高斯变换与矩阵三角分解 PPT课件

m32 M
1 O
l31 M
l32 M
1
O
M M mn1 mn2
1
M M
1
mn.n1 1 ln1 ln2 L L ln,n1 1
a1(11)
a (1) 12
a(2) 22
a (1) 1n
a(2) 2n
u11
u12 u22
u1n
u2
n
U A(n)
a(n nn
a(2) 22
a(1) 13
a(2) 23
L L
使
L2 A(2)
L2 L1 A(1)
0
M
0
a(3) 33
L
M ML
0
0
a(3) n3
L
a(1) 1,n
a(2) 2,n
a(3) 3,n
A(3)
M
a(3) n,n
数值分析
数值分析
1
L2 A(2)
1 -m32
M -mn2
1 O
a01(11)
令：L L11 L21
1 0 0 1
=
2
1
0 0
1 0 1 0
1 0 0
=
2
1
0
1 1 1
0 0 1 0 1 1
数值分析
数值分析
记 A A(1) a1M(11)
... O
an(11) ...
a1M(1n)
1(1)
,
(1) 2
,
...,
(1) n
a(1) nn
第一步：设a1(11) 0, 取mi1 aa（ （1i1111） ）, i 2, ..., n
数值分析
数值分析
设ak(kk )
0, 取mik
a(k) ik a(k) kk
(i k 1, ..., n)，
1
O
构造Gauss变换阵
1
Lk I l kekT
1
mk1, k 1
a(k kk
)称为主元素.
(k 1, 2,L , n 1)
M mn, k
O 1
A(k 1) Lk A(k )消元计算递推公式：
a(3) 3,n M
a(3) n,n
A(3)
mi 2
a(2) i2
a(2) 22
,
a (3) ij
a (2) ij
mi2a2 j(2) ,
i, j 3,L ,n
数值分析
数值分析
进行到第k步消元时
a(1) 11
a(1) 12
a(2) 22
a(1) 13
a(2) 23
... ...
... ...
a (1) ij
mi1a1 j(1)
i 2,L ,n, j 2,L ,n
数值分析
数值分析
第二步：设a2(22)
0，取mi 2
a(2) i2
a(2) 22
，i
3,..., n
1
1
对A(2)的第二列
(2) 2
构造
L2
-m32 1 MO
,
-mn2
1
a(1) 11 0
a(1) 12
j
0
L
010L
0
M
ln j
数值分析
数值分析
1
O
Lj
I
l jeTj
1 1
l j1 j 1
M
O
ln j
1 0 0 0
L2
0 0
0
1 l3,2 l4,2
0 1 0
0 0
I
l 2e2T
1
1
数值分析
数值分析
Gauss变换阵的性质：
1
O
1
1. Lj1 I l jeTj
a(k) kk
0, (k
1,2,
, n 1)是高斯消元的前提。
由Ln1 Ln2 ...L2 L1 A(1) A(n) U
A(1)
A
L11
L21
.
.
.Ln1
2
L1 n1
A(
n
)
令L L11 L21 ...Ln11
得到 A LU
数值分析
数值分析
其中
1
1
m21
1
l21
1
L
m31 M
i k 1,L , n
（1）mik
a (k) ik
/ akk(k )
（2）aij ( k 1)
a (k) ij
mik akj(k )，j
k
1,L
,n
数值分析
数值分析
最后得
A( n )
a01(11)
a(1) 12
a(2) 22
L
L L L
0 0 L
a(1) 1n
a(2) 2n
a(n) nn
A(k )
a (1) 12
a(2) 22
a (1) 13
a(2) 23
a(3) 33
m ik
... ... ...
a(k) kk
a(k) k 1,k a(k) nk
... ... ...
a(k) kk 1
a(k) k 1,k 1 a(k) n,k 1
... ...
a (1) 1n
a(2) 2n
1
L1
=
2
1
1
1
L1 A完成第一步消元, 得 :
1 2 3 A(2) L1 A 0 1 2
0 1 1
a (2) 22
1
0
m32
a (2) 32
/
a (2) 22
1 /(1)
1
1
L2
=
1
,L2
A(
2
)
L2 L1 A
1 1
完成第二步消元, 得
A(3) L2 A(2) L2 L1 A
a(1) 12
a(2) 22
... ...
