必修四第一章三角函数
高中数学必修四 第一章三角函数 1.4.2.1 周期函数
7 2
-4
, 即������
7 2
= ������
-
1 2
.
又当 x∈(-1,0)时,f(x)=2x+1,
∴������
7 2
= ������
-
1 2
=2×
-
1 2
+ 1 = 0.
题型一 题型二 题型三 题型四
反思1.解答此类题目的关键是利用化归的思想,借助周期函数的 定义把待求问题转化到已知区间上,代入求值即可.
π 6
+ 2π = 2(������ + π) − π6,
∴f(x+π)=sin
2(������
+
π)-
π 6
=sin
2������-
π 6
+
2π
= sin
2������-
π 6
= ������(������).
∴T=π.
本节结束，谢谢大家！
题型一 题型二 题型三 题型四
题型二 求三角函数的周期
【例 2】 求下列函数的周期:
(1)f(x)=sin
1 4
������
+
π 3
(������∈R);
(2)y=|sin x|(x∈R).
分析:对于(1),可结合周期函数的定义求解;对于(2),可通过画函
数图象求周期.
题型一 题型二 题型三 题型四
(2)函数 y=sin
������������
+
π 4
(������
>
0)的周期是
2π 3
,
则������
=
_____.
高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.4.3 正切函数的性质与图象
[规律方法] 正切型函数单调性求法与正、余弦型函数求法一 样，采用整体代入法，但要注意区间为开区间且只有单调增区 间或单调减区间．利用单调性比较大小要把角转化到同一单调 区间内．
【活学活用 2】 (1)求函数 y＝3tanπ4－2x的单调递减区间． (2)比较 tan 65π 与 tan－173π的大小．
课堂小结 1．正切函数的图象
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为 x＝kπ＋π2，k∈Z， 相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．
2．正切函数的性质 (1)正切函数 y＝tan x 的定义域是xx≠kπ＋π2，k∈Z ，值域是 R. (2)正切函数 y＝tan x 的最小正周期是 π，函数 y＝Atan(ωx＋ φ)(Aω≠0)的周期为 T＝|ωπ |. (3)正切函数在－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上递增，不能写成闭区 间．正切函数无单调减区间.
xπ6＋2kπ≤x≤43π＋2kπ，k∈Z
.
(3)令2x－π3＝0，则 x＝23π. 令2x－π3＝π2，则 x＝53π. 令2x－π3＝－π2，则 x＝－π3. ∴函数 y＝tan2x－π3的图象与 x 轴的一个交点坐标是23π，0， 在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是 x＝－π3， x＝53π.从而得函数 y＝f(x)在一个周期－π3，53π内的简图(如图)．
【例 2】 (1)求函数 y＝tan－12x＋π4的单调区间； (2)比较 tan 1、tan 2、tan 3 的大小． [思路探索] (1)可先将原式转化为 y＝－tan12x－π4，从而把12x－π4 整体代入－π2＋kπ，π2＋kπ，k∈Z 这个区间内，解出 x 便可． (2)可先把角化归到同一单调区间内，即利用 tan 2＝tan (2－π)， tan 3＝tan (3－π)，最后利用 y＝tan x 在－π2，π2上的单调性判 断大小关系．
数学必修4第一章三角函数
第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角1．B.2．C.3．C.4．-1485°=-5³360°+315°.5．{-240°,120°}.6．{α|α=k²360°-490°,k∈Z}；230°；-130°；三.7．2α的终边在第一、二象限或y轴的正半轴上，α2的终边在第二、四象限．集合表示略.8.（1）M={α|α=k²360°-1840°,k∈Z}.(2)∵α∈M,且-360°≤α≤360°,∴-360°≤k²360°-1840°≤360°.∴1480°≤k²360°≤2200°,379≤k≤559.∵k∈Z,∴k=5,6,故α=-40°,或α=320°.9．与45°角的终边关于x轴对称的角的集合为{α|α=k²360°-45°,k∈Z}，关于y轴对称的角的集合为{α|α=k²360°+135°,k∈Z}，关于原点对称的角的集合为{α|α=k²360°+225°,k∈Z}，关于y=-x对称的角的集合为{α|α=k²360°+225°,k∈Z}.10.(1){α|30°+k²180°≤α≤90°+k²180°,k∈Z}.(2){α|k²360°-45°≤α≤k²360°+45°,k∈Z}．11．∵当大链轮转过一周时，转过了48个齿，这时小链轮也必须同步转过48个齿，为4820＝2.4（周），即小链轮转过2.4周.∴小链轮转过的角度为360°³2 4=864°.1．1．2弧度制1．B.2．D.3．D.4．αα=kπ+π4,k∈Z.5．-5π4.6．111km.7．π9,7π9,13π9．8．2π15,2π5,2π3,4π5．9．设扇形的圆心角是θrad，∵扇形的弧长是r θ，∴扇形的周长是2r+rθ，依题意，得2r+rθ=πr，∴θ=π-2，∴扇形的面积为S=12r2θ=12(π-2)r2.10.设扇形的半径为R，其内切圆的半径为r，由已知得l=π2R,R=2lπ．又∵2r+r=R，∴r=R2+1=(2-1)R=2(2-1)πl，∴内切圆的面积为S=πr2=4(3-22)πl2．11．设圆心为O，则R=5,d=3，OP=R2-d2=4，ω=5rad/s，l=|α|R,α=ωt=25rad,l=4³25=100（cm）．1．2任意角的三角函数1．2．1任意角的三角函数（一）1．B.2．B.3．C.4．k.5．π6,56π.6．x|x≠2kπ+32π,k∈Z.7．-25．8．2kπ+π2,2kπ+π，k∈Z.9．α为第二象限角．10．y=-3|x|=-3x(x≥0)，3x(x＜0)，若角α的终边为y=3x(x＜0)，即α是第三象限角，则sinα=-31010,tanα=3；若角α的终边为y=-3x(x≥0)，即α是第四象限角，则sinα=-31010,tanα=-3．11．f(x)=-(x-1)2+4(0≤x≤3)．当x=1时，f(x)max=f(1)=4，即m=4；当x=3时，f(x)min=f(3)=0，即n=0．∴角α的终边经过点P(4,-1)，r=17，sinα+cosα=-117+417=31717．1．2．1任意角的三角函数（二）1．B.2．C.3．B.4．334.5．2.6．1.7．0.8．x|2kπ+π≤x＜2kπ+32π,或x=2kπ,k∈Z.9．（1）sin100°²cos240°＜0.（2）tan-11π4-cos-11π4＞0.（3）sin5+tan5＜0.10．（1）sin25π6=sin4π+π6=sinπ6=12.（2）cos-15π4=cos-4π+π4=cosπ4=22.（3）tan13π3=tan4π+π3=tanπ3=3．11．（1）∵cosα＞0，∴α的终边在第一或第四象限，或在x轴的非负半轴上；∵tanα＜0，∴α的终边在第四象限．故角α的集合为α2kπ-π2＜α＜2kπ,k∈Z.（2）∵2kπ-π2＜α＜2kπ,k∈Z，∴kπ-π4＜α2＜kπ,k∈Z ．当k=2n(n∈Z)时，2nπ-π4＜α2＜2nπ,n∈Z,sinα2＜0,cosα2＞0,tanα2＜0；当k=2n+1(n∈Z)时，2nπ+3π4＜α2＜2nπ+π,n∈Z,sinα2＞0,cosα2＜0,tanα2＜0. 