《二次函数与一元二次方程》重点题型探究

《二次函数与一元二次方程》重点题型探究

类型一、二次函数图象与坐标轴交点

例1．（1）判断下列二次函数的图象与x轴是否有公共点，若有求出公共点坐标，若没有，说明理由.

①y=-x2-x+1；②；③y=x2+3x+4.

思路点拨：二次函数y=ax2+bx+c与x轴公共点横坐标即方程ax2+bx+c=0的实根. 解：

①有两个公共点

对于方程-x2-x+1=0

，∴方程有两个不等实根

两根为

∴两个公共点坐标为；

②只有一个公共点

对于方程

∴方程有两个相等实根，

∴公共点坐标为(-2，0)；

③没有公共点，理由如下：

对于方程x2+3x+4=0

∵△=32-4×1×4=-7<0，方程没有实数根

∴二次函数y=x2+3x+4与x轴无公共点.

（2）已知函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）

A. B. C.且 D.且

思路点拨：只要当y=0时，⊿≥0即可，k-3=0时也可以，故选B.

答案：B

总结升华：

(1)当，则方程有两个不相等实根，这时二次函数的图象与x轴有两个交点；

(2)当，则方程有两个相等实根，这时二次函数的图象与x轴有且只有一个交点；

(3)当，则方程没有实根，这时二次函数的图象与x轴没有交点. 举一反三：

【变式1】已知二次函数y=(m-2)x2+2mx+m+1，其中m为常数，且满足-1

解：∵-1

∴m-2<0，抛物线开口向下，

又m+1>0，抛物线与y轴的交点在x轴上方.

Δ=4m2-4(m-2)(m+1)

=4m2-4(m2-m-2)

=4m+8

=4(m+1)+4>0.

∴抛物线与x轴有两个不同的交点.

总结升华：

此题目也可以用数形结合方法来判断抛物线与x轴有两个不同交点(用抛物线与y轴的交点C在x轴上方，开口向下，必与x轴有两个不同交点).

【变式2】二次函数y=mx2+(2m-1)x+m+1的图象总在x轴的上方，求m的取值范围.

思路点拨：抛物线总在x轴上方表明(1)开口向上；(2)与x轴没有公共点.

解：由题意

类型二、利用图象法求一元二次方程的解

例2.（1）阅读材料回答问题：

有如下一道题：画图求方程的解.两位同学的解法如下：

甲：将方程化为，画出的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解.

乙：分别画出函数和的图象，观察它们的交点，把交点的横坐标作为方程的解.你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流.

答案：

上面甲、乙两位同学的解法都是可行的，但乙的方法要来得简便，因为画抛物线远比画直线困难，所以只要事先画好一条抛物线的图象，再根据待解的方程，画出相应的直线，两线交点的横坐标即为方程的解.所以建议同学们以后尽量用乙的方法.

（2）已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）．

①求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；

②若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．

解：①当x=0时，．

所以不论为何值，函数的图象经过轴上的一个定点（0，1）②第一种情况：当时，函数的图象与轴只有一个交点；

第二种情况：当时，若函数的图象与轴只有一个交点

则方程有两个相等的实数根，所以，．

综上，若函数的图象与轴只有一个交点，则的值为0或9．举一反三：

【变式1】利用函数的图象，求方程的解：

解：先把方程化成x2=-2x+3.

如图：在同一直角坐标系中分别画出函数和的图象，

得到它们的交点(-3，9)和(1，1)，

则方程的解为x=-3或x=1.

总结升华：

一般地，求一元二次方程的近似解时，通常先把方程化成

的形式，然后在同一直角坐标系中分别画出y=x2和两个函数的图象，得出交点，交点的横坐标即为方程的解.

【变式2】利用函数的图象，求方程组的解：

思路点拨：可以通过直接画出函数和的图象，得到它们的交点，从而得到方程组的解.

解：在同一直角坐标系中画出函数和的图象，

如图，得到它们的交点坐标(-2，0)，(3，15)，

则方程组的解为.

总结升华：利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤来解，关键是根据图象来理解方程和函数的内在关系.

类型三、二次函数与一元二次方程的综合运用

例3．已知抛物线的顶点P(3，-2)且在x轴上所截得的线段AB的长为4.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)抛物线上是否存在点Q，使△QAB的面积等于12，若存在，求点Q的坐标，若不存在，请说明理由.

思路点拨：已知抛物线的顶点坐标及与x轴公共点间的距离时，可利用抛物线的对称性求抛物线与x轴两个公共点坐标，并采用顶点式(待定系数)，可以大大减少计算量.

解：

(1)∵由已知，可得抛物线的顶点为(3，-2)

∴设抛物线的解析式为y=a(x-3)2-2且对称轴为x=3，由抛物线的对称性可知，当抛物线在x轴上截得的线段长为4时，则点A、点B到直线x=3的距离均为2

∴A(1，0)，B(5，0)

∴a(1-3)2-2=0，解得

.

(2)假定存在点Q(m，n)，使S△QAB=12，

又

∴当n=6时，，解得m1=-1，m2=7

当n=-6时，，无实根

∴Q(-1，6)或(7，6)为所求.

例4．已知二次函数y=-x2+(2m+2)x-(m2+4m-3)(其中m为非负整数)，其图象交x 轴于点A、点B，且点A在原点左侧，点B在原点右侧.

(1)求此二次函数的解析式；

(2)一次函数y=kx+b的图象经过点A，与这个二次函数的图象交于点C且

S△ABC=10，求一次函数的解析式.

解：

(1)抛物线开口向下，与x轴有两个公共点且分别在原点两侧，表示x=0时y>0

∴m=0

∴y=-x2+2x+3为所求.

(2)令y=0，-x2+2x+3=0解得x1=-1，x2=3

∴A(-1，0)，B(3，0)，∴AB=4

设C(p，q)∴q=-p2+2p+3

∵S△ABC=10，