重庆大学有限元1绪论
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有限元绪论
现代列车车厢整体结构的有限元分析模型
空客A350后机身第19框的设计与有限元分析过程
人体肩部区域的骨胳有限元分析模型以及计算结果
有限元的发生与发展
• 从1943年Courant 对扭转的研究开始，50年代是理论的萌
芽阶段； 1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程杂志上发表了一组 能量原理和结构分析论文。
热分析 程序可处理热传递的3种基本类型：传导、对流和辐射。热传递 的3种类型均可进行稳态和瞬态、线性和非线性分析。热分析还具有可以模 拟材料固化和熔解过程的相变分析能力以及模拟热与结构应力之间的热-结 构耦合分析能力。
电磁场分析 进行电感、电容、磁通量密度、涡流、电场分布、磁力线分 布、力、运动效应、电路和能量损失等。
有限元法分析过程
• 有限元位移法计算过程的系统性、规律性强，特 别适宜于编程求解。一般除板壳问题的有限元应 用一定量的混合法外，其余全部采用有限元位移 法。因此，一般不做特别声明，有限元法指的是 有限元位移法。 • 有限元分析的后处理主要包括对计算结果的加工 处理、编辑组织和图形表示三个方面。它可以把 有限元分析得到的数据，进一步转换为设计人员 直接需要的信息，如应力分布状态、结构变形状 态等，并且绘成直观的图形，从而帮助设计人员 迅速的评价和校核设计方案。
流体动力学分析
可以是稳态和瞬态，得到压力、流量和温度分布。
声场分析 研究声波的传播、固体结构的动态特性、声场强度分布、水 对振动船体的阻尼等
压电分析 可以进行静态分析、模态分析、谐波响应分析、瞬态响应分析， 研究二维或三维结构对直流、交流电流的响应。
有限元软件的后处理功能 有限元分析软件的后处理过程包括：位移、 温度、应力、应变、速度及热流等，输出形 式可以有图形显示和数据列表2种。
有限元分析课程 第一章 绪论PPT
1 T I [ y ( x)] = ∫ [ y L( y ) + yT f ]d Ω + b.t.( y, g ) Ω 2
其中: b.t.( y, g ) 与边界条件有关。）
14
若假设试探函数只选取一项，即
ϕ ( x ) = α1 ( x − x 2 )
5 易得 α1 = 9 ，则问题的近似解为 5 ϕ ( x) = ( x − x 2 ) 9 变分法的试探函数定义于整个求解域，且必须满足
23
转向机构支架的强度分析
24
动力分析
模态分析—计算线性结构的自振频率及振形. 谱分析—是模态分析的扩展，用于计算由于随机振动引起 的结构应力和应变 (也叫作响应谱).
整机的模态分析
25
谐响应分析—确定线性结构对随时间按正弦曲线变化的载 荷的响应. 旋转设备（如压缩机、发动机、泵、涡轮机械等）的支 座、固定装置和部件； 受涡流（流体的漩涡运动）影响的结构，例如涡轮叶片、 飞机机翼、桥和塔等。 瞬态动力学分析—确定结构对随时间任意变化的载荷的响 应. 可以考虑与静力分析相同的结构非线性行为. 显式动力分析—计算高度非线性动力学和复杂的接触问题。 用于模拟非常大的变形，惯性力占支配地位，并考虑所 有的非线性行为.
L=∫
b a
{ y( x)}
dy 1 + dx dx
2
L依赖于函数y(x)的形式，L随着曲线的形状而变化。L就是函 数y(x)的泛函。 12
假设试探函数为多项式： ϕ ( x) = α1 ( x − x 2 )+α 2 ( x − x 3 )+L +α n ( x − x n +1 )
P
meshing
P
其中: b.t.( y, g ) 与边界条件有关。）
14
若假设试探函数只选取一项，即
ϕ ( x ) = α1 ( x − x 2 )
5 易得 α1 = 9 ，则问题的近似解为 5 ϕ ( x) = ( x − x 2 ) 9 变分法的试探函数定义于整个求解域，且必须满足
23
转向机构支架的强度分析
24
动力分析
模态分析—计算线性结构的自振频率及振形. 谱分析—是模态分析的扩展，用于计算由于随机振动引起 的结构应力和应变 (也叫作响应谱).
整机的模态分析
25
谐响应分析—确定线性结构对随时间按正弦曲线变化的载 荷的响应. 旋转设备（如压缩机、发动机、泵、涡轮机械等）的支 座、固定装置和部件； 受涡流（流体的漩涡运动）影响的结构，例如涡轮叶片、 飞机机翼、桥和塔等。 瞬态动力学分析—确定结构对随时间任意变化的载荷的响 应. 可以考虑与静力分析相同的结构非线性行为. 显式动力分析—计算高度非线性动力学和复杂的接触问题。 用于模拟非常大的变形，惯性力占支配地位，并考虑所 有的非线性行为.
