初中数学图形的相似技巧及练习题

初中数学图形的相似技巧及练习题

一、选择题

1．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与111A B C ∆相似的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B

【解析】

【分析】 根据相似三角形的判定方法一一判断即可．

【详解】

解：因为111A B C ∆中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B ，且满足两边成比例夹角相等，

故选：B ．

【点睛】

本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．

2．如图，已知////AB CD EF ，:3:5AD AF =，6BC =，CE 的长为（ ）

A ．2

B ．4

C ．3

D ．5

【答案】B

【解析】

【分析】 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．

【详解】

∵AD ：AF=3：5，

∴AD ：DF=3：2，

∵AB∥CD∥EF，

∴AD BC

DF CE

=，即

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2CE

=，

解得，CE=4，

故选B．

【点睛】

本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．

3．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E 点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（）

A．6 B．8 C．10 D．12

【答案】D

【解析】

分析：根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性

质可得出AF AB

GF GD

==2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出

CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．详解：∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，

∴△ABF∽△GDF，

∴AF AB

GF GD

==2，

∴AF=2GF=4，

∴AG=6．

∵CG∥AB，AB=2CG，

∴CG为△EAB的中位线，

∴AE=2AG=12．

故选D．

点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键．

4．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，CD是AB边上的中线，作CD的中垂线与CD交于点E，与BC交于点F．若CF＝x，tanA＝y，则x与y之间满足（）

A ．2244x y +=

B ．2244x y -=

C ．2288x y -=

D ．22

88x y += 【答案】A

【解析】

【分析】

由直角三角形斜边上的中线性质得出CD ＝

12AB ＝AD ＝4，由等腰三角形的性质得出∠A ＝∠ACD ，得出tan ∠ACD ＝GE CE

＝tan A ＝y ，证明△CEG ∽△FEC ，得出GE CE CE FE =，得出y ＝2FE ，求出y 2＝24FE ，得出24y

＝FE 2，再由勾股定理得出FE 2＝CF 2﹣CE 2＝x 2﹣4，即可得出答案．

【详解】

解：如图所示：

∵在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝8，CD 是AB 边上的中线，

∴CD ＝

12

AB ＝AD ＝4， ∴∠A ＝∠ACD ，

∵EF 垂直平分CD ， ∴CE ＝12

CD ＝2，∠CEF ＝∠CEG ＝90°， ∴tan ∠ACD ＝

GE CE ＝tanA ＝y ， ∵∠ACD+∠FCE ＝∠CFE+∠FCE ＝90°，

∴∠ACD ＝∠FCE ，

∴△CEG ∽△FEC ， ∴GE CE ＝CE FE ， ∴y ＝2FE

， ∴y 2＝

24FE ，

∴24y

＝FE 2， ∵FE 2＝CF 2﹣CE 2＝x 2﹣4，

∴24y

＝x 2﹣4， ∴24y

+4＝x 2， 故选：A ．

【点睛】

本题考查了解直角三角形、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝2，D 是AB 边上一个动点（不与点A 、B 重合），E 是BC 边上一点，且∠CDE ＝30°．设AD ＝x ，BE ＝y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C

【解析】

【分析】 根据题意可得出4,23,AB BC ==4,23,BD x CE y =-=-然后判断△CDE ∽△CBD ，继而利用相似三角形的性质可得出y 与x 的关系式，结合选项即可得出答案．

【详解】

解：∵∠A ＝60°，AC ＝2，

∴4,23,AB BC ==4,23,BD x CE y =-=-

在△ACD 中，利用余弦定理可得CD 2＝AC 2+AD 2﹣2AC •AD cos ∠A ＝4+x 2﹣2x ，

故可得242CD x x =-+,

又∵∠CDE ＝∠CBD ＝30°，∠ECD ＝∠DCB （同一个角），

∴△CDE ∽△CBD ，即可得,CE CD CD CB

= 即2

22342,2342y

x x x x --+=-+ 故可得： 23343.633

y x x =-

++ 即呈二次函数关系，且开口朝下． 故选C ．

【点睛】

考查解直角三角形，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.

6．如图，在△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是（﹣1，0）．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A 'B 'C ，使得△A 'B 'C 的边长是△ABC 的边长的2倍．设点B 的横坐标是﹣3，则点B '的横坐标是（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

【答案】B

【解析】

【分析】 作BD ⊥x 轴于D ，B ′E ⊥x 轴于E ，根据位似图形的性质得到B′C ＝2BC ，再利用相似三角形的判定和性质计算即可．

【详解】