信号检测与估计 第三章 信号的检测2
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第三章信号的检测 ,信号检测与估计
作业：
1 z2 exp( )dz 1 [ (1 ) E / N0 ] 2 2
x
[ x]
1 e 2
z2 2
dz
1 同理 ＝ p(G | H1 )dG＝ [ (1 ) E / N0 ]
l0*
Pe 1 [ (1 ) E / N0 ]
• 对于通信最佳检测系统，通常用最小总错误概 率准则。即贝叶斯准则C11=C00=0,C01=C10=1
(C10 C00 )q q l0 (C01 C 11 ) p p
• 通常先验概率p及q一般都设计得近似相等，这 样可得到更小的总错误概率。
• 假设p=q=1/2 ， 此时l0=q/p=1，则
H1
2 1 T T x ( s1 s0 ) ln l0 ( s1 s1 s0 s0 ) 2
H0
T
H1
代入得
T
0
x(t ) s1 (t )dt
0
* 1 1 x(t ) s0 (t )dt l0 N 0 ln l0 ( E1 E0 ) 2 2
H0
H1
0
T
Var[G | H 0 ] E{[G E (G | H 0 )]2 } N0 = 2
T
0
[s1 (t ) s0 (t )]2 dt N 0 E (1 )
[G ( E E0 )]2 1 p(G | H 0 ) exp{ } 2 N0 E (1 ) 2 N0 E (1 )
xt s1 t nt
xt s0 t nt
0t T
3.3.2 二元信号检测系统
信号检测与估计教学资料 第三章 信号检测与估计1new-PPT精选文档
4 二元信号判决概率
P H | H pH x | d, x ， i j 0 , 1 i j j
R i
P H | H pH x | j d, x ， i j 0 , 1 i j
R i
5 M元信号检测模型
信源
概率转移机构
信源的输出称为假设 将信源的输出(假设)以一定的 概率关系映射到整个观察空间中 接收端所有可能观测量的集合 将观察空间进行合理划分,使每个观测量 对应一个假设判断的方法
H H
1 1
4 二元信号判决概率
判决 假设
H0
H1
H0 H P 0H 0
H P 1H 0
H P 1H 1
H1 H P 0H 1
3 二元信号判决结果
判决 假设
H0
H1
H0 H0 H0
H H
1 0
H1 H0 H1
H H
1 1
四种检测状态 ① 目标不存在，干扰信号没有超过门限，检测没有发生 ② 目标存在，合成的信号（目标和干扰）超过门限，检测发生 ③ 目标不存在，干扰信号超过了门限，虚假的检测产生 ④ 目标存在，合成的信号（目标和干扰）没有超过门限，检测没有发生
2 二元信号检测判决域 二元信号的检测问题，可归结为对观察空间的划分问题，即按照 一定的准则，将观察空间R分别划分为R0和R1两个子空间。
H 0 成立
R0
H 1 成立
R0
R1
2 二元信号检测判决域
3 二元信号判决结果
判决 假设
H0
H1
H0 H0 H0
H H
1 0
H1 H0 H1
观测量落入观测空间后,就可以用来推断哪一个
电子科技大学第三章 信号检测与估计(2)
3.4.4 奈曼-皮尔逊准则
2 奈曼-皮尔逊准则的推导
在 PH1 H0 约束条件下,使正确判决概率PH1 H1最大的准则。
等价于
在 PH1 H0 约束条件下,使判决概率PH0 H1 最小的准则。 利用拉格朗日乘子 0，构建目标函数
J PH0 H1 PH1 H0
若 PH1 H0 ,J达到最小时，PH0 H1 也达到最小。
c00 c10 c00 PF P1 P1 c11 c00 c01 c11 PM P1 c10 c00 PF P1
平均代价C(P1)是先验概率P1的严格上凸函数
3.4.3 极小化极大准则
3.4.3 极小化极大准则
3.4.3 极小化极大准则
3 先验概率未知的情况下，可以采用的检测方法
P1c11 c00 c01 c11PM P1 c10 c00 PF P1
def
def
PF p x H0 dx PF P1g PM p x H1 dx PM P1g
R1
R0
C P1, P1g c00 c10 c00 PF P1g
P1 c11 c00 c01 c11 PM P1g c10 c00 PF P1g
大家晚上好
3.4 派生贝叶斯准则 (Generalized Bayes Criterion)
基本要求：
① 掌握最小平均错误概率准则和最大后验概 率准则
② 掌握极小化极大准则和奈曼-皮尔逊准则的 应用范围和基本原理
3.4.1 最小平均错误概率准则 (Minimum mean prob. of error criterion)
3.4.3 极小化极大准则
3.4.3 极小化极大准则
C P1, P1g c00 c10 c00 PF P1g
第三章 信号检测与估计
第三章 信号的统计检测理论
1
3.3 Bayes Criterion(贝叶斯准则)
基本要求： ① 充分理解平均代价(Average Risk)的概念 ② 贝叶斯准则的判决表达式 ③ 判决性能分析
贝叶斯准则的基本原理：在划分观察空间时，使平均风险最小.
2
1 平均代价的概念和贝叶斯准则
通信系统中，二元信号的平均解调错误概率：
PH1 c01 c11 px H1 0 PH0 c10 c00 px H0 0
因此，平均代价C的大小与判决区域R0有关。
把使被积函数取负值的观察值x值划分给R0区域，而把其余的观察值x值划分给R1，
即可保证平均代价最小。
12
1 平均代价的概念和贝叶斯准则
合并
C P H 0 c10 c00 p x H 0 dx c10 p x H 0 dx
P H1 c11 c01 p x H1 dx c11 p x H1 dx
R0 R0
R0
R0
11
合并
C c10 PH 0 c11 PH1 R PH1 c01 c11 p x H1 PH 0 c10 c00 p x H 0 dx 0
9
1 平均代价的概念和贝叶斯准则
3. 平均代价取到最小值的条件 C PH 0 c00 R px H 0 dx c10 R px H 0 dx 0 1 PH1 c01 R px H1 dx c11 R px H1 dx 0 1
注：一般假设
c10 c00 c01 c11
5
1 平均代价的概念和贝叶斯准则
1
3.3 Bayes Criterion(贝叶斯准则)
基本要求： ① 充分理解平均代价(Average Risk)的概念 ② 贝叶斯准则的判决表达式 ③ 判决性能分析
贝叶斯准则的基本原理：在划分观察空间时，使平均风险最小.
