基本转化求解能力，属基础题.4．D【解析】设12AF F ∆的内切圆圆心为1,I ，12BF F ∆的内切圆圆心为2,I ，边1212A F A F F F 、、上的切点分别为M N E 、、，易见1I E 、横坐标相等，则1122AM AN F M F E F N F E ===，，，由122AF AF a -=， 即122AM MF AN NF a +-+=（），得122MF NF a -=，即122F E F E a -=，记1I 的横坐标为0x ，则00E x （，），于是002x c c x a +--=（），得0x a =，同理内心2I 的横坐标也为a ，则有12I I x ⊥轴，设直线的倾斜角为θ，则22129022OF I I F O θθ∠=∠=︒-，，则211212221tan ,tan tan 90222tan 2r r I F O r r F E F E θθθ⎛⎫=∠=︒-=== ⎪⎝⎭ ，222tan 12tan ,tan tan 22221tan 2θθθθθ∴==∴==- 故选D.5．D 【解析】A B ?⋂＝，即直线()212602320l x a y l a x ay a ：＋＋＝与：－＋＋＝平行， 令()2132a a a ⨯＝－，解得01a a ＝或＝－或3a ＝.0a ＝时，l 1：x ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1∥l 2.a ＝－1时，l 1：x ＋y ＋6＝0，l 2：－3x －3y －2＝0.l 1∥l 2.a ＝3时，l 1：x ＋9y ＋6＝0，l 2：x ＋9y ＋6＝0，l 1与l 2重合，不合题意．∴a ＝0或a ＝－1.答案：D.点睛：本题考查两条直线平行的判定；已知两直线的一般式判定两直线平行或垂直时，若化成斜截式再判定往往要讨论该直线的斜率是否存在，容易出错，可记住以下结论进行判定： 已知直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，（1）121221//0l l A B A B ⇔-=且12210AC A C -≠；（2））1212120l l A A B B ⊥⇔+=.6．B【解析】【分析】可分别令x =0,y =0，求出相应的y 和x 的值，即为相应坐标轴上的截距.【详解】令x =0，解得：y =−13，即为y 轴上截距； 令y =0，解得：x =−2，即为x 轴上截距.故选B.【点睛】本题考查截距的求法，即直线分别与x 轴、y 轴交点的横坐标和纵坐标，根据坐标轴上点的特点将0代入即可.7．A【解析】由两直线1:230l x y -+=，2:210l mx y ++=平行可得，斜率相等，截距不相等，即22m =-且132≠-，解得4m =-，故选A. 8．A【解析】【分析】先由P （3，﹣1），N （﹣ 3， 3），M （6，2），求得直线NP 和MP 的斜率，再根据直线l 的倾斜角为锐角或钝角加以讨论，将直线l 绕P 点旋转并观察倾斜角的变化，由直线的斜率公式加以计算，分别得到直线l 斜率的范围，进而得到直线l 的倾斜角的取值范围．【详解】∵P （3，﹣1），N （﹣ 3， 3），∴直线NP 的斜率k 1= 3+1− 3−3=﹣ 33．同理可得直线MP 的斜率k 2=2+16−3=1．设直线l 与线段AB 交于Q 点，当直线的倾斜角为锐角时，随着Q 从M 向N 移动的过程中，l 的倾斜角变大，l 的斜率也变大，直到PQ 平行y 轴时l 的斜率不存在，此时l 的斜率k ≥1；当直线的倾斜角为钝角时，随着l 的倾斜角变大，l 的斜率从负无穷增大到直线NP 的斜率，此时l 的斜率k ≤﹣ 33．可得直线l 的斜率取值范围为：（﹣∞，﹣ 33]∪[1，+∞）．∴直线l 的倾斜角的取值范围 450,1500故选：A ．【点睛】本题给出经过定点P 的直线l 与线段MN 有公共点，求l 的斜率取值范围．着重考查了直线的斜率与倾斜角及其应用的知识，属于中档题．9．B【解析】设倾斜角为θ，直线1y =+tan θ=60θ=︒，故选B ．10．−85−4 【解析】分析：由题意得到关于a 的方程或方程组，据此求解方程即可求得最终结果. 详解：若l 1⊥l 2，则：2 a +1 +3 a +2 =0，整理可得：5a +8=0，求解关于实数a 的方程可得：a =−85. 若l 1∥l 2，则a +12=3a +2≠2−a 1，据此可得：a =−4.点睛：本题主要考查直线垂直、平行的充分必要条件，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．23【解析】【分析】由直线的平行关系可得1× 2−m −2m =0，解之可得答案【详解】∵直线l1:x+2y−4=0与l2:mx+2−m y−1=0平行，∴1×2−m−2m=0，解得m=23故答案为23【点睛】本题主要考查的是直线的与直线的平行关系，继而求得斜率与斜率之间的关系，属于基础题。
直线的倾斜角和斜率练习题
2、1 直线的倾斜角和斜率1、下列命题正确的是（ ）A 、若直线的斜率存在，则必有倾斜角α与它对应B 、若直线的倾斜角存在，则必有斜率与它对应C 、直线的斜率为k ，则这条直线的倾斜角为arctan kD 、直线的倾斜角为α，则这条直线的斜率为tan α2、过点M (2,a ), N (a ,4)的直线的斜率为21，则a 等于（ ） A 、–8 B 、10 C 、2 D 、43、过点A (2，b )和点B (3,2)的直线的倾斜角为43π，则b 的值是（ ） A 、–1 B 、1 C 、–5 D 、54、如图，若图中直线l 1, l 2, l 3的斜率分别为k 1, k 2, k 3，则（ ）A 、k 1<k 2<k 3B 、k 3<k 1<k 2C 、k 3<k 2<k 1D 、k 1<k 3<k 25、设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线绕原点按逆时针方向旋转60o ，得到直线的倾斜角为（ ）A 、60o α+B 、120o α-C 、120o α-D 、当0120o o α≤<时为60o α+，当120180o o α≤<时为120o α-6、已知，A(3,1)、B(2,4)，则直线AB 上方向向量AB u u u r 的坐标是（ ）A 、(5,5)B 、(1,3)C 、(5,5)D 、(3,1)7、直线l 过点()1,2A ，且不过第四象限，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A 、[]0,2B 、[]0,1C 、10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 、1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8、直线xcos θ+y-1=0 (θ∈R )的倾斜角的范围是 .9、设直线l1:x-2y+2=0的倾斜角为α,直线l2:mx-y+4=0的倾斜角为2α,且1α=1α+90°,则m的值为 .210、已知直线l经过A（2，1），B（1，m2）（m∈R）两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是 .11、直线l的倾斜角60oα=，直线m l⊥，则直线m的斜率为。
直线的倾斜角和斜率练习题
直线斜率的性质
直线斜率等于直线倾斜角的正切 值
直线斜率为0时，直线垂直于x 轴
直线斜率为无穷大时，直线与x 轴垂直
直线斜率存在时，直线必与x轴 有交点
直线的倾斜角和斜率的 实际应用
直线的倾斜角和斜率在几何图形中的应用
确定位置：直线 的倾斜角和斜率 可以用来确定平 面上的一个点或 一条直线的位置。
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实际应用：在解析几何中，直线的倾斜角和斜率可以用来描述直线 在平面上的位置和方向，进而解决实际问题。
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计算方法：通过直线上两点的坐标可以计算出直线的斜率和倾斜角。
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几何意义：直线的倾斜角和斜率可以用来研究直线与其他几何图形 之间的关系，例如直线与圆、椭圆等的位置关系。
计算距离：通 过直线的斜率 和垂直距离， 可以计算出两 点之间的距离。
判断平行：两 条直线的斜率 相等，则这两 条直线平行。
判断垂直：两 条直线的斜率 的乘积为-1， 则这两条直线
垂直。
直线的倾斜角和斜率在解析几何中的应用
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定义：直线的倾斜角是直线与x轴正方向之间的夹角，斜率是直线 在坐标系中的倾斜程度。
直线垂直于x轴时，倾斜角为90度， 斜率不存在
特殊情况的处理
直线过原点时，倾斜角与斜率的关 系为tan(倾斜角)=斜率
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直线平行于x轴时，倾斜角为0度或 180度，斜率为0
直线与x轴垂直时，倾斜角为90度， 斜率不存在
计算方法的总结
定义：直线的倾 斜角是直线与x 轴正方向的夹角， 斜率是直线在x 轴上的一个单位 长度内对应的y
练习题二：提高题
题目：已知直线方程为 y = 2x + 5，求该直线的斜率。
高考理科数学真题练习题直线的倾斜角与斜率直线方程理含解析
高考数学复习 课时作业48 直线的倾斜角与斜率、直线方程一、选择题1．直线x ＝π4的倾斜角等于( C )A ．0 B.π4C.π2D ．π解析：由直线x ＝π4，知倾斜角为π2.2．如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( D )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2解析：直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2.3．若三点P (1,1)，A (2，－4)，B (x ，－9)共线，则( B ) A ．x ＝－1 B ．x ＝3 C ．x ＝92D ．x ＝1解析：三点P (1,1)，A (2，－4)，B (x ，－9)共线⇒PA →∥PB →，PA →＝(1，－5)，PB →＝(x －1，－10)，得1×(－10)＝－5(x －1)⇒x ＝3.故选B.4．直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx ＋y －a ＝0(ab ≠0)的图象只可能是( B )解析：因为l 1：y ＝ax ＋b ，l 2：y ＝－bx ＋a ，由图B 可知，对于直线l 1，a >0且b <0，对于直线l 2，－b >0且a >0，即b <0且a >0，满足题意．故选B.5．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( B )A.13 B ．－13 C ．－32 D.23解析：依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.6．已知点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是( A ) A ．8 B ．2 2 C. 2D ．16解析：∵点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，∴y ＝4－x ，∴x 2＋y 2＝x 2＋(4－x )2＝2(x －2)2＋8，当x ＝2时，x 2＋y 2取得最小值8.7．(2019·郑州一模)已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( A )A ．y ＝3x ＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝3x ＋12D ．y ＝－3x ＋2解析：∵直线x －2y －4＝0的斜率为12，∴直线l 在y 轴上的截距为2，∴直线l 的方程为y ＝3x ＋2，故选A.二、填空题8．已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为x ＋13y ＋5＝0.解析：BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴BC 边上的中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0.9．过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y －5＝0.解析：若直线过原点，则直线方程为3x ＋2y ＝0；若直线不过原点，则斜率为1，方程为y ＋3＝x －2，即为x －y －5＝0，故所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y －5＝0.10．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是[－2,2]．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1，0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．11．曲线y ＝x 3－x ＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))，因为y ′＝3x 2－1≥－1，所以tan θ≥－1，结合正切函数的图象可知，θ的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.12．已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，P 是线段AB 上的点，则P 到AC ，BC 的距离的乘积的最大值为( A )A ．3B ．2C ．2 3D ．9解析：以C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示)，则A (0,4)，B (3,0)，直线AB 的方程为x 3＋y4＝1.设P (x ，y )(0≤x ≤3)，所以P 到AC ，BC 的距离的乘积为xy ，因为x 3＋y 4≥2x 3·y4，当且仅当x 3＝y 4＝12时取等号，所以xy ≤3，所以xy 的最大值为3.故选A.13．已知过点P (4,1)的直线分别交x ，y 坐标轴于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△ABO 的面积为8，则这样的直线有( B )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条解析：由题意可设直线的方程为x a ＋y b＝1，因为直线过点P (4,1)， 所以4a ＋1b＝1，①所以△ABO 的面积S ＝12|a ||b |＝8，②联立①②消去b 可得a 2＝±16(a －4)，整理可得a 2－16a ＋64＝0或a 2＋16a －64＝0. 可判上面的方程分别有1解和2解， 故这样的直线有3条．故选B.14．直线l 1与直线l 2交于一点P ，且l 1的斜率为1k，l 2的斜率为2k ，直线l 1，l 2与x 轴围成一个等腰三角形，则正实数k 的所有可能的取值为24或 2. 解析：设直线l 1与直线l 2的倾斜角分别为α，β，因为k >0，所以α，β均为锐角．由于直线l 1，l 2与x 轴围成一个等腰三角形，则有以下两种情况：(1)当α＝2β时，tan α＝tan2β，有1k ＝4k 1－4k 2，因为k >0，所以k ＝24；(2)当β＝2α时，tan β＝tan2α，有2k＝2k1－1k 2，因为k >0，所以k ＝ 2.故k 的所有可能的取值为24或 2. 尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．直线y ＝m (m >0)与y ＝|log a x |(a >0且a ≠1)的图象交于A ，B 两点，分别过点A ，B 作垂直于x 轴的直线交y ＝k x(k >0)的图象于C ，D 两点，则直线CD 的斜率( C )A ．与m 有关B ．与a 有关C ．与k 有关D ．等于－1解析：由|log a x |＝m ，得x A ＝a m，x B ＝a －m，所以y C ＝ka －m，y D ＝ka m，则直线CD 的斜率为y D －y C x D －x C ＝ka m －ka －ma －m －a m＝－k ，所以直线CD 的斜率与m 无关，与k 有关，故选C. 16．(2019·襄阳五中一模)已知点P 在直线x ＋3y －2＝0上，点Q 在直线x ＋3y ＋6＝0上，线段PQ 的中点为M (x 0，y 0)，且y 0<x 0＋2，则y 0x 0的取值范围是( D )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(0，＋∞)解析：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋3y 1－2＝0，x 2＋3y 2＋6＝0，x 1＋x22＝x 0，y 1＋y 22＝y 0，得x 0＋3y 0＋2＝0，即M (x 0，y 0)在直线x ＋3y ＋2＝0上．又因为y 0<x 0＋2，所以M (x 0，y 0)位于直线x ＋3y ＋2＝0与直线x －y ＋2＝0交点的右下部分的直线上．设两直线的交点为F ，易得F (－2,0)，而y 0x 0可看作点M 与原点O 连线的斜率，数形结合可得y 0x 0的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(0，＋∞)．故选D.。
