第三章 恒定电流的电场和磁场
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2、切线方向上： E1t E 2t
E1 sin 1 E 2 sin 2
wk.baidu.com
特殊情况： 》垂直分界面入射时：方向不发生改变，类似光折射 》当σ1> >σ2 ：即第一种媒质为良导体，第二种媒质为不 良导体时，只要θ1≠π/2，得θ2≈0，即在不良导体中，电力 线近似垂直于界面，可以将良导体的表面看作等位面
例：如图一半径为10cm的半球形接地导体电极，电极平 面与地面重合，已知土壤的导电率为σ=10-2S/m。求： 1）接地电阻； 2）若有短路电流100A流入地中，某人正以0.5m的步距向 接地点前进，前脚距半球中心点的距离为2m，求此人的 跨步电压及土壤的损耗功率
解：接地电极的接地电阻为
1 R 159 2 a 2 0.01 0.1 1
电荷守恒的数学表达式（电流连续性方程的积分形式）
J dS
S
V
t
dV
电流连续性方程的微分形式 J 0 t
恒定电流场的基本方程之一：
积分形式： SJ dS 0
微分形式： J 0
表明：无散，即电流密度矢量线是无起点无终点闭合曲线
• 恒定电流：电流不随时间变化而变化 • 恒定电流场：恒定电流的空间存在的电场
§3.1.1
电流密度
一、电流强度（标量）（A）
q dq lim 单位时间通过某导线截面的电荷量 i t 0 t dt
i为时间的函数，若电荷流动的速度不变，称恒定电流 即直流电流 i dq I
dt
l
E dl 0
l E dl ab E dl cd E dl bc E dl da E dl
由于h0
l E dl ab E dl cd E dl
又⊿l很小，所以⊿l上电场强 度可看成常数
l E dl E1 l0l E2 l0l 0
-
§3.1.4
焦耳定律(不适用于运流电流)
焦耳定律：电流产生的热量跟电流、电阻和通电时间的 关系。即电流通过导体的热量跟电流的平方成正比，跟 导体的电阻成正比，跟通过时间成正比。 l Q I 2 Rt 单位( J , A, , S ) S 焦耳定律的微分形式： p J E E 2 证明：当导体上电压为U，电流为I时，功率为 P = UI 在导体中，沿电流线方向取长度为⊿l、截面为⊿S的体 积元，该体积元消耗的功率为 当⊿V→0时，取⊿P/⊿V的极限，得导体内任一点热功 P 2 率密度，即 2 或 p J E E p lim EJ E
V 0
P U I E l I EJ l S EJ V
V
补充：接地电阻(无线电仪器或电气装置中常需接地) • 接地：将金属导体埋入地内，而将设备中需要接地的 部分与该导体连接。
• 接地体或接地电极：埋在地内的导体或导体系统。
• 接地电阻：电流由电极流向大地时所遇到的电阻。当 远离电极时，电流流过的面积很大，而在接地电极附 近，电流流过的面积很小，或者说电极附近的电流密 度最大，则电极处电场强度最大，从而电压差主要产 生在电极处，因此，接地电阻主要集中在电极附近。 • 跨步电压：人跨一步（约0.8m）的两脚间的电压。如 果短路，大的电流流入大地时，接地电极附近地面两 点间电压可能达到相当大的数值。
主要内容
• 恒定电流的电场的基本特性（第一部分）
• 磁感应强度与磁场强度
• 恒定磁场的基本方程
• 磁介质中的场方程
• 恒定磁场的边界条件 • 自感与互感的计算 • 磁场能量与能量密度
（第二部分）
第一部分 §3.1 恒定电流的电场
基本概念：
• 电流：电荷在电场作用下定向运动形成电流，习惯
上规定正电荷运动的方向为电流的方向。
E 2 0 J1n J 2n E1t E2t
U E dl
2 0 D1n D2n
E1t E2t
U E dl
I J dS
S
q D dS
S
• 静电比拟法：当某一特定的静电场问题的解已知时， 与其相应的恒定电场的解可以通过对偶量的代换直 接得出。 恒定电场：E , , J , I , , G 静电场：E , , D, q, , C 漏电电导定义：两个导体之间的漏电流I与它们之间 的电压U的比值为该导体系统的漏电导，用G表示。而 导体与大地之间的漏电阻一般称为接地电阻。 说明：漏电导与形状、位置、介质有关，与I和U无关。 孤立导体与无穷远处的导体之间存在漏电导。 利用静电比拟法，直接由电容得到漏电导
