概率密度函数-精品
《概率密度函数》课件
期望和方差
总结词
概率密度函数的期望值和方差描述了随机变量的中心趋势和离散程度。
详细描述
期望值是概率密度函数在定义域上的积分，表示随机变量的平均值或中心趋势。方差则描述了随机变 量取值离散程度的大小，即各个取值与期望值的偏离程度。期望值和方差是概率密度函数的重要特征 ，用于描述随机变量的统计特性。
二项分布
01
二项分布适用于描述伯努利试 验中成功的次数，例如抛硬币 的结果、遗传学中的基因型等 。
02
二项分布的概率密度函数是 f(k)=C(n, k)p^k(1-p)^(n-k) ，其中n是试验次数，k是成功 的次数，p是每次试验成功的 概率。
03
二项分布在统计学、生物学和 经济学等领域有广泛应用，例 如在可靠性工程、市场调查等 领域。
02
常见概率密度函数
正态分布
正态分布是一种常见的概率密 度函数，其概率密度曲线呈钟 形，对称轴为均值所在直线。
正态分布具有两个参数，即 均值和标准差，它们决定了
分布的形状和范围。
在自然界和社会现象中，许多 随机变量的概率分布都服从正 态分布，例如人类的身高、考
试分数等。
指数分布
01
指数分布适用于描述独立随机事件的时间间隔，例如电子元件 的寿命、排队等待时间等。
概率密度函数是微积分中连续函数概念在概率论中的推广。在微积分中，连续函 数可以用其导数描述其变化率；而在概率论中，概率密度函数描述了随机变量取 值在某个区间的概率与该区间长度的关系。
概率密度函数的积分（即概率质量函数）与微积分中的定积分有相似的性质和计 算方法。
概率密度函数最新版.ppt
P（a X b） (b) (a) P（X b） (b) P（X a） 1 (a)
查表 x 0时，(x)的值可以查表
x 0时, (x) 1 (x)
例
X ~ N（0，1）
P（1 X 2） (2) (1) 0.9772 0.8413 0.1359
P（X 1） (1) 1 (1) 1 0.8413 0.1587
概率密度函数
定义 设X为一随机变量，若存在非负实函数 f (x) , 使对任意实数 a < b ，有
b
P{a x b} a f (x)dx
则称X为连续型随机变量， f (x) 称为X 的概
率密度函数,简称概率密度或密度函数.
x
分布函数 F (x) f (t)dt
.精品课件.
1
P{x1 X x2}
X取值在某区间的概率等于密度函数在此区间
上的定积分
.精品课件.
5
已知密度函数求概率
例 随机变量 X 的概率密度为
f
(x)
a
cos
x
x
2
0
其它
解 利用密度函数的性质求出 a
f (x)dx 1
求 P(0 X )
4
1
f (x)dx
2
a
cos
xdx
1
2
a 2
P(0 X )
导数关系
若f (x)在x处连续，则F(x) f (x)
.精品课件.
4
连续型随机变量的分布函数的性质
连续型随机变量的分布函数在实数域内处处连续 因此，连续型随机变量取任意指定实数值a的概率为0
P(X=a)=0
P(a X< b)= P(a<Xb)=P(a X b)=P(a<X<b)
16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用
16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用概率分布是统计学中一个重要的概念，用于描述随机变量在各个取值上的概率分布情况。
常见的概率分布有16种，它们分别是均匀分布、伯努利分布、二项分布、几何分布、泊松分布、正态分布、指数分布、负二项分布、超几何分布、Gumbel分布、Weibull分布、伽马分布、Beta分布、对数正态分布、卡方分布和三角分布。
以下将逐一介绍这些概率分布的概率密度函数、意义及其应用。
1. 均匀分布（Uniform Distribution）：概率密度函数为f(x)=1/(b-a)，意义是在一个区间内所有的取值具有相同的概率，应用有随机数生成、模拟实验等。
2. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：概率密度函数为P(x)=p^x*(1-p)^(1-x)，意义是在两种可能结果中，成功或失败的概率分布，应用有二分类问题的建模。
3. 二项分布（Binomial Distribution）：概率密度函数为P(x)=C(n,x)*p^x*(1-p)^(n-x)，意义是在n次独立重复试验中，成功次数为x的概率分布，应用有二分类问题中的n次重复试验。
4. 几何分布（Geometric Distribution）：概率密度函数为P(x)=p*(1-p)^(x-1)，意义是独立重复试验中，第x次成功所需的试验次数的概率分布，应用有描述一连串同样试验中第一次获得成功之前所需的试验次数。
5. 泊松分布（Poisson Distribution）：概率密度函数为P(x)=(e^(-λ)*λ^x)/x!，意义是在给定时间或空间内事件发生的次数的概率分布，应用有描述单位时间或单位空间内的事件计数问题。
