动态介电常数

图2-18
铌酸锂晶体的损耗因子与频率的关系（25C）
两种类型的介电频谱
电介质的极化主要来自三个方面： 电子位移极化； 离子位移极化； 固有偶极子的取向极化； 不同频率下，各种极化机制贡献不同，使 各种材料有其特有的介电频谱。
设在时间间隔u到u+du之间，对介质施加 强度为E(u)的脉冲电场。产生的电位移可 以分为两部分：一部分是它随电场瞬时变 化，用光频电容（）表示。
可写为 D (t ) D0 cos(t )
0 E0 ( cost sin t )
' r '' r
于是可将（6.1）式写成
() ( x ) cosxdx D (t ) 0 E0 cost r 0 0 E0 sin t ( x ) sin xdx
0

将这一衰减函数代入上边的（6.3）式， 即可得到下边的介电色散方程：
r (0) r () r ( ) r () , (6.7a) 1 i
这就是德拜针对无相互作用的转向偶极子 的介电弛豫方程。
令上式两边实部和虚部分别相等，得出：
r (0) r () r ( ) 2 1 () r (0) r () '' r () 1 () 2
2 r () r () 2 0 2 i
其中2= 01，分别写出实部和虚部，则 得出
2 2 (0 2 ) r' ( ) r () 2 , 2 2 2 2 (0 )
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2 r'' ( ) 2 , 2 2 2 2 (0 )
若作用在电介质上的交变电场为：
E E 0 cos(t )
由于极化弛豫，P与D都将有一个相角落后于 电场E，设此角为，则D可写为：
D D 0 cos(t ) D1 cos(t ) D 2 sin(t )
其中D1=D0cos(), D2=D0sin()。
对于大多数电介质材料，D0与E0成正比，不过 比例系数不是常数，而是与频率有关。为了 反映这个情况，引入两个与频率有关的介电 常数： D1 D 0 1 () cos() E0 E0
注意:在某一频率范围的介质损耗小，并不 等于在所有频率范围内的介质损耗都小。 例如，铌酸锂LiNbO3 晶体在室温（20C）时 的损耗因子tan()与频率的关系如图2-18所 示。从图中可以看出，在频率为107Hz附近 损耗很大，因此设计器件时就应考虑避开此 频率附近。如选用LiNbO3晶片做纵向振动时 就不应选择大小约为7.67.625.4的晶片。
损耗因子 loss factor
因此，sin()称为损耗因子；因为当很小时， sin()tan()，所以有时也称tan()为损 耗因子。 因为介质损耗与电场强度的频率、温度以及 极化机制等都有关系，是一个比较复杂的问 题。介质损耗大的材料，做成元件质量也差， 有时甚至不能使用。所以介质损耗的大小， 是判断材料性能的重要参数之一。
D2 D0 2 () sin() E0 E0
并有：
2 () tan() 1 ()
因1和2与频率有关，所以相角也与频率 有关。当频率趋近于零时，极化不出现滞 后，这时相角=0。
1 () 0 2 () 0
D0 D0 cos() E0 E0 0 D0 sin() 0 E0 0
' r ()
德拜介电弛豫中电容率实部和虚部与频率的关系
由此图可以看出，等于-1时，‘r 急剧 下降，此时
r' r (0) r () / 2
同时 “r呈现极大值：
r (0) r () / 2
'' r
对于阻尼谐振子系统，电场撤除后振子作 衰减振动，其频率1低于固有频率0，振 幅随时间指数衰减。 这可用exp(- t/2)sin(1t)来描写，其 中是阻尼系数，其大小等于阻尼力与动量 之比。
0
由此得到
( ) r () ( x) cosxdx,(6.2a )
' r 0

( ) ( x) sin xdx, (6.2b)
'' r 0

式中r()时光频电容的实部。此时可统一 写为下边的式子：
r () r () ( x) exp( ix)dx, (6.3)
介电性质
极化机制（3） 有效场计算(Lorenz) 介电常数（Clausius-Mossotti） 定性（OK）, 定量（？） 各向异性介质+对称性（点群）介电常数 张量（独立数目） 动态介电常数：弛豫+损耗，德拜弛豫和阻 尼谐振子弛豫
动态介电常数
极化弛豫和介电损耗，介电频谱 德拜弛豫和共振弛豫，
动态介电常数
在静电场下测得的介电常数称为静态介 电常数，在交变电场下测得的介电常数 称为动态介电常数，动态介电常数与测 量频率有关。前面主要介绍了在静电场 作用下的介电性质，下面介绍一下在交 变电场作用下的介电性质。
弛豫时间 relaxation time
介质损耗 dielectric loss
如果交变电场的频率足够低，取向极化能 跟得上外加电场的变化，这时电介质的极 化过程与静电场作用下的极化过程没有多 大的区别。如果交变电场的频率足够高， 电介质中的极化强度就会跟不上外电场的 变化而出现滞后，从而引起介质损耗。
动态介电常数也不同于静态介电常数。所 谓介质损耗，就是在某一频率下供给介质 的电能，其中有一部分因强迫固有偶极矩 的转动而使介质变热，即一部分电能以热 的形式而消耗。可见，介质损耗可反映微 观极化的弛豫过程。
r () r () ( x) exp( ix)dx, (6.3)
0