L=∫
b a
{ y( x)}
dy 1 + dx dx
2
L依赖于函数y(x)的形式，L随着曲线的形状而变化。L就是函 数y(x)的泛函。 12
假设试探函数为多项式： ϕ ( x) = α1 ( x − x 2 )+α 2 ( x − x 3 )+L +α n ( x − x n +1 )
P
meshing
P
第一讲有限元绪论
考虑微段dx，内力 N=q (L-x)
dx的伸长为
Δ(dx) N(x)dx q(L x)dx
EA
x截面上的位移：
x N(x)dx x q(L x)dx q
x2
u 0 EA 0
EA
(Lx )
EA
2
根据几何方程求应变，物理方程求应力。这里
应变
du q ε x dX EA(L X)
实验方法的最大优点是结果真实可靠，通
常被当作产品最终定型的权威性依据。
实验方法也存在不足：
1）实验一定要在样品或样机试制之后才 能进行，成本高、周期长，并且只适合 批量生产的产品。
2）可以获得的数据量有限，无法对设计 提供更多的指导，更无法进行结构优化。
3）受实验手段的限制，有些参数无法测 准。
应力
σx
Eε x
q A
(L X)
有限单元法求解直杆拉伸：
1、离散化
2、外载荷集中到结点上，即把投 影部分的重量作用在结点i上
L1
1
L2
2
Li Li+1
i-1 i i+1
n-1 n
图 2-2
i-1
Li
i q (Li + Li+1)
Li+1
2
i+1
图 2-3
有限单元法求解直杆拉伸：
3、假设线单元上的位移为线性函数
五、数值分析与实验分析的比较
分析方法可分为理论计算和实验两大类。
1、基于实验的分析方法
指通过的实验测试获取需要的性能参数的 方法。这种方法获取不同的性能参数需要采用 不同的测试方法、仪器设备和辅助实验装置。 如：强度实验，可以采用电阻应变片及应变仪、 光弹涂膜或云纹栅、应变涂料等；扭转与弯曲 刚度实验则需要专门的实验台等等。
有限元基础课件
0 l
0
q(
x)
x
3dx
ql
Q 均布横向力q：M
yi zi
Q yj
2 ql 2
12 ql
M zj
2 ql 2
12
第3节 单元刚度矩阵旳坐标变换
Re , e ,[k]表示单元在局部坐标系oxy的结点力,结点位移,刚度矩阵 Re , e ,[k]表示单元在整体坐标系oxy的结点力,结点位移,刚度矩阵
bi x
ci
y
(i, j, k)
u Niui N ju j Nkuk Niui v Nivi N jv j Nkvk Nivi
d
u v
Ni I
NjI
Nk I e Ne
I 二阶单位阵,[N] 形函数矩阵
第1节 三角形常应变单元(续2)
三、应变
u
x y
xy
S1
总虚变形功：
U ( x x y y z z yz yz zx zx xy xy )dxdydz
对于平面问题：
(Xu Yv)dxdy (Xu Yv)ds S1
( x x y y xy xy )dxdy
第4节 最小势能原理
最小势能原理
在几何可能旳一切允许位移和形变中,真正旳位移和形变使总势能取 最小值；反之,使总势能取最小值者也必是真正旳位移和形变。
总 势 能： U V
形变势能：U
1 2
( x x y y z z yz yz zx zx xy xy )dxdydz
外力势能：V ( Xu Yv Zw)dxdydz ( Xu Yv Zw)dS
S1
形变势能变分:
U ( x x y y z z yz yz zx zx xy xy )dxdydz
重庆大学有限元第一次作业
有限元分析技术课程大作业科 目：有限元分析技术 教 师：姓 名： 学 号： 专 业： 机械设计及理论 类 别： 学 术 上课时间： 2016 年 11 月至 2017 年 1 月 考 生 成 绩：阅卷评语：阅卷教师 (签名)重庆大学研究生院第一章 问题提出1.1工程介绍某露天大型玻璃平面舞台的钢结构如图1所示，每个分格（图2中每个最小的矩形即为一个分格）x 方向尺寸为1m ，y 方向尺寸为1m ；分格的列数（x 向分格）=学生序号的百位数值×10+十位数值+5，分格的行数（y 向分格）=学生序号的个位数值+4，如序号为041的同学分格的列数为9，行数为5，111号同学分格的列数为16，行数为5。
钢结构的主梁（图1中黄色标记单元）为高160宽100厚14的方钢管，其空间摆放形式如图3所示；次梁（图1中紫色标记单元）为直径60厚10的圆钢管（单位为毫米），材料均为碳素结构钢Q235；该结构固定支撑点位于左右两端主梁和最中间（如不是正处于X 方向正中间，偏X 坐标小处布置）的次梁的两端，如图2中标记为UxyzRxyz 处。
玻璃采用四点支撑与钢结构连接（采用四点支撑表明垂直作用于玻璃平面的面载荷将传递作用于玻璃所在钢结构分格四周的节点处，表现为点载荷，如图4所示）；试对在垂直于玻璃平面方向的22/KN m 的面载荷（包括玻璃自重、钢结构自重、活载荷（人员与演出器械载荷）、风载荷等）作用下的舞台进行有限元分析.（每分格面载荷对于每一支撑点的载荷可等效于0.5KN 的点载荷）。
1.2 作业内容（1）屏幕截图显示该结构的平面布置结构，图形中应反映所使用软件的部分界面，如图1-2；（2）该结构每个支座的支座反力；（3）该结构节点的最大位移及其所在位置；（4）对该结构中最危险单元（杆件）进行强度校核。
图1-1图1-2图1-3图1-41.3分格计算学生序号：096x向分格：9+5=14，即列数为13列；y向分格：6+4=10，即行数为10行；因此，学生作业任务是计算13×10分格的钢结构玻璃平面舞台。
重庆大学研究生有限元大作业教学内容
