超详细的.二项式展开式性质
二项式展开定理
二项式展开定理
二项式展开定理是数学中一个重要的定理，它用来描述多项式的
标准形式，也就是（x + y）n的展开式。
尽管它只有简单的几个步骤，却提供了彩虹三角形群和组合数学的基础，并帮助我们解决一些较复
杂的问题。
在初步了解了二项式展开定理之后，我们来看一下它的原理。
二项式展开定理的基本形式指，（x + y）n的展开式是对于一个整数n（1≤?n?≤∞），展开式定义为：
(x + y)^n =x^n + C_n^1*x^(n-1) * y + C_n^2*x^(n-2) * y^2 + … + C_n^(n-1)*x*y^(n-1)+ y^n
其中，C_n^1为二项式系数：
C_n^1 = n!/[(n-1)! * 1!]
C_n^2 = n!/[(n-2)! * 2!]
C_n^3 = n!/[(n-3)! * 3!]
依此类推
也就是说，在同一次多项式乘积中，x和y各出现n次，可形成
n+1个不同的项，且每一项的系数都是经过精心的计算确定的最优解。
例如，
（x + y）3=x3+3x2y+3xy2+y3，其中系数3、3、3和1分别对应
了C_n^1、C_n^2、C_n^3和C_n^4
由此可知，二项式展开定理有助于快速计算出多项式乘积中各项
的系数，而不需要再把多项式拆解成若干个二次方程。
此外，将展开
式中两边乘以特定因子，在交换系数前后比较，可用来进行数学归纳
过程，有助于证明一般性数学定理，这在高数课程中会有所帮助。
总之，二项式展开定理是数学中一个重要的定理，它在求解多项
式乘积中拓宽了解决方案，帮助我们更加高效地解决数学问题。
计算二项式展开式
计算二项式展开式二项式展开式是指将一个二项式表达式按照一定的规律进行展开的过程。
它在代数中具有重要的应用，可以帮助解决各类数学问题。
本文将详细介绍在计算二项式展开式过程中需要注意的步骤和技巧。
二项式的一般形式为(a+b)^n，其中a和b为实数，n为非负整数。
在计算二项式展开式时，可以利用二项式定理进行求解。
一、二项式定理二项式定理是指(a+b)^n的展开式可以写成一系列项的和，每一项由组合数C(n,k)和幂的积组成，表达式如下：(a+b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^(n-1) b^1 + C(n,2)a^(n-2) b^2 + ... + C(n,n)a^0 b^n其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，计算公式为：C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)二、计算步骤计算二项式展开式的一般步骤如下：1. 根据给定的二项式表达式(a+b)^n，确定n的值和需要计算的展开项数。
2. 依次计算每一项的系数，并将其与对应的幂相乘。
3. 按照展开项的次数降序排列各项，得到最终的展开式。
三、实例演示以展开式(2x+3y)^4为例，演示计算步骤：1. 根据二项式表达式，确定n的值为4，需要计算的展开项数为5（包括次数为0的项）。
2. 分别计算各项的系数和幂的乘积，得到展开式的各项：- 第一项：C(4,0) * (2x)^4 * (3y)^0 = 1 * 16x^4 * 1 = 16x^4- 第二项：C(4,1) * (2x)^3 * (3y)^1 = 4 * 8x^3 * 3y = 96x^3y- 第三项：C(4,2) * (2x)^2 * (3y)^2 = 6 * 4x^2 * 9y^2 = 216x^2y^2 - 第四项：C(4,3) * (2x)^1 * (3y)^3 = 4 * 2x * 27y^3 = 216xy^3- 第五项：C(4,4) * (2x)^0 * (3y)^4 = 1 * 1 * 81y^4 = 81y^43. 按照展开项的次数降序排列各项，得到最终的展开式：(2x+3y)^4 = 16x^4 + 96x^3y + 216x^2y^2 + 216xy^3 + 81y^4四、注意事项在计算二项式展开式时，需要注意以下几点：1. 确认二项式的形式，确定n值和需要计算的展开项数。
高二数学二项式展开式的性质
例 4 .求 1x61x4展开x3 项 式的 中 . 系 含数
分1:析 运用二项1式 x6与 定 1x理 4展分 ,再 开别 把将 乘, 积
将所 x3系 有数 的相 . 加即可
1 x 6 1 x 4 1 c 6 1 x c 6 2 x 2 c 6 6 x 6 1 c 1 4 x c 4 2 x 2 c 1 4 x 3 c 4 4 x 4
例如 f(x)(ab)nx C n 0anC n 1an 1 b x C n 2an 2 b2x2 C n ran r(b)rx C n nbnxn
a 0 a 1 x a 2 x 2 a 3 x 3 a n x n
(1)求展开式：
例1.求(1 2x)8的展开式
例 2 .若 1 2 C n 1 2 2 C n 2 2 n C n n 21 求 n 87
(3)证明恒等式
例 1 . 求 : C 1 n 2 C n 2 证 3 C n 3 n C n n n 2 n 1
(4)求近似问题
例1求 . 近似 (精值确0到 .00:1) (1)(.1.005 3)(2). (0.999)88
▲ (ab)n题型【方法】:利用通项与分解因式列表法
含 x3项的 : c系 4 3c6 1c数 4 2c6 2c为 1 4c6 3 8
分析2：
1x61x41x241x2,这里 x3项 含只有一 : 种 1x24含 x2的项 x与 12含 x的项,相 这乘 样可简化 .
