重庆大学有限元1绪论
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材料力学求梁和扰度问题 较复杂问题：分离变量法、积分变换法等
2、间接法：基于变分原理，构造基本方程及相应定解条件 的泛函形式，通过求解泛函的极值来获得原问题的近似解。 即将微分形式转化与其等价的泛函变分的积分形式。
重庆大学
问题的求解方法
物理工程问题
实验观测理论推导
数学模型 （控制方程） 边界条件、初始条件
重庆大学
前处理模块
⊙实体建模 ◇参数化建模 ； ◇体素库及布尔运算； ◇拖拉、旋转、拷贝、蒙皮、导角等。 ⊙多种自动网格划分工具 ◇自由/映射网格划分工具、智能网格划分、自适用网格划分； ◇复杂几何体Sweep映射网格生成； ◇拖拉、旋转、拷贝、蒙皮、导角等。 ◇边界层网格划分 ⊙在几何模型或FE模型上加载： ◇点载荷 ◇分布载荷 ◇体载荷 ◇函数载荷 ⊙可扩展的标准梁截面形状库
重庆大学
ANSYS软件的组成及特点
1.ANSYS软件的组成 ANSYS软件主要包括3个部分：前处理模块、分析计算模块 和后处理模块。 (1)前处理模块 它为用户提供了一个强大的实体建模及网格划分工具， 用户可以方便地构造有限元模型，软件提供了100种以上的 单元类型，用来模拟工程中的各种结构和材料。
重庆大学
问题的求解方法
摄动法。又称小参数展开法。利用摄动法求解方程的渐 进解，选择一个能反映物理特征的小参数作为摄动量， 假设解可以按小参数展成幂级数，将这一形式级数代入 方程后，可得各级近似方程，依据这些方程可确定幂级 数的系数，对级数进行截断，便得到原方程的渐进解。
重庆大学
问题的求解方法
有限单元法的发展简史
有限元方法就是求解偏微分方程边值问题的一种数值方
法，这是有限单元方法最本质的定义。
优点：理论完善，物理意义直观明确，解题效率高等。
这也是为什么有限单元法起源于力学，都可以应用于热传 导、流体流动、质量传输、电磁电位和声学。
重庆大学
有限单元法的发展简史
在寻找连续系统求解方法的过程中，工程师和数学家从两
重庆大学
有限单元法的发展简史
1980年代，多种功能扩大，大型通用程序如ADINA等，微型 计算机，前后处理出现。 1990年代，领域扩大，前后处理功能增强，大型商用软件， 如MARC、NASTRAN等。 目前，面向工程，与CAD结合成为CAE（计算机辅助工程）软 件。
重庆大学
1.2 有限元法的应用
Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不同变分
原理导出的有限元计算公式。
重庆大学
有限单元法的发展简史
1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（张佑启）发现只要 能写成变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限元 法的相同步骤求解。 1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加权余量法特别是
重庆大学
问题的求解方法
数值法：通过把边值问题中的偏微分方程作各种数学上
的或物理行的近似，化简成对应定义域的有限个离散点 的代数方程组。利用计算机求解代数方程组的强大功能， 求解出离散点处未知量的近似值。 A）基于直接法的数值法，如差分法； B）基于间接法的数值法，如等效积分法（如里兹法）、
有限元法等。
重庆大学
有限单元法的发展简史
重庆大学
有限单元法的发展简史
有限元法应用的领域不断扩大 平面问题→空间问题和板壳问题 静力平衡→动力响应和结构稳定
固体力学→流体力学、传热学和电磁学等 弹性材料→弹塑性、塑性、黏弹性、黏塑性和复合材 料等 航空领域→宇航、土木建筑、机械制造、水利工程、 船舶海洋工程与核工程等领域
KOMATSU液压挖掘机
某液压挖掘机动臂有限元分析
驾驶室受侧向力应力云图
重庆大学 24
轴承强度分析
液压管路速度场分布云图
美国金门大桥地震响应分析
重庆大学 25
ANSYS 简介
ANSYS的发展历史