重庆大学研究生有限元大作业课程研究报告科目：有限元分析技术教师：阎春平姓名：色学号： 2专业：机械工程类别：学术上课时间： 2015 年 11 月至 2016 年 1 月考生成绩：阅卷评语：阅卷教师 (签名)有限元分析技术作业姓名: 色序号: 是学号: 2一、题目描述及要求钢结构的主梁为高160宽100厚14的方钢管，次梁为直径60厚10的圆钢管（单位为毫米），材料均为碳素结构钢Q235；该结构固定支撑点位于左右两端主梁和最中间。
主梁和次梁之间是固接。
试对在垂直于玻璃平面方向的2kPa 的面载荷（包括玻璃自重、钢结构自重、活载荷（人员与演出器械载荷）、风载荷等）作用下的舞台进行有限元分析。
二、题目分析根据序号为069，换算得钢结构框架为11列13行。
由于每个格子的大小为1×1（单位米），因此框架的外边框应为11000×13000（单位毫米）。
三、具体操作及分析求解1、准备工作执行Utility Menu：File → Clear＆start new 清除当前数据库并开始新的分析，更改文件名和文件标题，如图1.1。
选择GUI filter，执行Main Menu: Preferences → Structural → OK，如图1.2所示图1.1清除当前数据库并开始新的分析图1.2 设置GUI filter2、选择单元类型。
执行Main Menu: Preprocessor →Element Type →Add/Edit/Delete →Add→ select→ BEAM188，如图2.1。
之后点击OK(回到Element Types window)→Close图2.1 选择单元3、定义材料属性该钢结构材料为碳素结构钢Q235，其弹性模量为210GPa，执行Main Menu→Preprocessor →Material Props →Material Models →Structural →Linear→Elastic →Isotropic，此处协调单位制为mmkgs，故EX设为2.1E8, PRXY设置为0.3。
有限元-第1章
L K 1n u1 L K 2n u 2 L L M L K in u i L L M L K nn u n
为了看出该方程能给出所需的结果，取出该方程组中第 i 个方程式
10 30 u i* = K i1u1 + K i 2 u 2 + L + 10 30 u i + L + K in u n
单元节点载荷列阵。
五、 约束处理 由于结构刚度矩阵是奇异的、不能求逆。造成刚度矩阵奇异的原因是在建立刚度矩阵 时，解除了结构的外界约束而成了自由结构，使结构可产生刚体运动。因此必须排除结构 的刚体位移，使结构刚度矩阵成为非奇异的，才能求解出节点位移。一般情况下，引进边 界位移约束条件后可排除刚体运动，否则，还应适当给定某些节点的位移值。经引进边界 约束条件后，可适当地减少待求的节点位移的数目和方程的数目。 在这里介绍一种适合计算机实施的约束处理的作法，称“置大数法” 。设给定的节点 位移为 ui= u i* ,只需在 ui 所在行中， 将结构刚度矩阵的主对角元素 K ij 置入一个大数， 如 10 30 , 同时，将对应行的载荷项 Pi 用 10 30 u i* 代替,于是结构刚度方程成为
{ } { } { } { }
e V
——单元的等效节点载荷列阵， PVe , Pse , P0e 分别是
{ }{ }{ }
e s
单元的体力、面力、节点上的集中力的等效节点载荷列阵，
{P } = ∫∫∫[N ] {f }dv
T Ve
{P } = ∫∫ [N ] {P}ds
T se p
(1-10a)
方程（1-10）表示了结构的总位能是各单元的应变能之和加上各单元等效节点载荷的 位能之和。将单元刚度矩阵 K e 和单元节点载荷列阵 P e 按结构节点位移列阵 {∆} 的自由 度数和排列顺序添零升阶，式（1-10）可进一步完成 1 1 T T T T Π = {∆} ∑ K e {∆} − {∆} ∑ P e = {∆} [K ]{∆} − {∆} {P} 2 2
有限元法基本原理及应用第2章重庆大学龙雪峰
有限元原理及应用
第二章 弹性力学基本理论
3．完全弹性假设。 假设除去引起物体变形的外力之后，物体形状能够完全恢 复，而没有任何残余变形并且假定材料服从胡克定律，即 应力与应变成正比，这样物体在任意瞬时，应变完全取决 于该瞬时所受外力，而与它之前加载的历史无关，与外力 施加顺序也无关。 由材料力学知，物体所受应力未达到比例极限之前，可 近似看作完全弹性体。
有限元原理及应用
第二章 弹性力学基本理论
2．均匀性假设。 假设物体内各处材料的力学性能完全相同，即从物体中任 意取出一个微元体进行分析，都可以使用同一组材料常数。 实际上，物体是由颗粒组成的，不可能是完全均匀的， 但只要颗粒的尺寸远远小于物体的尺寸并且均匀分布，将 物体性能看作各组成部分性能的统计平均量是没问题的。 这里的均匀性假设并不妨碍弹性力学处理由不同材料组成 的弹性体，只要在每一部分都满足均匀性假设即可。
有限元原理及应用
• 2.2.7 主应变 • 由单元体六个应变分量：
第二章 弹性力学基本理论
• 可以求出过该点任意方向线应变和任意两 线段之间角度的改变：
2.7 2.8
式中l、m、n 为过物体内一点P 的线 段PN 的方向余弦， l1、m1、 n1为过P 点 与PN 成θ 角的线段PN1 的方向余弦，θ’ 为物体受力变形后线段PN 与PN1 的夹角, 如图2.5 所示。
有限元原理及应用
第二章 弹性力学基本理论
• 这个极限矢量p 就是物体在截面mn 上的、在P 点所受内力的 集度，即P 点的应力。因为ΔA 是标量，所以p 的方向就是ΔF 的极限方向。 • 对于应力，通常沿截面的法向和切向将应力分解为正应力σ 和切应力τ，如图2.3 所示。应力及其分量的因次是[力][长 度]-2。 • 在物体内的同一点，不同方向的截面上的应力是不同的。过 一点，各截面上应力的大小和方向的总和称为一点的应力状 态。
