2022高三统考数学文北师大版一轮教师文档：第九章第四节 概率与统计的综合问题

第四节概率与统计的综合问题授课提示：对应学生用书第177页考点一概率与频率分布直方图的综合应用[例]为了调查某省高中男生身高情况，现从某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5 cm和187.5 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[157.5，162.5)，第二组[162.5，167.5)，……，第六组[182.5，187.5]，下图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)求该学校高三年级男生的平均身高；(2)利用分层抽样的方式，从这50名男生中抽出20人，求抽出的这20人中，身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人数；(3)从(2)中选出的身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的男生中任意抽取2人，求此2人来自于不同组的概率．[详细分析](1)由直方图可知该校高三年级男生的平均身高为160×0.1＋165×0.2＋170×0.3＋175×0.2＋180×0.1＋185×0.1＝171.5(cm)．(2)由频率分布直方图知，后两组的频率和为0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名男生身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人数为10，故抽出的20人中身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人数为4.(3)由(2)知，身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的4人中有2人来自[177.5，182.5)，记作A1，A2，另外2人来自[182.5，187.5]，记作B1，B2，从中选出2人共有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(B1，B2)，6个基本事件．其中有4种情况来自不同组，从而所求概率P＝23.[破题技法]破解概率与统计图表综合问题的3步骤学校将高二年级某班级50位同学期中考试的数学成绩(均为整数)分为7组进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．观察图中信息，回答下列问题．(1)试估计该班级同学数学成绩的平均分；(2)现准备从该班级数学成绩不低于130分的同学中随机选出两人参加某活动，求选出的两人在同一组的频率．详细分析：(1)由频率分布直方图可知，所求数学成绩的平均分为85×0.06＋95×0.1＋105×0.24＋115×0.28＋125×0.2＋135×0.08＋145×0.04＝113.6，故该班级同学数学成绩的平均分约为113.6.(2)由频率分布直方图可知，数学成绩不低于130分的人数为50×0.08＋50×0.04＝4＋2＝6，其中，分数在[130，140)的有4人，分别记作a，b，c，d，分数在[140，150]的有2人，分别记作m，n.从该班级数学成绩不低于130分的同学中选出2人共有15个基本事件，列举如下：ab，ac，ad，am，an，bc，bd，bm，bn，cd，cm，cn，dm，dn，mn.其中，选出的两人在同一组的有7个基本事件，分别是：ab，ac，ad，bc，bd，cd，mn.故选出的两人在同一组的概率P＝715.考点二概率与茎叶图及数字特征综合[例](2020·太原八校联考)为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制图如下：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内(含35件)的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．(1)根据图中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；(2)为了解乙公司员工B每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X(单位：元)，求X>182的概率；(3)根据图中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．[详细分析](1)甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数为110×(32＋33＋33＋38＋35＋36＋39＋33＋41＋40)＝36，众数为33.(2)设a为乙公司员工B每天的投递件数，则当a＝35时，X＝140，当a>35时，X＝35×4＋(a－35)×7，令X＝35×4＋(a－35)×7>182，得a>41，则a的取值为44，42，所以X>182的概率P＝410＝2 5.(3)根据题图中数据，可估算甲公司的每位员工该月所得劳务费为4.5×36×30＝4 860(元)，易知乙公司员工B每天所得劳务费X的可能取值为136，147，154，189，203，所以乙公司的每位员工该月所得劳务费约为110×(136＋147×3＋154×2＋189×3＋203)×30＝165.5×30＝4 965(元)．