1．2．2同角三角函数的基本关系1．B.2．A.3．B.4．-22.5．43.6．232.7．4-22．8．α2kπ+π2＜α＜2kπ+3π2,或α=kπ,k∈Z．9．0.10．15.11．3+12．1．3三角函数的诱导公式（一）1．C.2．A.3．B.4．-1-a2a．5．12．6．-cos2α．7．-tanα．8．-2sinθ．9．32．10．-22+13.11.3．1．3三角函数的诱导公式（二）1．C.2．A.3．C.4．2+22．5．-33．6．13．7．-73．8．-35．9．1.10．1+a4.11．2+3.1．4三角函数的图象与性质1．4．1正弦函数、余弦函数的图象1．B.2．C.3．B.4．3;-3.5．2.6．关于x轴对称.7．（1）取(0,0),π2,1,(π,2),3π2,1,(2π,0)这五点作图.（2）取-π2,0，0,12，π2,0，π,-12，3π2,0这五点作图．8．五点法作出y=1+sinx的简图，在同一坐标系中画出直线y=32，交点有2个．9．（1）（2kπ,(2k+1)π）(k∈Z).(2)2kπ+π2,2kπ+32π(k∈Z).10．y=|sinx|=sinx(2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z)，-sinx(π+2kπ＜x＜2π+2kπ,k∈Z)，图象略．y=sin|x|=sinx(x≥0),-sinx(x＜0),图象略．11．当x＞0时，x＞sinx；当x=0时，x=sinx；当x＜0时，x＜sinx，∴sinx=x只有一解．1．4．2正弦函数、余弦函数的性质（一）1．C.2．A.3．D.4．4π.5．12,±1.6．0或8．提示：先由sin2θ+cos2θ=1，解得m=0，或m=8．7．（1）4.（2）25π.8．（1）π.（2）π.9．32,2.10．（1）sin215π＜sin425π.(2)sin15＜cos5.11.342.1．4．2正弦函数、余弦函数的性质（二）1．B.2．B.3．C.4．＜.5．2π.6．3，4，5，6.7．函数的最大值为43，最小值为-2．8．-5．9．偶函数．10．f(x)=log21-sin2x=log2|cosx|．（1）定义域：xx≠kπ+π2,k∈Z.（2）值域：（-∞,0］. （3）增区间：kπ-π2,kπ（k∈Z），减区间：kπ,kπ+π2（k∈Z）.（4）偶函数.（5）π．11．当x＜0时，-x＞0,∴f(-x)=(-x)2-sin(-x)=x2+sinx.又∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).∴f(x)=-f(-x)=-x2-sinx.1．4．3正切函数的性质与图象1．D.2．C.3．A.4．5π.5．tan1＞tan3＞tan2.6．kπ2-π4,0(k∈Z).7．2kπ+6π5＜x＜2kπ+3π2,k∈Z .8．定义域为kπ2-π4,kπ2+π4，k∈Z,值域为R，周期是T=π2，图象略．9．（1）x=π4.（2）x=π4或54π.10.y|y≥34.11．T=2π，∴f99π5=f-π5+20π=f-π5，又f(x)-1是奇函数，∴f-π5-1=-fπ5-1 f-π5=2-fπ5=-5,∴原式=-5．1．5函数y=Asin(ωx+φ)的图象（一）1．A.2．A.3．B.4．3.5．-π2.6．向左平移π4个单位.7．y=sinx+2的图象可以看作是将y=sinx图象向上平移2个单位得到，y=sinx-1的图象可以看作是将y=sinx图象向下平移1个单位而得到.8．±5．9．∵y=sin3x-π3=sin3x-π9，∴可将y=sin3x的图象向右平移π9个单位得到.10.y=sin2x+π4的图象向左平移π2个单位，得到y=sin2x+π2+π4，故函数表达式为y=sin2x+5π4．11．y=-2sinx-π3，向左平移m(m>0)个单位，得y=-2sin(x+m)-π3，由于它关于y轴对称，则当x=0时，取得最值±2，此时m-π3=kπ±π2，k∈Z，∴m的最小正值是5π6．1．5函数y=Asin(ωx+φ)的图象（二）1．D.2．A.3．C.4．y=sin4x.5．-2a；-310a+2ka(k∈Z)；-2a.6．y=3sin6x+116π.7．方法1y=sinx横坐标缩短到原来的12y=sin2x向左平移π6个单位y=sin2x+π6=y=sin2x+π3.方法2y=sinx向左平移π3个单位y=sinx+π3横坐标缩短到原来的12y=sin2x+π3．8．(1)略.(2)T=4π,A=3,φ=-π4.9．（1）ω=2,φ=π6.(2)x=12kπ+π6(k∈Z),12kπ-112π,0(k∈Z).10.（1）f(x)的单调递增区间是3kπ-5π4,3kπ+π4(k∈Z).(2)使f(x)取最小值的x的集合是x|x=7π4+3kπ,k∈Z.11．（1）M=1，m=-1，T=10|k|π.（2）由T≤2，即10|k|π≤2得|k|≥5π，∴最小正整数k 为16．1．6三角函数模型的简单应用（一）1．C.2．C.3．C.4．2sinα.5．1s.6．k²360°+212 5°(k∈Z).7．扇形圆心角为2rad时，扇形有最大面积m216．8．θ=4π7或5π7．9．（1）设振幅为A，则2A＝20cm，A=10cm．设周期为T,则T2=0.5,T=1s,f=1Hz.（2）振子在1T内通过的距离为4A，故在t=5s=5T内距离s=5³4A=20A=20³10=200cm=2(m).5s末物体处在点B，所以它相对平衡位置的位移为10cm.10.(1)T=2πs.(2)12π次.11．（1）d-710=sint-1.8517.5π.（2）约为5.6秒.1．6三角函数模型的简单应用（二）1．D.2．B.3．B.4．1-22.5．1124π.6．y=sin52πx+π4.7．95．8．12sin212，1sin12+2．9.设表示该曲线的三角函数为y=Asin(ωx+φ)+b.由已知平均数量为800，最高数量与最低数量差为200，数量变化周期为12个月，所以振幅A=2002=100,ω=2π12=π6,b=800,又7月1日种群数量达最高，∴π6³6+φ=π2.∴φ=-π2.∴种群数量关于时间t的函数解析式为y=800+100sinπ6(t-3).10.由已知数据，易知y=f(t)的周期T=12，所以ω=2πT=π6.由已知，振幅A=3,b=10，所以y=3sinπ6t+10.11.（1）图略.（2）y-12.47=cos2π(x-172)365，约为19.4h.单元练习1．C.2．B.3．C.4．D.5．C.6．C.7．B.8．C.9．D.10．C.11．5π12+2kπ,13π12+2kπ(k∈Z).12．4412.13．-3,-π2∪0,π2.14．1972π.15.原式=(1+sinα)21-sin2α-(1-sinα)21-sin2α=1+sinα|cosα|-1-sinα|cosα|=2sinα|cosα|. ∵α为第三象限角，｜cosα｜=-cosα,∴原式＝-2tanα.16.1+sinα+cosα+2sinαcosα1+sinα+cosα=sin2α+cos2α+2sinαcosα+sinα+cosα1+sinα+cosα=(sinα+cosα)2+sinα+cosα1+sinα+cosα=(sinα+cosα)·(1+sinα+cosα)1+sinα+cosα=sinα+cosα. 17.f(x)=(sin2x+cos2x)2-sin2xcos2x2-2sinxcosx-12sinxcosx+14cos2x=1-sin2xcos2x2(1-sinxcosx)-12sinxcosx+14cos2x=12+12sinxcosx-12sinxcosx+14cos2x=12+14cos2x.∴T=2π2=π,而-1≤cos2x≤1,∴f(x)max=34,f(x)min=14.18.∵Aπ3,12在递减段上，∴2π3+φ∈2kπ+π2,2kπ+3π2.∴2π3+φ=5π6,φ=π6.19.(1)周期T=π,f(x)的最大值为2+2，此时x∈x|x=kπ+π8,k∈Z;f(x)的最小值为2-2，此时x ∈x|x=kπ-38π,k∈Z；函数的单调递增区间为kπ-3π8,kπ+π8,k∈Z.（2）先将y=sinx（x∈R）的图象向左平移π4个单位，而后将所得图象上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标扩大成原来的2倍，最后将所得图象向上平移2个单位.20.（1）1π.（2）5π或15.7s.(3)略.。