2
1 平均代价的概念和贝叶斯准则
通信系统中，二元信号的平均解调错误概率：
PH1 c01 c11 px H1 0 PH0 c10 c00 px H0 0
因此，平均代价C的大小与判决区域R0有关。
把使被积函数取负值的观察值x值划分给R0区域，而把其余的观察值x值划分给R1，
即可保证平均代价最小。
12
1 平均代价的概念和贝叶斯准则
合并
C P H 0 c10 c00 p x H 0 dx c10 p x H 0 dx
P H1 c11 c01 p x H1 dx c11 p x H1 dx
R0 R0
R0
R0
11
合并
C c10 PH 0 c11 PH1 R PH1 c01 c11 p x H1 PH 0 c10 c00 p x H 0 dx 0
9
1 平均代价的概念和贝叶斯准则
3. 平均代价取到最小值的条件 C PH 0 c00 R px H 0 dx c10 R px H 0 dx 0 1 PH1 c01 R px H1 dx c11 R px H1 dx 0 1
注：一般假设
c10 c00 c01 c11
5
1 平均代价的概念和贝叶斯准则
第三章信号的检测 ,信号检测与估计
1 2
N k 1
s12k s02k
2
H0
H1
则
xT
(s1
s0 )
2
ln l0
1 2
(s1T
s1
s0T s0 )
H0
代入得
H1
T
0 x(t)s1(t)dt
T 0
x(t)s0 (t)dt
l0*
1 2
N0
ln
l0
1 2
(E1
E0 )
H0
3.3.3 二元通信系统的检测性能
第三章 信号的检测
主要内容
引言
二元假设检验和判决准则 二元已知信号的检测 随机参量信号的检测 多元信号的检测 序贯检测 非白正态噪声中的信号检测
§3.3 二元已知信号的检测
• 已知信号：信号出现后，所有的参数（幅度、
频率、相位、到达时间等）都已知。
• 二元已知信号在高斯白噪声中的检测：
假设H1： xt s1t nt
1
S1k
xk
t
2 N0
T
0 s1
t
xt
dt
lim N S0k xk 2
N
t 0
k 1
2
N0
T
0 s0
t
xt
dt
同理
N
lim
S12k
1
2 N
t 0
k 1
2
N0
s T 2
01
t dt E1 N0
N
lim
p xN H0 p xN H1
信号检测与估计理论(3)第三章 克拉美-罗下限
exp ⎧⎨− ⎩
1
2σ 2
N
−1
(
x[
n]
−
s[n;θ
])2
⎫ ⎬
n=0
⎭
3.3 WGN中信号的CRLB
一阶偏导
∑ ∂ ln
p(x;θ ) ∂θ
=
1
σ2
N −1
( x[n] −
n=0
s[n;θ ])
∂s[n;θ ] ∂θ
二阶偏导 数学期望
∑ ∂2
ln p(x;θ ) ∂θ 2
=
1
σ2
N −1 ⎨⎧( x[n] −
ln p (x;θ ∂θ 2
)⎤ ⎥ ⎦
（3-16）
显然，当估计获得CRLB时，其方差就是Fisher 信息的倒数。下界越小，信息越多。Fisher信 息有如下性质：
1、Fisher信息是非负的（根据（3-11）式）。 2、对于独立的观测，Fisher信息满足可加性。
由此，可以得出如下结论：对N个IID观测的 CRLB是单次观测的1/N倍。
3.3 WGN中信号的CRLB
(3-5)
与 p(x[0]; A) 有关，仅是A的函数。上式值越大，估计量的方差 就越小。
3.2 克拉美-罗下界（CRLB）
定理3-1（标量形式的CRLB）假设PDF p(x;θ ) 对
所有可能的 θ 满足“正则”条件
E
⎡ ⎢⎣
∂
ln
p(x;θ ∂θ
)
⎤ ⎥⎦
=
0
那么任何无偏估计 θˆ 的方差一定满足
−
1
2σ 2
N −1
(x[n] −
n=0
A)2
⎤ ⎥
⎦
信号检测与估计知识点总结(2)
第三章 估计理论1. 估计的分类矩估计：直接对观测样本的统计特征作出估计。
参数估计：对观测样本中的信号的未知参数作出估计。
待定参数可以是未知的确定量，也可以是随机量。
点估计：对待定参量只给出单个估计值。
区间估计：给出待定参数的可能取值范围及置信度。
(置信度、置信区间) 波形估计：根据观测样本对被噪声污染的信号波形进行估计。
预测、滤波、平滑三种基本方式。
✓ 已知分布的估计✓ 分布未知或不需要分布的估计。
✓ 估计方法取决于采用的估计准则。
2. 估计器的性能评价✧ 无偏性：估计的统计均值等于真值。
✧ 渐进无偏性：随着样本量的增大估计值收敛于真值。
✧ 有效性：最小方差与实际估计方差的比值。
✧ 有效估计：最小方差无偏估计。
达到方差下限。
✧ 渐进有效估计：样本量趋近于无穷大时方差趋近于最小方差的无偏估计。
✧ 一致性：随着样本量的增大依概率收敛于真值。
✧ Cramer-Rao 界： 其中为Fisher 信息量。
3. 最小均方误差准则模型：假定： 是观测样本，它包含了有用信号 及干扰信号 ，其中 是待估计的信号随机参数。
根据观测样本对待测参数作出估计。
最小均方误差准则：估计的误差平方在统计平均的意义上是最小的。
即使达到最小值。
此时 从而得到的最小均方误差估计为： 即最小均方误差准则应是观测样本Y 一定前提下的条件均值。
需借助于条)()(1αα-≥F V ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-=2212122);,(ln );,(ln )(αααααm m y y y p E y y y p E F )(),()(t n t s t y +=θ)(t n T N ),,,(21θθθθ=),(θts {}{})ˆ()ˆ()ˆ,(2θθθθθθ--=T E e E {}0)ˆ,(ˆ2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=MSE e E d d θθθθθθθθθd Y f Y MSE )|()(ˆ⎰=件概率密度求解，是无偏估计。
信号检测与估计第三章
+∞
th1
⎛ N1μ − th1 ⎞ = Φ⎜ ⎟ ⎜ N 1σ ⎟ ⎝ ⎠
⎛ N1μ − N1σΦ −1 (1 − α1 ) ⎞ ⎛ N1 μ ⎞ −1 PD1 = Φ ⎜ = Φ⎜ − Φ (1 − α1 ) ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ σ N σ 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
• 若采用符号检测器，其检验统计量为：
0 2,1
ARE
N1 = N2
0 2,1
渐近相对效率定义如下:
