传感器的基本特性与指标

dn y d n−1 y dy an n + an−1 n−1 +⋯+ a1 + a0 y dt dt dt d mx d m−1x dx = bm m + bm−1 m−1 +⋯+ b1 + b0 x dt dt dt
2）传递函数 ） 用拉氏变换将适当的数学模型（微分方程）转换成复数域（S域） 的数学模型，可得相应的传递函数，以便于求解。 由控制理论知，对上式所表示的传感器，其传递函数为
y ∆max
式中 rnR ——为重复性误差； x O ∆max ——各测量点极限误差的最大值 σ max ——全部校准点正行程与反行程输出值的标准偏差中之最大值； k ——置信系数。 说明：在校准时，若有m个校准点，正反行程共可求得2m个σ，应 取其中最大的 σ max ，计算重复性误差。
标准偏差σ的计算方法 标准偏差 的计算方法* 的计算方法 （1）贝赛尔公式法：
rnH = ∆Hmax ×100% yF.S.
∆Hmax
O
x
迟滞误差
式中，∆Hmax为输出值在正反行程中的最大差值。
三．重复性误差（最大引用随机不确定度） 重复性误差
现象：多次重复测试时，在同是正行程或同是反行程中，对应同 现象 一输入的输出量不同。 重复性：传感器或系统在同一工作条件下，输入量按同方向作全 重复性 量程连续多次变动时，所得特性曲线之间的一致程度。 如果用曲线中最大重复差值定义重复性误差，则因标定的循环次 数不同使其最大偏差值不同。因此不可靠。 重复性误差为随机误差，可定义如下： 重复性误差为随机误差 ∆max kσ max rnR = ± ×100% = ± ×100% yF.S. yF.S.
式中， F.S--满量程输出平均值； y . y0 --零点输出平均值。 特点:简单，但估计值偏大，零点不为零 3．最小二乘线性度 ． 按最小二乘法原理拟合直线，使该直线与传感器 或系统的校准数据的残差平方和最小。 思路： 设拟合直线方程为 y = b + kx 得偏差： vi = yi − (b + kxi ) 式中，i=1,2,…,n.（n为测试点数）
冲击振动 电磁场
温度
外界影响
供电
输入
传感器
误差因素
输出 各种环境干扰 稳定性的因素 温漂 零点漂移 分辨率
线性 滞后 重复性 灵敏度
影响传感器性能的因素
2.2 传感器的一般数学模型
数学模型用于研究传感器的输出—输入特性。一般将检测静态量和 动态量时的特性分开考虑。 原因：检测静态量、动态量的传感器，需要以带随机变量的非线性 微分方程作为数学模型，但造成数学分析困难。
n
n∑xi2 − ∑xi i=1 i=1
n n
2
2
（3）× ∑xi ，（4）× ∑xi 得
i=1
i =1
n
n
∑yi xi ∑xi − k∑x ∑xi − b∑xi = 0 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1
n n n n n 2 i
2
（7）
yi ∑x − k∑xi ∑x − nb∑xi2 = 0 ∑
Sr = ∆x ×100% x
*灵敏度的单位问题：如何理解mV/V, V/V/mm？ ：如何理解 ？
五．分辨力
系统在规定测量范围内所能检测出输入量的最小变化量。 有时用该值相对满量程输入值之百分数表示，这时称为分辨率。 注意区分： 分辨力：如1mV 分辨率：如0.1%
六．量程
又称“满度值”，表征传感器或系统能承受最大输入量的能力，其 数 值是测量系统示值范围上、下限之差的模。当输入量在量程范围以内 时，测量系统正常工作，并保证预定的性能。 七．零位* 零位 当输入量为零时，系统的输出量不为零的数值。零位值应从测量结 果中设法消除。 八．阈值*（灵敏阈、灵敏限） 阈值* 使输出端产生可测变化量的最小输入量，即零位附近的分辨力。 有时在零位附近有严重的非线性，形成所谓的“死区”，则可将死区的 大小作为阈值；更多情况下，阈值主要取决于噪声大小，因而有时 只给出噪声电平即可。
n dn 2 1.41 3 1.91 4 2.24 5 2.48 6 2.67 7 2.88 8 2.96 9 3.08 10 3.18