为了使（6.3）成为无量纲的量，我们将衰 减函数写成
(t ) 0 exp(t / 2) sin 1t 1 (0 2 / 4)1/ 2 ，将（6.8）代如 式中
（6.3）既得到谐振型的介电色散方程
由此可见，当频率接近于零时，1就等于静 态介电常数。
下面证明在介质中以热的形式所消耗的能 量与2（）有关。 因为电容器中的电流强度为：
d dD I [D1 sin(t ) D 2 cos(t )] dt dt
其中为电容器板上的自由电荷面密度。
在单位体积内介质每单位时间所消耗的能 量为：
由此可得到熟知的Kramers-Kronig关系
'r () r () 'r' () 2P


0
2P
' d' 2 2 0 ' ' r (' ) r () 2 d' 2 '


'r' (' )

式中积分前的字母P表示积分时取Cauchy积 分主值，即积分路径绕开奇点= ’。
上式表明，如果在足够宽的频率范围内已 知r’，则可以计算出r”，反之亦然。 频率范围足够宽的含义就是在该范围以外， r’ 和r” 无明显的色散现象。 前边的统一式子表明，不同系统的特性表 现在衰减函数（x）上。
对电场的响应
铁电体大致可以分为两种类型：
有序无序型： 可描写为可转动的偶极子的集合， 位移型： 可描写为有阻尼的准谐振子的系统。
谐振型介电响应中电容率实部和虚部与频率的关系
summary
Dynamic dielectric constant, real and
imaginary part, dielectric loss Frequency spectrum of dielectric constant, Kramers-Kronig relation Debye relaxation, damped resonantor relaxation.
W I Edt [D1 sin(t ) D 2 cos(t )]E 0 cos(t )dt 2 0 2 0
2 2
1 1 1 2 D 2 E 0 E 0 0 () D 0 E 0 sin() 2 2 2
可见，能量损失与sin()成正比。
0

上式还表明，r’和r”都可以由同一个函数导 出，所以它们不可能是独立的。现在求他们 的关系。
对上边两个式子作傅里叶变换，可得到衰 减函数为
2 ( x ) 2 ( x )

0
' r (' )
r () cos ' xd ' ,



0
'' r (' ) sin ' xd '
0 t
式中（t-u)为衰减函数，它描写电场撤 除后D随时间的衰减。显然当t时， （t-u) 0. 现在考虑施加周期性电场E(t)=E0cos t， 并将变量u改为x=t-u.如果电场保持足够 长的时间，致使t大于衰减函数趋于零的 特征时间，则积分上限x可取为无穷大。 在此情况下，D也必然随时间周期性变化
对于可转动的偶极子系统，电场撤除后，偶 极子由有序到无序的过程是一个驰豫过程， 可用exp(-t/)来描写，是弛豫时间。因此衰 减函数可以写为：
r (0) r () ( t ) exp(t / )
其中r(0)和r()分别为静态和光频介电常 数的实部。
r () r () ( x) exp( ix)dx, (6.3)
因为电介质的极化强度是电子位移极化、 离子位移极化和固有偶极矩取向极化三种 极化机制的贡献。当电介质开始受静电场 作用时，要经过一段时间后，极化强度才 能达到相应的数值，这个现象称为极化弛 豫，所经过的这段时间称为弛豫时间。
电子位移极化和离子位移极化的弛豫时间 很短（电子位移极化的弛豫时间比离子位 移极化的还要短），取向极化的弛豫时间 较长，所以极化弛豫主要是取向极化造成 的。当电介质受到交变电场的作用时，由 于电场不断在变化，所以电介质中的极化 强度也要跟着不断变化，即极化强度和电 位移均将随时间作周期性的变化。
D u ( )E(u)
另一部分则由于极化的惯性而在时间 tu+du是继续存在。如果在不同的时间有 几个脉冲电场，则总的电位移为各脉冲电 场产生的电位移的叠加。如果施加的是一 起始于u=0的连续变化的电场，则求和应该 为积分
D(t) 0 r ( )E(t) 0 E(u) (t u)du