概率分布间的关系研究

说明：三角分布也正说明了并非所有的分布都具有可加性，均匀分布就是一个例外。
综上所述，得这几个分布之间的关系图如下：
辛普森分布 派生
无记忆性 特性
均匀分布
Y = −α ln X (α > 0)
1
Y = e −λX
指数分布 ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯→ 威布尔分布
特例
Y = X2
2
Y = X α (α > 0 )
rq → λ为常数) p
证明： 负二项分布是一种等待时间的分布，它的分布律为：
−1 r k − r P{ X = k} = Ckr − (r 为正整数，p + q = 1, p, q > 0, k = r , r + 1,⋯) 1p q
X 服从负二项分布记作： X ~ NB( r , p)
将负二项分布律作一个等价变换有：
2
Y = X α ~ W (λ , α )
1
1
命题：若 X ~ e (λ ) ，则 Y = X α ~ W (λ , α )(α > 0) 证明：
FY ( y) = P{Y ≤ y} = P{ X α ≤ y} = P{ X ≤ y α } = ∫ λe− λ x dx
0
1
yα
∴ f Y ( y) = FY′ ( y ) = λe − λ y ⋅ αy α −1 = λαy α −1 e −λ y ( y > 0)
,x>0 (λ , α > 0为常数) ,x≤ 0
1
W (λ ,1) = e( λ )
⎧λe− λ x ⎩ 0 ,x>0 ,x≤0
设随机变量 X ~ W (λ ,1) ，则其 p.d . f .为： f ( x ) = ⎨ 此式正说明 X ~ e (λ ) ， ∴ W (λ ,1) = e( λ ) 可见，指数分布乃是威布尔分布的特例。
r 负二项分布的母函数为： p (θ ) = ( 1 −p qθ )
∵ r → ∞, ∴q ~
rq →λ p
pλ ( r → ∞) r
从而
lim ln p(θ )
r→ ∞ r ⎡ ⎛ pλ ⎞ r pλθ ⎞ ⎤ ⎛ = lim ⎢ln ⎜1 − ⎟ − ln ⎜ 1 − ⎟ ⎥ r →∞ r ⎠ r ⎠ ⎦ ⎝ ⎢ ⎝ ⎥ ⎣
,x>0 ,x≤ 0
(λ > 0为参数)
2
命题：设随机变量 证明：
X 服从参数为 α 的麦克斯韦分布，则 Y = αX2π 服从参数为 π 的瑞利分布。
FY ( y) = P{Y ≤ y}
= P{ αX2π ≤ y} = P{ X ≤ α πy } = FX (α πy ) ∴ f Y ( y) = FY′ ( y ) = f X (α πy ) ⋅ (α πy )′ =
− x ⎧ ⎪ x2 e 2σ 2 若随机变量 X 的 p.d . f .为 f ( x ) = ⎨ σ ⎪ ⎩ 0 参数为 σ 的瑞利分布。
2
, x > 0(其中σ > 0为常数) ，称 X 服从 ,x ≤ 0
2 ⎧ ⎪2λxe−λ x , x > 0 设随机变量 Y ~ W ( λ, 2) ，则其 p.d . f .为： f ( y ) = ⎨ ⎪ ,x≤0 ⎩ 0 可见，随机变量 Y 服从参数为 λ 的瑞利分布，从而命题得证。
y −α y
−
y
1
对上式求导， f Y ( y ) =
1 α
e−α , y > 0
y ≤ 0时， f Y ( y) = 0 ；
即有 Y = −α ln X 的 p.d . f . 为：
y ⎧ 1 −α ⎪α e f ( y) = ⎨ ⎪ ⎩ 0
,y>0 ,y≤0
1 即 Y = −α ln X ~ e( α )(α > 0为参数)
= λ (θ − 1)(其中 lim p = 1)
r →∞
∴ lim p(θ ) = e
r →∞
λ (θ −1 )
而我们知道 e λ (θ −1 ) 是泊松分布的母函数，据唯一性定理知：在 r → ∞ ，且 时，负二项分布渐近泊松分布。 注：
rq → λ 为常数 p
唯一性定理：分布函数 F1 ( x ) 及 F2 ( x) 恒等的充分必要条件为它们的特征函数 ϕ1 ( x ) 及
