复变函数的积分及其性质
复变函数积分的概念与性质
在复数域内，任意两个封闭曲线的积分值相等，即积分与路径无关。这一性质在解决复 变函数问题时非常重要，因为它允许我们选择任意路径进行积分计算，而不影响最终结
果。
积分与函数运算的结合性
总结词
复变函数积分具有与函数运算的结合性 ，即对函数的积分可以与函数的运算同 时进行。
VS
详细描述
在进行复变函数积分时，我们可以将函数 的运算（如加法、乘法、指数等）与积分 操作结合进行。这一性质使得在解决复杂 的复变函数问题时，我们可以简化计算过 程，提高解题效率。
复变函数
定义在复数域上的函数，即对于每一 个复数$z$，都有一个实数或复数与 之对应。
复变函数的极限与连续性
极限
当复数$z$趋近于某一点时，复变函数$f(z)$的值的变化趋势。
连续性
如果对于复数域内任意一点$z$，当$z$趋近于该点时，$f(z)$的值都趋近于该点的极限值，则称函数在该点连续。
复变函数的积分
总结词
安培环路定律是描述磁场分布的重要定理，通过复变 函数积分可以得到电流产生的磁场分布。
详细描述
根据安培环路定律，磁场线与电流线相交，且穿过电流 线的磁通量等于零。通过复变函数积分，可以将磁场表 示为电流分布的函数，从而计算磁场强度、磁感应强度 等物理量。
波动方程的初值问题
总结词
波动方程是描述波动现象的基本方程， 通过复变函数积分可以求解波动方程 的初值问题。
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分可表示为 (int f(z(t)) |dz(t)| dt)，其中 (dz(t)) 是 (z(t)) 的微分。
极坐标法
要点一
总结词
利用复数在极坐标下的表示形式，通过计算极坐标下的面 积来计算复变函数的积分。
复变函数第5讲复变函数积分的定义、性质及其计算
的取法如何, 上式右端的两个和式的极限都是 存在的. 因此有
∫C f (z) d z = ∫C u d x − v d y + i∫C vdx + udy.
(3.2)
方法1:复变函数积分转换为实变函数的积分
8
i)当f (z)是连续函数而C是光滑曲线时,积分
∫ f (z)d z是一定存在的. C
∫ii) f (z)d z可以通过两个二元实变函数的 C
线积分来计算.
方法2:复变函数积分变量替换法
∫ ∫ f(z)dz=
β
{u[x(t),
y(t)]x′(t)−v[x(t),
y(t)]y′(t)}dt
C
α
∫+i β{v[x(t), y(t)]x′(t)+u[x(t), y(t)]y′(t)}dt (3.2) α
第三章 复变函数的积分
§3.1 复变函数积分的定义、
性质及其计算
1
1.复变函数积分的定义 设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)
曲线. 如果选定C的两个可能方向中的一个作 为正方向(或正向), 则将C理解为带有方向的 曲线, 称为有向曲线. 设曲线C的两个端点为A 与B, 如果将A到B的方向作为C的正方向, 则从 B到A的方向就是C的负方向, 并记作C−. 常将 两个端点中一个作为起点, 另一个作为终点, 则正方向规定为起点至终点的方向. 而简单闭 曲线的正方向是指当曲线上的点P顺此方向 沿该曲线前进时, 邻近P点的曲线内部始终位 于P点的左方.
∫| z − z0 |= r
dz (z − z0 )n+1
=
⎧2π i,
⎨ ⎩
复变函数与积分变换公式
复变函数与积分变换公式复变函数是指定义在复数域上的函数。
复变函数与实变函数有很多相似之处，但也有着一些独特的性质和应用。
在实际问题中，经常会遇到求解复变函数的积分问题。
积分变换是一种通过对函数进行积分计算来求得更简单或者更易求解的函数的方法。
本文将介绍复变函数以及积分变换公式。
一、复变函数的定义和性质复变函数的定义：复变函数通常可以表示为 f(z) = u(x,y) +iv(x,y)，其中 u(x,y) 和 v(x,y) 是实变量 x 和 y 的实函数，i 是虚数单位。
复变函数可以看作二元实函数的推广。
在复变函数的定义中，x 和 y 是自变量，而 u 和 v 是因变量。
复变函数的性质：复变函数具有以下性质：1.可微性：类似于实变函数中的导数，复变函数也有导数的概念，称为复导数。
如果复变函数f(z)在一些点z0处可导，则称f(z)在z0处可导。
2.全纯性：如果复变函数在一些区域上都可导，则称该函数在该区域上是全纯的。
3.古典解析性：如果复变函数在整个复平面上都可导，则称该函数是古典解析的。
4. 共轭性：对于复变函数 f(z) = u(x,y) + iv(x,y)，可以定义其共轭函数 f*(z) = u(x,-y) - iv(x,-y)。
共轭函数与原函数在实部上相等，虚部上相反。
5.奇函数和偶函数：如果复变函数f(z)满足f(-z)=-f(z)，则称f(z)是奇函数；如果f(-z)=f(z)，则称f(z)是偶函数。
积分变换通常是求解复变函数积分的一种方法。
常见的积分变换公式有：1.单连通域中的柯西定理：设f(z)在单连通域D上是全纯的，则对于D的任意闭合曲线C，有∫[C] f(z)dz = 0这个公式是复变函数积分计算的基础。
2. 柯西-Goursat 定理：设 f(z) 在连通域 D 上是全纯的，则对于D 的任意简单闭合曲线 C，有∫[C] f(z)dz = 0这个公式是柯西定理的推广形式，适用于连通域D。
第二章复变函数的积分
f (z)dz lim f (k )(zk zk1)
l
积分n函 数k1
积分路径 一般来说,复变函数的积分值与积分路径有关.
