由三角形内切圆导出的一个三角形的面积公式应用

由“三角形内切圆”引出的2个中考命题
我们知道：和三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫三角形的内心，它是三角形3条内角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等，这个距离就是三角形的内切圆的半径（如图甲）.观察图形3个角平分线将三角形分成3个三角形，而每个三角形的高均为内切圆的半径，底为三角形的三边长.所以
S △ABC =S △OAB +S △OBC +S △OCA =
r AB ⋅21+r BC ⋅21+r CA ⋅2
1
=
r BC AC AB ⋅++)(2
1
（r 为内切圆的半径） 从上述三角形面积的探究过程中隐含了一种重要的数学思维方法，有些图形的面积可以
通过适当的分割，分割为若干个可求图形的面积，利用整体等于各个部分面积之和从而获得上面的结论.
我们知道三角形是多边形中最简单的多边形，而且任意的三角形都存在唯一的内切圆，但四边形不一定存在内切圆，假若四边形存在一个内切圆上述结论成立吗对于任意的n 边形呢请欣赏如下的江苏省淮安市06年的一道中考题：
例1、阅读材料：如图(一)，△ABC 的周长为l ，内切圆O 的半径为r,连结OA 、OB 、OC ，△ABC 被划分为三个小三角形，用S △ABC 表示△ABC 的面积
∵ S
△ABC
=S △OAB +S △OBC +S △OCA
又∵S △OAB =
r AB ⋅21，S △OBC =r BC ⋅21，S △OCA =r CA ⋅21
∴S △ABC =r AB ⋅21+r BC ⋅21+r CA ⋅21=r l ⋅2
1
(可作为三角形内切圆半径公式)
（1）理解与应用：利用公式计算边长分为5、12、13的三角形内切圆半径； (2)类比与推理：若四边形ABCD 存在内切圆(与各边都相切的圆，如图(二))且面积为S ，各边长分别为a 、b 、c 、d ，试推导四边形的内切圆半径公式；
（3）拓展与延伸：若一个n 边形(n 为不小于3的整数)存在内切圆，且面积为S ，各边长分别为a 1、a 2、a 3、…、a n ，合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由)．
分析：本题创设了一个以“阅读材料—三角形的面积与内切圆半径及周长之间关系”的
┓
O C
B
A
问题背景，通过阅读使读者体会到“同一个图形分割后整体的面积等于各个部分之和”，其中的巧妙之处在于分割后3个三角形的高均为内切圆的半径，因而三角形的面积等于三角形的周长之半与内切圆半径之积.
（1）首先根据三边之间关系判定是直角三角形，即52+122=132由勾股定理的逆定理可知：边长分为5、12、13的三角形，所以S △ABC =
1252
1
⨯⨯=30，设内切圆半径为r ，则有30=
r )13125(2
1
⋅++，所以r=2 （2）设四边形内切圆的圆心为点O ，分别连接OA 、OB 、OC 、OD ，将四边形ABCD 分割为4个三角形△AOB 、△BOC 、△COD 、△DOA ，它们的高视为四边形ABCD 的内切圆半径，则有S=
)d c b a (2
1+++·
r ，所以 d c b a s
r +++=2 （3）根据阅读材料及问题（2）的解答过程，进行类比推理，不难猜想：面积为S ，各边长分别为a 1、a 2、a 3、…、a n 的n 边形(n 为不小于3的整数)内切圆半径公式
n
a a a s
r +++=
212.