N1 ARE2,1 = lim ARE = lim H1 → H 0 H1 → H 0 N 2 N →+∞ N →+∞
N 2 →+∞
1
N 2 →+∞
1
渐近相对效率是检测器在 H1 → H 0 条件下样本数趋于无穷时 的相对效率。它是比较两种检测器性能的一种指标。
⎧ H 0 : f ( xi ) = f ( − xi ) ⎨ ⎩ H1 : f ( Asi + xi ) = f ( Asi − xi )
2）若只知道噪声分布的中位数为零，可表示为： 1 ⎧ H0 : F ( 0) = ⎪ ⎪ 2 ⎨ ⎪ H : F ( As ) = 1 1 i ⎪ ⎩ 2
定义非随机检验函数（连续型）：
( ) ( ) ( )
k >0
• 混合型噪声的概率密度函数为：
⎧ ⎧ x2 ⎫ ε 1− ε ⎪ 2 x f ( x) = exp ⎨ − 2 ⎬ + exp ⎨ − 2πσ 1 2σ 2 ⎩ 2σ 1 ⎭ ⎪ σ2 ⎩ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
3.2.1 衡量检测器性能的指标
1. 检测器渐近相对效率 假设二元假设检验问题有两个检测器，若它们具有相同的 虚警概率和检测概率所需的观测样本数分别为 N1 , N 2 ， 则定义第2个检测器对于第1个的相对效率为:
信号检测与估计理论
x~N (μx,Cx),互不相关等 计价 独 , 独 于 立 立 相同 互分 统布 概率密度函数 。
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 内容提要
三. 离散随机信号的函数
1.一维雅可比特变别换是, 简单线性 的函 变数 。 换时 2. N维雅可比变换。
四. 连续随机信号
1任 .tk 时 意刻采 x (tk) 样 (x k ； tk)所 k ( 1 ,2 , 得 ,N )的 样 概 本 率 函数描述。
平均似然 广 比 义 检 似 验 然 ,比-检 皮验 尔和 逊奈 检曼 验的基
和方法。
第3章 信号状态的统计检测理论 例题解答
例3.1 设二元信号检测的模信型号为
H 0： x1n H1： x2n
其中 观,测n噪 服声 从对称三 如3 角 图 .1(a)分 所布 。 示,
若似然 1 ,求 比最 检 图 佳 测 示 判 门 计 判 P ( 决 H 限 算 1|H 0 决 )。 式域
也相互统计独立。
七. 信号模型及统计特性
确知信号 (未和 )知 参随 量机 ； 信 随号 机参量信性 号描 的述 统
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 例题解答
例 2.1设离散x随 服机 从信 对号 称 其 三 概 角 率 分 密 布 度 , 函
p(x)
11|x| a a2
axa (a0)
0
其他
第3章 信号状态的统计检测理论 内容提要
一.信号状态统计检测 的理 基论 本概念
信号状态观 的测 假信 设号 , 的数 概合 ,率理 密判 判 度决 决 函,结果 与判决概最 率佳 , 判决的概 。念
二.二元信号状态统计 的检 三测 个准则
贝叶斯最 检小 测平 准均 则准 错 , 奈 则 误 曼 , 皮 概尔 率逊 检 测准则的概 检 念 验 、 判 似 决 然 为 式 比 最 、简 化判 简决 能 式
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 内容提要
三. 离散随机信号的函数
1.一维雅可比特变别换是, 简单线性 的函 变数 。 换时 2. N维雅可比变换。
四. 连续随机信号
1任 .tk 时 意刻采 x (tk) 样 (x k ； tk)所 k ( 1 ,2 , 得 ,N )的 样 概 本 率 函数描述。
平均似然 广 比 义 检 似 验 然 ,比-检 皮验 尔和 逊奈 检曼 验的基
和方法。
第3章 信号状态的统计检测理论 例题解答
例3.1 设二元信号检测的模信型号为
H 0： x1n H1： x2n
其中 观,测n噪 服声 从对称三 如3 角 图 .1(a)分 所布 。 示,
若似然 1 ,求 比最 检 图 佳 测 示 判 门 计 判 P ( 决 H 限 算 1|H 0 决 )。 式域
也相互统计独立。
七. 信号模型及统计特性
确知信号 (未和 )知 参随 量机 ； 信 随号 机参量信性 号描 的述 统
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 例题解答
例 2.1设离散x随 服机 从信 对号 称 其 三 概 角 率 分 密 布 度 , 函
p(x)
11|x| a a2
axa (a0)
0
其他
第3章 信号状态的统计检测理论 内容提要
一.信号状态统计检测 的理 基论 本概念
信号状态观 的测 假信 设号 , 的数 概合 ,率理 密判 判 度决 决 函,结果 与判决概最 率佳 , 判决的概 。念
二.二元信号状态统计 的检 三测 个准则
贝叶斯最 检小 测平 准均 则准 错 , 奈 则 误 曼 , 皮 概尔 率逊 检 测准则的概 检 念 验 、 判 似 决 然 为 式 比 最 、简 化判 简决 能 式
第三章 信号检测与估计(1)
4 二元信号判决概率
P Hi | H j p x | H j d x ， i, j 0 , 1
Ri
P Hi | H j p x | H jቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ d x ， i, j 0 , 1
Ri
5 M元信号检测模型
信源
概率转移机构
信源的输出称为假设 将信源的输出(假设)以一定的 概率关系映射到整个观察空间中 接收端所有可能观测量的集合 将观察空间进行合理划分,使每个观测量 对应一个假设判断的方法
4. 贝叶斯判决准则
C c10 PH 0 c11 PH1 R PH1 c01 c11 p x H1 PH 0 c10 c00 p x H 0 dx 0
即可保证平均代价最小。
把使被积函数取负值的观察值x值划分给R0区域，而把其余的观察值x值划分给R1，
信号的统计检测理论，研究在噪声干扰中，信号的有无以及信号是属 于哪个状态最佳判决的概念、方法和性能等问题。其基础就是统计判决理 论,信号的统计检测又称假设检验。这在大学数理统计中已经接触过。
3.2 统计检测理论的基本概念
基本要求： 从二元信号的统计检测入手，讲述以下问题： 信号状态假设和接收信号的数学模型; 不同假设下,信号的统计特性及其描述;
PH1 c01 c11 px H1 0 PH0 c10 c00 px H0 0