高一数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析
高一数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析1.直线的倾斜角为．【答案】【解析】设直线的倾斜角为，则．【考点】直线的倾斜角．2.已知一条直线过点(3，-2)与点(-1，-2),则这条直线的倾斜角是（）.A．B．C．D．【答案】A【解析】直线过点与，直线的斜率，则直线的倾斜角为.【考点】直线的斜率、倾斜角.3.已知若直线：与线段PQ的延长线相交，则的取值范围是 .【答案】【解析】直线的方程为，显然经过定点，过点M作直线，显然的斜率，过M、Q作直线的斜率为,依题意，应夹在直线与之间，即于是，即。
【考点】（1）斜率公式的应用；（2）数形结合思想的应用。
4.直线的倾斜角的大小为。
【答案】【解析】,所以倾斜角为.【考点】1.直线方程；2.倾斜角和斜率.5.经过点的直线的斜率等于1，则m的值为（）A．1B．4C．1或3D．1或4【答案】A【解析】由题意可知，性的判断与证得m=1，故选A.【考点】直线斜率公式.6.过点(－3,0)和点(－4，)的直线的倾斜角是()A．30°B．150°C．60D．120°【答案】D【解析】因为，，所以，直线的倾斜角是120°，选D。
【考点】直线的斜率、倾斜角点评：简单题，利用斜率的坐标计算公式求得倾斜角的正切。
7.若直线经过A(-2,9)、B(6,-15)两点,则直线AB的倾斜角是( )A．45°B．60°C．120°D．135°【答案】C【解析】设直线AB的倾斜角是θ，由直线的斜率公式得k="tan" θ=，再根据倾斜角的范围求出倾斜角的大小。
解：设直线AB的倾斜角是θ，由直线的斜率公式得k=tanθ==又0≤θ＜π，θ=120°，故选 C．【考点】直线的倾斜角和斜率点评：本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小．求出斜率tanθ是解题的关键8.如图，若图中直线1,2,3的斜率分别为k1, k2, k3，则A．k1<k2<k3B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1D．k1<k3<k2【答案】B【解析】由于直线L2、L1的倾斜角都是锐角，且直线L2的倾斜角大于直线L1的倾斜角，可得 K2＞K1＞0．由于直线L3、的倾斜角为钝角，K3＜0，由此可得结论．k3<k1<k2,，故可知选B.【考点】直线的倾斜角和斜率点评：本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，属于基础题．9.直线的倾斜角是（）A．300B．600C．1200D．1350【答案】C【解析】由于直线的斜率为，那么根据倾斜角和斜率的关系可知，tanθ=,那么可知角为1200，故选C.【考点】直线的倾斜角和斜率的关系点评：本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，求出tanθ=，是解题的关键10.已知点，，则直线的倾斜角是．【答案】【解析】直线垂直于x轴，倾斜角为【考点】直线斜率与倾斜角点评：若则直线的斜率为，倾斜角满足11.(本小题满分6分)求经过两条直线和的交点，并且与直线垂直的直线方程的一般式.【答案】【解析】由解得，则两直线的交点为………2分直线的斜率为，则所求的直线的斜率为……………4分故所求的直线为即………………6分【考点】本题考查了直线的位置关系及直线方程的求法点评：熟练运用直线的位置关系求直线方程是解题的关键12.直线的倾斜角是( )A．150ｏB．135ｏC．120ｏD．30ｏ【答案】A【解析】解：因为直线，故倾斜角是150ｏ，选A13.．过点P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为．【答案】1【解析】由斜率公式可知,所以m=1.14.如果直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是 .【答案】【解析】设直线l的方程为y=kx+b,由题意知平移后直线方程为y=k(x+3)+b+1,即y=kx+3k+b+1,由于直线平移后还回到原来的位置，所以3k+b+1=b,所以15.直线的倾斜角等于__________．【答案】【解析】直线的斜率为，则倾斜角满足即直线的倾斜角为.16.直线的倾斜角是（）A．30°B．120°C．60°D．150°【答案】A【解析】17.倾斜角为135°，在轴上的截距为的直线方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】直线斜率为所以直线方程为故选D18.直线的倾斜角是（）A B C D【答案】C【解析】略19.已知点. 若直线与线段相交，则的取值范围是_____________.【答案】[-2，2]【解析】略20.以下直线中，倾斜角是的是（）..【答案】C【解析】略21.已知点，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】略22.当时，如果直线的倾斜角满足关系式，则此直线方程的斜率为；【答案】【解析】略23.直线的倾斜角为，则的值为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】略24.长方形OABC各点的坐标如图所示，D为OA的中点，由D点发出的一束光线，入射到边AB上的点E处，经AB、BC、CO依次反射后恰好经过点A，则入射光线DE所在直线斜率为【答案】【解析】如图：作关于的对称点，关于的对称点，关于的对称点，关于的对称点，则的延长线过完点，因为，所以根据对称性得，所以【考点】点关于线对称的点25.对于直线x sin+y+1=0，其斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】直线的斜率为，因此斜率的取值范围是[-1，1]，答案选B．【考点】直线的一般方程与斜率26.如图所示，直线的斜率分别为，则的大小关系为（按从大到小的顺序排列）．【答案】【解析】由图形可知，比的倾斜角大，所以【考点】斜率与倾斜角的关系27.已知三点在同一条直线上，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】确定的直线方程为，代入点得【考点】直线方程28.若图，直线的斜率分别为，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】切斜角为钝角，斜率为负，切斜角为锐角，斜率为正，因为倾斜角大于倾斜角，所以【考点】直线倾斜角与斜率的关系29.直线经过点，且倾斜角范围是，则的范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【考点】直线倾斜角与斜率的关系30.已知三点在同一条直线上，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】确定的直线方程为，代入点得【考点】直线方程。
高一数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析
高一数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析1.直线x+y﹣1=0的倾斜角为（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】可化为，即直线的斜率，所以倾斜角为.【考点】直线的倾斜角.2.已知点A(－1,2),B(2,－2),C(0,3),若点M(a,b)是线段AB上的一点(a≠0),则直线CM的斜率的取值范围是( )[,1] B.[ ,0)∪(0,1] C.[－1, ] D.(－∞, ]∪[1,+∞)【答案】D【解析】画出图象，看M点的变化范围.可知直线CM应该在AC与BC间变化，且,,故有选D.【考点】直线的斜率的计算.3.经过两点A(-3,5)，B(1,1 )的直线倾斜角为________.【答案】.【解析】由题意易得，经过点，的直线方程为，其倾斜角的斜率为，又∵，∴.【考点】直线的倾斜角与斜率.4.如果实数满足等式，那么的最大值为______．【答案】【解析】,可看作圆上的点与坐标原点间连线的斜率，结合图形知最大值为．【考点】斜率的计算公式，数形结合的数学思想．5.过点且倾斜角为的直线方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意可知斜率，根据直线方程的点斜式可写出直线方程：即，故选A.【考点】1.直线的倾斜角与斜率；2.直线的方程.6.点和点关于直线对称，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依题意可知直线与已知直线垂直且线段的中点在直线上，所以，解得，故选C.【考点】1.过两点的直线的斜率问题；2.直线垂直的判定与性质；3.点与直线的对称问题.7.在直角坐标系中，直线的倾斜角．【答案】【解析】直线化成，可知，而，故.【考点】直线的倾斜角与斜率.8.直线的倾斜角为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，由于直线的方程可知，该直线的斜率为，因此可知该直线的倾斜角为=60°，选B.【考点】直线的倾斜角点评：主要是考查了直线的倾斜角的求解，属于基础题。
9.直线经过点A（2，1），B（1，m2）两点（m∈R），那么直线l的倾斜角取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】直线的斜率为，结合可知【考点】直线倾斜角斜率点评：由两点确定的直线斜率为，斜率和倾斜角的关系10.已知菱形的两个顶点坐标：，则对角线所在直线方程为A．B．C．D．【答案】A【解析】线段的中点，所以所在直线为【考点】直线方程点评：本题利用菱形的几何特征可求得对角线的斜率，利用对角线互相平分可求得对角线过的点，从而可写出点斜式方程11.过点且平行于直线的直线方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】直线化为，其斜率为。
高三数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析
高三数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析1.直线2x－my＋1－3m＝0，当m变化时，所有直线都过定点()A．(－，3)B．(，3)C．(，－3)D．(－，－3)【答案】D【解析】原方程可化为(2x＋1)－m(y＋3)＝0，令，解得x＝－，y＝－3，故所有直线都过定点(－，－3)．2.设M＝，N＝，则M与N的大小关系为()A．M>N B．M＝N C．M<N D．无法判断【答案】C【解析】设A(－2011,2012)，B(π2012，π2011)，C(π2014，π2013)，则有M＝＝kAB，N＝＝kAC，如图所示．则直线AB的倾斜角∠BDO和直线AC的倾斜角∠CEO均为锐角，且∠BDO<∠CEO，所以k AB <kAC，即M<N.3.设是椭圆上不关于坐标轴对称的两个点，直线交轴于点（与点不重合），O为坐标原点.（1）如果点是椭圆的右焦点，线段的中点在y轴上，求直线AB的方程；（2）设为轴上一点，且，直线与椭圆的另外一个交点为C，证明：点与点关于轴对称.【答案】（1）直线（即）的方程为或；（2）详见解析．【解析】（1）由已知条件推导出点的坐标为，由此能求出直线（即）的方程．（2）设点关于轴的对称点为（在椭圆上），要证点与点关于轴对称，只要证点与点C重合，又因为直线与椭圆的交点为C（与点不重合），所以只要证明点，，三点共线即可．（1）椭圆的右焦点为， 1分因为线段的中点在y轴上，所以点的横坐标为，因为点在椭圆上，将代入椭圆的方程，得点的坐标为. 3分所以直线（即）的方程为或. 5分（2）设点关于轴的对称点为（在椭圆上），要证点与点关于轴对称，只要证点与点C重合，.又因为直线与椭圆的交点为C（与点不重合），所以只要证明点，，三点共线. 7分以下给出证明：由题意，设直线的方程为,,，则.由得， 9分所以，，. 10分在中，令，得点的坐标为，由，得点的坐标为， 11分设直线，的斜率分别为，，则， 12分因为， 13分所以，所以点，，三点共线，即点与点关于轴对称. 14分【考点】直线与椭圆综合问题．4.（2013•湖北）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．（1）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；（2）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．【解析】以题意可设椭圆C1和C2的方程分别为，．其中a＞m＞n＞0，．（1）如图1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x=0，则，，所以．在C1和C2的方程中分别令x=0，可得yA=m，yB=n，yD=﹣m，于是．若，则，化简得λ2﹣2λ﹣1=0，由λ＞1，解得．故当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，则．（2）如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，根据对称性，不妨设直线l：y=kx（k＞0），点M（﹣a，0），N（a，0）到直线l的距离分别为d1，d2，则，所以d1=d2．又，所以，即|BD|=λ|AB|．由对称性可知|AB|=|CD|，所以|BC|=|BD|﹣|AB|=（λ﹣1）|AB|，|AD|=|BD|+|AB|=（λ+1）|AB|，于是．将l的方程分别与C1和C2的方程联立，可求得根据对称性可知xC =﹣xB，xD=﹣xA，于是②从而由①和②可得③令，则由m＞n，可得t≠1，于是由③可得．因为k≠0，所以k2＞0．于是③关于k有解，当且仅当，等价于，由λ＞1，解得，即，由λ＞1，解得，所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2；当时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2．5.若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同点到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则直线l的斜率的取值范围是________．【答案】[2－，2＋]【解析】圆x2＋y2－4x－4y－10＝0可转化为(x－2)2＋(y－2)2＝(3)2，∴圆心的坐标为(2,2)，半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则圆心到直线l 的距离应小于等于，∴≤，∴2＋4＋1≤0，∴－2－≤≤－2＋，又直线l的斜率k＝－，∴2－≤k≤2＋，即直线l的斜率的取值范围是[2－，2＋]．6.设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2B．C．D．﹣2【答案】D【解析】∵y=∴y′=﹣∵x=3∴y′=﹣即切线斜率为﹣∵切线与直线ax+y+1=0垂直∴直线ax+y+1=0的斜率为﹣a．∴﹣•（﹣a）=﹣1得a=﹣2故选D．7.直线的倾斜角的大小是____________．【答案】【解析】由题意，即，∴。
直线的倾斜角.斜率.直线方程基础练习题
