一可分离变量的微分方程
高数微分方程公式大全
高数微分方程公式大全微分方程是数学中的重要概念，包含了许多公式和方法。
下面我将从不同角度介绍一些常见的高等数学微分方程公式。
1. 一阶微分方程：可分离变量方程公式，dy/dx = f(x)g(y)，可通过分离变量并积分求解。
齐次方程公式，dy/dx = f(x)/g(y)，可通过变量代换或分离变量求解。
线性方程公式，dy/dx + P(x)y = Q(x)，可通过积分因子法或常数变易法求解。
2. 二阶微分方程：齐次线性方程公式，d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0，可通过特征方程法求解。
非齐次线性方程公式，d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)，可通过常数变易法或待定系数法求解。
欧拉方程公式，x²d²y/dx² + pxdy/dx + qy = 0，可通过变量代换或特征方程法求解。
3. 高阶微分方程：常系数线性齐次方程公式，andⁿy/dxⁿ +an⁻¹dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + ... + a1dy/dx + a0y = 0，可通过特征方程法求解。
常系数线性非齐次方程公式，andⁿy/dxⁿ +an⁻¹dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + ... + a1dy/dx + a0y = f(x)，可通过常数变易法或待定系数法求解。
常系数二阶齐次方程公式，d²y/dx² + py' + qy = 0，可通过特征方程法求解。
4. 常见的变换和公式：指数函数变换，对于形如y = e^(kx)的方程，可通过变量代换进行求解。
对数函数变换，对于形如y = ln(x)的方程，可通过变量代换进行求解。
三角函数变换，对于形如y = sin(kx)或y = cos(kx)的方程，可通过变量代换进行求解。
常用公式，如指数函数的导数公式、对数函数的导数公式、三角函数的导数公式等。
微分方程(可分离变量的微分方程)
即 y xu,
dy du u x , dx dx du 代入原式 u x f ( u), dx du f ( u) u 即 . 可分离变量的方程 dx x
6
齐次微分方程的解
1 : 当 f (u) u 0时,
du 得 ln C1 x , f ( u) u du 即 x Ce ( u ) , （ ( u ) ） f ( u) u y
dy y P ( x )dx ,
ln y P ( x )dx ln C ,
齐次方程的通解为 y Ce
P ( x ) dx
.
13
dy (2) 线性非齐次方程 P ( x ) y Q( x ). dx dy Q( x ) P ( x ) dx, 讨论 y y Q( x ) 两边积分 ln y dx P ( x )dx , y Q( x ) 设 dx为v ( x ), ln y v ( x ) P ( x )dx , y
9.2一阶微分方程
最基本的微分方程是一阶微分方程。 一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y’)=0或 y’=f(x,y),其中F(x,y,y’)是x,y,y’的已知函数； f(x,y)是x,y的已知函数。
1
一、可分离变量方程
分离变量方程： g( y )dy f ( x )dx 可分离变量的微分方程：通过适当 变形，能够转化为分离变量方程
dy dx 2 例如 y x , x sin t t 2 , 线性的; dx dt yy 2 xy 3, y cos y 1, 非线性的.
