高中数学 数学归纳法

13.4 数学归纳法一、填空题1．用数学归纳法证明1＋12＋13…＋12n －1＜n (n ∈N ，且n ＞1)，第一步要证的不等式是________．解析 n ＝2时，左边＝1＋12＋122－1＝1＋12＋13，右边＝2.答案 1＋12＋13＜22.用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n(n ＋1)2(2n ＋1)；当推证当n ＝k ＋1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是 .解析 当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)故只需证明k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)即可.答案 k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)3．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________． 解析 ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2； ∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.答案 f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)23．若存在正整数m ，使得f (n )＝ (2n －7)3n ＋9(n ∈N *)能被m 整除，则m ＝________.解析 f (1)＝－6，f (2)＝－18，f (3)＝－18，猜想：m ＝－6. 答案 64．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开的式子是________．解析 假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除． 当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将 (k ＋3)3展开，让其出现k 3即可． 答案 (k ＋3)35．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k的基础上加上________．解析 ∵当n ＝k 时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2， 当n ＝k ＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2， ∴当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2. 答案 (k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)26．用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋12n，则当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上________．解析 ∵当n ＝k 时，左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k 当n ＝k ＋1时，左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2.答案12k ＋1－12k ＋27.设平面内有n 条直线(3)n ≥,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n 条直线交点的个数,则f(4)= ;当n>4时,f(n)= (用n 表示). 答案:5 1(1)(2n n +-2)解析:f(3)=2,f(4)=5,f(5)=9,每增加一条直线,交点增加的个数等于原来直线的条数. ∴f(4)-f(3)=3, f(5)-f(4)=4, …f(n)-f(n-1)=n-1.累加得f(n)-f(3)=3+4+…+(n -1) 3(2)(2)2n n +-=-.∴1()(1)(2f n n n =+-2).8．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取________．解析 右边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8. 答案 89．在数列{a n }中，a 1＝13且S n ＝n (2n －1)a n ，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式是________．解析 当n ＝2时，a 1＋a 2＝6a 2，即a 2＝15a 1＝115；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝15a 3， 即a 3＝114(a 1＋a 2)＝135； 当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝28a 4， 即a 4＝127(a 1＋a 2＋a 3)＝163. ∴a 1＝13＝11×3，a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝17×9，故猜想a n ＝12n －12n ＋1. 答案 a n ＝12n －12n ＋110．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3…(2n ＋1)(n ∈N *)，从“k 到k ＋1”左端需乘的代数式是________．解析 左端需乘的代数式是2k ＋12k ＋2k ＋1＝2(2k ＋1)．答案 2(2k ＋1)11．如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n (n ∈N *)行，在这些数中非1的数字之和是________________．1 1 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1…解析 所有数字之和S n ＝20＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1， 除掉1的和2n －1－(2n －1)＝2n －2n . 答案 2n －2n12．对于不等式n 2＋n ＜n ＋1(n ∈N *)，某同学应用数学归纳法的证明过程如下： (1)当n ＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立， 即k 2＋k ＜k ＋1，则当n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2＜(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．则上述证法中________________（哪一步推理）不正确. 解析 此同学从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有应用归纳假设． 答案 从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理 13．12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2，当n 分别取1,2,3,4时的值依次为________，所以猜想原式＝________. 解析 当n ＝1时，原式＝12＝1＝(－1)1－1·1×(1＋1)2当n ＝2时，原式＝12－22＝－3＝(－1)2－1·2×(2＋1)2 当n ＝3时，原式＝12－22＋32＝6＝(－1)3－1·3×(3＋1)2当n ＝4时，原式＝12－22＋32－42＝－10＝(－1)4－1·4×(4＋1)2∴猜想原式＝(－1)n －1·n (n ＋1)2.