2-3常见的离散型分布
23 常用的离散型分布.
Poisson分布的数字特征
期望： 方差：
EX
DX
Poisson分布的应用
Poisson分布应用极为广泛. 如银行收到的 存款次数；保险公司收到的索赔单数;放射 粒子的数目（著名的Rutherford等人利用云 雾实验室观察镭说发射出的 粒子数目试 验）；一定时间内发生的灾害数目；……
故每箱至少应装105个产品,才能符合要求.
例 设有同类型设备90台，每台工作相互独立， 每台设备发生故障的概率都是 0.01. 在通常 情况下，一台设备发生故障可由一个人独立 维修，每人同时也只能维修一台设备.
(1) 问至少要配备多少维修工人，才能保证当设 备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?
因为{X k}表示前 k 1中 A 恰好发生了r 1 次, 而第 k 次 A 发生，故
P{X
k}
C r1 k 1
p r 1q
k
r
p
C r1 k 1
p r q k r
,
k
r, r 1,,
亦可记为 P{X k} f (k; r, p).
一般地，若随机变量 X 的概率分布由上式给
例 某厂产品不合格率为0.03, 现将产品 装箱, 若要以不小于 90%的概率保证每箱 中至少有 100 个合格品, 则每箱至少应装 多少个产品？
解 设每箱至少应装100 + n 个, 每箱的不 合格品个数为X , 则X ~ B ( 100 + n , 0.03 )
n
由题意 P(X n) P100n (k) 0.9 k 0
解 (1) k = [( n + 1)p ] = [( 5000+ 1)0.001] =5
高中数学选修2-3精品课件12：2.1.2 离散型随机变量的分布列
[跟踪训练] 袋中有 1 个白球和 4 个黑球，每次从中任取一个球，每 次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球次 数 X 的分布列．
解：X 的可能取值为 1,2,3,4,5，则 第 1 次取到白球的概率为 P(X＝1)＝15， 第 2 次取到白球的概率为 P(X＝2)＝45×14＝15， 第 3 次取到白球的概率为 P(X＝3)＝45×34×13＝15， 第 4 次取到白球的概率为 P(X＝4)＝45×34×23×12＝15，
[跟踪训练] 1．设随机变量 ξ 只能取 5,6,7，…，16 这 12 个值，且取每一
个值概率均相等，若 P(ξ<x)＝112，则 x 的取值范围是________． 【解析】 由条件知 P(ξ＝k)＝112，k＝5,6，…，16，
P(ξ<x)＝112，故 5<x≤6. 【答案】 (5,6]
2．设随机变量 X 的分布列 P(X＝i)＝2ki(i＝1,2,3)， 则 P(X≥2)＝________.
题型一 求离散型随机变量的分布列 思考：在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的 概率可以为任意的实数吗？ 提示：不可以．每一个可能值对应的概率为[0,1]中的实数．
典例 1 一个箱子里装有 5 个大小相同的球，有 3 个白球， 2 个红球，从中摸出 2 个球． (1)求摸出的 2 个球中有 1 个白球和 1 个红球的概率； (2)用 X 表示摸出的 2 个球中的白球个数，求 X 的分布列．
典例 2 设随机变量 X 的分布列为 PX＝5k＝ak(k＝ 1,2,3,4,5)． (1)求常数 a 的值； (2)求 PX≥35； (3)求 P110<X<170.
解：题目所给随机变量 X 的分布列为
X
2-2 2-3 离散型随机变量及其分布
k M
⋅C n C N
n − k N − M
, N 均为正整数，
k = 0 ,1 , 2 ,... n ; 其中， 且 n ≤ N ， M ≤ N
n , M,
则称 R.V.X 服从超几何分布.记为X~H（n, M, N） 实例 设某批产品的次品率为 p,对该批产品做无 放回的抽样检查 , 抽到的次品数x服从超几何分 放回 布， X~H（n, M, N）.
X
0
1
⎝1⎠
2
⎝ 2⎠
3
⎝3⎠
⎝4⎠
4
5
⎞ ⎞ pk (0.4)5 ⎛5⎟0.6⋅ 0.44 ⎛5⎞0.62 ⋅ 0.43 ⎛5⎞0.63 ⋅ 0.42 ⎛5⎟0.64 ⋅ 0.4 0.65 ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
例2 按规定, 某种型号电子元件的使 用寿命超过
1500 小时的为一级品 . 已知某一大批产品的一 级 品率为0.2, 现在从中随机地抽查 20只. 问20只元件 中恰有 k 只( k = 0,1,L,20) 一级品的概率是多少 ?
0 1 2 3 4
pk 0.5
0.25
0.125
0.0625
0.0625
2-3 常见离散型随机变量的概率分布
1. 两点分布
设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分 布律为
X pk
0 1− p
1 p
则称 X 服从 (0—1) 分布或两点分布.
实例1 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况.
⎧0, 当e = 正面 , X = X (e ) = ⎨ ⎩ 1, 当e = 反面 .
2. 等可能分布 *
如果随机变量 X 的分布律为 a1 a2L an X 1 1 1 pk L n n n 其中 (ai ≠ a j ), ( i ≠ j ) , 则称 X 服从等可能分布 . 实例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X, 则有
概率论-2-3 常见离散型随机变量的分布
离散型 连续型
随机变量所取的可能值是有限多个或无限 可列个, 叫做离散型随机变量.
随机变量所取的可能值可以连续地充满某个 区间,叫做连续型随机变量.
引入分布的原因
以认识离散随机变量为例, 我们不仅 要知道 X 取哪些值,而且还要知道它 取这些值的概率各是多少,这就需要 分布的概念.有没有分布是区分一般 变量与随机变量的主要标志.
例 某服装商店经理根据以往经验估计每名顾客购买 服装的概率是0.25，在10个顾客中有3个及3个以上顾 客购买服装的概率是多少？最可能有几个顾客购买服 装？
解 设X 表示购买服装的顾客数目，
则 X ~ B(10,0.25)，所以有 3 个及 3 个以上顾客购买服装的概率为
2
P{X 3} 1 P{X k} 2 k0 1 C1k0 (0.25)k (0.75)10k 0.4744 k 0
k 1, 2,
q 1 p
其中，0<p<1，则称X服从参数为p的几何分布，记做
X G( p).
几何分布可作为描述某个试验 “首次成功”的概率模型.
5、超几何分布
如果随机变量X的概率分布为
P{X
k}
CMk
Cnk N M
CNn
(k 0,1, , min(M , n))
其中N,M,n 均为自然数,则称随机变量X服从超几何分 布，记做 X H (M , N, n).
或
X
0
1
pk 1 p
p
则称 X 服从 0-1 分布或两点分布.