因此，平均代价C的大小与判决区域R0有关。
把使被积函数取负值的观察值x值划分给R0区域，而把其余的观察值x值划分给R1，
即可保证平均代价最小。
1 平均代价的概念和贝叶斯准则
可看出，检测性能，不仅与两种错误判决概率有关，还与信源发送0和1的 先验概率有关 另外，每做出一种判断，人们要付出的代价也是不同的 如何综合考虑上述各种因素来设计好的检测方法？ 贝叶斯检测，给定各种判决代价因子，且已知各假设的先验概率条件下， 使平均代价最小的检测准则。
《信号检测与估计》第三章习题解答
解：由题意可得
( ) f x H0 =
1
− x2
e2
2π
N
∑ 根据定理：当 xi ~ N (0,1) ，且 i = 1,2,L, N 之间相互独立时， x = xi2 服从 χ 2 分布，其概率密 i =1
度函数为
fi(x) =
1
2
i 2
Γ
⎜⎛
i
⎟⎞
i −1 − x
x2 e 2
。得到
⎝2⎠
( ) f
i =1
H1 > <
H0
1 M
ln l0
+1=
β
即判决门限为
β
=
1 M
ln l0
+1
（2）
3.7 在二元假设检验问题中，两假设下的接收信号分别为
H1：x(t ) = r12 + r22 H0：x(t) = r1
其中， r1 和 r2 是独立同分布的高斯随机变量，均值为零，方差为 1。求 Bayes 最佳判决公式。
信号检测与估计第三章习题解答经济法基础第三章习题热学第三章习题答案教育学第三章练习题信号与系统习题解析电磁学习题解答数值分析习题解答控制工程基础习题解答数学模型习题参考解答材料力学习题解答
《信号检测与估计》习题解答
《信号检测与估计》第三章习题解答
3.1 在二元数字通信系统中，发送端等概发送 2V 和 0V 的脉冲信号，信道上迭加的噪声服从均值
erf
⎜⎜⎝⎛
β
−1 2σ
⎟⎟⎠⎞⎥⎦⎤
=
1 2
⎡ ⎢1 + ⎣
erf
⎜⎜⎝⎛
β
−1 2σ
⎟⎟⎠⎞⎥⎦⎤
=
1 2
( ) f x H0 =
1
− x2
e2
2π
N
∑ 根据定理：当 xi ~ N (0,1) ，且 i = 1,2,L, N 之间相互独立时， x = xi2 服从 χ 2 分布，其概率密 i =1
度函数为
fi(x) =
1
2
i 2
Γ
⎜⎛
i
⎟⎞
i −1 − x
x2 e 2
。得到
⎝2⎠
( ) f
i =1
H1 > <
H0
1 M
ln l0
+1=
β
即判决门限为
β
=
1 M
ln l0
+1
（2）
3.7 在二元假设检验问题中，两假设下的接收信号分别为
H1：x(t ) = r12 + r22 H0：x(t) = r1
其中， r1 和 r2 是独立同分布的高斯随机变量，均值为零，方差为 1。求 Bayes 最佳判决公式。
信号检测与估计第三章习题解答经济法基础第三章习题热学第三章习题答案教育学第三章练习题信号与系统习题解析电磁学习题解答数值分析习题解答控制工程基础习题解答数学模型习题参考解答材料力学习题解答
《信号检测与估计》习题解答
《信号检测与估计》第三章习题解答
3.1 在二元数字通信系统中，发送端等概发送 2V 和 0V 的脉冲信号，信道上迭加的噪声服从均值
erf
⎜⎜⎝⎛
β
−1 2σ
⎟⎟⎠⎞⎥⎦⎤
=
1 2
⎡ ⎢1 + ⎣
erf
⎜⎜⎝⎛
β
−1 2σ
⎟⎟⎠⎞⎥⎦⎤
=
1 2
信号检测与估计教学资料 第三章 信号检测与估计3new
M 1
M 1
cii P Hi
i0
i0
c c Ri j0, ji ij
jj
P Hj
p x H j dx
M1
Ii x
cij c jj P H j p x H j
j0, ji
cij cjj , P H j 0, p x H j 0 Ii x 0
x
H
j
p x Hi
判决规则为在M个似然函数 p x Hi 中，选择使 p x Hi
最大的假设成立。
3.6 M元信号检测
Ex3.8 在四元通信系统中，信源有四个可能的输出，即假设 为 H0 时输出1，假设为 H1 时输出为2，假设为 H2 时输出 为3，假设为 H3 时输出为4。各个假设的先验概率相等， 且正确判决代价为零，错误判决代价为1，并进行了N次独 立观测。
pl H1 pl H0
步骤3： 计算判决概率
PH0 H1 PH1 H0
3.6 M元信号的统计检测 (Detection of M-ary Signal)
基本要求： ① 掌握贝叶斯准则 ② 掌握最小平均错误概率准则
3.6 M元信号检测
1. Bayes 检测准则
M 1
R Ri
M 1
Ii x P H j p x H j
j0, ji
为保证平均错误概率最小，应把所有使 Ii x 最小的x划分至
判决区域 Ri ，即当满足
Ii x I j x, j 0, 1, , M 1, j i
时，判决Hi成立
3.6 M元信号检测
算最终判决门限。
c11 c00 0 c10 c01 1
信号检测与估计--第三章-信号的检测
N(2xjsi si2)
j1
i 1,2,3,
上式最大等效为
N 1jN 1(2 xjsisi2)（ N 2jN 1xjsi)si2,i 1 ,2 ,3最大
计算
（
2 N
N
x j) 1,
j1
i1
（
4 N
N
x j) 4,
j1
i 2
哪个大就判决哪个假设成立
（ 2
N
N
x j) 1,
j1
i 3
除以p(x),得
m
C ijp (xH j)P (H j) m
R i(x)j 1 p (x)
j 1C ijP (H j x) i m 1 ,2 i,n m判 决 H i成 立
即在给定观测数据x的条件下,哪个假设带来的代价 小就判决哪个假设成立
贝叶斯准则的证明
把观测X分成互不重叠的m个子空间
X X 1 X 2 X m X 1 U X 2 U U X m
– C00 = C11=0,C10 = C01=1
• 最大似然准则
p(x p(x
| |
H H
1) 0)
H1
H0
1
– C00 = C11，C10 = C01，且P(H0) = P(H1)
• 最大后验概率准则
– (C10-C00)=( C01-C11)
p(H p(H
1 0
| |
x) x)
H1
H0
1
以取样平均值
sˆ
1 N
N
xj
j 1
作为检验统计量
判决规则为:
0
sˆ
3 2
,判
决
H
成
1
信号检测与估计 第三章 信号的检测1
➢ 把元信号与“假设”联系起来，根据观测数据和判决准则 对各假设进行统计检验，判决哪个假设成立。信号检测 就成为假设检验问题
§3.2 二元信号的假设检验和判决准则
➢ 二元信号基本概念 ➢ 贝叶斯准则 ➢ 最小总错误概率准则 ➢ 奈曼---皮尔逊准则 ➢ 极大极小准则
