中考数学十大解题思路之反证法经典例题讲解及答案解析
反证法经典例题
1、已知三个整数a, b, c满足a + b + c = 0，假设a, b, c均不为0，则以下结论不可能成立的是：A. a, b, c均为正数B. a, b, c均为负数C. a, b为正数，c为负数D. a为正数，b, c为负数（答案）A2、假设地球是一个完美的球体，且其自转速度突然加倍，以下哪个现象不会被观察到？A. 地球的赤道半径会因离心力增加而变大B. 地球的一天将缩短为原来的一半C. 地球的重力加速度在赤道处会减小D. 地球的两极地区将变得更加温暖（答案）D3、在三角形ABC中，若∠A > ∠B，则以下结论错误的是：A. 边BC > 边ACB. 若∠C为钝角，则∠B必为锐角C. 若AB = AC，则∠B = ∠CD. 边AB一定大于边BC（答案）D4、假设所有动物都能进行光合作用，以下哪个推论是错误的？A. 动物将不再需要食物来获取能量B. 动物园的饲养成本将大大降低C. 植物的生存空间可能会受到威胁D. 动物的活动范围将不再受食物来源限制（答案）A（因为即使能进行光合作用，动物可能仍需其他营养物质）5、假设人类可以无限期地不睡觉而不受任何负面影响，以下哪个情况最不可能发生？A. 人类的工作效率将大幅提高B. 人类的记忆力可能会增强C. 人类的创造力将无限激发D. 人类的平均寿命会显著缩短（答案）D6、在一个完全由左撇子组成的社区中，假设所有工具都为左手设计，以下哪个说法是不合理的？A. 右手工具将在这个社区中找不到市场B. 社区成员使用工具时将更加高效C. 如果一个右撇子访问该社区，他将难以使用任何工具D. 社区成员的左手将比右手更发达（答案）D（因为未提及左手会比右手更频繁使用导致更发达）7、假设时间可以倒流，但物理定律仍然适用，以下哪个现象不可能发生？A. 破碎的玻璃杯会重新组合完好B. 人可以回到过去并改变历史C. 热量会从低温物体自发流向高温物体D. 光会逆向传播回到光源（答案）C（违反了热力学第二定律）8、在一个假想的宇宙中，所有物体的质量都是负数，以下哪个物理现象将不再成立？A. 万有引力定律B. 牛顿第三定律（作用与反作用）C. 光的传播速度在真空中是恒定的D. 物体具有惯性（答案）A（因为负质量会导致引力方向异常，传统万有引力定律不适用）9、假设声音在真空中的传播速度与光相同，以下哪个现象不会被观察到？A. 太空中的宇航员可以直接对话B. 地球上的雷声会传播得更远C. 声音可以在月球表面传播D. 超声波检测在医学上的应用将受到限制（答案）D（超声波检测的应用不会因声音传播速度变快而受限）10、假设人类可以瞬间移动到地球上的任何地点，以下哪个社会影响是最不可能发生的？A. 交通运输行业将经历重大变革B. 城市拥堵问题将得到彻底解决C. 旅游业将迎来前所未有的繁荣D. 人们对地理知识的兴趣将大幅下降（答案）D（瞬间移动可能增加探索世界的兴趣）。
数学反证法经典例题
数学反证法经典例题一、题目：假设“所有整数都是偶数”成立，则下列结论正确的是？A. 1是奇数B. 2是奇数C. 3是偶数D. 存在奇数（答案）C（注：在假设下，所有整数包括奇数也应被视为偶数，但此假设本身是错误的，此题考察反证法思维）二、题目：若声称“所有质数都是大于2的偶数”，则根据这一错误假设，下列哪个数不应被视为质数？A. 2B. 3C. 5D. 7（答案）B（注：在假设下，只有大于2的偶数被视为质数，但实际上3是质数且为奇数，此题同样考察反证法及质数定义）三、题目：假设“所有三角形的内角和不等于180度”，则以下哪个三角形的内角和在此假设下不可能成立？A. 等边三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 任意三角形（答案）D（注：根据几何学基本定理，任意三角形的内角和总是180度，此假设错误，用于考察反证法）四、题目：若有人认为“所有正整数的倒数都小于1”，则下列哪个数的倒数不符合这一错误假设？A. 1B. 2C. 3D. 4（答案）A（注：1的倒数是1，不小于1，此题考察反证法及对倒数概念的理解）五、题目：假设“所有平行线都会相交”，则根据这一错误假设，在平面几何中不可能存在的是？A. 两条平行线B. 两条相交线C. 一条直线和一个点D. 一个三角形（答案）A（注：平行线定义为不相交的直线，此假设与平行线定义相悖，考察反证法及平行线概念）六、题目：若声称“所有实数的平方都是正数”，则下列哪个数的平方不符合这一错误假设？A. 1B. -1C. 0.5D. -0.5（答案）B和D（注：负数和0的平方不是正数，但此题为单选题形式，更严谨的答案是指出存在多个不符合，若必须单选，可选B或D中的任意一个作为代表，此题考察反证法及实数平方性质）七、题目：假设“所有自然数的因数都只有1和它本身”，则根据这一错误假设，下列哪个数不符合这一条件？A. 1B. 2C. 3D. 4（答案）D（注：4除了1和4本身外，还有2作为因数，此假设实际上描述了质数的性质，但4不是质数，考察反证法及质数定义）八、题目：若有人认为“所有圆的周长与其直径的比值都不等于π”，则以下哪个圆的性质在此假设下不成立？A. 圆是闭合曲线B. 圆的对称性C. 圆的面积公式D. 圆的周长与直径之比是常数（答案）D（注：根据圆的定义，其周长与直径之比是π，此假设错误，考察反证法及对圆的基本性质的理解）。
中考数学十大题型解题方法之反证法
中考数学十大题型解题方法之反证法
反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种。
反证法可以分为归谬反证法（结论的反面只有一种）与穷举反证法（结论的反面不只一种）。
用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为（1）反设；（2）归谬；（3）结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大（小）于/不大（小）于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有（n一1）个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。
推理必须严谨。
导出的矛盾有如下几种类型与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
中考数学十大解题思路之反证法
中考数学十大解题思路之反证法一、选择题1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )A．有一个解B．有两个解 C．至少有三个解 D．至少有两个解[答案] C[解析]在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”故应选C.2．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为( )A．a、b、c都是奇数 B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数C．a、b、c都是偶数 D．a、b、c中至少有两个偶数[答案] B[解析] a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”．故应选B.3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( )A．假设三内角都不大于60° B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60° D．假设三内角至多有两个大于60°[答案] B[解析]“至少有一个不大于”的否定是“都大于60°”．故应选B.4.用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( )A．假设a，b，c都是偶数 B．假设a、b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个偶数 D．假设a，b，c至多有两个偶数[答案] B[解析] “至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c都不是偶数．5．命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是( )A．a<b B．a≤b C．a＝b D．a≥b[答案] B[解析]“a>b”的否定应为“a＝b或a<b”，即a≤b.故应选B.6.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是( ) A．甲B．乙C．丙D．丁[答案] C[解析]因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说对了，同时甲、乙中只有一人说对了，假设乙说的对，这样丙就错了，丁就对了，也就是甲也对了，与甲错矛盾，所以乙说错了，从而知甲、丙对，所以丙为获奖歌手．