M M O
1
0
a(2) n2
...
a(1) 1n
a(2) 2n
M
a(2) nn
a(1) 11 0
a(1) 12
a(2) 22
a(1) 13
a(2) 23
L L
0 M
0
a(3) 33
L
M ML
0
0
a(3) n3
L
a(1) 1,n
a(2) 2,n
以下各行进行初等行变换。
3. 用Lj右乘矩阵A,只改变A的第j列
a11 a12 a13 1 0
例：AL1
a21
a22
a23
m21
1
a31 a32 a33 m31 0
a11 a12m21 a13m31 a12
a21
a22m21
a23m31
a22
a31 a32m21 a33m31 a32
1 2 3 0 1 2
0 0 3
数值分析
数值分析 1 2 3 例2 求矩阵A= 2 3 4的LU分解.
1 3 2
解：A(3) L2 A(2) L2 L1 A
A L11 L21U
1 2 3 0 1 2 =U
0 0 3
1 0 0
L1
=
2
1
0
1 0 1
1 0 0
L2
=
0
1
0
0 1 1
1
对A(1)的第一列
(1) 1
构
造L1 , 使L11(1) a11 , 0, ..., 0 T .
L1
m21
M
1
O
mn1
1
1
L1 A(1)
m21
M
mn1
1 O
a1M(11)
... O
1 an(11) ...
a1M(1n)
a(1) nn
数值分析
数值分析
1
L1 A(1)
m21
1
l j1, j 1
M O
ln, j
1
证：L j Lj1 ( I l jeTj )( I l jeTj )
I
l jeTj
l jeTj
l
j
eTj
l
j
e
T j
I
Lj1 L j
数值分析
数值分析
2. L1 L 2 ...L n1
(I
l 1e1T
)( I
l 2e2T
)...( I
l
eT
n1 n1
for k=1:n-1
for i=k+1:n
if A(k,k) ==0 quit; end
A(i,k) =A(i,k)/ A(k,k);
A(i,k+1:n)= A(i,k+1:n)- A(i,k) *A(k,k+1:n);
end
end
数值分析
数值分析
2. 矩阵三角分解的基本定理 定理1 （矩阵分解定理）若n阶方阵A Rnn的顺序
...
a
(3) 3n
...
...
... ...
a
(k1) ij
...
a
(k) nn
数值分析
数值分析
消元过程全部完成后，原来的二维数组中存放的
元素实际上是一个新的矩阵，记为 AF
用动态形式表示为A AF
ma1(2111)
a (1) 12
a(2) 22
a (1) 13
a(2) 23
AF m31
a(1) 12
L
a(2) 22
L
O
a(1) 1n
a(2) 2n
M
a(n) nn
数值分析
数值分析
例1 用Gauss消元法将矩阵A
化为上三角矩阵
1 2 3 A= 2 3 4
1 3 2
解：n 3, a11 1 0
m21 a21 / a11 2 / 1 2 m31 a31 / a11 1 / 1 1
)
1
百度文库
l21
1
l31 M
l32 M
1
O
M M
1
ln1 ln2 ln3 ... ln,n1 1
数值分析
数值分析
3.
L
1 1
L
1 2
...