二元假设检验的模型
信源 P(H1)，P(H0)
X1 p(x | H0 )dx
X0 p(x | H1)dx
1
X1
[
p(x
|
H1)
(C10 (C01
C00 )q C11) p
p(x | H0 )]dx
贝叶斯准则
判决规则 ：
H1
l(x)
l0
(C10 (C01
C00 )q C11) p
H0
3.2.3 最小总错误概率准则
所谓最小总错误概率准则，就是已知信号的
（4） H1 为真，判决 H 0 成立；
虚警概率
第三种判决通常称为第一类错误，用雷 达术语来说是虚警错误，即在没有信号 的条件下判决为有信号。其错误概率为
X1 p(x | H0 )dx
漏报概率
第四种判决通常称为第二类错误，用雷 达术语来说是漏报错误。即在有信号的 条件下判决为无信号。其错误概率密度 为：
p[(C11 C00 ) (C01 C11) (C01 C00 ) ]
极大极小准则
由于 R ~ p的关系是一条直线 ，我们用 R( p) 来表示
R( p) C00(1 ) C10
p[(C11 C00 ) (C01 C11) ( p1) (C10 C00 ) ( p1)]
R
R(P) Rmin ( p)
0 P1
P
Rmin ( p) P
§3.2 二元信号的假设检验和判决准则
➢ 二元信号基本概念 ➢ 贝叶斯准则 ➢ 最小总错误概率准则 ➢ 奈曼---皮尔逊准则 ➢ 极大极小准则
二元假设检验的模型
信源 P(H1)，P(H0)
X1 p(x | H0 )dx
X0 p(x | H1)dx
1
X1
[
p(x
|
H1)
(C10 (C01
C00 )q C11) p
p(x | H0 )]dx
贝叶斯准则
判决规则 ：
H1
l(x)
l0
(C10 (C01
C00 )q C11) p
H0
3.2.3 最小总错误概率准则
所谓最小总错误概率准则，就是已知信号的
（4） H1 为真，判决 H 0 成立；
虚警概率
第三种判决通常称为第一类错误，用雷 达术语来说是虚警错误，即在没有信号 的条件下判决为有信号。其错误概率为
X1 p(x | H0 )dx
漏报概率
第四种判决通常称为第二类错误，用雷 达术语来说是漏报错误。即在有信号的 条件下判决为无信号。其错误概率密度 为：
p[(C11 C00 ) (C01 C11) (C01 C00 ) ]
极大极小准则
由于 R ~ p的关系是一条直线 ，我们用 R( p) 来表示
R( p) C00(1 ) C10
p[(C11 C00 ) (C01 C11) ( p1) (C10 C00 ) ( p1)]
R
R(P) Rmin ( p)
0 P1
P
Rmin ( p) P
信号检测与估计(3)
2 xk s1k 2 x(t ) f k (t )dt s1 (t ) f k (t )dt
T T 0 0
[2 x (t ) s1 (t )] f k (t )dt
T 0
2 xk s0 k [2 x(t ) s0 (t )] f k (t )dt
T 0
N T s1k f k (t ) 1 N s1k 1 (2 xk s1k ) 0 [ x(t ) 2 s1 (t )] dt 2 k 1 k k 1 k
G E{G} n(t )[h1 (t ) h0 (t )]dt
T 0
var{G} E{[G E{G}]2 }
T 0 T
T
0
Rn (t )[ h1 () h0 ()][h1 (t ) h0 (t )]ddt
[ s1 (t ) s0 (t )][ h1 (t ) h0 (t )]dt
注意
T
0 T
s0 (t )h1 (t )dt [ Rn (t )h0 ()d]h1 (t )dt
T T 0 0
0
s1 (t )h0 (t )dt [ Rn (t )h1 ()d]h0 (t )dt
T T 0 0
2
可得
G E{G | H1} E{G | H 0 } 2
N
k
f k (t ) x k f k (t )
k 1
条件是 x k f k (t ) 均方收敛于 x (t ) ，即
k 1
N
lim E{[ x ( t ) x k f k ( t )]2 } 0
k 1
N
信号检测与估计
实际情况：带限白噪声：Rn (τ )为辛格函数
Rn (τ )
π − ω0
π ω0
2π ω0
S n (ω )
检测的步骤： 检测 ⇔ 求似然比 Λ(x) → 进一步化简似然比， 确定门限。
τ
N0 2
ω
−ω0
ω0
以Δt=
π 为间隔采样，x1 , x2 , ω0
p ( xn |H i ) p (x|H1 ) p (x|H 0 )
∴⇒
2
{[ xi − E ( xi ) ] } = cov( xi , xi )
∫
T 0
由 公 式 ( 3 − 6) and (3 − 7) ⇒ Var [ x i ] = f i ( t1 ) λ i f i ( t1 ) dt1 = λ i = Var [ x i H 1 ] = Var [ x i H 0 ]
0 T
∫ cov { x , x } = E {[ x
0 i j
E [ xk ] =
T
仅 当 f j ( t1 ) * R n ( t1 ) = 则 c o v {x i , x j } = 0 即 不 相 关 xi , x j
s (t ) f k * (t ) dt
i
=E
{∫
T
0
∫
T
0
fi
*
} (t ) f (t ) n (t ) n * (t ) dt dt }
, xn 不相关 ⇒ 独立，
p (x|H i )＝p ( x1|H i ) ⇒ 似然比Λ(x)=
求 似 然 比 ⇔ p ( X | H i ); 即 ： 求 N 个 数 据 点 的 联 合 pdf ；
1
信号检测与估计教学资料 第三章 信号检测与估计6new-精品文档
c01 c101
最小平均 错误概率 判决准则
H 1 xH p H0 1 P xH0H H p P 1 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
判决H0假设成立 判决H1假设成立
最小平均错误概率准则
最小平均错误概率判决准则
H 1 d e f p x H PH 1 0 ( x ) PH p 1 xH H 0 0 d e f
化简
ln ln ( x )
H0
H
H1
l( x )
第三章 信号的统计检测理论 复习总结
第三章 信号的统计检测理论
经典的信号统计检测理论
① 统计信号检测理论的基本概念 ② 二元信号检测的最佳检测准则 ③ 信号状态的判决的方法和检测性能的分析 ④ M元信号的最佳检测
⑤ 参量信号的复合假设检验
⑥ 序列检测
贝叶斯准则