含 x3项的系 :c1 4数 c1 2为 8
例1.在( x 1 )100的展开式中有多少项是有理项. 3x
例2.在(1 - x3 )(1 x)10的展开式中求 x5的系数
例3.在(x 2 3 x 2)5的展开式中 x的系数 (240)
(完整版)二项式展开式系数的性质
(
2)n cos n
4
Cn1 Cn3 Cn5 Cn7 L
(
2)n sin n
4
证明：
2
cos
4
i sin
4
n
(
2)n cos n i(
4
2)n sin n
4
①又Βιβλιοθήκη 2cos4
i
sin
4
n
2
2 i 2
2 2
n
(1
i)n
1 Cn1i Cn2 Cn3i Cn4 Cn5i Cn6 Cn7i L
(Cn0 Cn1x Cn2 x2 L Cnn xn )(Cn0xn Cn1xn1 L Cnn1x Cnn )
令a 1,b 1,则0 Cn0 C1n Cn2 Cn3 (1)n Cnn
Cn0 Cn2 Cn2r C1n Cn3 Cn2r1 2n1
性质4：
4. (x y)n 展开式共有 n 1 项。二项式系数：小 大 小
当当nn为为偶奇数数时时，，中中间间项两为项第系数n2 最1大项，，它二们项是式第系n数C1 n项n2 最和大； 2
证明：Q kCnk nCnk11 ,
n
n
n
左边
kCnk
nCnk11 n
C k 1 n1
k 1
k 1
k 1
n 1
n
Ck n 1
n 2n1 右边
k 0
(2)
Cn0
1 2
Cn1
1 3
Cn2
L
1 n 1
Cnn
1 (2n1 1) n 1
证明：Q (k 1)Cnk11 (n 1)Cnk ,
的展开式中，按
1 2
二项式性质及应用
二项式性质及应用二项式是代数学中常见的一个概念，它是由两项代数式（一般是两个变量的和或差）构成的式子。
在数学上，二项式具有许多重要的性质和应用。
首先，二项式的展开式有着特殊的形式，称为二项式定理。
二项式定理的表述如下：对于任意实数a和b以及自然数n，有(x+y)^n = C(n,0) * x^n * y^0 + C(n,1) * x^(n-1) * y^1 + ... + C(n,k) *x^(n-k) * y^k + ... + C(n,n) * x^0 * y^n其中C(n,k)表示组合数，即从n个元素中选取k个元素的组合数。
例如C(5,2)表示从5个元素中选取2个元素的组合数，计算结果为10。
二项式定理可以通过排列组合中的思想进行证明，它能够将一个复杂的二项式展开式转化为多个简单的幂次项相乘的形式。
二项式定理的一个重要应用是多项式的展开。
将一个多项式展开成二项式的形式，不仅可以简化计算过程，还可以方便地求取多项式的系数。
例如，如果要计算(x+y)^4的展开式，可以直接使用二项式定理展开，得到(x+y)^4 = C(4,0) * x^4 * y^0 + C(4,1) * x^3 * y^1 + C(4,2) * x^2 * y^2 + C(4,3) * x^1 * y^3 + C(4,4) * x^0 * y^4= x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4通过展开式，可以快速得到多项式的各个项的系数，从而进行进一步的计算或分析。
其次，二项式性质使得它在概率论和统计学中有着广泛的应用。
在概率论中，二项式分布描述了一系列独立重复实验的结果，每次实验只有两种可能的结果（成功或失败）。
二项式分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * q^(n-k)其中X为成功的次数，n为实验的总次数，p为每次实验成功的概率，q为每次实验失败的概率。
二项式分布可以应用于各种实际问题，如投掷硬币、游戏中的输赢情况等。
二项定理展开式
二项定理展开式二项定理，又称二项式定理，是组合数学中的一条重要定理，也是高中数学和大学数学中常见的内容之一。
它是指任何一个形如(a+b)^n的二项式的展开式都可以用组合数学中的二项系数来表示。
二项定理的表达式为：(a+b)^n = C(n,0)a^n*b^0 + C(n,1)a^(n-1)*b^1 + C(n,2)a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,n-1)a^1*b^(n-1) + C(n,n)a^0*b^n其中，^表示指数运算，C(n, k)表示组合数，表示从n个元素中选取k个元素的组合数。
二项定理的展开式给出了一个二项式的多项式展开形式，其中每一项的系数即为组合数。
它可以用于解决概率问题、组合问题、代数问题等许多数学问题，因此具有广泛的应用价值。
首先，二项定理的展开式可以用于计算二项式的值。
通过二项定理，我们可以不需要手工计算每个二项式的值，而是通过组合数直接计算得出结果。
这在实际计算中能够极大地简化问题，提高计算效率。
其次，二项定理的展开式可以用于求解排列组合问题。
例如，在概率论中，我们常常需要求解从n个元素中选取k个元素的组合数。
这时，我们可以利用二项式定理，将问题转化为一个二项式的展开式，从而直接计算得到所需组合数，避免了逐个枚举的繁琐计算。
同时，二项定理的展开式还可以用于解决代数问题。
通过展开二项式，我们可以得到多项式的展开形式，从而进一步进行多项式的运算、因式分解等操作。
这在代数学中具有重要的意义，能够帮助我们更好地理解和应用多项式。
除此之外，二项定理的展开式也涉及到了数学中的一些重要概念和性质。
例如，展开式中每一项的系数恰好对应了组合数的性质，体现了组合数学的重要性；同时，展开式中的各项次数也具有一定的规律性，反映了二项式的特点。
综上所述，二项定理展开式是一条生动、全面且具有指导意义的数学定理。
通过它，我们可以更好地理解二项式、组合数和多项式，同时也能够解决许多实际问题。
二项式展开式系数的性质
(C ) C .