又⊿S很小，所以⊿S上电流密度可看成常数
S J dS J 2 nS J1 nS 0
n (J 2 J1 ) 0
或 J 1n J 2 n
1 2 或 1 2 n n
表明：电流密度的法向分量在边界面两侧连续
电场强度的切向分量 在分界面上构造如右图狭长回路，由
》与I的关系
S
I J dS
》与ρ的关系 J v
2、面电流密度 若电流仅分布在导体表面的一薄层内，引入面电流密度
I dI 》与I的关系 I J dl J S lim n n l l 0 l dl 》与ρS的关系 J S v
S
物理意义：恒定电场无散场，其电流密度矢量线是无起 点无终点闭合曲线。对应电路理论中基尔霍夫电流定律 旋度方程 积分形式： l E dl 0
微分形式： E 0
物理意义：恒定电场是保守场。 对应电路理论中的基 尔霍夫电压定律。
恒定电流场的基本性质：无散无旋场
§3.1.5 恒定电流场的基本方程 （适应于电源外部）
静电场中，导体内有： E 0
欧姆定律积分形式：U RI
注意：只适用于传导电流， 电源外部；不适用于运流 电流、电源
常温下（20℃）常用材料的电导率
材 料 电导率σ（S/m）
铁（99.98%）
黄铜 铝 金 铅 铜 银
107
1.46 ×107 3.54 ×107 3.10 ×107 4.55×107 5.80×107 6.20×107
l
E dl 0
电流密度的法向分量 在分界面上构造如图非常薄的柱形闭合面，由 J dS 0
J dS J dS J dS J dS
S 上 下 侧
S
由于h0
S J dS 上 J dS 下 J dS
tan 1 1 tan 2 2
说明：电场强度和电流密度矢量方 向在经过分界面两边时方向将发 生改变，改变量与媒质性质有关
§3.1.7 恒定电流场与静电场的比拟
恒定电场（电源外）
E 0 J 0 J E
静电场（ρ=0的区域）
E 0 D 0 DE E
3、线电流密度 如果电流流过一根非常细的导线时，引入线电流密度 J l In l v 电流密度动态演示：
§3.1.2
电荷守恒定律
电荷定恒定律：任一封闭系统的电荷总量不变。即任意 体积V内的电荷增量必定等于流入这个体积的电荷增量。
dq d S J dS dt dt V dV
§3.1.3
欧姆定律的微分形式
电流分类： • 传导电流：指导体中的自由电子或半导体中的自由电 荷在电场作用下作定向运动所形成的电流。如金属中、 电解液中的电流。 • 运流电流：指带电粒子在真空中或气体中运动时形成 的电流。如真空管中的电流。
欧姆定律微分形式： J E 其中σ 为电导率，单位：西门子/米（S/m） 恒定电场中，仅理想导体（σ →∞ ）内才有： E 0
§3.1.6
恒定电流场的边界条件
• 在两种导体分界面上，导体性质有突变，电场也 会突变
• 边界条件：场分量在界面上的变化规律
• 恒定电流场的边界条件：不同导体分界面两边恒 定电流产生的电场突变所遵循的规律，称为静电 场的边界条件 • 推导恒定电流场边界条件的依据是恒定电流场方 程的积分形式
S
J dS 0
硅
1.56×10-3
电动势 • 电源：一种将其他形式的能量（机械的，化学的，热 的等）转化为电能的装置 • 非静电力：非静止电荷产生的力，如电池内，非静电 力指由化学反应产生的使正、负电荷分离的化学力。 • 非库仑场：只存在电源内部，非静电力对电荷的影响 等效为一个非保守电场 E • 库仑场：同时存在电源内部和外部， E 恒定分布的电荷产生的保守场 E • 电动势：电源内部搬运单位正电荷 从负极到正极时非静电力所作的功 A E dl B ( E E ) dl •电动势用总电场的回路积分表示： l •含电源的欧姆定律的微分形式： J ( E E )
第三章
恒定电流的电场和磁场
§3.1 恒定电流的电场（第一部分） §3.2 磁感应强度 §3.3 恒定磁场的基本方程 §3.4 矢量磁位 §3.5 磁偶极子 §3.6 磁介质中的场方程 （第二部分） §3.7 恒定磁场的边界条件 §3.8 标量磁位 §3.9 互感和自感 §3.10 磁场能量 §3.11 磁场力