贝叶斯准则基本思路: 根据给定的代价计算平均代价 按照平均代价最小划分观察空间,得到判决准则
推导贝叶斯检测准则的最简表示形式 l x
H
0
H1
步骤2：
根据最简表示形式，计算各种假设下，统计量的概率密度函数
pl H1 pl H0
步骤3：
计算判决概率
H P 0H 1
H P 1H 0
P H H lH dl 0 1 1 p
P H lH dl 1H 0 0 p
H
0
1
最小平均错误概率准则
最小平均错误概率判决准则
H 1 d e f p x H PH 1 0 ( x ) PH p 1 xH H 0 0 d e f
若
2021年信号检测与估计各章作业参考答案(1~9章)
习题1.考虑检测问题：
其中 是常数， 是 上均匀分布的随机参量； 是高斯白噪声。
(a)求判决公式及最正确接收机结构形式。
(b)如果 ，证明最正确接收机可用 作为检验统计量，并对此加以讨论。
解：〔a〕设 是均值为0、功率谱密度为 的正态白噪声，那么有
由于
所以
按照贝叶斯准那么
或者
两边取对数得到
最正确接
因此 的均值、二阶原点矩和方差分别为
9.假设随机过程 的自相关函数为 ，求 的功率谱密度。
解:自相关函数与功率谱密度函数是一对傅立叶变换对，所以有
利用欧拉公式，可得
11.平稳随机过程 具有如下功率谱密度
求 的相关函数 及平均功率 。
解：
而自相关函数 与功率谱密度 是一对傅立叶变换，
〔b〕不管是否有条件 ，
都可选 作为检验统计量。
当 时，由于
所以判决规那么为
第六章多重信号检测
思考题1：为何要进行多重信号的检测？
答：利用多重信号检测的优势是可以增加检测系统的信噪比，从而增强系统的检测性能。
思考题3：何谓随机相位相干脉冲串信号和随机相位非相干脉冲串信号？
答：通常把多个脉冲信号组成的一串信号称为脉冲串信号，各个脉冲叫做子脉冲，整个信号叫做脉冲串信号。如果脉冲串信号的初相随机，但各个子脉冲信号的相位一致，那么称之为随机相位相干脉冲串信号。如果各子脉冲信号的相位都是随机变化的，且彼此独立变化，那么称之为随机相位非相干脉冲串信号。
〔1〕求 的最大似然估计。
〔2〕假设 的概率密度
求 的最大后验概率估计。
解：〔1〕由题意可写出似然函数
按最大似然估计方程 ，由此解得
〔2〕当 时，可按最大后验概率方程 求解，得到
其中 是常数， 是 上均匀分布的随机参量； 是高斯白噪声。
(a)求判决公式及最正确接收机结构形式。
(b)如果 ，证明最正确接收机可用 作为检验统计量，并对此加以讨论。
解：〔a〕设 是均值为0、功率谱密度为 的正态白噪声，那么有
由于
所以
按照贝叶斯准那么
或者
两边取对数得到
最正确接
因此 的均值、二阶原点矩和方差分别为
9.假设随机过程 的自相关函数为 ，求 的功率谱密度。
解:自相关函数与功率谱密度函数是一对傅立叶变换对，所以有
利用欧拉公式，可得
11.平稳随机过程 具有如下功率谱密度
求 的相关函数 及平均功率 。
解：
而自相关函数 与功率谱密度 是一对傅立叶变换，
〔b〕不管是否有条件 ，
都可选 作为检验统计量。
当 时，由于
所以判决规那么为
第六章多重信号检测
思考题1：为何要进行多重信号的检测？
答：利用多重信号检测的优势是可以增加检测系统的信噪比，从而增强系统的检测性能。
思考题3：何谓随机相位相干脉冲串信号和随机相位非相干脉冲串信号？
答：通常把多个脉冲信号组成的一串信号称为脉冲串信号，各个脉冲叫做子脉冲，整个信号叫做脉冲串信号。如果脉冲串信号的初相随机，但各个子脉冲信号的相位一致，那么称之为随机相位相干脉冲串信号。如果各子脉冲信号的相位都是随机变化的，且彼此独立变化，那么称之为随机相位非相干脉冲串信号。
〔1〕求 的最大似然估计。
〔2〕假设 的概率密度
求 的最大后验概率估计。
解：〔1〕由题意可写出似然函数
按最大似然估计方程 ，由此解得
〔2〕当 时，可按最大后验概率方程 求解，得到
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H0
T
T
0
x(t ) s1 (t )dt
0
* 1 1 x(t ) s0 (t )dt l0 N 0 ln l0 ( E1 E0 ) 2 2
H0
H1
3.3.3 二元通信系统的检测性能
• 相关概念及推导 • 几种具体信号模型
– 相参相移键控 – 相参频移键控 – 启闭载波键控
Var[G | H0 ] N0 E(1 )
Pe 1 [ (1 ) E / N0 ]
几种具体信号模型
• 相参相移键控（CPSK）
s0 (t ) A sin 0t
0t T
0t T
s1 (t ) A sin(0t ) A sin 0t
xt s1 t nt
xt s0 t nt
0t T
3.3.2 二元信号检测系统
对x(t)在0~T范围内进行N次观测，则
p X H 0 p x1 x2 xN H 0 p x1 H 0 p x2 H 0 p xN H 0 p X H1 p x1 x2 xN H1 p x1 H1 p x2 H1 p xN H1
Err an I [Q(t ) cos( ) I (t )sin( )] an Q[ I (t ) cos( ) Q(t )sin( )] [an I * I (t ) an Q * Q(t )]sin( ) 2 K p sin( ) 2 K p
s t x t dt
0 1
T
S0 k xk 2 lim 2 N N0 t 0 k 1
N
s t x t dt
0 0
T
同理
S lim N 2 t 0 k 1
N
N
2 1k 2
1 N0
2 0
T
0
E1 s t dt N0
其性能较相参相移键控信号差3dB
启闭载波键控（CASK或OOK）
s0 (t ) 0 s1 (t ) A sin 0t 0t T
此时ρ＝0，E=E1/2，E0=0。 错误概率 判决门限
Pe 1 [ E1 / 2 N 0 ]
1 l ( E1 E0 ) E1 / 2 2
2 1
S02k 1 lim 2 N 2 N0 t 0 k 1
T
0
E0 s t dt N0
N足够大时，等式近似成立
令
x x1 , x2 ...xN
H1
T T
si si1 , si 2 ...siN
T
则 代入得
2 1 T T x ( s1 s0 ) ln l0 ( s1 s1 s0 s0 ) 2
0 0
T
T
• 则判决规则为
* G l0
H0
H1
• 检测系统的总错误概率：
1 1 Pe =q p p(G | H 0 )dG p(G | H1 )dG 2l* 2
0
l0*
E G | H 0 E s0 (t ) s1 (t )dt E[n(t )]s1 (t )dt 0 0