直线的倾斜角.斜率.直线方程基础练习题一、选择题1．直线013=++y x 的倾斜角为（ ）A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°2．关于直线的倾斜角与斜率，下列说法正确的是( )A ．所有的直线都有倾斜角和斜率B ．所有的直线都有倾斜角但不一定都有斜率C ．直线的倾斜角和斜率有时都不存在D ．所有的直线都有斜率，但不一定有倾斜角3．若直线经过(0,1),4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为( ) A ．30o B ．45o C ．60o D ．120o 4．直线0334=-+y x 的斜率为（ ） A.34 B.43 C.43- D.34- 5．在直角坐标系中，已知(1, 2)A -，(3, 0)B ，那么线段AB 中点的坐标为（ ）. A.（2,2） B.（1,1） C.（-2，-2） D.（-1，-1） 6．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o 7．在直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是（ ）A ．6π B ．3π C ．65π D ．32π 8．一条直线经过点1(2,3)P -，倾斜角为45α=o，则这条直线的方程为( )A. 50x y ++=B.50x y --=C. 50x y -+=D. 50x y +-= 9．若直线l 经过原点和点A （2，2），则它的倾斜角为 A ．－45° B ．45° C ．135° D ．不存在 10．若直线的倾斜角为︒120，则直线的斜率为（ ） A. 3 B. 3- C. 33 D. 33-11．直线02:=--+a y ax l 在x 轴和y 灿上的截距相等，则a 的值是 A.1B .－1C .－2或－1D. －2或112．倾斜角为135︒，在y 轴上的截距为1-的直线方程是（ ）A ．01=+-y xB ．01=--y xC ．01=-+y xD ．01=++y xA ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒14．过点(3,0),(2,3)的直线的倾斜角为（ ）A 、0120B 、030C 、060D 、0150 15．若直线1=x 的倾斜角为α，则α等于 A.︒0 B. ︒45 C. ︒90 D.不存在16．如右图所示，直线123,,l l l 的斜率分别为123,,k k k ，则 （A ）123k k k << （B ）312k k k << （C ）132k k k << （D ）321k k k <<17． 经过两点 (4,0)(0,3)A B -、的直线方程是（ ）． A ．34120x y --= B. 34120x y +-= C ．43120x y -+= D ．43120x y ++=18．将直线y=3x 绕原点逆时针旋转90度，再向右平移1个单位，所得的直线方程为则（ ） A. 3131+-=x yB. 131+-=x y C. 33-=x y D. 131+=x y 19．直线x ＝－1的倾斜角为 （ ▲ ）（A ）135︒ （B ）90︒ （C ）45︒ （D ）0︒ 20． 直线经过点(2,0)A -，(5,3)B -,则直线的斜率为 A. -1 B. 1 C . 0 D . 221．已知直线l 经过)2,3(-A ，)3,2(-B 两点，那么直线l 的倾斜角为（ ） A.3π B.6π C.4π D.43π22．直线(2m 2－5m +2)x －(m 2－4)y +5m =0的倾斜角是4π，则m 的值为 A.2 B.3 C.－2D.－323．直线31y x =+的倾斜角是A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 24．下列四种说法中正确的是（ ）A ．一条直线向上的方向与x 轴正向所成的角叫做这条直线的倾斜角B ．直线l 的倾斜角取值范围是第一象限角或第二象限角C ．已知直线l 经过),(),,(222111y x P y x P 两点，则直线l 的斜率1212x x y y k --=D ．与x 轴垂直的直线斜率为0 25．直线l 的倾斜角为45°，且过（0,1），则直线l 的方程是A x+y+1=0B x-y+1=0C x-y-1=0D x+y-1=0 26．直线l 过P （1，0）、Q （12,2+-），则直线l 的倾角α=A 、ο135B 、ο45C 、ο60D 、ο225 27．直线3410x y +-=的倾斜角为α，则cos α的值为( ) A ．45-B.45C.35D. 34- 28．过点P (-2,0),斜率为3的直线方程是( )A.y =3x -2B.y =3x +2C.y =3(x -2)D.y =3(x +2)29．已知经过两点(5,m)和(m,8)的直线的斜率大于1，则m 的取值范围是( ) A.(5，8) B.(8,+∞) C.(,8)D.(5,)30．已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）．A ．34k ≥B ．324k ≤≤C ．324k k ≥≤或 D ．2k ≤ 31．已知直线l 的倾斜角为120o，则直线l 的斜率是（ ）． A ．3 B ．3- C ．33- D ． 3332．直线x tan7π+y =0的倾斜角是（ ） A.－7π B.7π C.7π5 D .7π633．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）A ．045,1B ．0135,1- C ．090，不存在D ．0180，不存在34． ）A B C D 35．直线30x y -+=的倾斜角是（ ）A 、300B 、450C 、600D 、90036．已知直线l 过点()1,2P ，()5,7Q ，则直线l 的斜率为（ ） A ．45 B ．45- C ．54 D ．54- 37．直线0cos 40sin 4010x y -++=的倾斜角是（ ） A ．040 B ．050 C ．0130 D ．0140 二、填空题38．已知直线l 与直线01=--y x 垂直，则直线l 的倾斜角=α . 39．已知点(3,8),(2,4)A B -，若y 轴上的点P 满足PA 的斜率是PB 斜率的2倍，则P 点的坐标为_________.40．经过两点A(-3,5),B(1,1 )的直线倾斜角为________.4110y ++=的倾斜角是 ．42．给定三点A(0,1)，B(a ,0)，C(3,2)，直线l 经过B 、C 两点，且l 垂直AB ，则a 的值为________．43．直线5x-2y-10=0在y 轴上的截距为 。
高二数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析
高二数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析1.过点、的直线的斜率为______________．【答案】2.【解析】由斜率公式得：.【考点】直线的斜率公式.2.直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )A．[0，π)B．∪C．D．∪【答案】B【解析】xsinα＋y+2=0的斜率为-sina，-sina取值范围为[-1,1]，故斜率范围为[-1,1]，即倾斜角的范围就是∪.【考点】倾斜角与斜率.3.若图中直线，，的斜率分别为，，，则()A．<<B．<<C．<<D．<<【答案】B【解析】由于的倾斜角都是锐角，且直线的倾斜角大于直线的倾斜角，可得，而直线的倾斜角为钝角，所以，由此可得结论：，故选答案B.【考点】直线的倾斜角与斜率.4.直线的倾斜角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】直线的斜率，倾斜角为，即，因为，所以【考点】直线的斜率公式和倾斜角的取值范围。
5.直线的倾斜角是．【答案】【解析】直线的倾斜角满足=，所以，=。
【考点】直线方程，直线的倾斜角、直线的斜率。
点评：简单题，当直线的倾斜角不为直角时，。
6.如果直线x＋2y－1＝0和y＝kx互相平行，则实数k的值为( )．A．2B．C．－2D．－【答案】D【解析】直线x＋2y－1＝0的斜率为，直线x＋2y－1＝0和y＝kx互相平行，所以两直线斜率相等，【考点】两直线平行的判定点评：若两直线平行则两直线斜率相等截距不等或斜率都不存在7.在平面直角坐标系中，直线的倾斜角的大小是____ _______【答案】0【解析】∵直线平行x轴，∴直线的倾斜角的大小是0【考点】本题考查了倾斜角的概念点评：掌握倾斜角的概念及范围是解决此类问题的关键，应用时还可根据图象判断。
8.（）直线的倾斜角为A．B．C．D．【答案】C.【解析】因为直线的斜率为,所以此直线的倾斜角..【考点】直线的倾斜角与斜率的关系.点评：除倾斜角为外，倾斜角与斜率是一一对应的关系，因而求直线的倾斜角可通过求直线的斜率再求倾斜角即可.9.若直线过点，则此直线的倾斜角是【答案】【解析】由两点间的斜率公式知该直线的斜率为，所以该直线的倾斜角为【考点】本小题主要考查两点间斜率公式的应用和特殊角的三角函数值的应用.点评：直线倾斜角的正切值是该直线的斜率，还要注意到直线的倾斜角的取值范围为. 10.(本小题12分)已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3, 且过定点A(-3,4). 求直线l的方程.【答案】2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.【解析】先分析已知中给出一个点，然后设斜率为k，那么点斜式得到直线的方程，结合面积公式得到结论。
高一数学必修二《直线的倾斜角与斜率》经典例题
第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率3.1.1倾斜角与斜率一、基础达标1．下列说法中，正确的是() A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan αB．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αC．若直线的倾斜角为α，则sin α>0D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α答案 D解析对于A，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B，虽然直线的斜率为tan α，但只有0°≤α<180°时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C，当直线平行于x轴时，α＝0°，sin α＝0，故C不正确，故选D. 2．若A、B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是() A．45°，1 B．135°，－1C．90°，不存在D．180°，不存在答案 C解析由于A、B两点的横坐标相等，所以直线与x轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在．故选C.3．(2014·乌鲁木齐高一检测)过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于()A．1 B．5C．－1 D．－5答案 D解析由斜率公式可得：y＋34－2＝tan 135°，∴y＋32＝－1，∴y＝－5.∴选D.4．直线l 过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．0°≤α≤90°B ．90°≤α<180°C ．90°≤α<180°或α＝0°D ．90°≤α≤135°答案 C解析 倾斜角的取值范围为0°≤α<180°，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略x 轴和y 轴．5．斜率为2的直线经过点A (3,5)、B (a,7)、C (－1，b )三点，则a 、b 的值为( ) A ．a ＝4，b ＝0 B ．a ＝－4，b ＝－3 C ．a ＝4，b ＝－3 D ．a ＝－4，b ＝3 答案 C解析 由题意，得⎩⎨⎧k AC ＝2，k AB ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧b －5－1－3＝2，7－5a －3＝2.解得a ＝4，b ＝－3.6．如果过点(－2，m )和Q (m,4)的直线的斜率等于1，则m ＝________. 答案 1解析 由斜率公式知4－mm ＋2＝1，解得m ＝1.7．已知直线l 上两点A (－2,3)，B (3，－2)，求其斜率．若点C (a ，b )在直线l 上，求a ，b 间应满足的关系，并求当a ＝12时，b 的值． 解 由斜率公式得k AB ＝－2－33＋2＝－1. ∴C 在l 上，k AC ＝－1，即b －3a ＋2＝－1. ∴a ＋b －1＝0.当a ＝12时，b ＝1－a ＝12. 二、能力提升8．在平面直角坐标系中，正三角形ABC 的边BC 所在直线的斜率是0，则AC ，AB 所在直线的斜率之和为( )A．－2 3 B．0C. 3 D．2 3答案 B解析由题意知，AB，AC所在直线的倾斜角分别为60°，120°，所以tan 60°＋tan 120°＝3＋(－3)＝0.9．(2014·合肥高一检测)若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为________．答案(－2,1)解析∵k＝a－1a＋2且直线的倾斜角为钝角，∴a－1a＋2<0，解得－2<a<1.10．直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是________．答案[0,2]解析如图，当直线l在l1位置时，k＝tan 0°＝0；当直线l在l2位置时，k＝2－01－0＝2.故直线l的斜率的取值范围是[0,2]．11．过点M(0，－3)的直线l与以点A(3,0)，B(－4,1)为端点的线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．解如图所示，(1)直线l过点A(3,0)时，即为直线MA，倾斜角α1为最小值．∵tan α1＝0－(－3)3－0＝1，∴α1＝45°.(2)直线l过点B(－4,1)时，即为直线MB，倾斜角α2为最大值，∵tan α2＝1－(－3)－4－0＝－1，∴α2＝135°.所以直线l 倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°. 当α＝90°时，直线l 的斜率不存在；当45°≤α<90°时，直线l 的斜率k ＝tan α≥1； 当90°<α≤135°时，直线l 的斜率k ＝tan α≤－1. 所以直线l 的斜率k 的取值范围是 (－∞，－1]∪[1，＋∞)． 三、探究与创新12．已知A (－1,1)，B (1,1)，C (2，3＋1)， (1)求直线AB 和AC 的斜率；(2)若点D 在线段AB (包括端点)上移动时，求直线CD 的斜率的变化范围． 解 (1)由斜率公式得 k AB ＝1－11－(－1)＝0，k AC ＝3＋1－12－(－1)＝33.(2)如图所示． k BC ＝3＋1－12－1＝ 3.设直线CD 的斜率为k ，当斜率k 变化时，直线CD 绕C 点旋转，当直线CD 由CA 逆时针方向旋转到CB 时，直线CD 与AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时k 由k CA 增大到k CB ，所以k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3.13．光线从点A (2,1)射到y 轴上的点Q ，经y 轴反射后过点B (4,3)，试求点Q 的坐标及入射光线的斜率．解 法一 设Q (0，y )，则由题意得k QA ＝－k QB .∵k QA＝1－y2，k QB＝3－y4，∴1－y2＝－3－y4.解得y＝53，即点Q的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，53，∴k入＝k QA＝1－y2＝－13.法二如图，点B(4,3)关于y轴的对称点为B′(－4,3)，k AB′＝1－32＋4＝－13，由题意得，A、Q、B′三点共线．从而入射光线的斜率为k AQ＝k AB′＝－1 3.设Q(0，y)，则k入＝k QA＝1－y2＝－13.解得y＝53，即点Q的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，53.。
2-1 直线的倾斜角与斜率(精练)(解析版)