n 2 n n 2n
n 证明：从 2n 个不同元素中选取 n 个元素的取法数是 C2 n。
又我们也可将 2n 个元素平均分成甲、乙两组，那么，取法 也可按以下分类进行：
甲组 0个 1个 2个 n个
乙组 n个 n 1 个 n2个 0个
取法数
0 n Cn Cn 1 n 1 Cn Cn 2 n2 Cn Cn
令a 1, b 1, 则0 C C C C (1) C
0 n 1 n 2 n 3 n n
n n
0 2 2r 3 2 r 1 n 1 Cn Cn Cn C1 C C 2 n n n
性质4：
4. ( x y)n 展开式共有 n 1 项。二项式系数：小 大 小 n n 当 n 为偶数时，中间项为第 1 项，二项式系数 Cn2 最大； 2
2 n 4 n 6 n n
n n n n 证明： 2 cos i sin ( 2) cos i( 2) sin 4 4 4 4
2 2 n 又 2 cos i sin 2 i (1 i ) 4 4 2 2
n 0 Cn Cn
0 n 1 n1 2 n 2 由加法原理，Cn Cn Cn Cn Cn Cn
n 0 n Cn Cn C2 n，
0 2 1 2 2 2 即 (Cn ) (Cn ) (Cn )
n 2 n (Cn ) C2 n .
50 49 48 50 2
50
50
3 其中奇数项之和为实数，偶数项之和为纯虚数，故答案为 i。 2
4. 设 n 为偶数，求证： 1 1 1 1!(n 1)! 3!(n 3)! 5!(n 5)! 1 2n1 (n 1)!1! n!
超详细的二项式展开式性质
Cnranrbr
Cnnbn(n N )
与首末两端“等距离”旳两个二项式系数相 等（．2）增减性与最大值
二项式系数前半部分是逐渐增大旳，
由对称性可知它旳后半部分是逐渐减小旳， 且中间项取得最大值。
所以，当n为偶数时，中间一项旳二项式系数
n
当n为奇数时，中间C两n2项旳取二得项最式大系值数；
二项式定理
对于（a+b）n = (a b)(a b) (a b)
旳展开式有哪些项？
n 个 二项式定理
(a+b)n
=Cn0an+Cn1an-1b+C
n2an-2b2+…＋C
nran-rbr+…+C
n n
bn
右边旳多项式叫做 (a+b)n 旳二项展开式, 它一共有 n+1 项.
其中各项系数 Cnr (r=0, 1, 2, …, n)叫做二项式系数 式中旳项 Cnr an-rbr 叫做二项展开式旳通项,是第r+1 项,记作 Tr+1
解: 展开式共有10项,中间两项是第5、6项。
T5
T41
C94
(
x 3
)94
(
3 )4 x
42x3
2.已知（T6xTx5221)n旳C展95 (开3x )式95中( ，3x第)5５项42旳x 32二项式
系数与第３项旳二项式系数之比是：１４：３，
求展开式中旳第４项
二项式系数旳性质
(a b)n Cn0an Cn1a b n1 1
、
n1
n1
Cn2 Cn2 相等，且同步取得最大值。
（3）各二项式系数旳和 C0n C1n Cn2 Cnn 2n
二项式定理知识点和各种题型归纳带答案
二项式定理知识点和各种题型归纳带答案二项式定理1．二项式定理：( a b) n C n0 a n C n1a n 1b C n r a n r b r C n n b n (n N ) ，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做(a b n) 的二项展开式。
②二项式系数 : 展开式中各项的系数 C n r( r 0,1,2, , n) .③项数：共 ( r 1) 项，是关于a与 b 的齐次多项式④通项：展开式中的第r 1 项C n r a n r b r叫做二项式展开式的通项。
用Tr 1C n r a n r b r表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(n1) 项。
②顺序：注意正确选择a ,b , 其顺序不能更改。
(a b n与(b a)n是不同的。
)③指数： a 的指数从 n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0 逐项减到n，是升幂排列。
各项的次数和等于 n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是C n0 , C n1 ,C n2 ,, C n r ,,C n n . 项的系数是 a 与b的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：令 a1,b x,(1x)n C n0 C n1 x C n2 x2 C n r x r C n n x n (n N)令 a1,b x,(1x)n C n0 C n1 x C n2 x2C n r x r(1)n C n n x n ( n N )5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离” 的两个二项式系数相等，即C n0C n n，···C n k C n k 1②二项式系数和：令 a b 1,则二项式系数的和为C n0 C n1C n2C n r C n n2n，变形式 C n1C n2C n r C n n2n1。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令a1,b 1 ，则 C n0C n1C n2 C n3(1) n C n n(1 1)n0 ，从而得到： C n0C n2C n4C n2 r C n1C n3C n2r112n2n 12④奇数项的系数和与偶数项的系数和：( a x)n C n0a n x0 C n1a n 1 x C n2a n 2 x2C n n a0 x n a0 a1x1a2 x 2a n x n( x a)n C n0a0 x n C n1ax n 1C n2a2 x n 2C n n a n x0a n x n a2 x2a1x1a0令 x1, 则a0a1a2a3a n(a 1)n①令 x1,则a0a1a2a3a n(a 1)n②①②得 , a0a2a4a n( a1)n2(a 1)n(奇数项的系数和)①②得 , a1a3a5a n(a1)n2(a 1)n(偶数项的系数和)n⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数C n2取得最大值。
二项式定理的定义和基本性质是什么
二项式定理的定义和基本性质是什么二项式定理是代数中一个重要的定理，描述了一个二项式的幂展开式。
它的定义和基本性质如下。
定义：
二项式定理是指对于任意实数a和b以及任意非负整数n，二项式展开式的公式为：
(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + C(n,2) * a^(n-
2) * b^2 + ... + C(n,n) * a^0 * b^n
其中C(n,k)表示n个元素中取k个元素的组合数。
基本性质：
1. 幂次关系：对于二项式展开式中的任意一项，其对应的幂次关系为a^n-k * b^k。
其中n为二项式展开的幂次，k为该项中b的幂次。
2. 系数关系：二项式展开式中每一项的系数可以用组合数表示。
具体地，第k项的系数为C(n,k)。
3. 对称性：二项式展开式中的对称性表现为，对应的k项和n-k项的系数相等。
4. 性质1：二项式展开式中的一切项数为n+1。
5. 性质2：二项式展开式中的一切系数之和等于2^n。
二项式定理的应用广泛，特别是在代数和组合数学中。
它在代数运算和多项式求解中起到了重要的作用。
同时，通过二项式定理可以得到一些重要的数学恒等式，例如二项式系数恒等式和牛顿二项式系数恒等式。
总结：
二项式定理的定义描述了一个二项式的幂展开式，利用组合数的概念表示了每一项的系数。
二项式定理具有幂次关系、系数关系、对称性等基本性质。
它在数学中应用广泛，为代数运算和多项式求解提供了重要的工具和方法。
二项式定理知识点总结
二项式定理知识点总结二项式定理专题一、二项式定理：二项式定理是一个重要的恒等式，它表示了任意实数a,b 和正整数n之间的关系。