6. 正态分布（Normal Distribution）：概率密度函数为P(x) = (1 / sqrt(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))，意义是描述连续变量的概率分布，应用广泛，例如测量误差、人口身高等。
概率密度函数
概率密度函数概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）是统计学中描述随机变量的概率分布的函数。
PDF可以用来描述连续型随机变量各个取值的概率分布情况。
1. 概念和定义概率密度函数是用来描述随机变量的取值在某个范围内的概率分布情况。
对于连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)满足以下条件：1.对于任意的x，f(x) ≥ 0，即概率密度函数的值为非负数。
2.在整个取值范围内，概率密度函数的面积等于1，即∫f(x)dx = 1。
3.对于任意的a ≤ b，随机变量X落在区间[a, b]上的概率可以表示为P(a ≤ X ≤ b) = ∫[a, b]f(x)dx。
2. 特性和性质概率密度函数具有一些重要的特性和性质，我们在这里列举一些常见的：•概率密度函数是非负的。
对于任意的x，概率密度函数f(x) ≥ 0。
•概率密度函数的面积等于1。
即∫f(x)dx = 1。
•概率密度函数可以用来计算随机变量落在某个区间内的概率。
例如，P(a ≤ X ≤ b) = ∫[a, b]f(x)dx。
•概率密度函数的积分可以计算累积分布函数。
累积分布函数（Cumulative Distribution Function，简称CDF）是描述随机变量X落在一个给定值以下的概率。
•概率密度函数可以用来计算随机变量的期望值和方差。
•概率密度函数可以用来比较不同随机变量的概率分布情况。
3. 常见的概率密度函数在统计学和概率论中，有一些常见的概率密度函数被广泛应用于实际问题的建模和分析中。
以下是一些常见的概率密度函数：1.均匀分布：均匀分布是最简单的概率密度函数，表示在一个给定的区间内，各个取值都是等概率的。
例如，在区间[a, b]上的均匀分布的概率密度函数为f(x) = 1 / (b-a)。
2.正态分布：正态分布（也被称为高斯分布）是最常见的概率密度函数之一，在自然界中经常出现。
正态分布的概率密度函数是一个钟形曲线，具有均值μ和方差σ^2。
概率密度函数
根据指数分布的分布函数，这个人每次等车 时间超过 10 分钟的概率是： p = P { X ＞10 } = 1 – F (10) = 1 – [ 1 – e – 10 / 5 ] = e – 2 ; 每个月等车超过10 分钟的次数 Y ~ B(30,e – 2) ； 他至少有三天坐出租车上班的概率就是： P {Y ≥3 } = ∑k3=03 [C30k pk ( 1 – p)30 – k ] = 1 – ∑k=02 [C30k pk ( 1 – p)30 – k ]
假定通过考试的成绩至少要为 d 分 ，即必须有
P { X ≥ d } ≤ 0.05 P { X ≤ d } ≥ 0.95 。
根据定理 2.4.1， X – 60 ——— ~ N (0,1) 10
因此
d – 60 0.95 ≤P { X ≤ d } = (——— ) 10
查正态分布表，有，
(1.64) = 0.9495 ， (1.65) = 0.9505 ；
1 2
p ( x)
o
x
说明对于同样长度的区间，当参数 越大时，X 落在这个区间里的概率将越小，而当参数 越小时，X 落在这个区间里的概率将越大。
4. 标准正态分布 X ~ N ( 0 ,1 ) 参数 = 0 ， = 1 的正态分布 (1) 标准正态分布的密度函数
( x)
1 2
e
x2 2
, x
(2) 标准正态分布的分布函数
( x)
x
1 2
e
t2 2
dt , x
概率密度函数-精品文档
x是
p ( x ) 的连续点，则：
P ( x X x x ) lim lim x 0 x 0 x
x x
x
p(t )dt
x
p(x)
故X 的密度 p ( x ) 在 x 这一点的值，恰好是X 落在
,x x ] 的概率与区间长度 x 之比的极限. 区间 (x
变量的统计规律性。
本节将要用到由定积分变上限确定的函数及其
导数， 还要用到指数函数及图形特点等知识。
2
定义1、 对于随机变量X，若存在非负函数
使对任意实数 x , 都有 p x x ,
则称X为连续型随机变量， p x 为X的概率密度函数， 简称密度函数或密度. 所以若已知密度函数， 该连续型随机变量 的概率分布规律就得到了全面描述. 0 x
连续性随机变量分布函数的性质 (1) Fx 是连续的单增函数
0 F x 1 x ,
F ( x ) ＝ ( t) dt p
x
p x 0
1
F ( x)
p (x)
F ( x)
0
x
x
0
x
13
（2）若 px 在点x 处连续， 则有 F ( x ) p x
p ( a ) 并不是 X a的概率.
