复变函数的积分及其性质

从形式上可以看成是
f ( z ) u iv 与 dz dx idy 相乘后求积分得到:
C f ( z )dz C (u iv )(dx idy ) udx ivdx iudy vdy C
udx vdy i vdx udy .
第三章 复变函数的积分
1、 复变函数积分的定义
2、复变函数积分的计算问题
3、 复变函数积分的基本性质
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1. 复变函数积分的概念
设 C 为平面上给定的一条连续曲线, 如果 选定 C 的两个可能方向中的一个作为正方向 (或正向), 那么我们就把 C 理解为带有方向 的曲线, 称为有向曲线。 如果 A 到 B 作为曲线 C 的正向, 那么 B 到 A 就是曲线 C 的负向,
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1 i 2π in C ( z z0 )n1 dz r n 0 e d , 当 n 0 时, 1 2π C ( z z0 )n1 dz i 0 d 2i;
y
z
0 z
o

r
当 n 0 时,
x
C
1 i 2π n 1 dz n 0 (cos n i sin n )d 0; ( z z0 ) r
答案 (1) 1 ( 2) 1 i
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3. 复积分的性质
3
1. 积分的定义:
已知： f ( z ) u( x, y ) i v( x, y ) ，且c为定义域内起点 为a终点为b的有向曲线, 求f ( z )沿着曲线c的积分。
(1) 分割
在 C中插入n 1个分点，连通 两个端点，n+1个 a z0 , z1 , , zk 1 , zk ,
, zn b,
y
b
C
1 2
(2)取近似值
在每个弧段 zk 1 z k ( k 1, 2,
f k zk 1 z k
z k 1 z k z k z k 1
a a z0z1 z2 o
k z k zk 1
zn1
x
, n)上任意取一点 k ,
f k zk zk 1 f k zk
z1 z2
k z k zk 1
C z n 1
B
o
x
则称f ( z )在曲线C上可积,极限值称为 函数 f ( z ) 沿曲线 C 的积分,记为

C
f ( z )dz
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注意：
1:对 C 的分法无关 2:与 k 的取法无关
说明:
(1) 用
C
f ( z )dz表示f ( z )沿着曲线C的负向的积分
1 2i , 所以 n1 dz ( z z0 ) 0, z z0 r
n 0, n 0.
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例3
计算
zdz
c
的值。
C 为：(1)从原点到 z0 1 i 的直线段.
(2) 沿从原点到
z1 1的直线段 c 2
来自百度文库
与从 z1 到 z0 的直线段 c3 所 连接的折线.



f [ z(t )]z(t )dt .
C f ( z )dz

f [ z( t )]z( t )dt
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C f ( z )dz
C

f [ z( t )]z( t )dt
例1 计算 zdz , C : 从原点到点3 4i 的直线段. 解
C的参数方程为: z (3 4i )t , 0 t 1
径的正向圆周 , n 为整数.
解
积分路径的参数方程为
(0 2π),
o
0 z

r
z z0 rei
x
dz ire i d 2π 1 ire i C ( z z0 )n1 dz 0 r n1e i ( n1) d i 2π in n e d , r 0
dz ( 3 4i )dt ,
C zdz 0 (3 4i ) tdt (3 4i ) 0 tdt
2 2
1
1
(3 4i )2 7 24 =- i . 2 2 2
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例2 求
1 C ( z z0 )n1 dz , C 为以 zy0 为中心, r 为半 z
k 1
n
[u( k ,k )xk v( k ,k )yk ]
k 1 n
n
i [v ( k ,k )xk u( k ,k )yk ]
k 1
C f ( z )dz
udx vdy i C vdx udy
C
7
公式
C f ( z )dz C udx vdy iC vdx udy
C C
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C f ( z )dz
1. 设曲线C的参数方程为: z=z(t)=x(t)+iy(t) t
C
( u iv )(dx idy )
2. f(z)沿曲线C连续

C
f ( z )dz
u(t ) iv(t ) ( x( t ) iy( t ))dt
记为C .
关于曲线方向的说明: 以后把两个端点中的一个作为起点, 另一个作为 终点, 除特殊声明外, 正方向总是指从起点到终点的 方向.

y
B
o
A
x
2
注意： 简单闭曲线 C 的正向 是指当曲线上的点 P 沿此 方向前进时, 邻近 P 点的 曲线的内部始终位于 P 点 的左方.
y
P
P P P
o
x
与之相反的方向就是曲线的负方向.
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(3)求和
这里 zk zk zk 1 , sk zk 1 zk的长度,
记 max{sk },
1 k n
y
(4)求极限
当 n 无限增加且 0 时,
0 k 1
lim f ( k ) zk f ( z )dz .
C
n
A
1 2
(2) f ( z )沿着此闭曲线C的积分也可记为 f ( z )dz .
C
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2. 积分存在的条件及积分性质
(1)如果 f ( z ) 是连续函数而 C 是光滑曲线时, 积分
n k 1
f (

C
f ( z )dz 一定存在.
k
)zk [u(k ,k ) iv(k ,k )]( xk i yk )