例 200件产品中,有190件合格品，10件不合格 品，现从中随机抽取一件，若规定
X
选修2-3离散型随机变量及其分布知识点
离散型随机变量及其分布知识点一：离散型随机变量的相关概念；随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。
若ξ是随机变量，a b ηξ=+，其中a 、b 是常数，则η也是随机变量连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量ξ可能取的值为12i x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅、ξ取每一个值()1,2,i x i =⋅⋅⋅的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 知识点二：离散型随机变量分布列的两个性质；任何随机事件发生的概率都满足:0()1P A ≤≤，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：(1) 01,2,i p i ≥=⋅⋅⋅，；12(2) 1P P ++=特别提醒：对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和即1()()()k k k P x P x P x ξξξ+≥==+=+知识点二：两点分布：若随机变量X 的分布列: 则称X 的分布列为两点分布列.特别提醒：(1)若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1)为成功率.(2)两点分布又称为0-1分布或伯努利分布(3)两点分布列的应用十分广泛,如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等；都可以用两点分布列来研究.知识点三：超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则(),0,1,,min{,},,,.k n kM N MnNC C P X k k m m M n n N M N C --===⋅⋅⋅=≤≤其中称超几何分布列.为超几何分布列，知识点四：离散型随机变量的二项分布；在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是kn k k n n q p C k P -==)(ξ，（0,1,2,3,k =…， p q -=1）于是得到随机变量ξ的概率分布如下：由于k k n knC p q -恰好是二项式展开式： 00111()n n n k k n kn n n n n n p q C p q C p q C p q C p q --+=+++++中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作(,)B n p ξ，其中n ，p 为参数，并记(,,)k k n kn C p q b k n p -=知识点五：离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ，()k p A p =，(), (1)k p A q q p ==-，那么112311231()()()()()()()k k k k k P k P A A A A A P A P A P A P A P A q p ξ---====(0,1,2,k =…，p q -=1)于是得到随机变量ξ的概率分布如下：称这样的随机变量ξ服从几何分布， 记作1(,),0,1,2,,1.k g k p q p k q p -===-其中知识点六：求离散型随机变量分布列的步骤；(1)要确定随机变量ξ的可能取值有哪些.明确取每个值所表示的意义；(2)分清概率类型，计算ξ取得每一个值时的概率（取球、抽取产品等问题还要注意是放回抽样还是不放回抽样；(3)列表对应，给出分布列，并用分布列的性质验证. 几种常见的分布列的求法：(1)取球、投骰子、抽取产品等问题的概率分布，关键是概率的计算.所用方法主要有划归法、数形结合法、对应法等对于取球、抽取产品等问题，还要注意是放回抽样还是不放回抽样.(2)射击问题：若是一人连续射击，且限制在n 次射击中发生k 次，则往往与二项分布联系起来；若是首次命中所需射击的次数，则它服从几何分布，若是多人射击问题，一般利用相互独立事件同时发生的概率进行计算.(3)对于有些问题，它的随机变量的选取与所问问题的关系不是很清楚，此时要仔细审题，明确题中的含义，恰当地选取随机变量，构造模型，进行求解. 知识点六：期望数学期望:则称=ξE +11p x 22p x n n 数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
高中数学选修2-3优质课件：离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量及其分布列1.随机变量(1)定义：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化.像这种随着整结果变化而变化的变量称为鰹壁(2)表示法:随机变量常用字母X，丫，f，〃，…表示.2.离散型随机变量所有取值可以一一列岀的随机变量，称为离散型随机变量.3.分布列的定义若离散型随机变量X可能取的不同值为兀1，兀2，…，5X取每一个值Xi(i=l,29…,兀)的概率P(X=Xi)=p i9以表格的形式表示如下:此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的含鯉4.分布列的性质(1”NO, Z=1,2,3 n1=15.两点分布称分布列为两点分布列•若随机变量X的分布列为一两点分布列，就称X服从两点分布，并称“=P（X=1）_为成功概率.6.超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取〃件，其中恰有X件次品，则P（x=k）= _______ 鱼,疋=0,1,2, •••, m,其中/w=min{M, n}9且MWN, n, M, NwZ.称分布列为超几何分布列•如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X月艮从_超几何分布【冷考龜鰹】离散型随机变量［例1］写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.(1)在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件, 可能含有的次品的件数X是随机变量;⑵一袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个,其中所含白球的个数e是一个随机变量.［解］⑴随机变量X可能的取值为：04,2,3,4. {X=0},表示抽出0件次品；{X=l},表示抽出1件次品；{X=2}f表示抽出2件次品；{X=3},表示抽出3件次品；{X=4},表示抽出的全是次品.(2)随机变量可能的取值为：04,2,3.K=o},表示取出o个白球, 3个黑球; 忙=1},表示取出1个白球, 2个黑球; K=2},表示取出2个白球, 1个黑球; K=3},表示取出3个白球, 0个黑球.这类问题主要考查随机变量的概念，解答过程中要明确随机变量满足的三个特征：（1）可用数来表示；（2）试验之前可以判断其可能出现的所有值；（3）在试验之前不能确定取值.［对点训练］判断下列各个变量是否是随机变量，若是，是否是离散型随机变量?⑴天成书业公司信息台一天接到的咨询电话个数;(2)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张,被抽出卡片的号数;(3)某林场的树木最高达30 m,在此林场中任取一棵树木的高度；(4)体积为27 cm3的正方体的棱长.解：⑴接到的咨询电话的个数可能是0,1,2,3,…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量，并且是离散型随机变量.(2)被抽取的卡片号数可以一一列岀，符合离散型随机变量的定义，是离散型随机变量.(3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30］内的一切值,无法一一列岀，不是离散型随机变量.(4)体积为27 cm3的正方体的棱长为3 cm,为定值，不是随机变量•［例2］设随机变量X的分布列为比=|)=吨=1,2,3,4,5).⑴求常数"的值;(3)⑵求P\X^(1 7)⑶求缶＜Xv討55［解］⑴由P\^=i =必仇=1，2,3,4,5),可知工=》ak=I »丿k=l ' 丿k=\a+2a+3a+4«+5a = l,解得"=在］A k 3\ 3\(2)由⑴可知片X=j=左仇=1，2,3,4,5),所以P\X^^=P\X=^(4)3454+申可+P("1)在+計后p(1 7〕r n f 2)⑶％＜Xv帀=p+P3)+忙沪ii+4+4=在求解有关离散型随机变量性质的题目时，记准以下两条即可1 = 1,2,…，n；n(2)2j?z=l.1=1［对点训练］若离散型随机变量X的分布列为:试求出常数C.解：由离散型随机变量的分布列性质可知: P(X=O)+P(X=1)=1,1亠 2 即9C2-9C+3=1,得C=3或C=y(9C2-C^0,又因为〔3-8CM0,13 1解得所以C=y:型三离散型随机变量的分布列［例3］放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球的盒子中，已知红球个数是绿球个数的2倍，黄球个数是绿球个数的一半.现从中随机取出一个小球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得一1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X的分布列.［解］设黄球有«个，则由题意知绿球有2n个，红球有4〃个，球的总数为7〃个.X的可能取值为一1,0,1.In 2所以从该盒中取出一球所得分数X的分布列为-101P 271747n 1 4n 4［类题通法］求离散型随机变量的分布列的步骤(1)明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义;(2)利用概率的有关知识求出随机变量取每个值的概率;(3)按规范形式写岀分布列.［对点训练］某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，型血的有15人.现从中抽1人，其血型为随机变量X,求X的分布列.题型四超几何分布的应用解：将O, A, B, 4B四种血型分别编号为1,2,3,4,则X的可能取值为1,2,3,4.De C；o 2 C%4P(X-l)-c i -^, P(X-2)-c i s-15，P(X=3)=^=余’P(X=4)=^=l故其分布列为［例4］在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张, 每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖品.(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的分布列；(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张,①求顾客乙中奖的概率;②设顾客乙获得的奖品总价值为y元，求丫的分布列.