单元质量评估(三)

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单元质量评估(三)

第三章 三角恒等变形 (120分钟 150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.已知cos(π+x)=35

,x ∈(π,2π)，则sinx=( ) (A)

3

5

(B)4

5

(C)35 (D)45

2.(2011·福建高考)若tan α=3,则2sin2

cos 的值等于( )

(A)2 (B)3 (C)4 (D)6

3.函数y=sin 2x+sinxcosx 的最小正周期T=( ) (A)π (B)2π (C)2 (D)3

4.已知tan θ=4

3，则sin cos

sin cos

的值为( )

(A)13 (B)1

3

(C)7 (D)-7

5.已知α是第二象限角，且sin α=3

5

，则tan2α=( )

(A)247 (B)724 (C)724 (D)247

6.设2

1

3

2tan13

a

cos6sin6,b 221tan 13, 1cos50

c 2

则有( ) (A)a>b>c (B)a

sin(

)

4

3

，则sin2θ=( )

(A)

9 (B)9

(C)9 (D)9

8.已知cos2θ

=3

，则sin 4θ+cos 4θ的值为( ) (A)

1318 (B)1118 (C)7

9

(D)-1 9.设cos(x+y)sinx-sin(x+y)cosx=1213，且y 是第四象限角，则y

tan 2

的值是( )

(A)23 (B)32 (C)32 (D)23

10.函数y=sin(3x+3

)·cos(x-6

)+cos(3x+3

)·cos(x+3

)的一条对称轴是( )

(A)x=6

(B)x=4

(C)x=

6

(D)x=2

11.已知tan θ=2，则sin 2θ+sin θcos θ-2cos 2θ=( ) (A)4

5

(B)54

(C)34 (D)43 12.已知函数1cos2x x x

f x asin cos()224sin(x)

2

(其中a

≠0)的最大值为2，则常数a 的

值为( )

(C)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)

13.函数y=2cos 2x+sin2x 的最小值是________. 14.已知3x x 3x x

f x cos

cos sin sin 2sinxcosx 22

22

，当x ∈［

2

,π］时f(x)的零点为

______.

15.已知α是第二象限的角，tan(π+2

α)=

4

3

，则tan α=______． 16.关于函数，下列命题： ①若存在x 1,x 2有x 1-x 2=π时，f(x 1)=f(x 2)成立；

②f(x)在区间［,

63

］上单调递增；

③函数f(x)的图象关于点(

12

,0)成中心对称图形；

④将函数f(x)的图象向左平移5

12

个单位后将与y=2sin2x的图象重合．其中正确的命题序号是__________ (注：把你认为正确的序号都填上).

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)(2011·保定高一检测)化简1sinx cosx sin2x

1sinx cosx

,并求出其最大值.

18.(12分)已知1

tan()

42，试求式子2

sin22cos

1tan

的值．

19.(12分)已知函数f(x)=2sinxcosx-2cos2x+1，(1)求f(x)的最大值及相应的x的值；

(2)若f(θ)=3

5，求cos2(

4

-2θ)的值．

20.(12分)(2011·邯郸高一检测)已知向量a=(sinx,1),b=(cosx,1

2

)

(1)当a b时，求|a b|的值；

(2)求函数f(x)=a·(2b-a)+cos2x的单调增区间.

21.(12分)(2011·徐州高一检测)已知cosα=1

7,cos(α-β)=13

14

，

且0<β<α<

2

.

(1)求tan2α的值；

(2)求β的值.

22.(12分)(2011·北京高考)已知函数f(x)=4cosxsin(x+

6

)-1.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在区间［,

64

］上的最大值和最小值.

答案解析

1.【解析】选B.∵cos(π+x)= 3

5

，∴-cosx=35

，

即cosx=

3

5

；又x ∈(π,2π)， ∴24

sinx 1cos x

5. 2.【解析】选D.

22

sin22sin cos

2tan

6cos cos . 3.【解析】选A. 21cos2x

1

y sin x sinxcosx

sin2x 22

1

12

1sin2x cos2x

sin(2x )

2

2

2

4

2

, ∴最小正周期T=π. 4.【解析】选C.

4

1sin cos tan 1374sin

cos

tan

1

13

.

5.【解析】选D.由α是第二象限角且sin α=35

得cos α=

45

； ∴sin2α=2sin αcos α=

2425， cos2α=cos 2α-sin 2α=7

25

；

∴sin224

tan2cos27

．

6.【解析】选C.a=sin30°cos6°-cos30°sin6°=sin24°,b=sin26°, c=sin25°,根据正弦函数的单调性知选C.