必修四 第一章 三角函数 1.1.1任意角
练习
☼ 打开水龙头形成的角是正角吗？ ☼ 经过两个小时，时针上的时针旋转了多少度？
是正角 -600
☼ 与-4630角终边相同的角是（
A、3600K+1030,K∈Z C、3600K+4630,K∈Z
）
B、3600K+2570,K∈ Z B D、3600K-2570,K∈Z
☼ 若α是第四象限角，则下列是第一象限角的是（ ） A、α+1800 B、α+2700 C、α-1800 D、α-2700
0
终边相同的角
一般地，我们有： 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 S={β|β=α+3600k,k∈Z}， 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的 和。
☼ 一个具体的角，对应一个终边
☼ 一个终边对应无数个角，它们圈数、方向有区别
☼ 分两步确定一个角：代表角+方向和圈数
象限角
为了方便，我们将角放在直角坐标系中研究 ☼ 让角的“始边”与x轴“非负半轴”重合，那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第 几“象限角(quadrant angle)”。 画出一个第二象限角 ☼ 象限角有几种？ 四种，一、二、三、四象限角。 ☼ 直角坐标系内，只有象限角吗？
终边落在坐标轴上时——轴角。
生活中的角
你能举出生活中超过360o的例子吗？
用什么来区分 这种不同方向 的角呢？ 顺时针 逆时针
角的概念推广
通过刚才的试验，我们发现：要准确的描述角，除了给定 大小，还需要给定方向！ 正角(positive angle)：按逆时针方向旋转形成的角 负角(negative angle)：按顺时针方向旋转形成的角 零角(zero angle)：一条射线没作任何旋转
高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.2.2 同角三角函数的基本关系
互动探究 探究点1 同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗？
提示 同角三角函数的基本关系式成立的条件是使式子两边都
有意义．所以sin2α＋cos2α＝1对于任意角α∈R都成立，而
sin cos
αα＝tan
α并不是对任意角α∈R都成立，这时α≠kπ＋π2，k∈
Z.
探究点2 在利用平方关系求sin α或cos α时，其正负号应怎样确 定？
＝tan
tan2αsin2α α－sin αtan
αsin
α＝tatnanαα－sisninαα＝左边，
∴原等式成立．
[规律方法] (1)证明三角恒等式的实质：清除等式两端的差异， 有目的的化简． (2)证明三角恒等式的基本原则：由繁到简． (3)常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【活学活用2】 化简：
1－2sinα2cosα2＋ 1＋2sinα2cosα20<α<π2.
解 原式＝
cosα2－sinα22＋
cosα2＋sinα22
＝cosα2－sinα2＋cosα2＋sinα2.
∵α∈0，π2，∴α2∈0，π4.
利用tan α＝csoins αα和sin2α＋cos2α＝1向等号左边式子进行转化；
也可利用tan
α＝
sin cos
α α
将等号左、右两边式子进行切化弦，结
合sin2α＋cos2α＝1达到两边式子相等的目的．
证明
∵右边＝ tan
tan2α－sin2α α－sin αtan αsin
α
＝tantaαn2－α－sintaαn2tαacnoαs2sαin α＝tantαan－2αsi1n－αctaons2ααsin α
人教版必修四1.3三角函数的诱导公式课件
探究与归纳
角 与角的三角函数关系？
y
终边关系
关于原点对称
点的关系 P(x, y)
P(x, y)
O
P(x, y)
x
三角函数 定义
sin y
cos x
tan y
x
sin( ) y
cos( ) x
tan( ) y
x
P(x, y)
三角函数 关系
(公式二）
sin( ) sin
cos( ) cos
（3）化为锐角的三角函数。 概括为：“负化正，正化小，化到锐角就终了。”
用框图表示为：
用公式一
任意角的三角函数
任意正角的三角函数
或公式三
公式一
用公式二
锐角三角函数
0~2的角的三角函数
或公式四
当堂检测
1、计算
(1) tan120 0 3
3／2 (2)sin(240 0 )
2、化简
sin( ) cos(2 sin(3 ) cos(
，
cos（-α）= cosα
符
tan（-α）= -tanα
号
看
公式（四） sin（π-α）= sinα cos（π-α）= -cosα
象 限
tan（π-α）= -tanα
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”. 其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐 角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式 记忆的方便，实际上α可以是任意角.
cos( 2k ) cos
tan( 2k ) tan
(k Z)
终边相同角的同一三角函数的值相等
探要点·究所然
情境导学
人教版高一数学必修四第一章正、余弦函数的周期性与奇偶性
第一章 三角函数
y＝cosx
图象
定义域 周期 最小
正周期 奇偶性
R 2kπ(k∈Z 且 k≠0)
_2_π__ _奇__函__数___
R 2kπ(k∈Z 且 k≠0)
_2_π__
_偶__函__数___
栏目 导引
第一章 三角函数
■名师点拨 (1)正、余弦函数的周期性 ①正弦函数和余弦函数所具有的周期性实质上是由终边相同的角 具有的周期性所决定的； ②由诱导公式 sin(x＋2kπ)＝sinx(k∈Z)，cos(x＋2kπ)＝cosx(k∈Z) 也可以说明它们的周期性． (2)关于正、余弦函数的奇偶性 ①正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲 线关于原点 O 对称，余弦曲线关于 y 轴对称； ②正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．
答案：B
栏目 导引
第一章 三角函数
若函数 f(x)是周期为 3 的周期函数，且 f(－1)＝2017，则 f(2)＝ ________． 答案：2017
栏目 导引
第一章 三角函数
正、余弦函数的周期问题
求下列三角函数的最小正周期 T： (1)f(x)＝sinx＋π3； (2)f(x)＝12cos(2x＋π3)； (3)f(x)＝|sinx|.