题型四超几何分布的应用［解］（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X 的取值只有0和1两种情况.cl 4 22 3则P（X=O）=I—P（X=I）=I—因此X的分布列为(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖.故所求概率P=虫苧②Y 的所有可能取值为0,10,20,50,60,且 15 1 45_3‘ C}CJ 6 2 p(Y=50)=^=-=-c{cl 3 1p （y=io ）=^^= 5o 18_2 45=5, 尸(丫=20)=琴目= 5o 3 1 45一15’P(Y=60)=~^2^=5o45 15*此随机变量F的分布列为［类题通法］解决此类问题，先分析随机变量是否满足超几何分布,若满足超几何分布，则建立超几何分布列的组合关系式，求出随机变量取相应值的概率；否则直接利用概率公式和计数原理求随机变量取相应值的概率.在解题中不应拘泥于某一特定的类型.［对点训练］从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回的任取3 件，求取得次品数为X的分布列.解：设随机变量X表示取出次品的个数，则X服从超几何分布，其中N =15, M=2, w=3, X可能的取值为0丄2湘应的概率依次为所以随机变量X的分布列为【條対反績】1.袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码,任意抽取2个球，设2个球号码之和为y,则丿所有可能值的个数是（）A. 25B. 10C. 7D. 6解析：y的可自老取值为3,4,5,6,7,8,9,共7个.答案：c2. 一批产品共10件，次品率为20%,从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为解析：由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为答案：BP(X=1)=^^=5o 16 45*28 A -- 入4517 D 453.某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X的分布列如下表,其中a, b, c成等差数列，且c=ab,则这名运动员得3分的概率是 ____________解析：由题中条件，知2b=a+c f c=ab,再由分布列的性质, 知a+方+c = l,且a, b, c都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得"=£，方=扌’c=£,所以得3分的概率是”.答案応尖向上的概率为0.8,随机变量X 的分布列为 解析：随机变量X 服从两点分布，KP(X=0)+P(X=l)=l, 由 P(X=l)=0.8,可得 P(X=0) = l-0-8=0.2,故可写出 X 的分布列・ 答案:5.已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X 表示抽取的2件 产品中的次品数，求X 的分布列.4.在掷一枚图钉的随机试验中，令％=1(针尖向上), 0(针尖向下)，如果针解：由题意知，X服从两点分布，p(x=0)=^F=^, ~ 99 1所以P(X=1) = 1—硕=硕・所以随机变量X的分布列为。
最新人教版高中数学选修2-3《离散型随机变量的均值与方差》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一、离散型随机变量的均值 若离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n 则称EX=x 1p 1+x 2p 2+…+x i p i +…+x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望.随机变量的均值反映的是离散型随机变量的平均取值水平.由定义可知，离散型随机变量的均值与它本身有相同的单位.知识拓展 上述问题推广到一般有：假设随机试验进行了ｎ次，根据X 的分布列，在ｎ次试验中，有p 1n 次出现了x 1，p 2n 次出现了x 2，…，p n n 次出现了x n ，在ｎ次试验中，X 出现的总次数为p 1nx 1＋p 2nx 2＋…＋p n nx n .因此ｎ次试验中，X 出现的平均值=nnx p nx p nx p nn i +++ 221=EX ，即EX=p 1x 1+p 2x 2+…+p n x n .辨析比较 随机变量的均值与样本的平均值的关系：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化.对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值. 二、随机变量函数的数学期望对随机变量X ，若Y=ａX ＋ｂ，其中ａ，ｂ是常数，则Y 是随机变量，且有E(aX+b)=aEX+b.对上述公式，特别地：(1)当a=0时，E （b ）=b ，即常数的数学期望就是这个常数本身；(2)当a=1时，E （X ＋b ）=EX ＋b ，即随机变量X 与常数之和的期望等于X 的期望与这个常数的和； (3)当b=0时，E(aX)=aEX ，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.三、常见的离散型随机变量的均值1.两点分布：若X 服从两点分布，则EX=p.事实上，假设在一次试验中某事件发生的概率为p ，X 是一次试验中此事件发生的次数，令q=1-p ，则有P （X=0）=q ，P （X=1）=p ，可得: EX=0×q ＋1×p=p.2.二项分布：若随机变量X 服从二项分布，即X —B （n,p ），则EX=np.在一次试验中该事件平均发生ｐ次，我们可以猜想，在n 次独立重复试验中，该事件平均发生ｎｐ次，也就是若X —B(n,p)，则Eξ=np.这就是X 的二项分布的期望的特点. 四、离散型随机变量的方差设离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n 则（x i -EX ）2描述了x i (i=1,2,…,n)相对于均值EX 的偏离程度，而DX=∑=-ni iEX x12)(p i为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值EX 的平均偏离程度.我们称DX 为随机变量X 的方差.其算术平方根DX 为随机变量X 的标准差，记作σX.随机变量X 的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动、集中与离散的程度.DX 越小，稳定性越高，波动越小.显然DX≥0，校准差与随机变量本身有相同单位. 辨析比较 随机变量的方差即为总体方差，它是一个常数，不随着抽样样本而客观存在；样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的.对于简单随机样本，随着样本容易的增加，样本方差越来越接近于总体方差.联想发散 方差是随机变量另一个重要的数字特征，它表现了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散的程度，因此二者的关系是十分密切的.由方差的定义DX=∑=-ni iEX x12)(p i 可知，计算方差DX 必须先求均值EX ，并且由此定义进一步可得到公式DX=EX 2-(EX)2. 随机变量函数的方差当a ，b 均为常数时，随机变量函数η=aξ+b 的方差D(η)=D(aξ+b)=a 2Dξ. 特别地：(1)当a=0时，D （b ）=0，即常数的方差等于0；(2)当a=1时，D(ξ+b)=Dξ，即随机变量与常数之积的方差等于这个随机变量的方差本身； (3)当b=0时，D(aξ)=a 2Dξ，即随机变量与常数之积的方差，等于这常数的平方与这个随机变量方差的乘积.五、两点分布及二项分布的方差1.两点分布：若X 服从两点分布，则DX=p(1-p).证明：由于X 服从两点分布，即P(X=0)=1-p,P(X=1)=p ， ∴EX=p,EX 2=0×(1-p)+1×p=p, ∴DX=EX 2-(EX)2=p-p 2=p(1-p).2.二项分布：若X —B(n,p),则DX=np(1-p).证明：由X —B(n,p)，令q=1-p,则P(x=i)=i n X p i q n-i，∴EX 2=∑=-ni in i qp i22=∑∑∑==--=-=+-ni ni in iin ini i i qip qp i i 0)1()1(+EX=n(n-1)p2)2()2(2222-+--=--∑n n i ni i n qpC+EX=n(n-1)p2∑-=-22n j i n Cp j q (n-2)-j +EX=n(n-1)p 2(p+q)n-2+EX=n(n-1)p 2+EX=n(n-1)p 2+np. ∴DX=EX 2-(EX)2=n(n-1)p 2+np-np 2=np-np 2=np(1-p). 故DX=np(1-p). 问题·探究问题1 如果X —B(n,p)，你能求出x 的均值吗？思路:如果X —B(n,p)，则有P(x=k)=k n C p k(1-p)n-k ，由均值定义有EX=∑=nk k kn p kC0(1-p)n-k ，又由组合数性质有k k n C =n 11--k n C .EX=∑=--nk k n npC111(1-p)n-1-(k-1)=k n k nk k n p p Cnp--=--∑111)1(=np.探究:均值这一概率是建立在分布列的基础之上的，分布列中随机变量X 的一切可能值x i 与对应的概率P （ξ=x i ）的乘积的和就是随机变量X 的均值.离散型随机变量的分布列和均值虽然都是从整体和全局上刻画随机变量的，但二者大有不同，分布列只给出了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量取值的平均水平. 问题2 移动公司在某地区共有客户3 000人，若该地区的办事处准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取.假设任一客户去领奖的概率为4%.问该办事处能否向每一位客户都发出领奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，办事处至少应准备多少份礼品？思路:可能来多少人，是一个随机变量，由于每人是否去领奖，相互间是独立的，因而随机变量服从二项分布，用数学期望来反映平均领奖人数，即能说明是否可行.探究:如问题2，我们可以设来领奖的人数为一个随机变量ξ=k(k=0,1,2,…,3 000)，所以P(ξ=k )=kC 3000(0.04)k (1-0.04)3 000-k ，则可以得出ξ—(3 000,0.04)，那么Eξ=3 000×0.04=120（人）＞100（人）.所以办事处不能向每一位客户都发出领奖邀请.若能使每一位领奖人都得到礼品，办事处至少应准备120份礼品. 典题·热题例1某份英语竞赛试题共有100道选择题，每题有4个选项，只有一个答案正确.选对得1分，否则得0分.学生甲会其中的20题，学生乙会其中的80题，不会的均随机选择.求甲、乙在这次竞赛中得分的期望.