7.【解析】选A.sin2θ=-cos(2

+2θ)=-cos2(4

+θ)=2sin 2(4

+θ)-1=

79

. 8.【解析】选B.sin 4θ+cos 4θ=(sin 2θ+cos 2θ)2-2sin 2θcos 2θ=1-1

2

sin 22θ

=1-2(1-cos 22θ) =

18

. 9.【解析】选D.由cos(x+y)sinx-sin(x+y)cosx=1213

得sin ［x-(x+y)］=-siny=1213

， 又∵y 是第四象限角， ∴cosy=

5

13

，∵y 1cosy

tan

2siny

51213123

13

. 10.【解析】选D.y=sin(3x+3

)·cos(x-6

)+cos(3x+3

)·cos(x+3

)

=sin(3x+3)cos(x-6

)-cos(3x+3

)sin(x-6

)

=sin(2x+2

)=cos2x, 其对称轴为x=

k

2(k ∈Z)，当k=1时x=2

. 11.【解析】选A.sin 2θ+sin θcos θ-2cos 2θ

2

2

22

sin sin cos 2cos sin cos

22tan tan 2422

4tan 1

41

5

. 12.【解析】选C. 22cos x x x 1

a

f x

asin cos

cosx sinx 4cosx

2222

2

1a sin(x)44,(其中tan =1

a

);

24

4

,

∴a=13.【解析】

sin(2x+

4

)+1，所以最小值为

.

答案：14.【解析】cos(2x+4

),

令f(x)=0cos(

4

+2x)=0，

又∵x ∈［2

,π］，

∴59

2x

444

， ∴

3

2x

4

2

， ∴x=

58，即函数f(x)的零点是58. 答案: 5

8

15.【解析】由tan(π+2α)= 4

3

得tan2α=

43

， 又22tan 4

tan21tan 3

，

解得tan α=1

2

或tan α=2，

又a 是第二象限的角，所以tan α=1

2

.

答案：1

2

16.独具【解题提示】先利用三角恒等变换将函数f(x)化为f(x)=Asin(ωx+ )+k

的形式，再判断其命题的真假.

【解析】∵sin2x=2sin(

6

-2x)

=2sin(2x+

56)=2sin2(x+5

12

)， ∴周期T=π，①正确；∵递减区间是

5

32k

2x

2k 2

6

2

(k ∈Z)，解之为

k

x

k

6

3

(k ∈Z)，②错误；∵对称中心的横坐标为5k 5

2x

k

x

6

2

12

，当k=1时，得③正确；应该是向右平移，④不正确． 答案：①③ 17.【解析】原式=

1sin2x sinx cosx

1sinx cosx

2

sinx cosx sinx cosx

1sinx cosx

=sinx-cosx

2sin(x

)4

，

.

18.【解析】

2

2sin22cos 2cos (tan

1)

1tan

1tan

=2cos 2α·tan(α- 4

)

22cos ()1cos2242

2sin ()24

1(1cos2)

2

2cos2

tan(

)

44tan(

)4

2

2sin(

2)2

2

1tan ()

414()222

.15

1(

)

2

［］［］

19.【解析】(1)f(x)=sin2x-(2cos 2sin(2x-4

).

∴当2x-4

=2k π+2

，即x=k π+38

π(k ∈Z)时，

f(x)

(2)由f(θ)=sin2θ-cos2θ，及f(θ)= 35

得： sin2θ-cos2θ=3

5

，

两边平方得1-sin4θ=

925，即sin4θ=16

25

； ∴cos2(4-2θ)=cos(2-4θ)=sin4θ=16

25

.

20.独具【解题提示】先根据向量的相关知识转化成三角关系式，然后再利用三角恒等变换研究相关问题. 【解析】(1)当a b 时，a ·b =0，

∴|a

b |=

2

2

a

2a b

b

2213sin x 1cos x

42

. (2)f(x)=2a ·b-a 2+cos 2x=2sinxcosx-1-sin 2x-1+cos 2x sin(2x+

4

)-2,

当2k π- 2≤2x+

4≤2k π+ 2 (k ∈Z)时f(x)单调递增,

解得k π-3

8≤x ≤k π+8

(k ∈Z),

∴函数f(x)的单调增区间为［k π-3

8,k π+8

］,(k ∈Z) 21.【解析】(1)cos α=1

7

,0<α<2

， 得22

143

sin 1cos 1()7, ∴sin

43

tan

743cos

7

,

于是22

2tan 24383

tan2

1tan 1(43). (2)由0<β<α<2，得0<α-β<2

,

又∵cos(α-β)= 13

14

，

∴22

1333

sin(

)1cos ()1(

)14, ∴cos β=cos ［α-(α-β)］ =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)

11343331714

7

14

2

, 又0<β<2

,

∴β= 3

.

22.【解析】(1)因为f(x)=4cosxsin(x+6

)-1

=4cosx(

2sinx+1

2

cosx)-1

sin2x+2cos2x-1

sin2x+cos2x

=2sin(2x+

6

).

所以f(x)的最小正周期为π.

(2)因为x

64,所以2

2x

663

,

于是,当2x

62,即x=

6

时，f(x)取得最大值为2;

当2x

66,即x=-

6

时，f(x)取得最小值为-1.

独具【方法技巧】三角函数最值的求法：

(1)利用单调性,结合函数图象求值域,如转化为y=asin(ωx+)+b型的值域问题.

(2)将所给的三角函数转化为二次函数,通过配方法求值域,如转化为

y=asin2x+bsinx+c型的值域问题.

(3)换元法,出现sinx+cosx,sinx-cosx,sinxcosx时常令t=sinx+cosx,转化为二次函数值域的问题.换元前后要注意等价. 面对强大的对手，明知不敌，也要毅然亮剑，即使倒下，也要化成一座山