第一章 三角函数
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第 1 课时 正、余弦函数的周期性与奇偶性
第一章 三角函数
考点
学习目标
函数的周期性 了解周期函数的概念
正、余数的周 期
正、余弦函 数的奇偶性
理解三角函数的奇偶性以 及对称性，会判断给定函 数的奇偶性
栏目 导引
第一章 三角函数
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
必修四-第一章-三角函数知识点及例题详解
第一章 三角函数 知识点详列一、角的概念及其推广 正角：一条射线绕着端点以逆时针方向旋转形成的角1、任意角 零角：射线不做任何旋转形成的角 负角：一条射线绕着端点以顺时针方向旋转形成的角记忆法则：第一象限全为正,二正三切四余弦.ααcsc sin 为正 全正ααcot tan 为正ααsec cos 为正例1、（1）判断下列各式的符号： ①,265cos 340sin∙ ②,423tan 4sin ⎪⎭⎫⎝⎛-∙π③)cos(sin )sin(cos θθ其中已知)0tan ,cos cos (<-=θθθ且答案：+ — —2、象限角：角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z3、终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角连同α在内（而且只有这样的角），cot α<0tan α<0cos α>0sin α<0cot α>0tan α>0cos α<0sin α<0cot α<0tan α<0cos α<0sin α>0sin α>0tan α>0cot α>0cos α>0可以表示为.,360Z k k∈+∙α4、特殊角的集合：（1）终边在X 轴非负半轴上的角的集合为{};,2Z k k ∈=παα（2）终边在X 轴非正半轴上的角的集合为(){};,12Z k k ∈+=πα （3）终边在X 轴上的角的集合为{};,Z k k ∈=παα（4）终边在Y 轴非负半轴上的角的集合为;,22⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα （5）终边在Y 轴非正半轴上的角的集合为;,22⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k ππαα（6）终边在Y 轴上的角的集合为;,2⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα （7）终边在坐标轴上角的集合为;,2⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z k k παα（8）终边在一、三象限角平分线上的角的集合为;,4⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα （9）终边在二、四象限角平分线上的角的集合为.,4⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k ππαα 二、弧度1、定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度2、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭． 3、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα= 4、两个公式：若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．三、三角函数1.设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）则P 与原点的距离02222>+=+=y x yx r2.比值r y 叫做α的正弦 记作： r y =αsin 比值r x 叫做α的余弦 记作： r x =αcos比值x y 叫做α的正切 记作： x y =αtan比值y x叫做α的余切 记作： yx =αcot比值x r 叫做α的正割 记作： x r =αsec 比值y r叫做α的余割 记作： yr =αcsc 以上六种函数，统称为三角函数.2．同角三角函数的基本关系式： （1）倒数关系：tan cot 1αα⋅=；（2）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==； （3）平方关系：22sin cos 1αα+= ．3．诱导公式，奇变偶不变，符号看象限．()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．例2．化简（1）sin()cos()44ππαα-++；（2）已知32,cos(9)5παπαπ<<-=-，求11cot()2πα-的值． ry)(x,αP解：（1）原式sin()cos[()]424πππαα=-++-sin()sin()044ππαα=---=．（2）3cos()cos(9)5απαπ-=-=-，∴3cos 5α=，∵2παπ<<，∴4sin 5α=-，sin 4tan cos 3ααα==，∴1134cot()cot()tan 223ππααα-=--=-=．例3 确定下列三角函数值的符号(1)cos250° （2）)4sin(π-（3）tan （－672°） (4))311tan(π解：(1)∵250°是第三象限角 ∴cos250°＜0(2)∵4π-是第四象限角，∴0)4sin(<-π(3)tan （－672°）＝tan （48°－2×360°）＝tan48°而48°是第一象限角，∴tan （－672°）＞0(4) 35tan)235tan(311tanππππ=+= 而35π是第四象限角，∴0311tan<π. 例4 求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tan495°． 解：原式=sin(-4×360°+120°)·cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)+tan(360°+135°) =sin120°·cos30°+cos60°·sin30°+tan135°=21212323⨯+⨯-1=0 题型一 象所在象限的判断 例5（1）如果α为第一象限角，试问2α是第几象限角？（2）如果α为第二象限角，试问：απαπα+--,,分别为第几象限角？答案：（1）第一或者第三；（2）第三，第一，第四。
人教版高中数学必修四教材用书第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 第一课时 三角函数的诱导公式(一
．三角函数的诱导公式第一课时三角函数的诱导公式(一)[提出问题]问题：锐角α的终边与π＋α角的终边位置关系如何？它们与单位圆的交点的位置关系如何？任意角α与π＋α呢？提示：无论α是锐角还是任意角，π＋α与α的终边互为反向延长线，它们与单位圆的交点关于原点对称．问题：任意角α与－α的终边有怎样的位置关系？它们与单位圆的交点有怎样的位置关系？试用三角函数的定义验证－α与α的三角函数值的关系．提示：α与－α的终边关于轴对称，它们与单位圆的交点与关于轴对称，设的坐标为(，)，则的坐标为(，－)．(－α)＝－＝－α，(－α)＝＝α，(－α)＝－＝－α.问题：任意角α与π－α的终边有何位置关系？它们与单位圆的交点的位置关系怎样？试用三角函数定义验证α与π－α的各三角函数值的关系．提示：α与π－α的终边关于轴对称，如图所示，设(，)是α的终边与单位圆的交点，则π－α与单位圆的交点为′(－，)，，′关于轴对称，由三角函数定义知，(π－α)＝＝α，(π－α)＝－＝－α，(π－α)＝＝－α.[导入新知]．诱导公式二＋π角()α与角原点的终边关于α对称．如图所示．＋(π公式：()α)α－＝.＋(π.)αα－＝＋π(αα).＝．诱导公式三()角－α与角α的终边关于轴对称．如图所示．－(公式：.α())－α＝－(α＝).α)(－α.＝α－．诱导公式四()角π－α与角α的终边关于轴对称．如图所示．(π公式：()－αα＝.)α(π－)＝α.－α－)(π.＝α－[化解疑难]对诱导公式一～四的理解()公式两边的三角函数名称应一致．()符号由将α看成锐角时α所在象限的三角函数值的符号决定．但应注意，将α看成锐角只是为了公式记忆的方便，事实上α可以是任意角.[例]()(－°)；() °；().[解]()(－°)＝－°＝－(×°＋°)＝－°＝－(°－°)＝－°＝－；。
(完整版)人教高中数学必修四第一章三角函数知识点归纳
三角函数一、随意角、弧度制及随意角的三角函数1．随意角(1)角的观点的推行①按旋转方向不一样分为正角、负角、零角．正角 : 按逆时针方向旋转形成的角随意角 负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角②按终边地点不一样分为象限角和轴线角．角 的极点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限角．第一象限角的会合为 k 360ok 360o 90o , k第二象限角的会合为 k 360o 90o k 360o 180o , k第三象限角的会合为 k 360o 180o k 360o 270o , k第四象限角的会合为k 360o 270ok 360o360o , k终边在 x 轴上的角的会合为 k 180o , k终边在 y 轴上的角的会合为 k 180o 90o , k终边在座标轴上的角的会合为k 90o ,k(2)终边与角 α同样的角可写成 α＋ k ·360 °(k ∈ Z)．终边与角 同样的角的会合为k 360o, k(3)弧度制① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角．②弧度与角度的换算： 360°＝ 2π弧度； 180°＝ π弧度．③ 半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ，则角的弧度数的绝对值是lr④ 若扇形的圆心角为 为弧度制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则 lr，C2r l ，S1 lr 1 r2 ． 222 ．随意角的三角函数定义设 α是一个随意角，角 α的终边上随意一点P(x ， y)，它与原点的距离为 r rx 2 y 2 ，那么角 α的正弦、余弦、rrx（三角函数值在各象限的符号规律归纳为：一全正、二正弦、三正切分别是： sin α＝ y ， cos α＝ x ， tan α＝ y．正切、四余弦）3．