评注：本题是提供的是“一个多边形如果存在内切圆，那么这个多边形的面积如何用多
边形的周长及内切圆的半径来表示”的研究课题，试题首先从最简单三角形的内切圆入手让学生通过阅读获得问题的解题方法，经历解决问题的过程并掌握得到问题的结论，然后让学生类比迁移问题的处理方法，去解决四边形内切圆问题，然后从特殊到一般让学生猜想对任意的n 边形的内切圆的半径与n 边形的面积与各边长之间的关系. 通过本题的解答读者应该掌握“学会从‘特殊情况、简单情况’入手，观察分析推理，得出规律后再向‘一般情况’推广的研究问题“的数学方法
例2、(天津)已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8. (1)如图2-1，若半径为r 1的⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，求r 1；
(2)如图2-2，若半径为2r 的两个等圆⊙O 1、⊙O 2外切，
O
A
C
O 1
图2-1
且⊙O 1与AC 、AB 相切，⊙O 2与BC 、AB 相切，求2r ；
(3)如图2-3，当n 是大于2的正整数时，若半径为n r 的n 个等圆⊙O 1、⊙O 2、…、⊙O N 依次外切，且⊙O 1与AC 、AB 相切，⊙O n 与BC 、AB 相切，⊙O 2、
⊙O 3、…、⊙O n-1均与AB 边相切，求n r .
解(1)∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8. ∴AB=22B C AC +=10. 如图2-（4），设⊙O 1与Rt △ABC 的边AB 、BC 、CA 分别切于点D 、E 、F ，连接O 1D 、O 1E 、O 1F 、AO 1、BO 1、CO 1.于是，O 1D ⊥AB ，O 1E ⊥BC ，O 1F ⊥AC ，
C AO 1S ∆=21×AC ×O 1F=21
×AC ×r 1=3r 1，
C BO 1S ∆=21×BC ×O 1E=21
×BC ×r 1=4r 1，
B AO 1S ∆=21×AB ×O 1D=21×AB ×r 1=5r 1，AB
C S ∆=21
×AC ·BC=24.
又∵ABC S ∆=C AO 1S ∆+C BO 1S ∆+B AO 1S ∆，∴24=3r 1+4r 1+5r 1.∴r 1=2.
(2)如图2-（5）连接AO 1、BO 2、CO 1、CO 2、O 1O 2，则
C AO 1S ∆=
21
×AC ·r 2=3r 2， C BO 2S ∆=2
1
×BC ·r 2=4r 2 ，∵等圆⊙O 1、⊙O 2外切，∴O 1O 2=2r 2，且O 1O 2∥AB.过点C 作CM
⊥AB 于点M ，交O 1O 2于点N ，则CM=AB BC AC •=524 ，CN=CM －r 2=524
—r 2，
A
图2-2
A
图2-(4)
A
D
A
M
∴21O CO S ∆ =
21 O 1O 2·CN=(524—r 2)r 2, ∴B O AO 2
1S 梯形=2
1
(2r 2+10)r 2=(r 2+5)r 2
∵ABC S ∆=C AO 1S ∆+C BO 2S ∆+21O CO S ∆+B O AO 2
1
S 梯形
∴24=3r 2+4r 2+(524—r 2)r 2+(r 2+5)r 2.解得r 2=7
10
如图2-（6），连接AO 1、BO n 、CO 1、CO n 、O 1O n ，则C AO 1S ∆=
21×AC ·r n =3r n ，C BO n S ∆=2
1
×BC ·r n =4r n ，∵等圆⊙O 1、⊙O 2、…、⊙O N 依次外切，且均与AB 边相切，∴⊙O 1、⊙O 2、…、⊙O N 均在直线O 1O n 上，且O 1O n ∥AB.∴O 1O n =(n －2)2r n +2r n =2(n －1)r n ，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，交O 1O N 于点K ，则CH=
524 ，CK=5
24
—r n ， ∴n 1O CO S ∆ =
21 O 1O n ,CK=(n －1)(524
—r n )r n , ∴B O AO n
1S 梯形=2
1
[2(n －1)r n +10]r n =[(n —1)r n +5]r n
∵ABC S ∆=C AO 1S ∆+BOnC S ∆+n 1O CO S ∆+OnB AO 1
S 梯形,
∴24=3r n +4r n +(n －1)(
524—r n )r n +[(n —1)r n +5]r n ,解得r n =3
n 210+ 评注：本题是探索相切圆的半径规律型问题，要求同学们善于观察图形，能从最简单情况探究问题的解法中得到启示，从而根据已有的知识经验对复杂图形进行分解计算与探究，找出其中的隐含变化规律，从而迁移问题的解法推广得一般的结论.
A
H
图2-（6）。