附近的值的概率就越大. 也可以说，在某点密度曲线 的高度反映了概率集中在该点附近的程度.
由上述性质可知，对于连续型随机变量，
我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义； 我们所关心的是它在某一区间上取值的问题．
8
若已知连续型随机变量 X 的密度函数 p x，
则 X 在任意区间 D （ D 可以是开区间 , 也可以是 闭区间，或半开半闭区 间；可以是有限区间 也可以是无穷区间）上 取值的概率为，
概率密度函数 ppt课件
定义 设X为一随机变量，若存在非负实函数 f (x) , 使对任意实数 a < b ，有
b
P{axb}a f(x)dx
则称X为连续型随机变量， f (x) 称为X 的概 率密度函数,简称概率密度或密度函数.
x
分布函数 F(x) f (t)dt
P {x1Xx2}xx 12 f(x)dx
(1 x 5)
0 其它
所求概率为 P { 1 } 1f(x)d x f(x)d x2
1
3
指数分布
定义 若连续型随机变量X的概率密度为
ex
f(x)
x0(0为 常 数 ）
0 x0
则称X服从参数为 的指数分布.
X～ E()
分布函数
0
x0
F(x)1ex x0
f(x)和F(x)可用图形表示
f (x)
均匀分布
定义 若连续型随机变量X的概率密度为
1 f (x) b a
a xb
0 其它
则称X在区间 （a，b）上服从均匀分布．记为 X ~ U (a, b)
分布函数
0,
xa
F
(
x)
x b
a a
,
a xb
1,
b x
意义
0a
b
x
X“等可能”地取区间（a,b）中的值，这里的“等可
能”理解为：X落在区间（a,b)中任意等长度的子区间内
。 P(X a) 1 (a )
例 设X~N（1，4），求 P(0<X<1.6)
解
1, 2
P(0X1.6) (1.61)(01)
2
2
(0.3)(0.5)
(0.3)1 (0.5)
概率密度函数
普通正态分布与标准正态分布
1 ( z) e 2
z2 2
,
z
Φ(Z)
φ(Z)
Z
( x )2 2 2
X
Z
Z
f ( x)
1 2
e
,
x
标准正态分布的累积概率函数
P ( a Z b)
b
1 2
a
1 2 z e 2 dz
N (, )
2
标准正态分布
• 标准正态离差
Z
X
z2 2
1 ( z) e 2
,
z
• 标准正态分布：N(0,1)
• 此概率密度函数实质上就是正态分布的概 率密度函数中μ=0，σ=1的情形。从几何 意义上说，此变换实质上是作了一个坐标 轴的平移和尺度变换，使正态分布具有平 均数为μ=0，标准差σ=1。这种变换称为 标准化正态变换。因此将这种具有平均数 为μ=0，标准差σ=1的正态分布称为标准 正态分布，记为N（0，1）。
第四军医大学卫生统计学教研室
2018年9月19日
Z值分布曲线下面积与概率
偏度系数和峰度系数
• 正态分布的特征，归纳起来有两点： 一是对称性（symmetry）
若分布不对称就是偏态，长尾拖向右侧 （变量值较大的一侧）叫做正偏态,或右偏 态；长尾拖向左侧（变量值较小的一侧）叫 做负偏态，或左偏态。
二是正态峰(mesokurtosis)
例4.7 某地调查正常成年男子144人，其红细胞数 近似服从正态分布，获得均数 x 55.381012 / L ， 12 标准差 s 0.44 10 / L ，试估计该地成年男 子红细胞数的95% 参考值范围。
均匀分布概率密度公式
均匀分布概率密度公式均匀分布是概率密度函数在一定区间内取值相等的一种连续概率分布。
均匀分布的概率密度函数通常用f(x)表示，其形式可以表示为：f(x)=1/(b-a),a<=x<=b其中，a和b分别表示均匀分布的区间的开始和结束点。
在区间内的其他位置，概率密度函数值为0。