采用上述方法时，若有m个校准点，正反行程共可求得2m个σ，一般 取其中最大者计算重复性误差。
四．灵敏度（K或S） 灵敏度
定义：输出量增量与被测输入量增量之比。 ∆y 或 ∆y K= S= ∆x ∆x 说明：1°非线性系统的K不为常数，K用dy/dx表示； 2°灵敏度不是越大越好，灵敏度越大，系统稳定性越差。 3°有时用到相对灵敏度概念：输出变化量∆y与被测量的相对 ∆y 变化率∆x/x之比：
H(s) =
∏H (s)
i i=1
n
H(s) =
∑Hi(s)
i=1
n
2.3 传感器的静、动态特性
2.3.1. 静态特性与指标
一．线性度 线性度 表征传感器输入-输出的实际静态标定（校准）曲线与所选参考 标定（ 标定 校准） （拟合）直线（作为工作直线）之间的吻合（或偏离）程度。 所选拟合直线不同，计算出的线性度数值不同。选择拟合直线应保 证所得非线性误差尽量小，且方便使用与计算。
σ=
∑(y − y )
i i i=1
n
2
n −1
式中：yi是某校准点的输出值； i是输出值的算术平均值；n:测量次数。 y （2）极差法 极差法： 极差法 极差：指某一校准点校准数据的最大值与最小值之差。 W 计算标准偏差的公式为： σ= n
dn
式中：Wn是极差；dn极差系数，其值与测量次数n有关，查表可得。 极差系数表
y = a1x
最理想的特性。 优点：简化传感器的理论分析、计算，为标定和数据处理带来很大方便， 避免非线性补偿环节，便于后续制作安装、调试，提高测量精度。
(b) (c)
y = a1x + a2 x2 + a4 x4 +⋯
y = a1x + a3 x + a5 x +⋯
3 5
y = a1x + a2 x2 + a4 x4 +⋯
n ∂ n 2 ∑vi = 2∑[( yi − kxi − b)(−1)] = 0 ∂b i=1 i =1
（1）来自百度文库
（2）
由式（1），（2）化简得
∑y x
i=1 i
n
i
− k∑x − b∑xi = 0
i =1 2 i i=1
n
n
（3）
∑y
i=1
n
i
− k∑xi − nb = 0
i =1
n
（4）
（3）×n，（4）×∑xi 得
y
常用拟合方法: 1．理论线性度 理论线性度： 理论线性度 按系统的理论特性确定，与实测值无关。 特点：简单方便，但通常估算值偏大。 特点 非线性误差： eL = ± ∆L m ax 线性度常用引用误差表示： rnL = ± 式中， *标定？
∆L max
yF.S.
理 特 论 性 实 特 际 性
∆L
max
Y(s) bms m +⋯+ b1s + b0 H(s) = = X (s) an s n +⋯+ a1s + a0
式中Y(s)、X(s)是初始条件为零时，输出和输入信号的拉氏变换。 用途：表征传感器的传输、转换特性。它只与传感器内部参数有 它只与传感器内部参数有 与输入信号及传感器的初始状态无关。当输入为正弦信号，且传 关，与输入信号及传感器的初始状态无关 感器稳定时，可用jω代替s。 对多环节组成的串联或并联组成的传感器或系统，如果各环节阻 抗匹配适当，求总的传递函数可略去相互间的影响。 对于n个环节组成的串联系统: 对于n个环节组成的并联系统：
2. 传感器误差
通过传感器得到的测量值与被测量的真值之差。 传感器的误差来源： 传感器的误差来源 1)介入误差 源于敏感元件的介入对被测系统的 环境造成影响。 2)应用误差 源于使用者对具体传感器原理的认 识不足或设计缺陷。 3)特性参数误差 源于传感器本身的特性参数； 生产传感器和用户考虑最多的误差。 4)动态误差 源于被测参数变化时传感器反应滞后 5)环境误差 各种环境参数变化均可能带来误差
O
x
∆L max yF.S.
×100%
yF.S.
——输出平均值曲线与基准拟合直线间的最大误差； ——理论满量程输出值。
2．端基线性度 ． 以校准数据的零点输出平均值和满量程输出平均值连成的直线为 参考直线所得的线性度
rnL = ± ∆L max yF.S. − y0
y
×100%
yF.S.