1绪论,重庆大学,文国治版结构力学课件
11
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2）计算简图的简化要点 ——应从以下几方面进行简化
(1) 结构体系的简化 ——如平面杆件结构 。 (2) 杆件的简化——不论是直杆或曲杆均可用其轴线（截面 形心的连线）表示。 (3) 结点的简化 ①刚结点：刚结点的特点是汇交于结点的各杆端之间不能 发生相对转动，各杆间可相互传递力和力矩。
29
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再见
30
3
土木工程指导性专业规范系列教材—结构力学
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第1章 绪论
1.1 结构力学的研究对象和任务 1） 结构及其分类
建筑物或构筑物中承担荷载而起骨架作用的部分，或 其中的某些承重构件，都可称为结构。
南京长江大桥
上海金茂大厦(右)和国际金融中心(左)
4
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18
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4）结构计算简图举例
例1.1 图示为一根两端 搁在墙上的梁，其上 放一重物，现确定梁 的计算简图。
b /2 b l0 (a)
b /2 b
FP g
l (b)
19
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例2:单层厂房的计算简图
屋架
柱
吊车梁 牛腿
基础
(c)
EA→∞
20
(d)
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1.3
平面杆件结构的分类
结构的分类，实际上是指结构计算简图的分类。 1）按受力和变形特性分
有限元及其分析绪论PPT课件
以处理很复杂的连续介质问题，是一种普遍方法。
60年代后期，J.T.Oden 等学者进一步研究了加权残值法与有限元法之间的关系，建立有限元法的计算格式， 并指出有限元法所利用的主要是Galerkin加权残值法，它可以用于即使泛函无法构造或泛函根本不存在的 问题，从而进一步扩大了有限元法的应用领域。
1972年，J.T.Oden 出版了第一本处理非线性连续介质问题的专著 《非线性连续体的有限元法 》。
• 在此期间，O.C.Zienkiewicz、卞学璜、董平等人进一步推动有限元的发展，分别提出了等参单元、杂交 单元的概念。1967年，O.C.Zienk iewic e 和Y.K.Cheung( 张佑启) 出版了第一本有关有限元分析的专著 《连续体和结构的有限元法》，此书是有限元法的名著，后更名为《有限单元法》。
V
•
Galerkin 方法
在Galerkin方法中，选择的加权函数wi为试函数（如取为形函数N，wi=Ni ）
L(x) EIv' ' ' ' p
R(x) EIv' ' ' ' p
L
0 wi(EIv''''' p)dx 0
i 0~n
• 以三角函数为试探函数求ci • 以幂级数为试探函数求ci • 以形函数为试探函数求ci
近原始结构，体现了几何上的近似；而用近似函数逼近未知变量在单元内的真实解，体现了数学上的近似；利 用与原问题的等效的变分原理（如最小势能原理）建立有限元基本方程（刚度方程）又体现了其明确的物理背 景。
• 厚实的理论基础，数值计算稳定、高效
• 有限元法计算格式的建立既可基于物理概念推得，如刚度法、虚功原理，也可基于纯数学原理推 得，如泛函变分原理、加权残值法。通常直接刚度法、虚功原理用于杆系结构或结构问题的方程 建立；而变分原理设计泛函极值，既适用于简单的结构问题，也适应于更复杂的工程问题（如温 度场问题）。当给定的问题存在经典变分叙述时，则利用变分原理很容易建立这类问题的有限元 方程，如加权残值法。加权残值法由问题的基本微分方程出发而不依赖于泛函，可用于处理一般 问题的有限元方程建立，如流固耦合问题。所以，有限元法不仅具有明确的物理背景，更具有坚 实的数学基础，且数值计算的收敛性、稳定性均可从理论上得到证明，有关这方面的内容可参考 相关资料。
60年代后期，J.T.Oden 等学者进一步研究了加权残值法与有限元法之间的关系，建立有限元法的计算格式， 并指出有限元法所利用的主要是Galerkin加权残值法，它可以用于即使泛函无法构造或泛函根本不存在的 问题，从而进一步扩大了有限元法的应用领域。
1972年，J.T.Oden 出版了第一本处理非线性连续介质问题的专著 《非线性连续体的有限元法 》。
• 在此期间，O.C.Zienkiewicz、卞学璜、董平等人进一步推动有限元的发展，分别提出了等参单元、杂交 单元的概念。1967年，O.C.Zienk iewic e 和Y.K.Cheung( 张佑启) 出版了第一本有关有限元分析的专著 《连续体和结构的有限元法》，此书是有限元法的名著，后更名为《有限单元法》。
V
•
Galerkin 方法
在Galerkin方法中，选择的加权函数wi为试函数（如取为形函数N，wi=Ni ）
L(x) EIv' ' ' ' p
R(x) EIv' ' ' ' p
L
0 wi(EIv''''' p)dx 0
i 0~n
• 以三角函数为试探函数求ci • 以幂级数为试探函数求ci • 以形函数为试探函数求ci
近原始结构，体现了几何上的近似；而用近似函数逼近未知变量在单元内的真实解，体现了数学上的近似；利 用与原问题的等效的变分原理（如最小势能原理）建立有限元基本方程（刚度方程）又体现了其明确的物理背 景。
• 厚实的理论基础，数值计算稳定、高效