[破题技法]本题主要考查概率与数字特征，涉及频率分布直方图，平均数、中位数、分层抽样、古典概型的概率计算等知识．解决此类问题的关键是正确理解图表中各个量的意义，牢记相关定义和公式，在利用频率分布直方图求平均值时，不要与求中位数，众数混淆．(2020·唐山五校联考)某篮球队在本赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如下：(1)求甲在比赛中得分的均值和方差；(2)从甲比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到2场都不超过均值的概率．详细分析：(1)甲在比赛中得分的均值x －＝18×(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，方差s 2＝18×[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25. (2)甲得分在20分以下的6场比赛分别为：7，8，10，15，17，19. 从中随机抽取2场，这2场比赛的得分如下：(7，8)，(7，10)，(7，15)，(7，17)，(7，19)，(8，10)，(8，15)，(8，17)，(8，19)，(10，15)，(10，17)，(10，19)，(15，17)，(15，19)，(17，19)，共15种， 其中抽到2场都不超过均值的情形是：(7，8)，(7，10)，(7，15)，(8，10)，(8，15)，(10，15)，共6种，所以所求概率P＝615＝25.考点三 概率与回归分析的综合[例] 某商店为了更好地规划某种商品进货的量，该商店从某一年的销售数据中，随机抽取了8组数据作为研究对象，如下表所示(x (吨)为该商品进货量，y (天)为销售天数)：x /吨 2 3 4 5 6 8 9 11y /天 1 2 3 3 4 5 68(1)根据上表数据在网格中绘制散点图；(2)根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ；(3)在该商品进货量x (吨)不超过6(吨)的前提下任取2个值，求该商品进货量x (吨)恰有一个值不超过3(吨)的概率．参考公式和数据：b ＝∑ni ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑ni ＝1（x i －x －）2，a ＝y －－b ^x －. ∑8i ＝1x 2i ＝356，∑8i ＝1x i y i ＝241. [详细分析] (1)散点图如图所示：(2)依题意，得x －＝18×(2＋3＋4＋5＋6＋8＋9＋11)＝6， y －＝18×(1＋2＋3＋3＋4＋5＋6＋8)＝4，b ＝∑8i ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑8i ＝1（x i －x －）2＝∑8i ＝1x i y i－8x －y－∑8i ＝1x 2i－8x －2＝241－8×6×4356－8×62＝4968， ∴a ＝4－4968×6＝－1134，∴y 关于x 的线性回归方程为y ＝4968x －1134.(3)由题意知，该商品进货量不超过6吨的共有5个，从小到大依次设编号为1，2，3，4，5号，任取2个有(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(2，3)(2，4)(2，5)(3，4)(3，5)(4，5)，共10种情况，该商品进货量不超过3吨的是编号1，2号，超过3吨的是编号3，4，5号，该商品进货量恰有一次不超过3吨的有(1，3)(1，4)(1，5)(2，3)(2，4)(2，5)，共6种情况，故该商品进货量恰有一次不超过3吨的概率为P ＝610＝35.[破题技法] 回归分析是重要的统计思想与分析方法，与概率结合，是对回归分析总体的一个补充与印证．最近青少年的视力健康问题引起习主席的高度重视，某地区为了解当地24所小学，24所初中和12所高中的学生的视力状况，准备采用分层抽样的方法从这些学校中随机抽取5所学校对学生进行视力调查．(1)若从所抽取的5所学校中再随机抽取3所学校进行问卷调查，求抽到的这3所学校中，小学、初中、高中分别有一所的概率；(2)若某小学被抽中，调查得到了该小学前五个年级近视率y 的数据如下表：年级号x 1 2 3 4 5 近视率y 0.05 0.09 0.16 0.20 0.25并根据方程预测六年级学生的近视率．附：回归直线y ＝bx ＋a 的斜率和截距的最小二乘法，估计公式分别为b ＝∑ni ＝1x i y i－nx －y －∑n i ＝1x 2i －nx －2，a ＝y －－bx －. 参考数据：∑5i ＝1x i y i ＝2.76，∑5i ＝1x 2i＝55. 详细分析：(1)由24∶24∶12＝2∶2∶1，得抽取的5所学校中有2所小学、2所初中、1所高中，分别设为a 1，a 2，b 1，b 2，c ，从这5所学校中随机抽取3所学校的所有基本事件为(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 2，c )，(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 1，c )，(a 1，b 2，c )，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 1，c )，(a 2，b 2，c )，(b 1，b 2，c )，共10种，设事件A 表示“抽到的这3所学校中，小学、初中、高中分别有一所”，则事件A 包含的基本事件为(a 1，b 1，c )，(a 1，b 2，c )，(a 2，b 1，c )，(a 2，b 2，c )，共4种，故P (A )＝410＝25.