2、直角三角形、勾股定理、面积

直角三角形、勾股定理、面积

★★知识考点

了解直角三角形的判定与性质，理解直角三角形的边角关系，掌握用勾股定理解某些简单的实际问题。它的有关性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系及与面积有关的问题等方面。

★★精典例题

●例1.（1）有一块地，如图6，已知AD＝4 米，CD＝3 米，∠ADC＝90°，AB＝13 米，

BC＝12 米，求这块地的面积．

（2）已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四边形ABCD 的面积。

●例2.如图，在四边形ABCD中，∠A＝600，∠B＝∠D＝900，BC＝2，CD＝3，则AB＝？

●例3.如图，P为△ABC边BC上一点，PC＝2PB，已知∠ABC＝450，∠APC＝600，求∠ACB的度数。

●例4.如图，在ABC

Rt∆中，

90

=

∠A,D为斜边BC中点，DF

DE⊥,求证：2

2

2CF

BE

EF+

= A

B

C

D

●例5.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AD、BC的中点，∠B＋∠C＝900，AD＝7，BC＝15，求EF的长。

●例6.如图，四边形ABCD中，AB＝6，BC＝3

5 ，CD＝6，且∠ABC＝1350，∠BCD＝1200，你知

道AD的长吗？

1、已知如图,AB=AC,∠BAC=90°,AE是过A点的一条直线,且B、C在DE的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E。求证:BD=DE+CE.

2、如图，在△ABC中，AB=AC，P底边BC上一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F．

(1)求证：PD+PE=CF；

(2)若P点在BC的延长线上，那么PD、PE、CF存在什么关系?写出你的猜想并证明．

3、在△ABC中, ∠C为直角,BC=AC, BD是∠ABC的平分线,AE⊥BD,垂足为E, 求证:BD=2AE.

4、如图，C 为线段AE 上一动点(不与点A ，E 重合)，在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ.以下五个结论：① AD=BE ；② PQ ∥AE ；③ AP=BQ ；④ DE=DP ； ⑤ ∠AOB=60°.恒成立的有______________(把你认为正确的序号都填上).

★★跟踪训练

一、填空题：

1、如果直角三角形的边长分别是6、8、x ，则x 的取值围是 。

2、如图，D 为△ABC 的边BC 上的一点，已知AB ＝13，AD ＝12，，BD ＝5，AC ＝BC ，则BC ＝ 。

3、如图，四边形ABCD 中，已知AB ∶BC ∶CD ∶DA ＝2∶2∶3∶1，且∠B ＝900

，则∠DAB ＝ 。 4、等腰△ABC 中，一腰上的高为3cm ，这条高与底边的夹角为300

，则ABC S ∆＝ 。

5、如图，△ABC 中，∠BAC ＝900

，∠B ＝2∠C ，D 点在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB ＝1，则BD 的长为 。 6、已知Rt △ABC 中，∠C ＝900

，AB 边上的中线长为2，且AC ＋BC ＝6，则ABC S ∆＝ 。

7、如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，腰长为8cm ，AC 、BD 相交于O 点，且∠AOD ＝600

，设E 、F 分别为CO 、AB 的中点，则EF ＝ 。

第9题图 D

C B

A

8、如图，点D 、E 是等边△ABC 的BC 、AC 上的点，且CD ＝AE ，AD 、BE 相交于P 点，BQ ⊥AD 。已知PE ＝1，PQ ＝3，则AD ＝ 。

9、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A 、B 、C 、D 的面积的和是 。

10、如图，在等腰三角形ACB 中，5AC BC ==，8AB =，D 为底边AB 上一动点（不与点A B ，重

合），DE AC ⊥，DF BC ⊥，垂足分别为E F ，，则DE DF +的长是 。 二、选择题：

10题

1、如图，已知△ABC 中，AQ ＝PQ ，PR ＝PS ，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，则三个结论：①AS ＝AR ；②QP ∥AR ；③△BRP ≌△QSP 中（ ）

A 、全部正确

B 、仅①和②正确

C 、仅①正确

D 、仅①和③正确

2、如果一个三角形的一条边的长是另一条边的长的2倍，并且有一个角是300

，那么这个三角形的形状是（ ）

A 、直角三角形

B 、钝角三角形

C 、锐角三角形

D 、不能确定

3、在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AB ＝13，BC ＝12，CD ＝4，AD ＝3，则∠ACB 的度数是（ ）

A 、大于900

B 、小于900

C 、等于900

D 、不能确定

4、如图，已知△ABC 中，∠B ＝900

，AB ＝3，BC ＝3，OA ＝OC ＝6，则∠OAB 的度数为（ ）

A 、100

B 、150

C 、200

D 、250

三、解答题：

1、阅读下面的解题过程：已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足4

2

2

2

2

a c

b

c a =-

4b -，试判断△ABC 的形状。

解：∵42222a c b c a =-4

b -……①

∴))(()(2

222222b a b a b a c -+=-……② ∴2

22c b a =+……③

∴△ABC 是直角三角形。 问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 ； （2）错误的原因是 ；

（3）本题的正确结论是 。 2、已知△ABC 中，∠BAC ＝750

，∠C ＝600

，BC ＝33+

，求AB 、AC 的长。

3、如图，△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC ＝BE ，DG ⊥CE 于G 。 （1）求证：G 是CE 的中点； （2）∠B ＝2∠BCE 。