对其求导得： f Y ( y ) = − f X (− 1 ln y )( − 1 ln y )′ = 1(其中 − λ1 ln y > 0即为0 < y < 1) λ λ
⎧1, 0 < y < 1 ∴ f Y ( y) = ⎨ 其他 ⎩0,
(2) 指数分布 ↔ 威布尔分布
α ⎧ ⎪λαx α −1e − λ x 威布尔分布 W (λ , α ) 的 p.d . f . 为： f ( x ) = ⎨ ⎪ 0 ⎩
概率分布间的关系研究
姓名：王斌 06 信息与计算科学 B1 班 专业： 专业：06 指导老师：史及民
一、摘要
随机变量的概率分布是概率论和数理统计教学中最基本的概念，也是随机变量研究的 终极目的。 众多概率分布彼此之间存在着这样那样的联系， 弄清楚这些分布之间的关系对学 习和应用概率论无疑是十分重要的。本文介绍了常见的几种概率分布，例如： χ 2、F、t、 正态 等之间的关系，也列举了一些不常见的分布，如超几何、威布尔等等之间的联系，并对文中 的某些关系进行严格的理论推导与证明，最后还给出了几个应用实例。
4 (α π y ) 2
( α π y )2 α2 2
α3 π
e
−
⋅α 2
π y
= 2π y e −πy ( y > 0)
y ≤ 0 时， f Y ( y) = 0 ；
⎧2π y e −πy ∴ fY ( y ) = ⎨ 0 ⎩
令t =
,y >0 ,y≤ 0
y ，则有：
4
2 ⎧ ⎪2πte− πt fY ( y ) = ⎨ ⎪ ⎩ 0
2 − ⎡ 1 2 1 ⎤ 2 α µ = λ Γ(1 + ), σ = λ ⎢Γ(1 + ) − Γ2 (1 + ) ⎥ α α α ⎦ ⎣ − 1 α
由前面的推导知，当令 W (λ ,α ) 中 α = 1 时就化为了参数为 λ 的指数分布，令 α = 2 就 是参数为 λ 的瑞利分布了，则很容易由 W (λ ,α ) 的 µ、σ 2 求得指数分布与瑞利分布的 µ 和
麦克斯韦分布 ⎯⎯ ⎯→ 瑞利分布
α π
α =2
α =1
e(λ )分布
（图 2）
6
2、与负二项分布有关的一些分布
这一部分涉及的几个分布的简单关系图：
Γ分布 正态分布 ← 负二项分布 → 泊松分布 几何分布 → 指数分布
（图 3） （1）负二项分布渐近泊松分布
负二项分布 ⎯渐近 ⎯ ⎯→ 泊松分布( 条件：r → ∞ , 且
正因为指数分布这一特性，因而常用它来描述这一类寿命分布，其衰老作用不明显， 或 其生命的结束主要是随机因素造成的。它的应用十分广泛，例如很多电子元器件（电子管、 电视机）的寿命（从生产出来到失去规定功能所经历的时间） ，某些微生物、易损物品的寿 命等都服从指数分布。 (6)均匀分布派生出的一个新的分布-辛普森分布 辛普森分布也叫三角分布，是一种连续型分布。假设随机变量 ξ1 和 ξ 2 相互独立，且都在
σ 2 了。
指数分布的无记忆性 指数分布通常用来描述对某一事件发生的等待时间， 比如， 来客在公共汽车站等车的时 间，灯泡使用寿命（等待用坏的时间） ，电话交换台收到两次呼叫的时间间隔。在离散型分 布中，我们知道，几何分布用来描述伯努利试验中，直到某事件 A 发生为止共进行的试验 次数，如果将每次试验视为经历一个单位时间，那么直到事件 A 发生为止进行的试验次数 可视为直到 A 发生为止的等待时间（离散时间） 。在这个意义上，指数分布可视为离散型情 形的几何分布在连续型情形的推广。 虽然指数分布是威布尔分布的一个特例，但是它与几何分布类似，具有“无记忆性” 的 特性，而这是威布尔分布所没有的性质。 指数分布无记忆性的数学表示为：
显然知当 y ≤ 0 时， f Y ( y) = 0 ； 从而证得 Y = X α ~ W ( λ ,α )(α > 0) (3) W (λ , α ) → 瑞利分布 命题：威布尔分布 (Weibull) 中当令 α = 2 时则化为瑞利分布。 即：瑞利分布是威布尔分布的一个特殊情况。
1
α
α
证明：
