运筹学习题课习题
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习题:
1. 试述LP 模型的要素、组成部分及特征。判断下述模型是否LP 模型并简述理由。（式中x ,y 为变量；θ为参数；a,b,c,d,e 为常数。） （1）max z =2x 1-x 2-3x 3
s.t.12312312312135824350,0
x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+≤⎪⎨-+≥⎪⎪≥≤⎩
（2）min z =1
n
k k kx =∏
s.t. 1,1,2...,0,1,2...,n
ik k i k k a x b i m x k m =⎧≥=⎪⎨⎪≥=⎩∑
（3）min z =
1
1
n n
i i
j
j
i j a x b y
==+∑∑
s.t. ,1,2,...,,1,2,...i i j j i i ij x c i m y d j n x y e ⎧≤=⎪
≤=⎨⎪
+≥⎩
（4）max z =
1
n
j j
j c x
=∑
s.t. 1,1,2,...,0,1,2,...n
ij j i i j j
a x
b d i m x j n θ=⎧≤+=⎪⎨⎪≥=⎩∑
2. 求解下述LP 问题： （1）min w =1234x x x ++
s.t. 1231
31
2322410,0,0
x x x x x x x x -+=⎧⎪
-=⎨⎪≥≥≥⎩ （2）min w = 12323x x x -+
s.t. 1231231
23232
234100,0,0
x x x x x x x x x -++=⎧⎪
++=⎨⎪≥≥≥⎩
（3） max z =2.5x 1+x 2
s.t. 12121
2351552100,0
x x x x x x +≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥≥⎩
（4） min z =-10x 1-11x 2
s.t. 1212
12123410
528220,0x x x x x x x x +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≤⎪⎪≥≥⎩
3. 用单纯形法求解下述LP 问题：
（1）max z = x 1+2x 2+3x 3+4x 4
s.t. 12341234
1,,,0x x x x x x x x +++=⎧⎨≥⎩
（2）max z = x 1+x 2+x 3+x 4
s.t. 123412341234
62,,,0x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪
-+-=⎨⎪≥⎩
（3）min w = x 2-3x 3+2x 5+2x 6
s.t. 234
1
3523562412327438100,1,2,...,6j x x x x x x x x x x x j -++=⎧⎪++=⎪⎨-+++=⎪
⎪≥=⎩
（4）max z =10 x 1+15x 2+12x 3
s.t.12312312312323235226,,0
x x x x x x x x x x x x ++≤⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪≥⎩ （5） max w =10 x 1+7x 2+4x 3+3x 4+x 5
s.t.123123451
235267
23482350,1,2,3,4,5j x x x x x x x x x x x x x j ++≤⎧⎪++++≤⎪⎨+++≤⎪⎪≥=⎩
4. 试写出下列问题的对偶问题。
（1）max z =4x 1+3x 2+6x 3
s.t.
123
123
123
123 360 22340 226
0,0,0 x x x
x x x
x x x
x x x
++≤
⎧
⎪++≤
⎪
⎨
++≤
⎪
⎪≥≥≥⎩
（2）min w=60x1+10x2+20x3
s.t.
123
123
123
123
32
1
21
0,0,0 x x x
x x x
x x x
x x x
++≥
⎧
⎪-+≥-
⎪
⎨
+-≥
⎪
⎪≥≥≥⎩
（3）min w=5x1-3x2
s.t.
123
123
123
123 242
21
33
0,0,0 x x x
x x x
x x x
x x x
-+≥
⎧
⎪+-≥
⎪
⎨
--≥
⎪
⎪≥≥≥⎩
（4）max z=4x1+3x2+6x3
s.t.
123
123
123
2410 25315
0,0,0 x x x
x x x
x x x
++=
⎧
⎪
++=⎨
⎪≥≥≥⎩
5. 已知LP问题：min z= 5x1+6x2+3x3
s.t.
123
123
123
123
123
12
23
123 55350
20 76930
7 241510 6545
1020
0,0,0 x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x
x x
x x x
++≥
⎧
⎪+-≥
⎪
⎪+-≥
⎪
++≥
⎪
⎨
+-≥⎪
⎪+≥
⎪
-≥
⎪
⎪≥≥≥⎩
试通过求解其对偶问题来确定该LP问题的最优解。
6. 用对偶单纯形法求解下述LP问题:
（1）min z= x1+x2
s.t.
12
1
12
12
24
5 36
0,0 x x
x
x x
x x
+≥⎧
⎪≤
⎪
⎨
+≥⎪
⎪≥≥⎩