思路分析： 数学期望反映了随机变量取值的平均水平，要求数学期望首先要得到分布列，由题意可知，本题为二项分布问题.解：设甲和乙不会的题的得分分别为随机变量X 和Y ，由题意知X —B(80,0.25)，Y —B(20,0.25)，∴EX=80×0.25=20,EY=20×0.25=5.故甲、乙在这次竞赛中得分的期望分别为40分和85分. 拓展延伸设15 000件产品中有1 000件次品，从中抽取150件进行检查，则查得次品数的数学期望为（ ）A.15B.10C.20D.5 思路分析：次品率为P=151150001000 ，且该题服从二项分布，由公式，得EX=nP=150×151=10.故选B. 答案：B方法归纳 通常情况下，在ｎ次独立重复试验中事件发生的次数X 服从二项分布，直接代入公式即可求得期望.例2（2005湖南高考）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值. （1）求ξ的分布及数学期望；（2）记“函数f(x)=x 2-3ξx ＋1在区间［2，＋∞)上单调递增”为事件A ，求事件A 的概率. 思路分析： （1）写出ξ的可能取值，利用相互独立事件的概率公式求出P （ξ=k ）（ｋ=1,3），写出ξ的分布列，求出Eξ.（2）利用二次函数的单调性求解. 解：（1）分别记“客人游览甲景点”“客人游览乙景点”“客人游览丙景点”.为事件A 1，A 2，A 3.由已知A 1，A 2，A 3相互独立，P （A 1）=0.4，P （A 2）=0.5，P （A 3）=0.6. 客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3.相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3.P （ξ=3）=P （A 1·A 2·A 3）+P （321A A A ∙∙）=P （A 1）P （A 2）P （A 3）+P （1A ）P （2A ）P （3A ）=2×0.4×0.5×0.6=0.24， P （ξ=1）=1-0.24=0.76. 所以ξ的分布列为Ξ 1 3 P0.76 0.24Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48. （2）解法一：因为f(x)=(x-23ξ)2+1-49ξ2, 所以函数f(x)=x 2-3ξx+1在区间［23ξ,+∞）上单调递增，要使f(x)在［2,+∞)上单调递增，当且仅当23ξ≤2,即ξ≤34.从而P(A)=P(ξ≤34)=P(ξ=1)=0.76.解法二：ξ的可能取值为1，3.当ξ=1时，函数f(x)=x 2-3x+1在区间［2,+∞)上单调递增， 当ξ=3时，函数f(x)=x 2-9x+1在区间［2,+∞)上不单调递增. 所以P(A)=P(ξ=1)=0.76.深化升华 本题主要考查离散型随机变量分布列、数学期望和事件的概率等问题.一般解法是先由题意求出分布列，再由随机变量的数学期望公式代入求解即可.这一知识点应是未来高考中的一个热点.例3（2005全国高考）9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑里的种子都没发芽，则这个坑需要补种，假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望.（精确到0.01）思路分析： 首先要求出单个坑不需要补种的概率，然后三个坑认为是三次独立重复试验，然后利用公式求解.解：因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为(1-0.5)3=81， 所以甲坑不需要补种的概率为1-8781=. 3个坑都不需要补种的概率3003)87()81(⨯⨯C =0.670;恰有1个坑需要补种的概率为213)87(81⨯⨯C =0.287;恰有2个坑需要补种的概率为87)81(223⨯⨯C 8=0.041;3个坑都需要补种的概率为0333)87()81(⨯⨯C =0.002.补种费用ξ的分布列为Ξ 0 10 20 30 P 0.670 0.287 0.041 0.002ξ的数学期望为Eξ=0×0.670+10×0.287+20×0.041+30×0.002=3.75.方法归纳 本题主要考查计算随机事件发生概率的能力，包括互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查随机变量、数学期望等知识以及利用概率知识解决实际问题的能力.本题解决的关键有两点：一是单坑是否需要补种的概率；二是独立重复试验.首先，一个坑内的3粒种子是否发芽是独立重复试验，据此可得到单坑需要补种的概率；然后，3个坑是否需要补种也是独立重复试验，据此可得需要补种的坑的数目的分布列.例4交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有完全相同的球10个，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和.求抽奖人获利的数学期望.思路分析： 抽到的2个球上的钱数之和ξ是个随机变量，其中每一个ξ取值时所代表的随机事件的概率值是容易获得的，本题的目标是求参加摸奖的人获利η的数学期望.由ξ与η的关系η=ξ-5，利用公式Eη=Eξ-5可得.解：设ξ为抽到的2个球上的钱数之和，则ξ的取值如下： ξ=2（抽到2个1元），ξ=6（抽到1个1元,1个5元），ξ=10（抽到2个5元）.所以，由题意：P(ξ=2)=452821028=C C ，P(ξ=6)=45162101218=C C C , P(ξ=10)=45121022=C C ，Eξ=2×4516245110451664528=⨯+⨯+，又设η为抽奖者获利可能值，则η=ξ-5. 所以抽奖者获利的期望为：Eη=Eξ-5=57545162-=-=-1.4. 误区警示 要分清是谁获利，不能忽视了条件是先交5元钱才能参加这一抽奖.因此，不能只计算Eξ，最终Eη的结果出现负值，说明摸奖者若重复这种抽奖，平均每摸一次要亏1.4元.例5甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ξ，η，ξ和η的分布列如下：Ξ 0 1 2P106101 103η 012P105 103 102 试对这两名工人的技术水平进行比较.思路分析：一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望；二是要看出次品数的波动情况，即方差的大小.解：工人甲生产出次品数ξ的期望和方差分别为： Eξ=0×106+1×101+2×103=0.7，Dξ=(0-0.7)2×106+(1-0.7)2×101+(2-0.7)2×103=0.81； 工人乙生产出次品数ξ的期望和方差分别为：Eξ=0×105+1×103+2×102=0.7; Dξ=(0-0.7)2×105+(1-0.7)2×103+(2-0.7)2×102=0.61.由Eξ=Eη知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但Dξ>Dη，可见乙的技术比较稳定.深化升华 均值仅体现了随机变量取值的平均大小，但有时仅知道均值的大小还不够.如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值周围变化，即计算方差.方差大说明随机变量取值较分散，方差小说明取值比较集中与稳定.即不要误认为均值相等时，水平就一样好，还要看一下相对于均值的偏离程度，也就是看哪一个相对稳定.例6设一次试验的成功率为ｐ，进行100次独立重复试验，求当ｐ为何值时，成功次数的标准差的值最大，并求最大值.思路分析： 解决本题的关键就是根据题目所给出的条件，找出几个变量之间的关系. 解：设成功次数为随机变量ξ，由题意可知ξ—B(100,p). 那么σξ=)1(100p p D -=ξ, 即Dξ=100p(1-p)=100p-100p 2.把上式看作一个以ｐ为自变量的一元二次函数，易知当p=21时，Dξ有最大值为25.所以最大ξD 值为5. 故当21时，成功次数的标准差的最大值为5. 方法归纳 对求离散型随机变量的均值与方差的综合问题，首先应仔细地分析题意，当概率分布是一些熟知的类型（如两点分布、二项分布等）时，应全面地分析各个随机变量所包含的各种事件，并准确判断各事件的相互关系，再由此求出各随机变量相应的概率.本例中正是利用二项分布快速地得到方差，从而建立了关于ｐ的目标函数，进而求其最值. 此级HS5的大图若接排前加，若另面则不加。
2.3常用的离散型分布
P { X m } q k 1 p q m q j 1 p q m
k m 1
j 1
同理 有
P{Xmn}qmn P{Xn}qn 于是得
P { X m n |X m } q q m m n q n P { X n } 说明
pn(注意这与试验的次数n有关) 如果n时 npn (0为常
数) 则对任意给定的k 有 k l n b i ( k ; n m , p n ) k ! e
( 2 6 3 )
说明
由该定理 我们可以将二项分布用泊松分布来近似 当二
项分布b(n p)的参数n很大 而p很小时 可以将它用参数为
说明
设X表 示 投 掷 一 枚 均 匀 的 骰 子 出 现 的 点 数 此 时 {1 2
6} 令
X()
则 X服 从 {1 2 6}上 的 均 匀 分 布
四、二项分布
二项分布
如 果 一 个 随 机 变 量 X的 概 率 分 布 为
P {Xk}C k npk(1p)nk k0 1 2, n
式(254)通常称为几何分布的无记忆性 意指几何分布对 过去的m次失败的信息在后面的计算中被遗忘了
六、超几何分布
超几何分布
一个袋子中共装有N个球 其中N1个白球 N2个黑球 从中 不放回地抽取n个球 X表示取到白球的数目 那么X的分布为
P { X k } C k N 1 C n N 2 k ,0 k n C n N
如果X只取0 1两个值 其概率分布为
P{X1}p P{X0}1p 0p1
(239)
则称X服从参数为p的01分布 也称X是参数为p的伯努利随机
2.3常用的离散型分布[1]1
![2.3常用的离散型分布[1]1](https://img.taocdn.com/s3/m/7fbc46176c175f0e7cd1373d.png)
1 EX xi x ; n i 1
n
1 2 DX ( xi x ) . n i 1
n
概率论与数理统计
四.
二项分布Βιβλιοθήκη 在n 重Bernoulli 试验中,设每次试验中事件A发 生的概率为p(0<p<1),记 X 是n 次试验中事件A发 生的次数 , 那么事件 { X k} 即“在n次试验中事 件A恰好发生k次”,则由Bernoulli概型可知 k P{X k} Cn pk (1 p)nk , k 0,1,2,, n. 定义: 若一个随机变量 X 的概率分布为 k P{X k} Cn pk (1 p)nk , k 0,1,2,, n. 则称X服从参数为n, p 的二项分布.记作 X b(n, p).
(0.001 (0.999) )
5
4995
0.1756
概率论与数理统计
(2) 令X 表示命中次数,则 X ~ B(5000,0.001)
P( X 1) 1 P( X 1) 1 P( X 0)
1 C
0 5000
(0.001) (0.999)
0
5000
0.9934 .
, 0 k n.
定义: 若随机变量X的概率分布为
P{ X k} C C C
k N1 nk N2 n N
, 0 k n.