2.1 直线的倾斜角与斜率（精练）【题组一 直线的倾斜角】1．（2021·浙江）直线0x y -=的倾斜角为（ ） A ．45︒ B ．60︒C ．90︒D ．135︒【答案】A【解析】由题意直线斜率为1，而倾斜角大于或等于0︒且不大于180︒，所以倾斜角为45︒．故选：A ．2．（2021·江西景德镇市）直线103x y +-=的倾斜角为（ ） A ．30 B ．60︒ C ．120︒D ．150︒【答案】D10y +-=的斜率=k -tan [0,180)o o k θθ∴==∈，∴150θ︒=.故选：D3．（2021·全国高二课时练习）已知直线l 的倾斜角为10°，直线l 1//l ，直线l 2⊥l ，则l 1与l 2的倾斜角分别为（ ） A ．10°，10° B ．80°，80° C ．10°，100° D ．100°，10°【答案】C【解析】∵l 1//l ，∴它们的倾斜角相等，即l 1的倾斜角为10°， ∵l 2⊥l ，若l 2的倾斜角为θ，则tan10tan 1θ︒⋅=-，∴tan cot10tan800θ=-︒=-︒<，即90180θ︒<<︒，∴100θ=︒.故选：C.4．（2021·全国高二课时练习）(多选)若直线l 的向上的方向与y 轴的正方向成30°角，则直线l 的倾斜角可能为（ ） A ．30° B ．60°C ．120°D ．150°【答案】BC【解析】y 轴正方向对应的直线的倾斜角为90︒，因此所求直线的倾斜角为60︒或120︒． 故选：BC ．5．（2021·全国高二课时练习）(多选)若经过A (1-a ，1+a )和B (3，a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的值不可能为（ ） A ．3-B ．2-C ．1D ．2【答案】AB 【解析】解析：k AB =11132a a a a+-=----<0，即2+a >0，所以a >2-，CD 满足．故选：AB ．6．（2021·安徽滁州市·定远二中高二开学考试）直线()21230a x ay +--=的倾斜角的取值范围是（ ）A ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．30,,424πππ⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D ．3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ 【答案】A【解析】设直线()21230a x ay +--=的倾斜角为θ， 当0a =时，2πθ=；当0a ≠时，则2111tan (,1][1,)22a a a a θ+⎛⎫==+∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭． 因为0θπ≤<所以3,,4224ππππθ⎡⎫⎛⎤∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦综上可得：3,44ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选：A7．（2021·山东）若斜率(,[1k ∈-∞，)+∞，求倾斜角α的范围 . 【答案】2[,)(,)4223ππππ【解析】[0α∈，)π，则tan k α=，斜率(,[1k ∈-∞，)+∞，(,k ∈-∞时，2,23ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，[1,)∈+∞k 时，[,)42ππα∈， 2[,)(,)4223ππππα∴∈， 故答案为：2[,)(,)4223ππππ． 8．（2021·全国高二课时练习）a 为何值时，过点(2,3)A a ，(2,1)B -的直线的倾斜角是锐角？是钝角？是直角？【答案】当1a >时，直线的倾斜角为锐角；当1a <时，直线的倾斜角为钝角；当1a =时，直线的倾斜角为直角.【解析】当横坐标相等时，即22a =，即1a =时，直线AB 的斜率不存在，直线的倾斜角为直角； 当横坐标不相等时，即当1a ≠时，132221AB k a a --==--，若直线的倾斜角α是锐角，则2tan 01AB k a α==>-，即10a ->，得1a >； 若直线的倾斜角α是钝角，则2tan 01AB k a α==<-，即10a -<，得1a <. 综上，当1a >时，直线的倾斜角为锐角；当1a <时，直线的倾斜角为钝角；当1a =时，直线的倾斜角为角. 【题组二 直线的斜率】1．（2021·江西吉安市）下列命题正确的是（ ） ①直线倾斜角的范围是[)0,180︒︒； ②斜率相等的两条直线的倾斜角一定相等； ③任何一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角； ④任何一条直线都有倾斜角和斜率． A ．①② B ．①④C ．①②④D ．①②③【答案】A【解析】对于①中，根据直线倾斜角的定义，可知直线倾斜角的范围是[)0,180︒︒，所以是正确的； 对于②中，根据直线的斜率与倾斜角的关系，可得tan k α=， 当12k k =时，可得tan tan αβ=，则αβ=，所以是正确的；对于③中，由任何一条直线一定有倾斜角，但不都有斜率，所以不正确； 对于④中，任何一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，所以不正确． 故选: A.2．（2021·广西南宁市）过点()2,M m -，(),4N m 的直线的斜率等于1，则m 的值为（ ） A ．1 B ．4C ．1或3D ．1或4【答案】A 【解析】由题得41,12mm m -=∴=+.故选：A 3．（2021·全国高一课时练习）已知两点()3,4A -，()3,2B ，直线l 经过点()2,1P -且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是______． 【答案】3k ≥或1k ≤- 【解析】如图所示：因为直线l 经过点()2,1P -且与线段AB 相交，所以直线l 的倾斜角介于直线PB 与直线PA 的倾斜角之间， 当直线l 的倾斜角小于90时，有PB k k ≥； 当直线l 的倾斜角大于90时，有PA k k ≤， 由直线的斜率公式可得，()()41211,33232PA PB k k ----==-==---，所以直线l 的斜率k 的取值范围为3k ≥或1k ≤-. 故答案为：3k ≥或1k ≤-4．（2021·全国=课时练习）若三点 ()3,1A ，()2,B b -，()8,11C 在同一直线上，则实数 b = _______． 【答案】9- 【解析】三点 ()3,1A ，()2,B b -，()8,11C 在同一直线上，∴AB AC k k =，即11118323b --=---，解得9b =-.故答案为9-. 5．（2021·全国高二课时练习）若A (a ，0)，B (0，b )，C (2-，2-)三点共线，则11a b+=________. 【答案】12-【解析】由题意得2222b a +=+，ab +2(a +b )=0，1112a b +=-．故答案为：12-．6．（2021·陕西西安市）若θ是直线l 的倾斜角，且sin cos 5θθ+=，则l 的斜率为 【答案】-2【解析】因为sin cos 5θθ+=，① 所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝15， 所以2sin θcos θ＝405-<， 所以(sin θ－cos θ)2＝95，由于[)0,θπ∈，所以sin θ>0，cos θ<0，所以sin θ－cos θ，②由①②解得sin 5cos θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以tan θ＝2-，即l 的斜率为2-.7．（2021·全国高二课时练习）已知点A (1，0)，B (2，C (m ，2m )，若直线AC 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的2倍，则实数m 的值为________.【答案】3【解析】设直线AB 的倾斜角为α，则直线AC 的倾斜角为2α，又tan α=，0°≤α<180°，所以α=60°，2α=120°， 所以k AC =21mm -=tan120°=，得m=3.故答案为：38．（2021·全国高二课时练习）直线l 1的斜率为k 1l 2的倾斜角为l 1的12，则直线l 1与l 2的倾斜角之和为________. 【答案】90°【解析】因为l 1的斜率k 160°. 又l 1的倾斜角为l 1的12，所以l 2的倾斜角为30°， 所以l 1与l 2的倾斜角之和为60°+30°=90°.故答案为：90°．9．（2021·全国高二课时练习）求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角． （1）(1,1)，(2,4)；（2）(－3,5)，(0,2)； （3）(2,3)，(2,5)；（4）(3,－2)，(6,－2)．【答案】（1）3，锐角；（2）－1，钝角；（3）k 不存在，倾斜角是90°；（4）0，倾斜角为0°． 【解析】（1）413021k -==>-，所以倾斜角是锐角； （2）25100(3)k -==-<--，所以倾斜角是钝角；（3）由x 1＝x 2＝2知：k 不存在，倾斜角是90°； （4）2(2)063k ---==-，所以倾斜角为0°．【题组三 直线平行】1．（2021·浙江宁波市·高二期末）已知两条不重合直线1l ，2l ，则“12//l l ”是“1l ，2l 的斜率相等”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为两条直线1l 与2l 不重合，当1l 与2l 都与x 轴垂直时，有12//l l ，但它们没有斜率， 所以有12//l l 不一定得到1l ，2l 的斜率相等；当1l ，2l 的斜率相等时，它们的倾斜角相等，所以它们平行， 即有1l ，2l 的斜率相等一定能够得到12//l l ，所以两条不重合直线1l ，2l ，则“12//l l ”是“1l ，2l 的斜率相等”的必要不充分条件. 故选：B.2．（2021·北京高三期末）若关于x ，y 的方程组4210210x y x ay ++=⎧⎨++=⎩，(R)a ∈无解，则=a （ ）A ．2 BC ．1D ．2【答案】C【解析】可得方程组无解，等价于直线4210x y ++=和直线210x ay ++=平行， 则42121a =≠，解得1a =.故选：C. 3．（2021·浙江）已知直线1:(25)20l ax a y +--=，直线2:(32)40l a x ay ---=，若12l l //，则实数a =______． 【答案】57【解析】∵12l l //，有()(25)(32)0a a a a ----=， ∴(2)(75)0a a --=，解得2a =或57a =， 当2a =时，1:220--=l x y ，2:4240l x y --=，即1l 、2l 为同一条直线；当57a =时，1525:2077l x y --=，215:4077l x y --=，即12l l //； ∴57a =，故答案为：574．（2021·江西九江市）若直线1l ：420ax y +-=与2l ：10x ay a +--=平行，则实数a 的值为_________. 【答案】2 【解析】由4211a a a =≠+，得2a =.故答案为：2． 5．（2021·陕西榆林市）已知直线1:320l x y +-=与2:630l x ay +-=平行，则a =__________. 【答案】2【解析】因为直线1:320l x y +-=与2:630l x ay +-=平行，所以23361a -=≠-，解得2a =. 此时1:320l x y +-=与2:6230l x y +-=显然平行.故答案为：2.6．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三月考（文））已知直线1l ：()210ax a y +++=，2l ：20x ay ++=，a R ∈，若12//l l ，则a =___________.【答案】1-或2【解析】∵12//l l ，∴220a a --= ，解得：2a =或1a =- ， 检验，当2a =时，1l ：2410x y ++=，2l ：220x y ++=满足题意； 当1a =-时，1l ：10x y -++=，2l ：20x y -+=满足题意 故答案为：2或1-7（2021·陕西渭南市）在平面直角坐标系中，若直线370x ay +-=与直线60x y ++=将平面划分成3个部分，则a =________. 【答案】3【解析】由题可得直线370x ay +-=与直线60x y ++=互相平行，37116a -∴=≠，解得3a =.故答案为：3. 【题组四 直线垂直】1．（2021·陕西宝鸡市）设直线1:10l kx y ++=，2:(1)210l k x y --+=，若12l l ⊥，则k =（ ）A ．1-B ．1-或2C ．2D ．0【答案】B【解析】由12l l ⊥，则()()1120k k -+⨯-=，即220--=k k ，解得2k =或1k =-故选：B2．（2021·陕西宝鸡市）已知过点(2,)A m -和点(,4)B m 的直线为1l ，2:210l x y +-=，3:10l x ny ++=．若12l l //，23l l ⊥，则m n +的值为A ．10-B ．2-C ．0D ．8【答案】A【解析】∵l 1∥l 2，∴k AB ＝42mm -+＝－2，解得m ＝－8． 又∵l 2⊥l 3，∴1n-×(－2)＝－1，解得n ＝－2，∴m ＋n ＝－10．故选A ． 3．（2021·江西省万载中学）直线()230m x my ++-=与直线30x my --=垂直，则m 为___________. 【答案】1-或2【解析】因为直线()230m x my ++-=与直线30x my --=垂直， 所以()()210m m m +⨯+⨯-=，解得1m =-或2m =故答案为：1-或24．（2021·山西）已知直线20ax y a -+=和(21)0a x ay a -++=互相垂直，则a =__． 【答案】0或1【解析】当0a =时，两直线分别为0y =、0x =，满足垂直这个条件， 当0a ≠时，两直线的斜率分别为a 和12a a -，由斜率之积为1-有：121aa a-⋅=-，解得1a =． 综上，0a =或1a =． 故答案为：0或1．5．（2021·浙江）已知直线1:32l mx y m +=-，2:(2)1l x m y ++=. 若12l l //，则实数m =_________；若12l l ⊥，则实数m =_________. 【答案】3- 32-【解析】因为直线1:32l mx y m +=-，()2:21l x m y ++=， 所以当12l l //时，()2310m m +-⨯=,解得3m =-或1m =， 当1m =时，两直线重合，不合题意，故实数3m =-， 当12l l ⊥，则()320m m ++=，解得32m =-， 故答案为33,2--. 6．（2021·全国高二课时练习）已知两条直线l 1，l 2的斜率是方程3x 2＋mx －3＝0(m ∈R )的两个根，则l 1与l 2的位置关系是【答案】垂直【解析】解析由方程3x 2＋mx －3＝0，知∆＝m 2－4×3×(－3)＝m 2＋36>0恒成立．故方程有两相异实根，即l 1与l 2的斜率k 1，k 2均存在．设两根为x 1，x 2，则k 1k 2＝x 1x 2＝－1，所以l 1⊥l 2． 故选：B7．（2021·铜川市第一中学）直线0x ay a ++=与直线()2310ax a y --+=互相垂直，则实数a 的值为_________. 【答案】2或0【解析】当0a =时，直线为0x =，13y =-，满足条件； 当32a =时，直线为33022x y ++=，23x =-，显然两直线不垂直，不满足；当0a ≠且32a ≠时，因为两直线垂直，所以()230a a a --=，解得2a =， 综上0a =或2a =. 故答案为：2或0.8．（2021·全国高二课时练习）判断下列各对直线是否平行或垂直.（1）经过()2,3A ，()1,0B -两点的直线1l ，与经过点()1,0P 且斜率为1的直线2l ； （2）经过()3,1C ，()2,0D -两点的直线3l ，与经过点()1,4M -且斜率为5-的直线4l ． 【答案】（1）12l l //；（2）12l l ⊥. 【解析】（1）因为()130121l k -==--，所以121l l k k ==，又因为1l 过点()1,0B -，所以1l 一定不过点()1,0P ， 所以12l l //； （2）因为()1101325l k -==--，所以()121515l l k k ⋅=⋅-=-，所以12l l ⊥.【题组五 平行垂直在几何中的运用】1．（2020·全国高二课时练习）已知ABC ∆的顶点()2,1B ，()6,3C -，其垂心为()3,2H -，则其顶点A 的坐标为 A ．()19,62-- B ．()19,62-C ．()19,62-D ．()19,62【答案】A 【解析】H 为ABC ∆的垂心 AH BC ∴⊥，BH AC ⊥又311624BC k -==---，211325BH k -==---∴直线,AH AC 斜率存在且4AH k =，5AC k =设(),A x y ，则243356AH ACy k x y k x -⎧==⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩，解得：1962x y =-⎧⎨=-⎩ ()19,62A ∴--本题正确选项：A2．（2021·全国高二课时练习）以A(-1,1), B(2,-1), C(1,4)为顶点的三角形是A ．以A 点为直角顶点的直角三角形B ．以B 点为直角顶点的直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形【答案】A【解析】因为A(-1,1), B(2,-1), C(1,4)， 112413,213112AB AC k k ---∴==-==++， 1AB AC k k ∴⋅=-,AB AC A ∴⊥∠为直角，故选A.3．（2021·全国高二课时练习）设两直线()220m x y m +--+=，0x y +=与x 轴构成三角形，则m 的取值范围为______.【答案】{|2m m ≠±且}3m ≠-【解析】当直线()220m x y m +--+=，0x y +=及x 轴两两不平行，且不共点时，必围成三角形 当3m =-时，直线()220m x y m +--+=与直线0x y +=平行；当2m =-时，直线()220m x y m +--+=与x 轴平行；当2m =时，直线()220m x y m +--+=，0x y +=及x 轴都过原点；要使得两直线()220m x y m +--+=，0x y +=与x 轴构成三角形，则m 的取值范围为{|2m m ≠±且}3m ≠-故答案为：{|2m m ≠±且}3m ≠-4．（2021·全国高二课时练习）若不同两点P 、Q 的坐标分别为(a ，b )，(3－b,3－a )，则线段PQ 的垂直平分线的斜率为________．【答案】－1 【解析】313PQ b a k a b-+==∴-+ 线段PQ 的垂直平分线的斜率为－1. 5．（2020·全国高二课时练习）已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (2，4)，B (1，2)，C (－2，3)，则BC 边上的高AD 所在直线的斜率为________．【答案】3【解析】直线BC 的斜率为：32123k -=----＝ ， 即1BC AD BC AD k k ⊥∴⋅-．＝ ，则 3.AD k = 即答案为3.。
3.1直线 倾斜角和斜率 习题课.
