高斯变换与矩阵三角分解 PPT课件
实验三 高斯消去法和三角分解法1
实验报告实验三 高斯消去法与矩阵的三角分解一、实验目的1、掌握列主元素消去法，并且能够用MATLAB 编写相关程序，实现高斯消去法的求解。
2、能够用矩阵理论理解与研究高斯消去法，通过对矩阵的初等变换实现高斯消去法。
3、学会矩阵的三角分解，并且能够用MATLAB 编写相关程序，实现矩阵的三角分解，解方程组。
二、上机内容⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡2822171310871234567112345611123451111234111112311111121111111764321x x x x x x1、用列主元素高斯消去法求解方程组。
2、用列主元消去法求解方程组（实现PA=LU) 要求输出： （1）计算解X;（2）L,U;（3）正整型数组IP(i),(i=1,···,n) (记录主行信息)。
三、实验原理1、列主元素消去法用高斯消去法求解方程组时，为了减小误差，在消去的过程中要避免用绝对值较小的主元素。
因此在高斯消去法的每一步应该在系数矩阵货消去后的低阶矩阵中选取绝对值较大的元素作为主元素，保持|m ik |<=1，以减小计算过程中的舍入误差对计算解的影响。
此方法为完全主元素消去法。
完全主元素消去法在选主元素时花费一定的计算机时间，因此实际计算中常用列主元消去法。
列主元消去法在每次选主元时，仅依次按列选取绝对值最大的元素作为主元素，且仅交换两行，再进行消元计算。
装订 线第k步计算如下：对于k=1，2，…，n-1（1）按列选主元：即确定t使（2）如果t≠k，则交换[A，b]第t行与第k行元素。
（3）消元计算（4）回代求解计算流程图回代求解 b=b/a (当a nn ≠0)b ←(b -∑a x )/adet=a nn *det输出计算解及行列式及detk=1,2,…,n-1输入n ,A,b,εdet=1按列主元|a i(k),k |=max|a ik |C 0=a i(k),k换行 a ik a i(k)j(j=k,…n ) b k b j(k), 消元计算 （i=k+1，…，n ） a ik=a ik -a kk *m ik a ij=a ij -a kj *m ik （j=k+1,…,n ）|C 0|<εi k =kdet=a kk det否否是是k<=n-1输出det(A)=0停机停机2. 矩阵的三角分解法 （1）定理设 n n R A ⨯∈ 。
第3章3-01高斯消元法-列主元法ppt课件
顺序高斯消去法的计算量
消元中各步需乘除法次数
第i 步
乘法次数
1
(n 1)2
2
(n 2)2
n 1
合计
1
n (n 1)(2 n 1) 6
除法次数
n 1 n 2
1
n (n 1) 2
.
3.1.2 列主元高斯消去法
为什么列选主：数值不稳定
当高斯消去法的主元
a
(k kk
)
0
时 , 尽管“当
A
非奇异时，
0,
a(2) 22
0,
,
a(n) nn
0
消元过程
mik ai(jk1)
a(k) ik
a(k) kk
(k
1,2,
a(k) ij
mik ak(jk)
, n 1) (i, j k 1,k 2,
,n)
bi(k`)
b(k) i
mikbk(k )
.
