2-3常见的离散型分布

工人 (工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生 产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备 的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况 ) ,问至少需配备多少工人 ,才能保证设备发生故障 但不能及时维修的概率小于0.01?
解 设需配备 N 人. 记同一时刻发生故障的设备 台数为 X , 那末, X ~ B(300,0.01). 所需解决的问题
证明 P{X m n | X m} P{X m n}

P{X m}
qk1 p
kmn1 qk1 p

qmn p (1 q) qm p (1 q)
k m 1
qn P{X n}
7.超几何分布
（1）概率分布
P{ X

k}
P{ X k} qk1 p, k 1, 2,L (q 1 p)
（2）应用背景：描述伯努利实验序列中，
事件A (P(A)=p)首次出现的次数.
1
q
(3)
EX , p
DX p2
例：P69 18
(4)无记忆性----几何分布的特征性质
P{X m n | X m} P{X n}
2.3 常见的离散型分布
基 1、记住其概率分布；
本 要
2、记住EX和DX；
求 3、了解其应用背景，并会 应用这几
种分布解决实际问题。
1.退化分布
(1)若随机变量X取常数值a的概率为1,
即 P{X a} 1
则称X服从退化分布.
(2) EX a DX 0
注：服从退化分布的r.vX的取值几乎是确定的， 即退化成了一个常量。
地震
火山爆发
特大洪水
商场接待的顾客数 电话呼唤次数
交通事故次数
（4）二项分布与泊松分布的关系 二项分布的图形
泊松分布的图形
定理(泊松定理)在n重伯努利实验中，事件A在每次
实验中发生的概率为pn ,如果n 时，npn ,
则对任意给定的k ,有
l源自文库m
n
b(
k;n,
pn
)

k
k!
e
2.两点分布
(1)概率分布
X
x1
x2
P{ X x1} p,
P p 1 p
P{ X x2 } 1 p. （0 p 1）
特别地，
P{X 1} p,
X0
1
P{X 0} 1 p. （0 p 1） P 1 p
p
则称 X 服从参数 p 的 0-1分布或两点分布。
短时间内至多发生一次的事件
二十世纪初罗瑟福和盖 克两位科学家在观察与分析
放射性物质放出的 粒子个
数的情况时,他们做了2608 次观察(每次时间为7.5 秒) 发现放射性物质在规定的一 段时间内, 其放射的粒子数
X 服从泊松分布.
在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队
等问题中 , 泊松分布是常见的分布。例如地震、火山爆发、特大洪 水、交换台的电话呼唤次数等, 都服从泊松分布.
（2）一车间有n台同型号的机器，假设每台机器故 障率为p，某天机器的出故障次数。
例 : 按规定, 某种型号电子元件的使用寿命超过 1500小时的为一级品.已知某一大批产品的一级 品率为0.2,现在从中随机抽查20只，问20只元 件中恰有k只(k=1,2,L ,20)一级品的概率是多少？
解：用X 表示20只元件中一级品的只数， 则X ~ b(20, 0.2). 因此P{ X k} C2k0 0.2k0.820k , k 0,1, 2,L , 20.
X 01
2
3
4
5
pk
(0.4)5 C510.6 0.44 C520.62 0.43
C530.63 0.42
C
4 5
0.64

0.4
0.65
k = [( n + 1)p ] = [( 5+ 1)0.6] =3
(3) EX np, DX npq np(1 p).
证明：令X i
•
0
• • ••
1 2 34
•• • •
56 7 8
•
9
••
10
••
•••
••
•
•
20
x
0.2
对固定的 n、p, P ( X = k) 的取
值呈不 对称分布
0.15
固定 p, 随着 n 的增大，其取值
0.1
的分布趋于对称
0.05
5
10
15
20
练习： 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击, 每次射击时击中目标的概率为 0.6 ,求击中目标的 次数 X 的分布及最有可能击中次数.
k0 k !
P{X 2} 1 P{0 X 2} 1 0.2381 0.7619
P{X 1} 1 P{X 0} 1 0.018316 0.9817
启示：小概率事件虽不易发生，但重复次数
多了，就成大概率事件.
6. 几何分布
（1）概率分布 记作X ~ G( p )
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ~ 20 .01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 < .001
P
0.22 •
k=4称为最可能出现次数
(n + 1)p Z, k = (n + 1) p或k = (n + 1) p - 1 (n + 1)p Z, k = [(n + 1)p]
1
P{ X

xi }
,i n
1, 2,L
,n
X x1
1
Pn
x2 L xn
1 1 nn
其中 ( xi x j ), (i j) ,则称 X 服从均匀分布.
(2)
EX