2、复变函数积分计算方法
n
f (z)dz lim f (k )(zk zk1) n k 1
l
1）将复变函数的路积分化为两个实变函数的线积分
2）参数积分法
若积分曲线的参数方程z=z(t) ( ),dz z'(t)dt
则
f (z)dz f [z(t)]z'(t)dt
l
（极坐标法，通常用来计算积分路径为圆弧时的情况）
通常思路：
积分路径l为圆弧： 宗量用指数形式表示：
z z0
z z0 ei
n
n
f (z)dz f (z)dz;l lk
l
k 1 lk
k 1
f (z)dz f (z)dz
lAB
lBA
f (z)dz
l
f (z) dz ; dz
dx2 dy2 ds
l
Ms; M f (z) , s l的长度
用来求积分的估计值
r
1
z3 z
2
dz
z3 z r 1 z2
dz
（1）
z3
z r 1 z2
dz M
dz M
z r
ds Ms
z r
（2）
由（1）（2）式，得：
z3 dz Ms
z r 1 z2
M
1
r
3
r
2
s ds 2 r z r
复变函数的积分总结
复变函数的积分总结引言复变函数积分是复分析的重要内容之一。
与实变函数不同的是，复变函数在积分时需要同时考虑实部和虚部，因此在处理复变函数的积分时需要注意一些特殊的性质和方法。
本文将对复变函数的积分进行总结，包括复积分的定义、性质和常见的积分方法。
复积分的定义复积分是对复变函数沿着曲线或者面积进行积分的操作。
复积分可以分为线积分和面积积分两种形式。
线积分对于复变函数f(z)，其在线段L上的线积分定义为：$$ \\int_L f(z)dz = \\int_a^b f(z(t))z'(t)dt $$其中z(t)是L上参数化曲线的方程，$t \\in [a, b]$。
线积分的结果是一个复数。
面积积分对于复变函数f(z)，其在有界连续曲线围成的区域D上的面积积分定义为：$$ \\int_D f(z)dz = \\iint_D f(z) dxdy $$其中z=x+iy，dxdy是区域D上的面积微元。
复积分的性质复积分具有一些重要的性质，它们在计算复积分时非常有用。
线积分的基本性质•线积分与路径无关：如果L1和L2是起点和终点相同的两条路径，且f(z)在路径间连续，则 $\\int_{L_1} f(z)dz = \\int_{L_2} f(z)dz$。
•线积分的线性性质：对于任意的复数c1和c2，以及复变函数f(z)和g(z)，有 $\\int_L (c_1f(z) + c_2g(z))dz = c_1\\int_L f(z)dz + c_2\\int_L g(z)dz$。
•同路径积分相等：如果L是起点为z1终点为z2的路径，且f(z)在L 上连续且有原函数F(z)，则 $\\int_L f(z)dz = F(z_2) - F(z_1)$。
面积积分的基本性质•面积积分与区域无关：如果D1和D2是相同的区域，且f(z)在区域D上连续，则 $\\int_{D_1} f(z)dz = \\int_{D_2} f(z)dz$。
复变函数的积分方法
复变函数的积分方法一、引言复变函数是数学中的重要概念，它与实变函数有着很大的区别。
复变函数的积分方法是研究复变函数在复平面上的积分性质和计算积分值的方法。
本文将介绍一些常见的复变函数的积分方法。
二、复变函数的积分定义在复变函数中，积分是对函数的一种运算，类似于实变函数中的积分。
复变函数的积分定义如下：设f(z)是定义在复平面上的一个函数，如果存在一个复数C，使得对于给定曲线γ上的任意两个点A和B，都有：∫[A,B]f(z)dz = C那么我们就说f(z)在曲线γ上是可积的，并且称C为f(z)沿曲线γ的积分。
三、复变函数的积分方法1. 直线积分直线积分是最常见的一种复变函数的积分方法。
它是沿着一条直线对复变函数进行积分。
直线积分的计算方法是将直线分成若干小段，然后对每一小段进行积分，最后将所有小段的积分值相加得到整个直线的积分值。
2. 曲线积分曲线积分是复变函数的另一种常见的积分方法。