2 2 N p X H1 S1k xk S0 k xk S1k S0 k lX exp 2 2 2 2 p X H0 2 2 k 1
判决规则
N
l ( x ) l0
H0
N H1 N 2 1k 2 0k
* 0
按平均信号能量E来说，其性能与相参频移 键控系统相同。
x(t )
×
T
0
+ -
判决
S1 (t )
l
* 0
图3.10 启闭载波键控检测系统
3.3.4 雷达系统的检测性能
H 0： x(t ) n(t )
H1： x(t ) s1 (t ) n(t )
Ps0 (t ) 及 P s1 (t ) 未知，常用奈曼-皮尔逊准则。
l0*
Pe 1 [ (1 ) E / N0 ]
总错误概率，标志着二元通信系统的最佳检测性能。
除与信号平均能量及噪声强度有关，还与ρ 有关。
当ρ ＝－1时Pe最小。
回顾
• 贝叶斯准则 (C10 C00 )q l0 (C01 C 11 ) p –最小平均风险 • 最小总错误概率准则 – C00 = C11=0，C10 = C01=1 • 奈曼---皮尔逊准则 p ( l | H ) dl 0 –固定使PD最大 l0 • 极大极小准则 –安全平均风险
相关概念及推导
• 系统的检测性能，通常是指在假定的信号与噪 声的条件下系统的某种判决概率与输入信噪比 之间的关系。在这里我们求总错误概率Pe与输 入信噪比d之间的关系。
• 对于通信最佳检测系统，通常用最小总错误概 率准则。即贝叶斯准则C11=C00=0,C01=C10=1
(C10 C00 )q q l0 (C01 C 11 ) p p
则
E[G | H0 ] E E0
G E[G | H 0 ] n(t )[s1 (t ) s0 (t )]dt
0
T
Var[G | H 0 ] E{[G E (G | H 0 )]2 } N0 = 2
T
0
[s1 (t ) s0 (t )]2 dt N 0 E (1 )
最佳检测系统的方框图仍如前所示。 检验统计量
G x(t )s1 (t )dt
0 T
虚警概率
检测概率
p(G H 0 )dG
l0
PD p(G H1 )dG
l0
E[G | H0 ] E E0
Var[G | H0 ] N0 E(1 )
1 1 l N 0 ln l0 ( E1 E0 ) 2 2
E1 d 2 N0
工作特性
检测特性
当α给定之后，检测概率只与信号能量及噪声强度 之比有关
PSK/ASK/QAM/FSK解调
QPSK 解调
符号 同步 低通 滤波 匹配 滤波 抽取 判决 匹配 滤波 载波 同步 串并 转换
数据 输出
中频
ADC
cos( 0t 0)
低通 滤波
sin( 0t 0)
[G ( E E0 )]2 1 p(G | H 0 ) exp{ } 2 N0 E (1 ) 2 N0 E (1 )
因此
=
l0*
p(G | H
0
)dG
1 ( E1 E0 ) 2
[G ( E E0 )]2 1 exp{ }dG 2 N 0 E (1 ) 2 N 0 E (1 )
•
最大似然准则
– C00 = C11，C10 = C01，且P(H0) = P(H1)
•
最大后验概率准则
p( x | H1 ) 1 p( x | H 0 ) H0
H1
– (C10-C00)=( C01-C11) – 与最小总错误概率准则等效； – P(H1)= P(H0)时，与最大似然准则等效。
H1
x k s1k x k s0 k 1 s s ln l0 取对数得 2 2 2 2 k 1 k 1 k 1
H0
极限值
取极限情况
t 0, N 2 N 0 B N 0 2t B 1 2t
N S1k xk 2 2 lim 2 lim S1k xk t 可得 N N N N0 k 1 0 t 0 t 0 k 1 N
二元已知信号在高斯白噪声中的检测
T
0
x(t )s1 (t )dt
T
0
1 * 1 x(t )s0 (t )dt l0 N0 ln l0 ( E1 E0 )
H0
H1
2
2
二元通信系统中p=q=1/2
1 l0 ( E1 E0 ) 2
*
E[G | H0 ] E E0
条件概率密度
2 xk s0 k 1 p xk H 0 exp 2 2 2 2 xk s1k 1 p xk H1 exp 2 2 2
其中
似然比检验
在0~T时间内进行N次抽样，得到似然函数比为
• 通常先验概率p及q一般都设计得近似相等，这 样可得到更小的总错误概率。
• 假设p=q=1/2 ， 此时l0=q/p=1，则
1 1 1 l0 N 0 Inl0 ( E1 E0 ) ( E1 E0 ) 2 2 2
*
• 取检验统计量 G x(t)s1(t)dt x(t)s0(t)dt
* 0
代入得
0，E0 0，E E 2
1
p (G H 0 )
p (G H1 )
0
1 G2 exp N 0 E1 N 0 E1
(G E1 ) 2 1 exp N E N 0 E1 0 1
1 1 l N 0 ln l0 E1 2 2
T T T 2 E s0 (t )dt E[n(t )]s0 (t )dt 0 0 2 s0 (t ) s1 (t )dt s0 (t )dt 0 0 T T
T
令
1 T 2 1 2 E [ s0 (t ) s1 (t )]dt ( E0 E1 ) 2 0 2 1 T s0 (t ) s1 (t )dt E 0
T
T
0
x(t ) s1 (t )dt
0
* 1 1 x(t ) s0 (t )dt l0 N 0 ln l0 ( E1 E0 ) 2 2
H0
H1
3.3.3 二元通信系统的检测性能
• 相关概念及推导 • 几种具体信号模型
– 相参相移键控 – 相参频移键控 – 启闭载波键控
Var[G | H0 ] N0 E(1 )
Pe 1 [ (1 ) E / N0 ]
几种具体信号模型
• 相参相移键控（CPSK）
s0 (t ) A sin 0t
0t T
0t T
s1 (t ) A sin(0t ) A sin 0t
xt s1 t nt
xt s0 t nt
0t T
3.3.2 二元信号检测系统
对x(t)在0~T范围内进行N次观测，则
p X H 0 p x1 x2 xN H 0 p x1 H 0 p x2 H 0 p xN H 0 p X H1 p x1 x2 xN H1 p x1 H1 p x2 H1 p xN H1
Err an I [Q(t ) cos( ) I (t )sin( )] an Q[ I (t ) cos( ) Q(t )sin( )] [an I * I (t ) an Q * Q(t )]sin( ) 2 K p sin( ) 2 K p
s t x t dt