回代过程
上 三 角 形 方 程 组 A(n)x b(n) 求 解 过 程
列选主元高斯消去法的优越性，不增加求解过程的运算量，而 大大减小误差。
经过 k 1次消元后得到增广矩阵 ( A(k) | b(k) ) ，在此增广
矩阵的第
k
列的元素
a(k kk
)
,
a(k) k 1,k
,
a(k nk
)
中选取
绝对值最大的
一个，记为
a(k) rk
，然后交换
(
A(k )
|
b(k)
)
中的第
k
第3章 线性代数方程组的数值解法
3.1 高斯消去法 3.2 矩阵三角分解法 3.3 平方根法 3.4 向量和矩阵的范数 3.5 迭代法 3.6 迭代法的收敛性 3.7 方程组的形态和误差分析
高斯消元法与矩阵的初等变换.ppt
6
1
2
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18
step 6. 将 矩 阵 化 成 B 型 矩 阵 2 r3
1 2 5 3 6 14
0 0 0 0
1 0
0 0
7 2 1
6 2
7 2
r3
r2
;
6 r3 r1
1 2 5 3 0 2
第二章 矩 阵
第一节 高斯消元法与矩阵的初等变换 第二节 矩阵的运算 第三节 特殊矩阵 第四节 逆矩阵 第五节 分块矩阵 第六节 利用初等变换求逆矩阵
第七节 矩阵的秩
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1
第一节 高斯消元法与矩阵的初等变换
一 消元法解方程
二、矩阵的定义 三 矩阵的初等变换
四 方程组的求解问题 五 利用 Gauss 消员元法求解线性方程
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23
非齐次线性方程组(1)的解的讨论
A (A d) B
(B
1 0 0 c1r1 c1n d1 0 1 0 c2r1 c2n d2
d ) 0 0 1 crr1 crn dr
0 0 0 b3
方程组(3)是方程组(2)同解的梯形方程组。
如果 b 3 方程组(3)无解，从而方程组(2)无
解。当 b 3 时，方程组(3)改写为
Βιβλιοθήκη x1 x2 2 3x3 1 x3
其中变量 x3 可自由选取，
令 x3 k 代入上式，得到
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(5)
高等数学-高斯公式教学内容.ppt
之间部分的下侧.
先二后一
计算曲面积分
作取上侧的辅助面
*
优学课堂
例3
设 为曲面
取上侧, 求
解
作取下侧的辅助面
用柱坐标
用极坐标
*
优学课堂
在闭区域 上具有一阶
和二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式
例4
其中 是整个 边界面的外侧.
注意:
高斯公式
设函数
*
优学课堂
注意:
曲面论和位势论等.
他在学术上十分谨慎,
原则:
代数、非欧几何、 微分几何、 超几何
在对天文学、大
恪守这样的
“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.
*
优学课堂
高斯公式
证
由高斯公式得
移项即得所证公式.
令
*
优学课堂
*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
1. 连通区域的类型
设有空间区域 G ,
若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G,
则称 G
为空间二维单连通域 ;
若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面,
则称 G 为
例如,
球面所围区域
设 的单位外法向量为
*
优学课堂
高斯(1777 – 1855)
德国数学家、天文学家和物理学家,
是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家,
他的数学成就遍及各个领域 ,
在数论、
级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创
性的贡献,
他还十分重视数学的应用,
地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、
数值分析矩阵的三角分解
1 0 0 = 2 1 0
1 1 1
0 0 1 0 1 1
数值分析
数值分析
记 A A(1) a1M(11)
... O
a1M(1n)
1(1)
,
(1) 2
,
...,
(1) n
an(11)
...
a(1) nn
第一步：设a1(11) 0, 取mi1 aa（（1i1111））, i 2, ..., n
j
0
L
010L
0
M
ln j
数值分析
数值分析
1
Lj
I
l jeTj
O 1 1 l j1 j 1
M
O
ln j
1 0 0 0
L2
0 0
0
1 l3,2 l4,2
0 1 0
0 0
I
l 2e2T
1
1
数值分析
数值分析
Gauss变换阵的性质：
1
O
1
1. Lj1 I l jeTj
m21
M
mn1
1 O
a(1) 11 M
... O
1
a(1) n1
...