故应选C.7.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（）A.有一个内角大于60°B.有一个内角小于60°C.每一个内角都大于60°D.每一个内角都小于60°[答案] C[解析] 用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°．8.用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（）A.有两个角是直角B.有两个角是钝角C.有两个角是锐角D.一个角是钝角，一个角是直角[答案] A[解析] 用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先设这个三角形中有两个角是直角．9.用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设（）A.有一个锐角小于45°B.每一个锐角都小于45°C.有一个锐角大于45°D.每一个锐角都大于45°[答案] D[解析] 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设每一个锐角都大于45°．10.在证明“在△ABC中至少有两个锐角”时，第一步应假设这个三角形中（）A.没有锐角B.都是直角C.最多有一个锐角D.有三个锐角[答案] C[解析] 用反证法证明同一三角形中至少有两个锐角时，应先假设同一三角形中最多有一个锐角．11.用反证法证明：“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设（）A.一个三角形中至少有两个钝角B.一个三角形中至多有一个钝角C. 一个三角形中至少有一个钝角D.一个三角形中没有钝角[答案] A[解析] 从结论的反面出发进行假设，证明“一个三角形中至多有一个钝角”，应假设：一个三角形中至少有两个钝角．12.用反证法证明：在四边形中，至少有一个角不小于90°，应先假设（）A.四边形中有一个内角小于90°B.四边形中每一个内角都小于90°C.四边形中有一个内角大于90°D.四边形中每一个内角都大于90°[答案] B[解析] 用反证法证明：在四边形中，至少有一个角不小于90°，应先假设：四边形中的每个角都小于90°．13.用反证法证明“一个三角形中至少有两个锐角”时，下列假设正确的是（）A.假设一个三角形中只有一个锐角B.假设一个三角形中至多有两个锐角C.假设一个三角形中没有一个锐角D.假设一个三角形中至少有两个钝角[答案] D[解析] 用反证法应先假设“一个三角形中最多有一个锐角”或者假设一个三角形中至少有两个钝角．14.用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，下列假设正确的是（）A.三角形中最少有一个角是直角或钝角B. 三角形中没有一个角是直角或钝角C.三个角全是直角或钝角D.三角形中有两个（或三个）角是直角或钝角[答案]D[解析] 假设正确的是：假设三角形中有两个（或三个）角是直角或钝角．二，填空题1.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________．[答案]没有一个是三角形或四边形或五边形[解析]“至少有一个”的否定是“没有一个”．2．用反证法证明命题“a，b是自然数N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么反设的内容是________________．[答案]a，b都不能被5整除[解析]“至少有一个”的否定是“都不能”．3．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为____________．[答案]③①②[解析] 由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.4.若a∥b，b∥c，证明a∥c．用反证法证明的第一步是假设a与c不平行5.“对角线不互相平分的四边形不是平行四边形”，这个命题用反证法证明应假设对角线不互相平分的四边形是平行四边形6.用反证法证明“三角形中最多有一个是直角或钝角”时应假设三角形中至少有两个是直角或钝角7.用反证法证明“四边形的四个内角不能都是锐角”时，应首先假设四边形的四个内角都是锐角．8.用反证法证明：“多边形的内角中锐角的个数最多有三个”的第一步应该是：假设多边形的内角中锐角的个数最少是4个．9.用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时，可以假设为三角形中最少有两个角是直角．10.用反证法证明“在△ABC中，至少有一个内角小于或等于60°”时，第一步是假设△ABC中，每一个内角都大于60°．11.用反证法证明命题“一个三角形的三个内角中，至多有一个钝角”的第一步应假设一个三角形的三个内角中，至少有两个钝角．12.“反证法”证明命题“等腰三角形的底角是锐角”时，是先假设等腰三角形的两底都是直角或钝角．三、解答题1．已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.求证：a>0，b>0，c>0.证明:用反证法：假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，不妨设a<0，b<0，c>0，则由a＋b＋c>0，可得c>－(a＋b)，又a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2∵a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，即ab＋bc＋ca<0，这与已知ab＋bc＋ca>0矛盾，所以假设不成立．因此a>0，b>0，c>0成立．2．用反证法证明：等腰三角形两底角必为锐角．证明：①设等腰三角形底角∠B，∠C都是直角，则∠B+∠C=180°，而∠A+∠B+∠C=180°+∠A＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．②设等腰三角形的底角∠B，∠C都是钝角，则∠B+∠C＞180°，而∠A+∠B+∠C=180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．综上所述，假设①，②错误，所以∠B，∠C只能为锐角．故等腰三角形两底角必为锐角3.用反证法证明：一条线段只有一个中点．证明：假设线段AB有两个中点M、N，不妨设M在N的左边，则AM＜AN，又AM=AB=AN=AB，这与AM＜AN矛盾，所以一条线段只有一个交点4.用反证法证明：“在一个三角形中，外角最多有一个锐角”．证明: 假设三角形中的外角有两个角是锐角．根据三角形的外角与相邻的内角互补，知：与这两个角相邻的两个内角一定是钝角，大于90°，则这两个角的度数和一定大于180度，与三角形的内角和定理相矛盾．因而假设错误．故在一个三角形中，外角最多有一个锐角．。
初中数学中的反证法例谈
初中数学中的反证法例谈反证法是数学证明中非常常用的一种方法，在初中数学中也经常会遇到一些需要使用反证法来证明的问题。
以下是几个反证法的例子：1. 证明所有正整数都是奇数或偶数。
假设存在一个既不是奇数也不是偶数的正整数，那么这个正整数既不满足奇数的定义也不满足偶数的定义，与假设矛盾。
因此，所有正整数都是奇数或偶数。
2. 证明根号2是无理数。
假设根号2是有理数，那么可以表示为一个分数，即根号2 =a/b，其中a和b都是整数，且a和b互质。
将这个等式两边平方得2 = a^2 / b^2，即a^2 = 2b^2。
因为2是质数，所以a必须是2的倍数，那么就可以表示为a = 2c（c是整数）。
带入到a^2 =2b^2中得到(2c)^2 = 2b^2，即4c^2 = 2b^2或2c^2 = b^2。
这意味着b也是2的倍数，与a和b互质的条件矛盾。
因此，根号2是无理数。
3. 证明当正整数n不是完全平方数时，√n是无限不循环小数。
假设√n是有限循环小数，即可以表示为a/b（a和b都是整数，且a和b互质），那么可以得到n = a^2/b^2。
因为n不是完全平方数，所以a和b必须互质，且a和b至少有一个是奇数。
假设a是奇数，那么a^2是奇数，b^2是偶数，所以a^2/b^2是一个无限不循环小数。
同理，如果b是奇数，也可以推出a^2/b^2是一个无限不循环小数。
因此，当正整数n不是完全平方数时，√n是无限不循环小数。
这些例子展示了在初中数学中应用反证法的常见情形，可以巩固理解反证法在解决数学问题时的重要作用。
高中数学反证法解题技巧
高中数学反证法解题技巧高中数学中，反证法是一种重要的解题方法，通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