• 有限元法计算格式的建立既可基于物理概念推得，如刚度法、虚功原理，也可基于纯数学原理推 得，如泛函变分原理、加权残值法。通常直接刚度法、虚功原理用于杆系结构或结构问题的方程 建立；而变分原理设计泛函极值，既适用于简单的结构问题，也适应于更复杂的工程问题（如温 度场问题）。当给定的问题存在经典变分叙述时，则利用变分原理很容易建立这类问题的有限元 方程，如加权残值法。加权残值法由问题的基本微分方程出发而不依赖于泛函，可用于处理一般 问题的有限元方程建立，如流固耦合问题。所以，有限元法不仅具有明确的物理背景，更具有坚 实的数学基础，且数值计算的收敛性、稳定性均可从理论上得到证明，有关这方面的内容可参考 相关资料。
有限元第一讲 弹性力学基础理论
k
2 23
k323
kk111111
k112 k112
0 0
0
0 0
0 0 0
0
k
2 22
k
2 23
0
k
2 32
k
2 33
第一单元矩阵
第二单元矩阵
1.2.3.方程求解（约束条件的引入）
由前面可知，刚度矩阵是奇异阵，它的行列式值为0.矩阵的 逆不存在。故对应的线性方程组无定解，为什么？
FF43
1500 1500
11550000uu43
对弹簧1－2
对弹簧2－3
对弹簧3－4
1.2.5.实例
叠加这些方程为总的结构矩阵方程：
F1 ? 1200
FF32 F4
10 20 ?
答案是肯定的。
下面加以推导，每个弹簧单元的受力方程和单元 刚度矩阵如下：
FF12
ka ka
单元1
ka ka
uu12
FF32
kb kb
kb kb
uu32
单元2
1.2.2.组合弹簧的刚度矩阵
10 3000 20 1800
1800
3300
uu32
解得：u2＝0.0103603m；u3＝0.0117117m。将u1、u2、u3和u4代 入原方程可解得节点1和节点4处的作用力：
F1＝-12.432KN；F4＝-17.567KN
校核：F1＋F4＝-29.999KN＝30KN。
有限元第一讲 绪论、弹簧单元
五、本课程目标
本课程主要涉及弹性力学有限元法的基本原理。
通过本课程学习，为应用大型通用有限元软件解决工 程中的力学问题和产品设计问题提供一个初步基础， 以及作为进一步学习的入门。
六、引例——弹簧单元
弹簧是宏观上最简单的弹性元件。 1、一个弹簧单元的分析
2个节点： 节点位移： 节点力： 弹簧刚度：
单元特性
KD F
系统平衡方程
2）单元方程扩大相加法 单元特性
相加
F1 f11
F2
f
1 2
f12
F3
f
2 2
系统节点 平衡条件
KD F
系统平衡方程
或 KD F （的结构总刚度矩阵
D —— 系统节点位移列阵
F —— 系统节点载荷列阵
讨论：（1） K 有那些特点和性质？
（2）上述方程能求解吗？
方法2： 将单元刚度方程扩大到整体规模：
将上面的矩阵方程叠加，得到：
代入前面节点平衡条件，得系统节点平衡方程：
3）给定载荷和约束条件下的求解 设边界条件为：
k k
kui
k
u
j
矩阵符号形式：
f kd ——弹簧单元刚度方程
上式中：
k 弹簧单元的刚度矩阵 d 单元节点位移向量 f 单元节点力向量
刚度方程讨论：
1） k 有什么特点？ 2） k 中元素代表什么含义？
3）上面方程可以求解吗？为什么？
2、弹簧系统
各单元的特性分别为： 单元1： 单元2：
应用前面的叠加方法，直接得到弹簧系统的总刚度矩阵： 或 总刚度矩阵特征：对称，奇异、带状、稀疏
由前面的做法，可得到弹簧系统的节点平衡方程：
（b）：先施加位移边界条件
有限元法基础理论
（1）正应力σ
为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个角码，例如，正应力σ x 是作用在垂直于 x
轴的面上同时也沿着 X 轴方向作用的。 （2）剪应力τ 加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪
一个坐标轴。例如，剪应力τ xy 是作用在垂直于 X 轴的面上而沿着 y 轴方向作用的。
如图 2 所示，将直杆划分成 n 个有限段，有限段之间通过一个铰接点连接。称两段之间的连接
1
点为结点，称每个有限段为单元。 第i个单元的长度为Li，包含第i，i+1 个结点。
2）用单元节点位移表示单元内部位移。我们假设单元内部位移为线性函数。
u(x)
=
ui
+
ui+1 − ui Li
(x
−
xi )
其中 ui 为第 i 结点的位移， xi 为第 i 结点的坐标。第 i 个单元的应变为 ε i ，应力为σ i ，内力为 Ni ：
5
或乘积项都可以略去不计，这就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方程。 三、基本变量
1.应力的概念 1）外力：面力和体力 作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种： 表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面
积上的表面力通常分解为平行于坐标轴的三个成分，用记号 Χ、Υ、Ζ
结点 位移
(1)
内部各 点位移
(2)
(3)
(4)
应变
应力
结点力
单元分析
以平面问题的三角形 3 结点单元为例。如图 1-15 所示，单元有三个结点 I、J、M，每个结点有 两个位移 u、v 和两个结点力 U、V。
3
为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个角码，例如，正应力σ x 是作用在垂直于 x
轴的面上同时也沿着 X 轴方向作用的。 （2）剪应力τ 加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪
一个坐标轴。例如，剪应力τ xy 是作用在垂直于 X 轴的面上而沿着 y 轴方向作用的。
如图 2 所示，将直杆划分成 n 个有限段，有限段之间通过一个铰接点连接。称两段之间的连接
1
点为结点，称每个有限段为单元。 第i个单元的长度为Li，包含第i，i+1 个结点。
2）用单元节点位移表示单元内部位移。我们假设单元内部位移为线性函数。
u(x)
=
ui
+
ui+1 − ui Li
(x
−
xi )
其中 ui 为第 i 结点的位移， xi 为第 i 结点的坐标。第 i 个单元的应变为 ε i ，应力为σ i ，内力为 Ni ：
5
或乘积项都可以略去不计，这就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方程。 三、基本变量
1.应力的概念 1）外力：面力和体力 作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种： 表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面
积上的表面力通常分解为平行于坐标轴的三个成分，用记号 Χ、Υ、Ζ
结点 位移
(1)
内部各 点位移
(2)
(3)
(4)
应变
应力
结点力
单元分析
以平面问题的三角形 3 结点单元为例。如图 1-15 所示，单元有三个结点 I、J、M，每个结点有 两个位移 u、v 和两个结点力 U、V。
3
Lesson1 有限元第一章绪论
金属成形过程的分析（用Deform软件完成） 分析金属成形过程中的各种缺陷。
型材挤压成形的分析。型材在挤压 成形的初期，容易产生形状扭曲。
螺旋齿轮成形过程的分析
有限元应用实例
T形锻件的成形分析有限元应实例焊接残余应力分析（用Sysweld完成）
结构与焊缝布置
焊接过程的温度分布与轴向残余应力
有限元应用实例
1946年电子计算机诞生，杆系结构的结构矩阵法在计算机 上首先得到应用������
1956年M.J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp在纽 约举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵 位移法推广到求解平面应力问题。他们把结构划分成一个个 三角形和矩形的“单元”，利用单元中近似位移函数，求得 单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。
思考：学习一种数学解题方法的关键？
1.3有限元法的一般描述
1.3.1 有限元法的基本思想
离散法：将不规则区域近似地分成有限个理 想的规则区域，对理想的规则区域一一求解， 从而得到全域的近似解。
依据：如果无限细分，则结果与真实结果无限 接近。•有限单元法是离散法的典型代表。
1.3.1 有限元法的基本思想（P3）
把结构或连续体分割成许多单元。
有限元法的基础是用有限个单元体的集合来代替原 有的连续体。因此首先要对弹性体进行必要的简化， 再将弹性体划分为有限个单元组成的离散体。单元 之间通过单元节点相连接。由单元、结点、结点连 线构成的集合称为网格。
通常把三维实体划分成4面体或6面体单元的网格， 平面问题划分成三角形或四边形单元的网格。
单元的所有结点位移、结点力，可以表示为结点位移向量 （vector）：
型材挤压成形的分析。型材在挤压 成形的初期，容易产生形状扭曲。
螺旋齿轮成形过程的分析
有限元应用实例
T形锻件的成形分析有限元应实例焊接残余应力分析（用Sysweld完成）
结构与焊缝布置
焊接过程的温度分布与轴向残余应力
有限元应用实例
1946年电子计算机诞生，杆系结构的结构矩阵法在计算机 上首先得到应用������
1956年M.J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp在纽 约举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵 位移法推广到求解平面应力问题。他们把结构划分成一个个 三角形和矩形的“单元”，利用单元中近似位移函数，求得 单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。
思考：学习一种数学解题方法的关键？
1.3有限元法的一般描述
1.3.1 有限元法的基本思想
离散法：将不规则区域近似地分成有限个理 想的规则区域，对理想的规则区域一一求解， 从而得到全域的近似解。
依据：如果无限细分，则结果与真实结果无限 接近。•有限单元法是离散法的典型代表。
1.3.1 有限元法的基本思想（P3）
把结构或连续体分割成许多单元。
有限元法的基础是用有限个单元体的集合来代替原 有的连续体。因此首先要对弹性体进行必要的简化， 再将弹性体划分为有限个单元组成的离散体。单元 之间通过单元节点相连接。由单元、结点、结点连 线构成的集合称为网格。
通常把三维实体划分成4面体或6面体单元的网格， 平面问题划分成三角形或四边形单元的网格。
单元的所有结点位移、结点力，可以表示为结点位移向量 （vector）：
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边界条件为
vA 0
vB 0
简支梁的弯矩方程
M ( x) ql q 2 x x （０ｘｌ） 2 2
带入基本方程积分，若考虑边界条件，可得
ql３ ｘ x３ ２x2 v （ ３ ２ 1 ） 2 ４ＥＩ ｌ ｌ
重庆大学
问题的求解策略及方法
求解策略
1、直接法：直接求解基本方程和相应定解条件的解；
•内存512M＋500MB的可用硬盘空间＋虚拟内存