具体地，对于任意正整数n和实数a,b，有以下恒等式成立：a+b)^n = C(n,0)*a^n + C(n,1)*a^(n-1)*b +。
+ C(n,n-1)*a*b^(n-1) + C(n,n)*b^n其中，C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，也就是n个元素中取k个元素的方案数。
右边的多项式叫做(a+b)的二项式展开式，其中各项的系数C(n,k)叫做二项式系数。
二项式定理的理解：1）二项展开式有n+1项。
2）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1到0；字母b按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n。
3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a,b，等式都成立。
通过对a,b取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。
例如，当a=1，b=x时，有以下恒等式成立：1+x)^n = C(n,0) + C(n,1)*x +。
+ C(n,n-1)*x^(n-1) +C(n,n)*x^n4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式(a+b)展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式(a+b)^n。
二、二项展开式的通项公式：二项展开式的通项公式是指，二项式展开式中第k+1项的系数C(n,k)的公式。
具体地，对于任意正整数n和实数a,b，有以下通项公式成立：T(k+1) = C(n,k)*a^(n-k)*b^k其中，T(k+1)表示二项式展开式中第k+1项的系数。
通项公式体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心。
它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用。
三、二项展开式系数的性质：在二项式展开式中，二项式系数具有以下性质：①对称性：与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C(n,0) = C(n,n)。
二项式定理各种题型解题技巧
二项式定理1.二项式定理：(a + b)n = cy + 叫+ ••• + cy-r b r + …+ C；：b" (neN*),2.基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做(a + b)n的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数C：(厂=0,1,2,•••,“).③项数：共(r + 1)项，是关于a与b的齐次多项式④通项：展开式中的第厂+ 1项C；,a n-r b r叫做二项式展开式的通项。
用T r+{ = C；t a''-r b r表示。
3.注意关键点：①项数：展开式中总共有(n +1)项。
②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。
(a + b)n与e + a)"是不同的。
③指数：a的指数从"逐项减到0,是降幕排列。
"的指数从0逐项减到〃，是升幕排列。
各项的次数和等于④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是…,C：,…,C；：.项的系数是d与方的系数(包括二项式系数)。
4.常用的结论：令a = \,b = x y (1 + x)n = C：： + C> + C>2 + …+ C；t x r + …+ C；：x” (neN*)令a = \,b = -x, (1-x)n = C；； -C\x + C>2 _... + + …+ (-1)"C；：x”(neN*)5.性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即C；【= C；；,・・・U②二项式系数和：令a = h = \,则二项式系数的和为C,； + G +…+ C：+…+ C；： = 2",变形式C* + C； +-. + C； + ..•+ C； = 2n -1 o③奇数项的二项式系数和二偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令"=1/ = 一1,则u _C + c： _ C：+…+(_I)”c;： = (I _ = 0,从而得到：C；：+C：+C：・・・+C,7+••• = (?,；+C； +…+ C；E+••• = [><2“ = 2心2④奇数项的系数和与偶数项的系数和：①-②得,q +为4,设第厂+1项系数,从而解出r 来。
二项定理展开式
二项定理展开式【原创实用版】目录1.二项式定理的定义与基本概念2.二项式定理的展开式3.二项式定理展开式的应用正文一、二项式定理的定义与基本概念二项式定理，又称二项式公式，是概率论和组合数学中的一个重要定理。
它用于计算某一离散随机变量在给定概率分布下的概率质量函数。
二项式定理的基本概念包括：试验次数、每次试验成功的概率、每次试验失败的概率以及成功次数等。
二、二项式定理的展开式二项式定理的展开式如下：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k) 表示成功次数为 k 的概率，C(n, k) 表示从 n 次试验中成功 k 次的组合数，p 表示每次试验成功的概率，n 表示试验次数。
三、二项式定理展开式的应用1.计算概率：利用二项式定理展开式，可以计算离散随机变量在某一特定取值下的概率。
例如，抛一枚硬币 5 次，求恰好出现 3 次的概率。
根据二项式定理展开式，可得：P(X=3) = C(5, 3) * (1/2)^3 * (1/2)^2 = 10 * (1/8) = 1/42.估计概率：当离散随机变量的取值范围较大时，可以利用二项式定理展开式估计某一取值的概率。
例如，从包含 n 个元素的集合中随机抽取 m 个元素，求恰好抽到 k 个元素的概率。
根据二项式定理展开式，可得：P(X=k) = C(n, k) * (1/n)^k * (1-1/n)^(n-k)3.推导其他概率公式：二项式定理展开式还可以推导出其他概率公式，如二项分布的期望和方差等。
例如，抛一枚硬币 5 次，求硬币出现次数的期望。
根据二项式定理展开式，可得：E(X) = Σ[k * P(X=k)] = Σ[k * C(5, k) * (1/2)^k * (1/2)^(5-k)] 通过计算，可得期望值为 E(X) = 5/2。
二次项定理展开式
二次项定理展开式
二项式展开公式：(a+b)^n=a^n+C(n，1)a^(n-1)b+C(n，2)a^(n-
2)b^2+...+C(n，n-1)ab^(n-1)+b^n。
二项展开式是依据二项式定理对（a+b)n进行展开得到的式子秤川侵，由艾萨克·牛顿于1664-1665年间提出，二项展开式是高考的一个重要考点。
在二项式展开式中，二项式系数是一些特殊的组合数。
二项式系数最
大的项是中间项，而系数最大的项却不一定是中间项。
二项展开式的要点
1、项数：总共二项式展开有n+1项，通常通项公式写的是r+1项。
2、通项公式的第r+1项的二次项系数是Cnk，二次项系数不是项的
系数。
3、如果二项式的幂指数扯泛是偶数，中间的一项二菌眠次项系数最大。
如果是奇数，则最中间2项最大并且相等。
4、指数：a按降幂排列，b按升幂排列，每一项中a、b的指数和为n。
3.二项式定理
例讲三：多项式的展开式问题
1.在(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)11 的展开式中，x2 项的系数是 2.(1＋2x2)(1＋x)4 的展开式中 x3 的系数为 3.已知(x－1)(ax＋1)6 的展开式中含 x2 项的系数为 0，则正实数 a＝________． 4.(x2－x＋1)10 的展开式中 x3 项的系数为 5.(x2＋x＋y)5 的展开式中 x5y2 的系数为