在解题过程中，灵活运用反证法可以帮助我们更好地理解和解决问题。
本文将从几个具体的题目入手，介绍高中数学中常见的反证法解题技巧，并给出详细的解题思路和步骤。
一、证明两直线平行的反证法题目：已知直线l1和直线l2，证明若l1与l2的斜率相等，则l1与l2平行。
解题思路：我们可以采用反证法来证明这个命题。
假设l1与l2不平行，即l1与l2有交点A。
由于l1与l2的斜率相等，所以l1与l2的斜率分别为k。
设直线l1的方程为y = kx + b1，直线l2的方程为y = kx + b2。
由于直线l1与l2有交点A，所以A点的坐标(x0, y0)同时满足l1和l2的方程。
代入l1的方程可得y0 = kx0 + b1，代入l2的方程可得y0 = kx0 + b2。
由此可得b1= b2，即l1与l2的截距相等。
然而，根据直线的性质，不平行的两条直线的截距必不相等。
因此，假设不成立，即l1与l2平行。
二、证明存在无理数题目：证明存在一个无理数x，使得x的平方是有理数。
解题思路：我们可以采用反证法来证明这个命题。
假设所有平方根都是有理数，即对于任意实数x，若x的平方是有理数，则x是有理数。
设x是一个无理数，即x不是有理数。
根据假设，x的平方是有理数。
那么根据平方根的性质，x的平方根也应该是有理数。
然而，这与x是无理数的前提相矛盾。
因此，假设不成立，存在一个无理数x，使得x的平方是有理数。
三、证明存在无穷多个素数题目：证明存在无穷多个素数。
解题思路：我们可以采用反证法来证明这个命题。
假设存在有限个素数p1,p2, ..., pn，它们是所有素数的完全列表。
考虑数M = p1 * p2 * ... * pn + 1，显然M大于p1, p2, ..., pn。
根据素数的定义，M要么是素数，要么可以分解为素数的乘积。
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法在初中数学解题中的运用分析反证法是一种证明方法，运用反证法可以达到“证明之外还证明”的效果，也就是通过证明不成立的情况来证明规律的正确性。
在初中数学中，反证法可以有效地应用于解题，以下是几个例子：1、证明根号2是无理数。
假设根号2是有理数，可以表示为p/q，其中p,q互质。
则根号2=p/q，两边平方得到2=p*p/q*q，化简可得到p*p=2*q*q，由于2是质数，而p*p是偶数，就可以推出p也是偶数。
那么p=2k，代入原式可得到2=q*k，则q也是偶数。
这与p,q互质矛盾，因此假设不成立，根号2是无理数。
2、证明平方根小数是无限不循环小数。
假设平方根的小数部分有限、循环。
设其小数部分为a.b(c)。
则有a.b(c)=x/10^t+y/(10^(t+1))+z/(10^(t+2))+…，即表示成有限的分数形式。
那么可以将该分数转换为最简分数a’/b’，然后平方可得到(a’)^2/(b’)^2=2+2y/(10^t)+(y/(10^t))^2+(2z/(10^(t+1))+(z/(10^(t+1)))^2+……3、证明勾股数不存在除1以外的公因数。
假设勾股数存在除1以外的公因数d，则可以表示a=dm，b=dn。
那么c^2=a^2+b^2=d^2(m^2+n^2)，即c也能被d整除，此时c/d也是一个整数，且满足c/d是勾股数a/d，b/d的最大公因数。
这与a/d，b/d互质矛盾，因此假设不成立，勾股数不存在除1以外的公因数。
以上几个例子展示了反证法在初中数学解题中的应用，可以看到反证法是一种极为重要的证明方法。
在解题过程中，可以运用一些技巧，如化简、分解因式、求幂、辗转相除等，帮助分析矛盾的来源，找到反证的破绽，从而得出正确的结论。
初中奥数数论反证法基础问题必备
反证法(⼜称背理法)是⼀种论证⽅式，他⾸先假设某命题不成⽴(即在原命题的条件下，结论不成⽴)，然后推理出明显⽭盾的结果，从⽽下结论说原假设不成⽴，原命题得证。
反证法与归谬法相似，但归谬法不仅包括推理出⽭盾结果，也包括推理出不符事实的结果或显然荒谬不可信的结果。
例：桌上有9只杯⼦，全部⼝朝上，每次将其中6只同时“翻转”.请说明：⽆论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯⼦全部⼝朝下。
解：要使⼀只杯⼦⼝朝下，必须经过奇数次“翻转”.要使9只杯⼦⼝全朝下，必须经过9个奇数之和次“翻转”.即“翻转”的总次数为奇数.但是，按规定每次翻转6只杯⼦，⽆论经过多少次“翻转”，翻转的总次数只能是偶数次.因此⽆论经过多少次“翻转”，都不能使9只杯⼦全部⼝朝下。
这个证明过程教给我们⼀种思考问题和解决问题的⽅法.先假设某种说法正确，再利⽤假设说法和其他性质进⾏分析推理，最后得到⼀个不可能成⽴的结论，从⽽说明假设的说法不成⽴.这种思考证明的⽅法在数学上叫“反证法”。
初中数学反证法简单例子
初中数学反证法简单例子初中数学中的反证法是一种常用的证明方法，通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出与已知事实相矛盾的结论，从而证明原命题一定成立。
下面我们来列举一些初中数学中常用的反证法的简单例子。
1. 命题：不存在任意两个不相等的正整数，使得它们的和等于它们的积。
假设存在两个不相等的正整数a和b，满足a + b = ab。
由于a和b不相等，不妨设a > b，那么有a > a/2 > b。
根据不等式性质，我们可以得到2a > a + b = ab，即2 > b。
但是正整数b不可能小于2，与假设矛盾。
因此，不存在任意两个不相等的正整数满足该条件。
2. 命题：存在一个无理数x，使得x的平方等于2。
假设不存在这样的无理数x，即对于任意实数x，x的平方不等于2。
那么我们可以考虑一个特殊的实数y，即y = √2。
根据无理数定义，√2不是有理数，因此是一个无理数。
而根据假设，y的平方不等于2，即y^2 ≠ 2。
然而，这与y = √2相矛盾。
因此，存在一个无理数x，使得x的平方等于2。
3. 命题：对于任意正整数n，2n不等于n的平方。
反证法证明：假设存在一个正整数n，使得2n = n^2。
可以将等式两边同时除以n，得到2 = n。
然而，这与n是一个正整数相矛盾。
因此，对于任意正整数n，2n不等于n的平方。
4. 命题：对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2不是一个完全平方数。
反证法证明：假设存在一个正整数n，使得n^2 + 3n + 2 = m^2，其中m是一个正整数。
可以将等式变形为n^2 + 3n + 2 - m^2 = 0。
这是一个关于n的二次方程，可以使用求根公式解得n = (-3 ± √(9 - 8(2 - m^2))) / 2。
由于n是一个正整数，因此根号内的值必须为正整数。
然而，当m取不同的正整数值时，根号内的值不可能为正整数，因此假设不成立。
因此，对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2不是一个完全平方数。
2020人教版中考数学专题 《反证法、命题与定理》含解答
2020中考数学专题 《反证法、命题与定理》含解答一、选择题1．下列命题是真命题的是（ ）A.两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等B.平分弦的直径垂直于弦C.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D.两条直线别第三条直线所截，内错角相等【答案】C ．【解析】A 、由两边及其中一边的对角分别相等无法证明两个三角形全等，故A 错误，是假命题；B 、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故B 错误，是假命题；C 、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，故C 正确，是真命题；D 、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故D 错误，是假命题；故选C ．2．下列命题是假命题的是（ ）A ．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上B ．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C ．n 边形（n ≥3）的内角和是180360n ︒-︒D ．旋转不改变图形的形状和大小【答案】B【解析】A ．由线段垂直平分线的判定知该选项是真命题．B ．等边三角形既是轴对称图形，但不是中心对称图形；故该选项为假命题．C ．由n 边形（n ≥3）的内角和是()2180n -︒知该选项是真命题．D ．由旋转的性质得该选项是真命题．3．下列命题是假命题的是（ ）A. n 边形（n≥3）的外角和是360°B. 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等C. 