l 0 ( E 2 E1 ) 0
或 n ( E2 E1 ) 0
或 E2t E1t
表明：电场强度的切向分量在边界面两侧是连续的
分界面上电场的方向 分析电场强度经过两种电介质界面时，其方向改变情况 1、法线方向上： J 1n J 2n
1 E1 cos 1 2 E 2 cos 2
I 2 a
故得接地电阻为： R U I
同理，全球接地电阻 R
1 2 a 1
4 a
接地电导 G 4 a
结论：当流入地面电流一定，电阻越小，电压越小，因 此为了使人接近接地电极时更安全，应该减小接地电阻。 电阻越小，接地仪器设备的外壳越接近大地的电位
4 a 减小接地电阻方法： • 增大半径a 》 采用大块接地导体 》采用若干个具有一定粗细，一定长度的导体柱组成的 接地系统 》采用多根细长导体辐射状散开平铺于地下。 • 增大电导率σ 》在接地电极附近的地质中灌入盐液或其他导电液体。 R 1
二、电流密度（矢量）（A/m2）——体电流密度 大小：与正电荷运动方向垂直的单位面积上的电 流强度。方向：正电荷运动的方向。 如图，设通过 △S的电流为 △I，该点处的电流密度为
I dI J lim n n S 0 S dS
1、体电流密度
I dI J lim n n S 0 S dS
由于恒定电场的旋度为零，可以引入电位 E 又由于 J E E E 0
在均匀导体内部（电导率σ为常数），有
E 2 0
拉普拉斯方程 物理意义：在恒定电场中，均匀导体中的电荷体密度为 零，电荷分布在媒质表面。
例：求半球形电极的接地电阻 设经引线由O点流入半球形电极的电流为I，则距球心为 r处的地中任一点的电流密度为：
I er 2 2r I 则电场强度为： E er 2 2 r J
由于电流沿径向一直流出去，直至无穷远处 所以电极在大地中的电压为： U
a
E dr
已知流入地中电流为I，则在距求心r处的电场强度为
E I 2 r
2
跨步电压 U AB
OB
OA
Edr 159.2V
损耗功率 P I 2 R 1.59 106W
§3.1.5 恒定电流场的基本方程 （适应于电源外部）
散度方程 微分形式： J 0
积分形式： J dS 0
E1 sin 1 E 2 sin 2
wk.baidu.com
特殊情况： 》垂直分界面入射时：方向不发生改变，类似光折射 》当σ1> >σ2 ：即第一种媒质为良导体，第二种媒质为不 良导体时，只要θ1≠π/2，得θ2≈0，即在不良导体中，电力 线近似垂直于界面，可以将良导体的表面看作等位面
例：如图一半径为10cm的半球形接地导体电极，电极平 面与地面重合，已知土壤的导电率为σ=10-2S/m。求： 1）接地电阻； 2）若有短路电流100A流入地中，某人正以0.5m的步距向 接地点前进，前脚距半球中心点的距离为2m，求此人的 跨步电压及土壤的损耗功率
解：接地电极的接地电阻为
1 R 159 2 a 2 0.01 0.1 1
电荷守恒的数学表达式（电流连续性方程的积分形式）
J dS
S
V
t
dV
电流连续性方程的微分形式 J 0 t
恒定电流场的基本方程之一：
积分形式： SJ dS 0
微分形式： J 0
表明：无散，即电流密度矢量线是无起点无终点闭合曲线
• 恒定电流：电流不随时间变化而变化 • 恒定电流场：恒定电流的空间存在的电场
§3.1.1
电流密度
一、电流强度（标量）（A）
q dq lim 单位时间通过某导线截面的电荷量 i t 0 t dt
i为时间的函数，若电荷流动的速度不变，称恒定电流 即直流电流 i dq I
dt
l
E dl 0
l E dl ab E dl cd E dl bc E dl da E dl
由于h0
l E dl ab E dl cd E dl
又⊿l很小，所以⊿l上电场强 度可看成常数
l E dl E1 l0l E2 l0l 0
-
§3.1.4
焦耳定律(不适用于运流电流)