[a , b ] 上服从均匀分布，则 ξ1 + ξ2 的分布称为三角分布，其概率密度为： 2 2 ⎧ 4( x − a) ⎪ ( b − a) 2 ⎪ ⎪ 4(b − x ) pξ 1 +ξ 2 ( x ) = ⎨ 2 ⎪ ( b − a) ⎪ 0 ⎪ ⎩ (a ≤ x ≤ (
a +b ) 2
a +b < x ≤ b) 2 ( x ∉ [a , b])
二、关键词：分布、正态分布、复合、特征函数
三、关系研究 （一）关系分类研究 1、均匀、指数、威布尔、瑞利、麦克斯韦、辛普森这几个分布间关系
这一部分涉及的几个分布间关系的简单图如下：
辛普森分布 ← 均匀分布 ↔ 指数分布 ↔ 威布尔分布 → 瑞利分布 ← 麦克斯韦分布
（图 1） 下面一一进行论证： (1) 均匀分布 ↔ 指数分布
−1 r k − r −r r k−r P{ X = k} = Ckr − = Ckk− = Crk+−(rk − r )−1 p r q k − r 1p q 1 p q
从而负二项分布的分布律可写成：
P{ X = x} = Crx+ x −1 p r q x ( r为正整数, p + q = 1, p , q > 0, x = 0,1, 2, ⋯)
其实有以下一般结论： 若 y = G ( x ) 为单调、连续函数，不妨设 G ( x) 单增， x = G − 1 ( y) 为其反函数，又设
ξ ~ U ( 0,1) ，则 Y = G −1 (ξ ) ~ G′( yห้องสมุดไป่ตู้)
证明： 依题 Y ∈ (−∞ ,+∞) ， FY ( y) = P{Y ≤ y} = P{G −1 (ξ ) ≤ y}，而由已知 y = G ( x) 为单增 且连续的函数
∴ P{G −1 (ξ ) ≤ y} = P{ξ ≤ G( y )} = ∫
G ( y)
0
dx = G ( y )
对上式求导得： f Y ( y ) = G ′( y ) ，此即为 Y = G −1 (ξ ) 的概率密度，即有：
Y = G − 1 (ξ ) ~ G ′( y )
2
指数分布 → 均匀分布
1
均匀分布→ 指数分布
命题：设随机变量 X ~ U (0,1) ，其概率密度为：
⎧1, 0 < x < 1 1 f ( x) = ⎨ ，则 Y = −α ln X ~ e( α )(α > 0) 0 , 其他 ⎩
解： 依题有：
FY ( y)
= P{Y ≤ y} = P{ −α ln X ≤ y} = P{ X ≥ e α } = ∫e −αy f ( x )dx = 1− e
2
∀s , t ≥ 0, 有：
P{ X > s + t X > s} P{ X > s + t , X > s} P{ X > s} P{ X > s + t} = P{ X > s}
=
e − λ ( s+ t ) e−λs = e −λ t = P{ X > t }
=
所谓无记忆性，是说它忘记自己已经生活了 s 年，它再继续生活 t 年以上的概率与新生 儿能生活 t 年以上的概率一样。为此我们通常戏称指数分布是“永远年青”的分布。
命题：设随机变量 X
~ e(λ ) ，其概率密度为：
2
⎧λ e − λ x f (x) = ⎨ ⎩ 0
,x > 0 ,x≤ 0
则 Y = e − λ X ~ U (0,1) 解：
1 FY ( y) = P{e − λX ≤ y} = P{ X ≥ − 1 λ ln y} = 1 − FX ( − λ ln y )
(4) 麦克斯韦分布 → 瑞利分布 麦克斯韦 (Maxwell ) 分布的 p.d. f . 为：
2 − x2 ⎧ x2 α ⎪ 4 e f (x) = ⎨α 3 π ⎪ 0 ⎩
, x > 0(α > 0为参数) ,x≤0
瑞利分布的 p.d . f . 为：
2 ⎧ ⎪2λxe− λ x f (x) = ⎨ ⎪ ⎩ 0
,t > 0 ,t ≤ 0
从而原命题得证。 (5)威布尔、指数、瑞利这三个分布之间性质的比较 1 共同性质 许多产品（例如轴承）的使用寿命服从威布尔分布。威布尔是瑞典物理学家， 他在 1939 年研究物质材料的强度时首先提出了这种分布。 威布尔分布 W (λ , α ) 的数学期望 µ 和方差 σ 2 分别为：