相等的角是对顶角D. 矩形的对角线互相平分且相等【答案】C ．【解析】对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故选C ．4．已知反比例函数x k y =的图象分别位于第二、第四象限，A （x1，y1）、B （x2，y2）两点在该图象上，下列命题：① 过点A 作AC ⊥x 轴，C 为垂足，连接OA ．若△ACO 的面积为3，则k ＝－6；②若x1＜0＜x2，则y1＞y2；③ 若x1＋x2＝0，则y1＋y2＝0其中真命题个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】①中，由反比例的几何意义可知，S △ACO ＝12|xy|＝3，∴|k|＝|xy|＝6,∵图象位于第二、第四象限，∴k ＝－6．正确；∵x1＜0＜x2，∴点A 在第二象限，点B 在第四象限，故y1＞y2,正确；③中，∵y1＝16x -,y2＝26x -,∴y1＋y2＝16x -＋26x -＝12126()x x x x -+,若x1＋x2＝0，∴y1＋y2＝0．正确，其中真命题有3个．故选D ．5. 下列命题是假命题的是（ ）A ．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形B ．同角（或等角）的余角相等C ．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等D ．正方形的对角线相等，且互相垂直平分【答案】A【解析】平行四边形一定是中心对称图形，但不一定是轴对称图形，选项A 是假命题；故选A ．6. 下列命题是真命题的是( )A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直的四边形是矩形C.对角线互相垂直的矩形是正方形D.四边相等的平行四边形是正方形【答案】C【解析】对角线相等的平行四边形是矩形,故A,B 均错误;对角线互相垂直的矩形是正方形,C 正确;四边相等的平行四边形是菱形,故D 错误;故选C.二、填空题12．(2019·泰州)命题"三角形的三个内角中至少有两个锐角"是______(填"真命题"或"假命题")【答案】真命题【解析】如果三角形有两个直角或钝角,那么内角和就大于180°,所以三角形中最多只能有一个钝角或直角,至少有两个锐角,故原命题为真命题.12．（2019·安徽）命题“如果a+b=0，那么a ，b 互为相反数”的逆命题为 .【答案】如果a ，b 互为相反数，那么a ＋b ＝0【解析】本题考查了命题及其逆命题的概念，解题的关键是理解命题的条件和结论．逆命题是将原命题的题设与结论部分对调.该命题的题设部分为“a ＋b ＝0”，结论部分为“a ，b 互为相反数”. 故答案为如果a ，b 互为相反数，那么a ＋b ＝0.三、解答题1. (2019·台州)我们知道,各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形.对一个各条边都相等的凸多边形(边数大于3),可以由若干条对角线相等判定它是正多边形.例如,各条边都相等的凸四边形,若两条对角线相等,则这个四边形是正方形.(1)已知凸五边形ABCDE 的各条边都相等.①如图1,若AC ＝AD ＝BE ＝BD ＝CE,求证:五边形ABCDE 是正五边形;②如图2,若AC ＝BE ＝CE,请判断五边形ABCDE 是不是正五边形,并说明理由;(2)判断下列命题的真假.(在括号内填写"真"或"假")如图3,已知凸六边形ABCDEF 的各条边都相等.①若AC ＝CE ＝EA,则六边形ABCDE 是正六边形;( )②若AD ＝BE ＝CF,则六边形ABCDE 是正六边形;( )解：(1)①在△EAD 和△ABE 中,AB ＝EA,AE ＝ED,BE ＝AD,∴△EAD ≌△ABE,同理可得△EAD ≌△ABE ≌△BCA ≌△CDB ≌△DEC,∴∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDE ＝∠DEA ＝∠EAB,∴五边形ABCDE 是正五边形;②∵AC ＝BE ＝CE,AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EA,∴△ABC ≌△EAB ≌△DEC,∴设∠DCE ＝∠ABE ＝∠BCA ＝x,易得△ACE ≌△BEC,∴设∠ACE ＝∠BEC ＝y,∵EB ＝EC,∴∠EBC ＝∠ECB ＝x+y,∴∠AED ＝2x+y,∠BCD ＝2x+y,∵∠ABC ＝2x+y,∴∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDE ＝∠DEA ＝∠EAB,∴五边形ABCDE 是正五边形;(2)①假命题;②假命题;21．（2019山东威海，21，8分）（1）阅读理解如图，点A ，B 在反比例函数的图象上，连接AB ，取线段AB 的中点C ，分别过点A ，C ，B 作x 轴的垂线，垂足为E ，F ，G ，CF 交反比例函数的图象于点D ，点E ，F ，G 的横坐标分别为n-1，n ，n ＋1（n ＞1）.小红通过观察反比例的图象，并运用几何知识得到结论：AE ＋BG ＝2CF ，CF ＞DF.由此得出一个关于之间数量关系的命题：若n ＞1，则（2）证明命题小东认为：可以通过“若≥0，则≥”的思路证明上述命题.小晴认为：可以通过“若＞0，＞0，且≥1，则≥”的思路证明上述命题.请你选择一种方法证明（1）中的命题.【解题过程】（1）∵A ，D ，B 都在反比例的图象上，且点E ，F ，G 的横坐标分别为n-1，n ，n ＋1（n ＞1）， ∴AE ＝BG ＝DF ＝.又∵AE ＋BG ＝2CF ，1y x =1y x =1y x =112,,11n n n -+a b -a b a b a b ÷a b 1y x =1,1n -1,1n +1n∴CF ＝又∵CF ＞DF ，n ＞1，∴＞，即＞.故答案为＞.（2）选择选择小东的思路证明结论＞，∵n ＞1，∴＞0，∴＞.第二批一、选择题10．（2019·深圳）下列命题正确的是（）A ．矩形对角线互相垂直B ．方程x2=14x 的解为x=14C ．六边形的内角和为540°D ．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等【答案】D【思路分析】对各个选项逐项判断．【解题过程】A 中，矩形的对角线相等，而不具备对角线互相垂直，故A 错误；B 中，方程x2=14x 的解为x=14或x=0，故B 错误；C 中，六边形的内角和为（6－2）×180°=720°，故C 错误；选项D 正确．故选D ．【知识点】矩形的性质；一元二次方程的解法；正多边形的内角和；全等三角形8.（2019•广安）下列命题是假命题的是( )A ．函数35y x =+的图象可以看作由函数31y x =-的图象向上平移6个单位长度而得到B ．抛物线234y x x =--与x 轴有两个交点C ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D ．垂直于弦的直径平分这条弦【答案】C【解析】A 、函数35y x =+的图象可以看作由函数31y x =-的图象向上平移6个单位长度而得到，正确，是真命题；111(),211n n +-+111()211n n +-+1n 1111n n +-+2n 1111n n +-+2n 1111n n +-+2n 2221122(1)2()11(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n ++---+-==-+-+-+1111n n +-+2nB 、抛物线234y x x =--中△24250b ac =-=>，与x 轴有两个交点，正确，是真命题； C 、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故错误，是假命题；D 、垂直与弦的直径平分这条弦，正确，是真命题，故选C ．【知识点】命题与定理；一次函数的平移；抛物线与坐标轴的交点；正方形的判定；垂径定理16.（2019·资阳）给出以下命题：①平分弦的直径垂直于这条弦；②已知点A （﹣1，y1）、B （1，y2）、C （2，y3）均在反比例函数y =k x （k ＜0）的图象上，则y2＜y3＜y1；③若关于x 的不等式组{x ＜−1x ＞a 无解，则a ≥﹣1； ④将点A （1，n ）向左平移3个单位到点A1，再将A1绕原点逆时针旋转90°到点A2，则A2的坐标为（﹣n ，﹣2）．其中所有真命题的序号是．【答案】②③④【解析】①平分弦的直径垂直于这条弦，应该为：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故错误； ②反比例函数y =k x （k ＜0）在二、四象限，当x ＜0时，y ＞0；x ＞0时，y ＜0，且x 增大，y 增大，故y1＞y3＞y2，故正确；③若关于x 的不等式组{x ＜−1x ＞a无解，a ≥﹣1，正确； ④将点A （1，n ）向左平移3个单位到点A1，则A1（﹣2，n ），将A1绕原点逆时针旋转90°到点A2，A2的坐标为（﹣n ，﹣2），正确．