焦耳定律：电流产生的热量跟电流、电阻和通电时间的 关系。即电流通过导体的热量跟电流的平方成正比，跟 导体的电阻成正比，跟通过时间成正比。 l Q I 2 Rt 单位( J , A, , S ) S 焦耳定律的微分形式： p J E E 2 证明：当导体上电压为U，电流为I时，功率为 P = UI 在导体中，沿电流线方向取长度为⊿l、截面为⊿S的体 积元，该体积元消耗的功率为 当⊿V→0时，取⊿P/⊿V的极限，得导体内任一点热功 P 2 率密度，即 2 或 p J E E p lim EJ E
V 0
P U I E l I EJ l S EJ V
V
补充：接地电阻(无线电仪器或电气装置中常需接地) • 接地：将金属导体埋入地内，而将设备中需要接地的 部分与该导体连接。
• 接地体或接地电极：埋在地内的导体或导体系统。
• 接地电阻：电流由电极流向大地时所遇到的电阻。当 远离电极时，电流流过的面积很大，而在接地电极附 近，电流流过的面积很小，或者说电极附近的电流密 度最大，则电极处电场强度最大，从而电压差主要产 生在电极处，因此，接地电阻主要集中在电极附近。 • 跨步电压：人跨一步（约0.8m）的两脚间的电压。如 果短路，大的电流流入大地时，接地电极附近地面两 点间电压可能达到相当大的数值。
主要内容
• 恒定电流的电场的基本特性（第一部分）
• 磁感应强度与磁场强度
• 恒定磁场的基本方程
• 磁介质中的场方程
• 恒定磁场的边界条件 • 自感与互感的计算 • 磁场能量与能量密度
（第二部分）
第一部分 §3.1 恒定电流的电场
基本概念：
• 电流：电荷在电场作用下定向运动形成电流，习惯
上规定正电荷运动的方向为电流的方向。
E 2 0 J1n J 2n E1t E2t
U E dl
2 0 D1n D2n
E1t E2t
U E dl
I J dS
S
q D dS
S
• 静电比拟法：当某一特定的静电场问题的解已知时， 与其相应的恒定电场的解可以通过对偶量的代换直 接得出。 恒定电场：E , , J , I , , G 静电场：E , , D, q, , C 漏电电导定义：两个导体之间的漏电流I与它们之间 的电压U的比值为该导体系统的漏电导，用G表示。而 导体与大地之间的漏电阻一般称为接地电阻。 说明：漏电导与形状、位置、介质有关，与I和U无关。 孤立导体与无穷远处的导体之间存在漏电导。 利用静电比拟法，直接由电容得到漏电导
又⊿S很小，所以⊿S上电流密度可看成常数
S J dS J 2 nS J1 nS 0
n (J 2 J1 ) 0
或 J 1n J 2 n
1 2 或 1 2 n n
表明：电流密度的法向分量在边界面两侧连续
电场强度的切向分量 在分界面上构造如右图狭长回路，由
》与I的关系
S
I J dS
》与ρ的关系 J v
2、面电流密度 若电流仅分布在导体表面的一薄层内，引入面电流密度
I dI 》与I的关系 I J dl J S lim n n l l 0 l dl 》与ρS的关系 J S v
S
物理意义：恒定电场无散场，其电流密度矢量线是无起 点无终点闭合曲线。对应电路理论中基尔霍夫电流定律 旋度方程 积分形式： l E dl 0
微分形式： E 0
物理意义：恒定电场是保守场。 对应电路理论中的基 尔霍夫电压定律。
恒定电流场的基本性质：无散无旋场
§3.1.5 恒定电流场的基本方程 （适应于电源外部）
静电场中，导体内有： E 0
欧姆定律积分形式：U RI
注意：只适用于传导电流， 电源外部；不适用于运流 电流、电源
常温下（20℃）常用材料的电导率
材 料 电导率σ（S/m）
铁（99.98%）
黄铜 铝 金 铅 铜 银
107
1.46 ×107 3.54 ×107 3.10 ×107 4.55×107 5.80×107 6.20×107
l
E dl 0
电流密度的法向分量 在分界面上构造如图非常薄的柱形闭合面，由 J dS 0
J dS J dS J dS J dS
S 上 下 侧
S
由于h0
S J dS 上 J dS 下 J dS
tan 1 1 tan 2 2
说明：电场强度和电流密度矢量方 向在经过分界面两边时方向将发 生改变，改变量与媒质性质有关
§3.1.7 恒定电流场与静电场的比拟
恒定电场（电源外）
E 0 J 0 J E
静电场（ρ=0的区域）
E 0 D 0 DE E
3、线电流密度 如果电流流过一根非常细的导线时，引入线电流密度 J l In l v 电流密度动态演示：