ANSYS软件是融结构、热、流体、电磁、声学于一体的大型 CAE通用有限元分析软件，可广泛用于核工业、铁道、石油化工、 航空航天、机械制造、能源、汽车交通、国防军工、电子、土木工 程、造船、生物医学、轻工、地矿、水利、日用家电等一般工业及 科学研究。 1.1 ANSYS的运行环境要求 ANSYS可以安装于多种操作系统平台，例如Windows 7、 Windows NT4.0(推荐使用Service Pack5.0)、Windows 2000(推 荐使用Service Pack3.0)、Windows XP等操作系统。 •ANSYS的基本硬件环境
轴向力的“杆单元”组成。
重庆大学
工程和科学中典型问题
第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方 程和相应的边界条件。例如弹性力学问题，热传导问题等。由于 建立基本方程所研究的对象通常是无限小的单元，这类问题称为
连续系统，或场问题。
一般均涉及一个或几个数学方程，这些方 当给定具体边界条件和初始条件时，整个问题 称做定解问题或边值问题 场就是所说的定义域，工程技术领域中经常指一个 工程结构，场变量即由微分方程控制的因变量
弹性力学基本微分方程组
ij , j fi 0 ij Dijkl kl
1 ij ui , j u j ,i 2
i 1, 2,3
通过这个方程，可以求出任意弹性体受力时，内部的应力应变
重庆大学
典型问题微分方程描述
材料力学中梁和挠度问题
梁挠度基本方程
d 2v EI 2 M ( x) dx
实际中，二阶常微分方程可以描述结构振动方程、RLC电路 的电流振荡等
重庆大学
典型问题微分方程描述
稳态热传导微分方程
2T 2T 2T 2 2 0 2 x y z
稳态导热方程是一个三维拉普拉斯方程，除了稳态导热， 拉普拉斯方程还可以描述静电场电位、不可压缩无旋流 的速度势。
重庆大学
程称为控制方程，反映了该类物理问题的共性，
典型问题微分方程描述
工程上和理论上，有很多过程可以用微分方程来描述。复杂 的物理过程，可以用十分简洁的数学方程来表达，微分方程 是实际中应用很广泛的数学方法和数学工具。 二阶常微分方程
y py qy f ( x) s.t.( x, y )
Galerkin法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。
1969年，Oden将有限元法推广应用于加权残量法（如 Galerkin法）。同年，Zienkiewicz提出了等参元的概念， 从而使有限元法更加普及与完善。 1970年代以后，随着电子计算机硬件和软件技术的发展， 有限元法的研究和应用得到了飞速地进展。出现了一些 大型结构分析软件，如ANSYS,SAP，NONSAP等，安装在 大中型计算机上。
变分法（variational method）：把边值问题转化为 变分问题，再求变分问题的近似解。 模拟法（simulation method）：可以利用一个物理 问题的实验研究来求解有相同控制方程的不同物理问 题。
例如：绕圆截面轴的扭转问题，利用“薄膜比拟”，承 受均匀横向压力作用的薄膜变形微分方程或与确定扭转 截面上的应力分析的方程的形式相同。薄膜等高线的切 线方向为剪应力方向，薄膜任意点处的最大斜率等于细 杆上相应点的剪应力大小。
重庆大学
有限单元法的发展简史 数学家 们发展了微分方程的近似解法，包括有限差
分方法，变分原理和加权余量法。 1943年，数学家Courant 应用定义在三角形区域上 的分片连续函数，与最小势能原理相结合，来求解St. Venant扭转问题。 在 1963 年前后，经过 J.F.Besseling, R.J.Melosh, R.E.Jones, R.H.Gallaher, T.H.Pian （卞学磺）等 许多人的工作，认识到有限元法就是变分原理中
重庆大学
1.1 什么是有限元法
定义：有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法。 基本思想：借助于数学和力学知识，利用计算机技术而解 决工程技术问题。 解决问题：应力场、位移场、电磁场、温度场、流体场
重庆大学 3
工程和科学中典型问题
在工程技术领域内，经常会遇到两类典型的问题。 第一类问题，可以归结为有限个已知单元体的组合。例如， 材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。这类问 题称为离散系统。如下图所示平面桁架结构，是由6个承受