以上正确的都为真命题，故答案为：②③④．【知识点】命题与定理二、填空题三、解答题第三批一、选择题7．（2019·永州）下列说法正确的是A ．有两边和一角分别相等的两个三角形全等B ．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形C ．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45°D ．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度【答案】D【解析】选项A 中，可能是“SSA ”的情形，不能判定两个三角形全等；选项B 中，没有“对角 线互相平分”这一条件，不能判定四边形为平行四边形，更不能判定为矩形；选项C 中，如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于90°；只有选项D 正确．7．（2019 · 北京）用三个不等式a b >，0ab >，11a b<中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】本题共有3个命题：命题①，如果a b >，0ab >，那么11a b<. ∵a b >，∴0a b ->.又∵0ab >；∴0a b ab ->，化简得11a b <，该命题为真命题. 命题②，如果a b >，11a b <；那么0ab >. ∵11a b <，∴110a b-<，0b a ab -<. ∵a b >，∴0b a -<，∴0ab >.该命题为真命题. 命题③，如果0ab >，11a b <，那么a b >. ∵11a b <，∴110a b-<，0b a ab -<. ∵0ab >，∴0b a -<， ∴b a <.该命题为真命题. 选D.【知识点】真假命题、不等式的性质.7.（2019 · 桂林）下列命题中，是真命题的是( )A ．两直线平行，内错角相等B ．两个锐角的和是钝角C ．直角三角形都相似D ．正六边形的内角和为360︒【答案】A【解析】解：A.两直线平行，内错角相等，正确，是真命题；B.两个锐角的和不一定是钝角，故错误，是假命题；C.所有的直角三角形不一定相似，故错误，是假命题；D.正六边形的内角和为720︒，故错误，是假命题；故选：A ．7．（2019 ·常州）判断命题“如果n＜1，那么n2－1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A．－2 B．－12C．0 D．12【答案】A【解析】本题考查了用举反例的方法证明一个假命题，根据反例的意义：即命题的条件成立，但命题的结论不成立的例子即可为反例，本题中由“－2＜1，而(－2)2－1＝3＞1”，从而反例中的n可以为－2，因此本题选A．【知识点】命题与证明；反证法；举反例。
反证法经典专题(带解析)
反证法专题50道18．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程30至少有两个实根”时，要x ax b做的假设是（）A．方程30恰好有两个实根x ax bx ax b没有实根B．方程30C．方程30至多有一个实根x ax b至多有两个实根D．方程30x ax ba b ，则,a b至少有一个小于0”时，假设应为（）19．利用反证法证明“若0A．,a b都小于0B．,a b都不小于0C．,a b至少有一个不小于0D．,a b至多有一个小于020．用反证法证明命题时，对结论：“自然数a，b，c中至少有一个是奇数”正确的假设为（）A．a，b，c都是偶数B．a，b，c都是奇数C．a，b，c中至少有两个奇数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数第1页，共17页参考答案：1．A【分析】根据命题的结论的否定进行判断即可.【详解】因为a ，b 中至少有一个能被5整除的否定是a ，b 都不能被5整除，所以假设的内容应该是a ，b 都不能被5整除，故选：A 2．B【分析】“至少有一个”的否定是“一个也没有”，进而可得答案.【详解】由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故命题“a ，b ∈N+，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除”的否定是“a ，b 都不能被5整除”．故选：B ．3．C【分析】根据反证法的定义即可直接得出结果.【详解】由反证法的定义，知在推导过程中，不能把原结论作为条件使用，其他都可以当作条件来使用，所以可以使用结论的否定、已知条件、公理、定理、定义等.故选：C.4．C【分析】根据反证法基本原理，对结论进行否定即可得到结果.【详解】“a 与b 都不能被7整除”的否定为：,a b 至少有一个能被7整除.故选：C.5．D【分析】根据给定条件，利用反证法的意义写出结论的否定作答.【详解】命题“如果0a b ”，“那么22a b ”的结论是22a b ，而反证法证明命题时，是假设结论不成立，即结论的反面成立，所以所求假设是22a b .故选：D 6．C答案第2页，共17页【分析】取命题的反面即可.【详解】用反证法证明命题，应先假设它的反面成立，即1x 且1y ，故选：C ．7．D【分析】利用反证法证明规则即可得到应假设0x 或0y .【详解】利用反证法证明，应先假设结论不成立，本题应假设0x 或0y 故选：D 8．C【分析】根据反证法证明命题的方法，应先假设命题的反面成立，故求出命题的反面即可.【详解】“x ，y 至多有一个大于0”包括“x ，y 都不大于0和有且仅有一个大于0”，故其对立面为“x ，y 都大于0”.故选：C.9．C【分析】反证法中“a ，b ，c 至少有一个是无理数”的假设为“假设a ，b ，c 都不是无理数”，对照选项即可得到答案.【详解】依题意，反证法中“a ，b ，c 至少有一个是无理数”的假设为“假设a ，b ，c 都不是无理数”，即“假设a ，b ，c 都是有理数”.故选：C.10．A【分析】根据“至少有一个大于”的反设是“三个都不大于”可直接得到结果.【详解】“至少有一个大于”的反设是“三个都不大于”，反设正确的是“三个内角都不大于60 ”.故选：A.11．B【分析】根据“至少有一个是偶数”的否定形式可直接判断出结果.【详解】∵“至少有一个是偶数”的否定形式为“都不是偶数”，假设正确的是：假设,,a b c 都不是偶数.故选：B.12．B【分析】“反证法”就是从命题的反面即否定形式入手考虑题设.故答案为：若“6x y ，则3x 且4y ”成立.45．0x 且0y 【分析】根据反证法思想，写出原命题证明中的假设条件即可.【详解】由反证法思想：否定原结论，推出矛盾，所以题设命题的证明，应假设0x 且0y .故答案为：0x 且0y 46．02a 【分析】根据反证法的结构特点可得正确的假设.【详解】对于命题：“已知a R ，若|1|1a ，则a<0或2a ”，用反证法证明时应假设：若02a .故答案为：02a .47．a b 且b c 成立【分析】假设结论的反面成立，即可求解．【详解】解：假设结论的反面成立，即a b 且b c 成立．故答案为：a b 且b c 成立．48．在一个三角形中至少有两个内角是钝角【分析】依据命题的否定即可求得结论的否定为“在一个三角形中至少有两个内角是钝角”【详解】命题“一个三角形中最多只有一个内角是钝角”的否定为“在一个三角形中至少有两个内角是钝角”故答案为：在一个三角形中至少有两个内角是钝角49．1x 且1y 【分析】根据给定条件，写出已知命题结论的否定作答.【详解】命题若2x y ，则1x 或1y 的结论是“1x 或1y ”，其否定为“1x 且1y ”，所以假设的内容应该是：1x 且1y .故答案为：1x 且1y 50．1x 且1y 【分析】根据反证法的原理可知.【详解】根据反证法的原理可知，求证1x 或1y 时，应首先假设1x 且1y .故答案为：1x 且1y 51．a ，b ，c 中至少有两个偶数【分析】用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，所以找出命题的否定是解题的关键.【详解】用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立.因为“自然数a，b，c中至多有一个偶数”的否定是：“a，b，c中至少有两个偶数”，所以用反证法证明“自然数a，b，c中至多有一个偶数”时，假设应为“a，b，c中至少有两个偶数”，故答案为：a，b，c中至少有两个偶数.。
人教版九年级数学上册方法专题一：逆向思维2反证法
“弄斧就要到班门” 逆向思维之反证法