（1）定义：X轴正向与直线L向上方向之间所成的角 叫做直线的倾斜角 当直线l与x轴平行或重合时，规定倾斜角为0o
（2）直线的倾斜角的取值范围为：0 180
（3）我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条
直线的斜率用小写字母 k 表 示，即：k tan
（4）倾斜角与斜率的关系
题型四、两条直线平行与垂直的关系
例6（金版 例1）判断下列各小题中的直线 l1与l2是 否平行或垂直 (1) l1经过点A（-1，-2），B（ 2，1）， l2 经过
点M，1），B（ 2，2） (3) l1的斜率为-10， l2经过点A(10，2)，B(20，3) (4) l1经过点A（ 3，4 ），B（ 3，100）， l2 经过
0 k tan 0 0
0 90 k tan 0
90
tan (不存在) k不存在
90 180 k tan 0
（5）直线的斜率公式：
经过两点 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) (x1 x2 )
的直线的斜率公式：
k y2 y1 (或k y1 y2 )
x2 x1
x1 x2
（6）两条直线平行
两条直线不重合,斜率都存在 L1// L2 k1=k2
两条直线有可能重合,斜率都存在
k1=k2 L1// L2或L1// L2重合
两条直线斜率都不存在，两直线平行 （7）两条直线垂直
点M （-10,40）N （10，40），
金版 跟踪训练
l1经过点A（3，a），B（ a-1，2）， l2 经过点C（1，2）D（-2，a+2）， (1) l1∥l2，求a的值 (2) l1⊥l2，求a的值
高三数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析
高三数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析1.直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为()A．(3,0)B．(－3,0)C．(0，－3)D．(0,3)【答案】D【解析】∵l1∥l2，且l1的斜率为2，∴l2的斜率为2，又l2过(－1,1)，∴l2的方程为y－1＝2(x＋1)，整理即得y＝2x＋3，令x＝0，即得P(0,3)．故选D．2.已知直线PQ的斜率为－，将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的斜率是________．【答案】【解析】由kPQ＝－得直线PQ的倾斜角为120°，将直线PQ绕点P顺时针旋转60°所得直线的倾斜角为60°，∴所得直线的斜率k＝tan60°＝.3.已知线段PQ两端点的坐标分别为(－1,1)、(2,2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，求m的取值范围．【答案】[－，]【解析】解法一：直线x＋my＋m＝0恒过点A(0，－1)，k AP ＝＝－2，kAQ＝＝，则－≥或－≤－2.∴－≤m≤且m≠0.又m＝0时，直线x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，∴所求m的取值范围是[－，]．解法二：过P、Q两点的直线方程为y－1＝ (x＋1)，即y＝x＋，代入x＋my＋m＝0，整理得x＝－，由已知－1≤－≤2，解得－≤m≤.即m的取值范围是[－，]．4.设M＝，N＝，则M与N的大小关系为()A．M>N B．M＝N C．M<N D．无法判断【答案】C【解析】设A(－2011,2012)，B(π2012，π2011)，C(π2014，π2013)，则有M＝＝kAB，N＝＝kAC，如图所示．则直线AB的倾斜角∠BDO和直线AC的倾斜角∠CEO均为锐角，且∠BDO<∠CEO，所以k AB <kAC，即M<N.5.已知椭圆的一个顶点为B(0，4)，离心率，直线交椭圆于M,N两点．（1）若直线的方程为y=x-4，求弦MN的长：（2）如果BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由椭圆顶点知，又离心率，且，所以，从而求得椭圆方程为，联立椭圆方程与直线消去得，，再根据弦长公式，可求得弦的长；（2）由题意可设线段的中点为，则根据三角形重心的性质知，可求得的坐标为，又设直线的方程为，根据中点公式得，又由点是椭圆上的点所以，两式相减整理得，从而可求出直线的方程.（1）由已知，且，.所以椭圆方程为. 4分由与联立，消去得，. 6分. 7分（2）椭圆右焦点的坐标为，设线段的中点为，由三角形重心的性质知，又，，故得.所以得的坐标为. 9分设直线的方程为，则，且，两式相减得. 11分，故直线的方程为. 13分【考点】1.椭圆方程；2.直线方程.6. 若圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为2，则直线l 的斜率的取值范围是________． 【答案】[2－，2＋]【解析】圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0可转化为(x －2)2＋(y －2)2＝(3)2，∴圆心的坐标为(2,2)，半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为2，则圆心到直线l 的距离应小于等于， ∴≤，∴2＋4＋1≤0，∴－2－≤≤－2＋，又直线l 的斜率k ＝－，∴2－≤k≤2＋，即直线l 的斜率的取值范围是[2－，2＋]．7. 已知椭圆C ：＝1(a ＞b ＞0)过点P(－1，－1)，c 为椭圆的半焦距，且c ＝b ．过点P 作两条互相垂直的直线l 1，l 2与椭圆C 分别交于另两点M ，N ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 1的斜率为－1，求△PMN 的面积；（3）若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程． 【答案】（1）;（2）2;（3）或． 【解析】（1）根据题意可得，且，加之的关系，可求得; （2）由于直线的斜率已确定，则可由其与椭圆方程联立方程组，求出点M 的坐标，因两直线垂直，故当时，用代替，进而求出点N 的坐标，得，再由两点间的距离公式求出：，即可求出的面积;（3）观察本题条件可用设而不求的方法处理此题，即设出点，两点均在椭圆上得：，观察此两式的结构特征是一致的，则将两式相减得， 由题中条件线段的中点在x 轴上，所以，从而可得，此式表明两点横坐标的关系：可能相等;可能互为相反数，分两种情况分类讨论：当时，再利用，可转化为，进一步确定出两点的坐标或，即可求出直线的方程为;同理当，求出直线的方程为． 试题解析：（1）由条件得，且，所以，解得．所以椭圆方程为：． 3分 （2）设方程为，联立,消去得．因为，解得．5分当时，用代替，得． 7分将代入，得． 因为，所以，所以的面积为． 9分（3）设，则两式相减得，因为线段的中点在x轴上，所以，从而可得．12分若，则．因为，所以，得．又因为，所以解得，所以或．所以直线的方程为． 14分若，则，因为，所以，得．又因为，所以解得，经检验：满足条件，不满足条件．综上，直线的方程为或． 16分【考点】1.椭圆方程;2.直线与椭圆的位置关系8.在直角坐标系中，直线y＝－x＋1的倾斜角为____________．【答案】【解析】∵ tanα＝k＝－，又α∈[0，π)，∴ α＝.9.已知点A(－，1)，点B在y轴上，直线AB的倾斜角为，求点B的坐标．【答案】(0，－2)【解析】B点的坐标设为(0，y)，再利用k＝tanθ以及两点求斜率公式tan120°＝，得y＝－2，所以B的坐标为(0，－2)．10.直线xcosθ＋y＋2＝0的倾斜角的范围是________．【答案】∪【解析】由题知k＝－cosθ，故k∈，结合正切函数的图象，当k∈时，直线倾斜角α∈，当k∈时，直线倾斜角α∈，故直线的倾斜角的范围是∪.11.若经过点P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围是________．【答案】(－∞，－2)∪(1，＋∞)【解析】由条件知直线的斜率存在，由公式得k＝，因为倾斜角为锐角，所以k>0，解得a>1或a<－2.所以a的取值范围是{a|a>1或a<－2}．12.过点M(-,),N(-,)的直线的倾斜角是()A．πB．C．D．【答案】B【解析】由斜率公式得k==1.又倾斜角范围为[0,π),∴倾斜角为.13.直线xcos140°+ysin140°=0的倾斜角是()A．40°B．50°C．130°D．140°【答案】B【解析】选∵直线xcos 140°+ysin 140°=0的斜率k=-=-=-==="tan" 50°,∴直线xcos140°+ysin140°=0的倾斜角为50°.14.已知直线l的倾斜角为π,直线l1经过点A(3,2)和B(a,-1),且直线l1与直线l垂直,直线l2的方程为2x+by+1=0,且直线l2与直线l1平行,则a+b等于.【答案】-2【解析】由直线l的倾斜角得l的斜率为-1,l1的斜率为.∵直线l与l1垂直,∴=1,得a=0.又∵直线l2的斜率为-,l1∥l2,∴-=1,b=-2.因此a+b=-2.15.直线的法向量是. 若，则直线的倾斜角为 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】直线的法向量为，方向向量为或，而其斜率为，因此本题中直线斜率为，(为直线的倾斜角)，由于，，所以，选B．【考点】直线方程与法向量，直线的倾斜角与斜率．16.与直线x+y-1=0垂直的直线的倾斜角为________．【答案】【解析】所求直线的斜率，∴．【考点】１、平面内两条直线的位置关系；2、斜率的定义.17.已知直线与直线垂直，则直线的倾斜角 .【答案】或.【解析】由于直线的斜率为，由于两条直线相互垂直，两条直线的斜率的乘积为，故所求直线的斜率为，所以.【考点】1.直线垂直；2.直线的倾斜角与斜率18.定义在上的函数是减函数，且函数的图象关于成中心对称，若满足不等式.则当时，的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因函数的图象关于成中心对称，故函数的图像关于原点对称，即为奇函数且单调递减，故等价于，画出可行域，根据的几何含义为原点与点的斜率可知其范围为.【考点】1.函数的性质； 2.斜率.19.已知是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上关于轴对称的两点，直线的斜率分别为，且。
直线的倾斜角与斜率——解答(基础题)
直线的倾斜角与斜率——解答（基础题）一．解答题（共50小题）1．已知两直线L1：（m+3）x+5y=5﹣3m，L2：2x+（m+6）y=8，当m为何值时，L1与L2，（1）相交，（2）平行，（3）重合，（4）垂直．2．已知直线x+2y=6和两坐标轴交于A，B两点，求AB线段垂直平分线的方程．3．已知射线l1：y=4x（x≥0）和点P（6，4），试在l1上求一点Q使得PQ所在直线l和l1以及直线y=0在第一象限围成的面积达到最小值，并写出此时直线l 的方程．4．已知空间四边形ABCD，AB=AC，DB=DC，E是BC的中点．求证：BC⊥AD．5．判断点P（﹣2，3）、Q（4，2）是否为直线y=x上的点．6．已知直线过点P（3，2），且倾斜角为45°，求其与x，y轴相交的三角形面积．7．已知一次函数y=（2a+4）x+b﹣3（1）当a为何值时，函数随着x的增大而减小？（2）当a，b为何值时，函数图象经过第一、三、四象限？8．已知a，b，c是互不相等的实数，求经过下列每两个点的直线的倾斜角（1）A（a，c），B（b，c）；（2）A（a，b），B（a，c）；（3）A（b，b+c），B（a，a+c）9．求经过两点A，B的直线的斜率和倾斜角，并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角．（1）A（2，3），B（4，7）；（2）A（﹣2，﹣2），B（1，﹣3）；（3）A（m，2m+），B（2m﹣1，3m），其中m∈R．10．已知直线过点（1，﹣2），且它的倾斜角等于y=x+4倾斜角的2倍，求该直线的方程．11．已知点A（m，2），B（﹣m，2m﹣1）（m≠0）直线AB的倾斜角为α．（1）当45°＜α＜60°时，求m的取值范围；（2）当120°＜α＜135°时，求m的取值范围．12．设点A（﹣2，3），B（2，4），直线l过点P（﹣1，1），且与线段AB相交，求直线l的斜率的取值范围．13．已知3x+5y+14=0，其中x∈[﹣3，2]，求：||的最小值．14．已知点A（3，﹣1）、B（﹣2，1）、C（x，0）在一条直线上，求x的值．15．已知A（0，4），B（﹣1，2），C（1，6），求证：A，B，C三点共线．16．如果A（1，﹣2）、B（4，a）、C（﹣2，a﹣1）在同一条直线上，求a的值．17．若A（7，a），B（b，﹣1），C（2，5）三点都在倾斜角为45°的直线上，求a、b的值．18．如图所示，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DM=CD，延长BE至N使BE=EN．求证：M，A，N三点共线．19．已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，对角线A′C与平面BC′D交于点O，AC、BD 交于M，求证：C′、O、M共线．20．若点P（x，1）在过A（2，4）B（5，11）两点的直线上，求x的值．21．判断下列各小题中的直线l1与l2是平行还是垂直：（1）l1经过点A（0，1），B（1，0），l2经过点M（﹣1，3），N（2，0）；（2）l1经过点A（﹣1，﹣2），B（1，2），l2经过点M（﹣2，﹣1），（0，﹣2）；（3）l1经过点A（1，3），B（1，﹣4），l2经过点M（2，1），N（2，3）；（4）l1经过点A（3，2），B（3，﹣1），l2经过M（1，1），N（2，1）22．已知A（﹣4，3）、B（2，5）、C（6，3）、D（﹣3，0）四点，若顺次连接A、B、C、D四点，试判定图形ABCD的形状．23．已知两条直线l1：mx+y=m+1，l2：x+my=2m，分别求出满足下列条件的实数m的取值范围．（1）l1与l2相交；（2）l1∥l2；（3）l1与l2重合．24．已知：A（2，5），B（6，﹣1），C（9，1），求证：AB⊥BC．25．已知三条直线的方程分别为：2x﹣y+4=0，x﹣y+5=0与2mx﹣3y+12=0，若三条直线能围成直角三角形，求实数m的值．26．已知直线l：2ax+ty+3a=0（t≠0，a∈R）经过点（1，﹣1），求直线l的倾斜角α（结果精确到1°）27．经过点P（0，﹣1）作直线l，若直线l与连接A（1，﹣2）、B（2，1）的线段总有公共点．（1）求直线l斜率k的范围；（2）直线l倾斜角α的范围．28．已知直线l：ay=（3a﹣1）x﹣1．（1）求证：无论a为何值，直线l总过第三象限；（2）a取何值时，直线l不过第二象限？29．求经过A（m，3），B（1，2）两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围．30．已知平面上三点A、B、C，向量，．（Ⅰ）若A、B、C三点共线，求k的值；（Ⅱ）若在△ABC中，∠B=90°，求k的值．31．已知A（1，1），B（3，﹣1），C（a，b）（1）若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；（2）若=2，求点C的坐标．32．直线x﹣y+1=0的倾斜角为．33．已知A（1，2）、B（4，a），且直线AB的倾斜角为135°，求a的值．34．已知△ABC三个顶点坐标分别为A（1，2），B（3，1），C（﹣1，﹣1）．（1）求BC边上的高线所在的直线方程；（2）求BC边上的中线所在的直线方程．35．已知两点A（﹣3，4），B（3，2），过点P（2，﹣1）的直线l与线段AB有公共点．（1）求直线l的斜率的取值范围；（2）求直线l的倾斜角的范围．36．过定点A（8，6）的四条直线，其倾斜角之比为1：2：3：4，第二条直线方程是3x﹣4y=0，求其余三条直线的方程．37．求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角．（1）P1（1，3），P2（4，6）；（2）Q1（﹣1，6），Q2（﹣1，3）．38．已知两点A（2，﹣3），B（3，0），过点P（﹣1，2）的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l斜率k的取值范围．39．求直线3x﹣2y+24=0的斜率及它在x、y轴上的截距．40．如图，直线l1，l2，l3，都经过点P（3，2），又l1，l2，l3分别经过点Q1（﹣2，﹣1），Q2（4，﹣2），Q3（﹣3，2），试计算直线l1，l2，l3的斜率．41．过两点A（3﹣m﹣m2，﹣2m），B（m2+2，3﹣m2）的直线的倾斜角为135°，求m的值．42．分别求满足下列条件的直线l的方程：（1）过点A（0，2），且直线l的倾斜角的正弦值是0.5；（2）过点A（2，1），且直线l的倾斜角是直线l1：3x+4y+5=0的倾斜角的一半．43．已知直线l1：ax+y+a﹣1=0不经过第一象限，且l1⊥l2（1）求证：直线l1恒过定点；（2）求直线l2倾斜角的取值范围．44．已知A（﹣1，2）、B（m，3）（1）求直线AB的斜率k和倾斜角α；（2）已知实数m∈[﹣﹣1，0]，求直线AB的倾斜角α的取值范围．45．已知四边形MNPQ的顶点M（1，1），N（3，﹣1），P（4，0），Q（2，2），（1）求斜率k MN与斜率k PQ；（2）求证：四边形MNPQ为矩形．46．求m为何值时，这三条直线l1：4x+y=4，l2：mx+y=0，l3：2x﹣3my=4，不能构成三角形．47．设直线4x﹣3y+12=0的倾斜角为A（1）求tan2A的值；（2）求cos（﹣A）的值．48．已知A（2，1），B（0，2）且过点P（1，﹣1）的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．49．