12
一阶线性微分方程的解法
(1) 线性齐次方程
可分离变量的微分方程公式
可分离变量的微分方程公式可分离变量的微分方程公式，这可是数学中的一个重要知识点呢！咱们先来说说啥是可分离变量的微分方程。
简单来讲，就是能把方程中的变量和它们的导数分离开来，写成一边只有 x 和 dx，另一边只有 y 和 dy 的形式。
比如说，像 dy/dx = f(x)g(y) 这样的式子，就能通过变形变成 g(y)dy = f(x)dx 。
给大家举个例子哈，比如说有个微分方程 dy/dx = x/y ，咱们就能把它变成 ydy = xdx 。
然后两边积分，左边积分得到 1/2 * y^2 ，右边积分得到 1/2 * x^2 + C ，这就求出了方程的解。
我记得我之前教过一个学生，叫小李。
这孩子刚开始接触可分离变量的微分方程时，那叫一个迷糊，怎么都弄不明白。
我就一点点给他讲，先从最简单的例子入手，让他自己动手去分离变量，去积分。
结果他总是在一些小细节上出错，不是积分公式记错了，就是忘了加常数 C 。
我看着他着急的样子，心里也挺着急的。
但我知道不能急，得慢慢来。
于是我又给他重新梳理了一遍知识点，让他多做几道练习题。
慢慢地，他好像找到了一点感觉，能做出一些简单的题目了。
可是，当遇到稍微复杂一点的题目，比如 dy/dx = (x^2 + 1) / (y^2 - 1) 这样的，他又懵了。
我就陪着他，一步一步地分析，告诉他怎么把方程变形，怎么确定积分的上下限。
经过好几天的努力，小李终于掌握了可分离变量的微分方程。
他开心得不行，我也为他感到高兴。
再来说说可分离变量的微分方程在实际中的应用。
比如说，在物理学中，研究物体的运动规律时，经常会用到这个公式。
还有在生物学中，分析种群的增长模型时，也能派上用场。
总之，可分离变量的微分方程公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们掌握了方法，多做练习，就能轻松应对。
可别像小李刚开始那样被它给难住啦！希望大家都能学好这个知识点，在数学的海洋里畅游无阻！。
常微分方程基本公式
常微分方程基本公式一、一阶常微分方程。
1. 可分离变量方程。
- 形式：(dy)/(dx)=f(x)g(y)- 解法：将方程变形为(dy)/(g(y)) = f(x)dx，然后两边分别积分∫(dy)/(g(y))=∫f(x)dx + C，其中C为任意常数。
2. 齐次方程。
- 形式：(dy)/(dx)=F((y)/(x))- 解法：令u = (y)/(x)，即y = ux，则(dy)/(dx)=u + x(du)/(dx)。
原方程化为u + x(du)/(dx)=F(u)，这是一个可分离变量方程，可按照可分离变量方程的方法求解。
3. 一阶线性微分方程。
- 形式：(dy)/(dx)+P(x)y = Q(x)- 通解公式：y = e^-∫ P(x)dx(∫ Q(x)e^∫ P(x)dxdx + C)二、二阶常系数线性微分方程。
1. 齐次方程。
- 方程形式：y''+py'+qy = 0（其中p,q为常数）- 特征方程：r^2+pr + q=0- 当特征方程有两个不同实根r_1,r_2时，通解为y = C_1e^r_1x+C_2e^r_2x；- 当特征方程有重根r时，通解为y=(C_1+C_2x)e^rx；- 当特征方程有一对共轭复根r_1,2=α±β i时，通解为y = e^α x(C_1cosβ x + C_2sinβ x)。
2. 非齐次方程。
- 方程形式：y''+py'+qy = f(x)- 通解结构：y = y_h+y_p，其中y_h是对应的齐次方程的通解，y_p是一个特解。
- 当f(x)=P_m(x)e^λ x（P_m(x)是m次多项式）时，特解y_p的形式：- 若λ不是特征方程的根，则y_p=Q_m(x)e^λ x（Q_m(x)是m次待定多项式）；- 若λ是特征方程的单根，则y_p=xQ_m(x)e^λ x；- 若λ是特征方程的重根，则y_p=x^2Q_m(x)e^λ x。
可分离变量的微分方程
可分离变量的微分方程
例1 一曲线过点（1，0），且曲线上任意点M(x, y)处的切 线斜率为该点横、纵坐标之比的相反数，求该曲线方程。
解 设曲线方程为y=f(x)，则曲线在点M(x, y)处的切线斜率
为 dy 。 dx
根据题意有
dy x dx y
初始条件为
y 0 x 1
例1 一曲线过点（1，0），且曲线上任意点M(x, y)处的切 线斜率为该点横、纵坐标之比的相反数，求该曲线方程。
（2）质量变成一半时m=25，将其代入上式，得
25 50e0.053t
即
e0.053t 1
2
则
t ln2 1（3 年）
0.053
于是可以预测大约经过13年，该材料质量变成一半。
高等数学
两边积分，得
ln P(t) 0.08t ln C
化简，得通解
P(t) Ce0.08t
将 P(0) 80 423 代入通解中，得 C 80 423
例4 【国民生产总值】1999年我国的国民生产总值（GDP） 为80 423亿元，如果每年的增长率保持当年的8%，问2012 年我国的GDP是多少？
于是所求特解为
C 1 y ex2
在解微分方程时，为方便起见，遇到如
1 y
dy， 1x
dx等
形式的积分，自然对数符号后可以不加绝对值，通解形式
不变。
例3 解微分方程 x( y2 1) dx y(x2 1) dy 0
解 分离变量，两边同乘以2，得
两边积分，得
2 y2
y 1
dy
2x x2 1
dx
dy f (x) g( y) dx
求解步骤如下： （1）分离变量 dy f (x)dx
第七章-微分方程1
（ 复 习 ）
Y 为对应齐次方程的通解
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例11 解
求 y '' 5 y' 6 y xe 2 x 通解
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二、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P ( x ) y Q( x ) dx
当Q( x ) 0, 上面方程称为齐次的.