从一个小学四年级的故事说 起。。。
道旁苦李
➢ 王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍。一天，他们发现路边 的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有 王戎没动。等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们 都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法在初中数学解题中的运用分析反证法是数学解题中经常使用的一种推理方法，它可以帮助我们证明一个命题是错误的。
在初中数学中，我们经常会在解题过程中运用反证法来断定一个命题的正确性，或者找到一个反例来否定一个命题。
一、反证法的基本思想反证法是一种证明方法，通过反证法可以推断出某些事物的非真实性或者不存在性。
其基本思想是反设所证命题的否定命题，然后通过证明所得到的结果与已知事实矛盾，从而得出所证的命题是成立的结论。
二、反证法在初中数学解题中的典型案例1. 一元二次方程无解性证明在初中数学中，我们学习了一元二次方程的求解方法，通常的形式是ax^2 + bx + c = 0。
如果我们想证明一个一元二次方程无实数解，就可以运用反证法。
我们可以按照以下的步骤进行证明：反设方程ax^2 + bx + c = 0有实数解，即方程存在实数根。
那么我们可以求出方程的判别式Δ=b^2-4ac，如果Δ<0，则方程无实数解。
2. 整数平方根不是整数的证明在初中数学中，我们学习了整数的性质，其中有一条是“如果一个整数不是平方数，那么它的平方根不是整数”。
我们可以通过反证法来证明这个命题：反设一个整数的平方根是整数，即√n是整数。
那么我们可以得到n=√n^2是一个平方数。
但是根据正整数的性质，如果n不是平方数，那么n的平方根不是整数。
从而得出矛盾，证明了原命题是正确的。
1. 提高逻辑思维能力通过运用反证法解题，可以帮助学生培养逻辑思维能力。
学生需要反设一个命题的否定命题，并通过逻辑推理来得出结论，这种训练能够提高学生的逻辑推理能力和思维能力。
2. 帮助理解抽象概念在初中数学中，有许多抽象概念需要学生进行理解和运用，如实数的性质、多项式的因式分解、几何图形的性质等。
通过反证法来解题，可以帮助学生更好地理解和应用这些抽象概念，提高他们的数学水平。
3. 培养问题解决能力反证法在数学解题中的运用，需要学生灵活运用所学知识来解决问题。
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法在初中数学解题中的运用分析反证法是一种基本的数学证明方法，在初中数学解题中也被广泛应用。
它是一种通过假设引出矛盾来证明某个命题的方法，通常用于证明一些不能直接得到结论的命题。
一、基本思想反证法的基本思想是：如果要证明一个命题P成立，可以假设它不成立，然后推出一个矛盾的结果，从而证明原命题成立。
这样的证明方式可以帮助我们避免直接证明带来的困难，使证明过程更为简单。
二、实例分析1. 证明“根号3是无理数”假设根号3是有理数，则可以写成根号3=a/b（a、b互质），其中a、b都是整数。
平方两边得3=a^2/b^2，从而得到a^2=3b^2。
这说明a的平方是3的倍数，因此a也是3的倍数，即a=3c（c∈Z）。
将其代入a^2=3b^2中得到9c^2=3b^2，即3c^2=b^2，由此可知b 也是3的倍数。
但是a、b是互质的，矛盾！因此假设不成立，根号3是无理数。
2. 证明“在一个无限的等差数列中，任意两个正整数的差都不能是1”假设该等差数列中存在正整数a、b，使得a-b=1。
令等差数列的第一项为c，公差为d，则有a=c+kd，b=c+(k-1)d，其中k是正整数。
带入a-b=1得到d=1，因此等差数列的公差为1。
若d=1，则对于任意正整数，其后面必然至少有一个正整数与之差为1，矛盾！因此假设不成立，证明了该命题。
三、注意事项反证法虽然在初中数学中被广泛应用，但它也存在一些需要注意的细节问题。
1. 假设的前提需要清晰明确。
在运用反证法时，我们需要明确假设的前提是什么，以免出现“抓住了一根草而错过了一个森林”的情况。
2. 矛盾的产生必须严密。
在假设的基础上，我们需要通过一些推理或运算，得到一个相互矛盾的结果，才能证明该命题。
3. 反证法不一定适用于所有问题。
有些问题需要直接证明，反证法并不一定能够得出正确的结果。
4. 其他证明方法的选择需要根据问题的实际情况来决定。
在做题时需要灵活运用不同的证明方法，如归纳法、直接证明等。
反证法的一般步骤例子
反证法的一般步骤例子反证法是一种常用的数学证明方法，基本思想是通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出一个矛盾的结论，从而证明原命题是成立的。
下面将以一般步骤为题，列举10个反证法的例子。
一、证明1不是素数假设1是素数，根据素数的定义，素数只能被1和自身整除。
但是1只能被1整除，与素数的定义矛盾。
因此，假设不成立，1不是素数。
二、证明平方根2是无理数假设平方根2是有理数，即可以表示为两个互质整数的比值。
设√2=a/b，其中a、b为互质整数。
将等式两边平方得2=a^2/b^2，即2b^2=a^2。
左边是偶数，右边是奇数，矛盾。
因此，假设不成立，平方根2是无理数。
三、证明根号2的立方根是无理数假设根号2的立方根是有理数，即可以表示为两个互质整数的比值。
设∛2=a/b，其中a、b为互质整数。
将等式两边立方得2=a^3/b^3，即2b^3=a^3。
左边是偶数，右边是奇数，矛盾。
因此，假设不成立，根号2的立方根是无理数。
四、证明根号2和根号3是无理数假设根号2和根号3都是有理数，即可以表示为两个互质整数的比值。
设√2=a/b，√3=c/d，其中a、b、c、d为互质整数。
将等式两边平方得2=a^2/b^2，3=c^2/d^2。
再将两个等式相加得2+3=a^2/b^2+c^2/d^2，即5=a^2/b^2+c^2/d^2。
左边是奇数，右边是偶数，矛盾。
因此，假设不成立，根号2和根号3是无理数。
五、证明根号2和根号3的和是无理数假设根号2和根号3的和是有理数，即可以表示为两个互质整数的比值。
设√2+√3=a/b，其中a、b为互质整数。
将等式两边平方得2+2√6+3=a^2/b^2，即5+2√6=a^2/b^2。
移项得2√6=a^2/b^2-5，即2√6=(a^2-5b^2)/b^2。
左边是无理数，右边是有理数，矛盾。
因此，假设不成立，根号2和根号3的和是无理数。
六、证明根号2和根号3的积是无理数假设根号2和根号3的积是有理数，即可以表示为两个互质整数的比值。
反证法(含答案)
反证法的答案1、对于定义在实数R 上的函数()x f ，如果存在实数,0x 使(),00x x f =那么0x 叫做函数()x f 的一个好点.已知()122++=ax x x f 不存在好点，求实数a 的取值范围.解析：假设函数()x f 存在好点，即().0.0112,1222≥∆∴=+-+∴=++x a x x ax x() .2321.04122≥-≤∴≥--∴a a a 或()122++=ax x x f 不存在好点，).23,21(-∈∴a2、若二次函数()()1222422+----=p p x p x x f 在区间[]1,1-内至少存在一点,c 使()c f ,0>求实数p 的取值范围.解析：假设()x f 在区间[]1,1-内的任意一个x 都有().0≤x f 则()()()()()().3230120932012224012224010112224222222-≤≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤+---+≤+----⇒⎩⎨⎧≤-≤+----=p p p p p p p p p p p p f f p p x p x x f 或 ∴二次函数()()1222422+----=p p x p x x f 在区间[]1,1-内至少存在一点,c 使()0>c f ,实数p 的取值范围为).23,3(-3、求证：抛物线上任意不同四点所组成的四边形不可能是平行四边形.解析：如图，设抛物线方程为()()()(),,,,,,,03322112y x C y x B y x A a ax y >= ()44,y x D 是抛物线上不同的四点，则有),4,3,2,1(,22===i ay x ax y i i i i 于是.122212121212y y a ay a y y y x x y y k AB +=--=--=同理.,,143432y y ak y y a k y y a k AD CD BC +=+=+= 假设四边形ABCD 是平行四边形，则.,CD BC CD AB k k k k ==从而得,,4231y y y y ==进而得 ,,4231x x x x ==于是C A ,重合，D B ,重合，这与D C B A ,,,是抛物线上不同的四点的假设相矛盾.