•能够支持1024×768（色深16位）分辨率的显示器和显卡 •光盘驱动器＋鼠标
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ANSYS的发展历史
■起步：1970年,在美国宾夕法尼亚洲的匹兹堡建立ANSYS公司； ■发展：最近版ANSYS5.7、6.1、7.0、8.0、8.2、9.0、 10.0,11.0，12.0，13.0，14.0，15.0； ANSYS软件必须通过7000道标准考题测试才发行，ANSYS公 司于1995年在设计分析类软件中第一个通过了ISO9001的质量体 系认证。 ANSYS公司1996年在北京开设了第一个驻华办事机构，目前 在上海、成都、广州也有办事处
材料力学求梁和扰度问题 较复杂问题：分离变量法、积分变换法等
2、间接法：基于变分原理，构造基本方程及相应定解条件 的泛函形式，通过求解泛函的极值来获得原问题的近似解。 即将微分形式转化与其等价的泛函变分的积分形式。
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问题的求解方法
物理工程问题
实验观测理论推导
数学模型 （控制方程） 边界条件、初始条件
Galerkin法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。
1969年，Oden将有限元法推广应用于加权残量法（如 Galerkin法）。同年，Zienkiewicz提出了等参元的概念， 从而使有限元法更加普及与完善。 1970年代以后，随着电子计算机硬件和软件技术的发展， 有限元法的研究和应用得到了飞速地进展。出现了一些 大型结构分析软件，如ANSYS,SAP，NONSAP等，安装在 大中型计算机上。
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1.1 什么是有限元法
定义：有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法。 基本思想：借助于数学和力学知识，利用计算机技术而解 决工程技术问题。 解决问题：应力场、位移场、电磁场、温度场、流体场
重庆大学 3
工程和科学中典型问题
在工程技术领域内，经常会遇到两类典型的问题。 第一类问题，可以归结为有限个已知单元体的组合。例如， 材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。这类问 题称为离散系统。如下图所示平面桁架结构，是由6个承受
轴向力的“杆单元”组成。
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工程和科学中典型问题
第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方 程和相应的边界条件。例如弹性力学问题，热传导问题等。由于 建立基本方程所研究的对象通常是无限小的单元，这类问题称为
连续系统，或场问题。
一般均涉及一个或几个数学方程，这些方 当给定具体边界条件和初始条件时，整个问题 称做定解问题或边值问题 场就是所说的定义域，工程技术领域中经常指一个 工程结构，场变量即由微分方程控制的因变量
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问题的求解方法
摄动法。又称小参数展开法。利用摄动法求解方程的渐 进解，选择一个能反映物理特征的小参数作为摄动量， 假设解可以按小参数展成幂级数，将这一形式级数代入 方程后，可得各级近似方程，依据这些方程可确定幂级 数的系数，对级数进行截断，便得到原方程的渐进解。
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问 ； ◇体素库及布尔运算； ◇拖拉、旋转、拷贝、蒙皮、导角等。 ⊙多种自动网格划分工具 ◇自由/映射网格划分工具、智能网格划分、自适用网格划分； ◇复杂几何体Sweep映射网格生成； ◇拖拉、旋转、拷贝、蒙皮、导角等。 ◇边界层网格划分 ⊙在几何模型或FE模型上加载： ◇点载荷 ◇分布载荷 ◇体载荷 ◇函数载荷 ⊙可扩展的标准梁截面形状库
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有限单元法的发展简史
重庆大学
有限单元法的发展简史
有限元法应用的领域不断扩大 平面问题→空间问题和板壳问题 静力平衡→动力响应和结构稳定
固体力学→流体力学、传热学和电磁学等 弹性材料→弹塑性、塑性、黏弹性、黏塑性和复合材 料等 航空领域→宇航、土木建筑、机械制造、水利工程、 船舶海洋工程与核工程等领域
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问题的求解方法
数值法：通过把边值问题中的偏微分方程作各种数学上
的或物理行的近似，化简成对应定义域的有限个离散点 的代数方程组。利用计算机求解代数方程组的强大功能， 求解出离散点处未知量的近似值。 A）基于直接法的数值法，如差分法； B）基于间接法的数值法，如等效积分法（如里兹法）、
有限元法等。
弹性力学基本微分方程组
ij , j fi 0 ij Dijkl kl
1 ij ui , j u j ,i 2
i 1, 2,3
通过这个方程，可以求出任意弹性体受力时，内部的应力应变
重庆大学
典型问题微分方程描述
材料力学中梁和挠度问题
梁挠度基本方程
d 2v EI 2 M ( x) dx
有限单元法的发展简史
有限元方法就是求解偏微分方程边值问题的一种数值方
法，这是有限单元方法最本质的定义。
优点：理论完善，物理意义直观明确，解题效率高等。