a1M(1n)
a(1) nn
a1(11)
L1 A(1)
a(1) 12
L
a(2) 22
L
MO
a(2) n2
L
a(1) 1n
a(2) 2n
M
A( 2 )
1(
2
)
,
(2 2
)
,
...,
(2) n
0
3
矩阵分解ppt课件
1 0 0 01 0 0 01 0 2 1
1 2
1 1
0 1
0 0 0 0
2 0
0 1
0 0 0 0
1 0
1 1
2 L~DU~ 1
1
2 1
2
1
0
0
0
5 0
0
0
1
Department of Mathematics
Department of Mathematics
7
思 路
通过比较法直接导出 L ~和 U 的计算公式。
a11 a12 a1n 1
u11 u12 u1n
Aa21
a22
a2nl21
1
u22 u2n
an1 an2 ann ln1 1
L 为一般下三角阵而 U~为单位上三角阵的分解称
为L ~C为rou单t 位分下解三。角阵而 U为一般上三角阵的分解
称为Doolittle分解
证明: AL~U 设: AL ~U
L ~ (li) jn n ,(lij 0 ,ij)
U (u i) jn n ,(u ij 0 ,ij)
1 2 4 5l21 l22 0 00 1 u23 u24
2 1 6 5 1 2 2 8
ll43
1 1
l32 l42
l33 l43
00 l440
0 0
1 0
u134
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10
由此: l11 1, l21 1, l31 2, l41 1
2 1 6 5 2 1 1 00 0 1 1 1 2 2 8 1 2 2 50 0 0 1
《矩阵的分解》课件
高斯消元法
基本思想：通过行变换将矩阵 化为上三角矩阵或对角矩阵
步骤：选择主元素、消元、回 代
应用：求解线性方程组、求逆 矩阵、求特征值和特征向量
优点：计算量小，易于实现， 适用于稀疏矩阵和带状矩阵
迭代法
迭代法的基本思想：通过不断迭代， 逐步逼近目标解
迭代法的应用：在矩阵分解、数值 优化、图像处理等领域有广泛应用
U：上三角矩阵，对角线以上元素为0
LDU分解的应用：求解线性方程组、计算矩阵的逆矩阵等
平方根分解
平方根分解的定义：将矩阵分解为 两个矩阵的乘积，其中一个矩阵是 单位矩阵，另一个矩阵是矩阵的平 方根。
平方根分解的应用：平方根分解在 数值计算、线性代数、优化等领域 有着广泛的应用。
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迭代法的步骤：设定初始值，计算 迭代函数，更新迭代值，直到满足 停止条件
迭代法的优缺点：优点是简单易实 现，缺点是收敛速度慢，容易陷入 局部最优解
共轭梯度法
共轭梯度法是一种求解线性方程组的迭代方法 共轭梯度法的基本思想是利用共轭梯度方向进行迭代 共轭梯度法的优点是收敛速度快，稳定性好 共轭梯度法的缺点是计算量大，需要存储大量的中间结果
a. 选取一组向量 b. 计算向量组的内积 c. 计算向量组的正交化向量 d. 重复步骤b和c，直到所有向量都正交
优点： a. 简单易行 b. 适用于任意维数的向量组
a. 简单易行 b. 适用于任意维数的向量组
应用： a. 矩阵的正交分解 b. 线性代数的其他领域
a. 矩阵的正交分解 b. 线性代数的其他领域
添加标题
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三角分解
列主元素高斯消去法相当于先进行一系列行交换后再对 PAX Pb 应用顺序高斯消去法.
定理8(列主元三角分解) 若A为非奇异矩阵, 则存在排列 矩阵P使得 PA LU 其中L为单位下三角矩阵,U为上三角矩阵. 说明: L, U, Ip的存贮.
§7.4
高斯消去法的变形
设有线性方程组：AX=b
a11 a12 a1n x1 b1 a x b a22 a2 n 21 , X 2 , b 2 . A 如何简单的实现三 a x 角分解？ bn an 2 ann n1 n
本节主要内容
1、回顾高斯消去法与三角分解的关系 2、三角分解的条件、方法与应用
下面用矩阵描述列主元消去法
L1I1,i1 A(1) A( 2) , L1I1,i1b(1) b( 2) ,, Lk I k ,ik A( k ) A( k 1) , Lk I k ,ik b( k ) b( k 1) .
其中I k ,ik 为初等置换阵.
于是 Ln 1I n 1,in1 L2 I 2,i2 L1I1,i1 A A( n ) U . ~ ~ P为排列矩阵 即 P A U , P b b( n ) . ~ L为单位下三角矩阵 下面就n 4考察P .
UA
( 4)
L3 I3,i3 L2 I 2,i2 L1I1,i1 A
PA 选主元三角分解算法： A, 整型Ip(n)记录主行, x b.