（ 复 习 ）
当Q( x ) 0, 上面方程称为非齐次的.
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*
1 b0 , b1 1 2
2x
（ 复 习 ）
y xe
原方程的通解为
1 ( x 1) 2
3x
y c1e
2x
c2 e
xe
2x
1 ( x 1) 2
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例12 解
求y '' 3 y' 2 y 3 xe x 通解
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一、可分离变量的微分方程
g ( y )dy f ( x )dx
可分离变量的微分方程.
4 4 dy 例如 2 x 2 y 5 y 5 d y 2 x 2d x , dx 解法 设函数 g( y ) 和 f ( x ) 是连续的,
可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程
dx
2
2
解 d y cos x y cos x y 0,
dx
2
2
d y 2sin x sin y 0,
dx
22
dy 2sin
y
sin x d x, 2
2
ln csc y cot y 2cos x C 为所求通解.
22
2
例3 一个充满气体的气球突然破了一个孔，
漏气的速率正比于气球内气体的质量，
x
x
例6 求方程sin x d y y cos x 5sin x ecos x的通解 dx
解 将方程化为标准型
d y y cot x 5ecos x, dx 则, P( x) cot x, Q( x) 5ecos x ,
利用公式常数变易公式得通解
y e P( x)d x Q( x)e P( x)d x d x C e cot xd x 5ecos xe cotd x d x C
x,
ln y P( x)d x ln C ,
齐次线性方程的通解为：y Ce P( x)d x .
2º非齐次线性方程： d y P( x) y Q( x). dx
将 C 变易 C( x) (待定)
作变换 y C( x)e P( x)d x
y C( x) e P( x)d x C( x) [P( x)]e P( x)d x ,
第九章
第二节 可分离变量的微分方程 和一阶线性微分方程
一、可分离变量的微分方程
二 、一阶线性微分方程
一、可分离变量的微分方程
类型1. d y h( x)g( y) (1.1) dx ——可分离变量的微分方程.
求解法： 设函数g( y)和h( x)是连续的,
可分离变量的微分方程精选
可分离变量的微分方程精选
一、常微分方程
该方程由n个未知函数y（x）的n个层次拼接而成，形如：
dy/dx+p1(x)y'+p2(x)y"++pn(x)yn=f(x)
其中pi(x)（i=1，2,…,n）为p (x) 的n次可导函数，f(x)为右端函数。
2.欧拉方程
欧拉方程是一种特殊的线性常微分方程，其极限形式为：
dy/dx=f(x,y);
这里，f(x，y)为连续可导的未知函数。
3.拉普拉斯方程
拉普拉斯方程描述了变量的二阶微分的求解过程，其标准形式为：
4.高阶线性常微分方程
高阶线性常微分方程将公式拓展到包含更高次导数（如三阶及以上）的形式，其标准形式为：
常系数微分方程是m×n次方程组中m次偏微分方程组形式，其标准形式为：
其中c0,c1,…cn为常数，f(x,y)为右端函数。
方程组是m×n的多元方程组的形式，例如：
其中f1(x，y)，f2(x，y)为右端函数。
3.发展方程
发展方程是一种偏微分方程组，可求解压缩性流体流动时物质的动量、能量及密度等物理变量的变化情况。
其标准形式为：
∂ut/∂t+u∂ut/∂x+v∂ut/∂y+w∂ut/∂z=f1(x,y,z)
其中u、v、w分别表示流体的x、y、z方向的速度，t为时间；f1（x，y，z），f2（x，y，z），f3（x，y，z）为右端函数。
常见的常微分方程的一般解法
常见的常微分方程的一般解法总结了常见常微分方程的通解。
如无意外，本文将不包括解的推导过程。
常微分方程，我们一般可以将其归纳为如下n类：1.可分离变量的微分方程（一阶）2.一阶齐次（非齐次）线性微分方程（一阶），包含伯努利3.二阶常系数微分方程（二阶）4.高阶常系数微分方程（n阶），包含欧拉1.可分离变量的微分方程（一阶）这类微分方程可以变形成如下形式：f ( x ) d x =g ( y ) d y f(x)dx=g(y)dy f(x)dx=g(y)dy函数可以通过同时整合两边来解决。
难点主要在于不定积分，不定积分是最简单的微分方程。
p.s. 某些方程看似不可分离变量，但是经过换元之后，其实还是可分离变量的，不要被这种方程迷惑。
2.一阶齐次（非齐次）线性微分方程（一阶）形如d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) dxdy+P(x)y=Q(x)的方程叫做一阶线性微分方程，若 Q ( x ) Q(x) Q(x)为0，则方程齐次，否则称为非齐次。