拟 合直线 ∆L max
1．静态模型 静态模型
静态时（输入量对时间t的各阶导数为零），可分析非线性系统，即有：
y = a0 + a1 x + ⋯+ an xn
x ——输入量； y ——输出量； a0 ——传感器的零位误差； a1 ——传感器的灵敏度，常用K或S表示。 a2,a3,…,an——待定常数（非线性项的系数）。
(a)
y
图中最小二乘拟合直线偏低，使+ ∆Lmax ≠ −∆Lmax， 从而使估计值偏大。
+ ∆Lmax
最 二 小 乘 拟 直 合 线
− ∆Lmax
O
x
4．最佳直线线性度 最佳直线线性度（独立线性度） 最佳直线线性度
以所谓“最佳直线”作拟合直线，以保证 传 感器正反行程校准曲线对该直线的正负偏差相 等并且最小。图中：
2．动态模型 动态模型
传感器静态特性好，并不一定能很好地反映输入量随时间变化尤 其是快速变化的状况，可能因此而存在严重的动态误差。 传感器动态分析常用的数学模型有时域的微分方程和对应频域 的传递函数、频率响应函数以及状态方程。 线性系统的特点（叠加性、频率保持性）使得动态分析只分析线 性系统。 1）微分方程* ）微分方程 采用微分方程描述传感器：
k=
∑(x
n i =1 n
i
− x yi − y
2 i
)(
)
∑(x − x)
i =1
b = y − kx
式中
1 n 1 n x = ∑xi ， y = ∑ yi n i=1 n i=1
（推导从略）
特点：拟合精度高，在数据较多的情况下可由计算机处理，但其拟 合出的直线与标定曲线的最大偏差绝对值不一定最小，最大正负偏 差的绝对值也不一定相等 。例：
i=1
n
n∑xi yi − nk∑x − nb∑xi = 0
i =1 i=1 2 i i=1
n
n
n
（5）
n n ∑yi ∑xi − k∑xi − nb∑xi = 0 i=1 i=1 i=1 i=1 n n
2
（6）
（5）-（6）得
n n n∑xi yi − ∑xi ∑yi i=1 i=1 i=1 k=
第二章 传感器技术基础
--基本特性与指标 基本特性与指标 • • • • 理想传感器和传感器的误差因素 传感器的一般数学模型 传感器的静、动态特性 传感器的互换性及其他特性要求
2.1 理想传感器和传感器的误差因素
1. 理想传感器应具有的特点 1） 传感器只敏感特定输入量，输出只对应特定输入； 2） 传感器的输出量与输入量呈惟一、稳定的对应关 系，最好为线性关系； 3） 传感器的输出量可实时反映输入量的变化。 实际中，传感器在特定的、具体的环境中使用，其 结构、元器件、电路系统以及各种环境因素均可能影响 传感器的整体性能。
i =1 i=1 2 i i =1 i =1 2 i i =1
n
n
n
n
n
（8）
（7）-（8）得
b=
∑x ∑y − ∑x ∑x y
i=1 2 i i=1 n i i =1 i
n
n
n
n
n n∑x − ∑xi i=1 i=1
2 i
i=1 2
i
i
此外，拟合直线的斜率k和截距b也可由以下两式求得：
y0
O
x
图 端基线性度 y
yF.S.
最 二 小 乘 拟 直 合 线
y0
O
∆L max
x
图 最小二乘线性度
n 2
直线拟合原则：应使 i=1 为最小值。由 ∑vi i=1 分别对k和b求一阶导数，并令其为0，即可求得k和b。
∑vi2
n
具体方法*： 具体方法
n ∂ n 2 ∑vi = 2∑[( yi − kxi − b)(− xi )] = 0 ∂k i=1 i=1
图 最佳直线线性度
y
+ ∆Lmax
拟 合 直 线
− ∆Lmax
O
x
端点平行线法
二．迟滞误差（回差） 迟滞误差
传感器或检测系统的输入量由小增大（正行程），继而自大减小 （反行程）的测试过程中，对应于同一输入量，输出量往往有差别， 这种现象称为迟滞。
y
产生原因：装置内的弹性元件、磁性 元件以及机械部分的摩擦、间隙、积塞 灰尘等。 迟滞大小常用全量程中最大迟滞 ∆Hmax 与满量程输出平均值 yF.S. 之比的百分数 （引用误差）表示：
y + ∆Lmax
拟 直 合 线
+ ∆Lmax = − ∆Lmax
− ∆Lmax
O
x
特点：拟合精度最高。 通常，“最佳直线”可用图解法或通过计 算 机解算来获得。 当标定曲线（或平均校准曲线）为单调曲 线，且测量上、下限处的正、反行程校准数据 的算术平均值相等时，“最佳直线”可采用端 点连 线平移来获得，有时称该法为端点平行线法。