1. 对r 1,2,, n, r 1 (1) 计算si : air si air lik ukr (i r ,, n). k 1 (2) 选主元：取ir 使得 sir max si ，Ip(r ) ir
矩阵的三角分解
§4矩阵的三角分解矩阵的三角分解定理：设n nA R ×∈,如果A 的前n-1个顺序主子式det()0,1,2,,1i A i n ≠=− ，则A 可分解为一个单位下三角矩阵L 与一个上三角矩阵U 的乘积，且这种分解是唯一的。
证明：1.存在性：利用高斯消去法来构L 和U(1)(2)()1122det()0,1,2,,1i i ii A a a a i n =≠=−1L A U −=，A LU=2112100101n n m L m m ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，(1)(1)(1)11121(2)(1)222()0nn n nn a a a a a U a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦2．唯一性：分A 非奇异和奇异两种情况来证 （1）A 非奇异考虑到A 的前n-1个顺序主子式非零，得 det()0,1,2,,i A i n ≠=设1122A LUL U ==，12,L L 为单位下三角矩阵，12,U U 为上三角矩阵。
因A 非奇异，所以1U 可逆，从而112121L L U U −−=112121112121(,)L L E U U L L U U −−−−⇒==因为单位下三角阵为上三角阵2121,L L U U ⇒==（2）A 奇异因det()0,1,2,,1i A i n ≠=− ，det()0n A =()0,1,2,,1i ii a i n ⇒≠=− ，()0n nn a = 设1122A LUL U ==，12,L L 为单位下三角矩阵，12,U U 为上三角矩阵。
对它们进行矩阵分块，得(1)(1)(1)(1)(1)(1)111222(1)(1)1122001010n n n n n n n n L U a L U a m a m a −−−−−−−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠其中(1)(1)12,n n L L −−为n-1阶单位下三角矩阵，(1)(1)12,n n U U −−为可逆的n-1阶上三角矩阵(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)11112222(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)1111122222n n n n n n n n n n n n n n n n L U L a L U L a m U m a a m U m a a −−−−−−−−−−−−−−−−⎛⎞⎛⎞⇒=⎜⎟⎜⎟++⎝⎠⎝⎠由(1)(1)(1)(1)1122n n n n L U L U −−−−=(1)(1)(1)(1)2121,n n n n L L U U −−−−⇒==由(1)(1)(1)(1)1122n n n n L a L a −−−−=(1)(1)21n n a a −−⇒= 由(1)(1)(1)(1)1122n n n n m U m U −−−−=(1)(1)21n n m m −−⇒=由(1)(1)(1)(1)222111n n n n m a a m a a −−−−+=+21a a ⇒= 故2121,L L U U == 证毕。
高斯变换与矩阵三角分解
通过一系列行变换，将矩阵变为阶梯 形矩阵，再通过一系列列变换，将阶 梯形矩阵变为上三角矩阵。
高斯变换的性质
唯一性
给定一个矩阵，其高斯变换是唯一的。
可逆性
高斯变换具有可逆性，即可以通过一系列行变换和列变换，将上三角矩阵变回 原矩阵。
高斯变换的应用
线性方程组的求解
通过高斯变换，可以将一个线性方程组化为易于求解的形式 。
目的和意义
通过高斯变换和矩阵三角分解，可以解决许多实际问题，如信号处理、图像处理 、控制系统等领域中的问题。
高斯变换和矩阵三角分解在科学研究和工程实践中具有广泛的应用前景，对于推 动相关领域的发展具有重要意义。
02
高斯变换
高斯变换的定义
定义
高斯变换是指将一个矩阵通过一系列 行变换和列变换，化为上三角矩阵的 过程。
高斯变换与矩阵三角分解
• 引言 • 高斯变换 • 矩阵三角分解 • 高斯变换与矩阵三角分解的联系 • 实例分析 • 结论
01
引言
背景介绍
高斯变换是数学和工程领域中常用的 一种变换方法，它能够将一个复杂的 数学问题简化为更易于处理的形式。
矩阵三角分解是一种重要的线性代数 工具，它能够将一个复杂的矩阵分解 为一个简单的三角矩阵和若干个单位 矩阵的乘积，从而简化矩阵运算。
06
结论
研究成果总结
01