均匀分布的概率密度函数可以进一步用累积分布函数（CDF）来表示。
CDF是概率密度函数的积分，表示在一些点之前的累积概率。
对于均匀分布，其累积分布函数可以表示为：F(x)=(x-a)/(b-a),a<=x<=b其中，F(x)为在a和x之间的累积概率。
当x小于a时，CDF为0；当x大于b时，CDF为1均匀分布的期望值和方差也是常用的统计量。
对于均匀分布，期望值可以用以下公式计算：E(x)=(a+b)/2方差可以用以下公式计算：Var(x) = (b - a)² / 12均匀分布广泛应用于概率理论和统计学中的各个领域。
以下是一些均匀分布的应用示例：1.随机数生成：均匀分布可以用来生成具有相等概率的随机数。
在计算机科学中，均匀分布的随机数生成器通常用于模拟实验、随机采样等应用。
2.最优化问题：在一些最优化问题中，需要在确定的范围内寻找最大或最小值。
均匀分布可以用于建立问题的数学模型，从而找到最优解。
3.风险管理：在金融和保险领域，均匀分布可以用来估计风险，并计算投资组合的价值变动范围。
4.信号处理：在通信和图像处理中，均匀分布经常用于噪声模拟和调制解调等应用。
值得注意的是，均匀分布在实际问题中并不是总能完美地描述现象。
许多实际问题可能涉及其他类型的分布，如正态分布、指数分布等。
因此，在实际应用中，研究人员需要根据具体情况选择适当的分布模型。
概率论概率密度公式
概率论概率密度公式概率论是研究随机现象的数学理论，广泛应用于统计、物理、经济等众多领域。
概率密度函数是概率论中一个重要的概念，用于描述连续型随机变量的概率分布。
下面将为您详细介绍概率密度函数的概念、性质以及应用。
概率密度函数是一个非负的实值函数，描述了某个连续型随机变量在某个取值范围内的概率密度。
通常用小写字母f(x)表示，其中x为随机变量的取值。
要满足以下两个条件：1. f(x)大于等于0，表示概率密度非负性；2. 在所有可能取值的范围内，概率密度积分等于1，即∫f(x)dx=1，表示概率密度的总体积为1。
概率密度函数的性质有以下几点：1. 不同取值处的概率越大，概率密度函数的值就越大，即概率密度函数的高点对应着概率大的区域。
2. 在某个取值处的概率为其概率密度函数在该点处的值，即P(a≤X≤b)=∫[a,b]f(x)dx。
3. 对于任意的c，P(X=c)=0，即连续型随机变量的单点概率为0。
概率密度函数在实际应用中具有重要的作用。
首先，可以使用概率密度函数对随机变量的分布进行描述和分析。
例如，在经济学中，可以使用概率密度函数描述收入分布，从而了解收入的整体情况和变化趋势。
其次，概率密度函数可以通过计算区域的积分来计算随机变量落在该区域内的概率。
这对于统计推断和模型验证等方面非常重要。
再次，概率密度函数是其他一些重要概念的基础，比如期望值和方差等。
通过概率密度函数，可以计算出随机变量的期望值和方差，进一步了解该随机变量的特性和规律。
为了更好地理解概率密度函数的概念以及应用，我们举个例子。
假设我们想了解某城市每天的降雨情况，我们可以通过观测记录每天降雨的量来获得随机变量X的取值。
为了描述这个随机变量的概率分布，我们可以利用概率密度函数f(x)。
如果我们观测到的降雨量集中在某个范围内，并且这个范围对应的概率密度函数值较大，那么我们可以得出结论：在该城市降雨量在这个范围内的概率较高。
反之，如果概率密度函数值较小，那么该城市发生这个范围内的降雨的概率较低。
第四章 特殊的概率密度函数