这也是为什么有限单元法起源于力学，都可以应用于热传 导、流体流动、质量传输、电磁电位和声学。
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有限单元法的发展简史
在寻找连续系统求解方法的过程中，工程师和数学家从两
解析法
近似法
解析解
摄 动 法
变 分 法
模 拟 法
数 值 方 法
近似解
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问题的求解方法
求解方法
1、解析法：直接求解基本方程和相应定解条件的解
2、近似方法 由于边界条件的限制，通常只能得到少数简单问题的精确 解答。对于许多实际的工程问题，还无法给出精确的解答。 为解决这个困难，工程师们和数学家们提出了许多近似方 法。如摄动法，多尺度法，平均法、增量谐波平衡法。 摄动法。又称小参数展开法。利用摄动法求解方程的渐 进解，选择一个能反映物理特征的小参数作为摄动量， 假设解可以按小参数展成幂级数，将这一形式级数代入 方程后，可得各级近似方程，依据这些方程可确定幂级 数的系数，对级数进行截断，便得到原方程的渐进解。
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程称为控制方程，反映了该类物理问题的共性，
典型问题微分方程描述
工程上和理论上，有很多过程可以用微分方程来描述。复杂 的物理过程，可以用十分简洁的数学方程来表达，微分方程 是实际中应用很广泛的数学方法和数学工具。 二阶常微分方程
y py qy f ( x) s.t.( x, y )
似函数常为含n个待定系数的多项式，） 难解决
数方程组
有限元法 可非均匀离散求解域；分片连续函 节点可任意配置，边界适应 性好；适应任意支撑条件和
数近似整体未知场函数；解线性方程
组。有限元法的数学基础仍是变分法。
载荷；计算精度与网格疏密
和单元形态有关，精度可控。 对裂缝和无限域的分析存在 不足
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Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不同变分
原理导出的有限元计算公式。
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有限单元法的发展简史
1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（张佑启）发现只要 能写成变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限元 法的相同步骤求解。 1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加权余量法特别是
实际中，二阶常微分方程可以描述结构振动方程、RLC电路 的电流振荡等
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典型问题微分方程描述
稳态热传导微分方程
2T 2T 2T 2 2 0 2 x y z
稳态导热方程是一个三维拉普拉斯方程，除了稳态导热， 拉普拉斯方程还可以描述静电场电位、不可压缩无旋流 的速度势。
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ANSYS软件的组成及特点
1.ANSYS软件的组成 ANSYS软件主要包括3个部分：前处理模块、分析计算模块 和后处理模块。 (1)前处理模块 它为用户提供了一个强大的实体建模及网格划分工具， 用户可以方便地构造有限元模型，软件提供了100种以上的 单元类型，用来模拟工程中的各种结构和材料。
种不同的路线得到了相同的结果，即有限元法。 数学家认为有限单元法是偏微分方程边值问题数值分析方法 的一种新进展。 理学家认为有限单元法是基于变分原理近似解法（如里兹法） 的创新 工程结构专家则认为有限单元法是结构力学的矩阵分析在连 续体力学中的推广 事实上他们从不同角度和方向发展了有限单元法，对有限单元 法的充实和完善做作出了贡献
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有限单元法的发展简史
1980年代，多种功能扩大，大型通用程序如ADINA等，微型 计算机，前后处理出现。 1990年代，领域扩大，前后处理功能增强，大型商用软件， 如MARC、NASTRAN等。 目前，面向工程，与CAD结合成为CAE（计算机辅助工程）软 件。
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1.2 有限元法的应用
KOMATSU液压挖掘机
某液压挖掘机动臂有限元分析
驾驶室受侧向力应力云图
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轴承强度分析
液压管路速度场分布云图
美国金门大桥地震响应分析
重庆大学 25
ANSYS 简介
ANSYS的发展历史
ANSYS软件是融结构、热、流体、电磁、声学于一体的大型 CAE通用有限元分析软件，可广泛用于核工业、铁道、石油化工、 航空航天、机械制造、能源、汽车交通、国防军工、电子、土木工 程、造船、生物医学、轻工、地矿、水利、日用家电等一般工业及 科学研究。 1.1 ANSYS的运行环境要求 ANSYS可以安装于多种操作系统平台，例如Windows 7、 Windows NT4.0(推荐使用Service Pack5.0)、Windows 2000(推 荐使用Service Pack3.0)、Windows XP等操作系统。 •ANSYS的基本硬件环境