高斯变换在矩阵三角分解中具有高效性和稳定性，能够快速求解大规 模矩阵问题。
02
矩阵三角分解在高斯变换中的应用，为解决线性方程组、特征值问题 等提供了有效途径。
03
高斯变换与矩阵三角分解的结合，能够提高算法的收敛速度和精度， 减少计算复杂度。
04
高斯变换在矩阵三角分解中的实现，具有广泛的应用前景，可应用于 科学计算、工程技术和金融等领域。
高斯变换与矩阵三角分解(课堂PPT)
第五节 高斯变换阵与矩阵的三角分解
一、Gauss变换阵
设 向 量 l j 0,...0, l j1, j , l j2, j ,...,ln, j T Rn
e j 0,...0,1,0,...,0T Rn
( j)
定义Gauss变换阵为
0
M
0
Lj
I l jeTj
I
l
j1
定义消元乘数 m ij xi x j ,(i j 1, j 2, ..., n)
1
O
1
0
M
0
Lj I l jeTj
1 m j1, j
M
1 O
其中
l
j
m j1, j
M
mn, j
1
mn, j
于是有
Lj x y (x1, x2,..., xj ,0,...,0)T
以下各行进行初等行变换。
3. 用Lj右乘矩阵A,只改变A的第j列
a11 a12 a13 1 0
例：AL1
a21
a22
a23
m21
1
a31 a32 a33 m31 0
a11 a12m21 a13m31 a12
a21
a22m21
a23m31
a22
a31 a32m21 a33m31 a32
LI U
数值分析 23
数值分析
LU分解的MATLAB程序
function A=lud(A)
%i 功 能k ： 1对,L方阵, nA作三角分解A=LU,其中，
%
L为单位下三角阵，U为上三角阵，
%（输1）入：m方ik 阵Aa。ik(k ) / akk(k )
%%（输 注2出意）：：ai紧 当j(k凑A1的存) 主储a元Aij==(k0[)L时\U退m].出ikaMkja(tkl)a，b.j k 1,L , n
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a(1) 13
a(2) 23
L L
使
L2 A(2)
L2 L1 A(1)
0
M
0
a(3) 33
L
M ML
0
0
a(3) n3
L
a(1) 1,n
a(2) 2,n
a(3) 3,n
A(3)
M
a(3) n,n
数值分析
数值分析
1
L2 A(2)
1 -m32
M -mn2
1 O
a01(11)
数值分析
数值分析
1 0 0 1 0 0
L1 L2
l21
1
0 0
1
0
l31 0 1 0 l32 1
1 0 0
l21
1
0
l31 l32 1
L2 L1
数值分析
数值分析
Gauss变换阵的作用：
1. x ( x1 , x2 , ..., x j , x j1, ..., xn )T 0,且x j 0
a (1) ij
mi1a1 j(1)
i 2,L ,n, j 2,L ,n
数值分析
数值分析
第二步：设a2(22)
0，取mi 2
a(2) i2
a(2) 22
，i
3,..., n
1
1
对A(2)的第二列
(2) 2
构造
L2
-m32 1 MO
,
-mn2
1
a(1) 11 0
a(1) 12
数值分析
第五节 高斯变换阵与矩阵的三角分解
一、Gauss变换阵
设 向 量 l j 0,...0, l j1, j , l j2, j ,...,ln, j T Rn
e j 0,...0,1,0,...,0T Rn
( j)
定义Gauss变换阵为
0
M
0
Lj
I l jeTj
I
l
j1
j
0
L
010L
0
M
ln j
数值分析
数值分析
1
O
Lj
I
l jeTj
1 1
l j1 j 1
M
O
ln j
1 0 0 0
L2
0 0
0
1 l3,2 l4,2
0 1 0
0 0
I
l 2e2T
1
1
数值分析
数值分析
Gauss变换阵的性质：
1
O
1
1. Lj1 I l jeTj
3 0
1
9
0
数值分析
数值分析
二、矩阵的三角分解 1. 顺序高斯消元与LU分解的等价性
顺序高斯消元的基本思想：将矩阵A的下三角部分 消为零，即
aa12((1111))
a(1) 12
a(1) 22
L L
L L L
an(11)
a(1) n2
L
a(1) 1n
a(1) 2n
L
a(1) nn
a(1) 11
m32
a (3) 33
mn1 mn2 mn3
a (1) 1,n1
a(2) 2,n1
a (3) 3,n1
mn,n1
a (1) 1n
a(2) 2n
a(3) 3n
an(nn)
LI U
数值分析
数值分析
LU分解的MATLAB程序
function A=lud(A)
%i 功 能k ： 1对,L方阵, nA作三角分解A=LU,其中，
1 2 3 0 1 2
0 0 3
数值分析
数值分析 1 2 3 例2 求矩阵A= 2 3 4的LU分解.