故假设不成立，原结论成立.4、若D C B A ,,,为空间四点，且.90︒=∠=∠=∠=∠DAB CDA BCD ABC 求证：D C B A ,,,在同一平面内.解析：如图，假设D C B A ,,,不共面，可设过点D C B ,,的平面为,α 且.α∉A 过点A 作,α⊥'A A 点A '为垂足.而.90︒=∠=∠CDA ABC 由三垂线定理的逆定理得：.90︒='∠='∠DC A BC A︒='∠∴︒=∠90.90D A B BCD (点A '在BCD ∆BCD ∆外，否则BCD ∆的内角和将大于︒180).222222.,.BD AD AB D A AD B A AB BD D A B A >+∴'>'>='+'∴ 这与︒=∠90DAB 相矛盾，故假设不成立，原结论成立.5、已知函数()().112>+-+=a x x a x f x (1)、证明：函数()x f 在()+∞-,1上为增函数. (2)、用反证法证明()0=x f 没有实数根.解析：(1)、任取(),,1,21+∞-∈x x 设,21x x <则,0,01212>>--x x ax x 且.01>x a().0112112>-=-∴-x x x x x a a a a ()()()()()()()()().01131112121212.01,012112212112112221>++-=+++--+-=+--+-∴>+>+x x x x x x x x x x x x x x x x()()∴>+--+-+-=-.0121211221212x x x x a a x f x f x x 函数()x f 在()+∞-,1上为增函数. (2)、假设存在(),1000-≠<x x 满足(),00x x f =则,12000+--=x x a x 且,100<<x a 221.1120000<<∴<+--<∴x x x 这与假设00<x 相矛盾.∴()0=x f 没有实数根. 6、求证：若方程()是实数b a b x a x ,10sin <<+=有实数根，则其实数根必唯一. 解析：假设其实数根不唯一，则至少存在两个相异的实数根,sin ,,1121b x a x x x +=则 .sin 22b x a x +=().2sin 2cos2sin sin 21212121xx x x a x x a x x -∙+∙=-=- 于是.1 (2)2sin .2sin221212*********≥∴≠-≤-∴-≤--≤-a x x x x a x x xx x x x x a x x 这与已知10<<a 相矛盾.故假设不成立，原结论成立.7、一象棋选手共n 人(),3≥n 欲将他们分成三组进行比赛，同一组中的选手都不比赛，不同组的每两个选手都要比赛一盘.试证：要想总的比赛盘数最多，对应的分组应是使他们任何两组间的人数最多相差一人.解析：设比赛盘数最多的分组法是三个组的人数分别为,,,t s r 则.n t s r =++于是比赛的总盘数是.rt st rs N ++=假设比赛盘数最多的分组法中，“任何两组间的人数最多相差一人”不成立，则至少能找到某两个组，使这两组人数只差不小于2，不妨设.2≥-t r 则在人数为r 的组中，抽到1人到人数为t 的一组中，这样得到的新分组：,1,,1+-t s r 那么这个分组共比赛盘数为：()()()().11111--+++=-++++-=t r rt st rs r t t s s r M ..11.2N M t r t r >∴>--∴≥- 这与原来假设按t s r ,,分组比赛盘数最多相矛盾，故原命题成立.8、设函数()x f 对定义域内任意实数都有(),0≠x f 且()()()y f x f y x f ∙=+成立.求证：对定义域内的任意x 都有().0>x f解析：设满足条件的任意x ，()0>x f 不成立，即存在某个,0x 有()().0.00≠≤x f x f ().00<∴x f 而().0)2()2()2()22(0200000>=∙=+=xf x f x f x x f x f 这与假设()00<x f 相矛盾，故假设不成立.∴对定义域内的任意x 都有().0>x f9、已知数列{}n a 满足:();10,1)1(21)1(3,211111≥<-+=-+=+++n a a a a a a a n n n n n n 数列{}n b 满足： ().1221≥-=+n a a b n n n(1)、求数列{}{}n n b a ,的通项公式.(2)、证明：数列{}n b 中的任意三项不可能成等差数列. 解析：.32,1).1(321.1)1(21)1(31222111n n n n n n n n n n c c a c a a a a a a =-=-=-∴-+=-+++++则令{}.)32(41)32(431)32(431.)32(431)1(.0,021.)32(431.)32(431.)32(43.32,43,43111221111112121211--+--+---⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-=-=∴⨯--=∴<>=⨯-=∴⨯=-∴⨯=∴∴=-=n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a b a a a a a a c c a c 的等比数列公比为是首项为数列(2)、假设数列{}n b 存在三项)(,,t s r b b b t s r <<按某种顺序成等差数列，由于数列{}n b 首项为,41公比为32的等比数列，于是有,t s r b b b >>则可能有t r s r b b b b +=2成立. .32223:23.)32(41)32(41)32(41211111s t r s r t r t r t t r s ---------∙=+⨯+⨯=⨯⨯∴得两边同乘∴<<,t s r 上式左边为奇数，右边为偶数.故上式不成立，导致矛盾. 故数列{}n b 中的任意三项不可能成等差数列.10、设函数(),23123c bx x ax x f ++-=其中.0>a 曲线()x f y =在点))0(,0(f P 处的切线方程为.1=y (1)、求.,c b(2)、设曲线()x f y =在点))(,())(,(2211x f x x f x 及处的切线都过点).2,0(证明：当21x x ≠时， ).()(21x f x f '≠'(3)、若过点)2,0(可作曲线()x f y =的三条不同切线，求a 的取值范围.解析：(1)、().2b ax x x f +-='由题意得：()().1,0.10.00==∴=='c b f f(2)、由(1)得()()..1231223ax x x f x ax x f -='∴+-=由于点))(,(t f t 处的切线方程为：),)(()(t x t f t f y -'=-而点)2,0(在切线上，.01232).0)(()(223=+-∴-'=-∴t at t t f t f则t 满足的方程为 假设).()(21x f x f '='由于曲线()x f y =在点))(,())(,(2211x f x x f x 及处的切线都过点).2,0(则下列等式成立⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=+-=+-.22212122322131.01232.01232ax x ax x x a x x a x 由③得：.21a x x =-①-②得：.432222121a x x x x =++④ 而.4343)2()()(2221212111221*********a a a x a ax x x a x a x x x x x x x x ≥+-=+-=--=-+=++ 故由④得,21a x =此时22ax =与21x x ≠矛盾.).()(21x f x f '≠'∴(3)、由(2)知,过点)2,0(可作曲线()x f y =三条不同切线,等价于方程)0)(()(2t t f t f -'=-有三个相异的实根,即等价于方程0123223=+-t at 有三个相异的实根.设).2(22)(.01232)(223at t at t t g t a t t g -=-='=+-=则由于.0>a 故有t )0,(-∞ 0 )2,0(a2a ),2(+∞a )(t g '+ 0 - 0 + )(t g极大值1极小值2413a -由()t g 的单调性知：要使()0=t g 有三个相异的实根,当且仅当.32024133>⇒<-a a∴a 的取值范围是)32(3∞+.①②③。
反证法典型例题
所以假设不成立，2是有理数成立。
6
应用反证法的情形：
(1)直接证明困难;
(2)需分成很多类进行讨论；
(3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 这一类的命题； (4)结论为 “唯一”类的命题。
正难则反!