第四章特殊的概率密度函数第四章特殊的概率密度函数第四章特殊的概率密度函数4.7 正态分布(高斯分布)(Normal or Gaussian distribution) 概率密度函数：1 12 ( x )2 2 N ( , ) f ( x) e ( x ) 2 2性质：1、期望值: 2、方差：E(x)V(x) 2 x F(x) ( ) 3、累积分布：( z )1 2ze1 x2 2dx误差函数第四章特殊的概率密度函数4.7 正态分布(高斯分布)(Normal or Gaussian distribution) 标准正态分布：(Standard Normal Distribution)N(0,1)令yx得标准正态概率密度函数1 1 y2 2 N(0,1) g (y ) e 2=0, =1的正态分布累积标准正态分布函数：G (y) g( y ')dy ' y y1 1 y2 2 e dy 2G( y ) 1 G( y )第四章特殊的概率密度函数4.7 正态分布(高斯分布)(Normal or Gaussian distribution) G(y)的应用：1、设x 是服从正态分布的随机变量，求x落于区间[a,b]内的概率p(a x b) p( x b) p( x a) p( xb) p(xa)b /g ( y' )dy' ) G( aa /g ( y' )dy'p ( a x b) G (b ba G( ) G( ) 1 1 区间： 2 区间： 3 区间：) G ( y ) 1 G ( y )p( x ) 2G(1) 1 0.6827p( 2 x 2 ) 2G(2) 1 0.9545p( 3 x 3 ) 2G(3) 1 0.99733 规则第四章特殊的概率密度函数4.7 正态分布(高斯分布)(Normal or Gaussian distribution)2、已知概率值，求相对于平均值对称的区间 [ a, a]G ( ) G ( ) 2G ( ) 1 a G( ) 1 2 (1 )查表可得出 = 0.9 =0.95 =0.99 =0.999aaaaa = 1.645 = 1.960 = 20576 = 3.290第四章特殊的概率密度函数4.7 正态分布(高斯分布)(Normal or Gaussian distribution) 正态变量加法定理：如果某一随机变量是一些正态变量的函数，该变量的分布形式是什么？如果是线性函数加法定理设x1,x2,…xn是相互独立的正态变量xi N ( i , i )则y a i xii 1n也是服从正态分布的变量，其平均值和方差分别为E ( y ) ai u ii 1V ( y ) a 2 i 2 ii 1n第四章特殊的概率密度函数4.7 正态分布(高斯分布)(Normal or Gaussian distribution)例：正态分布样本的样本平均值 x 和方差 s 的特征。
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即
pY
y
2
y1
e2
y 1
0
y 1
16
例7 设随机变量 X ~ N ， 2 ，Y eX，试求随机变量
Y 的密度函数 pY y．
解: 由题设，知 X 的密度函数为
p x
1
e
x 2
2 2
2
x
当X为离散型随机变量时，Y g X , 也是离散型
随机变量。并且在 X 的分布列已知的情况下，求Y的
分布列是容易的。
X 1 0 1 2 3 例1 已知X的分布列为
pk 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 求 Y1 X 1 Y2 2X Y3 X 2 的分布列。 解 由Y的分布列可列出
对于任意 x 恒有 g(x) 0 或恒有 g(x) 0 则
Y gX 是一个连续型随机变量，其反函数为
X hY . Y 的概率密度为
[h( y)] hy, y
pY ( y)
0,
其它
其中， min g(x), max g(x),
y
/
2
)
d
(e y dy
/
2
)
,
0,
0 ey/2 1 其它
得
pY
(
y)
1 2
e
y
/
2
,
y0
0,
其它
即Y服从参数为1/2的指数分布.
20
作业 P142 21 22 24 26
21
2019/11/30
.