二项式定理
一.二项式定理及性质
1.定理：(a＋b)n＝C 0n an＋C 1nan －1b＋…＋C knan－k bk＋…＋C nn bn(n ∈N*)．
2.通项：第 k＋1 项为 Tk＋1＝Cknan－kbk． 3.二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为：Ckn (k＝0，1，2，…，n)．
64∶1，则
x3
的系数为
2.若(1－x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a9|＝
【解析】 (1)由题意知42nn＝64，得 n＝6，展开式的通项为 Tr＋1＝Cr6x6－r 3xr＝3rCr6x6－32r， 令 6－32r＝3，得 r＝2，则 x3 的系数为 32C26＝135.故选 C. (2)令 x＝0，得 a0＝1，令 x＝－1，得|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a9|＝[1－(－1)]9－1＝29－1＝ 511.
2.若
x＋1 x
n展开式的二项式系数之和为
64，则展开式的常数项为_系数为 C25－122＝52.
(2)ax2＋
1x5的展开式的通项
Tr＋1＝C5r (ax2)5－r×
1xr＝Cr5a5－rx10－52r，令
10－52r＝0，得
r＝4，所以 C45a5－4＝－10，解得 a＝－2.
高中数学完整讲义——二项式定理1.二项展开式1求展开式中的指定项
1．二项式定理⑴二项式定理()()011222...nn n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N这个公式表示的定理叫做二项式定理．⑵二项式系数、二项式的通项011222...n n n n nn n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()na b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r rnC a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr n T C a b -+=．⑶二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意①通项1r n r rr nT C a b -+=是()na b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rnC b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是()na b +这个标准形式下而言的，如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r rr n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r r r n T C a b -+=是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1rr n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系知识内容求展开式中的指定项数是不同的概念．⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......nr r n nn n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r rnC a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素， 只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：()na b +展开式的二项式系数是：012,,,...,n n n n n C C C C ，从函数的角度看r n C 可以看成是r 为自变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ． 当6n =时，()f r 的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式m n m n n C C -=得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大． 由于展开式各项的二项式系数顺次是 ()01211,,112n n n n n n C C C -===⋅，()()312123n n n n C --=⋅⋅，．．．，()()()()112...2123....1k n n n n n k C k ----+=⋅⋅⋅⋅-，()()()()()12...21123...1knn n n n k n k C k k---+-+=⋅⋅⋅-，．．．，1n n C =．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2n nC ．当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项． 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n nnCC-+=．③二项式系数的和为2n ，即012......2r n n nn n n n C C C C C ++++++=． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．【例1】62⎛⎝的展开式中的第四项是 ．【例2】6⎛⎫的展开式中，3x 的系数等于_ ___．【例3】((3511+-的展开式中x 的系数是A ．4-B ．2-C ．2D ．4典例分析【例4】 若9a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．【例5】 5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()x ∈R 展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于A ．1-B ．12C ．1D ．2【例6】 若2012(12)n n n x a a x a x a x -=++++，则2a 的值是（ ）A ．84B ．84-C ．280D ．280-【例7】8()x -的展开式中62x y 项的系数是（ ）A ．56B ．56-C ．28D ．28-【例8】 若()554541031x a x a x a x a +=++⋅⋅⋅++，则2a 的值为（ ）A ．270B ．2702xC ． 90D ．902x【例9】 的展开式中的系数是_______（用数字作答）．【例10】 在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．64(1(1+x 25(42)x x ++x【例11】 在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．【例12】 在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．【例13】 求展开式中含项系数．【例14】 在的展开式中，项的系数是 ．（用数字作答）【例15】 的展开式中的系数等于________．（用数字作答）【例16】展开式中的系数是_______（用数字作答）．【例17】 在的展开式中的系数是（ ）25(42)x x ++2x 25(42)x x ++3x 294(31)(21)x x x +-+2x 26(1)(1)(1)x x x ++++++2x 2345(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x ---+---+-2x 291()2x x-9x 8(1)(1)x x -+5xA ．−14B ．14C ．−28D ．28【例18】 在的展开式中，含的项的系数是（ ）A ．