则称随机变量X服从超几何分布.
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概率论与数理统计
注: 若X服从超几何分布,则
nN1 EX ; N nN1 N1 N n DX (1 )( ); N N N 1
P{X 2} C (0.05) (0.95)
2.3常用的离散分布
nk
对于固定的
n,
当N
,
N1
,
N2
,且 N1
N
p时
PX k
C C k nk N1 N2
P
X k
C C k 100k 80 920
C 100 1000
80
920
条草鱼 条鲢鱼
k 0,1,2,3,...,80 ,81 ,82 ,..., 100
100
规定
C 81 80
C 82 80
...
C 100 80
0
即当k > 80时, C8k0 0
例 一个池塘中有1000条鱼其, 中有930条草鱼,
n
x nxn1
n1
n1
n1
n1
x
(1 x)2
'
1 x (1 x)3
X 1 2 3 ... n ...
P p pq pq2 ... pqn1 ...
几何分布有性质：对任意自然数m，n，有
PX m n X m PX n
证 PX m n X m P X m n I X m
共 N N1N 2个
可以证明, 超几何分布 的数学期望和方差分别为
EX n N1 N
DX n N1 N2 N n N N N 1
N1
N2
k 个 n k 个
n个
设袋中有N个1 红球, N2 个黑球, 从中取 n次, n N1
n N2 每次取一个球, X 表示取到的红球个数.
(1)无返回
p
n1
n qn1
p
1 (1 q)2
p
1 p2
1 p
n1
EX 1 p
' ' x 1时，
人教版高中数学版选修2-3公开课离散型随机变量的分布列 (共22张PPT)教育课件
它的分布列为
X
0
1
P
C50C935 C3
100
C51C925 C3
100
2
C52C915 C3
100
3
C53C905 C3
100
2、超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中， 任取n件，其中恰有X件产品数，则事件{X=k} 发生的概率为
P(X
k)
C
k M
•
C
nk N M
C
n N
,
k
0,1, 2,
1、在射击的随机试验中，令X= 0，未射中， 1，射中
如果射中的概率为0.8，求随机变量X的分布 列。
2、设某项试验的成功率是失败率的2倍，用
随机变量 去描述1次试验的成功次数，则失
败率p等于（ C ）
1
1
2
A.0
B. 2 C. 3 D. 3
例2：在含有5件次品的100件产品中，任取3 件，试求：
例1：在掷一枚图钉的随机试验中,令
X
1, 针尖向上 0, 针尖向下
如果针尖向上的概率为p,试写出随机变量X的分布列
解:根据分布列的性质,针尖向下的概率是(1—p)，于是， 随机变量X的分布列是：
X
0
1
P
1—p
p
1、两点分布列
象上面这样的分布列称为两点分布列。如果随 机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分 布，而称p=P(X=1)为成功概率。
人的 一生说 白了， 也就是 三万余 天，贫 穷与富 贵，都 是一种 生活境 遇。懂 得爱自 己的人， 对生活 从来就 没有过 高的奢 望，只 是对生 存的现 状欣然 接受。 漠漠红 尘，芸 芸众生皆 是客， 时光深 处，流 年似水 ，转瞬 间，光 阴就会 老去， 留在心 头的， 只是弥 留在时光 深处的 无边落 寞。轻 拥沧桑 ，淡看 流年， 掬一捧 岁月， 握一份 懂得， 红尘纷 扰，我自 心安； 书一笔 清远， 盈一抹 恬淡， 浮华三千 ，只做 自己；人 间有情 ，心中有 爱，携一米 阳光， 微笑向暖 。
2.3常用的离散型分布
(k 0,1, 2,..., n)
其中0 p 1, 则称X服从参数为n, p的二项分布, 记为 X ~ b(n, p). 注 二项分布的试验背景是n重Bernoulli试验模型;
其中n是试验独立重复的次数, p是每一次基本试验“成功”的概率. 随机变量X指n次试验中“成功”出现的次数.
当n=1时，P(X=k)=pk(1-p)1-k, k=0,1，此时X服从
六. 超几何分布 1 引例 一个袋子中装有N个球，其中N1个白 球，N2个黑球（N=N1+N2），从中不放回地抽取 n个球，X表示取到白球数目，则
P{X k} C C
k N1
n k N2
/ C (0 k n)
n N
规定C 0(b a)
b a
称X服从超几何 分布
注：超几何分布的极限分布是二项分布。即
EX=(x1+x2+…+xn)/n x
1 n 2 D( X ) ( xi x ) n i 1
五.几何分布
1. 定义 若X的概率分布为：
k 1
P( X k ) (1 p)
p, k 1, 2,,
则称 X 服从参数为p 的几何分布。 注：无记忆性： P{X>m+n|X>m}= P{X>n} 2. EX=1/p DX=(1-p)/p2
4. Possion定理 设当 n , npn 0, 则对任意k
k! k 0,1, 2, Poisson定理说明若X ~ B( n, p), 则当n 较大， p 较小, 而 np 适中, 则可以用近似公式 k k k nk Cn p (1 p ) e , k 0,1, 2, k!
2-3常见的离散型分布
是确定最小的 N , 使得 P{ X N } 0.99.
由泊松定理，X 近似服从参数 =300 0.01 3的泊
松分布,故 P{ X N } N 3k e3 , k0 k!
故有
N 3k e3 0.99,
k0 k!
查表可求得满足此式最 小的N是8. 故至少需配置8
个工人,才干确保设备发生故障但不能及时维修旳 概率不大于0.01.
P{ X 1} 1 P{ X 0} 1 0.018316 0.9817
启示：小概率事件虽不易发生，但反复次数
多了，就成大约率事件.
6. 几何分布
（1）概率分布 记作X ~ G( p )
P{ X k} qk1 p, k 1, 2, (q 1 p)
（2）应用背景：描述伯努利试验序列中，
解 设X为800个纺锭在这段时间内发生断头的次数,
则X ~ b(800, 0.005),它近似服从参数 =800 0.005 4的泊
松分布, 故
2
2
P{0 X 2} P{ X k} b(k;800, 0.005)
k0
k0
2 4k e4 0.2381
k0 k !
P{ X 2} 1 P{0 X 2} 1 0.2381 0.7619
1 n
,i
1, 2,
n.
P{ X
xi }
P{i }
1 n
,
i 1, 2, n.
实例 抛掷骰子并记出现旳点数为随机变量 X,
则有 X 1 2 3 4 5 6
1 1 11 11
P 6 6 66 66
4. 二项分布
（1）概率分布
记作X ~ b(n, p) (0 p 1)
P{ X
新人教选修2-3第2章第3节离散型随机变量的分布列
C1 15 P4＝C1 ，故其分布列为 45 X P 1 2 9 2 4 15 3 8 45 4 1 3
高考连接：
1.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球， 则所取的3个球中至少有一个白球的概率是 2.一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片， 分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大 小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6. 现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x； 再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y， 记随机变量Y=x+y，求Y的分布列.
例1：在掷一枚图钉的随机试验中， 1, 针尖向上； 令X= 0，针尖向下. 如果针尖向上的概率为p, 试写出随机 变量X 的分布列.
[例 2] 袋内有 5 个白球，6 个红球，从中摸出两球，记
0 X＝ 1
两球全红 .求 X 的分布列． 两球非全红
例3：在含有5件次品的100件产品中，任取3件，求： （1）取到的次品数X的分布列； （2）至少取到一件次品的概率.
例4：在8个大小相同的球中，有2个黑球， 6个白球，现从中任取3个球，求取出的球 中白球个数X的分布列.
练习：从某医院的3名医生，2名护士中随机选 派2人参加抗洪抢险救灾，设其中医生的人数 为X，求随机变量X的分布列．
[解析] 依题意可知随机变量 X 服从超几何分布，所以
k 2－k C3 C2 P(X＝k)＝ C2 (k＝0,1,2)． 5 0 2 C3 C2 1 P(X＝0)＝ 2 ＝ ＝0.1， C5 10 1 1 C3 C2 6 P(X＝1)＝ 2 ＝ ＝0.6， C5 10 2 0 C3 C2 3 P(X＝2)＝ 2 ＝ ＝0.3(或 P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X C5 10
高二数学选修2-3离散型随机变量及其分布列(2)_ppt
6
6
12 34
1
1
1
1
P(6)1 ξ的分布列
6
56
1
1
形式 P 6
6
6
6
6
6
该表不仅列出了随机变量 的所有取值． ξ的分布表
而且列出了 的每一个取值的概率．
建构定义
1.定义:概率分布（ ξ分布列与分布表）
设离散型随机变量ξ可能取的值为 x1,x2,x3, ,xi
ξ取每一个值 xi(i1,2, )的概率 P(xi)pi
（3）会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布；
新课导入
对于一个随机试验，仅仅知道试验的可能结果是不
够的，还要能把握每一个结果发生的概率.