解法：直接套公式：y ( x ) = e − ∫ P ( x ) d x ( ∫ e ∫ P ( x ) d x Q ( x ) d x + C ) y(x)=e^{-\int{P(x)}dx}(\int{e^{\int{P(x)dx}}Q(x)}dx+C)y(x)=e−∫P(x)dx(∫e∫P(x)dxQ(x)dx+C)多套几遍熟练就好。
伯努利方程形如d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) y n , n ∈R , n ≠ 1\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n},n\in\mathbb{R},n\ne1dxdy+P(x)y=Q(x)yn,n∈R,n=1的方程称为伯努利方程，这种方程可以通过以下步骤化为一阶线性微分方程：y − n d y d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x) y−ndxdy+P(x)y1−n=Q(x)1 1 − n ⋅ d y 1 − n d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) \frac{1}{1-n}·\frac{dy^{1-n}}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)1−n1⋅dxdy1−n+P(x)y1−n=Q(x)令 y 1 − n = u y^{1-n}=u y1−n=u，方程两边同时乘以 1 − n 1-n 1−n，得到d u d x + ( 1 − n ) P ( x ) u = ( 1 − n ) Q ( x )\frac{du}{dx}+(1-n)P(x)u=(1-n)Q(x) dxdu+(1−n)P(x)u=(1−n)Q(x)即 d u d x + P ′ ( x ) u = Q ′ ( x )\frac{du}{dx}+P'(x)u=Q'(x) dxdu+P′(x)u=Q′(x)这是一个可以公式化的一阶线性微分方程。
高数一阶微分方程(可分离变量型)
【解】 (1)
dH ∵ <0 dt
dH ∴ = − k ( H − 20) dt
分离变量得
dH = − kdt H − 20 ln( H − 20) = − kt + C1
∴ H = 20 + Ce
∵ t = 0 时 ，H = 37 又 ∵ t = 2 时 ，H = 35
第二节
一阶微分方程
（可分离变量型 ）
可分离变量方程
dy = f1(x) f2 ( y) dx M1(x)M2 ( y) dx + N1(x) N2 ( y) dy = 0
转化
解分离变量方程 g( y) dy = f (x) dx
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一、可分离变量的微分方程
分离变量方程的解法: 分离变量方程的解法:
即
dy = 3x2 dx 另解】 【另解】分离变量得 y
令C = ± e ( C 为任意常数 )
C1
⇒ ln y = x3 + C1
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【*****】变量代换后,化为可分离变量的微分方程题型 】变量代换后 化为可分离变量的微分方程题型 【例2】 求方程 f ( xy) ydx + g( xy)xdy = 0 通解 】 . 【解】
由 和差化积公式： 和差化积公式：
y d dy x y 2 = −2 sin x d x ⇒∫ = −2 sin ⋅ sin ⇒ ∫ 2 2 y dx 2 2 sin 2 x y y ln csc − cot = 2 cos + C , ∴ 通解为 2 2 2
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【思考与练习题】 思考与练习题】
可分离变量的微分方程
M t=0 = M 0 (初始条件)
对方程分离变量,
然后积分:
∫
dM M
=
∫(−λ )d t
得 ln M = −λ t + ln C, 即 M = C e−λ t
M
利用初始条件, 得 C = M 0
M0
故所求铀的变化规律为 M = M 0 e−λ t . o
t
解法 1 分离变量 e− y d y = ex dx
− e−y = ex + C
即
(ex +C)ey +1= 0 ( C < 0 )
解法 2 令 u = x + y, 则u′ = 1+ y′
故有 积分
u′ =1+ eu
∫
1
d +
u eu
=
x+C
∫
(1
+ eu 1+
)− eu
eu
du
u − ln (1+ eu ) = x + C
(1 −
−
e
k m
t
)
v
≈
mg k
k
内容小结
1. 微分方程的概念 微分方程; 阶; 定解条件; 解; 通解; 特解 说明: 通解不一定是方程的全部解 .