15-B ．85C ．120-D ．274【例19】 在的展开式中，含项的系数是 （用数字作答）【例20】 求展开式中的系数．【例21】 的展开式中的系数是_______（用数字作答）．【例22】 在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．【例23】 在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．(1)(2)(3)(4)(5)x x x x x -----4x 56789(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x -+-+-+-+-3x 26(1)x x +-5x 64(1(1+x 25(42)x x ++x 25(42)x x ++2x【例24】 在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．【例25】 求展开式中含项系数．【例26】 在的展开式中，项的系数是 ．（用数字作答）【例27】 的展开式中的系数等于________．（用数字作答）【例28】展开式中的系数是_______（用数字作答）．25(42)x x ++3x 294(31)(21)x x x +-+2x 26(1)(1)(1)x x x ++++++2x 2345(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x ---+---+-2x 291()2x x-9x【例29】 在的展开式中的系数是（ ）A ．−14B ．14C ．−28D ．28【例30】 在的展开式中，含的项的系数是（ ）（A ）15- （B ）85 （C ）120- （D ）274【例31】 在的展开式中，含项的系数是 （用数字作答）【例32】 求展开式中的系数．【例33】 在二项式的展开式中，含的项的系数是（ ）A ．B ．C ．D ．【例34】的展开式中的系数是______，的系数为______．8(1)(1)x x -+5x (1)(2)(3)(4)(5)x x x x x -----4x 56789(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x -+-+-+-+-3x 26(1)x x +-5x 521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭4x 10-105-534(12)(1)x x +-x 2x【例35】 的展开中含的项的系数为（ ）A ．B ．C ．D ．【例36】 的展开式中的系数是（ ）A ．B ．C ．3D ． 4【例37】 求展开式中的系数；【例38】 在二项式的展开式中，含的项的系数是（ ）A ．B ．C ．D ．【例39】的展开式中的系数是（ ） A ．B ．C ．D ．【例40】 在的展开式中，的系数为 （用数字作答）411(1)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭2x 461012((6411+x 4-3-()()31011x x -+5x 521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭4x 10-105-56(2)x +3x 2040801604(1x【例41】 在的展开式中，的系数为 _____ （用数字作答）【例42】 的二项展开式中含的项的系数为（ ） A ．B ．C ．D ．【例43】 若的二项展开式中的系数为则 ．（用数字作答）【例44】 设常数，展开式中的系数为，则＝_____．【例45】 已知（是正整数）的展开式中，的系数小于120，则 ．((333(1)11x +++++x 91x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭3x 36-84-3684261()x ax +3x 5,2a =0a>24(ax 3x 32a 26(1)kx +k 8x k =【例46】 已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等 ．【例47】的二项展开式的第项的系数为（） A ．B ．C ．D ．【例48】 若的二项展开式中的系数为则．（用数字作答）【例49】 若与的展开式中含的系数相等，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【例50】 已知，则二项式 展开式中含项的系数是 ．【例51】 在的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项，若实数，那么．5(cos 1)x θ+2x 45()4x +3x cos θ=106210-252-210252261()x ax +3x 5,2a =__________21()n x m ++2(1)(*0)n mx n m +∈≠N ，n x m 12(]23，2[1)3，(0)-∞，(0)+∞，()π0sin cos a x x dx =+⎰6⎛ ⎝2x 7(1)ax +3x 2x 4x 1a >_______a =【例52】 已知（是正整数）的展开式中，的系数小于，则______．【例53】的展开式中的系数为 ．【例54】 若的展开式中，的系数是的系数的倍，求；【例55】的展开式中，的系数与的系数之和等于__________．【例56】 已知为实数，展开式中的系数是，则_______．26(1)kx +k 8x 120k=4(33x y (1)n x +3x x 7n 10()x y -73x y 37x y a 10()x a +7x 15-a =【例57】 二项式的展开式中第三项系数比第二项系数大，求第项的系数．【例58】 求的二项展开式中含的项的二项式系数与系数．【例59】 若的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中项的系数为_______．【例60】 令为的展开式中含项的系数，则数列的前项和为．41nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭44491x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭3x 12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭4x n a 1()(1)n n f x x +=+1n x -1{}na 2009______【例61】 在的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项，求的值．【例62】 已知，则 ．【例63】 在展开式中，与的系数分别为，如果3ab =，那么的值为（） A ． B ． C ． D ．【例64】 若的展开式中的系数是， 则实数的值是_______．7(1)ax +(1)a >3x 2x 4x a ()52551110ax x bx a x +=++++b =()1n x +3x 2x a b ，b 706055405(1)ax -3x 80-a【例65】 设常数，展开式中的系数为，则 ．【例66】 若展开式中含项的系数与含项的系数之比为，则等于（ ） A ．B ．C ．D ．【例67】 设为的展开式中含项的系数，则数列的前项和为_____【例68】 已知展开式的第二项与第三项的系数比是，则________．【例69】 在的展开式中，如果第项和第项的二项式系数相等，则第项为______0a>42ax ⎛ ⎝3x 32a =12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭21x 41x 5-n 46810n a 1()(1)n n f x x +=+1n x -1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n 12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭1:2n =220(1)x -4r 2r +4r【例70】 若在二项式的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是．【例71】【例72】 已知展开式中最后三项的系数的和是方程的正数解，它的中间项是，求的值．【例73】【例74】 设数列是等比数列，，公比是的展开式的第二项． ⑴用表示通项与前项和；⑵若用表示10(1)x +_____lg lg 2(21)x n x ++2lg(7272)0y y --=410+x {}n a 311232C m m m a +-=Αq 421()4x x +n x ，n a n n S 1212C C C n n n n n n A S S S =+++n x ，n A。
