线性规划理论在实际问题中的应用

山西财经大学华商学院论文

线性规划理论在实际中的应用

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论文指导教师姓名：***（职称）管理科学与工程学院讲师

所在系及专业名称：财务会计系班级：会计四班

论文提交日期：2011年06月16日

评阅人：

2010 年月日

线性规划理论在实际问题中的应用

随着经济全球化的不断发展，企业面临更加激烈的市场竞争。企业必须不断提高盈利水平，增强其获利能力，在生产、销售、新产品研发等一系列过程中只有自己的优势，提高企业效率，降低成本，形成企业的核心竞争力，才能在激烈的竞争中立于不败之地。在竞争日益激烈的今天，有必要利用线性规划的知识提高企业的效率。

任何一个组织的管理都必须对如何向不同的活动分配资源的问题作出决策，即如何有效地利用人力物力完成更多的任务或在预定的任务目标下如何耗用最少的人力物力去实现目标。线性规划是帮助管理这些决策的一个功能强大的问题解决工具，向活动进行分配的资源可以是人员或设备等不同量纲的资源，在许多情况下大量不同的资源必须同时进行分配，需要这些资源的活动可以是不同的生产活动，营销活动，金融活动或者其他一些活动。用数学的语言表达统筹规划的问题先要根据问题要达到的目标选取适当的变量（或称为决策变量，是问题中要确定的未知量，它用以表明规划中的用数量表示的方案、措施，可有决策者决定），问题的目标通过变量的函数形式表示（称为目标函数，它是指对问题所最求的目标的数学描述，按优化目标分别在这个函数前加上MAX和MIN），对问题的限制条件用有关变量的等式或不等式表达（称为约束条件，它是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，通常表达为含决策变量的线性等式或不等式）。当变量连续取之，且目标函数和约束条件均为线性时，称这一类模型为线性规划的模型。

线性规划可以对经济管理系统中的人、财、物等有限资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现有效管理。利用线性规划我们可以解决很多问题。以下是我从实际生活中选择的求利润最大化的问题，可用线性规划方法进行解决。在管理实践中线性的含义：一是严格的比例性。二是可叠加性资源分配问题是将有限的资源分配到各种活动中去的线性规划问题。这类问题的共性是在线性规划模型中每一个函数限制均为资源限制具体表现为如下形式：使用的资源数量≤可用的资源数量。

问题引入：

某公司是商务房地产开发项目的主要投资商。目前，该公司有机会在三个建设项目中投资：

项目1：建造高层办公楼；

项目2：建造宾馆；

项目3：建造购物中心。

每个项目都要求投资者在四个不同的时期投资：在当前预付定金，以及一年、二年、三年后分别追加投资。下表显示了四个时期每个项目所需资金（百万

公司目前有2500万元资金可供投资，预计一年后，又可获得2000万元，两年后获得另外的2000万元，三年后还有1500万元以供投资。那么，该公司要在每个项目中投资多少比例，才能使其投资组合获得最大的总净现值？ 决策变量

决策变量是公司要在每个项目上按多大比例投资。

设：x1，x2，x3分别为在办公楼项目、宾馆项目、购物中心项目中的投资比例

(2) 目标函数：

Max z=45x1+70x2+50x3

本问题的目标是总净现值最大。 (3)约束条件：

公司在各期可获得的资金限制

Max z=45x 1+70x 2+50x 3

⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎨⎧=≥≤++≤++≤++≤++)

3,2,1(080220310200651602401904514016010025908040.321321321321i x x x x x x x x x x x x x st i 规划求解：

规划求解的结果为：不投资办公楼项目，宾馆项目的投资比例为16.5%，购物中心的投资比例为13.11%。此时获利最大，最大利润为1810.68万元。

敏感性分析报告：

敏感性报告有两部分组成。位于报告上部的“可变单元格”部分反映了目标函数中的系数变化对最优解产生的影响，位于报告下方的“约束”部分反映了约束条件右端值变化目标值产生的影响。

先来分析敏感性报告中目标函数系数变化对最优解产生的影响。“可变单元格”表格中前三列是关于该问题种决策变量的信息。其中：（1）“单元格”是指决策变量所在单元格的位置。（2）“名字”是指这些决策变量的名称。(3)“终值”是决策变量的终值，即通过规划求解之后的最优解。

在本题中有三个决策变量分别是办公楼、宾馆、购物中心的投资比例，它们的地址分别是的D14、E14和F14。其最优解分别为0%、16.5%和13.1%。

第四列是“递减成本”，它的绝对值表示目标函数种决策变量的系数必须改进多少才能得到该决策变量的正数解。第五列是“目目标式系数”指目标函数的系数，在题中已知。第六列于第七列分别是“允许的增量”和“允许的减量”表示目标

函数的系数在允许的减量和允许的增量范围内变化时，最优解不变。

敏感性报告下半部分的约束部分反映了约束条件右端值变化对目标值的影响。它往往体现了管理层的决策，在建模决策后，管理者想要知道改变这些决策是否会提高最终受益，影子价格分析就可以为管理者提供者一方面的信息。表格中的前三列是关于约束条件左边的信息。其中：（1）“单元格”是指约束条件左边所在单元格的地址（2）“名字”是该约束条件的名。（3）“终值”是约束条件左边的终值。本题中有四个约束条件。分别是：公司在现在所付定金以及一年、二年、三年后所追加的实际投资金额。在表格中的地址分别是G8、G9、G10、G11。终值分别为25、44.76、60.58、80。第四列为“阴影价格”即影子价格，它显示约束右端每增加或减少1时目标函数值得相应的增量或减量。第五列为“约束限制值”，指约束条件右端值，通常是题目中的已知条件。本题中四个约束条件右端分别表示当期可付定金以及一年、二年、三年后可追加资金额，分别是25、45、65、80。第六列与第七列是“允许的增量”和“允许的减量”，它表示约束条件右端值在允许的增量和允许的减量范围内变化时，影子价格不变。

因此，从敏感性报告上部分中可知：

D14的现值：45

D14允许的增量：0.05 此时D14≤45+0.05=45.05

D14允许的减量：1E+30（无限制）此时D14无下限

D14允许的变化范围：[﹣∞,45.05]

E14的现值：70

E14允许的增量：0.45 此时E14≤70+0.45=70.45

E14允许的减量：0.05 此时Ｅ14≥70-0.05=69.95

E14允许的变化范围：[69.95,70.45]

F14的现值：50

F14允许的增量：0.14 此时F14≤50+0.14=50.14

F14允许的减量：0.32 此时F14≥50-0.32=49.68

F14允许的变化范围：[48.68,50.14]

因此当D14、E14,、F14在允许的变化范围内变动时，最优解不会发生变化。

从敏感性报告下部分可知：