(2)由题中表格数据得x －＝3，y －＝0.15，nx － y －＝2.25，5x －2＝45，且由参考数据：∑5i ＝1x i y i ＝2.76，∑5i ＝1x 2i＝55， 得b ＝2.76－2.2555－45＝0.051，a ＝0.15－0.051×3＝－0.003，得线性回归方程为y ＝0.051x －0.003.当x ＝6时，代入得y ＝0.051×6－0.003＝0.303，所以六年级学生的近视率在0.303左右．考点四 概率与独立性检验综合[例] 2019年全国“两会”，即中华人民共和国第十三届全国人大二次会议和中国人民政治协商会议第十三届全国委员会第二次会议，分别于2019年3月5日和3月3日在北京召开．为了了解哪些人更关注“两会”，某机构随机抽取了年龄在15～75岁之间的200人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如图所示，把年龄落在区间[15，35)和[35，75]内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”．经统计“青少年人”和“中老年人”的人数之比为19∶21.其中“青少年人”中有40人关注“两会”，“中老年人”中关注“两会”和不关注“两会”的人数之比是2∶1.(1)求图中a ，b 的值；(2)现采用分层抽样的方法在[25，35)和[45，55)中随机抽取8名代表，从8人中任选2人，求2人中至少有1个是“中老年人”的概率； (3)根据已知条件，完成下面的2×2列联表，并根据此统计结果判断：能否有99.9% 关注 不关注 合计青少年人中老年人 合计 [详细分析] (1)由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧（b ＋0.03）×10＝1940，（a ＋0.02）×10＝2140，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.032 5，b ＝0.017 5.(2)由题意得在[25，35)中抽取6人，记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，在[45，55)中抽取2人，记为1，2.则从8人中任取2人的全部基本事件(共28种)列举如下：AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，A 1，A 2，BC ，BD ，BE ，BF ，B 1，B 2，CD ，CE ，CF ，C 1，C 2，DE ，DF ，D 1，D 2，EF ，E 1，E 2，F 1，F 2，12，记2人中至少有1个是“中老年人”为事件A ，则P (A )＝1328. (3)2×2列联表如下：关注 不关注 合计 青少年人 40 55 95 中老年人 70 35 105 合计11090200χ2＝200×（40×35－55×70）295×105×110×90≈12.157＞10.828，所以有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注“两会”．[破题技法] 样本中的两个分类变量所提供的数据除了可以进行独立性检验之外，也可以具有某种特性的某事件的概率．对总体作进一步的分析．(2020·湖南郴州第三次质量检测)某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参与问组别 [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 男 2 3 5 15 18 12 女 0 5 10 10 7 13 列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是不是“环保关注 非“环保关注者”是“环保关注者”合计 男 女 合计(2)人”中利用分层抽样的方法随机抽取5名市民参与环保知识问答，再从这5名市民中抽取2人参与座谈会，求抽取的2名市民中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率．附表及公式：χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），n ＝a ＋b ＋c ＋d ，P (χ2≥k 0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 详细分析：(1)2×2列联表如下：非“环保关注者”是“环保关注者”合计 男 10 45 55 女 15 30 45 合计2575100将2χ2＝100×（30×10－45×15）225×75×55×45≈3.03＜3.841，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，不能认为是不是“环保关注者”与性别有关．(2)由题可知，利用分层抽样的方法抽得男“环保达人”3人，女“环保达人”2人．设3个男“环保达人”分别为A，B，C；2个女“环保达人”分别为D，E.从中抽取2人的所有情况为(AB)，(AC)，(AD)，(AE)，(BC)，(BD)，(BE)，(CD)，(CE)，(DE)，共10种情况．既有男“环保达人”又有“女环保达人”的情况有(AD)，(AE)，(BD)，(BE)，(CD)，(CE)，共6种情况．故所求概率P＝610＝3 5.。