特别角的三角函数值角度030456090120135150180270360函数角 a 的弧度0π /6π/4π /3π /22π /33π /45π/6π3π /22πsina01/2√ 2/2√ 3/21√ 3/2√ 2/21/20-10 cosa1√ 3/2√ 2/21/20-1/2-√ 2/2-√ 3/2-101 tana0√ 3/31√ 3-√ 3-1-√ 3/300二、同角三角函数的基本关系与引诱公式A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系： sin2α＋ cos2α＝ 1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）sin α(2)商数关系：＝tanα.（3）倒数关系：tan cot 1cos α2．引诱公式公式一： sin( α＋ 2kπ)＝sin α， cos(α＋ 2kπ)＝cos_α，tan(2k )tan此中 k∈Z .公式二： sin( π＋α)＝－ sin_α， cos( π＋α)＝－ cos_α， tan( π＋α)＝ tan α.公式三： sin( π－α)＝ sin α， cos( π－α)＝－ cos_α，tan tan．公式四： sin( －α)＝－ sin_α， cos(－α)＝ cos_α，tan tan .ππ公式五： sin －α＝ cos_α， cos－α＝ sin α.22ππ公式六： sin 2＋α＝ cos_α， cos2＋α＝－ sin_α.π口诀：奇变偶不变，符号看象限．此中的奇、偶是指π引诱公式可归纳为 k· ±α的各三角函数值的化简公式．的奇数22倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．假如奇数倍，则函数名称要变( 正弦变余弦，余弦变正弦 ) ；假如偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把πα当作锐角时，依据 k· ±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结．．．．2．．．果符号．B. 方法与重点一个口诀1、引诱公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：sin α(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．cos α(2)和积变换法：利用 (sin θ±cos θ)2＝1 ±2sin θcos θ的关系进行变形、转变．（ sin cos、sin cos、sin cos三个式子知一可求二）(3)巧用 “1”的变换： 1＝ sin 2θ＋ cos 2θ= sinπ＝tan 42（4）齐次式化切法：已知 tank ，则 a sinbcos a tan b ak bm sinn cos m tan n mk n三、三角函数的图像与性质学习目标：1 会求三角函数的定义域、值域2 会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法（如y sin x 与 y cosx 的周期是）。
必修四第一章 三角函数1.2.2
返回导航
第一章 三角函数
[思路分析] tanα＝3，即sinα＝3cosα，结合sin2α＋cos2α＝1，解方程组可求 出sinα和cosα；对于(2)，注意到分子分母都是sinα与cosα的一次式，可分子分母 同除以cosα化为tanα的表达式；对于(3)，如果把分母视作1，进行1的代换，1＝ sin2α＋cos2α然后运用(2)的方法，分子分母同除以cos2α可化为tanα的表达式，也 可以将sinα＝3cosα代入sin2α＋cos2α＝1中求出cos2α，把待求式消去sinα，也化为 cos2α的表达式求解．
数 学 必 修 ④ · 人 教 A 版
返回导航
第一章 三角函数
[解析] (1)tanα＝3＝csoinsαα>0， ∴α 是第一或第三象限角． 当 α 是第一象限角时，结合 sin2α＋cos2α＝1，有
sinα＝3
10 10
．
cosα＝
10 10
当 α 是第三象限角时，结合 sin2α＋cos2α＝1，有
如 sin23α＋cos23α＝1 成立，但是 sin2α＋cos2β＝1 就不一定成立．
(2)sin2α 是(sinα)2 的简写，读作“sinα 的平方”，不能将 sin2α 写成 sinα2，前
者是 α 的正弦的平方，后者是 α2 的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并
能正确书写．
数
(3)同角三角函数的基本关系式是针对使三角函数有意义的角而言的，sin2α＋
人
教
A
版
返回导航
第一章 三角函数
3．化简 1－sin2440°＝____c_o_s_8_0_°_____．
高中数学必修四 第一章三角函数 1.2.1.2 三角函数线
,������∈Z
=
������
������
=
������π
+
3π 4
,������∈Z
, 如图.
题型一 题型二 题型三
题型二
解简单的三角不等式
【例 2】 解不等式 sin α≥− 12.
解:如图,作直线
y=−
1 2
交单位圆于A,B
两点,则∠xOA=
76π,∠
xOB=− π6.
又
sin
α≥−
1 2
题型一 题型二 题型三
【变式训练 2】 已知 cos α≥12 , 试求出角������的集合. 解:
如图,在平面直角坐标系内作直线
x=
1 2
交单位圆于A,B
两点,当
α
的
终边落在阴影部分时,cos α≥12 , 所以角α 的集合为
������
2�����≤
2������π
2.三角函数线的方向:正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交 点;余弦线由原点指向垂足;正切线由切点指向切线与α的终边(或反 向延长线)的交点.
3.三角函数线的正负:三条有向线段凡与x轴的正方向或y轴的正 方向同向的为正值,与x轴的正方向或y轴的正方向反向的为负值.
4.三角函数线的书写:有向线段的起点字母在前,终点字母在后. 5.三角函数线的意义:三角函数线的方向表示三角函数值的符号; 三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值.
x+ 3 > 0,
即
cos
x≥−
1 2
,
且sin
x>
−
23.
由
cos
x≥−
1 2
,
必修四第一章任意角的三角函数
任意角的三角函数知识点：一．任意角的三角函数的定义锐角三角函数的定义： ABBC A ==斜边对边sin ，AB ACA ==斜边邻边cos ， ACBCA ==邻边对边tan . sin y r α=, cos x r α= , tan yx α=.ααπsin )2sin(=+k ，ααsin )360sin(=+︒⋅k ； ααπcos )2cos(=+k ，ααcos )360cos(=+︒⋅k ； ααπtan )2tan(=+k ，ααtan )360tan(=+︒⋅k .例题：求下列各三角函数值：(1)49sin π； (2))330cos(︒-； (3))323tan(π-.例题：（2010•山东模拟）已知角α的终边经过点（-3，4），则tan α=（ ）A. -43 B. 43 C. -34 D. 34 变式：（2005•温州一模）已知角θ的终边过点（4，-3），则co s θ=（ ）A.54 B. -54 C. 53 D. -53 例题：（2013•乐山一模）已知锐角θ的终边上有一点P （sin10°，1+sin80°），则锐角θ=（ ）A ．85°B ．65°C ．10°D ．5°变式：（2012•长春模拟）已知锐角α的终边上一点P （1+sin50°，cos50°），则锐角α=（ ）A ．80°B ．70°C ．20°D ．10°例题：（2012•泸州一模）已知角α的终边过点P （2，-3），则tan α的值为（ ）A.23 B. 23- C. -32 D. 32变式：（2011•厦门模拟）已知α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(53,54)，则cos α的值为（ ） A. 54 B. -54 C. -43 D. -53二．三角函数线① 定义有向线段：直线规定方向→轴；线段规定方向→有向线段； ② 讨论有向线段表示：与轴正向同为正，否则为负. ③ 练习：如图，AB ＝ BA ＝ OC ＝ CD ＝ DC ＝ ④ 画出下列角度与单位圆的交点P ，并作x 轴的垂线PM ，写出PM 、OM 的值，并与正弦、余弦值比较： 120°、240° ⑤ 定义正余弦线：设角α的终边与单位圆交点P (x ，y ),过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有向线段MP 为正弦线，OM 为余弦线. ⑥ 练习：画出各象限终边角的正弦线、余弦线，并分析符号.⑦ 定义正切线：过点A (1,0)作单位圆的切线，与终边或延长线交于T ，则有向线段AT 叫角α的正切线.⑧ 练习：画出各象限终边角的正切线，并分析符号. 2. 讨论问题：① 讨论一：三角函数线为什么可以表示三角函数值？ 先单位圆中计算得sin α=y ，cos α＝x ； 比较MP 的长度与|y |、OM 的长度与|x |；比较MP 的符号与y 的符号，OM 的符号与x 的符号； 所以 sin α＝y ＝MP ， cos α＝x ＝OM ，tan α＝y x ＝MP OM =AT OA＝AT （由三角形相似得） ② 讨论二：α终边在坐标轴上时的正弦线、余弦线、正切线的情况？例题：sin1、cos1、tan1的大小关系为（ ）A ．sin1＞cos1＞tan1B ．sin1＞tan1＞cos1C ．tan1＞sin1＞cos1D ．tan1＞cos1＞sin1变式：sin83π，cos 83π，83π的大小关系是（ ） A. sin 83π ＜cos 83π＜83π B. cos 83π＜ sin 83π＜83πC. cos 83π＜ 83π sin 83πD. sin 83π＜83π cos 83π例题：如果 4π＜θ＜ 2π，那么下列各式中正确的是（ ）D yxA ．cos θ＜sin θ＜tan θB ．cos θ＜tan θ＜sin θC ．tan θ＜sin θ＜cos θD ．sin θ＜cos θ＜tan θ变式：若x ∈（0，2π]，则使cosx ＜sinx ＜tanx ＜cotx 成立的x 取值范围是（ ） A. （，4π 2π） B. （43π ，π） C. （π，45π ） D.（ππ2,47）．三．同角三角函数的基本关系： 平方关系22sin cos 1αα+=； 商数关系sin tan cos ααα=. 例题：若tan α＝43，且sin α•co t α＜0，则sin α等于（ ） A. 54B. -54C. 53D. -53变式：已知cos αtan α＜0且tan α＝− 125，则sin α=（ ）A. 135B. -135C. 51D. -51例题：1. 化简cos θtan θ. （化简方法：切化弦）2.变式：已知2tan =x ，（1）求x x 22cos 41sin 32+的值。
高中数学必修四 第一章三角函数 1.2.1.1 三角函数的定义
解析:角
α
的终边在
y
轴的非负半轴上,则
α=2kπ+
π 2
(������∈Z),所以
tan α 无意义.