重庆大学
数值计算方法分类
特 点 差分法 均匀离散求解域；差分代替微分；解代 数方程组 等效积分法 （加权余量 法或泛函变 分法） 优缺点 要求规则边界，几何形状复 杂时精度低 适合简单问题，复杂问题很
整体场函数用近似函数代替；（近
微分方程及定解条件的等效积分转化为 某个泛函的变分，--求极值问题，（利 用极值条件建立n个代数方程），解代
重庆大学
有限单元法的发展简史
从工程师的角度，可以回顾到二十世纪50年代，来源于 固体力学中矩阵结构法的发展和工程师对结构相似性的直 觉判断。从固体力学的角度来看，桁架结构等标准离散系 统与人为分割成有限个分区后的连续系统在结构上存在相 似性。 1955年，Argyris和Kelsey利用最小势能原理，得到了系 统的刚度方程，推广杆系结构矩阵分析法，对连续结构进 行了分析。 1956年，将矩阵位移法推广到求解平面应力问题。把结 构划分成一个个三角形和矩形的“单元”，利用单元中近 似位移函数，求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度 矩阵。 1960年，Clough在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有限元 （finite element）这一术语。
边界条件为
vA 0
vB 0
简支梁的弯矩方程
M ( x) ql q 2 x x （０ｘｌ） 2 2
带入基本方程积分，若考虑边界条件，可得
ql３ ｘ x３ ２x2 v （ ３ ２ 1 ） 2 ４ＥＩ ｌ ｌ
重庆大学
问题的求解策略及方法
求解策略
1、直接法：直接求解基本方程和相应定解条件的解；
•内存512M＋500MB的可用硬盘空间＋虚拟内存
•能够支持1024×768（色深16位）分辨率的显示器和显卡 •光盘驱动器＋鼠标
重庆大学
ANSYS的发展历史
■起步：1970年,在美国宾夕法尼亚洲的匹兹堡建立ANSYS公司； ■发展：最近版ANSYS5.7、6.1、7.0、8.0、8.2、9.0、 10.0,11.0，12.0，13.0，14.0，15.0； ANSYS软件必须通过7000道标准考题测试才发行，ANSYS公 司于1995年在设计分析类软件中第一个通过了ISO9001的质量体 系认证。 ANSYS公司1996年在北京开设了第一个驻华办事机构，目前 在上海、成都、广州也有办事处
现代有限元及其工程应用
晏致涛Baidu Nhomakorabea
课程性质
应用专业课 关键词：有限元、应用 授课内容和教材
有限元法及其应用——清华大学 江见鲸 弹性和塑性力学中的有限元法——浙江大学 丁皓江 有限单元法 清华大学 王勖成 Zienkiewicz 有限元方法 基础理论，固体力学与结构力学
考核办法 闭卷考试
种不同的路线得到了相同的结果，即有限元法。 数学家认为有限单元法是偏微分方程边值问题数值分析方法 的一种新进展。 理学家认为有限单元法是基于变分原理近似解法（如里兹法） 的创新 工程结构专家则认为有限单元法是结构力学的矩阵分析在连 续体力学中的推广 事实上他们从不同角度和方向发展了有限单元法，对有限单元 法的充实和完善做作出了贡献
似函数常为含n个待定系数的多项式，） 难解决
数方程组
有限元法 可非均匀离散求解域；分片连续函 节点可任意配置，边界适应 性好；适应任意支撑条件和
数近似整体未知场函数；解线性方程
组。有限元法的数学基础仍是变分法。
载荷；计算精度与网格疏密
和单元形态有关，精度可控。 对裂缝和无限域的分析存在 不足
重庆大学
解析法
近似法
解析解
摄 动 法
变 分 法
模 拟 法
数 值 方 法
近似解
重庆大学
问题的求解方法
求解方法
1、解析法：直接求解基本方程和相应定解条件的解
2、近似方法 由于边界条件的限制，通常只能得到少数简单问题的精确 解答。对于许多实际的工程问题，还无法给出精确的解答。 为解决这个困难，工程师们和数学家们提出了许多近似方 法。如摄动法，多尺度法，平均法、增量谐波平衡法。 摄动法。又称小参数展开法。利用摄动法求解方程的渐 进解，选择一个能反映物理特征的小参数作为摄动量， 假设解可以按小参数展成幂级数，将这一形式级数代入 方程后，可得各级近似方程，依据这些方程可确定幂级 数的系数，对级数进行截断，便得到原方程的渐进解。
