2017年考研数学三真题与解析

2017年考研数学三真题

一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．

1

．若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩

在0x =处连续，则 （A ）12ab =

（B ）1

2

ab =-（C ）0ab =（D ）2ab =

【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x x

f x ax ax a +++→→→-===

，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足11

22

b ab a =⇒=．所以应该选（A ）

2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（ ）

（A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,)

【详解】

2(3)32z

y x y xy y xy y x

∂=---=--∂，232z x x xy y ∂=--∂，

2222222,2,32z z z z

y x x x y x y y x

∂∂∂∂=-=-==-∂∂∂∂∂∂ 解方程组2

2320320z y xy y x z x x xy y

∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩，得四个驻点．对每个驻点验证2

AC B -，发现只有在点11(,)处满足

230AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ）

3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则

（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 【详解】设2

()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2

()f x 是单调增加函数．也就得到

()

()2

2

(1)(1)(1)(1)f f f f >-⇒>-，所以应该选（C ）

4． 若级数

21

1sin ln(1)n k n n ∞

=⎡⎤--⎢⎥⎣

⎦∑收敛，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2-

【详解】iv n →∞时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

--=---+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

显然当且仅当(1)0k +=，也就是1k =-时，级数的一般项是关于1

n

的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C ）．

5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则

（A ）T E αα-不可逆 （B ）T

E αα+不可逆 （C ）2T E αα+不可逆 （D ）2T

E αα-不可逆

【详解】矩阵T

αα的特征值为1和1n -个0，从而,,2,2T

T

T

T

E E E E αααααααα-+-+的特征值分别

为0,1,1,1；2,1,1,,1；1,1,1,,1-；3,1,1,

,1．显然只有T E αα-存在零特征值，所以不可逆，应

该选（A ）．

6．已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100020002C ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

，则

（A ）,A C 相似，,B C 相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似 （C ）,A C 不相似，,B C 相似 （D ）,A C 不相似，,B C 不相似

【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===．是否可对解化，只需要关心2λ=的情况．

对于矩阵A ，0002001001E A ⎛⎫

⎪

-=- ⎪ ⎪⎝⎭

，秩等于1 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特

征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．

对于矩阵B ，010*******E B -⎛⎫ ⎪

-= ⎪ ⎪⎝⎭

，秩等于2 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特

征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）．

7．设,A B ，C 是三个随机事件，且,A C 相互独立，,B C 相互独立，则A B 与C 相互独立的充分必要

条件是（ ）

（A ）,A B 相互独立 （B ）,A B 互不相容 （C ）,AB C 相互独立 （D ）,AB C 互不相容 【详解】

(())()()()()()()()()()P A B C P AC AB P AC P BC P ABC P A P C P B P C P ABC =+=+-=+-

()()(()()())()()()()()()()P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C =+-=+-

显然，A

B 与

C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =，所以选择（C ）

． 8．设12,,

,(2)n X X X n ≥为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本，若1

1n

i i X X n ==∑，则下列结论中不

正确的是（ ）

（A ）

21

()n

i i X μ=-∑服从2χ分布 （B ）()2

12n X X -服从2χ分布

（C ）

21

()n

i

i X

X =-∑服从2χ分布 （D ）2()n X μ-服从2χ分布

解：（1）显然22

()~(0,1)()~(1),1,2,

i i X N X i n μμχ-⇒-=且相互独立，所以21

()n

i i X μ=-∑服从

2()n χ分布，也就是（A ）结论是正确的；

（2）

2

22

22

1

(1)()(1)~(1)n

i

i n S X

X n S n χσ

=--=-=

-∑，所以（C ）结论也是正确的；

（3）注意2

21

~(,)()~(0,1)()~(1)X N X N n X n

μμμχ⇒-⇒-，所以（D ）结论也是正确的；

（4）对于选项（B ）

：22111

()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-⇒

⇒-，所以（B ）结

论是错误的，应该选择（B ）

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9

．

3(sin x dx π

π

-

=⎰ ．

解：由对称性知

3

3

(sin

22

x dx π

π

ππ-

+==

⎰⎰

．

10．差分方程122t

t t y y +-=的通解为 ．

【详解】齐次差分方程120t t y y +-=的通解为2x

y C =； 设122t t t y y +-=的特解为2t

t y at =，代入方程，得12

a =； 所以差分方程122t t t y y +-=的通解为12 2.2

t

t y C t =+

11．设生产某产品的平均成本()1Q

C Q e

-=+，其中产量为Q ，则边际成本为 .