答案:A
【做一做 1-2】 若角 α 的终边与单位圆相交于点
2 2
,-
2 2
,
则 sin ������的值为( )
A.
2 2
B.
−
2 2
C.
1 2
D.
−1
解析:x=
2 2
,
������
=
−
2 2
,
则sin
题型一 题型二 题型三 题型四
解:(1)∵-670°=-2×360°+50°,
∴-670°是第一象限角,
∴sin(-670°)>0.
又1 230°=3×360°+150°,
∴1 230°是第二象限角,
∴cos 1 230°<0,
∴sin(-670°)cos 1 230°<0.
(2)∵
5π 2
<
8
<
(2)∵
5π 4
是第三象限角,
4π 5
是第二象限角,
11π 6
是第四象限角,∴
sin
5π 4
<
0,
cos
4π 5
<
0,
tan
11π 6
<
0,
∴sin
54π·cos
45π·tan
11π 6
<
0,
式子符号为负.
(3)∵191°角为第三象限角,∴tan 191°>0,cos 191°<0,
必修四第一章 三角函数1.2.1第一课时
(2)若 cosθ<0 且 sinθ>0，则2θ是第
象限角．
A．一
数
学 必
C．一或三
修
④
·
人
教
A
版
B．三 D．任意象限角
( C)
返回导航
第一章 三角函数
[解析] (1)①π2<3<π，π<4<32π，32π<5<2π，
∴sin3>0，cos4<0，tan5<0，∴sin3·cos4·tan5>0．
②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标
(a，b)，则对应角的正弦值 sinα＝ a2b＋b2，余弦值 cosα＝ a2a＋b2，正切值 tanα数 学Fra bibliotek必＝ab．
修 ④
(2)当角 α 的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参
·
人 教
数进行分类讨论．
A
版
返回导航
数 学 必 修 ④ · 人 教 A 版
返回导航
第一章 三角函数
3．已知α是第三象限角，设sinαcosα＝m，则有
A．m>0
B．m＝0
C．m<0
D．m的符号不确定
(A)
4．(2018·江西高安中学期末)已知角α的终边经过P(1,2)，则tanα·cosα等于 25 _____5_．
数 学 必
[解析] 由三角函数的定义，tanα＝yx＝2，cosα＝xr＝ 55，∴tanα·cosα＝255．
人 教
函数值的函数，我们将它们统称为三角函数(trigonometric function)．
A
版
高一下册数学必修四第一章 三角函数.知识点及同步练习
巩固练习
1、 在直角坐标系中，若角α与角β的终边关于x轴对称，则α与β的
关系一定是 （ ）
A．α=－β B．α+β=k·360°(k∈Z) C．α－β=k·360°(k∈Z)
D．以上答案都不对
2、圆内一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角是
（）
A．等于1弧度 B．大于1弧度 C．小于1弧度
D．无法
判断
（2） 角α + k·720 °与角α终边相同，但不能表示与角
α终边相同的所有角． 例4．写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 例5．写出终边在上的角的集合S,并把S中适合不等式－ 360°≤β＜720°的元素β写出来． 思考题：已知α角是第三象限角，则α/2，α/3，α/4各是第 几象限角？
D．｛α∣－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z｝
11、下列命题是真命题的是（ ）
Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B．第一象限的角必是
锐角
C．不相等的角终边一定不同
D．=
12、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、
C关系是（ ）
A．B=A∩C B．B∪C=C
度记做1rad．在实际运算中，常常将rad单位省略．
3．思考：
（1）一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是否是确
定的？与圆的半径大小有关吗？
弧度制的性质：
①半圆所对的圆心角为
②整圆所对的圆心角为
③正角的弧度数是一个正数．
④负角的弧度数是一
个负数．
⑤零角的弧度数是零．
⑥角α的弧度数的绝
对值|α|=
始边 终边 顶点 A O B
必修四第一章三角函数-1.3三角函数的诱导公式
1.3三角函数的诱导公式学习过程知识点1：诱导公式（二）sin （180°+α）=－sin α cos （180°+α）=－cos α tg （180°+α）=tg α（2）结构特征：①函数名不变，符号看象限（把α看作锐角时） ②把求（180°+α）的三角函数值转化为求α的三角函数值。
知识点2：诱导公式（三）sin （－α）=－sin α cos （－α）=cos α tg （－α）=－tg α结构特征：①函数名不变，符号看象限（把α看作锐角） ②把求（－α）的三角函数值转化为求α的三角函数值 知识点3：诱导公式（四） Sin(π－α)＝Sin α Cos(π－α)＝－cos α Ten(π－α)＝－tan α知识点4：诱导公式（五） sin()cos ;cos()sin 22ππαααα-=-= 知识点5：诱导公式（六）sin()cos ;cos()sin 22ππαααα+=+= 学习结论1．诱导公式（二）sin （180°+α）=－sin α cos （180°+α）=－cos α tg （180°+α）=tg α 2．诱导公式（三）sin （－α）=－sin α cos （－α）=cos α tg （－α）=－tg α 3．诱导公式（四） Sin(π－α)＝Sin α Cos(π－α)＝－cos α Ten(π－α)＝－tan α 4．诱导公式（五） sin()cos ;cos()sin 22ππαααα-=-= 5、诱导公式（六）sin()cos ;cos()sin 22ππαααα+=+=典型例题例1、例题1已知角α的终边经过P(3a，-4a)(a≠0)，求α角的正弦、余弦、正切、余切函数值．解析:设P点到原点O的距离为r．当a＜0时，r=5|a|=-5a．这时，例题2 设α角终边上的一点P的坐标是(x，y)，P点到原点的距离是r．(1)已知r，α，求P点的坐标；(2)已知α，y，求r；(3)已知α，x，求y．例题3已知|cosθ|≤|sinθ|，求θ的取值范围．解析:由三角函数的定义，知其中(x，y)是角θ终边上任意一点P的坐标，r是P点到原点的距离．因为r＞0，要使|cosθ|≤|sinθ|，只须|x|≤|y|．所以，θ角的终边落在如图所示的阴影部分内，即例题4化简下列各式：(1)sin(α-π)sec(-α+4π)tg(α-3π)+tg2(3π-α)²csc2(2π+α)解析: (1) 原式=sin[-(-π-α)]sec(4π-α)tg[-(3π-α)] +tg2(3π-α)²csc2(2π+α)=-sin α²sec α²tg α+tg2α²csc2α =-tg2α+tg2α²csc2α=-tg2α(1-csc2α) =-tg2α²(-ctg2α)=1(2) 原式=sin α²tg α²csc α(-ctg α)=-1三角函数的诱导公式(基础训练)1、 下列四个命题中可能成立的一个是（ ） A 、21cos 21sin ==αα且 B 、1cos 0sin -==αα且 C 、1cos 1tan -==αα且 D 、α是第二象限时，αααcos tan sia -= 答案：B解析：因为1cos 0sin -==αα且当απ=时成立。
第13讲 必修4第一章三角函数的图像与性质(教师版)
11．α是第一象限角，tan α＝34，则sin α＝()A.45 B.35C．－45D．－35解析：选B tan α＝sin αcos α＝34，sin2α＋cos2α＝1，且α是第一象限角，所以sin α＝35.2．(2013·安徽名校模拟)已知tan x＝2，则sin2x＋1＝()A．0 B.95 C.43 D.53解析：选B sin2x＋1＝2sin2x＋cos2xsin2x＋cos2x＝2tan2x＋1tan2x＋1＝95.3．(2013·西安模拟)已知2tan α·sin α＝3，－π2＜α＜0，则sin α＝()A.32B．－32 C.12D．－12解析：选B由2tan α·sin α＝3得，2sin2αcos α＝3，即2cos2α＋3cos α－2＝0，又－π2＜α＜0，解得cos α＝12(cos α＝－2舍去)，故sin α＝－3 2.4．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝()A.12B．2 C．－12D．－2解析：选B∵cos α＋2sin α＝－5，结合sin2α＋cos2α＝1得(5sin α＋2)2＝0，∵sin α＝－255，cos α＝－55，∵tan α＝2.5．化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos π＋α＋sin π－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin π＋α＝________.解析：原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α－sin α－sin α＝－sin α＋sin α＝0.答案：01．(教材改编)函数y ＝12sin x ，x ∵[－π，π]的单调性是( )A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π，－π2和⎣⎡⎦⎤π2，π上都是减函数 C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D ．在⎣⎡⎦⎤π2，π和⎣⎡⎦⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是减函数 答案 B2．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∵Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∵Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π8，k ∵Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π2＋π4，k ∵Z 答案 D解析 由2x ≠k π＋π2，k ∵Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∵Z ，∵y ＝tan 2x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∵Z . 