例如, 方程 (x + y) y′ = 0 有解
y=–x 及 y=C 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .
dt
初始条件为 v t=0 = 0
∫ ∫ 对方程分离变量, 然后积分 :
dv = mg − kv
dt m
一阶可分离变量型微分方程
思考题
求解微分方程
dy cos x y cos x y .
dx
2
2
dy cos x y cos x y 0,
dx
2
2
dy 2sin x sin y 0,
dx
22
dy 2 s in
y
sin
x 2
dx,
ln
csc
y 2
cot
y 2
2cos
x 2
分离变量、积分得
X 2(u2 2u 1) c, 即Y 2 2XY X 2 C,
将 X x 1,Y y 2 代回，
得原方程的通解 ( y 2)2 2( x 1)( y 2) ( x 1)2 C,
利用变量代换求微分方程的解
1. 求方程 f (xy) ydx g(xy)xdy 0 通解.
[ f (u) g(u)] u dx g(u)du 0, x
dx
g(u) du 0,
x u[ f (u) g(u)]
通解为
ln
|
x
|
u[
f
g(u) du (u) g(u)]
C.
例 3 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量M 成
正比,已知 M t0 M0,求衰变过程中铀含量M (t ) 随时间t 变化的规律.
可分离变量
dt (200 h h3 )dh, 0.62 2g
t (400 h3 2 h5 ) C,
0.62 2g 3
5
h |t0 100,
C 14 105 , 0.62 2g 15
常见的微分方程类型归纳
常见的微分方程类型归纳微分方程是指含有未知函数的导数的方程。
未知函数是一元函数的叫做常微分方程，未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。
《微积分》里面的微分方程仅限于常微分方程。
咱们所讲到的微分方程归纳为以下几类：一、可分离变量的微分方程 形如：()()dy f x g y dx= 求解方式：若是()0g y ≠，方程可化为： ()()dy f x dx g y = ,两边取积分, ()()dy f x dx c g y =+⎰⎰求出积分，那么为方程的通解。
例1：2cos dy y x dx= 解：将变量分离，取得 2cos dy xdx y= 两边积分，即得 1sin x c y-=+ 那么通解为 1sin y x c =-+ 二、一阶线性微分方程形如： )()(x Q y x P dxdy =+ （1） 若0)(=x Q ，那么原方程称为一阶线性齐次方程；假设0)(≠x Q ，原方程称为一阶线性非齐次方程。
求解方式：先解原方程对应齐次方程的通解：对应齐次方程为： 0)(=+y x P dxdy （2） 分离变量，得 dx x P ydy )(-= 两边积分，得 ⎰=-dx x P ce y )( （3）（3）为一阶线性齐次方程（2）的通解。
常数变易法：令对应齐次方程的通解⎰=-dx x P ce y )(中的常数c 为 ()c u x =（常数变函数）则⎰=-dx x P e x u y )()(为非齐次方程(1)的通解；将⎰=-dx x P e x u y )()(代入（1）式，解得()u x 的具体函数表达式，即求出（1）式的通解。
例2：求微分方程x xy y =-'2的通解解：对应齐次方程为： 20y xy '-=分离变量，得 12xdx dy y= 两边取积分，得 12 xdx dy y =⎰⎰解得：22211x c c x x y e e e ce +=±=±⋅=令 ()c u x =那么 ()2x y u x e =为原方程的通解，带入原式。
一阶可分离变量微分方程
一阶可分离变量微分方程是指可以被表示为形如$f(y)dy=g(x)dx$ 的微分方程，其中$f$ 和$g$ 是已知的函数。
解决这种类型的微分方程可以通过以下步骤：1.将$f(y)dy=g(x)dx$ 两边积分，得到$\int f(y)dy = \int g(x)dx + C$，其中$C$ 是常数。
2.如果可能，化简积分式，使得方程可以更容易地求解。