1 3 2
解：A(3) L2 A(2) L2 L1 A
A L11 L21U
1 2 3 0 1 2 =U
0 0 3
1 0 0
L1
=
2
1
0
1 0 1
1 0 0
L2
=
0
1
0
0 1 1
M
mn1
1 O
1
a(1) 11 M
a(1) n1
... O ...
a1M(1n)
a(1) nn
a1(11)
L1 A(1)
a(1) 12
L
a(2) 22
L
MO
a(2) n2
L
a(1) 1n
a(2) 2n
M
A( 2 )
1(
2)
,
(2) 2
,
...,n(2)
a(2) nn
a (2) ij
以下各行进行初等行变换。
3. 用Lj右乘矩阵A,只改变A的第j列
a11 a12 a13 1 0
例：AL1
a21
a22
a23
m21
1
a31 a32 a33 m31 0
a11 a12m21 a13m31 a12
a21
a22m21
a23m31
a22
a31 a32m21 a33m31 a32
令：L L11 L21
1 0 0 1
=
2
1
0 0
1 0 1 0
1 0 0
=
2
1
0
1 1 1
0 0 1 0 1 1
数值分析
数值分析
记 A A(1) a1M(11)
... O
an(11) ...
a1M(1n)
1(1)
,
(1) 2
,
...,
(1) n
a(1) nn
第一步：设a1(11) 0, 取mi1 aa（ （1i1111） ）, i 2, ..., n
i k 1,L , n
（1）mik
a (k) ik
/ akk(k )
（2）aij ( k 1)
a (k) ij
mik akj(k )，j
k
1,L
,n
数值分析
数值分析
最后得
A( n )
a01(11)
a(1) 12
a(2) 22
L
L L L
0 0 L
a(1) 1n
a(2) 2n
a(n) nn
数值分析
数值分析
设ak(kk )
0, 取mik
a(k) ik a(k) kk
(i k 1, ..., n)，
1
O
构造Gauss变换阵
1
Lk I l kekT
1
mk1, k 1
a(k kk
)称为主元素.
(k 1, 2,L , n 1)
M mn, k
O 1
A(k 1) Lk A(k )消元计算递推公式：
A(k )
a (1) 12
a(2) 22
a (1) 13
a(2) 23
a(3) 33
m ik
... ... ...
a(k) kk
a(k) k 1,k a(k) nk
... ... ...
a(k) kk 1
a(k) k 1,k 1 a(k) n,k 1
... ...
a (1) 1n
a(2) 2n
主子式 Dk det( Ak ) 0 (k 1, 2,L , n) 则A可唯一地分解为一个单位下三角阵L和非奇异的
上三角阵U的乘积。即A LU . 证明 : 存在性,A Rnn非奇异阵, 存在分解式A LU
A的主元素ak(kk) 0,(k 1, 2, ..., n)
a(1) 12
L
a(2) 22
L
O
a(1) 1n
a(2) 2n
M
a(n) nn
数值分析
数值分析
例1 用Gauss消元法将矩阵A
化为上三角矩阵
1 2 3 A= 2 3 4
1 3 2
解：n 3, a11 1 0
m21 a21 / a11 2 / 1 2 m31 a31 / a11 1 / 1 1
0 0 1
a13
a23
a33
数值分析
数值分析
例：设 x (1, 3, 6,9)T ,求一Gauss变换阵L2使 L2 x (1, 3, 0, 0)T .
1 0 0 0
解：L2
0 0
1 2
0 0 1 0
0 3 0 1
1 0 0 0 1 1
L2
x
0 0
1 2
0
0
3
3
1 0 6 0
0
数值分析
数值分析
例：x ( x1 , x2 , x3 )T，x1 0
1 0
L1
，m 1
i1
xi
x1
,(i
2，3)
10
L1 x
x2
x1
1
x3
x1
0
0
x1
x1
0
x2
0
x3 0
1
数值分析
数值分析
2. 用Lj左乘矩阵A, Lj A相当于对A的第j行
a(k) kk
0, (k
1,2,
, n 1)是高斯消元的前提。
由Ln1 Ln2 ...L2 L1 A(1) A(n) U
A(1)
A
L11
L21
.
.
.Ln1
2
L1 n1
A(
n
)
令L L11 L21 ...Ln11
得到 A LU
数值分析
数值分析
其中