高二下数学知识点二项式
高二下数学知识点二项式高二下数学知识点：二项式在高二下学期的数学学习中，二项式是一个重要的知识点。
二项式的概念是数学中的基础，掌握了二项式的性质和运算法则，可以帮助我们解决各种与二项式相关的问题。
本文将详细介绍二项式的定义、展开和理解以及与其相关的一些常用公式和应用。
一、二项式的定义在数学中，二项式是指形如(a + b)^n 的表达式，其中 a 和 b 是实数或者变量，n 是一个非负整数。
这个表达式可以通过二项式定理展开成一个多项式。
二、二项式的展开利用二项式定理，我们可以将二项式展开为多项式。
二项式定理的一般形式如下：(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1)* a^(n-1) * b^1 + C(n,2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n,n-1) * a^1 * b^(n-1) + C(n,n) * a^0 * b^n其中，C(n, k) 表示在 n 个元素中选取 k 个元素的组合数，也称为二项式系数。
三、二项式的性质和运算法则1. 二项式展开后，系数之和等于 2^n，即 C(n,0) + C(n,1) +C(n,2) + ... + C(n,n) = 2^n。
2. 二项式展开后，每一项的次数之和等于 n，即 n = 0 * C(n,0) + 1 * C(n,1) + 2 * C(n,2) + ... + n * C(n,n)。
3. 二项式展开后，a 的次数从 n 递减至 0，b 的次数从 0 递增至n。
4. 二项式的系数对称，即 C(n,k) = C(n,n-k)。
5. 二项式展开后的每一项都是一个数列，相邻项的系数之比等于 a:b，即 C(n,k)/C(n,k+1) = a:b。
四、与二项式相关的常用公式和应用1. 二项式系数的性质：C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)。
2. 杨辉三角形：杨辉三角形中的数值就是二项式系数，利用杨辉三角形可以快速求解二项式系数。
二项展定理
二项展定理
二项式定理（Binomial Theorem）又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664年、1665年间提出。
该定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。
二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。
二项式定理的展开式公式为：(a+b)^n=a^n+C(n，1)a^(n-1)b+C(n，2)a^(n-2)b^2+...+C(n，n-1)ab^(n-1)+b^n，其中C(n，k)表示组合数，即从n 个不同元素中取出k个元素的组合数。
二项式定理的展开式具有以下性质：
1.项数：n+1项。
2.第k+1项的二项式系数是C(n，k)。
3.在二项展开式中，与首末两端等距离的两项的二项式系数相等。
4.如果二项式的幂指数是偶数，中间的一项的二项式系数最大。
如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数最大，并且相等。
二项式定理在组合数学、代数、微积分等数学领域都有广泛的应用，是高考的一个重要考点。
以上信息仅供参考，如有需要，建议查阅数学书籍或咨询数学老师。
二项式展开式
二项式展开式介绍在代数学中，二项式展开式是指根据二项式定理将一个二项式的幂展开为一组项的和的运算过程。
二项式展开式是代数学中的基础概念之一，广泛应用于多个数学分支和实际问题的求解中。
本文将介绍二项式展开式的定义、公式以及应用，并且提供一些示例来更好地理解这个概念。
定义二项式展开式是将一个形如(a + b)^n的二项式在特定的数值n下进行展开，得到一组项的和的运算过程。
其中，a和b为任意实数，n为非负整数。
二项式定理二项式定理是二项式展开式的理论依据。
根据二项式定理，一个二项式的展开式可以用以下公式表示：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n, n-1) * a^1 * b^(n-1) + C(n, n) * a^0 * b^n 其中，C(n, m)表示组合数，计算方式为：C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)n!表示n的阶乘，表示从n到1的所有正整数的乘积。
应用二项式展开式在数学中的应用广泛，特别是在概率论、统计学和组合数学中。
以下是一些具体的应用场景：概率论在概率论中，二项式展开式可以用来计算二项分布的概率。
二项分布是指在一系列n个独立的是/非试验中，成功事件发生k次的概率分布。
通过二项式展开式，可以方便地计算出二项分布的概率。
统计学在统计学中，二项式展开式可以用来进行统计推断和假设检验。
例如，在进行两个总体比较的时候，可以使用二项式展开式计算两个总体之间的差异是否显著。
组合数学在组合数学中，二项式展开式是组合数学的基础。
通过二项式展开式，可以计算组合数和排列数，进而解决一些组合数学中的问题。
示例下面通过一些具体的示例来演示二项式展开式的计算过程。
示例1：计算展开式 (a+b)^3。
根据二项式定理，展开式可以表示为：(a+b)^3 = C(3, 0) * a^3 * b^0 + C(3, 1) * a^2 * b^1 + C(3, 2) * a^1 * b^2 + C(3, 3) * a^0 * b^3展开式的结果为：(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3示例2：计算展开式 (2x+y)^4。
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（1）对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相 等． （2）增减性与最大值 二项式系数前半部分是逐渐增大的， 由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的， 且中间项取得最大值。 因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数 取得最大值； 当n为奇数时，中间两项的二项式系数
n 2 n
C
相等，且同时取得最大值。 n （3）各二项式系数的和 C0 C1 C2 Cn 2n n n n 且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和2n-1
1 3 4 1 4 ) 1 C ( ) C ( ) C ( ) C4 ( ) x x x x x r 二项式系数： n 4 6 4 1 C 1 2 3 4 . 项的系数：该项所有常数因子的积. x x x x
解: 1 （
１4 例１：求（１＋ ) 的展开式 x 1 1 1
4 1 4 2 4
2
3 4
例２：2 x (
1 x
) 展开式中第 3项的二式系项数
6 5 4 2 1 ) 2 x 240 x 2 x x
2
6
及第3项的系数
T3 T21
2 C6 (2
x ) (
4
1
2 第三项的二项式系数为 C6 15
，第三项的系数为240.