3.如果需要，解出$y$，得到通解。
4.如果给定了初始条件，使用初始条件求出特定解。
需要注意的是，一阶可分离变量微分方程不一定总是可以解析地求解，有时候需要使用数值方法进行求解。
让我们通过一个例子来说明如何解决一阶可分离变量微分方程。
假设我们要解决以下微分方程：$$\frac{dy}{dx} = 2xy$$这是一个一阶可分离变量微分方程，我们可以将其表示为：$$\frac{dy}{y} = 2x dx$$然后我们可以对两边积分，得到：$$\int \frac{1}{y} dy = \int 2x dx$$$$\ln|y| = x^2 + C$$其中$C$ 是常数。
将两边取指数，得到：$$|y| = e^{x^2 + C}$$如果我们假设$y$ 是正的，我们可以简单地写成：$$y = Ce^{x^2}$$这是微分方程的通解，其中$C$ 是任意常数。
如果我们有初始条件$y(0) = 1$，我们可以使用这个条件来求出特定解。
将$x=0$ 和$y=1$ 代入通解，得到：$$1 = Ce^{0}$$因此$C=1$，特定解是：$$y = e^{x^2}$$这是一个一阶可分离变量微分方程的解析解。
下面我们再来看一个例子。
假设我们要解决以下微分方程：$$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$$这是一个一阶可分离变量微分方程，我们可以将其表示为：$$y dy = x dx$$然后我们可以对两边积分，得到：$$\int y dy = \int x dx$$$$\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C$$其中$C$ 是常数。
可分离变量的一阶微分方程.
形如
dy f (x)g( y) dx
P1(x)P2 ( y)dx Q1(x)Q2 (x) 0
的方程均为可分离变量的微分方程。
对（2）式两端分别积分，便可得到微分方程的通解
g( y)dy f (x)dx C
其中C为任意常数。
例1 求微分方程 y 3x2 y的通解。
解 首先分离变量 ，得
dt
b
或
dN a(b N ) N dt
其中a k b
分离变量，得 dN
adt
N (b N )
两边积分
N (b N ) N (b N )
dN
abdt
得
ln N abt ln C
b N
N Ceabt bN
于是
N
Cbeabt 1 Ceabt
1
8.2 可分离变量的一阶微分方程
y f (x, y)
(1)
如果能化成
g( y)dy f (x)dx (2)
的形式，即可表示为一端只含y的函数和dy, 而另一端只含
x的函数和dx, 那么原方程就称为可分 离变量的微分方程
(differential equation of separated variables).
1 dy 3x2dx y
两端积分，得 即
ln y x3 C1 y ex3 C1或y eC1ex3
因 eC1仍是任意常数，3
以后为了方便起见，我们可把 ln y 写成ln y,但要
记住结果中的常数C可正可负。
显然y=0也是方程的解，它包含在通解之中，只要取
再利用初值条件y x1 1,确定C 1,从而所求特解为y x
一、可分离变量的微分方程 二、齐次方程
十、 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的 方程,然后求出通解:
1、 dy 1 1； dx x y
2、 y y 2 2(sin x 1) y sin2 x 2sin x cos x 1； 3、 dy 1 y .
二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解:
1、cos
x sin
ydy
cos
y sin xdx
, y x0
； 4
2、cos
ydx
(1
e x ) sin
ydy
0, y x0
. 4
三、质量为 1 克 的质点受外力作用作直线运动,这外力 和时间成正比,和质点运动的速度成反比.在t 10 秒时,速度等于50厘米 / 秒 ,外力为4克 厘米 / 秒2 , 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少?
xy
x2 y2 y,
y
1
y 2
y,
x x
原方程是齐次方程.