22
0,
概率密度函数
一般正态分布的标准化
定理
x 如果 X ~ N ( , ), 则 F ( x) 概率计算
2
若 X ~ N (, )
2
P ( a X b) (
b
) (
a
)
查标准正态 分布表
一般正态分布的区间概率
若 X ~ N (, 2 )
则称X在区间 （a，b）上服从均匀分布．记为 X ~ U (a, b)
分布函数
xa 0, xa F ( x) , a xb ba b x 1,
意义
0 a b x X“等可能”地取区间（a,b）中的值，这里的“等可 能”理解为：X落在区间（a,b)中任意等长度的子区间内 的可能性是相同的。或者说它落在子区间内的概率只依赖 于子区间的长度而与子区间的位置无关。
正态分布， 记为
2
则称X服从参数为 ,
2
X ~ N ( , )
正态分布的密度函数的性质与图形
1 2
y
中间高 两边低
-
+
x
对称性 单调性 拐点
关于 x = 对称 （- ，）升，（，+ ）降
1 ( , e ); 2
1 2
1 f最大 ） （ 2
90
查表得
2.0
60 1.0
……….. 90 2.0 查表得 解得 70 , 10 故
60 1.0
x 75.4
某人78分，可 被录取。
X ~ N 70,10
2
x
设录取的最低分为
则应有
P X x 0.2947
概率密度函数演示文稿
x 0 时, (x) 1 (x)
例
X ~ N（0，1）
P（1 X 2） (2) (1) 0.9772 0.8413 0.1359
P（X 1） (1) 1 (1) 1 0.8413 0.1587 P（ X 1） (1) (1) 2(1) 1 0.6826
第二十三页，共29页。
f (x)dx 1
求 P(0 X )
4
f (x)dx
2
a
cos
xdx
1
2
a1 2
P(0 X )
4
1
cos
xdx
2
4 02
4
第七页，共29页。
例 设随机变量X具有概率密度
求：（1）常数a；（2）
解 （3）X的分布函数 F(x)
（1）由概率密度的性质可知
所以 a＝1/2
（2）密度函数为
第十页，共29页。
f
(x)
F ( x)
2x 0
0 x 1 otherwise
Ex:已知连续型随机变量X的概率密度为
f (x) Ae x
(1)求 P(1 X 1) （2） 求 X 的分布函数
第十一页，共29页。
均匀分布
定义
若连续型随机变量X的概率密度为
1
f
(x)
b
a
a xb
概率密度函数演示文稿
第一页，共29页。
（优选）概率密度函数
第二页，共29页。
P{x1 X x2}
x2 f ( x)dx
x1
x1
x2
第三页，共29页。
概率密度函数的性质
(1)非负性
f (x) 0, x (, )
(2)规范性
十种概率密度函数
一十种概率密度函数function zhifangtu(x,m)%画数据的直方图,x表示要画的随机数,m表示所要画的条数%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%a=min(x);b=max(x);l=length(x);h=(b-a)/m;%量化xx=x/h;x=ceil(x);w=zeros(1,m);for i=1:lfor j=1:mif (x(i)==j)%x(i)落在j的区间上，则w(j)加1w(j)=w(j)+1;elsecontinueendendendw=w/(h*l);z=a:h:(b-h);bar(z,w);title('直方图')function y=junyun(n)%0-1的均匀分布，n代表数据量，一般要大于1024 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%y=ones(1,n);x=ones(1,n);m=100000;x0=mod(ceil(m*rand(1,1)),m);x0=floor(x0/2);x0=2*x0+1;u=11;x(1)=x0;for i=1:n-1x(i+1)=u*x(i)+0;x(i+1)=mod(x(i+1),m);x(i)=x(i)/m;end%x(n)单位化x(n)=x(n)/m;y=x;function y=zhishu(m,n)%指数分布,m表示指数分布的参数,m不能为0.n表示数据量,n一般要大于1024 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%x=junyun(n);for i=1;nif (x(i)==0)x(i)=0.0001;elsecontinue;endendu=log(x);y=-(1/m)*u;function y=ruili(m,n)%瑞利分布,m是瑞利分布的参数,n代表数据量,n一般要大于1024 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%x=junyun(n);for i=1:nif (x(i)==0)x(i)=0.0001;elsecontinue;endendu=(-2)*log(x);y=m*sqrt(u);function y=weibuer(a,b,n)%韦布尔分布,a,b表示参数,b不能为0.n表示数据量,一般要大于1024%a=1时,是指数分布%a=2时,是瑞利分布%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%x=junyun(n);for i=1:nif (x(i)==0)x(i)=0.0001;elsecontinue;endendu=-log(x);y=b*u.