引例：抛掷一枚骰子，所得的点数 有哪些值？ 取
每个值的概率是多少？
解： 的取值有1、2、3、4、5、6
则 P(1)1
6
P(2)1
6
P(3)1
6
列成 表的
P(4)1 P(5)1
1
2
3
4
1
P
6
1
1
p
3
6
则 p 的值为 1 ．
4.设随机变量
则 a 的值为
3
的分布列为
27
P(
i)a13i
,
i
1,2,3
13
．
1
0
1
5.设随机变量
则 q （
A、1
的分布为
D
B、1
）
2 2
C、
1
P
2 2
1 2
D、
1 2q 1 2
2
q2
6.设随机变量 只能取5、6、7、···、16这12个值，
人教版数学高二选修2-3讲义离散型随机变量的分布列
2.1.2离散型随机变量的分布列1．理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念与性质．2．会求出某些简单的离散型随机变量的分布列．(重点)3．理解两点分布和超几何分布及其推导过程，并能简单的运用．(难点)[基础·初探]教材整理1离散型随机变量的分布列阅读教材P46～P47例1上面倒数第二行，完成下列问题．1．定义一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X 取每一个值x i(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝x i)＝p i，以表格的形式表示如下：X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n的概率分布列，简称为的分布列．为了简单起见，也用等式P(X＝x i)＝p i，i＝1,2，…，n表示X的分布列．2．性质(1)p i≥0，i＝1,2，…，n；(2)i＝1np i＝1.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．()(2)离散型随机变量的分布列的每个随机变量取值对应概率都相等．()(3)在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.()【解析】(1)×因为在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应随机事件的概率均在[0,1]范围内．(2)×因为分布列中的每个随机变量能代表的随机事件，并非都是等可能发生的事件．(3)√由分布列的性质可知，该说法正确．【答案】(1)×(2)×(3)√2．随机变量ξ的分布列为：则ξ【解析】P(ξ为奇数)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝215＋845＋29＝2445＝815.【答案】8 15教材整理2两个特殊分布阅读教材P47例1上面倒数第一行～P49，完成下列问题．1．两点分布若随机变量X并称p＝P(X ＝1)为成功概率．2．超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{}M，n，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.PC 0M C n －0N －MC n NC 1M C n －1N －MC n N…C m M C n －mN －MC n N布．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)随机变量X 只取两个值的分布是两点分布．( )(2)新生儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品，可用两点分布研究．( )(3)从3本物理书和5本数学书中选出3本，记选出的数学书为X 本，则X 服从超几何分布．( )【解析】 (1)× 只有随机变量取0或1的分布才是两点分布． (2)√ 根据两点分布的概念知，该说法正确．(3)√ X 的可能取值为1,2,3，可求得P (X ＝k )＝C k 5C 3－k3C 38(k ＝0,1,2,3)，是超几何分布．【答案】 (1)× (2)√ (3)√2．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤ξ≤53＝________.【解析】 设二级品有k 个，∴一级品有2k 个，三级品有k 2个，总数为7k 2个． ∴分布列为ξ 1 2 3 P472717P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤ξ≤53＝P (ξ＝1)＝47. 【答案】 473．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝________.【导学号：29472048】【解析】P(X＝3)＝C35C15C410＝521.【答案】521[小组合作型]分布列及其性质的应用设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝ia(i＝1,2,3,4)，求：(1)P(X＝1或X＝2)；(2)P⎝⎛⎭⎪⎫12<X<72.【精彩点拨】先由分布列的性质求a，再根据X＝1或X＝2，12<X<72的含义，利用分布列求概率．【自主解答】(1)∵∑i＝14p i＝1a＋2a＋3a＋4a＝1，∴a＝10，则P(X＝1或X＝2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝110＋210＝310.(2)由a＝10，得P⎝⎛⎭⎪⎫12<X<72＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝110＋210＋310＝35.利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题：(1)X的各个取值表示的事件是互斥的．(2)不仅要注意i＝1np i＝1，而且要注意p i≥0，i＝1,2，…，n.[再练一题]1．若离散型随机变量X的分布列为：X 0 1P 4a－13a2＋a求常数a【解】由分布列的性质可知：3a2＋a＋4a－1＝1，即3a2＋5a－2＝0，解得a＝13或a＝－2，又因为4a－1>0，即a>14，故a≠－2.所以a＝13，此时4a－1＝13，3a2＋a＝23.所以随机变量X的分布列为：X 0 1P1323求离散型随机变量的分布列口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X表示取出的最大号码，求X的分布列．【精彩点拨】X的可能取值为3,4,5,6，是离散型随机变量．可以利用组合数公式与古典概型概率公式求各种取值的概率．【自主解答】随机变量X的可能取值为3,4,5,6.从袋中随机取3个球，包含的基本事件总数为C36，事件“X＝3”包含的基本事件总数为C33，事件“X＝4”包含的基本事件总数为C11C23，事件“X＝5”包含的基本事件总数为C11C24，事件“X＝6”包含的基本事件总数为C11C25.从而有P(X＝3)＝C33C36＝120，P(X＝4)＝C11C23C36＝320，P(X＝5)＝C11C24C36＝310，P(X＝6)＝C11C25C36＝12，所以随机变量X的分布列为X 345 6P 120320310121．求离散型随机变量的分布列的步骤(1)找出随机变量ξ的所有可能的取值x i(i＝1,2，…，n)，以及ξ取每个值的意义；(2)求出取每一个值的概率P(ξ＝x i)＝p i；(3)列出表格．2．求离散型随机变量分布列时应注意的问题(1)确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率．(2)在求离散型随机变量ξ的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可以验证分布列是否正确．[再练一题]2．将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列．【解】将一颗骰子连掷两次共出现6×6＝36种等可能的基本事件，其最大点数ξ可能取的值为1,2,3,4,5,6.P(ξ＝1)＝1 36，ξ＝2包含三个基本事件(1,2)，(2,1)，(2,2)(其中(x，y)表示第一枚骰子点数为x，第二枚骰子点数为y)，所以P(ξ＝2)＝336＝112.同理可求得P(ξ＝3)＝536，P(ξ＝4)＝736，P(ξ＝5)＝14，P(ξ＝6)＝1136，所以ξ的分布列为ξ12345 6P 136112536736141136两点分布与超几何分布探究1利用随机变量研究一类问题，如抽取的奖券是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些有什么共同点？【提示】这些问题的共同点是随机试验只有两个可能的结果．定义一个随机变量，使其中一个结果对应于1，另一个结果对应于0，即得到服从两点分布的随机变量．探究2只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？【提示】不一定．如随机变量X的分布列由下表给出X 2 5P 0.30.7X探究3在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X是否服从超几何分布？超几何分布适合解决什么样的概率问题？【提示】随机变量X服从超几何分布，超几何分布适合解决从一个总体(共有N个个体)内含有两种不同事物A(M个)、B(N—M个)，任取n个，其中恰有X 个A的概率分布问题．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的分布列； (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值为Y 元，求Y 的分布列．【精彩点拨】 (1)从10张奖券中抽取1张，其结果有中奖和不中奖两种，故X ～(0,1)．(2)从10张奖券中任意抽取2张，其中含有中奖的奖券的张数X (X ＝1,2)服从超几何分布．【自主解答】 (1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X 的取值只有0和1两种情况．P (X ＝1)＝C 14C 110＝410＝25，则P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)＝1－25＝35.因此X 的分布列为X 0 1 P3525(2)2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．故所求概率P ＝C 14C 16＋C 24C 06C 210＝3045＝23.②Y 的所有可能取值为0,10,20,50,60，且P (Y ＝0)＝C 04C 26C 210＝1545＝13，P (Y ＝10)＝C 13C 16C 210＝1845＝25，P (Y ＝20)＝C 23C 06C 210＝345＝115，P (Y ＝50)＝C 11C 16C 210＝645＝215，P (Y ＝60)＝C 11C 13C 210＝345＝115.因此随机变量Y 的分布列为Y 010205060P 13251152151151．两点分布的几个特点(1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的．(2)由对立事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))．2．解决超几何分布问题的两个关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．(2)超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．[再练一题]3．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的概率分布；(2)他能及格的概率.【导学号：29472049】【解】(1)设抽到他能背诵的课文的数量为X，则P(X＝r)＝C r6C3－r4C310(r＝0,1,2,3)．所以P(X＝0)＝C06C34C310＝130，P(X＝1)＝C16C24C310＝310，P(X＝2)＝C26C14C310＝12，P(X＝3)＝C36C04C310＝16.所以X的概率分布为X 012 3P 1303101216(2)他能及格的概率P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3) ＝12＋16＝23.1．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝i )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫13i，i ＝1,2,3，则a 的值为( ) A ．1 B.913 C.2713 D.1113【解析】 由分布列的性质可知：a ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋19＋127＝1，解得a ＝2713. 【答案】 C2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P (ξ＝0)等于( )【导学号：29472050】A ．0 B.13 C.12 D.23【解析】 设P (ξ＝1)＝p ，则P (ξ＝0)＝1－p . 依题意知，p ＝2(1－p )，解得p ＝23. 故P (ξ＝0)＝1－p ＝13. 【答案】 B3．设随机变量ξ的可能取值为5,6,7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P (ξ>8)＝________.【解析】 依题意有P (ξ>8)＝112×8＝23. 【答案】 234．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的分布列为________．高中数学-打印版精心校对完整版【解析】 P (ξ＝0)＝C 03C 22C 25＝110，P (ξ＝1)＝C 13C 12C 25＝610＝35，P (ξ＝2)＝C 23C 02C 25＝310.【答案】5.从4名男生和2ξ表示所选3人中女生的人数．(1)求ξ的分布列；(2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率． 【解】 (1)ξ可能取的值为0,1,2，服从超几何分布，P (ξ＝k )＝C k 2·C 3－k4C 36，k ＝0,1,2.所以，ξ的分布列为(2)由(1)知，“所选3 P (ξ≤1)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝45.。
2.3重要的离散型分布
λn 1 − n
n −k
1 k −1 n − 1 ⋅ (1 − ) K (1 − ) λ n λn k n n = λ n 1 − k! n λ k −λ n → +∞ → e （ 时）． k!
