多变量广义预测控制

多变量广义预测控制(MGPC)

实验报告

1．GPC 原理介绍

1.1 预测模型

假设系统基于下面的离散时间CARIMA 模型：

)1(/)()1()()()(11∆ξk k u z B k Y z A +-=--

其中，),(),(k u k y 和)(k ξ是系统的m 维输出、p 维输入和m 维噪声向量，并且

a a n n z A z A z A ---+++= 1111)(，

b b n n z B z B B z B +++=-- 1101)(，

i A 和i B 为m m ⨯和p m ⨯阶矩阵。

1.2 目标函数

)2()

1()()|(ˆ1

1

2

2∑∑==-+++-+=N

j N j I d u

m

j k u j k y k j k y

J Λ

∆

其中)|(ˆk j k y +是对)(k y 的向前第j 步预测，Λ为半正定阵，

通常取),,(1p diag λλΛ =，0≥i λ。

)}({j k y d +是设定值的柔化序列向量，由下式产生：

⎩⎨

⎧=-+-+=+=)

3(),,1()

()()1()()()(N j k y I j k y j k y k y k y r m d d αα

其中10)

,,(1<≤=i m diag αααα ，⎪⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=m r r r y y k y 1)(为m 维设定值向量。

1.3 控制器求解

引入下面的矩阵丢番图方程组：

)

5(,,1)4(,,1N

j H z G B E N j F z A E I j

j

j j j j j =+==+=--∆

其中

)1()1(1)1()0(----+++=j j j z E z E E E ， a

a n n j

j j

j z F z F F F --+++=)(1)

1()

0( ，

)1()1(1)1()0(----+++=j j j z G z G G G ， )

1()(1)

1()

0(---+++=b b n n j

j j

j z

H z H H H ，

)(i E 和)(i F 为m 阶方阵，)(i G 和)(i H 是m p ⨯阶矩阵。

矩阵丢番图方程组也采用递推方法求解。

定义：1)*()|(ˆ)|1(ˆ)(ˆ⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=N m k N k y k k y k Y ，1

)*()1()()(⨯⎪

⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=u N p u N k u k u k U ∆∆∆ 则可得：)6()()(ˆ0

k Y k U G Y +=∆

)7()

1()()()()(110-+=--k U z H k y z F k Y j j ∆

其中

⎥⎥

⎥⎥

⎥

⎦⎤⎢⎢⎢⎢

⎢⎣⎡=--)()1()

0()1()

0(000

0u N N N G G

G G G G

将（2）写成向量形式：

)8()()()(ˆ2

2Ω

∆k U k Y k Y J N

I d

m +-=

其中

p N p N u u ⨯⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛=ΛΛ

Ω00 ，⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++=)()1()(N k y k y k Y d d d

将（6）-（7）代入（8）式，并优化求解

)9()]

()([)()(01k Y k Y G G G k U d T T -+=-Ω∆

1.4 自校正控制算法

辨识模型：

)10()

1()()()(11-=--k u z B k Y z A ∆

)11()

()1()()1()(01b n a n n k u B k u B n k y A k y A k y b

a

-++-+-----=∆∆∆∆∆

对模型逐行进行辨识。

2．仿真研究

取被控模型为：

)2()1()2()1()(1021-+-+----=k u B k u B k y A k y A k y

其中

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=9.01.02.04.11A ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=2.001.048.02A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10010B ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=1015.11B 3. Matlab 编程仿真

编程软件：MA TLAB 7.1

3.1 噪声设定

取)(,k I y r ξ=为]05.0,05.0[-上服从均匀分布的随机数，仿真结果对比如下： 3.2.1定常

3,1,0.3u N N λ=== 时，结果如下：

3.2.2 自校正

3,1,0.3u N N λ=== 时，结果如下：

ADDD.m为多项式求和的矩阵多项式求和函数，mconv.m为多项式求积的矩阵多项式求积函数。