^(1/a);function y=swerling(n)%swelingII分布%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%r=ones(1,n);u=junyun(n);v=junyun(n);for i=1:nif (u(i)==0)u(i)=0.0001;elsecontinueendendfor i=1:nif (u(i)==v(i))u(i)=u(i)+0.0001else continueendendt=-2*log(u);h=2*pi*v;x=sqrt(t).*cos(h);z=sqrt(t).*sin(h);y=(r/2).*(x.^2+z.^2);function y=bernoulli(p,n)%产生数据量为n的贝努利分布,其中p属于(0-1)之间。
函数论与概率论的概率密度函数
函数论与概率论的概率密度函数概率密度函数是概率论中一个重要的概念，它描述了一个随机变量在不同取值上的概率分布情况。
在函数论中，概率密度函数可以被视为一个函数，其值域为[0, 1]，并且满足以下两个条件：•非负性：对于任意实数x，概率密度函数f(x)的值都必须大于等于0。
•积分值为1：概率密度函数f(x)在整个实数轴上的积分值为1。
概率密度函数有许多重要的性质，其中一些包括：•概率密度函数的值可以被用来计算一个随机变量在某个区间内的概率。
•概率密度函数的期望值等于随机变量的期望值。
•概率密度函数的方差等于随机变量的方差。
•概率密度函数可以用来生成随机数。
概率密度函数在概率论和统计学中应用广泛，下面是一些常见的应用场景：•参数估计：概率密度函数可以被用来估计随机变量的参数，例如均值和方差。
•假设检验：概率密度函数可以被用来检验假设，例如正态性假设。
•随机数生成：概率密度函数可以被用来生成随机数，这在计算机模拟和蒙特卡罗方法中非常有用。
•概率分布拟合：概率密度函数可以被用来拟合观察到的数据，这可以帮助我们了解数据的分布规律。
以下是一些常见的概率密度函数：•正态分布：正态分布是最常见的概率分布之一，它的概率密度函数为：f(x)=σ√2π−(x−μ)22σ2其中μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差。
•均匀分布：均匀分布是一种连续型概率分布，它的概率密度函数为：f(x)=1 b−a其中a和b是均匀分布的取值范围。
•指数分布：指数分布是一种连续型概率分布，它的概率密度函数为：f(x)=λe−λx其中λ是指数分布的参数。
•泊松分布：泊松分布是一种离散型概率分布，它的概率密度函数为：P(X=k)=λk e−λk!其中λ是泊松分布的参数，k是泊松分布的取值。
这些只是常见的概率密度函数中的一部分，还有许多其他的概率密度函数可以用来描述不同类型的随机变量。
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至少有1只失效的概率。
解
1、 1k
x2d x
100
k
1 x 100
k 100
k100
2. PX150 100150x2d x 10(01 1 )1
100
100150 3
3、设Ai “第 i只晶体管150h 失效” i1,2,3,4. 10
P A iP X15 0 13
由于 A1 A2 A3 A4 相互独立， 则所求的概率为 P(A1UA2UA3UA4)1P(A 1UA 2UA 3UA 4) 1 P (A 1 )P (A 2 )P (A 3 )P (A 4 )
PXDpxdx
D
对连续型随机变量X, 有
P ( a X b ) P ( a X b )
P(aXb) P(aXb)
9
例1 某种晶体管的寿命（h)是随机变量X，其密度
px0kx2
x100 other
求 1、常数 k .
2、 该晶体管不能工作150 h 的概率。
3、一台仪器中装有4只此种晶体管，工作150h后，
p (x)
F (x)
0x x
12
连续性随机变量分布函数的性质
(1) Fx 是连续的单增函数
0 F x 1x ,
F(x)＝x p(t)dt px0
F (x)
p (x)
1
F (x)
0x x
0
x
13
（2）若 px 在点x 处连续，则有 F(x)px
pxlimFxxFx
x 0
x
PxXxx
lim
第五节
第二章
连续性随机变量
一 、概率密度函数的概念 二、概率密度函数的性质 三、连续型随机变量的分布函数
1
一、概率密度函数的概念 离散型随机变量的可能值可以一一列举出来，但
另一类随机变量它们的可能取值不止有限个或可列个， 其取值是充满某一个区间，即不能用分布列表示X 的 取值及其概率。因此通过所谓概率密度来描述这类随机 变量的统计规律性。
解 FAB0
2
FAB1
2
A1
B1 2
Fx1arcxt a1 2n
17
例4 设随机变量 X 的密度函数为
解：
p(x)
2 ,
1x2
0x1
0, 其它
FxPXx xptdt
求 Fx.