L
1 n1
(I
l 1e1T
)( I
l 2e2T
)...( I
l
eT
n1 n1
)
1
l21
1
l31 M
l32 M
1
O
M M
1
ln1 ln2 ln3 ... ln,n1 1
%
L为单位下三角阵，U为上三角阵，
%（输1）入：m方ik 阵Aa。ik(k ) / akk(k )
%%（输 注2出意）：：ai紧 当j(k凑A1的存) 主储a元Aij==(k0[)L时\U退m].出ikaMkja(tkl)a，b.j k 1,L , n
[n,n]=size(A); % 确定A的维数
数值分析
数值分析
例：x ( x1 , x2 , x3 )T，x1 0
1 0
L1
m2，1
1
m3，1 0
0
0，m 1
i1
xi
x1
,(i
2，3)
10
L1 x
x2
x1
1
x3
x1
0
0
x1
x1
0
x2
0
x3 0
1
数值分析
数值分析
2. 用Lj左乘矩阵A, Lj A相当于对A的第j行
)
unn
数值分析
数值分析
存储方式
在 计 算 机 中 计 算 时 ， 采用 动 态 存 储 方 式 。 最 初用 一个n n的二维数组存放A，第k步消元计算后
a(k) ik
mik
(i k 1, , n)
a(k) ij
a ( k 1) ij
(i k 1, , n;
j k 1, , n)
a1(11)
定义消元乘数 m ij xi x j ,(i j 1, j 2, ..., n)
1
O
1
0
M
0
Lj I l jeTj
1 m j1, j
M
1 O
其中
l
j
m j1, j
M
mn, j
1
mn, j
于是有
Lj x y (x1, x2,..., xj ,0,...,0)T
m32
a (3) 33
mn1 mn2 mn3
a (1) 1,n1
a(2) 2,n1
a (3) 3,n1
mn,n1
a (1) 1n
a(2) 2n
a(3) 3n
an(nn)
LI U
数值分析
数值分析
LU分解的MATLAB程序
function A=lud(A)
%i 功 能k ： 1对,L方阵, nA作三角分解A=LU,其中，
数值分析
第五节 高斯变换阵与矩阵的三角分解
一、Gauss变换阵
设 向 量 l j 0,...0, l j1, j , l j2, j ,...,ln, j T Rn
e j 0,...0,1,0,...,0T Rn
( j)
定义Gauss变换阵为
0
M
0
Lj
I l jeTj
I
l
j1
3 0
1
9
0
数值分析
数值分析
二、矩阵的三角分解 1. 顺序高斯消元与LU分解的等价性
顺序高斯消元的基本思想：将矩阵A的下三角部分 消为零，即
aa12((1111))
a(1) 12
a(1) 22
L L
L L L
an(11)
a(1) n2
L
a(1) 1n
a(1) 2n
L
a(1) nn
a(1) 11
... ...
a(1) 1n
a(2) 2n
A(k )
a(3) 33
...
O
...
...
a(3) 3n
M
a(k) kk
a(k) kk 1
...
a(k) k 1,k
a(k) k 1,k 1
...
MM
...
...
M
a(k) nk
a(k) n,k 1
...
a(k) nn
下一步消元，从A(k) A(k1)，将A(k)的第k列的对角元 以下的元素化为零。
数值分析
数值分析
1 0 0 1 0 0
L1 L2
l21
1
0 0
1
0
l31 0 1 0 l32 1
1 0 0
l21
1
0
l31 l32 1
L2 L1
数值分析
数值分析
Gauss变换阵的作用：
1. x ( x1 , x2 , ..., x j , x j1, ..., xn )T 0,且x j 0
M
mn1
1 O
1
a(1) 11 M
a(1) n1
... O ...
a1M(1n)
a(1) nn
a1(11)
L1 A(1)
a(1) 12
L
a(2) 22
L
MO
a(2) n2
L
a(1) 1n
a(2) 2n
M
A( 2 )
1(
2)
,
(2) 2
,
...,n(2)
a(2) nn
a (2) ij
主子式 Dk det( Ak ) 0 (k 1, 2,L , n) 则A可唯一地分解为一个单位下三角阵L和非奇异的
上三角阵U的乘积。即A LU . 证明 : 存在性,A Rnn非奇异阵, 存在分解式A LU
A的主元素ak(kk) 0,(k 1, 2, ..., n)
0 0 1
a13
a23
a33
数值分析
数值分析
例：设 x (1, 3, 6,9)T ,求一Gauss变换阵L2使 L2 x (1, 3, 0, 0)T .
1 0 0 0
解：L2
0 0
1 2
0 0 1 0
0 3 0 1
1 0 0 0 1 1
L2
x
0 0
1 2
0
0
3
3
1 0 6 0
0