2、间接法：基于变分原理，构造基本方程及相应定解条件 的泛函形式，通过求解泛函的极值来获得原问题的近似解。 即将微分形式转化与其等价的泛函变分的积分形式。
重庆大学
问题的求解方法
物理工程问题
实验观测理论推导
数学模型 （控制方程） 边界条件、初始条件
重庆大学
前处理模块
⊙实体建模 ◇参数化建模 ； ◇体素库及布尔运算； ◇拖拉、旋转、拷贝、蒙皮、导角等。 ⊙多种自动网格划分工具 ◇自由/映射网格划分工具、智能网格划分、自适用网格划分； ◇复杂几何体Sweep映射网格生成； ◇拖拉、旋转、拷贝、蒙皮、导角等。 ◇边界层网格划分 ⊙在几何模型或FE模型上加载： ◇点载荷 ◇分布载荷 ◇体载荷 ◇函数载荷 ⊙可扩展的标准梁截面形状库
重庆大学
ANSYS软件的组成及特点
1.ANSYS软件的组成 ANSYS软件主要包括3个部分：前处理模块、分析计算模块 和后处理模块。 (1)前处理模块 它为用户提供了一个强大的实体建模及网格划分工具， 用户可以方便地构造有限元模型，软件提供了100种以上的 单元类型，用来模拟工程中的各种结构和材料。
重庆大学
问题的求解方法
摄动法。又称小参数展开法。利用摄动法求解方程的渐 进解，选择一个能反映物理特征的小参数作为摄动量， 假设解可以按小参数展成幂级数，将这一形式级数代入 方程后，可得各级近似方程，依据这些方程可确定幂级 数的系数，对级数进行截断，便得到原方程的渐进解。
重庆大学
问题的求解方法
有限单元法的发展简史
有限元方法就是求解偏微分方程边值问题的一种数值方
法，这是有限单元方法最本质的定义。
优点：理论完善，物理意义直观明确，解题效率高等。
这也是为什么有限单元法起源于力学，都可以应用于热传 导、流体流动、质量传输、电磁电位和声学。
重庆大学
有限单元法的发展简史
在寻找连续系统求解方法的过程中，工程师和数学家从两
重庆大学
有限单元法的发展简史
1980年代，多种功能扩大，大型通用程序如ADINA等，微型 计算机，前后处理出现。 1990年代，领域扩大，前后处理功能增强，大型商用软件， 如MARC、NASTRAN等。 目前，面向工程，与CAD结合成为CAE（计算机辅助工程）软 件。
重庆大学
1.2 有限元法的应用
Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不同变分
原理导出的有限元计算公式。
重庆大学
有限单元法的发展简史
1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（张佑启）发现只要 能写成变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限元 法的相同步骤求解。 1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加权余量法特别是
重庆大学
问题的求解方法
数值法：通过把边值问题中的偏微分方程作各种数学上
的或物理行的近似，化简成对应定义域的有限个离散点 的代数方程组。利用计算机求解代数方程组的强大功能， 求解出离散点处未知量的近似值。 A）基于直接法的数值法，如差分法； B）基于间接法的数值法，如等效积分法（如里兹法）、
有限元法等。
重庆大学
有限单元法的发展简史
重庆大学
有限单元法的发展简史
有限元法应用的领域不断扩大 平面问题→空间问题和板壳问题 静力平衡→动力响应和结构稳定
固体力学→流体力学、传热学和电磁学等 弹性材料→弹塑性、塑性、黏弹性、黏塑性和复合材 料等 航空领域→宇航、土木建筑、机械制造、水利工程、 船舶海洋工程与核工程等领域
KOMATSU液压挖掘机
某液压挖掘机动臂有限元分析
驾驶室受侧向力应力云图
重庆大学 24
轴承强度分析
液压管路速度场分布云图
美国金门大桥地震响应分析
重庆大学 25
ANSYS 简介
ANSYS的发展历史
ANSYS软件是融结构、热、流体、电磁、声学于一体的大型 CAE通用有限元分析软件，可广泛用于核工业、铁道、石油化工、 航空航天、机械制造、能源、汽车交通、国防军工、电子、土木工 程、造船、生物医学、轻工、地矿、水利、日用家电等一般工业及 科学研究。 1.1 ANSYS的运行环境要求 ANSYS可以安装于多种操作系统平台，例如Windows 7、 Windows NT4.0(推荐使用Service Pack5.0)、Windows 2000(推 荐使用Service Pack3.0)、Windows XP等操作系统。 •ANSYS的基本硬件环境