答案 1，－3,6，－10 (－1)n －1·n n ＋12二、解答题14．已知数列{a n }满足a n ＋1＝－a 2n ＋pa n (p ∈R )，且a 1∈(0,2)，试猜想p 的最小值，使得a n ∈(0,2)对n ∈N *恒成立，并给出证明． 证明 当n ＝1时，a 2＝－a 21＋pa 1＝a 1(－a 1＋p )． 因为a 1∈(0,2)，所以欲使a 2∈(0,2)恒成立，则要⎩⎨⎧p ＞a 1，p ＜a 1＋2a 1恒成立，解得2≤p ≤22，由此猜想p 的最小值为2.因为p ≥2，所以要证该猜想成立，只要证：当p ＝2时，a n ∈(0,2)对n ∈N *恒成立．现用数学归纳法证明： ①当n ＝1时结论显然成立；②假设当n ＝k 时结论成立，即a k ∈(0,2)， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝－a 2k ＋2a k ＝a k (2－a k )， 一方面，a k ＋1＝a k (2－a k )＞0成立，另一方面，a k ＋1＝a k (2－a k )＝－(a k －1)2＋1≤1＜2， 所以a k ＋1∈(0,2)，即当n ＝k ＋1时结论也成立． 由①②可知，猜想成立，即p 的最小值为2. 15．在数列{a n }中，对于任意n ∈N *，a n ＋1＝4a 3n －3a n . (1)求证：若|a n |＞1，则|a n ＋1|＞1； (2)若存在正整数m ，使得a m ＝1，求证： ①|a 1|≤1； ②a 1＝cos2k π3m －1(其中k ∈Z )．(参考公式：cos 3α＝4cos 3α－3cos α)证明 (1)因为|a n |＞1，a n ＋1＝4a 3n －3a n .所以|a n ＋1|＝|4a 3n －3a n |＝|a n |(4|a n |2－3)＞1.(2)①假设|a 1|＞1，则|a 2|＝|4a 31－3a 1|＝|a 1|(4|a 1|2－3)＞1.若|a k |＞1，则|a k ＋1|＝|4a 3k －3a k |＝|a k |(4|a k |2－3)＞1.所以当|a 1|＞1时，有|a n |＞1(n ∈N *)，这与已知a m ＝1矛盾，所以|a 1|≤1. ②由①可知，存在θ，使得a 1＝cos θ， 则a 2＝4cos 3θ－3cos θ＝cos 3θ.假设n ＝k 时，有a n ＝cos 3n －1θ，即a k ＝cos 3k －1θ，则a k ＋1＝4a 3k －3a k ＝4(cos 3k －1θ)3－3(cos 3k －1θ)＝cos 3k θ. 所以对任意n ∈N *，a n ＝cos 3n －1θ，则a m ＝cos 3m －1θ＝1,3m －1θ＝2k π，其中k ∈Z . 即θ＝2k π3m －1. 所以a 1＝cos2k π3m －1(其中k 为整数)． 16．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝c －1a n.(1)设c ＝52，b n ＝1a n －2，求数列{b n }的通项公式；(2)求使不等式a n ＜a n ＋1＜3成立的c 的取值范围． 解析 (1)a n ＋1－2＝52－1a n －2＝a n －22a n，1a n ＋1－2＝2a n a n －2＝4a n －2＋2，即b n ＋1＝4b n ＋2. b n ＋1＋23＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＋23，又a 1＝1，故b 1＝1a 1－2＝－1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫b n ＋23是首项为－13，公比为4的等比数列，b n ＋23＝－13×4n －1，b n ＝－4n －13－23.(2)a 1＝1，a 2＝c －1，由a 2＞a 1，得c ＞2. 用数学归纳法证明：当c ＞2时，a n ＜a n ＋1. ①当n ＝1时，a 2＝c －1a 1＞a 1，命题成立；②设当n ＝k 时，a k ＜a k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＝c －1a k ＋1＞c －1a k＝a k ＋1.故由①②知当c ＞2时，a n ＜a n ＋1. 当c ＞2时，因为c ＝a n ＋1＋1a n ＞a n ＋1a n，所以a 2n －ca n ＋1＜0有解， 所以c －c 2－42＜a n ＜c ＋c 2－42，令α＝c ＋c 2－42，当2＜c ≤103时，a n ＜α≤3. 当c ＞103时，α＞3，且1≤a n ＜α， 于是α－a n ＋1＝1a n α(α－a n )＜13(α－a n )＜132(α－a n －1)＜…＜13n (α－1)． 所以α－a n ＋1＜13n (α－1)，当n ＞log 3α－1α－3时，α－a n ＋1＜α－3，a n ＋1＞3，与已知矛盾． 因此c ＞103不符合要求． 所以c 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤2，103.17．已知在正项数列{a n }中，对于一切的n ∈N *均有a 2n ≤a n －a n ＋1成立． (1)证明：数列{a n }中的任意一项都小于1；(2)探究a n 与1n的大小，并证明你的结论．证明 (1)由a 2n ≤a n －a n ＋1，得a n ＋1≤a n －a 2n .因为在数列{a n }中，a n ＞0， 所以a n ＋1＞0.所以a n －a 2n ＞0. 所以0＜a n ＜1.故数列{a n }中的任意一项都小于1.(2)由(1)知0＜a n ＜1＝11，那么a 2≤a 1－a 21＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－122＋14≤14＜12， 由此猜想：a n ＜1n(n ≥2)，下面用数学归纳法证明：①当n ＝2时，显然成立；②当n ＝k 时(k ≥2，k ∈N )时，假设猜想正确， 即a k ＜1k ≤12，那么a k ＋1≤a k －a 2k ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a k －122＋14＜－⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －122＋14＝1k －1k2＝k －1k 2＜k －1k 2－1＝1k ＋1，故当n ＝k ＋1时，猜想也正确． 综上所述，对于一切n ∈N *，都有a n ＜1n.18. 设函数y ＝f(x)，对任意实数x ，y 都有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy. (1)求f(0)的值；(2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N *)的表达式并用数学归纳法证明. 【解题指南】(1)令x ，y 均为0可得f(0)； (2)利用递推条件可得f(2)，f(3)，f(4)；(3)证明时要利用n ＝k 时的假设及已知条件进行等式转化.【解析】(1)令x ＝y ＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0，得f(0)＝0. (2)由f(1)＝1，得f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋2×1×1＝4. f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＋2×2×1＝9. f(4)＝f(3＋1)＝f(3)＋f(1)＋2×3×1＝16.(3)由(2)可猜想f(n)＝n2，用数学归纳法证明：(i)当n＝1时，f(1)＝12＝1显然成立.(ii)假设当n＝k时，命题成立，即f(k)＝k2，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2×k×1＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2，故当n＝k＋1时命题也成立，由(i)，(ii)可得，对一切n∈N*都有f(n)＝n2成立.。