3. dx cos y sin 2 y x sin y sin 2 y x tan y,
dy
cos y
dx tan y x sin 2 y,
dy
x eln cos y sin 2 y eln cos y dy C
2e
x y
)dx
2e
x y
(1
x )dy
0.
y
六、 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解:
1、( y 2 3x 2 )dy 2xydx 0, y x0 1； 2、( x 2 2xy y 2 )dx ( y 2 2xy x 2 )dy 0 ,
y 1 . x1
七、求下列微分方程的通解: 1、 y y cos x e sin x ； 2、 y ln ydx ( x ln y)dy 0； 3、( y 2 6x) dy 2 y 0. dx
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作变量代换
u
y x
,即
y
xu,
dy dx
u
x
du dx
,
代入原式
u x du dx
f (u),
即 du f (u) u .
dx
x
可分离变量的方程
例7
求微分方程
y
y x y
的通解
解 把原方程化为
y
dy x dx 1 y
x
令u y ，则y xu，dy u x du ，代入上式
x
dx
司将在第36年破产；
当 W0= 600 百万元时，公司将收支平衡，将资 产保持在600百万元不变；
当 W0 =700 百万元时，公司净资产将按指数 不断增大.
二、齐次方程
1.定义 形如 f x, y n f x, y，
称为n次齐次方程.
2.定义
形如
dy dx
f
(
y x
)
的微分方程称为齐次方程.
3.解法
解 方程两边同除以y，再乘dx，得
1 dy 2xdx y
两端分别积分
1 dy y
2xdx, 得
ln y x2 C1
即 y ex2 C1 eC1 ex2 Cex2
又显然y 0是方程的解，且它已包含在通解中
(当C 0)，故原方程的通解为 y Cex2 .
例3 求方程 dy 1 x y2 xy2的通解． dx
可分离变量方程求解步骤: 第一步，分离变量
g( y)dy f (x)dx
第二步，对上式两端分别积分：
g(y)dy f (x)dx
得到通解 G(y) F(x) C
其中G y与F x分别是g(y)与f x的一个原函数，
C是任意常数,上式称为隐式通解.
例2 求方程y 2xy的通解．
三、可化为齐次方程的方程
1.定义 形如 dy f ( ax by c )的微分方程
dx
a1x b1 y c1
当c c1 0时, 为齐次方程, 否则为非齐次方程.
2.解法 令a1x b1 y c1 0, a2 x b2 y c2 0,
解得
x x0 , y y0
做变换 xy
§10.2 一阶微分方程的分离变量法
形如 F(x, y, y) 0 或 y f x, y
称为一阶微分方程.
一、可分离变量的微分方程
g( y)dy f (x)dx 可分离变量的微分方程.
例如
dy
2x2
4
y5
dx
4
y5
dy
2x2dx,
注：可分离变量的微分方程：把微分方程写成一
端只含y的函数和dy,另一端只含x的函数和dx.
X X
Y Y
1
Y X
1
Y X
这是齐次方程，令u Y ,则 dY u X du ,
X dX
dX
u X du 1 u , dX 1 u
整理得
1 1 2u
u u2
du
ln
|
X
|
ln
C1,
两边积分,得
1 2
ln
|1
2u
u2
|
ln
|
X
|
ln
C1
回代，化简得 X 2 2XY Y 2 C,
整理得： W 600 Ce0.05t (C C1). 将W (0) W0代入，得方程通解：
W 600 (W0 600)e0.05t， 在上述推导过程中W 600, 但当W 600时，dW 0，
dt 仍包含在通解表达式中.将W0 600称为平衡解.