它是沿着一条曲线对复变函数进行积分。
曲线积分的计算方法是将曲线分成若干小段，然后对每一小段进行积分，最后将所有小段的积分值相加得到整个曲线的积分值。
3. 围道积分围道积分是复变函数的一种特殊的积分方法。
它是沿着一个围道对复变函数进行积分。
围道积分的计算方法是将围道分成若干小段，然后对每一小段进行积分，最后将所有小段的积分值相加得到整个围道的积分值。
围道积分的计算方法比直线积分和曲线积分要复杂一些，需要使用复变函数的柯西-黎曼积分定理等相关定理。
四、复变函数的积分应用复变函数的积分方法在数学和物理中有着广泛的应用。
它可以用来计算复变函数的积分值，求解一些特殊的微分方程，研究复杂的物理现象等。
在数学中，复变函数的积分方法可以用来计算复变函数的奇点，判断函数是否解析，计算函数的留数等。
在物理中，复变函数的积分方法可以用来计算电场、磁场等物理量的积分，求解电磁场的边界值问题，研究光学现象等。
五、总结复变函数的积分方法是研究复变函数的重要内容，它在数学和物理中有着广泛的应用。
复变函数第三章1积分
i
D
(
x
)dxdy y
0
（假设在单连通闭区域D上，柯西 黎曼方程成立）
课件
18
假 设
u , u , v , v 在闭区域D上连续； x y x y
（单连通闭区域D上，柯西 黎曼方程成立）
f (z)在单连通闭区域D上处处可导。
u , u , v , v 在闭区域D上连续； x y x y
f (z)的一阶导数f '(z) u i v 连续 x x
zdz 1 (3 4i)t (3 4i)dt 1 (3 4i)2
c
0 7 12i
2
课件
14
2
例2
计算
c(z
dz z0 )n1
,
C :以z0为中心,以r为半径的圆周，
n为整数.
z
解 C : z-z0 rei , 0 2
z z( ) z0 rei z'( ) riei
dz
c (z z0 )n1
2
0
riei r e n1 i(n1)
d
i
2
(cosn i sin n )d
rn 0
z0
o
2i, n 0
0,
n0
dz 2i,
c z z0
dz c(z z0 )n
0, n
1
注: (1)计算结果与z0 , r无关；
(2)以后证明，结论对于课围件绕z0的任意闭曲线都成15立。
即z z(t), f (z) f (z(t)). 因为z z(t) x(t) iy(t),计算微分dz z'(t)dt
(x'(t) iy'(t))dt
例1 计算
复变函数第6讲
§1、复变函数积分的概念及计算方法
1. 积分的定义
有向曲线：规定了正方向的曲线c称为有向曲线。 设曲线c的两个端点为A与B，如果把从A到B的方 向作为c的正方向，那么从B到A的方向就是c的负 方向，即为c—。 简单闭曲线的正方向: 是指当曲线上的点P顺此 方向沿该曲线前进时，临近P点的曲线内部始终 位于P点的左方。
则称f (z)在C上可积，上述极限值 I为f (z)沿曲线
C从A B的积分,记作 C f (z)dz.
即有
n
C
f (z)dz lim 0 k 1
f (k )zk .
积分路径 被积函数
如果C为闭曲线，那么沿此曲线的积分记作 f (z)dz。 c
2. 积分存在的条件及其计算方法
记：f (z) u(x, y) iv(x, y)，zk xk iyk ,
设c的弧长为L, 函数f (z)在c上满足 f (z) M, 则
c f (z)dz c f (z) ds ML, 其中s表示弧长。
此估计式是这样导出的：
n
n
c
f (z)dz
lim
0 k 1
f (k )zk
lim 0 k 1
f (k )
zk
n
由弧长曲线积分定义
lim 0 k 1
（2）连接z1 和z2两点的线段的参数方程为
z z1 t(z2 z1),
(0 t 1)
（3）过两点 z1 和z2的直线L的参数方程为
z z1 t(z2 z1 ),
( t )
（4）以z0为中心,r为半径的正向圆周的参数方程.
z z0 rei ,
0 2 .