§3.1.2
电荷守恒定律
电荷定恒定律：任一封闭系统的电荷总量不变。即任意 体积V内的电荷增量必定等于流入这个体积的电荷增量。
dq d S J dS dt dt V dV
§3.1.3
欧姆定律的微分形式
电流分类： • 传导电流：指导体中的自由电子或半导体中的自由电 荷在电场作用下作定向运动所形成的电流。如金属中、 电解液中的电流。 • 运流电流：指带电粒子在真空中或气体中运动时形成 的电流。如真空管中的电流。
欧姆定律微分形式： J E 其中σ 为电导率，单位：西门子/米（S/m） 恒定电场中，仅理想导体（σ →∞ ）内才有： E 0
§3.1.6
恒定电流场的边界条件
• 在两种导体分界面上，导体性质有突变，电场也 会突变
• 边界条件：场分量在界面上的变化规律
• 恒定电流场的边界条件：不同导体分界面两边恒 定电流产生的电场突变所遵循的规律，称为静电 场的边界条件 • 推导恒定电流场边界条件的依据是恒定电流场方 程的积分形式
S
J dS 0
硅
1.56×10-3
电动势 • 电源：一种将其他形式的能量（机械的，化学的，热 的等）转化为电能的装置 • 非静电力：非静止电荷产生的力，如电池内，非静电 力指由化学反应产生的使正、负电荷分离的化学力。 • 非库仑场：只存在电源内部，非静电力对电荷的影响 等效为一个非保守电场 E • 库仑场：同时存在电源内部和外部， E 恒定分布的电荷产生的保守场 E • 电动势：电源内部搬运单位正电荷 从负极到正极时非静电力所作的功 A E dl B ( E E ) dl •电动势用总电场的回路积分表示： l •含电源的欧姆定律的微分形式： J ( E E )
第三章
恒定电流的电场和磁场
§3.1 恒定电流的电场（第一部分） §3.2 磁感应强度 §3.3 恒定磁场的基本方程 §3.4 矢量磁位 §3.5 磁偶极子 §3.6 磁介质中的场方程 （第二部分） §3.7 恒定磁场的边界条件 §3.8 标量磁位 §3.9 互感和自感 §3.10 磁场能量 §3.11 磁场力
l 0 ( E 2 E1 ) 0
或 n ( E2 E1 ) 0
或 E2t E1t
表明：电场强度的切向分量在边界面两侧是连续的
分界面上电场的方向 分析电场强度经过两种电介质界面时，其方向改变情况 1、法线方向上： J 1n J 2n
1 E1 cos 1 2 E 2 cos 2
I 2 a
故得接地电阻为： R U I
同理，全球接地电阻 R
1 2 a 1
4 a
接地电导 G 4 a
结论：当流入地面电流一定，电阻越小，电压越小，因 此为了使人接近接地电极时更安全，应该减小接地电阻。 电阻越小，接地仪器设备的外壳越接近大地的电位
4 a 减小接地电阻方法： • 增大半径a 》 采用大块接地导体 》采用若干个具有一定粗细，一定长度的导体柱组成的 接地系统 》采用多根细长导体辐射状散开平铺于地下。 • 增大电导率σ 》在接地电极附近的地质中灌入盐液或其他导电液体。 R 1
二、电流密度（矢量）（A/m2）——体电流密度 大小：与正电荷运动方向垂直的单位面积上的电 流强度。方向：正电荷运动的方向。 如图，设通过 △S的电流为 △I，该点处的电流密度为
I dI J lim n n S 0 S dS
1、体电流密度
I dI J lim n n S 0 S dS
由于恒定电场的旋度为零，可以引入电位 E 又由于 J E E E 0
在均匀导体内部（电导率σ为常数），有
E 2 0
拉普拉斯方程 物理意义：在恒定电场中，均匀导体中的电荷体密度为 零，电荷分布在媒质表面。
例：求半球形电极的接地电阻 设经引线由O点流入半球形电极的电流为I，则距球心为 r处的地中任一点的电流密度为：
I er 2 2r I 则电场强度为： E er 2 2 r J
由于电流沿径向一直流出去，直至无穷远处 所以电极在大地中的电压为： U
a
E dr
已知流入地中电流为I，则在距求心r处的电场强度为
E I 2 r
2
跨步电压 U AB
OB
OA
Edr 159.2V
损耗功率 P I 2 R 1.59 106W
§3.1.5 恒定电流场的基本方程 （适应于电源外部）
散度方程 微分形式： J 0
积分形式： J dS 0