轴向力的“杆单元”组成。
重庆大学
工程和科学中典型问题
第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方 程和相应的边界条件。例如弹性力学问题，热传导问题等。由于 建立基本方程所研究的对象通常是无限小的单元，这类问题称为
连续系统，或场问题。
一般均涉及一个或几个数学方程，这些方 当给定具体边界条件和初始条件时，整个问题 称做定解问题或边值问题 场就是所说的定义域，工程技术领域中经常指一个 工程结构，场变量即由微分方程控制的因变量
弹性力学基本微分方程组
ij , j fi 0 ij Dijkl kl
1 ij ui , j u j ,i 2
i 1, 2,3
通过这个方程，可以求出任意弹性体受力时，内部的应力应变
重庆大学
典型问题微分方程描述
材料力学中梁和挠度问题
梁挠度基本方程
d 2v EI 2 M ( x) dx
实际中，二阶常微分方程可以描述结构振动方程、RLC电路 的电流振荡等
重庆大学
典型问题微分方程描述
稳态热传导微分方程
2T 2T 2T 2 2 0 2 x y z
稳态导热方程是一个三维拉普拉斯方程，除了稳态导热， 拉普拉斯方程还可以描述静电场电位、不可压缩无旋流 的速度势。
重庆大学
程称为控制方程，反映了该类物理问题的共性，
典型问题微分方程描述
工程上和理论上，有很多过程可以用微分方程来描述。复杂 的物理过程，可以用十分简洁的数学方程来表达，微分方程 是实际中应用很广泛的数学方法和数学工具。 二阶常微分方程
y py qy f ( x) s.t.( x, y )
Galerkin法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。
1969年，Oden将有限元法推广应用于加权残量法（如 Galerkin法）。同年，Zienkiewicz提出了等参元的概念， 从而使有限元法更加普及与完善。 1970年代以后，随着电子计算机硬件和软件技术的发展， 有限元法的研究和应用得到了飞速地进展。出现了一些 大型结构分析软件，如ANSYS,SAP，NONSAP等，安装在 大中型计算机上。
变分法（variational method）：把边值问题转化为 变分问题，再求变分问题的近似解。 模拟法（simulation method）：可以利用一个物理 问题的实验研究来求解有相同控制方程的不同物理问 题。
例如：绕圆截面轴的扭转问题，利用“薄膜比拟”，承 受均匀横向压力作用的薄膜变形微分方程或与确定扭转 截面上的应力分析的方程的形式相同。薄膜等高线的切 线方向为剪应力方向，薄膜任意点处的最大斜率等于细 杆上相应点的剪应力大小。
重庆大学
有限单元法的发展简史 数学家 们发展了微分方程的近似解法，包括有限差
分方法，变分原理和加权余量法。 1943年，数学家Courant 应用定义在三角形区域上 的分片连续函数，与最小势能原理相结合，来求解St. Venant扭转问题。 在 1963 年前后，经过 J.F.Besseling, R.J.Melosh, R.E.Jones, R.H.Gallaher, T.H.Pian （卞学磺）等 许多人的工作，认识到有限元法就是变分原理中
重庆大学
1.1 什么是有限元法
定义：有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法。 基本思想：借助于数学和力学知识，利用计算机技术而解 决工程技术问题。 解决问题：应力场、位移场、电磁场、温度场、流体场
重庆大学 3
工程和科学中典型问题
在工程技术领域内，经常会遇到两类典型的问题。 第一类问题，可以归结为有限个已知单元体的组合。例如， 材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。这类问 题称为离散系统。如下图所示平面桁架结构，是由6个承受
重庆大学
数值计算方法分类
特 点 差分法 均匀离散求解域；差分代替微分；解代 数方程组 等效积分法 （加权余量 法或泛函变 分法） 优缺点 要求规则边界，几何形状复 杂时精度低 适合简单问题，复杂问题很