3. 积分的性质 1）线性性质
第二章 复变函数的积分
一.复变函数的积分
(复平面的路径积分) 复平面的路径积分)
∫ f (z )dz ≡ lim ∑ f (ξ )(z
l n →∞ k =1 k
l l
n
k
− z k −1 ) ≡ lim ∑ f (ξ k )dz k n→∞
k =1
n
∫ f (z )dz = ∫ u (x, y )dx − v(x. y )dy + i ∫ v(x, y )dx + u (x. y )dy
ez I =∫ 2 dz c ( z + 1) 2
z 2
2π i (n−1) f (ξ ) ∫ (ξ − z)n dξ = (n −1)! f (z) l
例:计算
z = a (> 1)
解:
I=∫
c1
e z /( z − i ) 2 e /( z + i) dz dz + ∫ 2 2 c2 ( z + i) ( z − i)
1
I 2 = ∫ xdz + ∫ xdz =
0
1
1+i
i
1 ∫ 0idy + ∫ xdx = 2 0 0
直线参数方程 : z = (1 + i)t或( y = x)
1
I 3 = ∫ t (1 + i )dt = 1 + i 2 0
(可见积分与路径有关)
例2
1+i
z 2 dz = ? 1)沿折线 0—1---1+i ∫
= 2π i [e z /( z + i) 2 ]′z =i + 2π i [e z /( z − i ) 2 ]′z = −i
复变函数与积分变换总结_1
复变函数与积分变换总结_1复变函数与积分变换总结_11.复变函数复变函数是定义在复数域上的函数。
和实变函数类似，复变函数也具有实部和虚部。
复变函数有很多重要的性质和定理，以下是其中的一些重要内容：（1）柯西-黎曼方程：对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u和v为实变函数，它们分别表示f的实部和虚部。
如果f在局部有定义且可导，则f满足柯西-黎曼方程：∂u/∂x=∂v/∂y，∂u/∂y=-∂v/∂x。
这个方程是复变函数可导的充分必要条件。
（2）柯西积分定理：柯西积分定理是复变函数理论中的重要定理，它表示若f是一个在区域D上解析的函数，则对于D内任意闭合曲线C，有∮Cf(z)dz=0。
这个定理说明，对于解析函数来说，沿着闭合曲线的积分值为0。
（3）柯西积分公式：柯西积分公式是复变函数理论中的另一个重要定理，它给出了在解析函数上对闭合曲线上的导数的表达式。
设f是D内的解析函数，z0是D内任意一点，且C是以z0为中心的一条简单闭曲线，且完全在D内，则有f(n)(z0)=n!/2πi∮C(f(z)/(z-z0)^(n+1))dz，其中n为正整数，f(n)(z0)表示f的n次导数在z0处的值。
2.积分变换积分变换是将一个函数通过其中一种数学变换转换为另一个函数的过程，常用的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换和z变换。
（1）傅里叶变换：傅里叶变换是将一个时间域上的函数转换为频域上的函数。
对于一个函数f(t)，它的傅里叶变换表示为F(ω)，其中ω是频域上的变量。
傅里叶变换具有线性性、位移性、尺度性和频域去掉奇点的特性。
傅里叶变换广泛应用于信号处理、图像处理等领域。
（2）拉普拉斯变换：拉普拉斯变换是将一个时间域上的函数转换为复平面上的函数。
对于一个函数f(t)，它的拉普拉斯变换表示为F(s)，其中s是复平面上的变量。
拉普拉斯变换具有线性性、位移性、尺度性和频域去掉奇点的特性。
拉普拉斯变换在控制系统、信号处理等领域具有重要应用。
复变函数与积分变换知识点
复变函数与积分变换知识点一、复变函数的基本概念与性质：1. 复数及复平面：复数是由实数部分和虚数部分组成的数，通常表示为a+bi，其中i为虚数单位。
复平面是将复数与二维平面上的点一一对应的方法表示复数。
2. 复变函数的定义：复变函数是将复数域上的数映射到复数域上的函数。
通常表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)和v(x,y)分别为实部函数和虚部函数。
3. 复变函数的导数与解析函数：对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若存在导数f'(z)，则称f(z)在z处可导。
若f'(z)在复平面上处处可导，则称f(z)为解析函数。
4.柯西-黎曼方程：柯西-黎曼方程是解析函数的充分必要条件，即u(x,y)和v(x,y)满足柯西-黎曼方程的偏微分方程组。
5.全纯函数与亚纯函数：全纯函数是指在区域上处处可导的函数，亚纯函数是指在其定义域上除有限个孤立点外处处为全纯函数。
二、积分变换的基本概念与性质：1.积分变换的定义：积分变换是将函数f(t)变换为函数F(s)的方法，表示为F(s)=L[f(t)]，其中L为积分变换算符。
常见的积分变换有拉普拉斯变换和傅里叶变换等。
2. 拉普拉斯变换：拉普拉斯变换是将函数f(t)变换为复变函数F(s)的变换方法，定义为F(s)=∫[0,∞)e^(-st)f(t)dt。
拉普拉斯变换有一系列性质，如线性性、平移性、尺度变换等。
3. 傅里叶变换：傅里叶变换是将函数f(t)变换为复变函数F(ω)的变换方法，定义为F(ω)=∫(-∞,+∞)e^(-iωt)f(t)dt。