n −k (− λn ) n
因为此时p＝０．０００４较小，n＝５０００相对较大，故可以利 用普阿松逼近， λ = np ＝２，
又设该物业公司至少需要配备 n名维修工才能满足 居民报修后能得到及时维修的概率不低于０．９９５，则有：
P(ξ „ n) … 0.995
即 P(ξ = n) =
k k 5000 − k C (0.0004) (0.9996) ∑ 5000 k =0 n
４、普阿松逼近
【普阿松定理】 设 λ n = np → λ > 0 （ n → +∞ ），则：
n →+∞
lim C p q
n− k
k n
k
n −k
证明：
λ k −λ = e ， k = 0,1, 2,L , n ． k!
k
C p (1 − p )
k n k
n( n − 1) K (n − k + 1) λn = k! n
【定理】记：
k k n−k B ( k , n, p ) = Cn p q = P (ξ = k ). 则：（１）当 k „ [( n + 1) p] 时， B ( k , n, p ) … B ( k − 1, n, p ) （２）当 k > [( n + 1) p ] 时， B ( k, n, p ) < B ( k − 1, n, p ) ( n + 1) p − 1 或 (n + 1) p, ( n + 1) p为整数； （３） m = [( n + 1) p ], ( n + 1) p不为整数. m m n− m k k n− k = max{Cn p q } 时， P (ξ = m ) = Cn p q
高中数学选修2-3-离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量及其分布列知识集结知识元离散型随机变量及其分布列知识讲解1．离散型随机变量及其分布列【考点归纳】1、相关概念；（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．2、离散型随机变量（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．3、离散型随机变量的分布列．（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，x n；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，p n，则得下表：X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．（2）性质：①p i≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+p n＝1．例题精讲离散型随机变量及其分布列例1.'袋中有2个白球，3个红球，5个黄球，这10个小球除颜色外完全相同．（1）从袋中任取3个球，求恰好取到2个黄球的概率；（2）从袋中任取2个球，记取到红球的个数为ξ，求ξ的分布列、期望E（ξ）和方差D（ξ）．'例2.'甲、乙两人做定点投篮游戏，已知甲每次投篮命中的概率均为p，甲投篮3次均未命中的概率为，乙每次投篮命中的概率均为q，乙投篮2次恰好命中1次的概率为，甲、乙每次投篮是否命中相互之间没有影响．（1）若乙投篮3次，求至少命中2次的概率；（2）若甲、乙各投篮2次，设两人命中的总次数为X，求X的分布列和数学期望．'例3.'抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记底面上所得的数字分别为x，y．记[]表示的整数部分，如：[]=1，设ξ为随机变量，ξ=[]．（Ⅰ）求概率P（ξ=1）；（Ⅱ）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．'当堂练习解答题练习1.'玉山一中篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试，“立定投篮”和“三步上篮”各有2次投篮机会，先进行“立定投篮”测试，如果合格才能参加“三步上篮”测试．为了节约时间，每项测试只需且必须投中一次即为合格．小华同学“立定投篮”的命中率为，“三步上篮”的命中率为．假设小华不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中相互独立．（1）求小华同学两项测试均合格的概率；（2）设测试过程中小华投篮次数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．'练习2.'某支教队有8名老师，现欲从中随机选出2名老师参加志愿活动，（1）若规定选出的至少有一名女老师，则共有18种不同的需安排方案，试求该支教队男、女老师的人数；（2）在（1）的条件下，记X为选出的2位老师中女老师的人数，写出X的分布列．'练习3.'装有除颜色外完全相同的6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出1个黑球赢2元，而每取出1个白球输1元，取出黄球无输赢．（1）以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值？求X的分布列；（2）求出赢钱（即X>0时）的概率．'练习4.'将10个白小球中的3个染成红色，3个染成黄色，试解决下列问题：（1）求取出3个小球中红球个数ξ的分布列；（2）求取出3个小球中红球个数多于白球个数的概率．'练习5.'新高考改革后，假设某命题省份只统一考试数学和语文，英语学科改为参加等级考试，每年考两次，分别放在每个学年的上下学期，其余六科政治，历史，地理，物理，化学，生物则以该省的省会考成绩为准．考生从中选择三科成绩，参加大学相关院校的录取．（Ⅰ）若英语等级考试有一次为优，即可达到某“双一流”院校的录取要求．假设某考生参加每次英语等级考试事件是相互独立的，且该生英语等级考试成绩为优的概率为，求该考生直到高二下期英语等级考试才为优的概率（Ⅱ）据预测，要想报考某“双一流”院校，省会考的六科成绩都在95分以上，才有可能被该校录取假设某考生在省会考六科的成绩都考到95分以上的概率都是，设该考生在省会考时考到95以上的科目数为X求X的分布列及数学期望．'练习6.'某高中志愿者男志愿者5人，女志愿者3人，这些人要参加社区服务工作．从这些人中随机抽取4人负责文明宣传工作，另外4人负责卫生服务工作．（Ⅰ）设M为事件；“负责文明宣传工作的志愿者中包含女志愿者甲但不包含男志愿者乙”，求事件M发生的概率；（Ⅱ）设X表示参加文明宣传工作的女志愿者人数，求随机变量X的分布列与数学期望．'练习7.'今年学雷锋日，乌鲁木齐市某中学计划从高中三个年级选派4名教师和若干名学生去当学雷锋文明交通宣传志愿者，用分层抽样法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成文明交通宣传小组，学生的选派情况如下：（Ⅰ）求x，y的值；（Ⅱ）若从选派的高一、高二、高三年级学生中抽取3人参加文明交通宣传，求他们中恰好有1人是高三年级学生的概率；（Ⅲ）若4名教师可去A、B、C三个学雷锋文明交通宣传点进行文明交通宣传，其中每名教师去A、B、C三个文明交通宣传点是等可能的，且各位教师的选择相互独立．记到文明交通宣传点A的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望。
§2.3几种重要的离散型分布
P( X 3) P( X 3) P( X 4) P( X 5)
C53 0.930.12 C54 0.940.11 C55 0.950.10
0.9914
例1.32 在战争进入攻坚战时，需要打击敌方的一个目标．设 每个人击中目标的概率都是0.6，问至少需要多少人同时射击 才能以99%以上的概率击中目标?