0 1
T
S0 k xk 2 lim 2 N N0 t 0 k 1
N
s t x t dt
0 0
T
同理
S lim N 2 t 0 k 1
N
N
2 1k 2
1 N0
2 0
T
0
E1 s t dt N0
其性能较相参相移键控信号差3dB
启闭载波键控（CASK或OOK）
s0 (t ) 0 s1 (t ) A sin 0t 0t T
此时ρ＝0，E=E1/2，E0=0。 错误概率 判决门限
Pe 1 [ E1 / 2 N 0 ]
1 l ( E1 E0 ) E1 / 2 2
2 1
S02k 1 lim 2 N 2 N0 t 0 k 1
T
0
E0 s t dt N0
N足够大时，等式近似成立
令
x x1 , x2 ...xN
H1
T T
si si1 , si 2 ...siN
T
则 代入得
2 1 T T x ( s1 s0 ) ln l0 ( s1 s1 s0 s0 ) 2
0 0
T
T
• 则判决规则为
* G l0
H0
H1
• 检测系统的总错误概率：
1 1 Pe =q p p(G | H 0 )dG p(G | H1 )dG 2l* 2
0
l0*
E G | H 0 E s0 (t ) s1 (t )dt E[n(t )]s1 (t )dt 0 0
2 2 N p X H1 S1k xk S0 k xk S1k S0 k lX exp 2 2 2 2 p X H0 2 2 k 1
判决规则
N
l ( x ) l0
H0
N H1 N 2 1k 2 0k
* 0
按平均信号能量E来说，其性能与相参频移 键控系统相同。
x(t )
×
T
0
+ -
判决
S1 (t )
l
* 0
图3.10 启闭载波键控检测系统
3.3.4 雷达系统的检测性能
H 0： x(t ) n(t )
H1： x(t ) s1 (t ) n(t )
Ps0 (t ) 及 P s1 (t ) 未知，常用奈曼-皮尔逊准则。
l0*
Pe 1 [ (1 ) E / N0 ]
总错误概率，标志着二元通信系统的最佳检测性能。
除与信号平均能量及噪声强度有关，还与ρ 有关。
当ρ ＝－1时Pe最小。
回顾
• 贝叶斯准则 (C10 C00 )q l0 (C01 C 11 ) p –最小平均风险 • 最小总错误概率准则 – C00 = C11=0，C10 = C01=1 • 奈曼---皮尔逊准则 p ( l | H ) dl 0 –固定使PD最大 l0 • 极大极小准则 –安全平均风险
相关概念及推导
• 系统的检测性能，通常是指在假定的信号与噪 声的条件下系统的某种判决概率与输入信噪比 之间的关系。在这里我们求总错误概率Pe与输 入信噪比d之间的关系。
• 对于通信最佳检测系统，通常用最小总错误概 率准则。即贝叶斯准则C11=C00=0,C01=C10=1
(C10 C00 )q q l0 (C01 C 11 ) p p
则
E[G | H0 ] E E0
G E[G | H 0 ] n(t )[s1 (t ) s0 (t )]dt
0
T
Var[G | H 0 ] E{[G E (G | H 0 )]2 } N0 = 2
T
0
[s1 (t ) s0 (t )]2 dt N 0 E (1 )
最佳检测系统的方框图仍如前所示。 检验统计量
G x(t )s1 (t )dt
0 T
虚警概率
检测概率
p(G H 0 )dG
l0
PD p(G H1 )dG
l0
E[G | H0 ] E E0
Var[G | H0 ] N0 E(1 )
1 1 l N 0 ln l0 ( E1 E0 ) 2 2
E1 d 2 N0
工作特性
检测特性
当α给定之后，检测概率只与信号能量及噪声强度 之比有关
PSK/ASK/QAM/FSK解调
QPSK 解调
符号 同步 低通 滤波 匹配 滤波 抽取 判决 匹配 滤波 载波 同步 串并 转换
数据 输出
中频
ADC
cos( 0t 0)
低通 滤波
sin( 0t 0)
[G ( E E0 )]2 1 p(G | H 0 ) exp{ } 2 N0 E (1 ) 2 N0 E (1 )
因此
=
l0*
p(G | H
0
)dG
1 ( E1 E0 ) 2
[G ( E E0 )]2 1 exp{ }dG 2 N 0 E (1 ) 2 N 0 E (1 )
•
最大似然准则
– C00 = C11，C10 = C01，且P(H0) = P(H1)
•
最大后验概率准则
p( x | H1 ) 1 p( x | H 0 ) H0
H1
– (C10-C00)=( C01-C11) – 与最小总错误概率准则等效； – P(H1)= P(H0)时，与最大似然准则等效。
H1
x k s1k x k s0 k 1 s s ln l0 取对数得 2 2 2 2 k 1 k 1 k 1
H0
极限值
取极限情况
t 0, N 2 N 0 B N 0 2t B 1 2t
N S1k xk 2 2 lim 2 lim S1k xk t 可得 N N N N0 k 1 0 t 0 t 0 k 1 N
二元已知信号在高斯白噪声中的检测
T
0
x(t )s1 (t )dt
T
0
1 * 1 x(t )s0 (t )dt l0 N0 ln l0 ( E1 E0 )
H0
H1
2
2
二元通信系统中p=q=1/2
1 l0 ( E1 E0 ) 2
*
E[G | H0 ] E E0
条件概率密度
2 xk s0 k 1 p xk H 0 exp 2 2 2 2 xk s1k 1 p xk H1 exp 2 2 2
其中
似然比检验
在0~T时间内进行N次抽样，得到似然函数比为
• 通常先验概率p及q一般都设计得近似相等，这 样可得到更小的总错误概率。
• 假设p=q=1/2 ， 此时l0=q/p=1，则
1 1 1 l0 N 0 Inl0 ( E1 E0 ) ( E1 E0 ) 2 2 2
*
• 取检验统计量 G x(t)s1(t)dt x(t)s0(t)dt
* 0
代入得
0，E0 0，E E 2
1
p (G H 0 )
p (G H1 )
0
1 G2 exp N 0 E1 N 0 E1
(G E1 ) 2 1 exp N E N 0 E1 0 1
1 1 l N 0 ln l0 E1 2 2
T T T 2 E s0 (t )dt E[n(t )]s0 (t )dt 0 0 2 s0 (t ) s1 (t )dt s0 (t )dt 0 0 T T
T
令
1 T 2 1 2 E [ s0 (t ) s1 (t )]dt ( E0 E1 ) 2 0 2 1 T s0 (t ) s1 (t )dt E 0