傅里叶变换也具有一系列性质，如线性性、平移性、尺度变换等。
4. 反变换：反变换是将复变函数F(s)逆变换为函数f(t)的方法。
对于拉普拉斯变换，反变换为f(t)=1/2πi∫(σ-i∞,σ+i∞)F(s)e^(st)ds；对于傅里叶变换，反变换为f(t)=1/2π∫(-∞,+∞)F(ω)e^(iωt)dω。
复变函数积分的概念与性质
（4） f (z)dz f (z)dz f (z)dz
C1 C2
C1
C2
（5）c f z dz c f zds ML
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
例2
计算
zdz
c
的值，其中 C 为沿从（0，0）到
（1，0）的线段与从（1，0）到（1，1）的线段
在这里分点 zn z 在曲线C上, zk (k 0,1,2,...,n)
按从 z0到Z的次序排列的。
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
如果 k 是zk 1到 z k 的弧上任意一点，那么下列和式
的极限(对任意分法和 k 的取法都存在且相同),记
y
M
x,
y
r i
N
x,
y
r j
drr
r dxi
r dyj
c
r F
gdrr
c Mdx
Ndy
F
x
t
,
y
t
grr
t
dt
c
B
x
drr , y
dz
dy
dx
Ax , y
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复积分
f z u x, y iv x, y
Complex Analysis and Integral Transform
r 例1 计算
c z
dz
z0 n1 ,
其中 C
为以
z
复变函数的积分
当f (z)是连续函数，C是光滑曲线时, C f (z)dz 存在.
复积分的计算：
C f (z)dz 可以通过两个二元实变函数的曲线积分来计算.
根据曲线积分的计算法，有 z=z(t) (α≤t≤β)
C f (z)d z f [z(t)]d z(t) f [z(t)]z(t)dt
即：
（1）利用参数方程把积分转化成一元函数中的定积分.
（2）利用格林公式把曲线积分转化为二重积分.
三．复积分的性质
第三章 复变函数的积分
1.线性性
(1) k f (z)dz k f (z)dz （k为常数)
C
C
(2) C [ f (z) g(z)]dz C f (z)dz C g(z)dz
2.可加性 f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz
第三章 复变函数的积分
二．原函数与不定积分
定理1 设f (z)在单连通区域B内解析，则对B中任意曲线C,
C f (z)dz 只与起点和终点有关.
由定理可知，解析函数f (z)在单连通区域D内的积分只与
起点 z0 及终点 z1有关.
z0
C1
B z1
C2
z0
C1 z1 C2 B
因此有
f (z)dz
1 [(ln 2 i)2 ln 2 2]
2
4
2 3 ln 2 2 ln 2 i
32 8
8
课后作业： 习题三 P75
1 (1),(2) ；2 5 (1),(2) ,(3) .
作乘积，并作和式，记sk zk-1zk 的长度,
n
lim
0
f (k ) zk
k 1
记作
f (z)dz
复变函数积分总结
复变函数积分总结导言在数学中，复变函数是指定义在复数域上的函数。
复变函数的积分是对复变函数在特定区域上的求和操作，与实变函数积分有所不同。
本文将对复变函数积分进行总结和讨论。
复杂积分的定义复杂积分，也称为复数积分，是指对复变函数在闭合曲线上的积分。
设有复变函数f(z)在某条复曲线C上连续，则函数f(z)在C上的复积分可记作∮Cf(z)dz。
复积分的计算方法复积分通常通过求曲线上各点处的函数值乘以位移的和来计算。
常用的计算方法有以下几种：直接计算直接计算法是指根据复积分的定义，对曲线进行参数化，将函数f(z)的表达式与曲线参数进行替换，然后依次计算函数值和位移，并求和得到积分的结果。
换元法当曲线C上的积分难以直接计算时，可以使用换元法简化问题。
通过引入新的复变量进行变换，使得积分的计算变得更加简便。
洛朗级数展开法洛朗级数展开法常用于计算含有奇点的复积分。
通过将复变函数在奇点附近展开为洛朗级数，并利用级数的性质进行计算，可以得到积分的近似值。
留数定理留数定理是计算复积分的重要工具。
该定理指出，如果复变函数在有限个奇点上可导，并且曲线上的积分路径不经过这些奇点，那么积分的结果等于这些奇点的留数的和。
复积分的性质复积分具有许多重要的性质，这些性质在计算和应用中起着重要的作用。
1.线性性质：复积分与常数的乘积、函数的线性组合和积分路径无关。
2.相对路径无关性：如果曲线C和C’在同一个区域内且只有端点不同，那么对于可积函数f(z)，∮Cf(z)dz = ∮C’f(z)dz。
3.积分与路径无关性（格林定理）：如果函数f(z)在以闭合曲线C为界的区域内解析，那么对于任意两条路径P1和P2，有∮P1f(z)dz = ∮P2f(z)dz。
4.积分与积分路径方向无关性：对于可积函数f(z)，路径的方向不同，积分结果相差一个负号，即∮Cf(z)dz = -∮-Cf(z)dz。
应用领域复积分在许多领域中有着广泛的应用，包括物理学、工程学和统计学等。
复变函数积分的概念
C 无关性.