整体场函数用近似函数代替；（近
微分方程及定解条件的等效积分转化为 某个泛函的变分，--求极值问题，（利 用极值条件建立n个代数方程），解代
重庆大学
有限单元法的发展简史
从工程师的角度，可以回顾到二十世纪50年代，来源于 固体力学中矩阵结构法的发展和工程师对结构相似性的直 觉判断。从固体力学的角度来看，桁架结构等标准离散系 统与人为分割成有限个分区后的连续系统在结构上存在相 似性。 1955年，Argyris和Kelsey利用最小势能原理，得到了系 统的刚度方程，推广杆系结构矩阵分析法，对连续结构进 行了分析。 1956年，将矩阵位移法推广到求解平面应力问题。把结 构划分成一个个三角形和矩形的“单元”，利用单元中近 似位移函数，求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度 矩阵。 1960年，Clough在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有限元 （finite element）这一术语。
边界条件为
vA 0
vB 0
简支梁的弯矩方程
M ( x) ql q 2 x x （０ｘｌ） 2 2
带入基本方程积分，若考虑边界条件，可得
ql３ ｘ x３ ２x2 v （ ３ ２ 1 ） 2 ４ＥＩ ｌ ｌ
重庆大学
问题的求解策略及方法
求解策略
1、直接法：直接求解基本方程和相应定解条件的解；
•内存512M＋500MB的可用硬盘空间＋虚拟内存
•能够支持1024×768（色深16位）分辨率的显示器和显卡 •光盘驱动器＋鼠标
重庆大学
ANSYS的发展历史
■起步：1970年,在美国宾夕法尼亚洲的匹兹堡建立ANSYS公司； ■发展：最近版ANSYS5.7、6.1、7.0、8.0、8.2、9.0、 10.0,11.0，12.0，13.0，14.0，15.0； ANSYS软件必须通过7000道标准考题测试才发行，ANSYS公 司于1995年在设计分析类软件中第一个通过了ISO9001的质量体 系认证。 ANSYS公司1996年在北京开设了第一个驻华办事机构，目前 在上海、成都、广州也有办事处
现代有限元及其工程应用
晏致涛Baidu Nhomakorabea
课程性质
应用专业课 关键词：有限元、应用 授课内容和教材
有限元法及其应用——清华大学 江见鲸 弹性和塑性力学中的有限元法——浙江大学 丁皓江 有限单元法 清华大学 王勖成 Zienkiewicz 有限元方法 基础理论，固体力学与结构力学
考核办法 闭卷考试
种不同的路线得到了相同的结果，即有限元法。 数学家认为有限单元法是偏微分方程边值问题数值分析方法 的一种新进展。 理学家认为有限单元法是基于变分原理近似解法（如里兹法） 的创新 工程结构专家则认为有限单元法是结构力学的矩阵分析在连 续体力学中的推广 事实上他们从不同角度和方向发展了有限单元法，对有限单元 法的充实和完善做作出了贡献
似函数常为含n个待定系数的多项式，） 难解决
数方程组
有限元法 可非均匀离散求解域；分片连续函 节点可任意配置，边界适应 性好；适应任意支撑条件和
数近似整体未知场函数；解线性方程
组。有限元法的数学基础仍是变分法。
载荷；计算精度与网格疏密
和单元形态有关，精度可控。 对裂缝和无限域的分析存在 不足
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解析法
近似法
解析解
摄 动 法
变 分 法
模 拟 法
数 值 方 法
近似解
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问题的求解方法
求解方法
1、解析法：直接求解基本方程和相应定解条件的解
2、近似方法 由于边界条件的限制，通常只能得到少数简单问题的精确 解答。对于许多实际的工程问题，还无法给出精确的解答。 为解决这个困难，工程师们和数学家们提出了许多近似方 法。如摄动法，多尺度法，平均法、增量谐波平衡法。 摄动法。又称小参数展开法。利用摄动法求解方程的渐 进解，选择一个能反映物理特征的小参数作为摄动量， 假设解可以按小参数展成幂级数，将这一形式级数代入 方程后，可得各级近似方程，依据这些方程可确定幂级 数的系数，对级数进行截断，便得到原方程的渐进解。