解:
x 3 9 ( ) 的展开式常数项 例３： 3 x 1
二项式定理：
*
理 特 征
右边的多项式叫做的
(a b)n 展开式
1.二项式系数规律：
0 1 2 n Cn、Cn、Cn、 、Cn
2.指数规律： （1）各项的次数均为n； （2）二项和的第一项a的次数由n降到0， 第二项b的次数由0升到n. 3.项数规律： 两项和的n次幂的展开式共有n+1个项 4.通项公式：Tr+1= Cnr an-rbr (r=0, 1, 2, …, n)
练习：
x 3 9 ) 的展开式的中间两项 1、求 ( 3 x
x 9 4 T5 T41 C ( ) ( 3 5 x 9 5 T6 T51 C9 ( ) ( 3 2
4 9
解: 展开式共有10项,中间两项是第5、6项。
3 4 3 ) 42 x x 3 3 5 ) 42 x 2 x
考察在 n=1, 2, 3, 4 时，(a+b) n 的展开式的系数规律.
我国古代优秀成果介绍：
(a+b)1= (a+b)2= (a+b)3= (a+b)4=
a+b , a2+2ab+b2 , a3+3a2b+3ab2+b3 , a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 . 1
列出上述各展开式的系数： 规律: (1)表中每行两端都是1 (2)其它各数都是它肩上两数的和.
二项式定理
b) 对于（a+b）n = (a b )(a b ) (a
的展开式有哪些项？
n个
二项式定理
(a+b)n bn
=C a +C
0 n n
1 n-1 na b+
C
2 n-2 2 r n-r r n a b +…＋ n b +…+ n a n
C
C
右边的多项式叫做 (a+b)n 的二项展开式, 它一共有 n+1 项. 其中各项系数 Cnr (r=0, 1, 2, …, n)叫做二项式系数 式中的项 Cnr an-rbr 叫做二项展开式的通项,是第r+1 项, 记作 Tr+1 即
2.已知（ x
系数与第３项的二项式系数之比是：１４：３， 求展开式中的第４项
) n 的展开式中，第５项的二项式 2 x
二项式系数的性质
(a b) C a C a b C a b C b (n N )
n 0 n n n n n
1 n 1 1 n
r n r r n
n 2 n
C
相等，且同时取得最大值。 n （3）各二项式系数的和 C0 C1 C2 Cn 2n n n n 且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和2n-1
C
n 1 2 n
、
C
n 1 2 n
特值思想、不可忽视
二项式定理对任意的数a、b都成
立，当然对特殊的a、b也成立！
r 9
1 9 3 变式：求（ x 2 ) 展开式中含 x 的项 x
通项公式： Tr+1= Cnr an-rbr (r=0, 1, 2, …, n)
9 r r x 9r 3 r r 1 9r r Tr 1 C ( ) ( ) C9 ( ) 3 x 2 3 3 x 1 由9-r- r 0得r 6. 2 6 1 96 6 T7 C9 ( ) 3 2268 3
Tr+1= Cnr an(1)展开式各项中a、 b的指数及各项系数的递变规律.但指数和为n (2)通项公式中a、 b的指数及其系数和所在项数之间的关系. 试一试：写出 (1+x)n 的展开式及其通项公式。
总 结
(n N ) 定 (a b)n Cn0a n Cn1a n1b Cnr a nr br Cnnbn
1 1
1
1 1 3
2
3
1
1
试一试：你能根据杨 辉三角形写出(a+b)5 的展开式吗？
4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
杨辉三角形
(a+b) 5= a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
(1 x ) C C x C x C x ;
n 0 n 1 n r n r n n n 0 1 r n (1 1)n Cn Cn Cn Cn ; 0 1 r n (1 x )n Cn Cn x (1)r C n x r (1)n C n x n ;
C
n 1 2 n
、
C
n 1 2 n
例１：已知（１＋x)n展开式中x2 的系数等于 x的系数的３倍，求二项式系数最大的项
解:
例2：已知（１－２x)n展开式中二项式系数和 及所有项的系数之和
解:
变式：已知（2+x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3a4x4+a5x5+a6x6，
求 ( 1 )奇次项的二项式系数之和 （2）a0+a1+a2+a3＋a4+a5＋a6的值 （3）a1+a2+a3＋a4+a5＋a6
二项式系数的性质
(a b) C a C a b C a b C b (n N )
n 0 n n n n n
1 n 1 1 n
r n r r n
（1）对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相 等． （2）增减性与最大值 二项式系数前半部分是逐渐增大的， 由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的， 且中间项取得最大值。 因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数 取得最大值； 当n为奇数时，中间两项的二项式系数