附：
格林公式
盐城工学院基础部应用数学课程组
dz 例如 2 i , z 1 z
例如
z 1
dz dz 2 Q dz zd d z 1 z
练习
dz 2 i ie z 1 z 0 d 0
dz
z 1
z
e i d 0
C
即为一元实函数的定积分 . 一般不能把起点为 , 终点为 的函数 f ( z ) 的积分
记作 f ( z )dz , 因为这是一个线积分 , 要受积分路
线的限制, 必须记作 f ( z )dz .
C
盐城工学院基础部应用数学课程组
性质(4)的证明
因为 zk 是 zk 与 zk 1 两点之间的距离 ,
0
1
C1 1
(1 i ) (1 i ) t d t
0
1
1 21 1. 2 t 2 0
说明：此积分与路径有关
盐城工学院基础部应用数学课程组
课堂练习
例3 计算 z dz , 其中 C 为 : 圆周 z 2.
C
解 积分路径的参数方程为
z 2e
i
(0 2π ),
第一节
复变函数积分的概念
一、积分的定义 二、积分存在的条件及其计算法 三、积分的性质
第三章
盐城工学院基础部应用数学课程组
y
B
一、复变函数积分的定义 1.有向曲线 以A与B为端点的光滑(或按段)曲线C 规定：从A到B为曲线C的正向,
o
y
A
x
o
从B到A就是曲线C的负向,记作 C y
复变函数与积分变换知识点总结
复变函数与积分变换知识点总结复变函数与积分变换是数学中重要的概念和工具，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
复变函数是指定义在复平面上的函数，具有复数作为自变量和函数值，积分变换是指通过对函数进行积分操作来获得新的函数。
本文将对复变函数与积分变换的相关知识进行总结，包括复变函数的定义与性质、积分变换的定义与性质、常见的复变函数以及常见的积分变换。
一、复变函数的定义与性质1. 复变函数的定义：复变函数是指定义在复平面上的函数，具有复数作为自变量和函数值。
一般来说，复变函数可以写成f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy表示复平面上的点，u(x,y)和v(x,y)分别是实部和虚部函数。
2.复变函数的性质：（1）连续性：复变函数在复平面上连续，当且仅当实部和虚部函数分别在该点连续。
（2）可微性：复变函数在复平面上可微，当且仅当实部和虚部函数具有一阶连续偏导数，并满足复合函数的求导法则。
（3）调和函数：实部和虚部函数都是二阶偏导数连续的函数，若满足拉普拉斯方程△u=0，则称u(x,y)为调和函数。
二、积分变换的定义与性质1. 积分变换的定义：积分变换是一种将函数通过积分操作转换为另一种函数的方法。
一般来说，积分变换可以写成F(s)=∫f(t)e^(-st)dt，其中s为复变量，f(t)为原函数。
2.积分变换的性质：（1）线性性：积分变换具有线性性质，即对于常数a和b，以及函数f(t)和g(t)，有积分变换[a*f(t)+b*g(t)](s)=a*F(s)+b*G(s)。
（2）平移性：若对于函数f(t)，其积分变换为F(s)，则e^(at)*f(t)的积分变换为F(s-a)。
（3）卷积性：若函数f(t)和g(t)的积分变换分别为F(s)和G(s)，则f(t)*g(t)的积分变换为F(s)*G(s)。
三、常见的复变函数1. 复指数函数：复指数函数的表达式为e^(z)=e^(x+iy)=e^x*cos(y)+ie^x*sin(y)，其中x和y分别是实部和虚部。
第三章 第一节 复积分的概念及其简单性质
第一节 复积分的概念及其简单性质
第二节 柯西积分定理 第三节 柯西积分公式及其推论 第四节 解析函数与调和函数
第九讲
第一节 复积分的概念及其简单性质
1、复变函数积分的的定义 2、积分的计算问题 3、基本性质
1.实例: 1.实例: 变力沿曲线 L : A → B , 实例 所作的功，常力r 常力 r
M 1 ( x1 , y1 ), M 2 ( x2 , y2 ),L , M n −1 ( xn −1 , yn −1 )把 L分
成 n个有向小弧段 M i −1M i (i = 1, 2,L , n; M 0 = A,
M n = B). 设∆xi = xi − xi −1 , ∆yi = yi − yi −1 , 点
y
z
∫
=
C
1 dz n ( z − z0 )
⋅ z0
o
θ
r
x
i r
n −1
∫
2π
0
[cos(n − 1)θ − i sin(n − 1)θ ]dθ = 0;
n = 1, n ≠ 1.