(3) 由通解表达式 W 600 (W0 600)e0.05t，可知， 当 W0= 500 百万元时，净资产额单调递减，公
故所求的通解为
p CNeNkt 1 CeNkt
在上述计算过程中，用p N p除方程的两边，易见
p 0，p N
都是方程的解，而且 p 0 包含在通解中， 但 p N 不包含在通解中。
例6 某公司t年净资产有W(t)(百万元),并且资产本 身以每年5%的速度连续增长,同时该公司每年要以 300百万元的数额连续支付职工工资. (1) 给出描述净资产W(t)的微分方程; (2) 求解方程,假设初始净资产为W0;
(3) 讨论在W0 500, 600, 700三种情况下,W(t)变化的
特点.
y0
解 (1) 利用平衡法，即由 净资产增长速度
＝资产本身增长速度－职工工资支付速度 得到所求微分方程
dW 0.05W 30. dt
(2) 分离变量，得
dW 0.05dt. W 600
两端分别积分： ln |W 600 | 0.05t lnC1 (C1为正常数）
解 方程可化为
1 1 y2
dy
(1
x)dx
两端分别积分
arctan y 1 x2 x C 2
于是原方程的通解为
y tan(1 x2 x C). 2
y0
例4 求方程y y2 cos x的通解,及满足初始 条件y(0) 1的特解.
解 分离变量：1 dy cos xdx 两端分别积分 y2
X Y
x0 y0
，这时
dy dx
dY dX
就可以化为齐次方程
dY dX
f
a1 a2
X X
b1Y b2Y
.
例10 求 dy x y 1的通解. dx x y 3
解 令x y 1 0和x y 3 0，得
x 1, y 2, 作变换x X 1, y Y 2，
dY dX
方程的通解 x2 2xy y2 2x 6 y C.
例11 求 dy ( y x)2的通解. dx
解 令y x u,则 dy du 1,，代入方程 dx dx
du 1 u2 , 分离变量得, dx
du 1 u2 dx,
两边积分得 arctan u x C,
故原方程的通解为 y tan(x C) x.
1 P1 dP1 P2 P1 ， dP2 1 P1 P2
P2
这是齐次方程，令u P1 ,则 P2
du 1 u
u P2
dP2
u 1 u
分离变量，得
1 u
1 u2
du
2
dP2 P2
，
两边积分，得
1 u
ln
u
ln(C1P2
)2，
所以方程通解：
P2
P e 2 P1 P1
CP22
（C C12）
N , k 0，且0 y N.
解 这是可分离变量方程，分离变量：
dp kdt p(N p)
两端分别积分：
1p
ln N
Np
kt C1
整理得：
ln
p Np
Nkt NC1
p Np
eNktNC1
e e NC1 Nkt
p eNC1eNkt CeNkt p CNeNkt
Np
1 CeNkt
dx
整理得
1 u u2
du
1 x
dx，两边积分
1 u
ln
u
= ln
x
C1
得通解为
xy
ln y
x
= ln
x
C1
整理得
x cy y ln y =0.
整理得1 u du 1 dx，两边积分
u2
x
例8 求微分方程 x(ln x ln y)dy ydx 0 的通解， 并解其初值问题 y(1) 1.
例1 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？
1 y 1 x y2 xy2 ,2(x2 y2 )dx xydy 0,
3 y 10x y ,
4
y
x y
y x
,
解 (1)是，方程可化为 dy = 1 x dx 1 y2 (2)不是
(3)是,方程可化为10 y dy 10x dx. (4)不是
1 .
代入初值条件 y(1) 1，得C 1，
故所求初值问题的解为
y
ln
y x
1 .
例9 设商品A和商品B的售价分别为P1, P2 ,
已知价格P1与P2相关, 且价格P1相对P2的弹性
为 P2dP1 P1dP2
P2 P2
P1 P1
, 求P1与P2的函数关系式..
解 所给方程为齐次方程，整理得
1 y2
dy
cos xdx,得
1 y
sin
x
C,
显然y 0是方程的解，且不包含在通解，也不 满足初始条件，是方程一个特解；
将y(0) 1代入通解中，求得C 1，
故初值问题的特解为
1 sin x 1 或 y 1 .
y
1 sin x
例3 求Logisitic方程 dp kp(N p)的解,其中 dt
解 把原方程化为
ln y dy y dx 0, xx
令u y ，则y xu，dy u x du ，代入上式ln u du dx ，两边积分
u(ln u 1)
x
ln u ln(ln u 1) ln x ln C,
即
y C(ln u 1)
得通解为
y
C
ln
y x