2022高三统考数学文北师大版一轮教师文档：第九章第四节 概率与统计的综合问题

第四节概率与统计的综合问题

授课提示：对应学生用书第177页

考点一概率与频率分布直方图的综合应用

[例]为了调查某省高中男生身高情况，现从某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5 cm和187.5 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[157.5，162.5)，第二组[162.5，167.5)，……，第六组[182.5，187.5]，下图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图．

(1)求该学校高三年级男生的平均身高；

(2)利用分层抽样的方式，从这50名男生中抽出20人，求抽出的这20人中，身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人数；

(3)从(2)中选出的身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的男生中任意抽取2人，求此2人来自于不同组的概率．

[详细分析](1)由直方图可知该校高三年级男生的平均身高为160×0.1＋165×0.2＋170×0.3＋175×0.2＋180×0.1＋185×0.1＝171.5(cm)．

(2)由频率分布直方图知，后两组的频率和为0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名男生身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人数为10，故抽出的20人中身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人数为4.

(3)由(2)知，身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的4人中有2人来自[177.5，182.5)，记作A1，A2，另外2人来自[182.5，187.5]，记作B1，B2，

从中选出2人共有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(B1，B2)，6个基本事件．

其中有4种情况来自不同组，从而所求概率P＝2

3.

[破题技法]破解概率与统计图表综合问题的3步骤

学校将高二年级某班级50位同学期中考试的数学成绩(均为整数)分为7组进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．观察图中信息，回答下列问题．

(1)试估计该班级同学数学成绩的平均分；

(2)现准备从该班级数学成绩不低于130分的同学中随机选出两人参加某活动，求选出的两人在同一组的频率．

详细分析：(1)由频率分布直方图可知，所求数学成绩的平均分为85×0.06＋95×0.1＋105×0.24＋115×0.28＋125×0.2＋135×0.08＋145×0.04＝113.6，

故该班级同学数学成绩的平均分约为113.6.

(2)由频率分布直方图可知，数学成绩不低于130分的人数为50×0.08＋50×0.04＝4＋2＝6，其中，分数在[130，140)的有4人，分别记作a，b，c，d，分数在[140，150]的有2人，分别记作m，n.

从该班级数学成绩不低于130分的同学中选出2人共有15个基本事件，列举如下：ab，ac，ad，am，an，bc，bd，bm，bn，cd，cm，cn，dm，dn，mn.其中，选出的两人在同一组的有7个基本事件，分别是：ab，ac，ad，bc，bd，cd，mn.

故选出的两人在同一组的概率P＝7

15.

考点二概率与茎叶图及数字特征综合

[例](2020·太原八校联考)为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制图如下：

每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：

甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内(含35件)的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．

(1)根据图中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；

(2)为了解乙公司员工B每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X(单位：元)，求X>182的概率；

(3)根据图中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．

[详细分析](1)甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数为1

10×(32＋33

＋33＋38＋35＋36＋39＋33＋41＋40)＝36，众数为33.

(2)设a为乙公司员工B每天的投递件数，则

当a＝35时，X＝140，

当a>35时，X＝35×4＋(a－35)×7，

令X＝35×4＋(a－35)×7>182，得a>41，则a的取值为44，42，

所以X>182的概率P＝4

10＝2 5.

(3)根据题图中数据，可估算甲公司的每位员工该月所得劳务费为4.5×36×30＝4 860(元)，易知乙公司员工B每天所得劳务费X的可能取值为136，147，154，189，203，

所以乙公司的每位员工该月所得劳务费约为1

10×(136＋147×3＋154×2＋189×3＋203)×30＝165.5×30＝4 965(元)．

[破题技法]本题主要考查概率与数字特征，涉及频率分布直方图，平均数、中位数、分层抽样、古典概型的概率计算等知识．解决此类问题的关键是正确理解图表中各个量的意义，牢记相关定义和公式，在利用频率分布直方图求平均值时，不要与求中位数，众数混淆．

(2020·唐山五校联考)某篮球队在本赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如下：

(1)求甲在比赛中得分的均值和方差；

(2)从甲比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到2场都不超过均值的概率．

详细分析：(1)甲在比赛中得分的均值x －＝1

8×(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝

15，方差s 2＝18×[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25. (2)甲得分在20分以下的6场比赛分别为：7，8，10，15，17，19. 从中随机抽取2场，这2场比赛的得分如下：

(7，8)，(7，10)，(7，15)，(7，17)，(7，19)，(8，10)，(8，15)，(8，17)，(8，19)，(10，15)，(10，17)，(10，19)，(15，17)，(15，19)，(17，19)，共15种， 其中抽到2场都不超过均值的情形是：

(7，8)，(7，10)，(7，15)，(8，10)，(8，15)，(10，15)，共6种，所以所求概率P

＝615＝25.

考点三 概率与回归分析的综合

[例] 某商店为了更好地规划某种商品进货的量，该商店从某一年的销售数据中，随机抽取了8组数据作为研究对象，如下表所示(x (吨)为该商品进货量，y (天)为销售天数)：

x /吨 2 3 4 5 6 8 9 11

y /天 1 2 3 3 4 5 6

8

(1)根据上表数据在网格中绘制散点图；

(2)根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ；

(3)在该商品进货量x (吨)不超过6(吨)的前提下任取2个值，求该商品进货量x (吨)恰有一个值不超过3(吨)的概率．

参考公式和数据：b ＝∑n

i ＝1

（x i －x －

）（y i －y －

）∑n

i ＝1

（x i －x －）2，a ＝y －－b ^x －

. ∑8

i ＝1x 2

i ＝356，∑8

i ＝1x i y i ＝241. [详细分析] (1)散点图如图所示：