解：设出故障的机器台数为X，则X ~ B(10, 0.1). 又至少需要k个人才能满足要求，于是,问题归结为：
求出满足 P( X k) 0.95 的最小的 k. 经过计算, 得 :
P( X 2) P( X 0) P( X 1) P( X 2) 0.9298 P( X 3) 0.9872
三. 二项分布
用 X 表示每次试验成功的概率为 p 的 n 重贝努利 试验中成功的次数, 则 X 的分布列为
P( X k) Cnk pkqnk , k 0, 1, 2, , n,
其中 0 p 1, q 1 p 称 X 服从参数为 p 的二项分布，记为X ~ B(n, p)
分布列正则性验证：
解 设至少需要n个人同时射击才能满足要求，且以X表示 击中的人数，则 X ~ B(n,0.6) 于是，问题归结为求最小的n使得
P( X 1) 0.99
即 1 0.4n 0.99 解此不等式得 n ln 0.01 5.026
ln 0.4
故，n （ 6 人）就满足要求
例 假设有10台设备，每台的可靠性(无故障工作的概率) 为0.9，每台出现故障时需要由一人进行调整.问为保证 在95%的情况下当设备出现故障时都能及时得到调整, 至少需要安排几个人值班？
因此，至少需要安排3个人值班．
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C C k nk N1 N2
C
n N
,
0 k n, N N1 N2 .
(2) EX n N1 , DX n N1 N2 N n
N
N N N 1
（3）超几何分布与二项分布的关系
当N很大，N1, N2均较大，n相对很小时，
C C k nk N1 N2
C
n N
2.3 常见的离散型分布
基 1、记住其概率分布；
本 要
2、记住EX和DX；
求 3、了解其应用背景，并会 应用这几
种分布解决实际问题。
1.退化分布
(1)若随机变量X取常数值a的概率为1,
即 P{X a} 1
则称X服从退化分布.
(2) EX a DX 0
注：服从退化分布的r.vX的取值几乎是确定的， 即退化成了一个常量。
{ A, A} P( A) p, P( A) 1 p
定义
I
A
(
)
1, 0,
A( A发生) A( A不发生) ------事件A的示性r.v.
E[IA()] p P( A)
注：数学期望的概念是概率概念的推广。
3. (n个点上的)均匀分布
（1）概率分布
2.两点分布
(1)概率分布
X
x1
x2
P{ X x1} p,
P p 1 p
P{ X x2 } 1 p. （0 p 1）
特别地，
P{X 1} p,
X0
1
P{X 0} 1 p. （0 p 1） P 1 p
p
则称 X 服从参数 p 的 0-1分布或两点分布。
解 设X为800个纺锭在这段时间内发生断头的次数,
则X ~ b(800, 0.005),它近似服从参数 =800 0.005 4的泊
松分布, 故
2
2
P{0 X 2} P{ X k} b(k;800, 0.005)
k0
k0
2 4k e4 0.2381
P{ X k} qk1 p, k 1, 2,L (q 1 p)
（2）应用背景：描述伯努利实验序列中，
事件A (P(A)=p)首次出现的次数.
1
q
(3)
EX , p
DX p2
例：P69 18
(4)无记忆性----几何分布的特征性质
P{X m n | X m} P{X n}
短时间内至多发生一次的事件
二十世纪初罗瑟福和盖 克两位科学家在观察与分析
放射性物质放出的 粒子个
数的情况时,他们做了2608 次观察(每次时间为7.5 秒) 发现放射性物质在规定的一 段时间内, 其放射的粒子数
X 服从泊松分布.
在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队
等问题中 , 泊松分布是常见的分布。例如地震、火山爆发、特大洪 水、交换台的电话呼唤次数等, 都服从泊松分布.
地震
火山爆发
特大洪水
商场接待的顾客数 电话呼唤次数
交通事故次数
（4）二项分布与泊松分布的关系 二项分布的图形
泊松分布的图形
定理(泊松定理)在n重伯努利实验中，事件A在每次
实验中发生的概率为pn ,如果n 时，npn ,
则对任意给定的k ,有
lim
n
b(
k;n,
pn
)
k
k!
e
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ~ 20 .01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 < .001
P
0.22 •
k=4称为最可能出现次数
(n + 1)p Z, k = (n + 1) p或k = (n + 1) p - 1 (n + 1)p Z, k = [(n + 1)p]
（2）一车间有n台同型号的机器，假设每台机器故 障率为p，某天机器的出故障次数。
例 : 按规定, 某种型号电子元件的使用寿命超过 1500小时的为一级品.已知某一大批产品的一级 品率为0.2,现在从中随机抽查20只，问20只元 件中恰有k只(k=1,2,L ,20)一级品的概率是多少？
解：用X 表示20只元件中一级品的只数， 则X ~ b(20, 0.2). 因此P{ X k} C2k0 0.2k0.820k , k 0,1, 2,L , 20.
(2) EX p, DX p(1 p)
(3)描述对象：只有两种可能结果的随机试验
（伯努利试验）
例 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况.
X
X ()
0, 1,
当 正面, 当 反面.
随机变量 X 服从 0-1 分布.
其分布律为 X
0 1
1
1
P2
2
说明 两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 都可用两点分布描述。
工人 (工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生 产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备 的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况 ) ,问至少需配备多少工人 ,才能保证设备发生故障 但不能及时维修的概率小于0.01?
解 设需配备 N 人. 记同一时刻发生故障的设备 台数为 X , 那末, X ~ B(300,0.01). 所需解决的问题
P 6 6 66 66
4. 二项分布
（1）概率分布 记作X ~ b(n, p) (0 p 1)
P{ X
k
}
C
k n
pk
(1ຫໍສະໝຸດ p)nk , k 0,1, 2,L
, n.
b(k, n, p)
二项分布 n 1 两点分布
(2)描述对象：n重伯努利试验中某事件发生的次数
例如：（1）从一批产品中有放回地抽查n次，其 中抽 检 到的次品件数。
（2） EX , DX
证：
EX
k k e
k0 k !
e
k1
k1 (k 1)!
e
e
EX 2 2 .
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 2 2
（3）应用背景 ------描述“稀有事件”发生的次 数
证明 P{X m n | X m} P{X m n}
P{X m}
qk1 p
kmn1 qk1 p
qmn p (1 q) qm p (1 q)
k m 1
qn P{X n}
7.超几何分布
（1）概率分布
P{ X
k}
是确定最小的 N , 使得 P{X N } 0.99.
由泊松定理，X 近似服从参数 =300 0.01 3的泊
松分布, 故
P{X N }
N
3k e3 ,
k0 k!
故有
N 3k e3 0.99,
k0 k!
查表可求得满足此式最小的N是8. 故至少需配备8
个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的 概率小于0.01.
k0 k !
P{X 2} 1 P{0 X 2} 1 0.2381 0.7619
P{X 1} 1 P{X 0} 1 0.018316 0.9817
启示：小概率事件虽不易发生，但重复次数
多了，就成大概率事件.
6. 几何分布
（1）概率分布 记作X ~ G( p )
注： 二项分布 n很大, p 很小 泊松分布
当二项分布b( n, p )的参数n很大（n 100 )，
而p很小( p 0.1 )时，可用参数为 np的
泊松分布来近似，即C
k n
p
k
(
1
p )nk
( np )k k!
enp .
例2.20 纺织厂女工照顾800个纺锭，每一纺锭在某一 段时间内发生断头的概率为0.00（5 设短时间内最多只 发生一次断头）. 求在这段时间内总共发生断头次数超过2的概率。
C
n N
N1 N
k
N2 N
nk
小结
退化分布
离 散 型
随 机
变 量 的
两点分布 均匀分布 二项分布 泊松分布
分 布
几何分布 超几何分布
两点分布
n1
二项分布
n 100, p 0.1
泊松分布
合理配备维修工人问题
例 为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修
(3)描述对象：古典概型
{1,2 ,L n }
R
X : i xi
P{i }
1 ,i n
1, 2,L
n.
P{ X
xi }
P{i }
1 n
,
i 1, 2,L n.
实例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X,
则有 X 1 2 3 4 5 6
1 1 11 11
X 01
2
3
4
5
pk
(0.4)5 C510.6 0.44 C520.62 0.43
C530.63 0.42
C
4 5
0.64
0.4
0.65
k = [( n + 1)p ] = [( 5+ 1)0.6] =3