1 n
n i 1
xi

x
(n个数x1, x2 L xn的算术平均数)
DX

1 n
n
( xi
i 1

_
x)2
(3)描述对象：古典概型
{1,2 ,L n }
R
X : i xi
P{i }
1 ,i n
1, 2,L
n.
P{ X

xi }

P{i }

1 n
,
i 1, 2,L n.
实例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X,
则有 X 1 2 3 4 5 6
1 1 11 11
解 设X为800个纺锭在这段时间内发生断头的次数,
则X ~ b(800, 0.005),它近似服从参数 =800 0.005 4的泊
松分布, 故
2
2
P{0 X 2} P{ X k} b(k;800, 0.005)
k0
k0
2 4k e4 0.2381
(2) EX p, DX p(1 p)
(3)描述对象：只有两种可能结果的随机试验
（伯努利试验）
例 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况.
X
X ()

0, 1,
当 正面, 当 反面.
随机变量 X 服从 0-1 分布.
其分布律为 X
0 1
1
1
P2
2
说明 两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 都可用两点分布描述。
（2） EX , DX
证：
EX
k k e
k0 k !

e
k1
k1 (k 1)!
e
e
EX 2 2 .
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 2 2
（3）应用背景 ------描述“稀有事件”发生的次 数
注： 二项分布 n很大, p 很小 泊松分布
当二项分布b( n, p )的参数n很大（n 100 )，
而p很小( p 0.1 )时，可用参数为 np的
泊松分布来近似，即C
k n
p
k
(
1

p )nk

( np )k k!
enp .
例2.20 纺织厂女工照顾800个纺锭，每一纺锭在某一 段时间内发生断头的概率为0.00（5 设短时间内最多只 发生一次断头）. 求在这段时间内总共发生断头次数超过2的概率。

1 0
A A
,i 1,2,L n.
n
则X Xi且Xi ~ b( 1, p ), i 1
Q EXi p
n
EX EXi np i 1
5. 泊松分布
（1）概率分布
P{ X k } k e , k 0,1,2,L
k!
记作X ~ P( )， 0是常数.
P 6 6 66 66
4. 二项分布
（1）概率分布 记作X ~ b(n, p) (0 p 1)
P{ X

k
}

C
k n
pk
(1

p)nk , k
0,1, 2,L
, n.
b(k, n, p)
二项分布 n 1 两点分布
(2)描述对象：n重伯努利试验中某事件发生的次数
例如：（1）从一批产品中有放回地抽查n次，其 中抽 检 到的次品件数。
{ A, A} P( A) p, P( A) 1 p
定义
I
A
(
)

1, 0,
A( A发生) A( A不发生) ------事件A的示性r.v.
E[IA()] p P( A)
注：数学期望的概念是概率概念的推广。
3. (n个点上的)均匀分布
（1）概率分布
C C k nk N1 N2
C
n N
,
0 k n, N N1 N2 .
(2) EX n N1 , DX n N1 N2 N n
N
N N N 1
（3）超几何分布与二项分布的关系
当N很大，N1, N2均较大，n相对很小时，
C C k nk N1 N2
C
n N

C
n N

N1 N
k

N2 N
nk
小结
退化分布
离 散 型

随 机

变 量 的

两点分布 均匀分布 二项分布 泊松分布
分 布

几何分布 超几何分布
两点分布
n1
二项分布
n 100, p 0.1
泊松分布
合理配备维修工人问题
例 为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修
是确定最小的 N , 使得 P{X N } 0.99.
由泊松定理，X 近似服从参数 =300 0.01 3的泊
松分布, 故
P{X N }
N
3k e3 ,
k0 k!
故有
N 3k e3 0.99,
k0 k!
查表可求得满足此式最小的N是8. 故至少需配备8
个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的 概率小于0.01.