对 x < 0， Fx0
对 0 x 1,
2 x
F(x)
0
1 dt 2 arcsinx
该连续型随机变量 0
的概率分布规律就得到了全面描述.
xx
3
二、 概率 密度函数的性质
(1) 非负性 p x 0x ,
(2) 归一性
p(x)d＝ x1.
性质(1)、(2)是密度函数的充要性质；
这两条性质是判定一个函数 p(x) 是否为某随机变量
X的密度函数的充要条件。
p (x) 面积为1
1
0
x
x 0
x
(3) F( )lim F(x)＝ 0. x F()limF(x) x p(x)d＝ x1.
p(x)
1
0
x
面积为1
14
例1 设有函数
sinx 0x
F(x)
0 其它
试说明 Fx 能否是某个随机变量的分布函数.
解： 注意到函数 Fx 在 [ 2,] 上下降，
不满足性质(1)，故 Fx 不能是分布函数.
的高度反映了概率集中在该点附近的程度.
由上述性质可知，对于连续型随机变量， 我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；
我们所关心的是它在某一区间上取值的问题．
8
若已知连续X的 型密 随度 机p函 变 x， 数 量
则X 在 任 意 区D（ 间D可 以 是 开 区 ,也间可 以 是 闭区间，或半开半 间闭 ；区 可以是有限区间 也可以是无穷区间 取） 值上 的概率为，
a
lim x0 ax
p(x)d
x
0
可见， 由P(A )=0, 不能推出
A
由P(B )=1, 不能推出 B = S 称A 为几乎不可能事件，B 为几乎必然事件.
7
p (x) 要注意的是: 密度函数
p(x) 在某点处 a的高度
1
0
x p(a) 并不是 X a的概率.
但是这个高度越大，则X取a
附近的值的概率就越大. 也可以说，在某点密度曲线
这里，如果把概率理解为质量，p(x) 相当于线密度.
p(x) 不是概率. p(x)dx 在连续型随机变量理论中
所起的作用与 P(Xxk)pk 在离散型随机变量
理论中所起的作用相类似.
6
（5） 对任意实数a，则 PXa0
这是因为
P (X a ) liP m ( a x X a ) x 0
本节将要用到由定积分变上限确定的函数及其 导数，还要用到指数函数及图形特点等知识。
2
定义1、 对于随机变量X，若存在非负函数
px x , 使对任意实数 x , 都有
P(Xx)＝x p(t)dt
则称X为连续型随机变量， p x 为X的概率密度函数，
简称密度函数或密度.
p (x)
所以若已知密度函数，
这表示X落在小区间[x,x+Δx] 上的概率近似地等于pxx.
5
对 p(x) 的进一步理解:
若 x是 p(x) 的连续点，则：
xx
lim P(xXxx) lim x p(t)dt
x 0
x
x0
x
p(x)
故X 的密度 p(x) 在x这一点的值，恰好是X 落在
区间 (x,xx] 的概率与区间长度x 之比的极限.
1 (2)4 65 3 81
11
三、连续性随机变量的分布函数
对于连续性随机变量X，存在密度函数
px x ,使对任意实数 x , 都有
F(x)＝ P(Xx)＝ x p(t)dt
则称F(x) 为连续型随机变量X的分布函数，
由于连续型随机变量的分布
函数唯一被它的密度函数所 确定. 所以若已知密度函数， 该连续型随机变量的概率 分布规律就得到了全面描述。
或者
F() lim F(x)0
x
不满足性质(2)，
可见F(x)也不能是随机变量的分布函数.
15
例2 设连续型随机 X的 变分 量布函数为
F x1 2 1arc xta n x
试求 X 的密度函数．
解 设 X的密度p函 x， 数则 为 pxFx111x2 x
16
例3 已知 F xAx 1 X x 2 ) ＝ x2 p(t) d t x1
密度函数的几何意义
即X落在[x1, x2]上的概率 [x1,x2]
上曲线 ypx 之下的曲边
x1 x2 p (x)
梯形的面积。
（4）若 px 在点x 处连续，则有
px lim PxXx x
x 0
x
0 x1 x2 x
若不计高阶无穷小，有： P x X x x p x x