7
例6.已知a+b+c>0, ab+bc+ca>0, abc>0. 求证: a,b,c>0
不妨设其中的两根分别为x1，x2且x1 ≠ x2
则ax1 = b，ax2 = b ∴ax1 = ax2 ∴ax1 - ax2 = 0 ∴a（x1 - x2） =0 ∵x1 ≠ x2，x1 - x2 ≠ 0 ∴ a = 0 与已知a ≠ 0矛盾, 故假设不成立，结论成立。
4
例4.求证：圆的两条不全是直径的相交弦不能 互相平分. 已知：在⊙O中,弦AB、CD相交于P，且AB、CD 不全是直径 C 求证：AB、CD不能互相平分。 P
证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
若 a = b，则a = b, 与已知a > b矛盾,
若 a < b，则a < b, 与已知a > b矛盾,
故假设不成立，结论 a > b成立。
3
例3.已知a≠0，求证关于x的方程ax=b有且只有 一个根。
证：假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根，
A O
B D
5
例5.求证： 2 是无理数.
证：假设 2是有理数，
m 则存在互质的整数m，n使得 2 = ， n ∴ m = 2n ∴ m 2 = 2n2
从而有4k = 2n ，即n = 2k
2 2 2 2
备战2020年中考数学解题方法之探究十法03 反证法专题研究(解析版)
备战2020中考数学解题方法专题研究专题3 反证法法专题【方法简介】反证法是间接论证的方法之一。
亦称“逆证”。
是通过断定与论题相矛盾的判断（即反论题）的虚假来确立论题的真实性的论证方法。
反证法的论证过程如下：首先提出论题：然后设定反论题，并依据推理规则进行推演，证明反论题的虚假；最后根据排中律，既然反论题为假，原论题便是真的。
在进行反证中，只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题，论题的反对判断是不能作为反论题的，因为具有反对关系的两个判断可以同时为假。
反证法中的重要环节是确定反论题的虚假，常常要使用归谬法。
反证法是一种有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证或反驳比较困难时，用反证法会收到更好的效果。
【真题演练】1.如果两个实数之和为正数，则这两个数( ).A．一个是正数，一个是负数；B．两个都是正数；C．至少有一个正数；D．两个都是负数【答案】 C【解析】假设两个数都是负数，则两个数之和为负数，与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个正数，故应选C.2. （河北省，10，3分）如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧○1；步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧○2，将弧○1于点D；步骤3：连接AD，交BC延长线于点H.下列叙述正确的是（）A ．BH 垂直分分线段ADB ．AC 平分∠BAD C ．S △ABC =BC ·AH D ．AB=AD【答案】A【解答】解：如图，连接CD 、BD ，由步骤一可知CD=CA ，由步骤二可知BD=BA ，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可知点C 和点B 都在线段AD 的垂直平分线上，故直线BH 是线段AD 的垂直平分线，故选项A 正确；若AC 平分∠BAD ，则∠BAC=∠CAH. ∵直线BH 是线段AD 的垂直平分线，∴∠AHC=90°，∠ACH=90°－∠CAH =90°－∠BAC .∵∠ACH 是△ABC 的外角，∴∠ABC=∠ACH －∠BAC=90°－∠BAC－∠BAC=90°－2∠BAC.但已知中没有“∠ABC=90°－2∠BAC ” 这一条件，故“AC 平分∠BAD ”不一定成立，选项B 不正确；S △ABC =12BC·AH，故选项C 不正确；当AB=AD 时，AB=AD=BD ，此时△ABD 是等边三角形，∠ABC=12∠ABD =12×60°=30°，但已知中没有“∠ABC=30°”这一条件，故“AB=AD ”不一定成立，选项D 不正确3. 若0a ≠，则关于的方程0ax b +=的解是唯一的．【解析】因为0a ≠，则bx a=-是0ax b +=的一个解，假设0ax b +=的解不是唯一的，不妨设1x 、2x 都是0ax b +=的解，这里12x x ≠，则10ax b += ① 20ax b += ②①-②得 ()120a x x -=由于12x x ≠，所以120x x -≠，则0a =，这与0a ≠矛盾． 故若0a ≠，则的方程0ax b +=的解是唯一的．4. 如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ． （1）求证：DE=DF ；（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形．•请你至少写出两种不同的添加方法．（不另外添加辅助线，无需证明）AFEC【解析】（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°．∵AB=AC，∴∠B=∠C．又∵DB=DC，∴△DEB≌△DFC．∴DE=DF．（2）∠A=90°，四边形AFDE是平行四边形等．（方法很多，如∠B=45°或2AB•或DE⊥DF或F 为F为AC中点或DF∥AB等）．【名词释义】反证法的逻辑根据是“排中律”：对于同一思维对象，所作的两种互相对立的判断只能一真一假、反证法就是通过证明结论的反面不真而肯定结论为真的一种证明方法．用反证法证明一个命题的正确性的步骤，大体上分为：（1）反设：假设结论的反面成立；（2）归谬：由反设及原命题的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾；（3）结论：否定反设，肯定原命题正确．按照反设所涉及到的情况的多少，反证法可分为归谬反证法与穷举反证法．1．若结论的反面只有一种情形，那么，反设单一，只须驳倒这种情形，便可达到反证的目的．这叫归谬反证法．2．若结论的反面不只一种情形，那么，要将各种情形一一驳倒，才能肯定原命题正确，这叫穷举反证法．【典例示例】例题1：用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。