3．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω等于( )A.23B.32 C ．2 D ．3 答案 B解析 ∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点，∵当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数； 当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时， y ＝sin ωx 是减函数．由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∵ω＝32. 4．(2015·安徽)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( ) A ．f (2)<f (－2)<f (0) B ．f (0)<f (2)<f (－2)C ．f (－2)<f (0)<f (2)D ．f (2)<f (0)<f (－2) 答案 A解析 由于f (x )的最小正周期为π， ∵ω＝2，即f (x )＝A sin(2x ＋φ)，又当x ＝2π3时，2x ＋φ＝4π3＋φ＝2k π－π2(k ∵Z )，∵φ＝2k π－11π6(k ∵Z )，又φ>0，∵φmin ＝π6，故f (x )＝A sin(2x ＋π6)．于是f (0)＝A sin π6，f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫4＋π6＝A sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫4＋π6＝A sin ⎝⎛⎭⎫5π6－4， f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6＝A sin ⎝⎛⎭⎫13π6－4＝A sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫13π6－4＝A sin ⎝⎛⎭⎫4－7π6. 又∵－π2<5π6－4<4－7π6<π6<π2，又f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增， ∵f (2)<f (－2)<f (0)，故选A.5．函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝________. 答案 5 3π4＋2k π(k ∵Z )解析 函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5， 此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∵Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∵Z )．1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图跟踪练习1 (1)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为__________________________．(2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为______________________________________．答案 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∵Z(2)⎣⎡⎦⎤－12－2，1 解析 (1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜x ＜π＋2k πk ∵Z ，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k πk ∵Z ， ∵2k π＜x ≤π3＋2k π(k ∵Z )，∵函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∵Z .(2)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，sin x cos x ＝1－t 22，且－2≤t ≤ 2.∵y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.∵函数的值域为⎣⎡⎦⎤－12－2，1.题型二 三角函数的单调性例2 (1)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∵Z ) B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∵Z ) C.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∵Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∵Z ) (2)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________． 答案 (1)B (2)⎣⎡⎦⎤12，54解析 (1)由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∵Z )得，踪练习3 (1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为________． (2)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝5π3对称，则实数a 的值为( )A ．－ 3B ．－33 C. 2 D.22答案 (1)2或－2 (2)B解析 (1)∵f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，∵x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴．∵f ⎝⎛⎭⎫π6＝±2.(2)由x ＝5π3是f (x )图象的对称轴，可得f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫10π3， 解得a ＝－33.1、 (2014陕西,2,5分,∵∵∵)函数f(x)=cos 的最小正周期是( )A. B.π C.2π D.4π 思路点拨 根据公式T=计算.[答案] B [解析] T===π.故选B.2、(2013江苏,1,5分,∵∵∵)函数y=3sin的最小正周期为________.[答案]π[解析]由题意知ω=2,所以T==π.3、(2015山东烟台模拟,∵∵∵)求下列函数的最小正周期:(1)y=sin;(2)y=|sin x|.思路点拨(1)利用公式求最小正周期;(2)可利用图象法求最小正周期.[答案]答案见解析[解析](1)y=sin,其中ω=2,∵T==π.(2)函数y=|sin x|的图象如下图所示,可知其最小正周期为π.4、(2015四川,5,5分,∵∵∵)下列函数中,最小正周期为π的奇函数是()A.y=sinB.y=cosC.y=sin 2x+cos 2xD.y=sin x+cos x思路点拨利用函数的奇偶性逐项验证.[答案]B[解析]A中,y=cos 2x,最小正周期为π,为偶函数,不符合题意;B中,y=-sin 2x,最小正周期为π,且为奇函数,符合.C,D为非奇非偶的函数.5、(2014陕西西安模拟,∵∵∵)下列函数中是奇函数的是()A.y=-|sin x|B.y=sin(-|x|)C.y=sin |x|D.y=x·sin |x|思路点拨利用f(-x)=-f(x)进行判断.[答案]D[解析]四个函数的定义域都是R,设f(x)=x·sin|x|,则f(-x)=(-x)·sin|-x|=-x·sin|x|=-f(x),∵y=x·sin|x|是奇函数,故选D.6、(2014广东,5,5分,∵∵∵)下列函数为奇函数的是()A.y=2x-B.y=x3sin xC.y=2cos x+1D.y=x2+2x思路点拨根据奇函数的定义判断.[答案]A[解析]由函数奇偶性的定义知,B、C中的函数为偶函数,D中的函数为非奇非偶函数,只有A中的函数为奇函数,故选A.7、(2012天津,6,5分,∵∵∵)下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为()A.y=cos 2x,x∵RB.y=log2|x|,x∵R且x≠0C.y=,x∵RD.y=x3+1,x∵R思路点拨根据选项中各个函数的性质判断,有一定的综合性.[答案]B[解析]函数y=cos 2x在区间上单调递减,在区间上单调递增,不合题意,排除A;函数y=是奇函数,排除C;y=x3+1是非奇非偶函数,排除D;y=log2|x|=是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,故选B.8、(2012大纲全国,3,5分,∵∵∵)若函数f(x)=sin (φ∵[0,2π])是偶函数,则φ=()A. B. C. D.思路点拨根据特例来求解.[答案]C[解析]∵f(x)是偶函数,∵=+kπ(k∵Z).∵φ=π+3kπ(k∵Z),又φ∵[0,2π],∵φ=π.9、(2014安徽,14,5分,∵∵∵)若函数f(x)(x∵R)是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f(x)=则f+f=________.思路点拨根据函数的周期性将待求函数值的自变量值转化到分段函数中的定义域范围内,结合奇函数性质求解.[答案][解析]∵f(x)是以4为周期的奇函数,∵f=f=f,f=f=f.∵当0≤x≤1时, f(x)=x(1-x),∵f=×=.∵当1<x≤2时, f(x)=sin(πx),∵f=sin=-.又∵f(x)是奇函数,∵f=-f=-,f=-f=.∵f+f=-+=.10、(2012课标全国,9,5分,∵∵∵)已知ω>0,函数f(x)=sin在单调递减,则ω的取值范围是()A. B. C. D.(0,2]思路点拨利用正弦函数的单调性及单调区间求解.