2π i, 1 所以 ∫ dz = n +1 ( z − z0 ) 0, z − z0 = r
重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.
并且 z ′(t ) ≠ 0, α < t < β ,
如果 f ( z ) = u ( x, y ) + i v( x, y ) 在 D 内处处连续,
那么 u ( x, y ) 和 v( x, y ) 在 D 内均为连续函数,
设 ζ k = ξ k + iη k ,
因为 ∆zk = zk − zk −1 = xk + iyk − ( xk −1 + iyk −1 )
3.1复变函数积分的概念及其基本性质(精)
注：此例说明，积分路径不同，积分结果不同
例2、（重要的常用的例子）试证明
n 1 2 i, dz C ( z a) n 0, n 1的整数
这 里 C 表 示 以点 a 为圆 心 ， r 为半径的圆周 （图3.1.5） 证：C的方程为
z a re
i
(0 2 )
u(k ,k ) uk , v(k ,k ) vk
有
f (
k 1
n
k
)zk (uk ivk )(xk iyk )
k 1
n
(uk xk vk yk ) i (uk yk vk xk )
k 1 k 1
n
n
由于f ( z)沿C连续，因此u( x, y), v( x, y)沿C连续
u( x, y) iv( x, y)沿光滑C连续，
且f ( z)沿C可积，则有
c
f ( z )dz udx vdy i vdx udy （3.1.2）
c c
证:
设 zk xk iyk，xk xk xk 1 yk yk yk 1， k k ik
c
f ( z )dz lim f ( k )zk
0
k 1
n
（3.1.1 ）
其中C为积分路径，当C是闭曲线时， C f ( z )dz 表示沿C的正向积分, C 向积分。
4、可积条件 •必要条件：f ( z ) 沿C可积的必要条件是 f ( z ) 沿C有界。
f ( z )dz
图3.1.1
2、 简单闭曲线（围线） 这样规定走向：当观察者绕曲线C 环行时，如果围线C在观察者左方， 就规定这个环行方向为曲线正向； 反之就规定为负向。如右图：箭 头方向为曲线正向 图3.1.2 一般：用 C表示带有正向的有向围线 用 C 表示带有负向的有向围线
复变函数的积分
f (z)eimzdz f (Rei )eimR(cos isin ) R ei id
CR
0
f (Rei ) e Rd mRsin max f (Rei ) R e d mRsin
0
0
数学物理方法
e d mRsin 0
e d e d 2 mR sin 0
mR sin
阶连续偏导数，则曲线积分 L Pdx Qdy 与路径无关的
充要条件是
Q P ( x, y) D
x y
l zdz l xdx ydy il ydx xdy
数学物理方法
3 用极坐标计算
例4 计算 l z dz, 其中 l 为: 圆周 z 2.
解 积分路径的参数方程为
z 2ei (0 2π), dz 2iei d
2
y
y1
2
1
y2 sin
e d e d ( ) 2 mR sin 0
0 mR sin( )
O
2
2
e d e d 2 e d 2 e d 2 mR sin
2 mR sin
2 mR sin
2mR
2
0
0
0
0
2mR 2
2
e 2mR
0
(1 emR )
L f (z)dz 0
数学物理方法
推论2
若f (z)在单连通区域D内解析，则l f (z)dz与路径无关
l
l1
A
D
B
l2
f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz 0
l
lAB
lBA
l1 AB
l2 AB
f (z)dz f (z)dz
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从形式上可以看成是
f ( z ) u iv 与 dz dx idy 相乘后求积分得到:
C f ( z )dz C (u iv )(dx idy ) udx ivdx iudy vdy C
udx vdy i vdx udy .