已知点A（﹣2，3），B（3，2），过点P（0，﹣2）的直线L与线段AB有公共点，求直线L的斜率k的取值范围．50．已知直线l1：x+my+6=0，l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，求：（1）若l1⊥l2，求m的值；（2）若l1∥l2，求m的值．直线的倾斜角与斜率——解答（基础题）参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．（2010•广东模拟）已知两直线L1：（m+3）x+5y=5﹣3m，L2：2x+（m+6）y=8，当m为何值时，L1与L2，（1）相交，（2）平行，（3）重合，（4）垂直．【解答】解：（1）当m=﹣6时，直线L1方程为﹣3x+5y=23，L2方程为x=4，显然两直线相交；当m≠﹣6时，由解得m≠﹣1，m≠﹣8，所以m≠﹣1，m≠﹣8时直线L1与L2相交．（2）由（1）知当m=﹣6时，直线L1与L2相交；当m≠﹣6时，由得m=﹣1（舍去），或m=﹣8，所以m=﹣8时直线L1与L2平行．（3）由得m=﹣1，所以m=﹣1时直线L1与L2重合．（4）由2（m+3）+5（m+6）=0得m=﹣，所以m=﹣时直线L1与L2垂直．2．（2010秋•嘉峪关校级期末）已知直线x+2y=6和两坐标轴交于A，B两点，求AB线段垂直平分线的方程．【解答】解：∵直线x+2y=6和两坐标轴交于A，B两点，∴A（6，0）、B（0，3），∴AB的中点为C（3，），且AB的斜率等于=﹣，故AB线段垂直平分线的斜率等于2，故AB线段垂直平分线的方程为y﹣=2（x﹣3），即4x﹣2y﹣9=0，故AB线段垂直平分线的方程为4x﹣2y﹣9=0．3．（2013春•青羊区校级月考）已知射线l1：y=4x（x≥0）和点P（6，4），试在l1上求一点Q使得PQ所在直线l和l1以及直线y=0在第一象限围成的面积达到最小值，并写出此时直线l的方程．【解答】解：设点Q坐标为（a，4a），PQ与x轴正半轴相交于M点．由题意可得a＞1，否则不能围成一个三角形．PQ所在的直线方程为：，令，∵a＞1，∴，则=，当且仅当（a﹣1）2=1取等号．所以a=2时，Q点坐标为（2，8）；PQ直线方程为：x+y﹣10=0．4．（2014秋•秦州区校级期末）已知空间四边形ABCD，AB=AC，DB=DC，E是BC 的中点．求证：BC⊥AD．【解答】解：取BC的中点为E，∵AB=AC，∴AE⊥BC．∵DB=DC，∴DE⊥BC．这样，BC就和平面ADE内的两条相交直线AE、DE 垂直，∴BC⊥面ADE，∴BC⊥AD．5．判断点P（﹣2，3）、Q（4，2）是否为直线y=x上的点．【解答】解：当x=﹣2时，y=×（﹣2）=﹣1，则点P（﹣2，3）不是直线y= x上的点，当x=4时，y=×4=2，则点Q（4，2）是直线y=x上的点．6．已知直线过点P（3，2），且倾斜角为45°，求其与x，y轴相交的三角形面积．【解答】解：直线过点P（3，2），且倾斜角为45°，可得直线方程为：y﹣2=x﹣3，直线与坐标轴的交点为：（0，﹣1），（1，0）．直线与x，y轴相交的三角形面积：．7．已知一次函数y=（2a+4）x+b﹣3（1）当a为何值时，函数随着x的增大而减小？（2）当a，b为何值时，函数图象经过第一、三、四象限？【解答】解：（1）由题意，2a+4＜0，∴a＜﹣2；（2）∵函数图象经过第一、三、四象限，∴，∴a＞﹣2，b＜3．8．已知a，b，c是互不相等的实数，求经过下列每两个点的直线的倾斜角（1）A（a，c），B（b，c）；（2）A（a，b），B（a，c）；（3）A（b，b+c），B（a，a+c）【解答】解：（1）设直线的斜率为k，倾斜角为θ，则k==0，即tanθ=0，又0°≤θ＜180°，∴θ=0°；（2）设直线的斜率为k，倾斜角为θ，则k=不存在，即tanθ不存在，又0°≤θ＜180°，∴θ=90°；（3）设直线的斜率为k，倾斜角为θ，则k==1，即tanθ=1，又0°≤θ＜180°，∴θ=45°．9．求经过两点A，B的直线的斜率和倾斜角，并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角．（1）A（2，3），B（4，7）；（2）A（﹣2，﹣2），B（1，﹣3）；（3）A（m，2m+），B（2m﹣1，3m），其中m∈R．【解答】解：（1）∵A（2，3），B（4，7），∴k AB==2，∴直线AB的斜率为2，倾斜角为arctan2，是锐角；（2）∵A（﹣2，﹣2），B（1，﹣3），∴k AB==﹣，∴直线AB的斜率为﹣，倾斜角为π﹣arctan，是钝角；（3）∵A（m，2m+），B（2m﹣1，3m），∴k AB==，m=1时，直线AB的斜率不存在，倾斜角为，既不是锐角也不是钝角；m≠1时，直线AB的斜率为，倾斜角为，是锐角．10．已知直线过点（1，﹣2），且它的倾斜角等于y=x+4倾斜角的2倍，求该直线的方程．【解答】解：设直线y=x+4的倾斜角为α（0°≤α＜180°），则tanα=1，∴α=45°，∴所求直线的倾斜角为90°，又所求直线过点（1，﹣2），则直线方程为x=1．11．已知点A（m，2），B（﹣m，2m﹣1）（m≠0）直线AB的倾斜角为α．（1）当45°＜α＜60°时，求m的取值范围；（2）当120°＜α＜135°时，求m的取值范围．【解答】解：∵点A（m，2），B（﹣m，2m﹣1）（m≠0），直线AB的倾斜角为α，∴斜率k=tanα==﹣；（1）当45°＜α＜60°时，1＜tanα＜，即1＜﹣＜，化简得2＜＜1+，解得＜m＜；（2）当120°＜α＜135°时，﹣＜tanα＜﹣1，即﹣＜﹣＜﹣1，化简得1﹣＜＜0，解得﹣（+1）＜m＜0．12．设点A（﹣2，3），B（2，4），直线l过点P（﹣1，1），且与线段AB相交，求直线l的斜率的取值范围．【解答】解：直线AP的斜率k==﹣2，直线BP的斜率k==1．设L与线段AB交于M点，M由B出发向A移动，斜率越来越大，在某点处会AM平行y轴，此时无斜率．即k≥1，过了这点，斜率由﹣∞增大到直线BP的斜率﹣2．即k≤﹣2，直线l斜率取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．13．已知3x+5y+14=0，其中x∈[﹣3，2]，求：||的最小值．【解答】解：设k=，则k的几何意义为线段BC上的点与点A（﹣1，2）的斜率，当x=﹣3时，y=﹣1，即B（﹣3，﹣1），当x=2时，y=﹣4，即C（2，﹣4），则k AB==，k AC==﹣2，即k≥或k≤﹣2，当k＞0时，|k|≥，当k＜0时，|k|≥2，即||的最小值为．14．已知点A（3，﹣1）、B（﹣2，1）、C（x，0）在一条直线上，求x的值．【解答】解：若点A（3，﹣1）、B（﹣2，1）、C（x，0）在一条直线上，则=，解得：x=．15．已知A（0，4），B（﹣1，2），C（1，6），求证：A，B，C三点共线．【解答】证明：∵A（0，4），B（﹣1，2），C（1，6），∴=（﹣1，﹣2），=（1，2），∴=﹣，∴向量与共线；又、有公共点A，∴A，B，C三点共线．16．如果A（1，﹣2）、B（4，a）、C（﹣2，a﹣1）在同一条直线上，求a的值．【解答】解：k AB=，k AC=，∵三点A，B，C共线，∴k AB=k AC，∴=，解得a=﹣．17．若A（7，a），B（b，﹣1），C（2，5）三点都在倾斜角为45°的直线上，求a、b的值．【解答】解：由题意可得k AC==tan45°=1，解得a=10；同理可得k BC==tan45°=1，解得b=﹣4．∴a、b的值分别为10，﹣4．18．如图所示，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DM=CD，延长BE至N使BE=EN．求证：M，A，N三点共线．【解答】证明：由题意可得AE=EC，BE=EN，∠AEN=∠BEC，∴△AEN≌△CEB，∴∠EAN=∠ACB；同理可证△ADM≌△BDC，∴∠DAM=∠ABC，由三角形的内角和可得∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°∴∠EAN+∠DAM+∠BAC=180°∴M，A，N三点共线．19．已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，对角线A′C与平面BC′D交于点O，AC、BD 交于M，求证：C′、O、M共线．【解答】证明：如图，∵C′∈平面A1ACC′，且C′∈平面DBC′，∴C′是平面A1ACC′与平面DBC′的公共点，又∵M∈AC，∴M∈平面A′ACC′，∵M∈BD，∴M∈平面DBC′，∴M也是平面A′ACC′与平面DBC′的公共点，∴C′M是平面A′ACC′与平面DBC′交线，∵O是A′C与平面DBC′的交点，∴O∈平面A′ACC′，O∈平面DBC1，∴O也是平面A′ACC′与平面DBC′的公共点，∴O∈直线C′M，即C′，O，M三点共线．20．若点P（x，1）在过A（2，4）B（5，11）两点的直线上，求x的值．【解答】解：点P（x，1）在过A（2，4）B（5，11）两点的直线上，∴k AB=k AP即：=解得x=，故答案为：．21．判断下列各小题中的直线l1与l2是平行还是垂直：（1）l1经过点A（0，1），B（1，0），l2经过点M（﹣1，3），N（2，0）；（2）l1经过点A（﹣1，﹣2），B（1，2），l2经过点M（﹣2，﹣1），（0，﹣2）；（3）l1经过点A（1，3），B（1，﹣4），l2经过点M（2，1），N（2，3）；（4）l1经过点A（3，2），B（3，﹣1），l2经过M（1，1），N（2，1）【解答】解：（1）由题意和斜率公式可得l1的斜率k1==﹣1，l2斜率k2==﹣1，故两直线平行；（2）由题意和斜率公式可得l1的斜率k1==2，l2斜率k2==﹣，故两直线垂直；（3）由题意可得l1的无斜率，l2无斜率，故两直线平行；（4）由题意可得l1的无斜率，l2斜率为0，故两直线垂直．22．已知A（﹣4，3）、B（2，5）、C（6，3）、D（﹣3，0）四点，若顺次连接A、B、C、D四点，试判定图形ABCD的形状．【解答】解：∵=（6，2），=（9，3），∴，∴四边形ABCD是梯形．23．已知两条直线l1：mx+y=m+1，l2：x+my=2m，分别求出满足下列条件的实数m的取值范围．（1）l1与l2相交；（2）l1∥l2；（3）l1与l2重合．【解答】解：（1）∵直线l1：mx+y=m+1，l2：x+my=2m，∴令m2﹣1≠0，解得m≠±1，∴当m≠±1时，l1与l2相交；（2）令m2﹣1=0，解得m=±1；当m=1时，l1的方程为：x+y=2，l2的方程为x+y=2，l1与l2重合；当m=﹣1时，l1的方程为x﹣y=0，l2的方程为x﹣y=﹣2，此时l1∥l2；∴m=1时，l1与l2重合，m=﹣1时，l1∥l2．24．已知：A（2，5），B（6，﹣1），C（9，1），求证：AB⊥BC．【解答】证明：∵A（2，5），B（6，﹣1），C（9，1），∴=（4，﹣6），=（3，2），∴•=4×3+（﹣6）×2=0，∴⊥，∴AB⊥BC．25．已知三条直线的方程分别为：2x﹣y+4=0，x﹣y+5=0与2mx﹣3y+12=0，若三条直线能围成直角三角形，求实数m的值．【解答】解：∵直线a：2x﹣y+4=0，b：x﹣y+5=0与c：2mx﹣3y+12=0的斜率分别为k1=2，k2=1，k3=，∴若三条直线能围成直角三角形，则a⊥c，或b⊥c，即k1k3=2×=﹣1或k2k3==﹣1，解得m=或m=．26．（2006秋•卢湾区期末）已知直线l：2ax+ty+3a=0（t≠0，a∈R）经过点（1，﹣1），求直线l的倾斜角α（结果精确到1°）【解答】解：由直线l：2ax+ty+3a=0（t≠0，a∈R）经过点（1，﹣1），得2a﹣t+3a=0，所以t=5a，则l：2ax+5ay+3a=0，显然a≠0，所以直线l的斜率，即tanα=，得α=158°．27．（2010春•孝南区校级期末）经过点P（0，﹣1）作直线l，若直线l与连接A （1，﹣2）、B（2，1）的线段总有公共点．（1）求直线l斜率k的范围；（2）直线l倾斜角α的范围．【解答】解：（1）…（2分）…（4分）∵l与线段AB相交，∴k pA≤k≤k pB∴﹣1≤k≤1．…（8分）（2）由（1）知0≤tanα≤1或﹣1≤tanα＜0由于及均为增函数∴…（12分）28．（2010秋•瑞安市校级期中）已知直线l：ay=（3a﹣1）x﹣1．（1）求证：无论a为何值，直线l总过第三象限；（2）a取何值时，直线l不过第二象限？【解答】解：（1）证明：由直线l：ay=（3a﹣1）x﹣1，得a（3x﹣y）+（﹣x﹣1）=0，…（2分）由，得，所以直线l过定点（﹣1，﹣3），因此直线总过第三象限…（5分）．（2）直线l不过第二象限，应有斜率满足：k=≥0．∴a≥时直线l不过第二象限．…..（9分）29．（2011秋•路南区校级月考）求经过A（m，3），B（1，2）两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围．【解答】解：当m=1时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为α=90°．当m≠1时，由斜率公式可得k==．①当m＞1时，斜率k=＞0，所以直线的倾斜角的取值范围是0°＜α＜90°．②当m＜1时，斜率k=＜0，所以直线的倾斜角的取值范围是90°＜α＜180°．30．（2011秋•临川区校级月考）已知平面上三点A、B、C，向量，．（Ⅰ）若A、B、C三点共线，求k的值；（Ⅱ）若在△ABC中，∠B=90°，求k的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知，即有（2﹣k）×4﹣3×2=0，得；（6分）（Ⅱ），由已知，即有，得k（2﹣k）+3=0，k=﹣1或3．（12分）31．（2012秋•潮南区校级期末）已知A（1，1），B（3，﹣1），C（a，b）（1）若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；（2）若=2，求点C的坐标．【解答】解：（1）∵A（1，1），B（3，﹣1），C（a，b）∴=（2，﹣2），=（a﹣1，b﹣1）∵A（1，1），B（3，﹣1），C（a，b）三点共线∴∥∴﹣2（a﹣1）=2（b﹣1）即a=2﹣b．（2）若=2，即（a﹣1，b﹣1）=2（2，﹣2）所以a﹣1=4，b﹣1=﹣4，得a=5，b=﹣3点C的坐标（5，﹣3）．32．（2013秋•金阊区校级月考）直线x﹣y+1=0的倾斜角为60°．【解答】解：设直线x﹣y+1=0的倾斜角为θ．由直线x﹣y+1=0化为y=x+1，∴，∵θ∈[0°，180°）∴θ=60°．故答案为：60°．33．（2013春•广州校级月考）已知A（1，2）、B（4，a），且直线AB的倾斜角为135°，求a的值．【解答】解：由斜率的定义可知，k AB=tan135°=﹣tan45°=﹣1，由斜率公式可得k AB=，即=﹣1，解得a=﹣1．故a的值为：﹣1．34．（2013秋•小店区校级月考）已知△ABC三个顶点坐标分别为A（1，2），B （3，1），C（﹣1，﹣1）．（1）求BC边上的高线所在的直线方程；（2）求BC边上的中线所在的直线方程．【解答】解：（1）由题意可得直线BC的斜率k BC==，∴BC边上的高线所在的直线的斜率为﹣2，∴所求直线的方程为：y﹣2=﹣2（x﹣1），化为一般式可得：2x+y﹣4=0（2）∵B（3，1），C（﹣1，﹣1），∴BC的中点D的坐标为（1，0），∴BC边上的中线所在的直线方程为：x=135．（2014•江北区校级模拟）已知两点A（﹣3，4），B（3，2），过点P（2，﹣1）的直线l与线段AB有公共点．（1）求直线l的斜率的取值范围；（2）求直线l的倾斜角的范围．【解答】解：（1）∵=﹣1，=3，过点P（2，﹣1）的直线l与线段AB有公共点．∴k l≥3或k≤﹣1．（2）设直线l的倾斜角为θ，则tanθ≤﹣1或tanθ≥3．∴arctan3≤θ≤．36．（2014•江北区校级模拟）过定点A（8，6）的四条直线，其倾斜角之比为1：2：3：4，第二条直线方程是3x﹣4y=0，求其余三条直线的方程．【解答】解：∵四条直线的倾斜角之比为1：2：3：4，∴可设倾斜角分别为θ，2θ，3θ，4θ．∵tan2θ==，解得tanθ=．∴tan3θ===．tan4θ===．∴其余三条直线的方程分别为：y﹣6=（x﹣8），y﹣6=（x﹣8），y﹣6=（x ﹣8）．37．（2014秋•红花岗区校级期中）求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角．（1）P1（1，3），P2（4，6）；（2）Q1（﹣1，6），Q2（﹣1，3）．【解答】解：（1）∵P1（1，3），P2（4，6）；∴，则其倾斜角是45°，为锐角；（2）∵Q1（﹣1，6），Q2（﹣1，3）∴直线Q1Q2的斜率不存在，其倾斜角为90°，是直角．38．（2014春•深圳校级期中）已知两点A（2，﹣3），B（3，0），过点P（﹣1，2）的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l斜率k的取值范围．【解答】解：∵直线PA的斜率是，直线PB的斜率是．如图，∵直线l与线段AB始终有公共点，∴斜率k的取值范围是．39．（2014秋•渝中区校级期中）求直线3x﹣2y+24=0的斜率及它在x、y轴上的截距．【解答】解：∵直线3x﹣2y+24=0化成斜截式，得y=x+12∴直线的斜率k=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∵对直线3x﹣2y+24=0令y=0，得x=﹣8∴直线交x轴于点（﹣8，0），可得直线在x轴上截距是﹣8，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵对直线3x﹣2y+24=0令x=0，得y=12∴直线交y轴于点（0，12），可得直线在y轴上的截距为12．﹣﹣﹣﹣﹣（13分）40．（2014秋•沭阳县校级月考）如图，直线l1，l2，l3，都经过点P（3，2），又l1，l2，l3分别经过点Q1（﹣2，﹣1），Q2（4，﹣2），Q3（﹣3，2），试计算直线l1，l2，l3的斜率．【解答】解：（1）∵直线l1经过点P和Q1∴k1==（2）∵直线l3经过点P和Q2∴k2==﹣4（2）∵直线l3经过点P和Q3∴k3=041．