[答案]A[解析]由<x<π得+<ωx+<ωπ+,又y=sin α在(k∵Z)上递减,∵解得由ω>0知+2k>0,∵k>-.若要不等式组有解,则+4k≤+2k,解得k≤,又k∵Z,∵k=0,∵≤ω≤,故选A.11、(2011安徽,9,5分,∵∵∵)已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,若f(x)≤对x∵R恒成立,且f>f(π),则f(x)的单调递增区间是()A. (k∵Z)B. (k∵Z)C. (k∵Z)D. (k∵Z)思路点拨恒成立问题可转化为最值问题,然后根据单调区间等知识求解.[答案]C[解析]∵f(x)≤恒成立,∵=1.∵+φ=+kπ,k∵Z.∵φ=+kπ,k∵Z.又∵f>f(π),即sin(π+φ)>sin(2π+φ),∵-sin φ>sin φ,∵2sin φ<0,∵sin φ<0.∵当k=1时,φ=+π=,满足sin φ<0,∵f(x)=sin=-sin.∵要求f(x)的单调递增区间,只需2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∵Z,即kπ+≤x≤kπ+,k∵Z.∵f(x)的单调递增区间是(k∵Z).12、(2015上海长宁区一模,∵∵∵)设ω>0,若函数f(x)=2sin ωx在上单调递增,则ω的取值范围是________.思路点拨∵ω>0,先求出f(x)=2sin ωx的单调递增区间,而是其中的一个子集,由集合关系,求出ω的取值范围.[答案][解析]三角函数f(x)=2sin ωx的图象如图.由图知f(x)在上是单调增函数,结合题意得解得0<ω≤.13、(2014福建,7,5分,∵∵∵)已知函数f(x)=则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[-1,+∞)思路点拨分段函数问题可以考察各段函数的性质,或结合图象判断.[答案]D[解析]作出f(x)的图象如图所示,可排除A,B,C,故D正确.14、(2014课标∵,6,5分,∵∵∵)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]上的图象大致为()思路点拨列出函数y=f(x)的表达式后判断函数的图象,或取x的几个特殊值来验证.[答案]C[解析]由题图可知:当x=时,OP∵OA,此时f(x)=0,排除A、D;当x∵时,OM=cos x,设点M到直线OP 的距离为d,则=sin x,即d=OMsin x=sin xcos x,∵f(x)=sin xcos x=sin 2x≤,排除B,故选C.15、(2013江西改编,∵∵∵)设f(x)=2sin,若对任意实数x都有|f(x)|≤a,则实数a的取值范围是________.思路点拨对已知条件“对任意实数x都有|f(x)|≤a”的理解是解答关键,把此条件转化为函数f(x)的最大值问题.[答案] [2,+∞) [解析] ∵≤1,∵≤2,即对任意实数x,有|f(x)|≤2,要使|f(x)|≤a 恒成立,只要a 不小于|f(x)|的最大值即可,∵a≥2.[方法与技巧]1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．4．对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题：首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解． [失误与防范]1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数．3．三角函数的最值可能不在自变量区间的端点处取得，直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1．对于函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π2，下列说法正确的是( ) A ．f (x )的周期为π，且在[0,1]上单调递增B ．f (x )的周期为2，且在[0,1]上单调递减C ．f (x )的周期为π，且在[－1,0]上单调递增D ．f (x )的周期为2，且在[－1,0]上单调递减 答案 B解析 因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π2＝cos πx ，则周期T ＝2，在[0,1]上单调递减，故选B. 2．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－3 答案 A解析 利用三角函数的性质先求出函数的最值．∵0≤x ≤9，∵－π3≤π6x －π3≤7π6，∵sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3∵⎣⎡⎦⎤－32，1.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∵Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∵Z .当k ＝0时，－3π8≤x ≤π8，故选C.12．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32 C ．2 D ．3答案 B解析 ∵ω＞0，－π3≤x ≤π4，∵－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∵ω≥32.13．(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 答案 π解析 ∵f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性， ∵T 2≥π2－π6， ∵T ≥2π3.∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3，∵f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝－f ⎝⎛⎭⎫π6， ∵f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3.∵14T ＝7π12－π3＝π4，∵T ＝π. 14.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝________. 答案 3解析 由题中图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4，即最小正周期为π2，所以ω＝2.∵g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∵Z .。
高中数学必修四第一章三角函数公式总结
高中数学必修四第一章三角函数公式总结锐角三角函数公式sin α=∠α的对边 / 斜边cos α=∠α的邻边 / 斜边tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=2tanA/1-tanA^2注：SinA^2 是sinA的平方 sin2A三倍角公式sin3α=4sinα·sinπ/3+αsinπ/3-αcos3α=4cosα·cosπ/3+αcosπ/3-αtan3a = tan a · tanπ/3+a· tanπ/3-a三倍角公式推导sin3a=sin2a+a=sin2acosa+cos2asina辅助角公式Asinα+Bcosα=A^2+B^2^1/2sinα+t，其中sint=B/A^2+B^2^1/2cost=A/A^2+B^2^1/2tant=B/AAsinα+Bcosα=A^2+B^2^1/2cosα-t，tant=A/B降幂公式sin^2α=1-cos2α/2=versin2α/2cos^2α=1+cos2α/2=covers2α/2tan^2α=1-cos2α/1+cos2α半角公式tanA/2=1-cosA/sinA=sinA/1+cosA;cotA/2=sinA/1-cosA=1+cosA/sinA.sin^2a/2=1-cosa/2cos^2a/2=1+cosa/2tana/2=1-cosa/sina=sina/1+cosa三角和sinα+β+γ=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcosα+β+γ=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtanα+β+γ=tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ/1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα两角和差cosα+β=cosα·cosβ-sinα·sinβcosα-β=cosα·cosβ+sinα·sinβsinα±β=sinα·cosβ±cosα·sinβtanα+β=tanα+tanβ/1-tanα·tanβtanα-β=tanα-tanβ/1+tanα·tanβ和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[θ+φ/2] cos[θ-φ/2]sinθ-sinφ = 2 cos[θ+φ/2] sin[θ-φ/2]cosθ+cosφ = 2 cos[θ+φ/2] cos[θ-φ/2]cosθ-cosφ = -2 sin[θ+φ/2] sin[θ-φ/2] tanA+tanB=sinA+B/cosAcosB=tanA+B1-tanAtanB tanA-tanB=sinA-B/cosAcosB=tanA-B1+tanAtanB 积化和差sinαsinβ = [cosα-β-cosα+β] /2cosαcosβ = [cosα+β+cosα-β]/2sinαcosβ = [sinα+β+sinα-β]/2cosαsinβ = [sinα+β-sinα-β]/2诱导公式sin-α = -sinαcos-α = cosαtan —a=-tanαsinπ/2-α = cosαcosπ/2-α = sinαsinπ/2+α = cosαcosπ/2+α = -sinαsinπ-α = sinαcosπ-α = -cosαsinπ+α = -sinαcosπ+α = -cosαtanA= sinA/cosAtanπ/2+α=-cotαtanπ/2-α=cotαtanπ-α=-tanαtanπ+α=tanα抓好基础是关键数学习题无非就是数学概念和数学思想的组合应用，弄清数学基本概念、基本定理、基本方法是判断题目类型、知识范围的前提，是正确把握解题方法的依据。