, zn b,
y
b
C
1 2
(2)取近似值
在每个弧段 zk 1 z k ( k 1, 2,
f k zk 1 z k
z k 1 z k z k z k 1
a a z0z1 z2 o
k z k zk 1
zn1
x
, n)上任意取一点 k ,
f k zk zk 1 f k zk
z1 z2
k z k zk 1
C z n 1
B
o
x
则称f ( z )在曲线C上可积,极限值称为 函数 f ( z ) 沿曲线 C 的积分,记为
C
f ( z )dz
5
注意：
1:对 C 的分法无关 2:与 k 的取法无关
说明:
(1) 用
C
f ( z )dz表示f ( z )沿着曲线C的负向的积分
1 2i , 所以 n1 dz ( z z0 ) 0, z z0 r
n 0, n 0.
12
例3
计算
zdz
c
的值。
C 为：(1)从原点到 z0 1 i 的直线段.
(2) 沿从原点到
z1 1的直线段 c 2
与从 z1 到 z0 的直线段 c3 所 连接的折线.
k 1
n
[u( k ,k )xk v( k ,k )yk ]
k 1 n
n
i [v ( k ,k )xk u( k ,k )yk ]
k 1
C f ( z )dz
udx vdy i C vdx udy
C
7
公式
C f ( z )dz C udx vdy iC vdx udy
dz ( 3 4i )dt ,
C zdz 0 (3 4i ) tdt (3 4i ) 0 tdt
2 2
1
1
(3 4i )2 7 24 =- i . 2 2 2
10
例2 求
1 C ( z z0 )n1 dz , C 为以 zy0 为中心, r 为半 z
f [ z(t )]z(t )dt .
C f ( z )dz
f [ z( t )]z( t )dt
9
C f ( z )dz
C
f [ z( t )]z( t )dt
例1 计算 zdz , C : 从原点到点3 4i 的直线段. 解
C的参数方程为: z (3 4i )t , 0 t 1
4
(3)求和
这里 zk zk zk 1 , sk zk 1 zk的长度,
记 max{sk },
1 k n
y
(4)求极限
当 n 无限增加且 0 时,
0 k 1
lim f ( k ) zk f ( z )dz .
C
n
A
1 2
答案 (1) 1 ( 2) 1 i
13
3. 复积分的性质
第三章 复变函数的积分
1、ห้องสมุดไป่ตู้复变函数积分的定义
2、复变函数积分的计算问题
3、 复变函数积分的基本性质
1
1. 复变函数积分的概念
设 C 为平面上给定的一条连续曲线, 如果 选定 C 的两个可能方向中的一个作为正方向 (或正向), 那么我们就把 C 理解为带有方向 的曲线, 称为有向曲线。 如果 A 到 B 作为曲线 C 的正向, 那么 B 到 A 就是曲线 C 的负向,
记为C .
关于曲线方向的说明: 以后把两个端点中的一个作为起点, 另一个作为 终点, 除特殊声明外, 正方向总是指从起点到终点的 方向.
y
B
o
A
x
2
注意： 简单闭曲线 C 的正向 是指当曲线上的点 P 沿此 方向前进时, 邻近 P 点的 曲线的内部始终位于 P 点 的左方.
y
P
P P P
o
x
与之相反的方向就是曲线的负方向.
3
1. 积分的定义:
已知： f ( z ) u( x, y ) i v( x, y ) ，且c为定义域内起点 为a终点为b的有向曲线, 求f ( z )沿着曲线c的积分。
(1) 分割
在 C中插入n 1个分点，连通 两个端点，n+1个 a z0 , z1 , , zk 1 , zk ,
C C
8
C f ( z )dz
1. 设曲线C的参数方程为: z=z(t)=x(t)+iy(t) t
C
( u iv )(dx idy )
2. f(z)沿曲线C连续
C
f ( z )dz
u(t ) iv(t ) ( x( t ) iy( t ))dt
(2) f ( z )沿着此闭曲线C的积分也可记为 f ( z )dz .
C
6
2. 积分存在的条件及积分性质
(1)如果 f ( z ) 是连续函数而 C 是光滑曲线时, 积分
n k 1
f (
C
f ( z )dz 一定存在.
k
)zk [u(k ,k ) iv(k ,k )]( xk i yk )
11
1 i 2π in C ( z z0 )n1 dz r n 0 e d , 当 n 0 时, 1 2π C ( z z0 )n1 dz i 0 d 2i;
y
z
0 z
o
r
当 n 0 时,
x
C
1 i 2π n 1 dz n 0 (cos n i sin n )d 0; ( z z0 ) r
径的正向圆周 , n 为整数.
解
积分路径的参数方程为
(0 2π),
o
0 z
r
z z0 rei
x
dz ire i d 2π 1 ire i C ( z z0 )n1 dz 0 r n1e i ( n1) d i 2π in n e d , r 0