（2015秋•曲沃县校级期末）过两点A（3﹣m﹣m2，﹣2m），B（m2+2，3﹣m2）的直线的倾斜角为135°，求m的值．【解答】解：依题意可得：直线的斜率为﹣1又直线过两点A（3﹣m﹣m2，﹣2m），B（m2+2，3﹣m2）即：整理的可求得m=﹣2 或m=﹣1经检验m=﹣1不合题意，故m=﹣2．42．（2015秋•贵溪市校级期中）分别求满足下列条件的直线l的方程：（1）过点A（0，2），且直线l的倾斜角的正弦值是0.5；（2）过点A（2，1），且直线l的倾斜角是直线l1：3x+4y+5=0的倾斜角的一半．【解答】解：、（1）设直线l的倾斜角为α，由题意知：，得α=30°，故得，所求的直线方程为，即：（2）设直线l和l1的倾斜角分别为α，β，由题意知：又，解得：tanα=3或（舍去）由点斜式得：y﹣1=3（x﹣2），故所求的直线方程为3x﹣y﹣5=0．43．（2015秋•遂宁校级月考）已知直线l1：ax+y+a﹣1=0不经过第一象限，且l1⊥l2（1）求证：直线l1恒过定点；（2）求直线l2倾斜角的取值范围．【解答】（1）证明：由ax+y+a﹣1=0，得a（x+1）+y﹣1=0，联立，解得．∴直线l1恒过定点（﹣1，1）；（2）解：如图，要使直线l1：ax+y+a﹣1=0不经过第一象限，则l1的倾斜角的范围为[90°，135°]，∵l1⊥l2，∴l2倾斜角的取值范围是[0°，45°]．44．（2015秋•徐汇区校级期中）已知A（﹣1，2）、B（m，3）（1）求直线AB的斜率k和倾斜角α；（2）已知实数m∈[﹣﹣1，0]，求直线AB的倾斜角α的取值范围．【解答】解：（1）当m=﹣1时，直线AB的斜率不存在，倾斜角为；当m≠﹣1时，，若m＞﹣1，则；若m＜﹣1，则（2）当m=﹣1时，直线AB的倾斜角为；当m≠﹣1时，，，综合得直线AB 的倾斜角α的取值范围为．45．（2015秋•湄潭县校级期中）已知四边形MNPQ的顶点M（1，1），N（3，﹣1），P（4，0），Q（2，2），（1）求斜率k MN与斜率k PQ；（2）求证：四边形MNPQ为矩形．【解答】解：（1）四边形MNPQ的顶点M（1，1），N（3，﹣1），P（4，0），Q （2，2），斜率k MN==﹣1斜率k PQ==﹣1．（2）证明：由（1）可知：k MN=k PQ；即有MN∥PQ，斜率k MQ==1斜率k PN==1．可知PN∥MQ，并且PQ⊥PN，所以，四边形MNPQ为矩形．46．（2015春•大竹县校级期中）求m为何值时，这三条直线l1：4x+y=4，l2：mx+y=0，l3：2x﹣3my=4，不能构成三角形．【解答】解：①当直线l1：4x+y﹣4=0 平行于l2：mx+y=0时，m=4．②当直线l1：4x+y﹣4=0 平行于l3：2x﹣3my﹣4=0时，m=﹣，③当l2：mx+y=0 平行于l3：2x﹣3my﹣4=0时，﹣m=，m 无解．④当三条直线经过同一个点时，把直线l1 与l2的交点（，）代入l3：2x﹣3my﹣4=0得﹣3m×﹣4=0，解得m=﹣1或，综上，满足条件的m为4、或﹣、或﹣1、或．47．（2016春•徐州期末）设直线4x﹣3y+12=0的倾斜角为A（1）求tan2A的值；（2）求cos（﹣A）的值．【解答】解：（1）由4x﹣3y+12=0，得：k=，则tanA=，∴tan2A==﹣；（2）由，以及0＜A＜π，得：sinA=，cosA=，cos（﹣A）=cos cosA+sin sinA=×+×=．48．（2016秋•枣阳市校级月考）已知A（2，1），B（0，2）且过点P（1，﹣1）的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．【解答】解：由已知，，．由图可知，过点P（1，﹣1）的直线l与线段AB有公共点，∴直线l的斜率k的取值范围是：k≤﹣3，或k≥2．49．（2016秋•双鸭山校级月考）已知点A（﹣2，3），B（3，2），过点P（0，﹣2）的直线L与线段AB有公共点，求直线L的斜率k的取值范围．【解答】解：k PA==﹣，k PB==，∵过点P（0，﹣2）的直线L与线段AB有公共点，∴或k．∴直线L的斜率k的取值范围是∪．50．（2016秋•秀山县校级期中）已知直线l1：x+my+6=0，l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，求：（1）若l1⊥l2，求m的值；（2）若l1∥l2，求m的值．【解答】解：（1）由两直线垂直的充要条件可得：1•（m﹣2）+m•3=0，解得，故当l1⊥l2时，m=；（2）由平行的条件可得：，由解得：m=﹣1或m=3；而当m=3时，l1与l2重合，不满足题意，舍去，故m=﹣1．。
人教版高中数学必修二直线的倾斜角与斜率习题
一，选择题已知直线l 过点(m,1)，(m ＋1，tan α＋1)，则 ()A ．α一定是直线l 的倾斜角B ．α一定不是直线l 的倾斜角C ．α不一定是直线l 的倾斜角D ．180°－α一定是直线l 的倾斜角如图，直线l 经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则()A ．k sin α>0B ．k cos α>0C ．k sin α≤0D ．k cos α≤0如果0AC且0BC ，那么直线0C By Ax 不通过_____A 、第一象限 B、第二象限 C 、第三象限 D、第四象限两直线0111C y B xA ，0222C yB xA 垂直的充要条件是_____ A 、02121B B A A B 、02121B B A A C 、12121B B A A D 、12121A A B B 已知两条直线1l :x y,2l :0yax，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在(0,12)内变动时a 的取值范围是____A 、（0，1）B 、（33，3） C 、（33，1）（1，3） D 、（1，3）直线0632yx 关于点（1，-1）对称的直线方程是____A 、0223yxB 、0732y x C、01223y x D 、0832yx 已知点M 是直线:l 042yx 与x 轴的交点，把直线l 绕点M 依逆时针方向旋转45得到的直线方程是_____A 、063y xB 、063y xC 、03y xD 、023y x 如果直线1l ，2l 的斜率分别是二次方程：0142xx的两根，那么1l 和2l 所成的角是_____A 、3B、4C、6 D、8过p （1，2）且A （2，3）与和B （4，-5）的距离相等的直线方程是____A 、064y xB 、0723y x B 、C 、064yx或0723yxD、以上都错若01298y x kxy表示两条直线，则实数k 的值及两直线所成的角分别是___A 、 8，60 B、4，45 C、6，90 D、2，30已知直线1l 和2l 的夹角平分线为y=x ，如果1l 的方程是0c by ax(a,b>0),那么2l 的方程是_____A 、0c ay bxB 、0c by axC 、0c ay bx D 、0c aybx直线03)1()2(y a xa与02)32()1(yaxa互相垂直，则a 为——A 、-1 B、1 C 、1 D、23二，填空题已知a >0，若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝________.已知两点A (－1，－5)，B (3，－2)，若直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，则l 的斜率是________．已知实数x,y 满足关系式060125y x ，则22y x的最小值为______如果直线l 与直线01y x关于轴对称，那么直线l 的方程是_______经过点(-5,2)且横、纵截距相等的直线方程是________与直线0143y x 平行且在两坐标轴上截距之和为37的直线l 的方程为______三．已知直线1)13()2(x a y a①求证：无论a 为何值时直线总经过第一象限②为使这直线不过第二象限，求a 的范围。
直线的倾斜角和斜率(经典练习及答案详解)
直线的倾斜角和斜率1．若直线过点(1,2)，(2,2＋3)，则此直线的倾斜角是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C 【解析】利用斜率公式k ＝3＝tan α，可求倾斜角为60°.2．(2021年合肥月考)若直线l 经过原点和点A (－2，－2)，则它的斜率为( )A ．－1B ．1C ．1或－1D ．0【答案】B 【解析】根据两点表示的斜率公式得k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－2－0－2－0＝1. 3．(2021年中山月考)若A (－2,3)，B (3，－2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m 三点共线，则m 的值为( )A ．12B ．－12C ．－2D ．2【答案】A 【解析】因为A (－2,3)，B (3，－2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m ，三点共线，所以k AB ＝k BC ，所以－2－33－(－2)＝m ＋212－3，解得m ＝12. 4．若三点A (－1，－2)，B (4,8)，C (5，x )在同一条直线上，则实数x 的值为( )A ．10B ．－10C ．5D ．－5【答案】A 【解析】由三点在同一直线上，则可得k AB ＝k BC ，由斜率计算公式可知8－(－2)4－(－1)＝x －85－4，解得x ＝10. 5．(2021年清远模拟)已知A (3,5)，B (5,7)，直线l 的斜率是直线AB 斜率的3倍，则直线l 的倾斜角为________．【答案】60° 【解析】设直线l 的斜率为k ，则k ＝3k AB ＝3×7－55－3＝ 3.所以直线l 的倾斜角为60°.6．设P 为x 轴上的一点，A (－3,8)，B (2,14)，若P A 的斜率是PB 的斜率的两倍，则点P 的坐标为________．【答案】(－5,0) 【解析】设P (x,0)为满足题意的点，则k P A ＝8－3－x ，k PB ＝142－x ，于是8－3－x ＝2×142－x，解得x ＝－5. 7．直线l 的一个方向向量d ＝(3，3)，则直线l 的倾斜角是________，直线l 斜率是________．【答案】π6 33 【解析】由d ＝(3，3)＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，设c ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，33，则d ∥c .由向量d ＝(3，3)是直线l 的一个方向向量，则c ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，33也为直线l 的一个方向向量．故直线l 的斜率为33，所以倾斜角为π6.8．以下叙述中：(1)任何一条直线都有倾斜角，也有斜率；(2)平行于x 轴的直线的倾斜角是0°或180°；(3)直线的斜率范围是(－∞，＋∞)；(4)过原点的直线，斜率越大越靠近x 轴；(5)两条直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等；(6)两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率相等．其中正确的序号是________．【答案】(3)(5) 【解析】(1)倾斜角为90°的直线没有斜率；(2)直线的倾斜角取值范围是0°≤α<180°；(4)过原点的直线斜率的绝对值越大，其对应的直线越靠近y 轴；(6)倾斜角为90°的直线没有斜率．9．已知点A (1,2)，在坐标轴上求一点P 使直线P A 的倾斜角为60°. 解：(1)当点P 在x 轴上时，设点P (a,0)，因为A (1,2)，所以k P A ＝0－2a －1＝－2a －1. 又因为直线P A 的倾斜角为60°，所以tan 60°＝－2a －1，解得a ＝1－233. 所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0. (2)当点P 在y 轴上时，设点P (0，b )． 同理可得b ＝2－3， 所以点P 的坐标为(0,2－3)．10．已知交于点M (8,6)的四条直线l 1，l 2，l 3，l 4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l 2过点N (5,3)，求这四条直线的倾斜角．解：因为k 2＝k MN ＝6－38－5＝1， 所以l 2的倾斜角为45°.又l 1，l 2，l 3，l 4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，故这四条直线的倾斜角分别为22.5°，45°，67.5°，90°.B 级——能力提升练11．直线l 过点M (－1,2)，且与以P (－2，－3)，Q (4,0)为端点的线段PQ 相交，则l 的斜率的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－25，5B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－25，0∪(0,5] C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－25，12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，5 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－25∪[5，＋∞) 【答案】D 【解析】当l 的斜率为正时，因为其倾斜角均大于或等于直线MP 的倾斜角，故其斜率不小于k MP ＝5；当l 的斜率为负时，因为其倾斜角均小于或等于直线MQ 的倾斜角，故其斜率不大于k MQ＝－25.12．(多选)在下列四个命题中，错误的有( )A ．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B ．直线的倾斜角的取值范围是[0，π)C ．若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αD ．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α【答案】ACD 【解析】对于A ，当直线与x 轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，A 错误；对于B ，直线倾斜角的取值范围是[0，π)，B 正确；对于C ，一条直线的斜率为tan α，此直线的倾斜角不一定为α，如y ＝x 的斜率为tan 5π4，它的倾斜角为π4，C 错误；对于D ，一条直线的倾斜角为α时，它的斜率为tan α或不存在，D 错误．故选ACD ．13．已知三点A (1－a ，－5)，B (a,2a )，C (0，－a )共线，则a ＝________.【答案】2 【解析】①当过A ，B ，C 三点的直线斜率不存在时，即1－a ＝a ＝0，无解．②当过A ，B ，C 三点的直线斜率存在时，即k AB＝2a－(－5)a－(1－a)＝k BC＝－a－2a0－a，即2a＋52a－1＝3，解得a＝2.综上可知，当A，B，C三点共线时，a的值为2.14．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为________．【答案】0【解析】由于正三角形的内角都为60°，且边BC所在直线的斜率是0，不妨设边AB所在直线的倾斜角为60°，则斜率为tan 60°＝3，则边AC所在直线的倾斜角为120°，斜率为tan 120°＝－3，所以AC，AB所在直线的斜率之和为3＋(－3)＝0.15．已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点C(2，－1)的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．解：如图，依题意，直线l由直线CB开始按逆时针方向旋转至直线CA止，其间直线l与线段AB都有公共点．直线CB的斜率为k CB＝－1－22－3＝3，直线CA的斜率k CA＝－1－42－(－3)＝－1.直线l由直线CB开始按逆时针方向旋转时，直线l的斜率逐渐增大，直至当直线l与x轴垂直时，倾斜角为90°，此时斜率不存在．继续旋转直线l，其斜率由负无穷大开始增大，直至直线CA终止，所以直线l的斜率取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．16．已知直线l过点P(3,4)，且与以A(－1,0)，B(2,1)为端点的线段AB有公共点，求l的斜率k的取值范围．解：如图，当k 变化时，直线l 绕点P 旋转，当l 由P A 旋转到PB 时，l 与线段AB 有公共点，即k 由k P A 增加到k PB ，∵k P A ＝4－03－(－1)＝1，k PB ＝4－13－2＝3， ∴要使l 与线段AB 有公共点，斜率k 的取值范围为[1,3]．C 级——探究创新练17．已知直线AB 过点A (3，－5)，B (0，－9)，倾斜角为α.(1)若直线CD 的倾斜角为2α，则斜率k CD ＝________；(2)若直线EF 的倾斜角为α2，则斜率k EF ＝________.【答案】－247 12 【解析】由题意，得tan α＝－5＋93－0＝43. (1)若直线CD 的倾斜角为2α，则斜率k CD ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－169＝－247.(2)由α∈[0，π)，α2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，故设k EF ＝k (k >0)， 则2k 1－k 2＝43，∴k ＝12. 18．若经过点A (1－t,1＋t )和点B (3,2t )的直线的倾斜角α不是锐角，求实数t 的取值范围．解：因为直线的倾斜角α不是锐角，所以α＝0°或α＝90°或α是钝角．当α＝0°时，1＋t＝2t，得t＝1；当α＝90°时，1－t＝3，得t＝－2；当α是钝角时，直线的斜率小于0，即2t－(1＋t)3－(1－t)<0，得t－1t＋2<0，解得－2<t<1.综上所述，实数t的取值范围为[－2,1]．。
直线的倾斜角与斜率练习题
直线的倾斜角与斜率练习题一．选择题（共16小题）1．直线l1、l2的斜率是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，则l1与l2的位置关系是（）A．平行B．重合C．相交但不垂直D．垂直2．直线x+y﹣1=0的倾斜角为（）A．B．C．D．3．若直线x﹣y﹣1=0的倾斜角为α，则α的值是（）A．B．C．D．4．直线l：x+y+3=0的倾斜角α为（）A．30°B．60°C．120°D．150°5．若三点A（3，1），B（﹣2，b），C（8，11）在同一直线上，则实数b等于（）A．2 B．3 C．9 D．﹣96．直线的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．120°7．若直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的范围是（）A．[0°，90°）B．[0°，180°）C．[90°，180°）D．（90°，180°）8．若直线l过点A（﹣1，1），B（2，﹣1），则l的斜率为（）A．﹣B．﹣C．D．9．若直线过点M（1，2），N（4，2+），则此直线的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°10．若直线x+（1+m）y﹣2=0和直线mx+2y+4=0平行，则m的值为（）A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．11．若直线l1：ax+2y+a+3=0与l2：：x+（a+1）y+4=0平行，则实数a的值为（）A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．﹣1或212．直线L1：ax+3y+1=0，L2：2x+（a+1）y+1=0，若L1∥L2，则a的值为（）A．﹣3 B．2 C．﹣3或2 D．3或﹣213．若直线2mx+y+6=0与直线（m﹣3）x﹣y+7=0平行，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．314．若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0垂直，则a=（）A．2 B．C．1 D．﹣215．以下四个命题：①过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直；②若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面；③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；④两个互相垂直的平面，一个平面内的任一直线必垂直于另一平面的无数条直线．其中正确的命题是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④16．直线xcosθ+ysinθ+a=0与xsinθ﹣ycosθ+b=0的位置关系是（）A．平行B．垂直C．斜交D．与a，b，θ的值有关二．填空题（共1小题）17．已知直线l1：ax﹣y+2a=0，l2：（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则实数a的值是．三．解答题（共1小题）18．已知直线l1的方程为3x+4y﹣12=0．（1）若直线l2与l1平行，且过点（﹣1，3），求直线l2的方程；（2）若直线l2与l1垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l2的方程．直线的倾斜角与斜率练习题参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．直线l1、l2的斜率是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，则l1与l2的位置关系是（）A．平行B．重合C．相交但不垂直D．垂直【解答】解：设直线l1、l2的斜率分别为k1，k2，∵直线l1、l2的斜率是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，∴k1k2=﹣1．∴l1⊥l2．故选：D．2．直线x+y﹣1=0的倾斜角为（）A．B．C．D．【解答】解：设直线x+y﹣1=0的倾斜角为θ．由直线x+y﹣1=0化为y=﹣x+1，∴tanθ=﹣，∵θ∈[0，π），∴θ=．故选：C．3．若直线x﹣y﹣1=0的倾斜角为α，则α的值是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，直线的斜率为k=直线倾斜角的正切值是又倾斜角大于或等于0°且小于180°，故直线的倾斜角α为°故选：A．4．直线l：x+y+3=0的倾斜角α为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【解答】解：由于直线l：x+y+3=0的倾斜角为α，则直线的斜率tanα=﹣，再由0°≤α＜180°，可得α=120°，故选：C．5．若三点A（3，1），B（﹣2，b），C（8，11）在同一直线上，则实数b等于（）A．2 B．3 C．9 D．﹣9【解答】解：∵三点A（3，1），B（﹣2，b），C（8，11）在同一直线上，∴kAC =kAB，即，解得b=﹣9．故选：D．6．直线的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．120°【解答】解：设直线y=x+2的倾斜角是α，则tanα=，又0°≤α＜180°，∴α=60°．故选：C．7．若直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的范围是（）A．[0°，90°）B．[0°，180°）C．[90°，180°）D．（90°，180°）【解答】解：若直线l经过第二、四象限，则直线l的斜率小于零，故直线的倾斜角为钝角，故选：D．8．若直线l过点A（﹣1，1），B（2，﹣1），则l的斜率为（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：根据题意，直线l过点A（﹣1，1），B（2，﹣1），则其斜率kAB==﹣；故选：A．9．若直线过点M（1，2），N（4，2+），则此直线的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：∵直线过点M（1，2），N（4，2+），∴该直线的斜率为k==，即tanα=，α∈[0°，180°）；∴该直线的倾斜角为α=30°．故选：A．10．若直线x+（1+m）y﹣2=0和直线mx+2y+4=0平行，则m的值为（）A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．【解答】解：直线x+（1+m）y﹣2=0和直线mx+2y+4=0平行，可得，得：m=1，故选：A．11．若直线l1：ax+2y+a+3=0与l2：：x+（a+1）y+4=0平行，则实数a的值为（）A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．﹣1或2【解答】解：∵直线l1：ax+2y+a+3=0，l2：x+（a+1）y+4=0，l1∥l2，∴=≠，解得a=1或a=﹣2．∵当a=1时，两直线重合，∴a≠1．∴a=﹣2．故选：B．12．直线L1：ax+3y+1=0，L2：2x+（a+1）y+1=0，若L1∥L2，则a的值为（）A．﹣3 B．2 C．﹣3或2 D．3或﹣2【解答】解：直线L1：ax+3y+1=0的斜率为：，直线L1∥L2，所以L2：2x+（a+1）y+1=0的斜率为：所以=；解得a=﹣3，a=2（舍去）故选：A．13．若直线2mx+y+6=0与直线（m﹣3）x﹣y+7=0平行，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．3【解答】解：因为两条直线平行，所以：解得 m=1故选：B．14．若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0垂直，则a=（）A．2 B．C．1 D．﹣2【解答】解：直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0，且l1⊥l2，∴a•1+2（a﹣1）=0；解得：a=．故选：B．15．以下四个命题：①过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直；②若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面；③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；④两个互相垂直的平面，一个平面内的任一直线必垂直于另一平面的无数条直线．其中正确的命题是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④【解答】解：①过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直，满足直线与平面垂直的条件，成立；②若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面，如果两点在平面两侧，不成立；③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线，如果两条相交直线所在平面与已知平面垂直，射影则是一条直线，不正确；④两个互相垂直的平面，一个平面内的任一直线必垂直于另一平面的无数条直线．正确．故选：D．16．直线xcosθ+ysinθ+a=0与xsinθ﹣ycosθ+b=0的位置关系是（）A．平行B．垂直C．斜交D．与a，b，θ的值有关【解答】解：当cosθ=0或sinθ=0时，这两条直线中，有一条斜率为0，另一条斜率不存在，两条直线垂直．当cosθ和sinθ都不等于0时，这两条直线的斜率分别为﹣和tanθ，显然，斜率之积等于﹣1，故两直线垂直．综上，两条直线一定是垂直的关系，故选：B．二．填空题（共1小题）17．已知直线l1：ax﹣y+2a=0，l2：（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则实数a的值是0或1 ．【解答】解：∵直线l1：ax﹣y+2a=0与直线l2：（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，∴a×（2a﹣1）+（﹣1）×a=0，解之得a=0或1故答案为：0或1三．解答题（共1小题）18．已知直线l1的方程为3x+4y﹣12=0．（1）若直线l2与l1平行，且过点（﹣1，3），求直线l2的方程；（2）若直线l2与l1垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l2的方程．【解答】解：（1）由直线l2与l1平行，可设l2的方程为3x+4y+m=0，以x=﹣1，y=3代入，得﹣3+12+m=0，即得m=﹣9，∴直线l2的方程为3x+4y﹣9=0．（2）由直线l2与l1垂直，可设l2的方程为4x﹣3y+n=0，令y=0，得x=﹣，令x=0，得y=，故三角形面积S=•|﹣|•||=4∴得n2=96，即n=±4∴直线l2的方程是4x﹣3y+4=0或4x﹣3y﹣4=0．。
高二数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析
高二数学直线的倾斜角与斜率试题答案及解析1.过点、的直线的斜率为______________．【答案】2.【解析】由斜率公式得：.【考点】直线的斜率公式.2.过点P和Q的直线斜率为1，那么的值为（）A．1B．4C．1或3D．1或4【答案】【解析】根据,有,可得.【考点】斜率计算.3.若图中直线，，的斜率分别为，，，则()A．<<B．<<C．<<D．<<【答案】B【解析】由于的倾斜角都是锐角，且直线的倾斜角大于直线的倾斜角，可得，而直线的倾斜角为钝角，所以，由此可得结论：，故选答案B.【考点】直线的倾斜角与斜率.4.直线l的倾斜角为，且，则直线l的斜率是( )A．B．C．或D．或【答案】C【解析】由已知中直线的倾斜角为a，且sina=，分倾斜角a为锐角和钝角两种情况分类讨论，根据同角三角函数关系，求出a的余弦值和正切值，即可得到直线的斜率,由已知中直线的倾斜角为a，且sina=，当a为锐角时，cosa=，tana=；当a为钝角时，cosa=-，tana=-；即直线的斜率是±，选C.【考点】直线的斜率.5.已知直线经过点，求分别满足下列条件的直线方程：（1）倾斜角的正弦为；（2）与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为4.【答案】（1）或；（2）【解析】（1）因为直线过定点，故只需求其斜率即可，由已知，根据同角三角函数基本关系式，求，再用直线点斜式方程；（2）直线与与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积与直线在坐标轴的截距有关，所以可设直线的截距式方程，由面积为4，可得关于的方程，又直线过定点，代入得关于，联立可求.试题解析：（1）设直线的倾斜角为，，由得，，当时，由点斜式方程得：即；当时，由点斜式方程得：即，综上：直线方程为或；（2）设直线在轴上的截距为，可设直线方程为，由题意得得，，即：.【考点】1、直线的点斜式方程；2、直线的截距式方程.6.若直线经过、两点,则直线的倾斜角是（）A．135°B．120°C．60°D．45°【答案】C【解析】因为，所以直线的倾斜角是60°。
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直线的倾斜角和斜率练习题
一．选择题：
1．下列命题中，正确的命题是 ( )
（A ）直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α
（B ）直线的倾斜角的范围是[]︒︒180,0
（C ）任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率
（D ）直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0°或180°
2．已知直线的斜率不存在，则直线的倾斜角为( )
（A ）60° （B ）120°（C ）90°（D ）150°
3.直线l 1的倾斜角为30°，直线l 2⊥l 1，则直线l 2的倾斜角为( )
（A ）60° （B ）120°（C ）90°（D ）150°
4．若直线l 经过原点和点(－3, －3)，则直线l 的倾斜角为 ( )
（A ）45°（B ）135° （C ）45°或135°（D ）60°
5．已知直线l 的倾斜角为α，若cot α=－54，则直线l 的斜率为( ) （A ）54 （B ）45 （C ）-54 （D ）-4
5 6. 已知，A (－3, 1)、B (2, －4)，则直线AB 的斜率是( )
（A ）-1（B ）1 （C ）-2 （D ）2
7. 过点M (－2, a ), N (a , 4)的直线的斜率为－2
1，则a 等于( ) （A ）－8 （B ）10 （C ）2 （D ）4
8．过点A (2, b )和点B (3, －2)的直线的倾斜角为45° ，则b 的值是( )
（A ）－1 （B ）1 （C ）－3 （D ）3
9．如图，若图中直线l 1, l 2, l 3的斜率分别为k 1, k 2, k 3，则( )
（A ）k 1<k 2<k 3 （B ）k 3<k 1<k 2 （C ）k 3<k 2<k 1 （D ）k 1<k 3<k 2
10. 若直线经过点A(1，2)，B(4，
)，则直线的倾斜角是( ). （A ） （B ） （C ） （D ）
二．填空题：
1．下列命题正确的有 .
⑴任何一条直线都有倾斜角，也有斜率；⑵平行于轴的直线的倾斜角是0°或180° ；⑶直线的斜率范围是；⑷过原点的直线，斜率越大越靠近轴；⑸两条直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等；⑹两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率相等.
2.直线L 的向上方向与y 轴的正方向所成的角为30°，则直线L 的倾斜角为
3.经过A (a , b )和B (3a , 3b )(a ≠0)两点的直线的斜率k = ，倾斜角α= .
4．点P (3 2)，点Q 在x 轴上，若直线PQ 的倾斜角为45°，则点Q 的坐标为 .
5．过A (1－t , 1+t )和B (3, 2t )的直线的倾斜角为钝角，则t 的取值范围是 .
6．若直线k 的斜率满足k <0，则该直线的倾斜角α的范围是 .
7．若l 的倾斜角是连接P (3, －5), Q (0, －2)两点的直线的倾斜角的2倍，则l 的斜率为 .
8．已知直线l 1和l 2关于x 轴对称，若直线l 1的斜率为3，则直线l 2的倾斜角为 .
9.已知三点A (2, －3), B (4, 3), C (5,
2m )在同一直线上，则m 的值为 . 10已知y 轴上的点B 与A (－3, 1)连线所成直线的倾斜角为60°，则点B 的坐标为 .
三．解答题：
1．求经过下列两个点的直线的斜率和倾斜角。
（1）P(0，0),Q(1，3) (2)M(－3, 1)，(-1，3)
2.求经过两点A (2, －1)和B (a , －2)的直线l 的斜率。
3.求证：A （1，3），B （5,7），C （10,12）三点共线 。
4.⊿ABC 的顶点为A （0,5），B （1，-2），C （-7,4），求各边所在直线的斜率。
5.已知直线L 经过P(1，2)且倾斜角为45°，分别求直线与x 轴的交点，与y 轴的交点。